Artikeln beskriver grunderna för linjär algebra: linjärt rum, dess egenskaper, begreppet bas, utrymmesdimensioner, linjärt skrov, samband mellan linjära rum och matrisernas rangordning.

Linjärt utrymme

Ett gäng L kallad linjärt utrymme, om för alla dess element operationerna att addera två element och multiplicera ett element med ett tal som uppfyller jag grupp Weyls axiom. Elementen i linjärt rymd kallas vektorer. Detta är en fullständig definition; mer kortfattat kan vi säga att ett linjärt utrymme är en uppsättning element för vilka operationerna att lägga till två element och multiplicera ett element med ett tal är definierade.

Weyls axiom.

Hermann Weil föreslog att vi inom geometri har två typer av objekt ( vektorer och punkter), vars egenskaper beskrivs av följande axiom, som låg till grund för avsnittet linjär algebra. Det är bekvämt att dela in axiomen i 3 grupper.

Grupp I

1. för alla vektorer x och y är likheten x+y=y+x uppfylld;
2. för alla vektorer x, y och z är likheten x+(y+z)=(x+y)+z uppfylld;
3. det finns en vektor o så att för vilken vektor x som helst gäller likheten x+o=x;
4. för vilken vektor som helst X det finns en vektor (-x) så att x+(-x)=o;
5. för vilken vektor som helst X likheten 1x=x gäller;
6. för alla vektorer X Och på och valfritt tal λ likheten λ( X+på)=λ X+λ på;
7. för vilken vektor som helst X och alla tal λ och μ som likheten gäller (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. för vilken vektor som helst X och alla tal λ och μ är likheten λ(μ X)=(λμ) X;

Grupp II

Grupp I definierar begreppet linjär kombination av vektorer, linjärt beroende och linjärt oberoende. Detta gör att vi kan formulera ytterligare två axiom:

1. det finns n linjärt oberoende vektorer;
2. alla (n+1) vektorer är linjärt beroende.

För planimetri n=2, för stereometri n=3.

Grupp III

Denna grupp antar att det finns en skalär multiplikationsoperation som tilldelar ett vektorpar X Och på siffra ( x,y). Vart i:

1. för alla vektorer X Och på jämställdhet gäller ( x,y)=(y, x);
2. för alla vektorer X , på Och z jämställdhet gäller ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. för alla vektorer X Och på och vilket tal som helst λ likheten (λ x,y)=λ( x,y);
4. för vilken vektor som helst gäller x olikheten ( x, x)≥0, och ( x, x)=0 om och endast om X=0.

Egenskaper för linjärt utrymme

De flesta egenskaper hos linjärt rymd är baserade på Weyls axiom:

1. Vektor O, vars existens garanteras av Axiom 3, bestäms på ett unikt sätt;
2. Vektor (- X), vars existens garanteras av Axiom 4, bestäms på ett unikt sätt;
3. För vilka två vektorer som helst A Och b hör till rymden L, det finns bara en vektor X, även tillhörande rymden L, vilket är en lösning på ekvationen a+x=b och kallade vektorskillnaden b-a.

Definition. Delmängd L' linjärt utrymme L kallad linjärt delrum Plats L, om det i sig är ett linjärt utrymme där summan av vektorer och produkten av en vektor och ett tal definieras på samma sätt som i L.

Definition. Linjärt skal L(x1, x2, x3, …, xk) vektorer x1, x2, x3, Och xk kallas mängden av alla linjära kombinationer av dessa vektorer. Om det linjära skalet kan vi säga det

-det linjära spannet är ett linjärt delrum;

– det linjära skrovet är det minimala linjära delutrymmet som innehåller vektorerna x1, x2, x3, Och xk.

Definition. Ett linjärt utrymme kallas n-dimensionellt om det uppfyller grupp II i Weyl-axiomsystemet. Talet n kallas dimensionera linjärt utrymme och skriv dimL=n.

Grund– vilket som helst beställt system av n linjärt oberoende vektorer av rymden. Meningen med basen är att de vektorer som utgör basen kan användas för att beskriva vilken vektor som helst i rymden.

Sats. Alla n linjärt oberoende vektorer i rymden L bildar en bas.

Isomorfi.

Definition. Linjära utrymmen L Och L' kallas isomorfa om en sådan en-till-en överensstämmelse kan fastställas mellan deras element x↔x', Vad:

1. Om x↔x', å↔y', Den där x+y↔x’+y’;
2. Om x↔x', sedan λ x↔λ X'.

Denna korrespondens i sig kallas isomorfi. Isomorfism tillåter oss att göra följande påståenden:

• om två utrymmen är isomorfa, så är deras dimensioner lika;
• två linjära rum över samma fält och av samma dimension är isomorfa.

Vektor(eller linjär) Plats- en matematisk struktur, som är en uppsättning element som kallas vektorer, för vilka operationerna för addition med varandra och multiplikation med ett tal definieras - en skalär. Dessa operationer är föremål för åtta axiom. Skalärer kan vara element i det reella, komplexa eller vilket annat talfält som helst. Ett specialfall av ett sådant utrymme är det vanliga tredimensionella euklidiska rummet, vars vektorer till exempel används för att representera fysiska krafter. Det bör noteras att en vektor, som ett element i vektorrymden, inte nödvändigtvis behöver specificeras i form av ett riktat segment. Att generalisera begreppet "vektor" till ett element i ett vektorrum av vilken karaktär som helst orsakar inte bara förvirring av termer, utan gör det också möjligt att förstå eller till och med förutsäga ett antal resultat som är giltiga för rum av godtycklig natur.

Vektorutrymmen är föremål för linjär algebra. En av de viktigaste egenskaperna hos ett vektorrum är dess dimension. Dimension representerar det maximala antalet linjärt oberoende element i rymden, det vill säga att tillgripa en grov geometrisk tolkning, antalet riktningar som inte kan uttryckas genom varandra genom endast operationerna addition och multiplikation med en skalär. Vektorutrymmet kan förses med ytterligare strukturer, såsom en norm eller en inre produkt. Sådana rum förekommer naturligt i matematisk analys, främst i form av oändligt dimensionella funktionsrum (Engelsk), där funktionerna är vektorerna. Många analysproblem kräver att man tar reda på om en sekvens av vektorer konvergerar till en given vektor. Övervägande av sådana frågor är möjligt i vektorrum med ytterligare struktur, i de flesta fall en lämplig topologi, som tillåter oss att definiera begreppen närhet och kontinuitet. Sådana topologiska vektorrum, i synnerhet Banach- och Hilbert-utrymmen, tillåter djupare studier.

De första verken som förutsåg introduktionen av konceptet vektorrum går tillbaka till 1600-talet. Det var då som analytisk geometri, läran om matriser, linjära ekvationssystem och euklidiska vektorer började utvecklas.

Definition

Linjär eller vektor utrymme V (F) (\displaystyle V\left(F\right))över fältet F (\displaystyle F)- det här är en beställd fyra (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Var

• V (\displaystyle V)- en icke-tom uppsättning element av godtycklig natur, som kallas vektorer;
• F (\displaystyle F)- ett fält vars element kallas skalärer;
• Operation definierad tillägg vektorer V × V → V (\displaystyle V\ gånger V\till V), som associerar varje par av element x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) set V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) kallade dem belopp och utsedd x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Operation definierad multiplicera vektorer med skalärer F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), som matchar varje element λ (\displaystyle \lambda) fält F (\displaystyle F) och varje element x (\displaystyle \mathbf (x) ) set V (\displaystyle V) det enda elementet i uppsättningen V (\displaystyle V), betecknad λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) eller λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Vektorutrymmen definierade på samma uppsättning element, men över olika fält, kommer att vara olika vektorrum (till exempel uppsättningen av par av reella tal R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) kan vara ett tvådimensionellt vektorrum över fältet av reella tal eller endimensionellt - över fältet av komplexa tal).

De enklaste egenskaperna

1. Ett vektorrum är en Abelisk grupp under addition.
2. Neutralt element 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) för vem som helst .
4. För vem som helst x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) motsatt element − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V)är det enda som följer av gruppfastigheter.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) för vem som helst x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) för alla och x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) för vem som helst α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Relaterade definitioner och egenskaper

Subspace

Algebraisk definition: Linjärt delrum eller vektor underrum- icke-tom delmängd K (\displaystyle K) linjärt utrymme V (\displaystyle V) Så att K (\displaystyle K)är i sig ett linjärt utrymme med avseende på de som definieras i V (\displaystyle V) operationer med addition och multiplikation med en skalär. Uppsättningen av alla delrum betecknas vanligtvis som L a t (V) (\displaystyle \mathrm (lat) (V)). För att en delmängd ska vara ett delrum är det nödvändigt och tillräckligt att

De två sista påståendena motsvarar följande:

För alla vektorer x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vektor α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) hörde också till K (\displaystyle K) för alla α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

Speciellt är ett vektorrum som består av endast en nollvektor ett delrum till vilket rymd som helst; varje rum är ett delrum av sig självt. Delrum som inte sammanfaller med dessa två kallas egen eller icke-trivialt.

Egenskaper för delrum

Linjära kombinationer

Slutsumman av blanketten

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

Den linjära kombinationen kallas:

Grund. Dimensionera

Vektorer x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) kallas linjärt beroende, om det finns en icke-trivial linjär kombination av dem vars värde är lika med noll; det är

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

vid vissa koefficienter α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\i F,) och åtminstone en av koefficienterna α i (\displaystyle \alpha _(i)) skiljer sig från noll.

Annars kallas dessa vektorer linjärt oberoende.

Denna definition tillåter följande generalisering: en oändlig uppsättning vektorer från V (\displaystyle V) kallad linjärt beroende, om några är linjärt beroende slutlig en delmängd av den, och linjärt oberoende, om något av det slutlig delmängden är linjärt oberoende.

Basens egenskaper:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

Linjärt skal

Linjärt skal delmängder X (\displaystyle X) linjärt utrymme V (\displaystyle V)- skärningspunkten mellan alla delrum V (\displaystyle V) som innehåller X (\displaystyle X).

Det linjära spannet är ett delrum V (\displaystyle V).

Linjärt skal kallas också underutrymme genereras X (\displaystyle X). Det sägs också att det linjära skalet V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- Plats, sträckt över ett gäng X (\displaystyle X).

1. Uppsättning polynom P n (x) grader inte högre n.

2. Ett gäng n-termsekvenser (med term-för-term addition och multiplikation med en skalär).

3 . Många funktioner C [ A , b ] kontinuerligt på [ A, b] och med punktvis addition och multiplikation med en skalär.

4. Många funktioner specificerade på [ A, b] och försvinner vid någon fast inre punkt c: f (c) = 0 och med punktvisa operationer av addition och multiplikation med en skalär.

5. Ställ in R+, if x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§8. Definition av delrum

Låt setet Wär en delmängd av linjärt rymd V (W  V) och sådant

a)  x, yW  x ⊕ yW;

b)  xW,    ⊙ xW.

Operationerna för addition och multiplikation här är desamma som i rymden V(de kallas rymdinducerade V).

Så många W kallas ett underrum av rymden V.

7  . Subspace W i sig är utrymme.

◀ För att bevisa det räcker det att bevisa existensen av ett neutralt element och dess motsats. Likheter 0⊙ x=  och (–1)⊙ X = –X bevisa vad som är nödvändigt.

Ett delrum som endast består av ett neutralt element () och ett delrum som sammanfaller med själva rummet V, kallas triviala delrum i rummet V.

§9. Linjär kombination av vektorer. Linjär span av vektorsystem

Låt vektorerna e 1 ,e 2 , …e n V och  1,  2 , …  n .

Vektor x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = kallas linjär kombination av vektorer e 1 , e 2 , … , e n med koefficienter  1,  2 , …  n .

Om alla koefficienter i en linjär kombination är lika med noll, då den linjära kombinationen kallad trivial.

Uppsättning av alla möjliga linjära kombinationer av vektorer
kallas det linjära skrovet detta system av vektorer och betecknas:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Korrektheten av operationerna för addition och multiplikation med en skalär följer av det faktum att ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) är en uppsättning av alla möjliga linjära kombinationer. Det neutrala elementet är en trivial linjär kombination. För element X=
motsatsen är elementet - x =
. De axiom som verksamheten måste uppfylla är också uppfyllda. Alltså ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) är ett linjärt utrymme.

Varje linjärt utrymme innehåller, i det allmänna fallet, ett oändligt antal andra linjära utrymmen (delrum) - linjära skal

I framtiden kommer vi att försöka svara på följande frågor:

När består linjära skal av olika vektorsystem av samma vektorer (dvs sammanfaller)?

2) Vilket är det minsta antalet vektorer som definierar samma linjära spann?

3) Är det ursprungliga rymden ett linjärt spann av något system av vektorer?

§10. Kompletta vektorsystem

Om i rymden V det finns en ändlig uppsättning vektorer
så vad,ℒ
 V, sedan systemet av vektorer
kallas ett komplett system i V, och rymden kallas finitdimensionell. Alltså systemet av vektorer e 1 , e 2 , …, e n V kallas komplett in V system, dvs. Om

XV   1 ,  2 , …  n så att x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Om i rymden V det finns inget ändligt komplett system (och ett komplett existerar alltid - till exempel mängden av alla vektorer i rymden V), sedan utrymmet V kallas oändligt dimensionell.

9  . Om
fullt in V system av vektorer och y V, Den där ( e 1 , e 2 , …, e n , y) är också ett komplett system.

◀ I linjära kombinationer koefficienten före y ta lika med 0.

Låta vara ett system av vektorer från vektorrymden Vöver fältet P.

Definition 2: Linjärt skal L system Aär mängden av alla linjära kombinationer av vektorer i systemet A. Beteckning LA).

Det kan visas för vilket två system som helst A Och B,

A linjärt uttryckt genom B om och endast om . (1)

A likvärdig B då och bara när L(A)=L(B). (2)

Beviset följer av föregående egendom

3 Det linjära spannet för ett system av vektorer är ett delrum av rummet V.

Bevis

Ta valfria två vektorer och från LA), med följande expansioner i vektorer från A: . Låt oss kontrollera genomförbarheten av villkor 1) och 2) i kriteriet:

Eftersom det är en linjär kombination av systemvektorer A.

Eftersom det också är en linjär kombination av systemvektorer A.

Låt oss nu överväga matrisen. Linjär span av matrisrader A kallas matrisens radutrymme och betecknas Lr(A). Linjär span av matriskolonner A kallas kolumnutrymme och betecknas Lc(A). Observera att när rad- och kolumnutrymmet i matrisen Aär delrum till olika aritmetiska rum P n Och Pm respektive. Med hjälp av påstående (2) kan vi komma till följande slutsats:

Sats 3: Om en matris erhålls från en annan genom en kedja av elementära transformationer, sammanfaller radutrymmena för sådana matriser.

Summa och skärningspunkt av delrum

Låta L Och M- två delrum av rymden R.

Belopp L+M kallas en uppsättning vektorer x+y , Var x ∈L Och y ∈M. Uppenbarligen alla linjära kombinationer av vektorer från L+M tillhör L+M, därav L+Mär ett underrum till rummet R(kan sammanfalla med utrymme R).

Genom att korsa L∩M delrum L Och Mär uppsättningen av vektorer som samtidigt tillhör delrum L Och M(kan bara bestå av en nollvektor).

Sats 6.1. Summan av dimensioner av godtyckliga delrum L Och Mändligt dimensionellt linjärt utrymme R lika med dimensionen av summan av dessa delrum och dimensionen av skärningspunkten mellan dessa delrum:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Bevis. Låt oss beteckna F=L+M Och G=L∩M. Låta G g-dimensionellt delrum. Låt oss välja en grund i den. Därför att G⊂L Och G⊂M, därför grund G kan läggas till grunden L och till basen M. Låt grunden för underrummet L och låt grunden för underrummet M. Låt oss visa att vektorerna

(6.1) utgör grunden F=L+M. För att vektorer (6.1) ska ligga till grund för rummet F de måste vara linjärt oberoende och varje vektor av rymd F kan representeras av en linjär kombination av vektorer (6.1).

Låt oss bevisa vektorernas linjära oberoende (6.1). Låt nollvektorn av rymden F representeras av en linjär kombination av vektorer (6.1) med några koefficienter:

Den vänstra sidan av (6.3) är delrumsvektorn L, och den högra sidan är delrumsvektorn M. Därför vektorn

(6.4) tillhör underrummet G=L∩M. Å andra sidan vektorn v kan representeras av en linjär kombination av basvektorer i delrummet G:

(6.5) Från ekvationerna (6.4) och (6.5) har vi:

Men vektorer är grunden för subrymden M, därför är de linjärt oberoende och . Då kommer (6.2) att ha formen:

På grund av det linjära oberoendet av basen för underrummet L vi har:

Eftersom alla koefficienter i ekvation (6.2) visade sig vara noll, så är vektorerna

linjärt oberoende. Men vilken vektor som helst z från F(genom definition av summan av delrum) kan representeras av summan x+y , Var x ∈ L,y ∈ M. I sin tur x representeras av en linjär kombination av vektorer a y - linjär kombination av vektorer. Därför skapar vektorer (6.10) delrummet F. Vi fann att vektorer (6.10) utgör en bas F=L+M.

Studerar underrumsbaser L Och M och delrumsbas F=L+M(6.10), vi har: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Därav:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Direkt summa av delrum

Definition 6.2. Plats F representerar den direkta summan av delrum L Och M, om varje vektor x Plats F kan endast representeras som en summa x=y+z , Var y ∈L och z ∈M.

Det direkta beloppet anges L⊕M. De säger att om F=L⊕M, Den där F sönderdelas till den direkta summan av dess delrum L Och M.

Sats 6.2. För att n-dimensionellt utrymme R var den direkta summan av delrum L Och M, det räcker till korsningen L Och M innehöll endast nollelementet och att dimensionen R var lika med summan av underrummens dimensioner L Och M.

Bevis. Låt oss välja någon bas i delrummet L och någon bas i delrummet M. Låt oss bevisa det

(6.11) är grunden för utrymmet R. Enligt villkoren för satsen, dimensionen av rymden Rn lika med summan av delrum L Och M (n=l+m). Det räcker för att bevisa elementens linjära oberoende (6.11). Låt nollvektorn av rymden R representeras av en linjär kombination av vektorer (6.11) med några koefficienter:

(6.13) Eftersom den vänstra sidan av (6.13) är en vektor av delrummet L, och den högra sidan är underrumsvektorn M Och L∩M=0 , Den där

(6.14) Men vektorer är baserna för delrum L Och M respektive. Därför är de linjärt oberoende. Sedan

(6.15) Det fastställdes att (6.12) endast är giltigt under villkoret (6.15), och detta bevisar vektorernas linjära oberoende (6.11). Därför utgör de en grund i R.

Låt x∈R. Låt oss utöka det enligt grunden (6.11):

(6.16)Från (6.16) har vi:

(6.18) Av (6.17) och (6.18) följer att vilken vektor som helst från R kan representeras som en summa av vektorer x 1 ∈L Och x 2 ∈M. Det återstår att bevisa att denna representation är unik. Låt, förutom representation (6.17), det finnas följande representation:

(6.19) Subtraherar (6.19) från (6.17) får vi

(6.20) Sedan , och L∩M=0 , sedan och . Därför och. ■

Sats 8.4 om dimensionen av summan av delrum. Om och är delrum av ett ändligt dimensionellt linjärt utrymme, så är dimensionen av summan av delrum lika med summan av deras dimensioner utan dimensionen för deras skärningspunkt ( Grassmanns formel):

(8.13)

I själva verket låt vara grunden för korsningen. Låt oss komplettera det med en ordnad uppsättning vektorer upp till basen av delrummet och en ordnad uppsättning vektorer upp till basen av delrummet. Ett sådant tillägg är möjligt med sats 8.2. Från dessa tre uppsättningar vektorer, låt oss skapa en ordnad uppsättning vektorer. Låt oss visa att dessa vektorer är generatorer av rymden. Faktum är att vilken vektor som helst i detta utrymme representeras som en linjär kombination av vektorer från en ordnad uppsättning

Därav, . Låt oss bevisa att generatorerna är linjärt oberoende och därför är de grunden för utrymmet. Låt oss faktiskt göra en linjär kombination av dessa vektorer och likställa den med nollvektorn: . Alla koefficienter för denna expansion är noll: delrum i ett vektorrum med bilinjär form är mängden av alla vektorer som är ortogonala mot varje vektor från . Denna uppsättning är ett vektorunderrum, som vanligtvis betecknas med .

Låta vara ett system av vektorer från . Linjärt skal vektorsystemär mängden av alla linjära kombinationer av vektorer i ett givet system, dvs.

Egenskaper för ett linjärt skal: Om , då för och .

Det linjära skalet har egenskapen att vara stängt med avseende på linjära operationer (operationerna addition och multiplikation med ett tal).

En delmängd av ett utrymme som har egenskapen att vara stängt med avseende på operationerna addition och multiplikation med tal kallaslinjärt delrum av rymden .

Det linjära skalet i ett vektorsystem är ett linjärt delrum av rymden.

Systemet av vektorer från kallas bas ,Om

Vilken vektor som helst kan uttryckas som en linjär kombination av basvektorer:

2. Systemet av vektorer är linjärt oberoende.

Lemma Vector expansionskoefficienter enligt grunden är unikt bestämda.

Vektor , sammansatt av vektorexpansionskoefficienter enligt basen kallas vektorns koordinatvektor i grunden .

Beteckning . Denna post betonar att vektorns koordinater beror på basen.

Linjära utrymmen

Definitioner

Låt en uppsättning element av godtycklig natur ges. Låt två operationer definieras för elementen i denna mängd: addition och multiplikation med valfri verklig nummer: , och ställ in stängd angående dessa operationer: . Låt dessa operationer följa axiomen:

3. Det finns en nollvektor med egenskapen för ;

4. för varje det finns en invers vektor med egenskapen ;

6. för , ;

7. för , ;

Då kallas en sådan uppsättning linjärt (vektor) utrymme, kallas dess element vektorer, och - för att understryka deras skillnad från siffrorna från - de senare kallas skalärer 1) . Ett utrymme som består av endast en nollvektor kallas trivial .

Om vi ​​i axiom 6 - 8 tillåter multiplikation med komplexa skalärer, kallas ett sådant linjärt utrymme omfattande. För att förenkla vårt resonemang kommer vi i det följande endast att överväga verkliga utrymmen.

Ett linjärt utrymme är en grupp med avseende på driften av addition och en Abelisk grupp.

Det unika hos nollvektorn och det unika hos vektorn inverst till vektorn är lätt att bevisa: , brukar det betecknas .

En delmängd av ett linjärt utrymme som i sig är ett linjärt utrymme (det vill säga stängt under addition av vektorer och multiplikation med en godtycklig skalär) kallas linjärt delrum Plats. Triviala delrum Ett linjärt utrymme kallas sig själv och utrymmet som består av en nollvektor.

Exempel. Utrymmet för ordnade trippel av reella tal

operationer definierade av jämlikheterna:

Den geometriska tolkningen är uppenbar: en vektor i rymden, "bunden" till ursprunget, kan specificeras i koordinaterna för dess ände. Figuren visar också ett typiskt delrum av rymden: ett plan som passerar genom origo. Mer exakt är elementen vektorer som har sitt ursprung i origo och slutar vid punkter i planet. Slutenheten hos en sådan uppsättning med avseende på tillägg av vektorer och deras utvidgning 2) är uppenbar.

Baserat på denna geometriska tolkning talar man ofta om en vektor av ett godtyckligt linjärt utrymme som punkt i rymden. Ibland kallas denna punkt "änden på vektorn". Bortsett från bekvämligheten med associativ perception, ges dessa ord ingen formell betydelse: begreppet "slut på en vektor" saknas i det linjära rummets axiomatik.

Exempel. Baserat på samma exempel kan vi ge en annan tolkning av vektorrymden (förresten inbäddad i själva ursprunget till ordet "vektor" 3)) - det definierar en uppsättning "förskjutningar" av punkter i rymden. Dessa skiftningar - eller parallella översättningar av någon rumslig figur - väljs att vara parallella med planet.

Generellt sett är allt inte så enkelt med sådana tolkningar av begreppet vektor. Försök att vädja till dess fysiska betydelse - som ett objekt som har storlek Och riktning- orsaka en rättvis tillrättavisning från strikta matematiker. Definitionen av en vektor som ett element i vektorrymden påminner mycket om episoden med sepulchami från den berömda science fiction-historien av Stanislaw Lem (se ☞HÄR). Låt oss inte hänga oss i formalism, utan utforska detta luddiga objekt i dess speciella manifestationer.

Exempel. En naturlig generalisering är rymd: rad- eller kolumnvektorutrymme . Ett sätt att ange ett delutrymme i är att ange en uppsättning begränsningar.

Exempel. Uppsättningen av lösningar till ett system av linjära homogena ekvationer:

bildar ett linjärt delrum av rummet. Faktum är att om

Systemets lösning alltså

Samma lösning för alla. Om

En annan lösning på systemet alltså

Det blir också hennes beslut.

Varför finns det många lösningar på systemet? heterogen bildar inte ekvationer ett linjärt delrum?

Exempel. Genom att generalisera ytterligare kan vi överväga utrymmet för "oändliga" strängar eller sekvenser , vanligtvis föremål för matematisk analys - när man överväger sekvenser och serier. Du kan betrakta linjer (sekvenser) "oändliga i båda riktningarna" - de används i SIGNALTEORIN.

Exempel. Mängden -matriser med reella element med operationerna matrisaddition och multiplikation med reella tal bildar ett linjärt mellanrum.

I rymden av kvadratiska matriser kan två delrum urskiljas: delrummet för symmetriska matriser och delrummet för skevsymmetriska matriser. Dessutom bildar delrum var och en av uppsättningarna: övre triangulära, nedre triangulära idiagonala matriser.

Exempel. En uppsättning polynom av en variabel grad exakt lika med koefficienterna för (där är någon av mängderna eller ) med de vanliga operationerna för addition av polynom och multiplikation med ett tal från bildas inte linjärt utrymme. Varför? - Eftersom det inte är stängt under addition: summan av polynom kommer inte att vara ett polynom av den e graden. Men här finns många polynom av grad inte högre

linjära rymdformer; bara till denna mängd måste vi också lägga till ett identiskt nollpolynom 4). De uppenbara underrummen är . Dessutom kommer delrymden att vara mängden jämna och mängden udda polynom med högst grad . Mängden av alla möjliga polynom (utan begränsningar av grader) bildar också ett linjärt utrymme.

Exempel. En generalisering av det tidigare fallet kommer att vara utrymmet för polynom av flera variabler av grad som mest med koefficienter från . Till exempel mängden linjära polynom

bildar ett linjärt utrymme. Uppsättningen av homogena polynom (former) av grad (med tillägg av ett identiskt nollpolynom till denna mängd) är också ett linjärt mellanrum.

När det gäller definitionen ovan, uppsättningen strängar med heltalskomponenter

beaktas med avseende på operationerna för komponentvis addition och multiplikation med heltal skalärer är inte ett linjärt utrymme. Alla axiom 1 - 8 kommer dock att vara uppfyllda om vi tillåter multiplikation endast med heltalsskalärer. I det här avsnittet kommer vi inte att fokusera på detta objekt, men det är ganska användbart i diskret matematik, till exempel i ☞ KODNINGSTEORI. Linjära mellanrum över ändliga fält beaktas ☞ HÄR.

Variablerna är isomorfa i förhållande till rymden av symmetriska matriser av den e ordningen. Isomorfismen etableras av en korrespondens, som vi kommer att illustrera för fallet:

Begreppet isomorfism introduceras för att genomföra studien av objekt som uppstår i olika områden av algebra, men med "liknande" egenskaper för operationer, med hjälp av exemplet med ett prov, utarbeta resultat på det som sedan kan replikeras billigt. Vilket linjärt utrymme ska vi ta "som ett prov"? - Se slutet av nästa stycke

Liknande artiklar