Efter att ha fått en allmän uppfattning om jämlikheter och har blivit bekant med en av deras typer - numeriska likheter, kan du börja prata om en annan typ av jämlikheter som är mycket viktig ur praktisk synvinkel - ekvationer. I den här artikeln ska vi titta på vad är en ekvation, och det som kallas roten till ekvationen. Här kommer vi att ge motsvarande definitioner, samt ge olika exempel på ekvationer och deras rötter.

Sidnavigering.

Vad är en ekvation?

Riktad introduktion till ekvationer börjar vanligtvis på matematiklektionerna i årskurs 2. Vid denna tidpunkt ges följande ekvationsdefinition:

Definition.

Ekvationenär en likhet som innehåller ett okänt nummer som måste hittas.

Okända tal i ekvationer betecknas vanligtvis med små latinska bokstäver, till exempel p, t, u, etc., men bokstäverna x, y och z används oftast.

Således bestäms ekvationen utifrån skrivformens synvinkel. Jämställdhet är med andra ord en ekvation när den följer de angivna skrivreglerna - den innehåller en bokstav vars värde måste hittas.

Låt oss ge exempel på det allra första och det allra första enkla ekvationer. Låt oss börja med ekvationer som x=8, y=3, etc. Ekvationer som innehåller aritmetiska tecken tillsammans med siffror och bokstäver ser lite mer komplicerade ut, till exempel x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Variationen av ekvationer växer efter att ha blivit bekant med - ekvationer med parenteser börjar dyka upp, till exempel 2·(x−1)=18 och x+3·(x+2·(x−2))=3. En okänd bokstav i en ekvation kan förekomma flera gånger, till exempel x+3+3·x−2−x=9, även bokstäver kan vara på vänster sida av ekvationen, på dess högra sida, eller på båda sidor av ekvationen. ekvationen, till exempel, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 eller 3·x−4=2·(x+12) .

Vidare efter att ha studerat naturliga tal bekantskap med heltal, rationella, reella tal uppstår, nya matematiska objekt studeras: potenser, rötter, logaritmer, etc., medan fler och fler nya typer av ekvationer som innehåller dessa saker dyker upp. Exempel på dem kan ses i artikeln huvudtyper av ekvationer studerar i skolan.

I 7:e klass börjar de, tillsammans med bokstäver, som betyder vissa specifika siffror, överväga bokstäver som kan ta olika betydelser, de kallas variabler (se artikel). Samtidigt introduceras ordet "variabel" i definitionen av ekvationen, och det blir så här:

Definition.

Ekvation kallas en likhet som innehåller en variabel vars värde måste hittas.

Till exempel är ekvationen x+3=6·x+7 en ekvation med variabeln x, och 3·z−1+z=0 är en ekvation med variabeln z.

Under algebralektioner i samma 7:e klass möter vi ekvationer som innehåller inte en utan två olika okända variabler. De kallas ekvationer i två variabler. I framtiden tillåts närvaron av tre eller flera variabler i ekvationerna.

Definition.

Ekvationer med ett, två, tre osv. variabler– dessa är ekvationer som i sin skrift innehåller en, två, tre, ... okända variabler, respektive.

Till exempel är ekvationen 3,2 x+0,5=1 en ekvation med en variabel x, i sin tur är en ekvation av formen x−y=3 en ekvation med två variabler x och y. Och ytterligare ett exempel: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Det är tydligt att en sådan ekvation är en ekvation med tre okända variabler x, y och z.

Vad är roten till en ekvation?

Definitionen av en ekvation är direkt relaterad till definitionen av roten till denna ekvation. Låt oss föra några resonemang som hjälper oss att förstå vad roten till ekvationen är.

Låt oss säga att vi har en ekvation med en bokstav (variabel). Om du ersätter ett nummer istället för en bokstav som ingår i inmatningen av denna ekvation, förvandlas ekvationen till en numerisk likhet. Dessutom kan den resulterande jämlikheten vara antingen sann eller falsk. Om du till exempel ersätter siffran 2 istället för bokstaven a i ekvationen a+1=5, får du den felaktiga numeriska likheten 2+1=5. Om vi ​​ersätter talet 4 istället för a i denna ekvation får vi den korrekta likheten 4+1=5.

I praktiken, i de allra flesta fall, är intresset för de värden av variabeln vars substitution i ekvationen ger korrekt likhet. Dessa värden kallas rötter eller lösningar given ekvation.

Definition.

Roten till ekvationen- detta är värdet på bokstaven (variabeln), vid substitution av vilken ekvationen förvandlas till en korrekt numerisk likhet.

Observera att roten till en ekvation i en variabel också kallas ekvationens lösning. Med andra ord, lösningen på en ekvation och roten till ekvationen är samma sak.

Låt oss förklara denna definition med ett exempel. För att göra detta, låt oss återgå till ekvationen skriven ovan a+1=5. Enligt den angivna definitionen av roten till en ekvation är talet 4 roten till denna ekvation, eftersom när vi ersätter detta tal istället för bokstaven a får vi den korrekta likheten 4+1=5, och talet 2 är inte dess rot, eftersom den motsvarar en felaktig likhet av formen 2+1= 5 .

Vid denna tidpunkt uppstår ett antal naturliga frågor: "Har någon ekvation en rot, och hur många rötter har den?" given ekvation"? Vi kommer att svara på dem.

Det finns både ekvationer som har rötter och ekvationer som inte har rötter. Till exempel har ekvationen x+1=5 rot 4, men ekvationen 0 x=5 har inga rötter, eftersom oavsett vilket tal vi ersätter i denna ekvation istället för variabeln x, så får vi den felaktiga likheten 0=5 .

När det gäller antalet rötter i en ekvation finns det både ekvationer som har ett visst ändligt antal rötter (en, två, tre, etc.) och ekvationer som har ett oändligt antal rötter. Till exempel har ekvationen x−2=4 en enda rot 6, rötterna till ekvationen x 2 =9 är två tal −3 och 3, ekvationen x·(x−1)·(x−2)=0 har tre rötter 0, 1 och 2, och lösningen till ekvationen x=x är vilket tal som helst, det vill säga den har ett oändligt antal rötter.

Några ord bör sägas om den accepterade notationen för ekvationens rötter. Om en ekvation inte har några rötter, skriver de vanligtvis "ekvationen har inga rötter", eller använder det tomma settecknet ∅. Om ekvationen har rötter skrivs de åtskilda med kommatecken, eller skrivs som delar av uppsättningen inom lockiga parenteser. Till exempel, om rötterna till ekvationen är talen −1, 2 och 4, skriv −1, 2, 4 eller (−1, 2, 4). Det är också tillåtet att skriva ekvationens rötter i form av enkla likheter. Till exempel, om ekvationen innehåller bokstaven x, och rötterna till denna ekvation är siffrorna 3 och 5, kan du skriva x=3, x=5 och sänkta x 1 =3, x 2 =5 läggs ofta till till variabeln, som om den anger ekvationens talrötter. En oändlig uppsättning rötter i en ekvation skrivs vanligtvis i formen om möjligt, notationen för mängder av naturliga tal N, heltal Z och reella tal R används också. Till exempel, om roten av en ekvation med variabel x är vilket heltal som helst, skriv , och om rötterna till en ekvation med variabel y är valfritt reellt tal från 1 till 9 inklusive, skriv .

För ekvationer med två, tre och stor mängd variabler, som regel används inte termen "roten av ekvationen" i dessa fall säger de "ekvationens lösning". Vad kallas att lösa ekvationer med flera variabler? Låt oss ge motsvarande definition.

Definition.

Lösa en ekvation med två, tre osv. variabler kallas ett par, tre osv. variablernas värden, vilket gör denna ekvation till en korrekt numerisk likhet.

Låt oss visa förklarande exempel. Betrakta en ekvation med två variabler x+y=7. Låt oss byta ut talet 1 istället för x och talet 2 istället för y, och vi har likheten 1+2=7. Uppenbarligen är det felaktigt, därför är värdeparet x=1, y=2 inte en lösning på den skrivna ekvationen. Om vi ​​tar ett värdepar x=4, y=3, kommer vi efter substitution i ekvationen att komma fram till den korrekta likheten 4+3=7, därför är detta par av variabelvärden, per definition, en lösning till ekvationen x+y=7.

Ekvationer med flera variabler, som ekvationer med en variabel, kan ha inga rötter, kan ha ett ändligt antal rötter eller kan ha ett oändligt antal rötter.

Par, trillingar, fyrdubblar osv. Variablernas värden skrivs ofta kort och listar deras värden separerade med kommatecken inom parentes. I detta fall motsvarar de skrivna siffrorna inom parentes variablerna i alfabetisk ordning. Låt oss förtydliga denna punkt genom att återgå till föregående ekvation x+y=7. Lösningen till denna ekvation x=4, y=3 kan kort skrivas som (4, 3).

Den största uppmärksamheten i skolans kurs i matematik, algebra och början av analys ägnas åt att hitta rötterna till ekvationer med en variabel. Vi kommer att diskutera reglerna för denna process i detalj i artikeln. lösa ekvationer.

Bibliografi.

• Matematik. 2 klasser Lärobok för allmänbildning institutioner med adj. per elektron bärare. Klockan 14.00 del 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etc.] - 3:e uppl. - M.: Utbildning, 2012. - 96 s.: ill. - (Rysslands skola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: lärobok för 7:e klass. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 17:e upplagan. - M.: Utbildning, 2008. - 240 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9:e klass: pedagogiskt. för allmänbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M.: Utbildning, 2009. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Att lösa ekvationer i matematik har en speciell plats. Denna process föregås av många timmars studier av teori, under vilka studenten lär sig hur man löser ekvationer, bestämmer deras typ och tar med sig färdigheten att fullborda automatisering. Men sökandet efter rötter är inte alltid vettigt, eftersom de kanske helt enkelt inte existerar. Det finns speciella tekniker för att hitta rötter. I den här artikeln kommer vi att analysera huvudfunktionerna, deras definitionsdomäner, såväl som fall där deras rötter saknas.

Vilken ekvation har inga rötter?

En ekvation har inga rötter om det inte finns några reella argument x för vilka ekvationen är identiskt sann. För en icke-specialist ser denna formulering, liksom de flesta matematiska satser och formler, väldigt vag och abstrakt ut, men detta är i teorin. I praktiken blir allt extremt enkelt. Till exempel: ekvationen 0 * x = -53 har ingen lösning, eftersom det inte finns något tal x vars produkt med noll skulle ge något annat än noll.

Nu ska vi titta på de mest grundläggande typerna av ekvationer.

1. Linjär ekvation

En ekvation kallas linjär om dess högra och vänstra sida är representerade i formen linjära funktioner: ax + b = cx + d eller i generaliserad form kx + b = 0. Där a, b, c, d är kända tal, och x är en okänd storhet. Vilken ekvation har inga rötter? Exempel på linjära ekvationer presenteras i illustrationen nedan.

I grund och botten löses linjära ekvationer enkel överföring den numeriska delen i en del och innehållet med x i den andra. Resultatet är en ekvation av formen mx = n, där m och n är tal, och x är okänd. För att hitta x, dividera bara båda sidor med m. Då är x = n/m. De flesta linjära ekvationer har bara en rot, men det finns fall då det antingen finns oändligt många rötter eller inga rötter alls. När m = 0 och n = 0 har ekvationen formen 0 * x = 0. Lösningen till en sådan ekvation blir absolut vilket tal som helst.

Men vilken ekvation har inga rötter?

För m = 0 och n = 0 har ekvationen inga rötter i mängden reella tal. O * x = -1; 0 * x = 200 - dessa ekvationer har inga rötter.

2. Andragradsekvation

En andragradsekvation är en ekvation av formen ax 2 + bx + c = 0 för a = 0. Den vanligaste lösningen är genom diskriminanten. Formeln för att hitta diskriminanten för en andragradsekvation är: D = b 2 - 4 * a * c. Därefter finns två rötter x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

För D > 0 har ekvationen två rötter, för D = 0 har den en rot. Men vilken andragradsekvation har inga rötter? Det enklaste sättet att observera antalet rötter i en andragradsekvation är att rita en graf av funktionen, som är en parabel. För a > 0 är grenarna riktade uppåt, för a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Du kan också visuellt bestämma antalet rötter utan att beräkna diskriminanten. För att göra detta måste du hitta parabelns vertex och bestämma i vilken riktning grenarna är riktade. Spetsens x-koordinat kan bestämmas med formeln: x 0 = -b / 2a. I det här fallet hittas y-koordinaten för vertexet genom att helt enkelt ersätta x 0-värdet i den ursprungliga ekvationen.

Andragradsekvationen x 2 - 8x + 72 = 0 har inga rötter, eftersom den har en negativ diskriminant D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Det betyder att parabeln inte rör x-axeln och funktionen tar aldrig värdet 0, därför har inte ekvationen riktiga rötter.

3. Trigonometriska ekvationer

Trigonometriska funktioner beaktas på den trigonometriska cirkeln, men kan också representeras i Kartesiskt system koordinater I den här artikeln kommer vi att titta på två huvudsakliga trigonometriska funktioner och deras ekvationer: sinx och cosx. Eftersom dessa funktioner bildar en trigonometrisk cirkel med radien 1, |sinx| och |cosx| kan inte vara större än 1. Så vilken sinx-ekvation har inga rötter? Betrakta grafen för sinx-funktionen som visas i bilden nedan.

Vi ser att funktionen är symmetrisk och har en repetitionsperiod på 2pi. Baserat på detta kan vi säga att det maximala värdet för denna funktion kan vara 1 och minsta -1. Till exempel kommer uttrycket cosx = 5 inte att ha rötter, eftersom dess absoluta värde är större än ett.

Detta är det enklaste exemplet på trigonometriska ekvationer. Faktum är att att lösa dem kan ta många sidor, i slutet av vilka du inser att du använde fel formel och måste börja om från början. Ibland, även om du hittar rötterna rätt, kan du glömma att ta hänsyn till begränsningarna för OD, varför en extra rot eller intervall dyker upp i svaret, och hela svaret blir ett fel. Följ därför strikt alla begränsningar, eftersom inte alla rötter passar in i uppgiftens omfattning.

4. Ekvationssystem

Ett ekvationssystem är en uppsättning ekvationer förenade med hakparenteser. De krulliga parenteserna indikerar att alla ekvationer körs tillsammans. Det vill säga, om åtminstone en av ekvationerna inte har rötter eller motsäger en annan, har hela systemet ingen lösning. Hakparenteser indikerar ordet "eller". Detta betyder att om åtminstone en av systemets ekvationer har en lösning, så har hela systemet en lösning.

Svaret i systemet c är mängden av alla rötter till de individuella ekvationerna. Och system med lockiga hängslen har bara gemensamma rötter. Ekvationssystem kan innehålla helt olika funktioner, så en sådan komplexitet tillåter oss inte att omedelbart säga vilken ekvation som inte har några rötter.

Finns i problemböcker och läroböcker olika typer ekvationer: de som har rötter och de som inte har det. Först och främst, om du inte kan hitta rötterna, tro inte att de inte finns där alls. Kanske har du gjort ett misstag någonstans, då behöver du bara dubbelkolla ditt beslut noggrant.

Vi tittade på de mest grundläggande ekvationerna och deras typer. Nu kan du se vilken ekvation som inte har några rötter. I de flesta fall är detta inte svårt att göra. Att nå framgång i att lösa ekvationer kräver bara uppmärksamhet och koncentration. Öva mer, det hjälper dig att navigera i materialet mycket bättre och snabbare.

Så, ekvationen har inga rötter om:

• V linjär ekvation mx = n värde m = 0 och n = 0;
• V andragradsekvation, om diskriminanten är mindre än noll;
• i en trigonometrisk ekvation av formen cosx = m / sinx = n, om |m| > 0, |n| > 0;
• i ett ekvationssystem med krulliga parenteser, om minst en ekvation inte har några rötter, och med hakparenteser, om alla ekvationer inte har några rötter.

Efter att vi har studerat begreppet likheter, nämligen en av deras typer - numeriska likheter, kan vi gå vidare till en annan viktig typ - ekvationer. Inom ramen för detta material kommer vi att förklara vad en ekvation och dess rot är, formulera grundläggande definitioner och ge olika exempel på ekvationer och hitta deras rötter.

Begreppet ekvation

Vanligtvis lärs begreppet ekvation ut i början av en skolalgebrakurs. Då definieras det så här:

Definition 1

Ekvation kallas en likhet med ett okänt nummer som behöver hittas.

Det är vanligt att beteckna okända med små latinska bokstäver, till exempel t, r, m, etc., men x, y, z används oftast. Med andra ord, ekvationen bestäms av formen för dess registrering, det vill säga, likhet kommer att vara en ekvation endast när den reduceras till en viss form - den måste innehålla en bokstav, värdet som måste hittas.

Låt oss ge några exempel på de enklaste ekvationerna. Dessa kan vara likheter av formen x = 5, y = 6 etc., samt de som inkluderar aritmetiska operationer, till exempel, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.

Efter att begreppet parentes har studerats dyker begreppet ekvationer med parenteser upp. Dessa inkluderar 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, etc. Bokstaven som behöver hittas kan förekomma mer än en gång, men flera gånger, som t.ex. , till exempel i ekvationen x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10. Okända kan också lokaliseras inte bara till vänster utan också till höger eller i båda delarna samtidigt, till exempel x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 eller 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Vidare, efter att eleverna blivit bekanta med begreppen heltal, reella, rationaler, naturliga tal, såväl som logaritmer, rötter och potenser, dyker det upp nya ekvationer som inkluderar alla dessa objekt. Vi har ägnat en separat artikel åt exempel på sådana uttryck.

I 7:ans läroplan dyker begreppet variabler upp för första gången. Det är bokstäver som kan få olika betydelser (för mer information, se artikeln om numeriska, bokstavs- och variabla uttryck). Baserat på detta koncept kan vi omdefiniera ekvationen:

Definition 2

Ekvationenär en likhet som involverar en variabel vars värde måste beräknas.

Det vill säga att uttrycket x + 3 = 6 x + 7 till exempel är en ekvation med variabeln x, och 3 y − 1 + y = 0 är en ekvation med variabeln y.

En ekvation kan ha mer än en variabel, men två eller flera. De kallas respektive ekvationer med två, tre variabler etc. Låt oss skriva ner definitionen:

Definition 3

Ekvationer med två (tre, fyra eller fler) variabler är ekvationer som inkluderar ett motsvarande antal okända.

Till exempel är en likhet av formen 3, 7 · x + 0, 6 = 1 en ekvation med en variabel x, och x − z = 5 är en ekvation med två variabler x och z. Ett exempel på en ekvation med tre variabler skulle vara x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Roten till ekvationen

När vi talar om en ekvation uppstår omedelbart behovet av att definiera begreppet dess rot. Låt oss försöka förklara vad det betyder.

Exempel 1

Vi får en viss ekvation som innehåller en variabel. Om vi ​​ersätter en siffra med den okända bokstaven blir ekvationen en numerisk likhet - sant eller falskt. Så om vi i ekvationen a + 1 = 5 ersätter bokstaven med siffran 2, blir likheten falsk, och om 4 blir den korrekta likheten 4 + 1 = 5.

Vi är mer intresserade av just de värden med vilka variabeln kommer att förvandlas till en sann jämlikhet. De kallas rötter eller lösningar. Låt oss skriva ner definitionen.

Definition 4

Roten till ekvationen De kallar värdet på en variabel som förvandlar en given ekvation till en sann likhet.

Roten kan också kallas en lösning, eller vice versa - båda dessa begrepp betyder samma sak.

Exempel 2

Låt oss ta ett exempel för att förtydliga denna definition. Ovan gav vi ekvationen a + 1 = 5. Enligt definitionen kommer roten i detta fall att vara 4, för när den ersätts istället för en bokstav ger den korrekt numerisk likhet, och två kommer inte att vara en lösning, eftersom den motsvarar den felaktiga likheten 2 + 1 = 5.

Hur många rötter kan en ekvation ha? Har varje ekvation en rot? Låt oss svara på dessa frågor.

Ekvationer som inte har en enda rot finns också. Ett exempel skulle vara 0 x = 5. Vi kan ersätta ett oändligt antal olika tal i det, men inget av dem kommer att göra det till en sann likhet, eftersom multiplicering med 0 alltid ger 0.

Det finns också ekvationer som har flera rötter. De kan ha antingen ett ändligt eller ett oändligt antal rötter.

Exempel 3

Så i ekvationen x − 2 = 4 finns det bara en rot - sex, i x 2 = 9 två rötter - tre och minus tre, i x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tre rötter - noll, ett och två, det finns oändligt många rötter i ekvationen x=x.

Låt oss nu förklara hur man korrekt skriver rötterna till ekvationen. Om de inte finns där, så skriver vi: "ekvationen har inga rötter." I det här fallet kan du också ange tecknet för den tomma uppsättningen ∅. Om det finns rötter, skriver vi dem åtskilda med kommatecken eller indikerar dem som delar av en uppsättning och omsluter dem i lockiga hängslen. Så om någon ekvation har tre rötter - 2, 1 och 5, så skriver vi - 2, 1, 5 eller (- 2, 1, 5).

Det är tillåtet att skriva rötter i form av enkla likheter. Så om det okända i ekvationen betecknas med bokstaven y, och rötterna är 2 och 7, så skriver vi y = 2 och y = 7. Ibland läggs prenumerationer till bokstäver, till exempel x 1 = 3, x 2 = 5. På så sätt pekar vi på rötternas nummer. Om ekvationen har ett oändligt antal lösningar, skriver vi svaret som ett numeriskt intervall eller använder allmänt accepterad notation: uppsättningen naturliga tal betecknas N, heltal - Z, reella tal - R. Låt oss säga att om vi behöver skriva att lösningen till ekvationen kommer att vara vilket heltal som helst, så skriver vi att x ∈ Z, och om något reellt tal från ett till nio, då y ∈ 1, 9.

När en ekvation har två, tre rötter eller fler, då talar vi i regel inte om rötter, utan om lösningar till ekvationen. Låt oss formulera definitionen av en lösning till en ekvation med flera variabler.

Definition 5

Lösningen på en ekvation med två, tre eller fler variabler är två, tre eller fler värden av variablerna som gör den givna ekvationen till en korrekt numerisk likhet.

Låt oss förklara definitionen med exempel.

Exempel 4

Låt oss säga att vi har uttrycket x + y = 7, som är en ekvation med två variabler. Låt oss byta ut en istället för den första och två istället för den andra. Vi kommer att få en felaktig likhet, vilket innebär att detta värdepar inte kommer att vara en lösning på denna ekvation. Om vi ​​tar paret 3 och 4, så blir likheten sann, vilket betyder att vi har hittat en lösning.

Sådana ekvationer kan också ha inga rötter eller ett oändligt antal av dem. Om vi ​​behöver skriva ner två, tre, fyra eller fler värden, så skriver vi dem separerade med kommatecken inom parentes. Det vill säga, i exemplet ovan kommer svaret att se ut som (3, 4).

I praktiken har man oftast att göra med ekvationer som innehåller en variabel. Vi kommer att överväga algoritmen för att lösa dem i detalj i artikeln som ägnas åt att lösa ekvationer.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Liknande artiklar