Differentiering av komplexa och implicita funktioner. Teoretiskt material

Derivat av en funktion specificerad implicit.
Derivat parametriskt given funktion

I den här artikeln kommer vi att titta på två mer typiska uppgifter som ofta finns i tester på högre matematik. För att framgångsrikt bemästra materialet måste du kunna hitta derivator åtminstone på en mellannivå. Du kan lära dig att hitta derivat praktiskt taget från grunden i två grundläggande lektioner och Derivat av en komplex funktion. Om din differentieringsförmåga är okej, låt oss gå.

Derivat av en funktion specificerad implicit

Eller kort och gott - derivat implicit funktion. Vad är en implicit funktion? Låt oss först komma ihåg själva definitionen av en funktion av en variabel:

Funktion för en variabelär en regel enligt vilken varje värde på den oberoende variabeln motsvarar ett och endast ett värde på funktionen.

Variabeln kallas oberoende variabel eller argument.
Variabeln kallas beroende variabel eller fungera .

Hittills har vi tittat på funktioner definierade i explicit form. Vad betyder det? Låt oss genomföra en debriefing med hjälp av specifika exempel.

Tänk på funktionen

Vi ser att till vänster har vi en ensam "spelare" och till höger - bara "X". Det vill säga funktionen uttryckligen uttrycks genom den oberoende variabeln.

Låt oss titta på en annan funktion:

Det är här variablerna blandas ihop. Dessutom omöjligt på något sätt uttryck "Y" endast genom "X". Vilka är dessa metoder? Att överföra termer från del till del med byte av tecken, flytta dem utanför parentes, kasta faktorer enligt proportionsregeln, etc. Skriv om likheten och försök uttrycka "y" explicit: . Du kan vrida och vända ekvationen i timmar, men du kommer inte att lyckas.

Låt mig presentera dig: – exempel implicit funktion.

Under loppet av matematisk analys visades det att den implicita funktionen existerar(dock inte alltid), den har en graf (precis som en "normal" funktion). Den implicita funktionen är exakt densamma existerar första derivata, andra derivata osv. Som de säger, alla rättigheter för sexuella minoriteter respekteras.

Och i den här lektionen kommer vi att lära oss hur man hittar derivatan av en funktion definierad implicit. Det är inte så svårt! Alla differentieringsregler och tabellen över derivator av elementära funktioner förblir i kraft. Skillnaden ligger i ett märkligt ögonblick, som vi kommer att titta på just nu.

Ja, och jag ska berätta de goda nyheterna - uppgifterna som diskuteras nedan utförs enligt en ganska strikt och tydlig algoritm utan en sten framför tre spår.

Exempel 1

1) I det första steget fäster vi slag till båda delarna:

2) Vi använder reglerna för linjäritet för derivatan (de två första reglerna i lektionen Hur hittar man derivatan? Exempel på lösningar):

3) Direkt differentiering.
Hur man särskiljer är helt klart. Vad ska man göra där det finns "spel" under slagen?

- bara till den grad av skam, derivatan av en funktion är lika med dess derivata: .

Hur man särskiljer
Här har vi komplex funktion . Varför? Det verkar som om det bara finns en bokstav "Y" under sinus. Men faktum är att det bara finns en bokstav "y" - ÄR SJÄLV EN FUNKTION(se definition i början av lektionen). Således är sinus en extern funktion och är en intern funktion. Vi använder regeln för att differentiera en komplex funktion :

Vi differentierar produkten enligt den vanliga regeln :

Observera att – också är en komplex funktion, alla "spel med klockor och visselpipor" är en komplex funktion:

Själva lösningen borde se ut ungefär så här:


Om det finns parenteser, expandera dem:

4) På vänster sida samlar vi termerna som innehåller ett "Y" med ett primtal. Flytta allt annat till höger sida:

5) På vänster sida tar vi derivatan ur parentes:

6) Och enligt proportionsregeln släpper vi dessa parenteser i nämnaren på höger sida:

Derivatet har hittats. Redo.

Det är intressant att notera att vilken funktion som helst kan skrivas om implicit. Till exempel funktionen kan skrivas om så här: . Och särskilj det med den algoritm som just diskuterades. Faktum är att fraserna "implicit funktion" och "implicit funktion" skiljer sig åt i en semantisk nyans. Frasen "implicit specificerad funktion" är mer generell och korrekt, – denna funktion specificeras implicit, men här kan du uttrycka "spelet" och presentera funktionen explicit. Orden "implicit funktion" betyder oftare "klassisk" implicit funktion, när "spelet" inte kan uttryckas.

Det bör också noteras att den "implicita ekvationen" implicit kan specificera två eller till och med stor kvantitet funktioner, så t.ex. specificerar en cirkels ekvation implicit funktionerna , , som definierar halvcirklar, men inom ramen för denna artikel kommer vi inte att göra någon speciell skillnad mellan termer och nyanser, detta var bara information för allmän utveckling. .

Andra lösningen

Uppmärksamhet! Du kan bekanta dig med den andra metoden bara om du vet hur du säkert hittar partiella derivat. Nybörjare att studera matematisk analys och tekannor tack läs inte och hoppa över den här punkten, annars blir ditt huvud en hel röra.

Låt oss hitta derivatan av den implicita funktionen med den andra metoden.

Vi flyttar alla termer till vänster sida:

Och betrakta en funktion av två variabler:

Då kan vår derivata hittas med hjälp av formeln
Låt oss hitta de partiella derivatorna:

Således:

Den andra lösningen låter dig utföra en kontroll. Men det är inte tillrådligt för dem att skriva ut den slutliga versionen av uppgiften, eftersom partiella derivator bemästras senare, och en student som studerar ämnet "Derivat av en funktion av en variabel" borde ännu inte känna till partiella derivator.

Låt oss titta på några fler exempel.

Exempel 2

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Lägg till streck till båda delarna:

Vi använder linjäritetsregler:

Hitta derivat:

Öppna alla parenteser:

Vi flyttar alla termer med till vänster sida, resten till höger:

Slutligt svar:

Exempel 3

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Komplett lösning och ett provdesign i slutet av lektionen.

Det är inte ovanligt att fraktioner uppstår efter differentiering. I sådana fall måste du bli av med fraktioner. Låt oss titta på ytterligare två exempel.

Exempel 4

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Vi omsluter båda delarna under streck och använder linjäritetsregeln:

Differentiera med hjälp av regeln för att differentiera en komplex funktion och regeln om differentiering av kvoter :


Utöka parenteserna:

Nu måste vi bli av med fraktionen. Detta kan göras senare, men det är mer rationellt att göra det direkt. Bråkens nämnare innehåller . Multiplicera på . I detalj kommer det att se ut så här:

Ibland uppstår efter differentiering 2-3 fraktioner. Om vi ​​hade ett annat bråk, till exempel, skulle operationen behöva upprepas - multiplicera varje termin i varje del på

På vänster sida sätter vi det utanför parentes:

Slutligt svar:

Exempel 5

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Det enda är att innan du blir av med bråkdelen, måste du först bli av med den tre våningar höga strukturen av själva bråket. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Derivat av en parametriskt definierad funktion

Låt oss inte stressa, allt i det här stycket är också ganska enkelt. Du kan skriva ner den allmänna formeln för en parametriskt definierad funktion, men för att göra det tydligt kommer jag omedelbart att skriva ner ett specifikt exempel. I parametrisk form funktionen ges av två ekvationer: . Ofta skrivs ekvationer inte under parenteser, utan sekventiellt: , .

Variabeln kallas en parameter och kan ta värden från "minus oändlighet" till "plus oändlighet". Betrakta till exempel värdet och ersätt det i båda ekvationerna: . Eller i mänskliga termer: "om x är lika med fyra, så är y lika med ett." Du kan markera en punkt på koordinatplanet, och denna punkt kommer att motsvara parameterns värde. På samma sätt kan du hitta en punkt för valfritt värde på parametern "te". När det gäller en "vanlig" funktion, för indianerna av en parametriskt definierad funktion, respekteras också alla rättigheter: du kan bygga en graf, hitta derivator, etc. Förresten, om du behöver rita en graf av en parametriskt definierad funktion kan du använda mitt program.

I de enklaste fallen är det möjligt att representera funktionen explicit. Låt oss uttrycka parametern: – från den första ekvationen och ersätta den med den andra ekvationen: . Resultatet är en vanlig kubisk funktion.

I mer "allvarliga" fall fungerar inte detta trick. Men det spelar ingen roll, eftersom det finns en formel för att hitta derivatan av en parametrisk funktion:

Vi hittar derivatan av "spelet med avseende på variabeln te":

Alla differentieringsregler och tabellen över derivat är naturligtvis giltiga för bokstaven, alltså, det finns ingen nyhet i processen att hitta derivat. Byt bara mentalt ut alla "X" i tabellen med bokstaven "Te".

Vi hittar derivatan av "x med avseende på variabeln te":

Nu återstår bara att ersätta de hittade derivaten i vår formel:

Redo. Derivatan, liksom själva funktionen, beror också på parametern.

När det gäller notationen, istället för att skriva den i formeln, skulle man helt enkelt kunna skriva den utan ett abonnemang, eftersom detta är en "vanlig" derivata "med avseende på X". Men i litteraturen finns det alltid ett alternativ, så jag kommer inte att avvika från standarden.

Exempel 6

Vi använder formeln

I detta fall:

Således:

En speciell egenskap för att hitta derivatan av en parametrisk funktion är det faktum att vid varje steg är det fördelaktigt att förenkla resultatet så mycket som möjligt. Så när jag hittade det i exemplet öppnade jag parentesen under roten (även om jag kanske inte gjorde det). Det finns en god chans att när du byter in i formeln kommer många saker att reduceras bra. Även om det förstås finns exempel med klumpiga svar.

Exempel 7

Hitta derivatan av en funktion specificerad parametriskt

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand.

I artikeln De enklaste typiska problemen med derivat vi tittade på exempel där vi behövde hitta andraderivatan av en funktion. För en parametriskt definierad funktion kan du också hitta den andra derivatan, och den hittas med följande formel: . Det är ganska uppenbart att för att hitta den andra derivatan måste du först hitta den första derivatan.

Exempel 8

Hitta första och andra derivatan av en funktion given parametriskt

Låt oss först hitta den första derivatan.
Vi använder formeln

I detta fall:

Vi kommer att lära oss att hitta derivator av funktioner specificerade implicit, det vill säga specificerade av vissa ekvationer som kopplar variabler x Och y. Exempel på funktioner som anges implicit:

,

Derivater av funktioner specificerade implicit, eller derivator av implicita funktioner, hittas helt enkelt. Låt oss nu titta på motsvarande regel och exempel och ta reda på varför detta behövs i allmänhet.

För att hitta derivatan av en funktion specificerad implicit måste du differentiera båda sidor av ekvationen med avseende på x. De termer där endast X är närvarande kommer att förvandlas till den vanliga derivatan av funktionen från X. Och termerna med spelet måste differentieras med hjälp av regeln om differentiering av komplexa funktioner, eftersom spelet är en funktion av X. För att uttrycka det helt enkelt bör den resulterande derivatan av termen med x resultera i: derivatan av funktionen från y multiplicerat med derivatan från y. Till exempel kommer derivatan av en term att skrivas som , derivatan av en term kommer att skrivas som . Därefter, från allt detta, måste du uttrycka detta "spelslag" och den önskade derivatan av funktionen som anges implicit kommer att erhållas. Låt oss titta på detta med ett exempel.

Exempel 1.

Lösning. Vi differentierar båda sidor av ekvationen med avseende på x, förutsatt att i är en funktion av x:

Härifrån får vi den derivata som krävs i uppgiften:

Nu något om den tvetydiga egenskapen hos funktioner som anges implicit, och varför särskilda regler för deras differentiering behövs. I vissa fall kan du verifiera att ersättningen i given ekvation(se exempel ovan) istället för y leder dess uttryck genom x till att denna ekvation blir en identitet. Så. Ovanstående ekvation definierar implicit följande funktioner:

Efter att ha ersatt uttrycket för det kvadratiska spelet genom x i den ursprungliga ekvationen, får vi identiteten:

.

Uttrycken som vi bytte ut erhölls genom att lösa ekvationen för spelet.

Om vi ​​skulle särskilja motsvarande explicita funktion

då skulle vi få svaret som i exempel 1 - från en funktion specificerad implicit:

Men inte alla funktioner som anges implicit kan representeras i formuläret y = f(x) . Så till exempel de implicit specificerade funktionerna

inte uttrycks genom elementära funktioner, det vill säga dessa ekvationer kan inte lösas med avseende på spelaren. Därför finns det en regel för att differentiera en funktion specificerad implicit, som vi redan har studerat och kommer att tillämpa vidare konsekvent i andra exempel.

Exempel 2. Hitta derivatan av en funktion given implicit:

.

Vi uttrycker primtal och - vid utgången - derivatan av den angivna funktionen implicit:

Exempel 3. Hitta derivatan av en funktion given implicit:

.

Lösning. Vi differentierar båda sidor av ekvationen med avseende på x:

.

Exempel 4. Hitta derivatan av en funktion given implicit:

.

Lösning. Vi differentierar båda sidor av ekvationen med avseende på x:

.

Vi uttrycker och erhåller derivatan:

.

Exempel 5. Hitta derivatan av en funktion given implicit:

Lösning. Vi flyttar termerna på höger sida av ekvationen till vänster sida och lämnar noll till höger. Vi differentierar båda sidor av ekvationen med avseende på x.

Derivat av en komplex funktion. Totalt derivat

Låt z=ƒ(x;y) vara en funktion av två variabler x och y, som var och en är en funktion av en oberoende variabel t: x = x(t), y = y(t). I detta fall är funktionen z = f(x(t);y(t)) en komplex funktion av en oberoende variabel t; variablerna x och y är mellanvariabler.

Om z = ƒ(x;y) är en funktion differentierbar i punkten M(x;y) є D och x = x(t) och y = y(t) är differentierbara funktioner av den oberoende variabeln t, då är derivatan av den komplexa funktionen z(t ) = f(x(t);y(t)) beräknas med hjälp av formeln

Låt oss ge den oberoende variabeln t ett inkrement Δt. Då kommer funktionerna x = = x(t) och y = y(t) att ta emot inkrement Δх respektive Δу. De kommer i sin tur att få funktionen z att öka Az.

Eftersom funktionen z - ƒ(x;y) genom villkor är differentierbar i punkten M(x;y), kan dess totala ökning representeras som

där а→0, β→0 vid Δх→0, Δу→0 (se avsnitt 44.3). Låt oss dividera uttrycket Δz med Δt och gå till gränsen vid Δt→0. Då Δх→0 och Δу→0 på grund av kontinuiteten i funktionerna x = x(t) och y = y(t) (enligt satsens villkor är de differentierbara). Vi får:

Specialfall: z=ƒ(x;y), där y=y(x), dvs. z=ƒ(x;y(x)) är en komplex funktion av en oberoende variabel x. Detta fall reduceras till det föregående, och rollen för variabeln t spelas av x. Enligt formel (44.8) har vi:

Formel (44.9) kallas totalderivatformeln.

Allmänt fall: z=ƒ(x;y), där x=x(u;v), y=y(u;v). Då är z= f(x(u;v);y(u;v)) en komplex funktion av de oberoende variablerna u och v. Dess partiella derivat kan hittas med formeln (44.8) enligt följande. Efter att ha fixerat v, ersätter vi det med motsvarande partiella derivator

Som bekant definieras en implicit given funktion av en variabel enligt följande: funktionen y för den oberoende variabeln x kallas implicit om den ges av en ekvation som inte är löst för y:

Exempel 1.11.

Ekvationen

anger implicit två funktioner:

Och ekvationen

anger ingen funktion.

Sats 1.2 (existensen av en implicit funktion).

Låt funktionen z =f(x,y) och dess partiella derivator f"x och f"y vara definierade och kontinuerliga i någon omgivning UMO av punkten M0(x0y0). Dessutom, f(x0,y0)=0 och f"(x0,y0)≠0, sedan definierar ekvation (1.33) i närheten av UM0 en implicit funktion y= y(x), kontinuerlig och differentierbar i något intervall D med centrum i punkten x0, och y(x0)=y0.

Inget bevis.

Av sats 1.2 följer att på detta intervall D:

det vill säga det finns en identitet i

där den "totala" derivatan finns enligt (1.31)

Det vill säga, (1.35) ger en formel för att hitta derivatan av en implicit given funktion av en variabel x.

En implicit funktion av två eller flera variabler definieras på liknande sätt.

Till exempel, om i någon region V i Oxyz-rymden gäller följande ekvation:

sedan under vissa förhållanden på funktionen F definierar den implicit funktionen

Dessutom, i analogi med (1.35), återfinns dess partiella derivator enligt följande:

Exempel 1.12. Förutsatt att ekvationen

definierar implicit en funktion

hitta z"x, z"y.

därför får vi enligt (1.37) svaret.

11.Användning av partiella derivator i geometri.

12.Extrema av en funktion av två variabler.

Begreppen maximum, minimum och extremum för en funktion av två variabler liknar motsvarande begrepp för en funktion av en oberoende variabel (se avsnitt 25.4).

Låt funktionen z = ƒ(x;y) definieras i någon domän D, punkt N(x0;y0) О D.

En punkt (x0;y0) kallas en maximipunkt för funktionen z=ƒ(x;y) om det finns ett d-område till punkten (x0;y0) så att för varje punkt (x;y) skiljer sig från (xo;yo), från detta kvarter gäller ojämlikheten ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

A Funktionens minimipunkt bestäms på liknande sätt: för alla punkter (x; y) förutom (x0; y0), från punktens d-grannskap (xo; y0) gäller följande olikhet: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

I figur 210: N1 är maxpunkten och N2 är minimumpunkten för funktionen z=ƒ(x;y).

Funktionens värde vid punkten för maximum (minimum) kallas för funktionens maximum (minimum). Maximum och minimum för en funktion kallas dess extrema.

Observera att funktionens ytterpunkt per definition ligger inom definitionsdomänen för funktionen; maximum och minimum har en lokal (lokal) karaktär: värdet på funktionen i punkten (x0; y0) jämförs med dess värden vid punkter tillräckligt nära (x0; y0). I region D kan en funktion ha flera extrema eller inga.

46,2. Nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för ett extremum

Låt oss överväga förutsättningarna för existensen av ett extremum av en funktion.

Sats 46.1 (nödvändiga villkor för ett extremum). Om den differentierbara funktionen z=ƒ(x;y) i punkten N(x0;y0) har ett extremum, så är dess partiella derivator vid denna punkt lika med noll: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0)=0.

Låt oss fixa en av variablerna. Låt oss till exempel sätta y=y0. Då får vi en funktion ƒ(x;y0)=φ(x) av en variabel, som har ett extremum vid x = x0. Därför, enligt det nödvändiga villkoret för extremumet av en funktion av en variabel (se avsnitt 25.4), φ"(x0) = 0, dvs. ƒ"x(x0;y0)=0.

På liknande sätt kan det visas att ƒ"y(x0;y0) = 0.

Geometriskt betyder likheterna ƒ"x(x0;y0)=0 och ƒ"y(x0;y0)=0 att vid funktionens extrempunkt z=ƒ(x;y) tangentplanet till ytan som representerar funktion ƒ(x;y) ), är parallell med Oxy-planet, eftersom ekvationen för tangentplanet är z=z0 (se formel (45.2)).

Z notera. En funktion kan ha ett extremum vid punkter där åtminstone en av de partiella derivatorna inte existerar. Till exempel funktionen har ett maximum vid punkten O(0;0) (se fig. 211), men har inte partiella derivator vid denna punkt.

Punkten där första ordningens partiella derivator av funktionen z ≈ ƒ(x; y) är lika med noll, dvs f"x=0, f"y=0, kallas en stationär punkt för funktionen z.

Stationära punkter och punkter där åtminstone en partiell derivata inte existerar kallas kritiska punkter.

Vid kritiska punkter kan funktionen ha ett extremum eller inte. Likheten mellan partiella derivator till noll är nödvändig, men inte tillräckligt skick existensen av ett extremum. Betrakta till exempel funktionen z = xy. För den är punkten O(0; 0) kritisk (vid den försvinner z"x=y och z"y - x). Funktionen z=xy har dock inget extremum, eftersom det i ett tillräckligt litet område av punkten O(0; 0) finns punkter för vilka z>0 (punkter för första och tredje fjärdedelen) och z< 0 (точки II и IV четвертей).

För att hitta ytterpunkterna för en funktion i ett givet område är det alltså nödvändigt att utsätta varje kritisk punkt i funktionen för ytterligare forskning.

Sats 46.2 (tillräckligt villkor för ett extremum). Låt funktionen ƒ(x;y) i en stationär punkt (xo; y) och en del av dess grannskap ha kontinuerliga partiella derivator upp till den andra ordningen inklusive. Låt oss vid punkten (x0;y0) beräkna värdena A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Låt oss beteckna

1. om Δ > 0, så har funktionen ƒ(x;y) i punkten (x0;y0) ett extremum: maximum om A< 0; минимум, если А > 0;

2. om Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

I fallet med Δ = 0 kan det finnas ett extremum vid punkten (x0;y0). Mer forskning behövs.

UPPGIFTER

1.

Exempel. Hitta intervallen för ökande och minskande funktioner. Lösning. Det första steget är hitta definitionsdomänen för en funktion. I vårt exempel bör uttrycket i nämnaren inte gå till noll, därför, . Låt oss gå vidare till derivatfunktionen: För att bestämma intervallen för ökning och minskning av en funktion baserat på ett tillräckligt kriterium, löser vi ojämlikheter på definitionsdomänen. Låt oss använda en generalisering av intervallmetoden. Den enda riktiga roten av täljaren är x = 2, och nämnaren går till noll vid x = 0. Dessa punkter delar upp definitionsdomänen i intervall där funktionens derivata behåller sitt tecken. Låt oss markera dessa punkter på tallinjen. Vi betecknar konventionellt med plus och minus de intervall vid vilka derivatan är positiv eller negativ. Pilarna nedan visar schematiskt ökningen eller minskningen av funktionen på motsvarande intervall. Således, Och . Vid punkten x = 2 funktionen är definierad och kontinuerlig, så den bör läggas till både de ökande och minskande intervallen. Vid punkten x = 0 funktionen är inte definierad, så vi inkluderar inte denna punkt i de nödvändiga intervallen. Vi presenterar en graf över funktionen för att jämföra resultaten som erhållits med den. Svar: funktionen ökar med , minskar med intervallet (0; 2] .

2.

Exempel.

    Ställ in intervallen för konvexitet och konkavitet för en kurva y = 2 – x 2 .

Vi hittar y"" och bestäm var den andra derivatan är positiv och var den är negativ. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

    y = e x. Därför att y"" = e x > 0 för någon x, då är kurvan konkav överallt.

    y = x 3 . Därför att y"" = 6x, Den där y"" < 0 при x < 0 и y""> 0 kl x> 0. Därför, när x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 är konkav.

3.

4. Givet funktionen z=x^2-y^2+5x+4y, vektor l=3i-4j och punkt A(3,2). Hitta dz/dl (som jag förstår det, derivatan av funktionen med avseende på vektorns riktning), gradz(A), |gradz(A)|. Låt oss hitta de partiella derivatorna: z(med avseende på x)=2x+5 z(med avseende på y)=-2y+4 Låt oss hitta värdena för derivatorna i punkt A(3,2): z(med med avseende på x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(av y)(3,2)=-2*2+4=0 Där, gradz(A)=(11,0)=11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Derivat av funktionen z i riktningen av vektorn l: dz/dl=z(in x)*cosa+z(i y)*cosb, a, b-vinklar för vektorn l med koordinataxlar. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.



Liknande artiklar