När talet multiplicerar sig själv till mig själv, arbete kallad grad.

Så 2,2 = 4, kvadrat eller andra potens av 2
2.2.2 = 8, kub eller tredje potens.
2.2.2.2 = 16, fjärde graden.

Dessutom, 10,10 = 100, andra potensen av 10.
10.10.10 = 1000, tredje graden.
10.10.10.10 = 10 000 fjärde potens.

Och a.a = aa, andra potens av a
a.a.a = aaa, tredje potens av a
a.a.a.a = aaaa, fjärde potens av a

Det ursprungliga numret kallas rot potenser av detta nummer eftersom det är numret från vilket krafterna skapades.

Det är dock inte helt bekvämt, särskilt när det gäller höga befogenheter, att skriva ner alla faktorer som utgör befogenheterna. Därför används en stenografisk notationsmetod. Roten till graden skrivs bara en gång, och till höger och lite högre nära den, men i ett lite mindre teckensnitt skrivs det hur många gånger roten fungerar som en faktor. Denna siffra eller bokstav kallas exponent eller grad tal. Så, a 2 är lika med a.a eller aa, eftersom roten a måste multipliceras med sig själv två gånger för att få potensen aa. Dessutom betyder en 3 aaa, det vill säga här upprepas a tre gånger som en multiplikator.

Exponenten för första graden är 1, men den skrivs vanligtvis inte ner. Så en 1 skrivs som en.

Du ska inte blanda ihop examina med koefficienter. Koefficienten visar hur ofta värdet tas som Del hela. Effekten visar hur ofta en kvantitet tas som faktor i arbetet.
Så, 4a = a + a + a + a. Men en 4 = a.a.a.a

Powernotationsschemat har den speciella fördelen att det tillåter oss att uttrycka okänd grad. För detta ändamål skrivs exponenten istället för ett tal brev. I processen att lösa ett problem kan vi få fram en kvantitet som vi vet är några grad av en annan storleksordning. Men än så länge vet vi inte om det är en kvadrat, en kub eller annan högre grad. Så i uttrycket a x betyder exponenten att detta uttryck har några grad, även om den är odefinierad vilken grad. Så b m och d n höjs till potenserna m och n. När exponenten hittas, siffra ersätts istället för en bokstav. Så, om m=3, då är b m = b3; men om m = 5, då är b m = b 5.

Metoden att skriva värden med hjälp av krafter är också en stor fördel vid användning uttryck. Således är (a + b + d) 3 (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), det vill säga trinomialets kub (a + b + d) . Men om vi skriver detta uttryck efter att ha höjt det till en kub kommer det att se ut
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Om vi ​​tar en serie potenser vars exponenter ökar eller minskar med 1, finner vi att produkten ökar med gemensam multiplikator eller minskar med gemensam divisor, och denna faktor eller divisor är det ursprungliga talet som höjs till en potens.

Så, i serien aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
eller a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
indikatorerna, om de räknas från höger till vänster, är 1, 2, 3, 4, 5; och skillnaden mellan deras värden är 1. Om vi ​​börjar till höger multiplicera av a kommer vi att få flera värden.

Så a.a = en 2 , andra term. Och en 3 .a = en 4:a
a 2 .a = a 3 , tredje term. a 4 .a = a 5 .

Om vi ​​börjar vänster dela upp till en,
vi får en 5:a = a 4 och en 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Men denna delningsprocess kan fortsättas och vi får en ny värdegrund.

Så, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Hela raden skulle vara: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Eller en 5, en 4, en 3, en 2, en, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Här är värdena till höger från en som finns omvänd värden till vänster om en. Därför kan dessa grader kallas omvända potenser a. Vi kan också säga att makterna till vänster är inverserna av makterna till höger.

Så, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Och 1:(1/a 3) = en 3.

Samma inspelningsplan kan tillämpas på polynom. Så för a + b får vi uppsättningen,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

För enkelhetens skull används en annan form av ömsesidiga skrivkrafter.

Enligt denna form är 1/a eller 1/a 1 = a -1. Och 1/aaa eller 1/a 3 = a -3 .
1/aa eller 1/a2 = a -2. 1/aaaa eller 1/a 4 = a -4 .

Och för att göra en komplett serie med 1 som total skillnad med exponenter, betraktas a/a eller 1 som något som inte har examen och skrivs som 0 .

Sedan, med hänsyn till de direkta och omvända krafterna
istället för aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
du kan skriva en 4, en 3, en 2, en 1, en 0, en -1, en -2, en -3, en -4.
Eller a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

Och en serie med endast individuella grader kommer att se ut så här:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Roten till en grad kan uttryckas med mer än en bokstav.

Således är aa.aa eller (aa) 2 andra potensen av aa.
Och aa.aa.aa eller (aa) 3 är den tredje potensen av aa.

Alla potenser av siffran 1 är desamma: 1.1 eller 1.1.1. blir lika med 1.

Exponentiering är att hitta värdet av ett tal genom att multiplicera det talet med sig självt. Regel för exponentiering:

Multiplicera kvantiteten med sig själv så många gånger som anges i talets potens.

Denna regel är gemensam för alla exempel som kan uppstå under exponentieringsprocessen. Men det är rätt att ge en förklaring till hur det gäller i vissa fall.

Om bara en term höjs till en potens, så multipliceras den med sig själv så många gånger som exponenten visar.

Den fjärde potensen av a är en 4:a eller aaaa. (Art. 195.)
Den sjätte potensen av y är y 6 eller yyyyyy.
N:te potensen av x är x n eller xxx..... n gånger upprepas.

Om det är nödvändigt att höja ett uttryck av flera termer till en makt, principen att effekten av produkten av flera faktorer är lika med produkten av dessa faktorer upphöjda till en potens.

Så (ay) 2 = a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Men ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Så, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Därför, när vi hittar kraften i en produkt, kan vi antingen arbeta med hela produkten på en gång, eller så kan vi arbeta med varje faktor separat och sedan multiplicera deras värden med potenserna.

Exempel 1. Den fjärde potensen av dhy är (dhy) 4, eller d 4 h 4 y 4.

Exempel 2. Den tredje potensen är 4b, det finns (4b) 3, eller 4 3 b 3, eller 64b 3.

Exempel 3. N:te potensen av 6ad är (6ad) n eller 6 n a n d n.

Exempel 4. Den tredje potensen av 3m.2y är (3m.2y) 3, eller 27m 3 .8y 3.

Graden av ett binomial, som består av termer förbundna med + och -, beräknas genom att multiplicera dess termer. Ja,

(a + b) 1 = a + b, första graden.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, andra potens (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, tredje potens.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, fjärde potens.

Kvadraten av a - b är a 2 - 2ab + b 2.

Kvadraten av a + b + h är a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Övning 1. Hitta kuben a + 2d + 3

Övning 2. Hitta fjärde potensen av b + 2.

Övning 3. Hitta femte potensen av x + 1.

Övning 4. Hitta den sjätte potensen 1 - b.

Summa kvadrater belopp Och skillnader binomial förekommer så ofta i algebra att det är nödvändigt att känna till dem mycket väl.

Om vi ​​multiplicerar a + h med sig själv eller a - h med sig själv,
vi får: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 också, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Detta visar att de första och sista termerna i varje fall är kvadraterna av a och h, och mellantermen är två gånger produkten av a och h. Härifrån kan kvadraten på summan och skillnaden av binomial hittas med hjälp av följande regel.

Kvadraten på ett binomial, vars båda termer är positiva, är lika med kvadraten på den första termen + två gånger produkten av båda termerna + kvadraten på den sista termen.

Fyrkant skillnader binomial är lika med kvadraten på den första termen minus två gånger produkten av båda termerna plus kvadraten på den andra termen.

Exempel 1. Ruta 2a + b, det finns 4a 2 + 4ab + b 2.

Exempel 2. Kvadrat ab + cd, det finns en 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Exempel 3. Ruta 3d - h, det finns 9d 2 + 6dh + h 2.

Exempel 4. Kvadraten a - 1 är en 2 - 2a + 1.

För en metod för att hitta högre potenser av binomialer, se följande avsnitt.

I många fall är det effektivt att skriva ner grader utan multiplikation.

Så kvadraten av a + b är (a + b) 2.
N:te potensen av bc + 8 + x är (bc + 8 + x) n

I sådana fall täcker parentesen Allt medlemmar under examen.

Men om gradens rot består av flera multiplikatorer, kan parentesen täcka hela uttrycket, eller kan appliceras separat på faktorerna beroende på bekvämlighet.

Således är kvadraten (a + b)(c + d) antingen [(a + b).(c + d)] 2 eller (a + b) 2 .(c + d) 2.

För det första av dessa uttryck är resultatet kvadraten av produkten av två faktorer, och för det andra är resultatet produkten av deras kvadrater. Men de är lika med varandra.

Kub a.(b + d), är 3, eller a 3.(b + d) 3.

Skylten framför de inblandade medlemmarna ska också beaktas. Det är mycket viktigt att komma ihåg att när roten till en examen är positiv, är alla dess positiva krafter också positiva. Men när roten är negativ, värdena med udda potenser är negativa, medan värdena även grader är positiva.

Den andra graden (- a) är +a 2
Den tredje graden (-a) är -a 3
Den fjärde potensen (-a) är +a 4
Den femte potensen (-a) är -a 5

Därav någon udda graden har samma tecken som siffran. Men även graden är positiv oavsett om talet har ett negativt eller positivt tecken.
Så, +a.+a = +a 2
Och -a.-a = +a 2

En kvantitet som redan har höjts till en potens höjs till en potens igen genom att multiplicera exponenterna.

Den tredje potensen av en 2 är en 2,3 = en 6.

För a 2 = aa; kub aa är aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; som är sjätte potensen av a, men tredje potensen av 2.

Den fjärde potensen av a 3 b 2 är a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Den tredje potensen av 4a 2 x är 64a 6 x 3.

Femte potensen av (a + b) 2 är (a + b) 10.

N:te potensen av en 3:a är en 3n

N:te potensen av (x - y) m är (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Regeln gäller lika för negativ grader.

Exempel 1. Den tredje potensen av en -2 är en -3,3 =a -6.

För a -2 = 1/aa, och tredje potensen av detta
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Den fjärde potensen av a 2 b -3 är a 8 b -12 eller en 8 /b 12.

Fyrkanten är b 3 x -1, det finns b 6 x -2.

N:te potensen av ax -m är x -mn eller 1/x.

Vi måste dock komma ihåg här att om tecknet tidigare grad är "-", då måste den ändras till "+" närhelst graden är ett jämnt tal.

Exempel 1. Kvadraten -a 3 är +a 6. Kvadraten på -a 3 är -a 3 .-a 3, vilket enligt reglerna för tecken i multiplikation är +a 6.

2. Men kuben -a 3 är -a 9. För -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N:te potensen -a 3 är en 3n.

Här kan resultatet bli positivt eller negativt beroende på om n är jämnt eller udda.

Om fraktion höjs till en potens, sedan höjs täljaren och nämnaren till en potens.

Kvadraten på a/b är a 2 /b 2 . Enligt regeln för att multiplicera bråk,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Andra, tredje och n:te potenserna av 1/a är 1/a 2, 1/a 3 och 1/a n.

Exempel binomialer, där en av termerna är en bråkdel.

1. Hitta kvadraten på x + 1/2 och x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2,x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2,x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Kvadraten på a + 2/3 är a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kvadrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Kvadraten på x - b/m är x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Det visades tidigare fraktionskoefficient kan flyttas från täljaren till nämnaren eller från nämnaren till täljaren. Att använda schemat för att skriva ömsesidiga befogenheter är det tydligt någon multiplikator kan också flyttas, om gradens tecken ändras.

Så i bråket ax -2 /y kan vi flytta x från täljaren till nämnaren.
Då ax -2/y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.

I bråket a/by 3 kan vi flytta y från nämnaren till täljaren.
Sedan a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3/b.

På samma sätt kan vi flytta en faktor som har en positiv exponent till täljaren eller en faktor med negativ exponent till nämnaren.

Så, ax 3 /b = a/bx -3. För x 3 är inversen x -3 , vilket är x 3 = 1/x -3 .

Därför kan nämnaren för vilket bråk som helst tas bort helt, eller så kan täljaren reduceras till ett utan att betydelsen av uttrycket ändras.

Så, a/b = 1/ba -1 eller ab -1 .

Grader formler används i processen att reducera och förenkla komplexa uttryck, för att lösa ekvationer och ojämlikheter.

siffra cär n-te potensen av ett tal a När:

Verksamhet med examina.

1. Genom att multiplicera grader med samma bas läggs deras indikatorer till:

en m·a n = a m + n .

2. När man dividerar grader med samma bas, subtraheras deras exponenter:

3. Graden av produkten av 2 eller flera faktorer är lika med produkten av graderna av dessa faktorer:

(abc...) n = a n · b n · c n …

4. Graden av ett bråk är lika med förhållandet mellan graderna av utdelningen och divisorn:

(a/b) n = a n/b n .

5. Genom att höja en potens till en potens multipliceras exponenterna:

(a m) n = a m n .

Varje formel ovan är sann i riktningarna från vänster till höger och vice versa.

Till exempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Verksamhet med rötter.

1. Roten av produkten av flera faktorer är lika med produkten av rötterna av dessa faktorer:

2. Roten av ett förhållande är lika med förhållandet mellan utdelningen och rötternas divisor:

3. När man höjer en rot till en makt räcker det att höja det radikala talet till denna makt:

4. Om du ökar graden av roten in n en gång och samtidigt bygga in n potensen är ett radikalt tal, då ändras inte rotens värde:

5. Om du minskar graden av roten in n extrahera roten samtidigt n-te potensen av ett radikalt tal, då ändras inte rotens värde:

En grad med negativ exponent. Potensen för ett visst tal med en icke-positiv (heltals) exponent definieras som en dividerad med potensen av samma tal med en exponent lika med det absoluta värdet av den icke-positiva exponenten:

Formel en m:a n =a m - n kan användas inte bara för m> n, men också med m< n.

Till exempel. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Till formel en m:a n =a m - n blev rättvist när m=n, krävs närvaro av noll grader.

En grad med nollindex. Potensen för ett tal som inte är lika med noll med en nollexponent är lika med ett.

Till exempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad med bråkexponent. Att höja ett reellt tal A till den grad m/n, måste du extrahera roten n e graden av m-e potensen av detta tal A.

kan hittas med multiplikation. Till exempel: 5+5+5+5+5+5=5x6. Ett sådant uttryck sägs vara att summan av lika termer viks till en produkt. Och vice versa, om vi läser denna likhet från höger till vänster, finner vi att vi har utökat summan av lika termer. På samma sätt kan du kollapsa produkten av flera lika faktorer 5x5x5x5x5x5=5 6.

Det vill säga, istället för att multiplicera sex identiska faktorer 5x5x5x5x5x5, skriver de 5 6 och säger "fem till sjätte potensen."

Uttrycket 5 6 är en potens av ett tal, där:

5 - gradbas;

6 - exponent.

Handlingar genom vilka produkten av lika faktorer reduceras till en potens kallas höja sig till en makt.

I allmänhet skrivs en grad med basen "a" och exponenten "n" enligt följande

Att höja talet a till potensen n innebär att hitta produkten av n faktorer, som var och en är lika med en

Om basen för graden "a" är lika med 1, kommer värdet på graden för ett naturligt tal n att vara lika med 1. Till exempel, 1 5 =1, 1 256 =1

Om du höjer siffran "a" till första graden, då får vi själva talet a: a 1 = a

Om du höjer något nummer till noll grad, då som ett resultat av beräkningar får vi en. a 0 = 1

Den andra och tredje potensen av ett tal anses vara speciella. De kom på namn för dem: den andra graden kallas kvadrat talet, tredje - kub detta nummer.

Vilket tal som helst kan höjas till en potens - positiv, negativ eller noll. I det här fallet gäller inte följande regler:

När man hittar styrkan av ett positivt tal blir resultatet ett positivt tal.

När vi beräknar noll till den naturliga kraften får vi noll.

x m · x n = x m + n

till exempel: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Till dela potenser med samma baser Vi ändrar inte basen utan subtraherar exponenterna:

x m / x n = x m - n , Var, m > n,

till exempel: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Vid beräkning höja en makt till en makt Vi ändrar inte basen, utan multiplicerar exponenterna med varandra.

(vid m ) n = å m n

till exempel: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · å m ,

till exempel:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Vid utförande av beräkningar enl höja en bråkdel till en makt vi höjer täljaren och nämnaren för bråket till en given potens

(x/y)n = x n / y n

till exempel: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Beräkningssekvensen när man arbetar med uttryck som innehåller en grad.

När de utför beräkningar av uttryck utan parentes, men som innehåller potenser, utför de först och främst exponentiering, sedan multiplikation och division, och först sedan addition och subtraktion.

Om du behöver beräkna ett uttryck som innehåller parenteser, gör först beräkningarna inom parentes i den ordning som anges ovan, och sedan de återstående åtgärderna i samma ordning från vänster till höger.

Mycket allmänt i praktiska beräkningar används färdiga tabeller över potenser för att förenkla beräkningar.

Fortsätter samtalet om kraften i ett tal, är det logiskt att ta reda på hur man hittar värdet av makten. Denna process kallas exponentiering. I den här artikeln kommer vi att studera hur exponentiering utförs, medan vi kommer att beröra alla möjliga exponenter - naturliga, heltals, rationella och irrationella. Och enligt traditionen kommer vi att överväga i detalj lösningar på exempel på att höja siffror till olika makter.

Sidnavigering.

Vad betyder "exponentiering"?

Låt oss börja med att förklara vad som kallas exponentiering. Här är den relevanta definitionen.

Definition.

Exponentiering- det här är att hitta värdet av potensen av ett tal.

Att hitta värdet av potensen av ett tal a med exponent r och höja talet a till potensen r är alltså samma sak. Till exempel, om uppgiften är "beräkna värdet av potensen (0,5) 5", kan den omformuleras enligt följande: "Höj talet 0,5 till potensen 5."

Nu kan du gå direkt till reglerna för exponentiering.

Att höja ett nummer till en naturlig kraft

I praktiken tillämpas oftast jämställdhet utifrån i formen . Det vill säga, när man höjer ett tal a till en bråkpotens m/n, tas först den n:te roten av talet a, varefter det resulterande resultatet höjs till en heltalspotens m.

Låt oss titta på lösningar på exempel på att höja till en bråkdel.

Exempel.

Beräkna värdet på graden.

Lösning.

Vi kommer att visa två lösningar.

Första sättet. Per definition av en grad med en bråkdelsexponent. Vi beräknar värdet på graden under rottecknet och extraherar sedan kubroten: .

Andra sättet. Genom definitionen av en grad med en bråkdelsexponent och baserat på egenskaperna hos rötterna är följande likheter sanna: . Nu extraherar vi roten , slutligen höjer vi det till en heltalspotens .

Uppenbarligen sammanfaller de erhållna resultaten av att höja till en bråkdel.

Svar:

Observera att en bråkexponent kan skrivas som ett decimalbråk eller ett blandat tal, i dessa fall ska det ersättas med motsvarande ordinarie bråktal, och sedan höjas till en potens.

Exempel.

Beräkna (44,89) 2,5.

Lösning.

Låt oss skriva exponenten i form av en vanlig bråkdel (om nödvändigt, se artikeln): . Nu utför vi höjningen till en bråkdel:

Svar:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Det bör också sägas att höjning av siffror till rationella potenser är en ganska arbetskrävande process (särskilt när täljaren och nämnaren för bråkexponenten innehåller tillräckligt stora tal), som vanligtvis utförs med hjälp av datorteknik.

För att avsluta denna punkt, låt oss uppehålla oss vid att höja siffran noll till en bråkpotens. Vi gav följande betydelse till bråkpotensen noll i formen: när vi har , och vid noll till m/n-effekten är inte definierad. Så, noll till en bråkdel positiv potens är noll, till exempel, . Och noll i en negativ bråkpotens är inte vettigt, till exempel är uttrycken 0 -4,3 inte vettiga.

Att höja sig till en irrationell makt

Ibland blir det nödvändigt att ta reda på värdet av potensen av ett tal med en irrationell exponent. I det här fallet är det för praktiska ändamål vanligtvis tillräckligt att erhålla värdet på graden exakt till ett visst tecken. Låt oss omedelbart notera att detta värde i praktiken beräknas med hjälp av elektroniska datorer, eftersom att höja det till en irrationell kraft manuellt kräver ett stort antal besvärliga beräkningar. Men vi kommer ändå att i allmänna termer beskriva essensen av handlingarna.

För att erhålla ett ungefärligt värde på potensen av ett tal a med en irrationell exponent tas en viss decimal approximation av exponenten och värdet på potensen beräknas. Detta värde är ett ungefärligt värde av potensen av talet a med en irrationell exponent. Ju mer exakt decimalapproximationen av ett tal tas initialt, desto mer exakt kommer gradens värde att erhållas i slutändan.

Som ett exempel, låt oss beräkna det ungefärliga värdet av potensen 2 1,174367... . Låt oss ta följande decimalapproximation av den irrationella exponenten: . Nu höjer vi 2 till den rationella makten 1,17 (vi beskrev kärnan i denna process i föregående stycke), vi får 2 1,17 ≈2,250116. Således, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Om vi ​​till exempel tar en mer exakt decimal approximation av den irrationella exponenten, får vi ett mer exakt värde på den ursprungliga exponenten: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Lärobok i matematik för klass 5. läroanstalter.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lärobok för årskurs 7. läroanstalter.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lärobok för årskurs 8. läroanstalter.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lärobok för årskurs 9. läroanstalter.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra och analysens början: Lärobok för årskurserna 10 - 11 på allmänna läroanstalter.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för dem som går in på tekniska skolor).

Exponentiering är en operation som är nära relaterad till multiplikation; denna operation är resultatet av att upprepade gånger multiplicera ett tal med sig själv. Låt oss representera det med formeln: a1 * a2 * … * an = an.

Till exempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

I allmänhet används exponentiering ofta i olika formler inom matematik och fysik. Denna funktion har ett mer vetenskapligt syfte än de fyra huvudsakliga: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

Att höja ett nummer till en makt

Att höja ett nummer till en makt är inte en komplicerad operation. Det är relaterat till multiplikation på ett liknande sätt som förhållandet mellan multiplikation och addition. Notationen an är en kort notation av det n:te antalet siffror "a" multiplicerat med varandra.

Överväg exponentiering med de enklaste exemplen, gå vidare till komplexa.

Till exempel, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Fyra i kvadrat (till andra potensen) är lika med sexton. Om du inte förstår multiplikation 4 * 4, läs då vår artikel om multiplikation.

Låt oss titta på ett annat exempel: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Fem kuber (till tredje potens) är lika med hundra tjugofem.

Ett annat exempel: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nio tärningar är lika med sju hundra tjugonio.

Exponentieringsformler

För att korrekt höja till en potens måste du komma ihåg och känna till formlerna nedan. Det finns inget extra naturligt i detta, huvudsaken är att förstå essensen och då kommer de inte bara att komma ihåg, utan kommer också att verka lätta.

Att höja en monomial till en makt

Vad är en monomial? Detta är en produkt av tal och variabler i vilken mängd som helst. Till exempel är två en monomial. Och den här artikeln handlar just om att höja sådana monomer till makter.

Med hjälp av formlerna för exponentiering kommer det inte att vara svårt att beräkna exponentieringen av en monomial.

Till exempel, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Om du höjer en monomial till en potens, så höjs varje komponent i monomialen till en potens.

Genom att höja en variabel som redan har en potens till en potens multipliceras potenserna. Till exempel, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Att höja sig till en negativ makt

En negativ potens är den reciproka av ett tal. Vad är det ömsesidiga numret? Den reciproka av alla tal X är 1/X. Det vill säga X-1=1/X. Detta är kärnan i den negativa graden.

Betrakta exemplet (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Varför är det så? Eftersom det finns ett minus i graden överför vi helt enkelt detta uttryck till nämnaren och höjer det sedan till tredje potens. Enkelt är det inte?

Höjning till en bråkdel makt

Låt oss börja med att titta på problemet med ett specifikt exempel. 43/2. Vad betyder grad 3/2? 3 – täljare, betyder att höja ett tal (i detta fall 4) till en kub. Talet 2 är nämnaren; det är extraheringen av den andra roten av ett tal (i detta fall 4).

Då får vi kvadratroten ur 43 = 2^3 = 8. Svar: 8.

Så, nämnaren för en bråkpotens kan vara antingen 3 eller 4 eller upp till oändligt vilket tal som helst, och detta tal bestämmer graden av kvadratroten från ett givet tal. Naturligtvis kan nämnaren inte vara noll.

Att höja en rot till en makt

Om roten höjs till en grad som är lika med graden av själva roten, så blir svaret ett radikalt uttryck. Till exempel, (√x)2 = x. Och så i alla fall, graden av roten och graden av att höja roten är lika.

Om (√x)^4. Sedan (√x)^4=x^2. För att kontrollera lösningen omvandlar vi uttrycket till ett uttryck med bråkpotens. Eftersom roten är kvadratisk är nämnaren 2. Och om roten höjs till fjärde potens så är täljaren 4. Vi får 4/2=2. Svar: x = 2.

I vilket fall som helst är det bästa alternativet att helt enkelt konvertera uttrycket till ett uttryck med bråkpotens. Om bråket inte avbryts, så är detta svaret, förutsatt att roten av det givna talet inte är isolerad.

Att höja ett komplext tal till makten

Vad är ett komplext tal? Ett komplext tal är ett uttryck som har formeln a + b * i; a, b är reella tal. i är ett tal som i kvadrat ger talet -1.

Låt oss titta på ett exempel. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Anmäl dig till kursen "Snabba upp huvudräkning, INTE huvudräkning" för att lära dig hur du snabbt och korrekt adderar, subtraherar, multiplicerar, dividerar, kvadrattal och till och med extraherar rötter. På 30 dagar kommer du att lära dig hur du använder enkla knep för att förenkla aritmetiska operationer. Varje lektion innehåller nya tekniker, tydliga exempel och användbara uppgifter.

Exponentiering online

Med hjälp av vår kalkylator kan du beräkna höjningen av ett tal till en potens:

Exponentiering 7:e klass

Skolbarn börjar höjas till en makt först i sjunde klass.

Exponentiering är en operation som är nära relaterad till multiplikation; denna operation är resultatet av att upprepade gånger multiplicera ett tal med sig själv. Låt oss representera det med formeln: a1 * a2 * … * an=an.

Till exempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Exempel på lösning:

Exponentieringspresentation

Presentation om makthöjning, designad för sjundeklassare. Presentationen kan förtydliga några oklara punkter, men dessa punkter kommer förmodligen inte att klaras upp tack vare vår artikel.

Slutsats

Vi har bara tittat på toppen av isberget, för att förstå matematiken bättre - anmäl dig till vår kurs: Accelererande huvudräkning - INTE huvudräkning.

Från kursen kommer du inte bara att lära dig dussintals tekniker för förenklad och snabb multiplikation, addition, multiplikation, division och beräkning av procentsatser, utan du kommer också att öva dem i speciella uppgifter och pedagogiska spel! Mentalräkning kräver också mycket uppmärksamhet och koncentration, som tränas aktivt när man löser intressanta problem.

Liknande artiklar