Laboratoriearbete nr 10

Syftet med arbetet är att experimentellt verifiera teoremets giltighet om förskjutningarnas ömsesidighet och, utifrån dess, konstruera en elastisk linje av strålen.

Grundläggande information

Work reciprocity theoremet säger att det arbete som utförs av den första kraften när den flyttar sin appliceringspunkt under inverkan av den andra kraften är lika med den andra kraftens arbete när den flyttar punkten för dess applicering under inverkan av den första kraften. , dvs.

F 1 y 12 = F 2 y 21 = W.(10.1)

Om krafterna är lika, förvandlas satsen till en sats om ömsesidighet för förskjutningar: förskjutningen av den första delen under inverkan av en kraft som appliceras i den andra delen är lika med förskjutningen av den andra delen under inverkan av samma kraft, men tillämpas i det första avsnittet.

y 12 = y 21. (10.2)

Exekutivorder och resultatbearbetning

Experimenten utförs på en stationär installation SM-4, som är en tvåstödsbalk beskriven i laboratoriearbete nr 9.

Verifieringen av satsen om förskjutningarnas ömsesidighet (Fig. 10.1) utförs enligt följande.

Ris. 10.1. Verifiering av satsen om reciprocitet av förskjutningar

I två godtyckliga sektioner av balken är indikatorklockor och vikthängare installerade (avsnitt 1 och 2, fig. 10.1, a). Den initiala avläsningen tas på indikatorn för sektion 2, balken belastas i sektion 1 med last F och avläsningen av indikatorn installerad i sektion 2 tas (se fig. 10.1, b). Skillnaden mellan detta och de initiala avläsningarna är lika med avböjningsvärdet vid 21 i sektion 2. Därefter avlastas balken.

Data om F och y 21 registreras i testloggen. Därefter tas den initiala avläsningen på indikatorn installerad i sektion 1, balken belastas i sektion 2 med samma belastning F, och skillnaden i avläsningarna för indikator 1 bestämmer avböjningsvärdet vid 12 (se fig. 10.1, c) ).

Balken avlastas och data för y 12 förs in i testloggen. Genom att jämföra de erhållna uppgifterna med hjälp av likhet (10.2) verifieras satsen om ömsesidighet för förskjutningar. Om likhet (10.2) inte uppfylls, bestäm felprocenten

och dra slutsatser.

Med hjälp av satsen om ömsesidighet för förskjutningar är det möjligt att, med användning av en indikator som är permanent fixerad i belastningsapplikationsdelen av ett givet designschema (fig. 10.2), experimentellt bestämma förskjutningen av en balk i vilken sektion som helst och konstruera en elastisk linje av strålen.

Ris. 10.2. Konstruera en elastisk linje av en balk

Den linjära förskjutningsindikatorn är installerad i den sektion av balken där den specificerade belastningen appliceras enligt designschemat. En viktupphängning är placerad på konsolen, den andra - inom spännvidden.

Förskjutningarna av sektionen där indikatorn är installerad bestäms när en given last F sekventiellt appliceras på designpunkterna 1 ... 10 (se fig. 10.2). Denna operation inkluderar att installera en viktupphängning vid den beräknade punkten, ta en första avläsning på indikatorn, applicera en given belastning F på viktupphängningen, ta en indikatoravläsning och bestämma ökningen av avläsningar som är lika med den fastställda förskjutningen. För att applicera belastning i sektioner placerade på konsolen används en andra viktupphängning.

Enligt satsen om rörelsers reciprocitet kommer dessa rörelser att vara lika med rörelserna för designpunkterna när belastning F appliceras i sektionen av indikatorinstallationen.

De erhållna förskjutningsvärdena registreras i testloggen.

För att jämföra experimentella förskjutningar med teoretiska, beräknas de senare för en given

Låt en kraft appliceras på systemet i det första tillståndet, och i det andra tillståndet - (Fig. 6). Låt oss beteckna förskjutningar orsakade av enhetskrafter (eller enhetsmoment) med en symbol. Då är rörelsen av det aktuella systemet i riktning mot en enhetskraft i det första tillståndet (det vill säga orsakat av kraften) och rörelsen i kraftriktningen i det andra tillståndet är .

Baserat på arbetsreciprocitetssatsen:

Men alltså, eller in allmänt fall aktioner av någon enhetsstyrkor:

Den resulterande likheten (1.16) kallas satsen om ömsesidighet för förskjutningar (eller Maxwells sats): för två enhetstillstånd i ett elastiskt system är förskjutningen i riktningen för den första kraftenheten som orsakas av den andra kraftenheten lika med förskjutning i riktning mot den andra kraften orsakad av den första kraften.

Beräkning av förskjutningar med Mohrs metod

Metoden som beskrivs nedan är universell metod bestämning av förskjutningar (både linjära och vinkelformiga) som uppstår i alla stångsystem från en godtycklig belastning.

Låt oss betrakta två tillstånd i systemet. Låt i den första av dem (belastningstillstånd) någon godtycklig belastning appliceras på balken, och i den andra (enhetstillstånd) en koncentrerad kraft (fig. 7).

Arbete A21 av kraft vid förskjutning som härrör från krafterna från det första tillståndet:

Med hjälp av (1.14) och (1.15) uttrycker vi A21 (och därför och) i termer av interna kraftfaktorer:

"+"-tecknet som erhålls under bestämningen betyder att riktningen för den önskade förskjutningen sammanfaller med enhetskraftens riktning. Om en linjär förskjutning definieras, är den generaliserade enhetskraften den dimensionslösa koncentrerade enhetskraften som appliceras vid punkten i fråga; och om sektionens rotationsvinkel bestäms, så är den generaliserade enhetskraften ett dimensionslöst koncentrerat enhetsmoment.

Ibland skrivs (1.17) som:

var är rörelsen i kraftens riktning som orsakas av inverkan av en grupp krafter. Produkterna i nämnaren av formel (1.18) kallas böj-, drag- (kompressions-) respektive skjuvstyvheter; med konstanta tvärsnittsdimensioner längs längden och samma material kan dessa kvantiteter tas ut ur integraltecknet. Uttryck (1.17) och (1.18) kallas Mohr-integraler (eller formler).

Mest allmän form Mohr integral har i fallet när i tvärsnitt I kärnan av systemet uppstår alla sex interna kraftfaktorer:

Algoritmen för att beräkna förskjutning med Mohrs metod är följande:

1. Definiera uttryck interna insatser från en given last som funktion av Z-koordinaten för en godtycklig sektion.
2. En generaliserad enhetskraft appliceras i riktning mot önskad förskjutning (koncentrerad kraft - vid beräkning av linjär förskjutning; koncentrerat moment - vid beräkning av vridningsvinkeln).
3. Bestäm uttryck för inre krafter från en generaliserad enhetskraft som funktioner av Z-koordinaten för en godtycklig sektion.
4. Ersätt uttrycket för inre krafter som finns i paragraf 1.3 i (1.18) eller (1.19) och genom att integrera över sektioner inom hela längden av strukturen, bestäm den önskade förskjutningen.

Mohrs formler är också lämpliga för element som är stavar med liten krökning, med ersättning av elementet med längden dz i integranden med elementet båge ds.

I de flesta fall av ett planproblem används endast en term med formeln (1.18). Sålunda, om strukturer som huvudsakligen arbetar i böjning beaktas (balkar, ramar och delvis bågar), kan i förskjutningsformeln, med tillräcklig noggrannhet, endast integralen, beroende på böjmomenten, lämnas; Vid beräkning av strukturer vars element huvudsakligen arbetar i central spänning (kompression), till exempel, kan fackverks-, böj- och skjuvdeformationer ignoreras, det vill säga endast termen som innehåller längsgående krafter kommer att finnas kvar i förskjutningsformeln.

På liknande sätt är Mohrs formel (1.19) i de flesta fall av rumsliga problem avsevärt förenklad. Således, när elementen i systemet huvudsakligen arbetar med böjning och vridning (till exempel vid beräkning av plan-rymdsystem, trasiga stavar och rumsliga ramar) återstår endast de tre första termerna i (1.19); och vid beräkning av rumsliga takstolar - endast den fjärde termen.

Uttalande av arbetsreciprocitetssatsen (Bettis sats), bevisad 1872 av E. Betti: det möjliga arbetet av krafterna i det första tillståndet på motsvarande förskjutningar orsakade av krafterna i det andra tillståndet är lika med det möjliga arbetet för krafterna i det andra tillståndet på motsvarande förskjutningar orsakade av den första statens styrkor.

24. Teorem om ömsesidighet för förskjutningar (Maxwell)

Låt det vara. Sats om ömsesidighet av förskjutningar med hänsyn till den accepterade notationen för förskjutning från en enhetskraft har den formen: .Satsen om förskjutningarnas ömsesidighet bevisades av Maxwell. Formulering av satsen om reciprocitet av förskjutningar: förskjutningen av anbringningspunkten för den första kraftenheten orsakad av verkan av den andra kraften är lika med förskjutningen av anbringningspunkten för den andra kraftenheten orsakad av verkan av den första kraftenheten

25. Rayleighs teorem om reaktionernas ömsesidighet.

26. Gvozdevs teorem om ömsesidighet mellan förskjutningar och reaktioner.

27. Bestämning av förskjutningar på grund av belastning. Mohrs formel.

Pestformel

28. Bestämning av förskjutningar på grund av temperatureffekter och förskjutning.

Temperatureffekt.

Förslag

29. Vereshchagins regel. Trapetsformel multiplikationsformel, Simpsons formel.

Trapetsformel för multiplikation.

Formel för att multiplicera böjda trapetser

31. Egenskaper hos statiskt obestämda system.

För att bestämma krafterna och reaktionerna räcker det inte med statiska ekvationer, det är nödvändigt att använda ekvationerna för kontinuitet i deformation och förskjutning.

Krafterna och reaktionerna beror på förhållandet mellan de enskilda elementens styvhet.

Förändringar i temperatur och stödsättning gör att inre krafter uppstår.

I frånvaro av belastning är ett tillstånd av självspänning möjligt.

32. Bestämning av graden av statisk obestämning, principer för att välja det grundläggande systemet för kraftmetoden.

För statiskt obestämda system W<0

Antalet extra anslutningar bestäms av formeln:

L = -W+ 3K,

där W är antalet oberoende geometriska parametrar som bestämmer strukturens position på planet utan att ta hänsyn till strukturens deformation (antalet frihetsgrader), K är antalet slutna konturer (konturer där det finns inget gångjärn).

W= 3D – 2SH – Co

Chebyshevs formel för att bestämma graden av frihet, där D är antalet skivor, Ш är antalet gångjärn, Co är antalet stödstavar.

OSMS måste vara geometriskt oföränderligt.

Måste vara statiskt definierbar (ta bort A onödiga anslutningar).

Detta system bör vara lätt att beräkna.

Om det ursprungliga systemet var symmetriskt, väljs OSMS, om möjligt, att vara symmetriskt.

33. Kraftmetodens kanoniska ekvationer, deras fysiska betydelse.

Kanoniska ekvationer:

Fysisk betydelse:

Den totala rörelsen i riktningen för varje fjärrlänk måste vara = 0

34. Beräkning av koefficienter för kanoniska ekvationer, deras fysiska betydelse, kontroll av riktigheten av de hittade koefficienterna.

Rör sig i riktning mot en fjärranslutning orsakad av en enda kraft.

Rörelse i riktning mot en fjärranslutning orsakad av en extern belastning.

För att kontrollera riktigheten av de hittade koefficienterna måste du ersätta dem i systemet med kanoniska ekvationer och hitta X1 och X2.

Bevis på arbetsömsesidighetssatsen

Låt oss markera två punkter 1 och 2 på balken (Fig. 15.4, a).

Låt oss applicera en statisk kraft vid punkt 1. Det kommer att orsaka avböjning vid denna punkt, och vid punkt 2 – .

Vi använder två index för att indikera rörelser. Det första indexet betyder platsen för rörelsen, och det andra - orsaken till denna rörelse. Det vill säga nästan som på ett brevkuvert, där vi anger: var och från vem.

Så, till exempel, betyder det avböjningen av balken vid punkt 2 från lasten.

Efter att tillväxten av styrka är klar. Låt oss applicera en statisk kraft (15.4, b) på balkens deformerade tillstånd vid punkt 2. Balken kommer att få ytterligare avböjningar: vid punkt 1 och vid punkt 2.

Låt oss skapa ett uttryck för det arbete som dessa krafter gör på sina motsvarande förskjutningar: .

Här representerar den första och tredje termen krafternas elastiska arbete och . Enligt Clapeyrons teorem har de en koefficient . Den andra termen har inte denna koefficient, eftersom kraften inte ändrar sitt värde och gör möjligt arbete på förskjutningen som orsakas av en annan kraft.

Låt oss betrakta två tillstånd i ett elastiskt system i jämvikt. I vart och ett av dessa tillstånd verkar en viss statisk belastning på systemet (fig. 23, a). Låt oss beteckna rörelserna i riktningarna för krafterna F 1 och F 2 med, där index "i" visar rörelseriktningen, och index "j" är orsaken som orsakade det.

Ris. 23

Låt oss beteckna arbetet med belastningen av det första tillståndet (kraft F 1) på rörelserna i det första tillståndet med A 11, och arbetet för kraften F 2 på rörelserna som orsakas av det av A 22:

Med hjälp av (2.9) kan arbetet A 11 och A 22 uttryckas i termer av interna kraftfaktorer:

(2.10)

Låt oss betrakta fallet med statisk belastning av samma system (fig. 23, a) i följande sekvens. Först appliceras en statiskt ökande kraft Fi på systemet (fig. 23, b); när processen för dess statiska tillväxt är avslutad, blir deformationen av systemet och de inre krafterna som verkar i det samma som i det första tillståndet (fig. 23, a). Det arbete som utförs av kraft F 1 kommer att vara:

Sedan börjar en statiskt ökande kraft F 2 verka på systemet (fig. 23, b). Som ett resultat av detta får systemet ytterligare deformationer och ytterligare interna krafter uppstår i det, samma som i det andra tillståndet (fig. 23, a). Under processen att öka kraften F 2 från noll till dess slutvärde, rör sig kraften F 1, som förblir oförändrad, nedåt med mängden ytterligare avböjning
och gör därför ytterligare arbete:

Kraften F 2 gör jobbet:

Det totala arbetet A med sekventiell belastning av systemet med krafterna F 1, F 2 är lika med:

Å andra sidan, i enlighet med (2.4), kan det totala arbetet definieras som:

(2.12)

Genom att likställa uttryck (2.11) och (2.12) med varandra får vi:

(2.13)

A 12 = A 21 (2,14)

Jämlikhet (2.14) kallas arbets reciprocitetssatser, eller Bettis sats: arbetet för krafterna i det första tillståndet på förskjutningar i deras riktningar orsakade av krafterna i det andra tillståndet är lika med det andra tillståndets krafter på förskjutningar i deras riktningar orsakade av krafterna i det första tillståndet.

Om vi utelämnar mellanliggande beräkningar uttrycker vi arbetet A 12 i termer av böjmoment, longitudinella och tvärgående krafter som uppstår i det första och andra tillståndet:

Varje integrand på höger sida av denna likhet kan betraktas som produkten av den inre kraft som uppstår i sektionen av stången från krafterna i det första tillståndet och deformationen av elementet dz orsakad av krafterna i det andra tillståndet.

2.4 Sats om ömsesidighet i förskjutningar

Låt i det första tillståndet en kraft appliceras på systemet
, och i den andra -
(Fig. 24). Låt oss beteckna de förskjutningar som orsakas av enhetskrafter (eller enhetsmoment
) symbol . Sedan rörelsen av det aktuella systemet i riktning mot en enhetskraft i det första tillståndet (det vill säga orsakat av våld
) -
och rörelse i kraftens riktning
i det andra tillståndet -
.

Baserat på arbetsreciprocitetssatsen:

, Men
, Det är därför
, eller i det allmänna fallet med insatser av någon enhetsstyrka:

(2.16)

Ris. 24

Den resulterande jämlikheten (2.16) kallas reciprocitetssatserrörelser(eller Maxwells teorem): för två enhetstillstånd av ett elastiskt system är förskjutningen i riktningen av den första kraftenheten som orsakas av den andra kraftenheten lika med förskjutningen i riktningen för den andra kraften som orsakas av den första kraften.