UDK577.4:517.9

MODIFIERING AV DEN HETEROGENA LESLIE-MODELLEN FÖR NEGATIV FRUKTILITETSPRIS

BALAKIREVA A.G.

att vid varje fast tidpunkt (till exempel t0) kan populationen karakteriseras med hjälp av en kolumnvektor

En heterogen Leslie-modell med negativa fertilitetskoefficienter analyseras. Åldersdynamiken hos lärarkåren inom ett visst universitet studeras och förutsägs utifrån denna modell.

1. Introduktion

där xi(tj) är talet i-e åldern grupper vid tidpunkten tj, i = 1,...,n.

Vektor X(ti), som kännetecknar populationen vid nästa tidpunkt, till exempel under ett år, är kopplad till vektor X(to) genom övergångsmatrisen L:

Att prognostisera och beräkna befolkningsstorleken med hänsyn till dess åldersfördelning är en brådskande och svår uppgift. En av dess modifieringar är att förutsäga åldersstrukturen för en homogen yrkesgrupp inom ett specifikt företag eller bransch som helhet. Låt oss överväga ett tillvägagångssätt för att lösa denna klass av problem med hjälp av en strukturell modell för åldersfördelning. Formalismen i detta tillvägagångssätt är baserad på Leslie-modellen, välkänd inom befolkningsdynamik.

Syftet med detta arbete är att visa möjligheten att använda den heterogena Leslie-modellen vid negativa födelsetal för att förutsäga utvecklingen av befolkningsdynamiken.

2. Konstruktion av en modell för befolkningsdynamik med hänsyn till ålderssammansättning (Leslie-modellen)

För att bygga Leslie-modellen är det nödvändigt att dela in befolkningen i ett ändligt antal åldersklasser (till exempel n åldersklasser) med en enda varaktighet, och antalet av alla klasser regleras i diskret tid med ett enhetligt steg (till exempel , 1 år).

Under ovanstående antaganden och villkoret att matresurserna inte är begränsade kan vi dra slutsatsen att 40

Genom att känna till strukturen för matrisen L och populationens initiala tillstånd (kolumnvektor X(t0)), kan vi förutsäga populationens tillstånd vid en given tidpunkt:

X(t2) = L X(ti) = LL X(t0) = L* 2 X(t0),

X(tn) = LX(tn-i) =... = LnX(to). (1)

Leslie-matrisen L har följande form:

^ai a2 . .. a n-1 a > u-n

0 Р 2 . .. 0 0 , (2)

v 0 0 . .. Р n-1 0 V

där a i är åldersspecifika födelsetal, som kännetecknar antalet individer födda från motsvarande grupper; Pi är överlevnadstal lika med sannolikheten för övergång från åldersgrupp i till grupp i +1 vid nästa tidpunkt (vid-

än ^Pi kan vara större än 1). i=1

RI, 2011, nr 1

Matrisen L definierar en linjär operator i n-dimensionell euklidisk rymd, som vi också kommer att kalla Leslie-operatorn. Eftersom kvantiteterna x;(t) har betydelsen av tal, är de icke-negativa, och vi kommer att vara intresserade av Leslie-operatorns verkan i den positiva oktanten av Pn n -dimensionellt rum. Eftersom alla element i matrisen är icke-negativa (i det här fallet kallas matrisen i sig för icke-negativ), är det tydligt att varje positiv oktantvektor inte tas bortom sina gränser av Leslie-operatorn, dvs. banan X(t j) (j = 1,2,...) förblir i Pn. Alla ytterligare egenskaper hos Leslie-modellen följer av icke-negativiteten hos matrisen L och dess speciella struktur.

Det asymptotiska beteendet hos lösningar till ekvation (1) är signifikant relaterat till de spektrala egenskaperna hos matrisen L, vars huvudsakliga fastställs av den välkända Perron-Frobenius-satsen.

Definition. En heterogen Leslie-modell är en modell av formen

X(tj+i) = L(j)X(to), L(j) = Li L2 ... Lj, j = 1,2,...,

där Lj är Leslie-matrisen för det j:te steget.

Dynamiken i den inhomogena modellen har studerats mycket dåligt (även om den till stor del liknar dynamiken i modellen (1), har den också vissa skillnader). Samtidigt är denna modell utan tvekan mer realistisk.

3. Spektralegenskaper hos Leslie-operatorn

Efter arbetet kommer vi att överväga konceptet med imprimitivitetsindexet för Leslie-matrisen.

En oupplöslig matris L med icke-negativa element kallas primitiv om den har exakt ett karakteristiskt tal med en maximal modul. Om matrisen har h > 1 karakteristiska siffror med en maximal modul, då kallas den imprimitiv. Talet h kallas imprimitivitetsindex för matrisen L. Det kan visas att imprimitivitetsindexet för Leslie-matrisen är lika med det största gemensam divisor antal av de åldersgrupper där födelsetalet skiljer sig från noll. I synnerhet för Leslie-matrisens primitivitet

det räcker med att en 1 > 0, eller att födelsetalet sker i två på varandra följande grupper, dvs. det fanns ett j så att a j Ф 0 och

Med tanke på ovanstående kan vi notera några egenskaper hos Leslie-matrisen.

1. Det karakteristiska polynomet för matrisen L är lika med

An(P) = l1^-L = pn -“gr.n 1

Lätt sprt,

vilket lätt bevisas genom matematisk induktion.

2. Den karakteristiska ekvationen A n(p) = 0 har en unik positiv rot р1 så att

där p är något annat egenvärde för matrisen L. Siffran p1 motsvarar positivt egenvektor X1 av matris L.

Påstående 2 av egenskapen följer direkt av satsen om icke-negativa matriser och Descartes sats.

3. Likhetstecknet i (3) förekommer i undantagsfall när endast en av fertilitetstalen skiljer sig från noll:

och k > 0, och j = 0 för j = 1,2,...,k - 1,k + 1,...,n.

4. Värdet p1 bestämmer befolkningens asymptotiska beteende. Populationsstorleken ökar oändligt när I1 >1 och tenderar asymptotiskt till noll när I1< 1. При И1 =1 имеет место соотношение

X1 = [-I-----,-I------,...,-^,1]"

Р1Р2 -Pn-1 P2---Pn-1 Pn-1

Den positiva egenvektorn för matrisen L, bestämd upp till en faktor.

En indikator på egenskap 4 för en oupplöslig Leslie-matris av formen (4) är kvantiteten

R = а1 + £а iP1...Pi-1, i=2

vilket kan tolkas som populationens reproduktionspotential (generaliserad parameter för reproduktionshastigheten), d.v.s. om R > 1, då p1 > 1 (populationen växer exponentiellt), om R< 1, то И1 < 1 (экспоненциально убывает), если R = 1, то И1 = 1 (стремится к предельному распределению).

4. Modifiering av Leslie-modellen för fallet med negativa fertilitetstal

Verken övervägde endast Leslie-modellen med icke-negativa koefficienter. Skälet för detta val, förutom de uppenbara matematiska fördelarna, var att både överlevnadssannolikheter och fertilitetstal inte kan vara negativa i sig. Men redan i de tidigaste arbetena om noterades relevansen av att utveckla modeller med generellt sett icke-positiva koefficienter för den första raden i Leslie-matrisen. I synnerhet modeller för reproduktion av biologiska populationer med "anti-reproduktivt" beteende hos icke-reproduktiva individer har negativa koefficienter.

RI, 2011, nr 1

vilka åldersgrupper (destruktion av ägg och unga individer etc.). Konkurrens om resurser mellan nyfödda och företrädare för andra åldersgrupper kan också leda till detta. I detta avseende är den relevanta frågan om ergodicitetsegenskapen, vilket är sant för Leslie-modeller med icke-negativa koefficienter, bevaras i en bredare klass av modeller för reproduktion av demografisk potential.

Följande teorem besvarar denna fråga.

Teorem (Om cirkeln av instabilitet av den demografiska potentiella reproduktionsmodellen).

Låt åldersstrukturen för demografisk potential och antalet människor som lever ges. Sedan finns det en cirkel l = (p: |p|< рmin }, такой, что режим воспроизводства с указанными выше показателями обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу.

Vi kommer att kalla denna cirkel cirkeln av instabilitet och dess radie radien av instabilitet.

Anmärkning 1. En viktig slutsats följer av satsen - oavsett strukturen på den demografiska potentialen, vid vissa värden av den verkliga reproduktionshastigheten kommer ergodicitetsegenskapen att observeras. I synnerhet modeller med negativa element i den första raden av reproduktionsmatrisen och till och med negativa värden på demografiska potentialer kan ha ergodicitetsegenskapen.

Anmärkning 2. Det följer av satsen att om en modell för ett visst värde av den sanna reproduktionskoefficienten har egenskapen ergodicitet, så har den även denna egenskap för alla reproduktionskoefficienter som är stora i storlek.

5. Studie av åldersdynamiken hos universitetets lärarkår. Numeriskt experiment

Låt oss överväga prognosen för dynamiken i antalet och åldersfördelningen av lärarpersonalen enligt data från ett av universiteten i Kharkov. Den standardiserade, så kallade ”komprimerade” åldersstrukturen för lärarkåren bildas av statistik i form av 5 ålderskategorier. Tabellen visar antalet N av varje ålderskategori efter år och hur stor andel som denna ålderskategori utgör i förhållande till det totala antalet.

Låt oss komponera övergångsmatriser L j så att

X(tj+i) = LjX(tj) (Lj (5 x 5)). (4)

För att göra detta är det nödvändigt att bestämma födelsetalen och överlevnadstalen i en matris av formen (2). Överlevnadsgrad kan erhållas genom

direkt lösa ekvation (4) med hjälp av data från tabellen.

Lärarkårens struktur

1 <40 322 38 242 38 236 36 273 40

2 40;49 117 14 88 14 95 15 90 14

3 50;59 234 27 163 26 160 25 156 24

4 60:65 88 10 68 11 79 12 69 11

5 65> 93 11 68 11 79 12 69 11

Totalt 854 629 649 657

När det gäller fertilitetstalen måste ytterligare antaganden göras. Låt antalet lärare öka med tio personer varje år. Eftersom fertilitetstalen är en; tolkad som den genomsnittliga fertiliteten för individer i den i:te åldersgruppen, kan det antas att a1, a 5 = 0 och a 2 = 7 och 3 = 3. Baserat på de initiala uppgifterna finner vi att en 4 är negativ. Detta villkor tolkas som att vissa lärare i lärarkåren lämnat universitetet. Av ovanstående följer att matriserna L j har formen:

0 0 i 3 0 0 . (5)

Vi kommer bara att överväga reproduktiva klasser. För att göra detta måste du ändra formen på den reducerade matrisen (låt oss bli av med den sista nollkolumnen). Och vi beräknar postreproduktiva klasser som visas i punkt 2.

Med hänsyn till ovanstående och initiala data får vi alltså två matriser:

Matris Li av formen (5) med koefficienter а4 = 15, Р1 = 0,27, р2 = 1,39, р3 = 0,29;

Matris L2 av typ (5) med koefficienter а 4 = 11, Р1 = 0,381, р2 = 1,64, р3 = 0,43.

Matriserna L1 och L2 motsvarar övergångarna 2005-2006 respektive 2007-2008. För den initiala åldersfördelningen tar vi vektorn X(t0) = T.

Dessa matriser har reproduktionskoefficienter p1, som inte faller inom cirkeln av instabilisering. Det följer att en population med en given reproduktionsregim har egenskapen ergodicitet.

Genom att tillämpa den heterogena Leslie-modellen med en given initial fördelning finner vi att villkoret är uppfyllt, med start från n=30 för det totala antalet

RI, 2011, nr 1

stabilisering av följande form: X(tj+1) = ^1X(tj), j = 20,..., där q = 1,64 är det största egenvärdet för matrisen L 2.

Efter stabilisering är andelen ålderskategorier som följer: första kategori - 39%, andra - 14%, tredje - 22%, fjärde - 12%, femte -13%.

Eftersom det största egenvärdet är större än ett är vår modell öppen. I detta avseende kommer vi inte att överväga det totala antalet lärare, utan förhållandet mellan detta antal och graden av den största

egenvärde för matris L2:

L(j)X(t0)/cc, där j = 1,2,....

Figuren visar dynamiken i lärarkårens åldersstruktur fram till 2015.

Procent

2004 2005 2007 2008 2013 2015

Förändringar i andelar av ålderskategorier över tid

I denna figur valdes en skala från 10 till 40 eftersom andelen ålderskategorier ligger inom detta intervall.

Prognosmodelldata upprätthåller generellt sett en generell trend mot en ökning av andelen anställda över 50 år, vilket tyder på att trenden mot ”åldrande” av universitetets ålderssammansättning fortsätter. Det fastställdes att det var nödvändigt att öka de två första ålderskategorierna med minst 23 % med en motsvarande minskning av de återstående ålderskategorierna för att vända denna trend.

Den vetenskapliga nyheten ligger i det faktum att den heterogena Leslie-modellen för första gången övervägdes i fallet med negativa fertilitetstal. Detta gör att modellen kan ta hänsyn inte bara till födelsetalen, utan också dödstalen för individer under den pregenerativa perioden, vilket gör modellen mer realistisk. Förekomsten av negativa koefficienter förändrar i grunden metodiken för att studera dynamiken i Leslie-modellen genom att överväga motsvarande region för lokalisering av huvudegenvärdet (instabilitetscirkeln).

Praktisk betydelse: den här modellen låter dig förutsäga förändringar i befolkningsstorlek och dess åldersstruktur, med hänsyn till både fertilitet och dödlighet i varje åldersgrupp. I synnerhet, med hjälp av riktiga statistiska data som täcker flera universitet i staden Kharkov, gjordes en prognos av dynamiken i åldersrelaterade förändringar i lärarkåren. Prognosdata korrelerar ganska bra med verkliga data.

Litteratur: 1. Leslie P.H. Om användningen av matriser i viss populationsmatematik // Biometrica. 1945.V.33, N3. P.183212. 2. Zuber I.E., Kolker Yu.I., Poluectov R.A. Kontroll av befolkningens storlek och ålderssammansättning // Problem med cybernetik. Nummer 25. s. 129-138. 3. Riznichenko G.Yu., Rubin A.B. Matematiska modeller biologiska produktionsprocesser. M.: Förlag. Moscow State University, 1993. 301 sid. 4. Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. Stabilitet i biologiska samhällen. M.: Nauka, 1978.352 sid. 5. Gantmakher F. P. Matristeori. M.: Nauka, 1967.548 sid. 6. Logofet D.O, Belova I.N. Icke-negativa matriser som ett verktyg för att modellera populationsdynamik: klassiska modeller och moderna generaliseringar // Fundamental and Applied Mathematics. 2007.T. 13. Vol. 4. s. 145-164. 7. Kurosh A.G. Kurs i högre algebra. M.: Nauka, 1965. 433 sid.

Efter en hård dag på jobbet drömmer alla om att snabbt koppla av på sin favoritsäng och bli distraherad av spännande videor. Alla besökare på vår sida kommer att kunna hitta en spännande video som passar deras smak och intresse. Även den mest sofistikerade tittaren kommer att hitta något värdigt för sig själv. Vår webbplats låter varje besökare titta på videor i det offentliga området, utan någon registrering, och viktigast av allt, allt är helt gratis.

Vi erbjuder dig ett brett utbud av underhållande, pedagogiska, barn-, nyheter-, musik- och humoristiska videor i utmärkt kvalitet, vilket är goda nyheter.

Pedagogiska videor kommer inte att lämna någon oberörd. De innehåller bekräftade fakta som ger detaljerade förklaringar om ett specifikt ämne. Sådana videor lockar inte bara deras informationsinnehåll, utan också deras pittoreska och bildkvalitet. Inte bara vuxna, utan även barn tittar på videor om djur, natur och resor med entusiasm. Alla är trots allt väldigt intresserade av att följa djurvärlden i det vilda och därigenom utveckla och lära sig något nytt för sig själva.

Humoristiska videor är perfekta för kvällsunderhållning. Mer än någonsin efter en hård dag på jobbet hjälper humor dig att ta dig bort från livets problem eller skratta gott i vänners sällskap. Här kan du hitta olika sketcher, stand-ups, upptåg, videoskämt och olika komedishower.

Musik är mycket viktigt i varje människas liv. Det motiverar var och en av oss, lyfter vårt humör och får oss att gå framåt. För alla besökare har vi ett utmärkt urval av musikvideor, inklusive ett stort antal olika genrer och stilar, utländska och inhemska artister. Även om du gillar något är musikvideor bra att lyssna på i bakgrunden.

Videonyheter är det mest spektakulära formatet av moderna nyheter. På vår hemsida kan du hitta en mängd olika nyhetsfilmer om alla ämnen som intresserar dig. Nyheter från officiella medier, sportnyheter, vetenskap, teknik, mode, politiska nyheter, skandalösa händelser från showbranschens värld och mycket mer. Du kommer alltid att vara medveten om alla de senaste intressanta och viktigaste nyheterna och händelserna i världen.

Små barn är väldigt aktiva, men ibland behöver de vara intresserade av något för att göra sitt jobb eller bara koppla av med en kopp kaffe. Tecknade filmer kommer att vara till stor hjälp för föräldrar i denna fråga. När allt kommer omkring är det tecknade serier som kommer att hjälpa till att locka ditt barn i flera timmar. Vi har ett brett utbud av gamla och nya tecknade serier, korta och fullängdar. För alla åldrar och alla intressen. Ditt barn kommer att bli förtjust, och du kommer att bli distraherad.

Vi är mycket glada över att vår sida kommer att kunna hjälpa dig på olika sätt. livssituationer. Vi försökte välja lämpligt innehåll för våra tittare. Vi önskar dig trevlig visning.

Twiggy- riktiga namnet Lesley Hornby. 60-talet – ungdomsrevolternas era – när många unga inte ville anpassa sig, lyda eller överge sig själva, ville de leva i njutning. De gjorde uppror mot sina föräldrars, kyrkans och statens auktoritet och började söka efter nya värderingar. Sådana konflikter mellan generationer har alltid förekommit. Det som var ovanligt var att unga inte bara protesterade, utan också skapade nya värderingar, en ny kultur.

Naturligtvis, i den här eran måste en ny uppstå. På den tiden förblev typer och Brigitte Bardot populära. Men förkroppsligandet av det nya idealet var modellen Twiggy - en sextonårig engelsk kvinna som bara vägde 45 kilo och höjd 169 cm. Hon föddes i Londons förorter, vid 16 års ålder träffade Twiggy frisören Leonardo och blev den. ansiktet på sin skönhetssalong. Twiggys första fotografering som korthårig modell gjordes av Barry Lategan. Det var han som kom på en minnesvärd pseudonym för Leslie Hornby - Twiggy.

En av journalisterna från en London-tidning såg ett fotografi av Twiggy i ett salongsfönster och publicerade hennes porträtt i tidningen under titeln "Face of 1966." Samma år blev Twiggy den mest populära modellen i världen.

Efter att ha jobbat som modell i bara tre år blev hon så rik att hon vid 19 års ålder kunde gå i pension. Twiggy – översatt som en tunn kvist – var den första modellen som blev en miljonidol. När hon gick ut offentligt samlades folkmassor runt henne.

Twiggy modell Under många år i rad förblev hon den obestridda drottningen av modemodeller. Hon var den första fotomodellen som startade processen som gjorde modeller till en integrerad del av popkulturen tillsammans med musiker och skådespelare.

Twiggy återspeglade bäst bilden, andades ungdom och renhet.

Stilikon: Leslie Winer

TEXT: Alla Anatsko

Modellen, poeten och sångaren, Leslie Winer blev desillusionerad av mode för att bli bedömd av utseende. Men mode fascineras återigen av Winer. Och det är varför.

Den första androgyna modellen i världen, en vän till Basquiat och Burroughs, ansiktet till Valentino och Miss Dior, en bråkare av anmärkningsvärd intelligens, en poet och musiker, utan vilken Massive Attack och Portishead inte skulle ha existerat - allt detta är Leslie Winer , en intellektuell och en outsider av egen fri vilja, som kanske uppfann trip-hop. Varför, efter flera decennier, glömmer inte modebranschen Leslie?

Första androgyna modellen

New York, 1979. Frasen OK, Leslie, time to work your magic framförd av Vincent Gallo, med vilken modellen och kultmusikern Leslie Winer kommer att spela in spåret I Sat Back, är mer än trettio år gammal. Young Winer flyttar till världens största metropol från Massachusetts för att skriva in sig på School of Fine Arts för att ta en kurs från konceptkonstpionjären Joseph Kosuth. För att betala för bostäder och studiematerial hjälper Leslie sin granne att skriva porrromaner och blir senare William Burroughs assistent och skyddsling. Mycket snabbt sluter hon ett kontrakt med Elite Model Management - hennes första komposition innehåller fem fotografier. De är en helt konventionell tjej: än så länge finns det ingen antydan om varumärket taggiga utseende och androgyni.

Redan 1980 klippte Leslie av sig håret - bilder tagna av Paolo Roversi och Peter Lindbergh dök upp i hennes portfölj. Så börjar karriären för "världens första androgyna modell", som Jean-Paul Gaultier kallade henne. Leslie beter sig illa och har roligt på fester, har en kort affär med Jean-Michel Basquiat, men fungerar bra – hon är fotograferad av Helmut Newton och Irving Penn, hon sätts på omslaget till italienska och franska Vogue, den stora The Face och Tidningen Mademoiselle, populär under dessa år. Hon får en speciell, vältränad vinkel som hon upptäcks i, en blick åt sidan och en rovlysten manlig kisning, som senare blir nästan en kliché populärkultur- Hilary Swank kommer att upprepa dem i filmen "Boys Don't Cry" och vulgarisera Ruby Rose.

Vogue USA, oktober 1981

Vogue USA, november 1982

Vogue USA, juli 1982

Nu kallas Leslie för en supermodell av 80-talet, även om Winer själv giftigt skämtar: ”Vad är det här för skit? Då fanns inte ens ett sådant koncept. Jag gjorde många saker, och jag var alkoholist, jag använde tamponger - mycket längre än jag jobbade som modell, och med mycket mer entusiasm."

("points":[("id":1,"properties":("x":0,"y":0,"z":0,"opacitet":1,"scaleX":1,"scaleY ":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":3,"properties":("x":778,"y":0,"z ":0,"opacity":1,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":4," properties":("x":778,"y":0,"z":0,"opacitet":0,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY": 0,"rotationZ":0))],"steg":[("id":2,"properties":("duration":0.8,"delay":0,"bezier":,"ease":" Power2.easeInOut","automatic_duration":true)),("id":5,"properties":("duration":0.1,"delay":0,"bezier":,"ease":"Power2.easeInOut ","automatic_duration":true))],"transform_origin":("x":0.5,"y":0.5))

Modebesvikelse och Witch-albumet

WITCH skivomslag

Vogue Italia, september 1989

Leslie filmade aktivt och reste runt i världen, men hon skandaliserade också framgångsrikt på klubbar - tillgången till de mest fashionabla anläggningarna från Paris till Tokyo var för alltid stängd för henne. I mitten av 1980-talet befann hon sig i London, där hon delade boende med representanter för den lokala tunnelbanan, och började umgås på Leigh Bowery-klubben Taboo. Vid något tillfälle blev Winer van vid sin nya glansbild – en mansskjorta, rufsigt hår, en cigarett i tänderna och ett långfinger vid linserna; men förståelsen av att hon slösade bort sitt liv och inte använde sin litterära talang till fullo tillät henne inte att komma överens med en karriär som modell eller musa. För att stanna i London gifter sig Leslie snabbt med den tidigare basisten i Adam and the Ants – för dokumentens skull; Bröllopsvittnen är hennes grannar och Bowery-vänner: regissören John Maybury och artisten Trojan, som dör av en överdos några månader efter bröllopet. Detta dödsfall gör Winer indirekt till sångare: Max, hennes mans nya band, bestämmer sig för att spela in en hyllning till artisten, och Leslie, som tidigare bara skrivit texter, försöker sig som sångare. Hennes debutlåt hette 337.5537's Little Ghost, där uppringningskoden faktiskt visade sig vara en tagg som uppfanns av Basquiat, och representerade Winers namn utskrivet i siffror - LESSLEE.

Senare skulle Winer och hennes man komma på ett spår för Sinead O'Connor, men Leslie själv skulle förbli missnöjd – hon gillade inte sättet som Max-gruppen spelade in musik på, hon kände ingen energi hos sina kollegor. Lyckligtvis dök det upp en förebild i hennes liv: den legendariske producenten Trevor Horn – hans arbetsstil tvingade Leslie att få kraft och släppa det första spåret Kind of Easy, piratkopior som plötsligt blev populärt i smala kretsar. Nästa steg var fullängdsalbumet Witch, som Leslie spelade in under den grafiska pseudonymen, en copyright-symbol, tre år innan allmänheten ställdes inför fenomenet som kallas "sångaren tidigare känd som Prince." Men ironiskt nog släpptes inspelningen bara tre år senare - 1993.

Vogue Storbritannien, maj 1990

Leslie Winer och illustratören Tony Viramontes

Albumet blev just förkroppsligandet av Leslie Winers speciella magi: hon uttalar på avstånd, som helt utan eftertanke, sina texter, där akuta politiska och sociala problem låter så vanliga och läskiga att det är omöjligt att slita sig ifrån sig – och allt detta under djup bas. Vid den tiden visade sig Winer vara nästan den mest politiserade artisten, men hon förblev i tunnelbanan - hon strävade inte särskilt efter listorna, men utan att vilja kom hon med trip-hop. Winers arbete och tekniker dyker upp alltmer i spår av Massive Attack, Tricky och Portishead, även om vissa kritiker anser att MNE magazines åsikt att Winer är "farmor för trip-hop" är något kontroversiell: när albumet släpptes, samma Massive Attacken var redan aktiv, och den tjocka basen blev basen för nästan vartannat musikexperiment i början av 1990-talet. Å andra sidan, när det berömda Bristol-soundet bara tog form, var det något vanligt i luften, inte bara sättet att framföra, utan också stämningen och, viktigast av allt, de karakteristiska dystopiska texterna - och Leslie fångade det före någon annan .

Låta x i(k) , var är antalet individer i befolkningen i iåldersgruppen vid diskreta tidpunkter k. Processerna för reproduktion, död och övergång av individer från en åldersgrupp till en annan kan formaliseras enligt följande (Rosenberg, 1984). Först, låt oss fastställa hur tillståndet för befolkningen vid tidpunkten k+ 1 beror på tillståndet vid tidpunkten k. Numret på den första gruppen ( k= 1) representerar antalet nyfödda ättlingar till alla andra grupper under ett enda tidsintervall; Man tror att individer i en viss åldersgrupp producerar avkomma i direkt proportion till antalet individer i denna grupp:

Var f i- Födelseantal iåldersgruppen. Om vi ​​betecknar med d j<1 коэффициент выживаемости при переходе от возрастной группы j till gruppen j+ 1, då kan vi skriva n– 1 typförhållande:

Sedan, genom att kombinera och , kan vi skriva systemet n differensekvationer som representerar en diskret modell av befolkningens ålderssammansättning. I matrisform har vi:

x(k + 1) = Lx(k),

Var x(k) = {x i(k)) är vektorn för antalet individuella åldersgrupper, och

– matris över fertilitet och överlevnadsgrad

Om vi ​​beskriver det mer i detalj får vi:

Kolumnvektorn längst till vänster speglar antalet individer i olika åldersgrupper vid en tidpunkt k+1, och kolumnvektorn längst till höger är antalet individer i olika åldersgrupper åt gången k. Matrisen av fertilitet och överlevnad är en matris för övergång från ett tillstånd till ett annat.

För att beräkna befolkningens ålderssammansättning när som helst använder vi enkla samband:

x(k + 1) = Lx(k)

x(k + 2) = Lx(k+1) =LLx(k) = L 2 x(k)

x(k+m) = L m x(k)

Denna modell är känd som Leslies modell (Leslie, 1945).

Kvadratisk matris Lär icke-negativ (alla dess element är icke-negativa). För att Leslie-matrisen ska vara oupplöslig (dvs. den kunde inte reduceras till formen genom någon permutation av rader och motsvarande kolumner):

Var A Och Bär kvadratiska submatriser), är det nödvändigt och tillräckligt att . Biologiskt innebär detta tillstånd att som n Det är inte den högsta möjliga, utan den högsta reproduktiva åldern för individer.

Systemets karakteristiska ekvation har följande form:

Var E– en matris med ettor på huvuddiagonalen, och alla dess andra termer är lika med noll.

Eftersom Leslie-matrisen är icke-negativ och oupplöslig, har den karakteristiska ekvationen, i enlighet med Perron-Frobenius-satsen, ett reellt positivt karakteristiskt tal (maximum bland alla andra karakteristiska tal), vilket är den enkla roten till detta ekvation. Dessutom, eftersom , har ekvationen inga nollrötter. Av dessa förhållanden följer att den asymptotiska lösningen av systemet för tillräckligt stor k kommer att bestämmas av egenvärdet λ 1 (maximum av alla) och motsvarande egenvektor b 1 Leslie-matris:

Var Med 1 – någon konstant beroende på koordinaterna för den initiala fördelningen av vektorn x(0).

Om λ 1 >1, så växer befolkningen ( x(k) ökar med tillväxten k). Om λ 1<1, то популяция гибнет. Наконец, если λ 1 =1, то общая численность популяции асимптотически стремиться к постоянной величине. P(1)<0 эквивалентно выражению λ 1 >1, dvs. tillstånd för befolkningstillväxt (se formel 5), liknande P(1)>0 motsvarar döden, och P(1) = 0 – stationär populationsstorlek. Från matrisens form utan att bestämma egenvärdet λ 1 kan man alltså dra kvalitativa slutsatser om den simulerade populationens natur över tid.

Nackdelen med Leslie-modellen liknar nackdelen med Malthus-modellen - det är obegränsad befolkningstillväxt med λ 1 >1, vilket endast motsvarar de initiala tillväxtfaserna för vissa populationer (Rosenberg, 1984).

Leslies modell användes för att beskriva åldersstrukturen för Schells fårsampopulation ( Helictotrichon schellinum). Detta är en lös busk liten torv gräs av de norra äng stäpperna. EN. Cheburaeva (1977) studerade fördelningen av antalet individer av denna spannmål efter åldersgrupper i Poperechenskaya-steppen i Penza-regionen på en vattendelare på en total yta av 50 m2 under olika år (1970-1974). Varje år genomfördes räkningar av fårindivider på 200 tomter på 0,5×0,5 m. En så stor upprepning av observationer gör att vi kan betrakta de erhållna uppskattningarna av antalet individer i varje åldersgrupp som ganska stabila. Forskaren identifierade nio åldersgrupper:

· groddar Och skott

· pregenerativa individer ( juvenil, omogen Och ung vegetativ)

· generativa individer ( ung, mogna Och gammal)

· postgenerativa individer ( subsenil Och senil)

För att ta hänsyn till väderförhållandenas inflytande på dynamiken i Shell-fårens befolkning (1972 var torkans år), är det nödvändigt att gå från absoluta tal till relativa. Med lika intervall för varje åldersgrupp måste följande förhållande vara uppfyllt: x i + 1 (k + 1) < x jag( k), dvs. vid en senare tidpunkt bör det inte finnas fler individer i den äldre åldersgruppen än vad det fanns vid den aktuella tidpunkten i den yngre gruppen. I detta avseende har de första sju åldersklasserna i A.N. Cheburaeva förenades. De initiala data för att konstruera modellen ges i tabell. 1.

bord 1

Absoluta och relativa siffror för skalfåren för olika åldersgrupper (enligt A.N. Cheburaeva, 1977)

Trots modifieringen är uppgifterna för 1972 fortfarande annorlunda, så Leslies modell bör inte förväntas exakt förutsäga överflöd. För att få en mer exakt prognos måste Leslie-matriskoefficienterna göras beroende av väderförhållandena.

Att konstruera matrisen L Vi använder några idéer om de möjliga värdena för dess koefficienter. Alltså födelsetal f i under övergången från den första gruppen, som omfattar alla generativa tillstånd, till äldre växter bör de minska. Överlevnadsgrad d i tas ungefär lika (hälften av individerna går från den första gruppen till den andra, något mindre från den andra till nästa). Slutligen ser Leslie-matrisen ut så här:

Den karakteristiska ekvationen för Leslie-modellen i detta fall är ett tredjegradspolynom:

Det är lätt att verifiera det P(1) = 0,23>0 enligt P. Leslies teori indikerar åldrande och vissnande av en given sampopulation i det observerade tidsintervallet.

Låt oss beräkna rötterna till den karakteristiska ekvationen. För detta kommer vi att använda Cardano formel. Låt oss överväga lösningsalgoritmen kubikekvation typ:

Låt oss byta ut:

Vi får ekvationen:

Antag att rotens värde representeras som summan av två storheter y = α + β, då kommer ekvationen att ha formen:

Låt oss likställa uttrycket (3 αβ + p), då kan vi gå från ekvationen till systemet:

som motsvarar systemet:

Vi har fått fram Vietas formler för två rötter andragradsekvation (α 3 - första roten; β 3 – andra roten). Härifrån:

– diskriminant av ekvationen.

Om D>0, så har ekvationen tre olika reella rötter.

Om D = 0, så sammanfaller åtminstone två rötter: antingen har ekvationen en dubbel reell rot och en annan, olika reell rot, eller så sammanfaller alla tre rötter och bildar en rot av multipel tre.

Om D<0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Således är rötterna till den kubiska ekvationen i kanonisk form:

Var i= är ett tänkt tal.

Du måste tillämpa denna formel för varje värde av kubroten (kubroten ger alltid tre värden!) och ta värdet på roten så att villkoret är uppfyllt:

Följande relationer kan användas för att kontrollera:

Var d≠ 0

Var d≠ 0

Till sist:

I vårat fall: a = 1; b = –0,6; c = –0,15; d = –0,02;

D= – 0,03888, D<0. Уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Därefter, med hjälp av ovanstående formler, hittar vi egenvärdena för den karakteristiska ekvationen: λ 1 = 0,814; λ2 = – 0,107 + 0,112 i; λ3 = – 0,107 – 0,112 i, Var i= är ett tänkt tal. Således har den karakteristiska ekvationen en reell och två komplexa rötter. λ 1 är den maximala roten av denna ekvation, och eftersom λ 1<1, то вывод об увядании данной ценопопуляции остается без изменения.

Dessutom, enligt Yu.M. Svirzhev och D.O. Logofet (1978), ett enkelt och tillräckligt villkor för förekomsten av periodiska fluktuationer i det totala antalet är uttrycken:

I detta avseende bör man förvänta sig förekomsten av periodiska fluktuationer i storleken på Shell-fåren, eftersom λ 1 >max (0,5, 0,4).

Inom ramen för Leslies modell har den observerade A.N. Cheburaeva-fenomenet är åldrandet av fårsampopulationen och närvaron av fluktuationer i fördelningen av individer längs åldersspektrumet under ett antal år. I fig. Figur 1 visar dynamiken i antalet individer för var och en av de identifierade åldersgrupperna. För att modellen ska ge en tillfredsställande prognos krävs att matriskoefficienterna L var inte konstanta, utan beroende av väderförhållandena. Om vi ​​kompletterar Leslie-modellen med normaliseringsvillkor för den resulterande vektorn x(k+1) så att summan av storleken på hela populationen är lika med den observerade totala storleken vid tidpunkten k+1, då tas indirekt hänsyn till väderförhållandenas inverkan. Modellen i det här fallet kommer att se ut så här:

x(k+1) = Lx(k), ,

Var X(k+1) – total populationsstorlek åt gången k+1 (andra notationer liknar Leslies modell). Således, att känna till det totala antalet individer av en given cenopopulation under olika år, konstruera Leslie-matrisen utifrån allmänna biologiska överväganden och ta som x(1) fördelningen av fårindivider efter åldersgrupper 1970, är ​​det möjligt att på ett rimligt sätt återställa fördelningen av individer efter åldersgrupper under andra år.

Beräkning av cenopopulationens absoluta storlek Helictotrichon schellinum för olika åldersgrupper i olika år görs enligt följande. Vi tar de ursprungliga uppgifterna för 1970 och ersätter dem i matrisen. Vi utför matrismultiplikation enligt lämpliga regler. Vi får en ny matris med antalet olika åldersgrupper för 1971.

Vi upprepar detta varje gång för varje år. Vi lägger in resultaten i en tabell, beräknar det totala antalet individer med hjälp av Leslie-modellen och jämför det med empirisk data. Därefter introducerar vi en korrektionsfaktor och bringar beräkningarna enligt modellen i linje med det totala antalet (tabell 2).

Tabell 2

Den absoluta storleken på Shell-fårens cenopopulation för olika åldersgrupper enligt Leslies modell och empiriska data

Åldersgrupp
empirisk data	modell Leslie	empirisk data	modell Leslie		empirisk data	modell Leslie	Leslie-modellen justerad för total population	empirisk data	modell Leslie	Leslie-modellen justerad för total population	empirisk data	modell Leslie	Leslie-modellen justerad för total population
Fröplantor, pregenerativa och generativa individer				280,1	160,9		231,9	31,5		188,9	158,1		153,7	75,1
Subsenila individer				193,0	110,9		140,1	19,0		116,0	97,1		94,5	46,2
Senila individer				59,6	34,2		77,2	10,5		56,0	46,9		46,4	22,7
Totala numret				532,7			449,2			360,9			294,6

Liknande artiklar