Matematiska uttryck och problem kräver mycket ytterligare kunskap. NOC är en av de viktigaste, särskilt ofta används i Ämnet studeras i gymnasiet, och det är inte särskilt svårt att förstå material; en person som är bekant med potenser och multiplikationstabellen kommer inte att ha svårt att identifiera de nödvändiga talen och upptäcka resultat.

Definition

En gemensam multipel är ett tal som kan delas helt upp i två tal samtidigt (a och b). Oftast erhålls detta tal genom att multiplicera de ursprungliga talen a och b. Talet måste vara delbart med båda talen samtidigt, utan avvikelser.

NOC är det korta namnet som antagits för beteckningen, samlat från de första bokstäverna.

Sätt att få ett nummer

Metoden att multiplicera tal är inte alltid lämplig för att hitta LCM, den är mycket bättre lämpad för enkla ensiffriga eller tvåsiffriga tal. Det är vanligt att dela upp i faktorer, ju större antal, desto fler faktorer kommer det att finnas.

Exempel #1

För det enklaste exemplet använder skolor vanligtvis primtal, en- eller tvåsiffriga tal. Till exempel måste du lösa följande uppgift, hitta den minsta gemensamma multipeln av siffrorna 7 och 3, lösningen är ganska enkel, multiplicera dem bara. Som ett resultat finns det ett nummer 21, det finns helt enkelt inget mindre antal.

Exempel nr 2

Den andra versionen av uppgiften är mycket svårare. Siffrorna 300 och 1260 anges, att hitta LOC är obligatoriskt. För att lösa problemet antas följande åtgärder:

Nedbrytning av de första och andra talen i enkla faktorer. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Den första etappen är klar.

Det andra steget innebär att arbeta med redan inhämtade data. Vart och ett av de mottagna siffrorna måste delta i beräkningen av slutresultatet. För varje faktor tas det största antalet förekomster från de ursprungliga siffrorna. LCM är ett allmänt tal, så talens faktorer måste upprepas i det, varenda en, även de som finns i ett exemplar. Båda initialsiffrorna innehåller siffrorna 2, 3 och 5, i olika potenser, 7 är endast närvarande i ett fall.

För att beräkna slutresultatet måste du ta varje tal i den största av potenserna representerade i ekvationen. Allt som återstår är att multiplicera och få svaret; om den är korrekt ifylld ryms uppgiften i två steg utan förklaring:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Det är hela problemet, om du försöker beräkna det nödvändiga antalet genom multiplikation, kommer svaret definitivt inte att vara korrekt, eftersom 300 * 1260 = 378 000.

Undersökning:

6300 / 300 = 21 - korrekt;

6300 / 1260 = 5 - korrekt.

Korrektheten av det erhållna resultatet bestäms genom att kontrollera - dividera LCM med båda initiala talen; om talet är ett heltal i båda fallen är svaret korrekt.

Vad betyder NOC i matematik?

Som ni vet finns det inte en enda värdelös funktion i matematik, den här är inget undantag. Det vanligaste syftet med detta tal är att reducera bråk till en gemensam nämnare. Vad man brukar läsa i årskurs 5-6 på gymnasiet. Det är också en gemensam divisor för alla multipler, om sådana förhållanden finns i problemet. Ett sådant uttryck kan hitta en multipel inte bara av två tal, utan också av ett mycket större tal - tre, fem och så vidare. Ju fler siffror, desto fler åtgärder i uppgiften, men komplexiteten ökar inte.

Till exempel, med tanke på siffrorna 250, 600 och 1500, måste du hitta deras vanliga LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - detta exempel beskriver faktorisering i detalj, utan reduktion.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

För att komponera ett uttryck är det nödvändigt att nämna alla faktorer, i detta fall ges 2, 5, 3 - för alla dessa siffror är det nödvändigt att bestämma den maximala graden.

Observera: alla faktorer måste bringas till en punkt för fullständig förenkling, om möjligt, nedbruten till ensiffrig nivå.

Undersökning:

1) 3000 / 250 = 12 - korrekt;

2) 3000 / 600 = 5 - sant;

3) 3000 / 1500 = 2 - korrekt.

Denna metod kräver inga tricks eller geninivåförmågor, allt är enkelt och tydligt.

En annan väg

I matematik hänger många saker ihop, många saker kan lösas på två eller flera sätt, detsamma gäller för att hitta den minsta gemensamma multipeln, LCM. Följande metod kan användas för enkla tvåsiffriga och ensiffriga nummer. En tabell sammanställs i vilken multiplikatorn läggs in vertikalt, multiplikatorn horisontellt och produkten indikeras i de korsande cellerna i kolumnen. Du kan reflektera tabellen med hjälp av en linje, ta ett nummer och skriva ner resultatet av att multiplicera detta tal med heltal, från 1 till oändligt, ibland räcker det med 3-5 poäng, de andra och efterföljande talen genomgår samma beräkningsprocess. Allt händer tills en gemensam multipel hittas.

Med tanke på siffrorna 30, 35, 42 måste du hitta LCM som förbinder alla nummer:

1) Multiplar av 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etc.

2) Multiplar av 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, etc.

3) Multiplar av 42: 84, 126, 168, 210, 252, etc.

Det märks att alla siffror är ganska olika, det enda vanliga numret bland dem är 210, så det blir NOC. Bland processerna som ingår i denna beräkning finns också en största gemensamma divisor, som beräknas enligt liknande principer och ofta påträffas i närliggande problem. Skillnaden är liten, men ganska betydande, LCM innebär att man beräknar talet som divideras med alla givna initiala värden, och GCD innebär att man beräknar det största värdet som de ursprungliga talen divideras med.

Men många naturliga tal är också delbara med andra naturliga tal.

Till exempel:

Talet 12 är delbart med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;

Talet 36 är delbart med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.

De tal som talet är delbart med en hel (för 12 är dessa 1, 2, 3, 4, 6 och 12) kallas sifferdelare. Divider för ett naturligt tal a- är ett naturligt tal som delar ett givet tal a spårlöst. Ett naturligt tal som har fler än två delare kallas sammansatt .

Observera att siffrorna 12 och 36 har gemensamma faktorer. Dessa tal är: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den största delaren av dessa tal är 12. Den gemensamma delaren för dessa två tal a Och b- detta är det tal som båda givna talen divideras med utan rest a Och b.

Gemensamma multiplar flera tal är ett tal som är delbart med vart och ett av dessa tal. Till exempel, talen 9, 18 och 45 har en gemensam multipel av 180. Men 90 och 360 är också deras gemensamma multipel. Bland alla vanliga multiplar finns det alltid en minsta, i det här fallet är det 90. Detta nummer kallas den minstagemensam multipel (CMM).

LCM är alltid ett naturligt tal som måste vara större än det största av de tal som det är definierat för.

Minsta gemensamma multipel (LCM). Egenskaper.

Kommutativitet:

Associativitet:

I synnerhet, om och är coprimtal, då:

Minsta gemensamma multipel av två heltal m Och när en divisor av alla andra gemensamma multipler m Och n. Dessutom uppsättningen gemensamma multiplar m, n sammanfaller med mängden av multipler av LCM( m, n).

Asymptotiken för kan uttryckas i termer av några talteoretiska funktioner.

Så, Chebyshev funktion. Och:

Detta följer av definitionen och egenskaperna för Landau-funktionen g(n).

Vad som följer av lagen om fördelningen av primtal.

Hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM).

NOC( a, b) kan beräknas på flera sätt:

1. Om den största gemensamma divisorn är känd kan du använda dess anslutning till LCM:

2. Låt den kanoniska uppdelningen av båda talen till primtalsfaktorer vara känd:

Var p 1,...,p k- olika primtal, och d 1,...,d k Och e 1,...,e k— icke-negativa heltal (de kan vara nollor om motsvarande primtal inte finns i expansionen).

Sedan NOC ( a,b) beräknas med formeln:

Med andra ord innehåller LCM-sönderdelningen alla primfaktorer som ingår i åtminstone en av nedbrytningarna av tal a, b, och den största av de två exponenterna för denna multiplikator tas.

Exempel:

Att beräkna den minsta gemensamma multipeln av flera tal kan reduceras till flera sekventiella beräkningar av LCM för två tal:

Regel. För att hitta LCM för en serie nummer behöver du:

- dekomponera tal till primtalsfaktorer;

- överföra den största sönderdelningen (produkten av faktorerna av det största antalet av de givna) till faktorerna för den önskade produkten, och lägg sedan till faktorer från sönderdelningen av andra siffror som inte förekommer i det första talet eller förekommer i det färre gånger;

— Den resulterande produkten av primtalsfaktorer kommer att vara LCM för de givna talen.

Alla två eller flera naturliga tal har sin egen LCM. Om talen inte är multiplar av varandra eller inte har samma faktorer i expansionen, så är deras LCM lika med produkten av dessa tal.

Primfaktorerna för talet 28 (2, 2, 7) kompletteras med en faktor 3 (talet 21), den resulterande produkten (84) kommer att vara det minsta talet som är delbart med 21 och 28.

Primfaktorerna för det största talet 30 kompletteras med faktorn 5 av talet 25, den resulterande produkten 150 är större än det största talet 30 och är delbar med alla givna tal utan rest. Detta är den minsta möjliga produkten (150, 250, 300...) som är en multipel av alla givna tal.

Talen 2,3,11,37 är primtal, så deras LCM är lika med produkten av de givna talen.

Regel. För att beräkna LCM för primtal måste du multiplicera alla dessa tal tillsammans.

Ett annat alternativ:

För att hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM) av flera tal behöver du:

1) representerar varje tal som en produkt av dess primtalsfaktorer, till exempel:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) skriv ner styrkorna för alla primfaktorer:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) skriv ner alla primtalsdelare (multiplikatorer) för vart och ett av dessa tal;

4) välj den största graden av var och en av dem, som finns i alla expansioner av dessa siffror;

5) multiplicera dessa potenser.

Exempel. Hitta LCM för siffrorna: 168, 180 och 3024.

Lösning. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Vi skriver ner de största potenserna av alla primtalare och multiplicerar dem:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Skolbarn får många uppgifter i matematik. Bland dem finns det väldigt ofta problem med följande formulering: det finns två betydelser. Hur hittar man den minsta gemensamma multipeln av givna tal? Det är nödvändigt att kunna utföra sådana uppgifter, eftersom de förvärvade färdigheterna används för att arbeta med bråk med olika nämnare. I den här artikeln kommer vi att titta på hur man hittar LOC och grundläggande koncept.

Grundläggande koncept

Innan du hittar svaret på frågan om hur man hittar LCM måste du definiera termen multipel. Oftast låter formuleringen av detta begrepp så här: en multipel av ett visst värde A är ett naturligt tal som kommer att vara delbart med A utan rest. Så för 4 blir multiplerna 8, 12, 16, 20, och så vidare, till den gräns som krävs.

I det här fallet kan antalet divisorer för ett specifikt värde begränsas, men multiplerna är oändligt många. Det finns också samma värde för naturvärden. Detta är en indikator som är uppdelad i dem utan en rest. Efter att ha förstått konceptet med det minsta värdet för vissa indikatorer, låt oss gå vidare till hur man hittar det.

Att hitta NOC

Den minsta multipeln av två eller flera exponenter är det minsta naturliga talet som är helt delbart med alla angivna tal.

Det finns flera sätt att hitta ett sådant värde, överväg följande metoder:

1. Om siffrorna är små, skriv ner på en rad alla de som är delbara med den. Fortsätt göra detta tills du hittar något gemensamt bland dem. Skriftligt betecknas de med bokstaven K. Till exempel för 4 och 3 är den minsta multipeln 12.
2. Om dessa är stora eller om du behöver hitta en multipel av 3 eller fler värden, bör du använda en annan teknik som innebär att sönderdela tal till primtalsfaktorer. Lägg först ut den största listade, sedan alla andra. Var och en av dem har sitt eget antal multiplikatorer. Som ett exempel, låt oss dekomponera 20 (2*2*5) och 50 (5*5*2). För den mindre, understryka faktorerna och lägg till dem till den största. Resultatet blir 100, vilket kommer att vara den minsta gemensamma multipeln av ovanstående siffror.
3. När man hittar 3 nummer (16, 24 och 36) är principerna desamma som för de andra två. Låt oss utöka var och en av dem: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Endast två tvåor från expansionen av talet 16 ingick inte i expansionen av den största. Vi adderar dem och får 144, vilket är det minsta resultatet för de tidigare angivna numeriska värdena.

Nu vet vi vad den allmänna tekniken är för att hitta det minsta värdet för två, tre eller fler värden. Det finns dock även privata metoder, hjälper till att söka efter NOC om de tidigare inte hjälper.

Hur man hittar GCD och NOC.

Privata metoder för att hitta

Som med alla matematiska avsnitt finns det speciella fall av att hitta LCM som hjälper i specifika situationer:

• om ett av talen är delbart med de andra utan rest, då är den lägsta multipeln av dessa tal lika med den (LCM för 60 och 15 är 15);
• relativt primtal har inga gemensamma primtalsfaktorer. Deras minsta värde är lika med produkten av dessa tal. För siffrorna 7 och 8 blir det alltså 56;
• samma regel fungerar för andra fall, inklusive speciella, som kan läsas om i facklitteratur. Detta bör också omfatta fall av nedbrytning av sammansatta tal, som är ämnet för enskilda artiklar och till och med kandidatavhandlingar.

Specialfall är mindre vanliga än standardexempel. Men tack vare dem kan du lära dig att arbeta med bråkdelar av varierande grad av komplexitet. Detta gäller särskilt för fraktioner, där det finns ojämlika nämnare.

Några exempel

Låt oss titta på några exempel som hjälper dig att förstå principen att hitta minsta multipla:

1. Hitta LOC (35; 40). Vi dekomponerar först 35 = 5*7, sedan 40 = 5*8. Lägg till 8 till det minsta antalet och få LOC 280.
2. NOC (45; 54). Vi sönderdelar var och en av dem: 45 = 3*3*5 och 54 = 3*3*6. Vi lägger till talet 6 till 45. Vi får en LCM lika med 270.
3. Tja, det sista exemplet. Det finns 5 och 4. Det finns inga primtalsmultiplar av dem, så den minsta gemensamma multipeln i det här fallet kommer att vara deras produkt, som är lika med 20.

Tack vare exemplen kan du förstå hur NOC ligger, vilka nyanser är och vad meningen med sådana manipulationer är.

Att hitta NOC är mycket lättare än vad det från början kan verka. För att göra detta används både enkel expansion och multiplikation av enkla värden med varandra. Förmågan att arbeta med detta avsnitt av matematik hjälper till med vidare studier av matematiska ämnen, särskilt bråkdelar av varierande grad av komplexitet.

Glöm inte att regelbundet lösa exempel med olika metoder; detta utvecklar din logiska apparat och låter dig komma ihåg många termer. Lär dig hur du hittar en sådan exponent så kommer du att klara dig bra i resten av matematikavsnitten. Lycka till med att lära dig matematik!

Video

Den här videon hjälper dig att förstå och komma ihåg hur du hittar den minsta gemensamma multipeln.

Materialet som presenteras nedan är en logisk fortsättning på teorin från artikeln med titeln LCM - minsta gemensamma multipel, definition, exempel, samband mellan LCM och GCD. Här ska vi prata om hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM), och vi kommer att ägna särskild uppmärksamhet åt att lösa exempel. Först kommer vi att visa hur LCM för två tal beräknas med hjälp av GCD för dessa siffror. Därefter ska vi titta på att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att faktorisera tal till primtalsfaktorer. Efter detta kommer vi att fokusera på att hitta LCM för tre eller fler tal, och också vara uppmärksam på att beräkna LCM för negativa tal.

Sidnavigering.

Beräknar minsta gemensamma multipel (LCM) via GCD

Ett sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln är baserat på förhållandet mellan LCM och GCD. Den befintliga kopplingen mellan LCM och GCD tillåter oss att beräkna den minsta gemensamma multipeln av två positiva heltal genom en känd största gemensamma divisor. Motsvarande formel är LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Låt oss titta på exempel på hur man hittar LCM med den givna formeln.

Exempel.

Hitta den minsta gemensamma multipeln av två siffror 126 och 70.

Lösning.

I det här exemplet a=126 , b=70 . Låt oss använda kopplingen mellan LCM och GCD, uttryckt med formeln LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Det vill säga, först måste vi hitta den största gemensamma delaren för talen 70 och 126, varefter vi kan beräkna LCM för dessa tal med hjälp av den skrivna formeln.

Låt oss hitta GCD(126, 70) med den euklidiska algoritmen: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, därför GCD(126, 70)=14.

Nu hittar vi den minsta gemensamma multipeln som krävs: GCD(126; 70)=126·70:GCD(126; 70)= 126·70:14=630.

Svar:

LCM(126, 70)=630 .

Exempel.

Vad är LCM(68, 34) lika med?

Lösning.

Därför att 68 är delbart med 34, sedan GCD(68, 34)=34. Nu beräknar vi den minsta gemensamma multipeln: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Svar:

LCM(68, 34)=68 .

Observera att det föregående exemplet passar följande regel för att hitta LCM för positiva heltal a och b: om talet a är delbart med b, är den minsta gemensamma multipeln av dessa tal a.

Hitta LCM genom att faktorisera tal till primfaktorer

Ett annat sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln är baserat på att faktorisera tal till primtalsfaktorer. Om du komponerar en produkt från alla primtalsfaktorer av givna tal och sedan exkluderar från denna produkt alla vanliga primtalsfaktorer som finns i uppdelningen av de givna talen, så kommer den resulterande produkten att vara lika med den minsta gemensamma multipeln av de givna talen .

Den angivna regeln för att hitta LCM följer av jämlikheten LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Faktum är att produkten av talen a och b är lika med produkten av alla faktorer som är involverade i expansionen av talen a och b. I sin tur är GCD(a, b) lika med produkten av alla primtalsfaktorer som finns samtidigt i expansionerna av talen a och b (som beskrivs i avsnittet om att hitta GCD med hjälp av expansionen av tal till primtalsfaktorer).

Låt oss ge ett exempel. Låt oss veta att 75=3·5·5 och 210=2·3·5·7. Låt oss komponera produkten från alla faktorer i dessa expansioner: 2·3·3·5·5·5·7 . Nu från denna produkt exkluderar vi alla faktorer som finns i både expansionen av talet 75 och expansionen av talet 210 (dessa faktorer är 3 och 5), då kommer produkten att ha formen 2·3·5·5·7 . Värdet på denna produkt är lika med den minsta gemensamma multipeln av 75 och 210, dvs. NOC(75; 210)= 2·3·5·5·7=1 050.

Exempel.

Faktorisera talen 441 och 700 i primtal och hitta den minsta gemensamma multipeln av dessa tal.

Lösning.

Låt oss faktorisera talen 441 och 700 till primtalsfaktorer:

Vi får 441=3·3·7·7 och 700=2·2·5·5·7.

Låt oss nu skapa en produkt från alla faktorer som är involverade i expansionen av dessa siffror: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Låt oss utesluta från denna produkt alla faktorer som är närvarande samtidigt i båda expansionerna (det finns bara en sådan faktor - det här är siffran 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Således, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Svar:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Regeln för att hitta LCM med hjälp av faktorisering av tal till primtal kan formuleras lite annorlunda. Om de saknade faktorerna från expansionen av talet b adderas till faktorerna från expansionen av talet a, kommer värdet på den resulterande produkten att vara lika med den minsta gemensamma multipeln av talen a och b.

Låt oss till exempel ta samma siffror 75 och 210, deras nedbrytningar till primtalsfaktorer är som följer: 75=3·5·5 och 210=2·3·5·7. Till faktorerna 3, 5 och 5 från expansionen av talet 75 adderar vi de saknade faktorerna 2 och 7 från expansionen av talet 210, vi får produkten 2·3·5·5·7, vars värde är lika med LCM(75, 210).

Exempel.

Hitta den minsta gemensamma multipeln av 84 och 648.

Lösning.

Vi erhåller först nedbrytningarna av talen 84 och 648 till primtalsfaktorer. De ser ut som 84=2·2·3·7 och 648=2·2·2·3·3·3·3. Till faktorerna 2, 2, 3 och 7 från expansionen av talet 84 lägger vi till de saknade faktorerna 2, 3, 3 och 3 från expansionen av talet 648, vi får produkten 2 2 2 3 3 3 3 7, vilket är lika med 4 536 . Således är den önskade minsta gemensamma multipeln av 84 och 648 4,536.

Svar:

LCM(84, 648)=4,536.

Hitta LCM för tre eller fler nummer

Den minsta gemensamma multipeln av tre eller fler tal kan hittas genom att sekventiellt hitta LCM för två tal. Låt oss komma ihåg motsvarande sats, som ger ett sätt att hitta LCM för tre eller fler tal.

Sats.

Låt positiva heltal a 1 , a 2 , …, a k ges, den minsta gemensamma multipeln m k av dessa tal hittas genom att sekventiellt beräkna m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Låt oss överväga tillämpningen av detta teorem med hjälp av exemplet att hitta den minsta gemensamma multipeln av fyra tal.

Exempel.

Hitta LCM för fyra siffror 140, 9, 54 och 250.

Lösning.

I det här exemplet är a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Först hittar vi m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140; 9). För att göra detta, med hjälp av den euklidiska algoritmen, bestämmer vi GCD(140, 9), vi har 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, därför GCD(140, 9)=1 , varifrån GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140·9:1=1,260. Det vill säga, m 2 = 1 260.

Nu hittar vi m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Låt oss beräkna det genom GCD(1 260, 54), som vi också bestämmer med den euklidiska algoritmen: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Sedan gcd(1,260, 54)=18, varav gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Det vill säga, m 3 = 3 780.

Allt som återstår är att hitta m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). För att göra detta hittar vi GCD(3,780, 250) med den euklidiska algoritmen: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Därför GCM(3,780; 250)=10, varav GCM(3,780; 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Det vill säga m 4 = 94 500.

Så den minsta gemensamma multipeln av de ursprungliga fyra talen är 94 500.

Svar:

LCM(140; 9; 54; 250)=94 500.

I många fall är det bekvämt att hitta den minsta gemensamma multipeln av tre eller flera tal med hjälp av primtalsfaktoriseringar av de givna talen. I det här fallet bör du följa följande regel. Den minsta gemensamma multipeln av flera tal är lika med produkten, som är sammansatt enligt följande: de saknade faktorerna från expansionen av det andra talet adderas till alla faktorer från expansionen av det första talet, de saknade faktorerna från expansionen av det tredje talet läggs till de resulterande faktorerna, och så vidare.

Låt oss titta på ett exempel på att hitta den minsta gemensamma multipeln med hjälp av primtalsfaktorisering.

Exempel.

Hitta den minsta gemensamma multipeln av de fem talen 84, 6, 48, 7, 143.

Lösning.

Först får vi uppdelningar av dessa tal i primtal: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 är ett primtal, det sammanfaller med dess sönderdelning i primtalsfaktorer) och 143=11·13.

För att hitta LCM för dessa siffror, till faktorerna för det första talet 84 (de är 2, 2, 3 och 7), måste du lägga till de saknade faktorerna från expansionen av den andra siffran 6. Nedbrytningen av siffran 6 innehåller inga saknade faktorer, eftersom både 2 och 3 redan finns i sönderdelningen av det första talet 84. Därefter lägger vi till faktorerna 2, 2, 3 och 7 de saknade faktorerna 2 och 2 från expansionen av det tredje talet 48, vi får en uppsättning faktorer 2, 2, 2, 2, 3 och 7. Det finns inget behov av att lägga till multiplikatorer till denna uppsättning i nästa steg, eftersom 7 redan finns i den. Slutligen, till faktorerna 2, 2, 2, 2, 3 och 7 lägger vi till de saknade faktorerna 11 och 13 från expansionen av talet 143. Vi får produkten 2·2·2·2·3·7·11·13, vilket är lika med 48 048.

Låt oss titta på tre sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln.

Hitta genom faktorisering

Den första metoden är att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att faktorisera de givna talen i primtalsfaktorer.

Låt oss säga att vi måste hitta LCM för talen: 99, 30 och 28. För att göra detta, låt oss faktorera vart och ett av dessa tal i primtalsfaktorer:

För att det önskade talet ska vara delbart med 99, 30 och 28 är det nödvändigt och tillräckligt att det inkluderar alla primtalsfaktorerna för dessa divisorer. För att göra detta måste vi ta alla primfaktorer för dessa tal till största möjliga styrka och multiplicera dem tillsammans:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Således är LCM (99, 30, 28) = 13 860. Inget annat tal mindre än 13 860 är delbart med 99, 30 eller 28.

För att hitta den minsta gemensamma multipeln av givna tal, räknar du in dem i deras primtalsfaktorer, tar sedan varje primtal med den största exponenten den förekommer i och multiplicerar dessa faktorer tillsammans.

Eftersom relativt primtal inte har gemensamma primtal är deras minsta gemensamma multipel lika med produkten av dessa tal. Till exempel är tre tal: 20, 49 och 33 relativt primtal. Det är därför

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Detsamma måste göras när man hittar den minsta gemensamma multipeln av olika primtal. Till exempel, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hitta genom urval

Den andra metoden är att hitta den minsta gemensamma multipeln genom urval.

Exempel 1. När det största av givna tal divideras med ett annat givet tal, är LCM för dessa tal lika med det största av dem. Till exempel med fyra siffror: 60, 30, 10 och 6. Var och en av dem är delbar med 60, därför:

LCM(60; 30; 10; 6) = 60

I andra fall, för att hitta den minsta gemensamma multipeln, används följande procedur:

1. Bestäm det största antalet från de givna talen.
2. Därefter hittar vi talen som är multiplar av det största talet genom att multiplicera det med naturliga tal i stigande ordning och kontrollera om den resulterande produkten är delbar med de återstående givna talen.

Exempel 2. Med tanke på tre siffror 24, 3 och 18. Vi bestämmer den största av dem - det här är talet 24. Därefter hittar vi talen som är multiplar av 24, och kontrollerar om var och en av dem är delbar med 18 och 3:

24 · 1 = 24 - delbart med 3, men inte delbart med 18.

24 · 2 = 48 - delbart med 3, men inte delbart med 18.

24 · 3 = 72 - delbart med 3 och 18.

Således är LCM (24, 3, 18) = 72.

Hitta genom att sekventiellt hitta LCM

Den tredje metoden är att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att sekventiellt hitta LCM.

LCM för två givna tal är lika med produkten av dessa tal dividerat med deras största gemensamma delare.

Exempel 1. Hitta LCM för två givna tal: 12 och 8. Bestäm deras största gemensamma delare: GCD (12, 8) = 4. Multiplicera dessa tal:

Vi delar produkten med deras gcd:

Alltså, LCM (12, 8) = 24.

För att hitta LCM för tre eller fler nummer, använd följande procedur:

1. Hitta först LCM för två av dessa tal.
2. Sedan, LCM för den hittade minsta gemensamma multipeln och det tredje givna talet.
3. Sedan, LCM för den resulterande minsta gemensamma multipeln och det fjärde talet, etc.
4. Alltså fortsätter sökandet efter LCM så länge det finns siffror.

Exempel 2. Låt oss hitta LCM för tre givna siffror: 12, 8 och 9. Vi hittade redan LCM för talen 12 och 8 i föregående exempel (detta är talet 24). Det återstår att hitta den minsta gemensamma multipeln av talet 24 och det tredje givna talet - 9. Bestäm deras största gemensamma divisor: GCD (24, 9) = 3. Multiplicera LCM med talet 9:

Vi delar produkten med deras gcd:

Således är LCM (12, 8, 9) = 72.

Liknande artiklar