Lektionens mål:

• lära eleverna att lösa ekvationer av högre grader med hjälp av Horners schema;
• utveckla förmågan att arbeta i par;
• skapa, i samband med kursens huvuddelar, en grund för att utveckla elevernas förmågor;
• hjälpa eleven att bedöma sin potential, utveckla intresset för matematik, förmågan att tänka och tala ut om ämnet.

Utrustning: kort för grupparbete, affisch med Horners diagram.

Undervisningsmetod: föreläsning, berättelse, förklaring, utföra träningsövningar.

Kontrollform: kontrollera självständiga lösningsproblem, självständigt arbete.

Under lektionerna

1. Organisatoriskt ögonblick

2. Uppdatera elevernas kunskaper

Vilken sats låter dig avgöra om ett tal är roten till en given ekvation (formulera en sats)?

Bezouts teorem. Resten av att dividera polynomet P(x) med binomet x-c är lika med P(c), talet c kallas roten av polynomet P(x) om P(c)=0. Satsen tillåter, utan att utföra divisionsoperationen, att avgöra om ett givet tal är roten till ett polynom.

Vilka påståenden gör det lättare att hitta rötter?

a) Om den ledande koefficienten för ett polynom är lika med ett, bör polynomets rötter sökas bland den fria termens divisorer.

b) Om summan av koefficienterna för ett polynom är 0, så är en av rötterna 1.

c) Om summan av koefficienterna på jämna ställen är lika med summan av koefficienterna på udda ställen, så är en av rötterna lika med -1.

d) Om alla koefficienter är positiva är polynomets rötter negativa tal.

e) Ett polynom med udda grad har minst en reell rot.

3. Att lära sig nytt material

När du löser hela algebraiska ekvationer måste du hitta värdena för polynomens rötter. Denna operation kan avsevärt förenklas om beräkningar utförs med hjälp av en speciell algoritm som kallas Horner-schemat. Denna krets är uppkallad efter den engelske vetenskapsmannen William George Horner. Horners schema är en algoritm för att beräkna kvoten och resten av att dividera polynomet P(x) med x-c. Kortfattat hur det fungerar.

Låt ett godtyckligt polynom P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n ges. Att dividera detta polynom med x-c är dess representation i formen P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Partiell g(x)=i 0 x n-1 + i n x n-2 +...+i n-2 x + i n-1, där i 0 =a 0, i n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Resten r(x)= st n-1 +a n. Denna beräkningsmetod kallas för Horner-schemat. Ordet "schema" i algoritmens namn beror på det faktum att dess implementering vanligtvis formateras enligt följande. Rita först tabell 2(n+2). I den nedre vänstra cellen skriver du talet c, och på den översta raden koefficienterna för polynomet P(x). I det här fallet lämnas den övre vänstra cellen tom.

	i 0 =a 0	i 1 =st 1 +a 1	i 2 = sv 1 + A 2		i n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Siffran som efter att ha kört algoritmen visar sig vara skriven i den nedre högra cellen är resten av divisionen av polynomet P(x) med x-c. De andra talen i 0, i 1, i 2,... på den nedersta raden är koefficienterna för kvoten.

Till exempel: Dividera polynomet P(x)= x 3 -2x+3 med x-2.

Vi får att x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Konsolidering av det studerade materialet

Exempel 1: Faktorisera polynomet P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 i faktorer med heltalskoefficienter.

Vi letar efter hela rötter bland delarna av den fria termen -1:1; -1. Låt oss göra en tabell:

X = -1 – rot

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Låt oss kolla 1/2.

					X=1/2 - rot

Därför kan polynomet P(x) representeras i formen

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Exempel 2: Lös ekvationen 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Eftersom summan av koefficienterna för polynomet skrivet på vänster sida av ekvationen är lika med noll, är en av rötterna 1. Låt oss använda Horners schema:

						X=1 - rot

Vi får P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Vi kommer att leta efter rötter bland delarna av fri termin 2.

Vi fick reda på att det inte fanns några intakta rötter längre. Låt oss kontrollera 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - rot

Svar: 1; -1/2.

Exempel 3: Lös ekvationen 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Vi kommer att leta efter rötterna till denna ekvation bland divisorerna för den fria termen 5: 1;-1;5;-5. x=1 är roten till ekvationen, eftersom summan av koefficienterna är noll. Låt oss använda Horners schema:

Låt oss presentera ekvationen som en produkt av tre faktorer: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. När vi löser andragradsekvationen 5x 2 -7x+5=0, fick vi D=49-100=-51, det finns inga rötter.

Kort 1

1. Faktorera polynomet: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Lös ekvationen: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Kort 2

1. Faktorisera polynomet: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Lös ekvationen: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Kort 3

1. Faktor in i: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Lös ekvationen: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Kort 4

1. Faktor in i: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Lös ekvationen: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Sammanfattning

Att testa kunskaper vid lösning i par utförs i klassen genom att känna igen handlingssättet och namnet på svaret.

Läxa:

Lös ekvationerna:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x4 +2x3 -x-2=0

Litteratur

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra and the beginnings of analysis, årskurs 10 (fördjupning av matematik): Enlightenment, 2005.
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Lösning av ekvationer av högre grader: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov, Nummersystem och deras tillämpning.

2 Horner-schema

3 friformsfunktioner

4 Hitta rötterna till polynom

Lista över använda informationskällor

1 Hitta rötterna till ekvationer (Ekvationsavsnitt 1)

En av de vanligaste metoderna för att hitta rötter till ekvationer är Newtons metod och dess modifieringar. Antag att vi måste lösa ekvationen

. Vi antar att x är en lösning på ekvationen. Låt oss expandera funktionen f(x) till en serie i en punkt x0 nära punkten x och begränsa oss till endast de två första termerna av expansionen.

Eftersom x är roten till ekvationen, alltså

. Därav,

Således, om vi vet det ungefärliga värdet av roten av ekvationen, så tillåter den resulterande ekvationen oss att förfina den. Det är tydligt att förfiningsprocessen kan upprepas många gånger tills värdet på funktionen skiljer sig från noll med ett belopp som är mindre än den angivna söknoggrannheten. Nästa k:te approximation hittas av formeln

Genom att begränsa expansionen till endast de två första termerna ersatte vi faktiskt funktionen f(x) med en rät linjetangent i punkten x0, varför Newtons metod också kallas tangentmetoden. Det är inte alltid bekvämt att hitta ett analytiskt uttryck för derivatan av en funktion. Detta är dock inte särskilt nödvändigt: eftersom vi vid varje steg får ett ungefärligt värde på roten, kan vi använda det ungefärliga värdet på derivatan för att beräkna det.

Som en liten mängd

du kan ta till exempel en given beräkningsnoggrannhet, då kommer beräkningsformeln att ta formen (1.1)

Å andra sidan, för att beräkna derivatan, kan du använda funktionsvärdena som erhållits i de två föregående stegen,

(1.2)

I denna form kallas metoden för sekantmetoden. I detta fall uppstår dock ett problem med att beräkna den första approximationen. Det brukar man tro

, det vill säga det första steget av beräkningar utförs med formeln (1.1), och alla efterföljande steg utförs med formeln (1.2). Det är detta beräkningsschema som är implementerat i Mathcad-paketet. Med sekantmetoden kan vi inte garantera att roten ligger mellan de två sista approximationerna. Det är dock möjligt att beräkna nästa approximation med hjälp av gränserna för det intervall över vilket funktionen byter tecken. Denna metod kallas ackordmetoden (falsepositionsmetod).

Idén med sekantmetoden utvecklas i Mullermetoden. Men i denna metod används de tre föregående punkterna för att hitta nästa approximation. Metoden använder med andra ord inte linjär, utan kvadratisk interpolation av en funktion. Metodens beräkningsformler är följande:

Tecknet framför roten väljs så att nämnarens absoluta värde är maximalt.

Eftersom sökningen efter roten slutar när villkoret är uppfyllt

, då kan falska rötter dyka upp. Till exempel, för en ekvation, kommer en falsk rot att visas om söknoggrannheten är inställd på mindre än 0,0001. Genom att öka söknoggrannheten kan du bli av med falska rötter. Detta tillvägagångssätt fungerar dock inte för alla ekvationer. Till exempel, för ekvationen , som uppenbarligen inte har några riktiga rötter, för någon noggrannhet, oavsett hur liten, det finns ett värde x som uppfyller kriteriet för att avsluta sökningen. Ovanstående exempel visar att resultaten av datorberäkningar alltid bör behandlas kritiskt och analyseras med avseende på rimlighet. För att undvika fallgropar när du använder ett standardpaket som implementerar numeriska metoder, måste du ha åtminstone en minimal förståelse för vilken numerisk metod som implementeras för att lösa ett visst problem.

I det fall då intervallet som roten ligger på är känt kan du använda andra metoder för att hitta en lösning på ekvationen.

Ridders metod beräknar värdet av en funktion i mitten av intervallet

. Leta sedan efter en exponentiell funktion så att sedan tillämpa ackordmetoden med värdena på . Nästa värde beräknas med formeln (1.5)

Brentmetoden kombinerar hastigheten hos Ridder-metoden och den garanterade konvergensen av bisektionsmetoden. Metoden använder invers kvadratisk interpolation, det vill säga den letar efter x som en kvadratisk funktion av y. Vid varje steg kontrolleras rotens plats. Metodens formler är ganska besvärliga och vi kommer inte att presentera dem.

Särskilda metoder används för att hitta rötterna till ett polynom. I det här fallet kan alla rötter hittas. Efter att en av polynomets rötter har hittats kan graden av polynomet sänkas, varefter sökningen efter roten upprepas.

Lobatsjovskijs metod, en metod för approximativ (numerisk) lösning av algebraiska ekvationer, funnit oberoende av varandra av den belgiske matematikern J. Dandelin, den ryske matematikern N. I. Lobatsjovskij (1834 i sin mest perfekta form) och den schweiziske matematikern C. Greffe. Kärnan i den linjära metoden är att konstruera ekvationen f1(x) = 0, vars rötter är kvadratrötterna av den ursprungliga ekvationen f(x) = 0. Sedan konstrueras ekvationen f2(x) = 0, vars rötter är kvadratrötterna av ekvationen f1(x) = 0. Upprepa denna process flera gånger ger en ekvation vars rötter är mycket separerade. Om alla rötter i den ursprungliga ekvationen är reella och olika i absolut värde, finns det enkla beräkningsscheman för linjära metoder för att hitta ungefärliga värden på rötterna. I fallet med rötter lika i absolut värde, såväl som komplexa rötter, är beräkningsscheman för linjära mätare mycket komplexa.

Laguerres metod är baserad på följande relationer för polynom

Tecknet framför roten väljs på ett sådant sätt att det största nämnarvärdet erhålls.

En annan metod som används för att hitta rötter till polynom är följeslagsmatrismetoden. Det kan bevisas att matrisen

kallas den medföljande matrisen för polynomet

, har egenvärden lika med polynomets rötter. Kom ihåg att egenvärdena för en matris är de tal  för vilka likheten eller . Det finns mycket effektiva metoder för att hitta egenvärden, varav några kommer vi att diskutera vidare. Således kan problemet med att hitta rötterna till ett polynom reduceras till problemet att hitta egenvärdena för den medföljande matrisen.

2 Horner-schema

Beräkningen med Horners schema visar sig vara mer effektiv, och den är inte särskilt komplicerad. Detta schema är baserat på följande representation av ett polynom:

p(x) = ((... ((anx + an-1)x + an-2)x + ... + a2)x + a1)x + a0.

Låt oss ta ett allmänt polynom av formen:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Vi kommer att anta att alla koefficienter an, ..., a0 är kända, konstanta och lagrade i en array. Detta betyder att den enda ingången för att utvärdera polynomet är värdet på x, och programmets utdata måste vara värdet på polynomet vid punkt x.

Egenskaper

där finns (i det allmänna fallet komplexa) rötter till ett polynom, eventuellt med upprepningar, och om det bland rötterna i ett polynom finns lika, kallas deras gemensamma värde multipel rot.

Att hitta rötter

Metoden för att hitta rötterna till linjära och kvadratiska polynom, det vill säga metoden för att lösa linjära och kvadratiska ekvationer, var känd i den antika världen. Sökandet efter en formel för den exakta lösningen av en generell ekvation av tredje graden fortsatte under lång tid (metoden som Omar Khayyam föreslagit bör nämnas) tills den kröntes med framgång under första hälften av 1500-talet i verken av Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia och Gerolamo Cardano. Formler för rötterna till andragradsekvationer och kubiska ekvationer gjorde det relativt enkelt att få formler för rötterna till ekvationer av fjärde graden.

Det faktum att rötterna till en generell ekvation av femte graden och högre inte kan uttryckas med rationella funktioner och koefficientradikaler bevisades av den norske matematikern Niels Abel 1826. Detta betyder inte alls att rötterna till en sådan ekvation inte kan hittas. För det första, i speciella fall, för vissa kombinationer av koefficienter, kan ekvationens rötter bestämmas med viss uppfinningsrikedom. För det andra finns det formler för rötterna till ekvationer av grad 5 och högre, som dock använder speciella funktioner - elliptiska eller hypergeometriska (se t.ex. Bring-roten).

Om alla koefficienter för ett polynom är rationella, leder det att hitta dess rötter till att hitta rötterna till ett polynom med heltalskoefficienter. För rationella rötter till sådana polynom finns det algoritmer för att hitta kandidater genom att söka med hjälp av Horners schema, och när man hittar hela rötter kan sökningen reduceras avsevärt genom att rengöra rötterna. Även i det här fallet kan du använda polynom LLL-algoritmen.

För att ungefärligen hitta (med vilken noggrannhet som helst) de reella rötterna till ett polynom med reella koefficienter används iterativa metoder, till exempel sekantmetoden, bisektionsmetoden, Newtons metod. Antalet reella rötter av ett polynom på ett intervall kan uppskattas med hjälp av Sturms sats.

se även

Anteckningar

Wikimedia Foundation. 2010.

• Avloppsnät
• Ordlista över vexillologiska termer

Se vad "Root of a polynomial" är i andra ordböcker:

Roten till algebraisk ekvation

Roten till ekvationen- Roten till ett polynom över fältet k är ett element som, efter att ha ersatt x, förvandlar ekvationen till en identitet. Egenskaper Om c är en rot av polynomet p(x ... Wikipedia

Ta med rot- Kontrollera informationen. Det är nödvändigt att kontrollera riktigheten av fakta och tillförlitligheten av informationen som presenteras i den här artikeln. Det bör finnas en förklaring på diskussionssidan. I algebra är Bring-roten eller ultraradikal en analytisk funktion som för... ... Wikipedia

Root (disambiguation)- Rot: Wiktionary har en artikel "rot" Rot (i botanik) är ett vegetativt axiellt underjordiskt organ av en växt som har sp ... Wikipedia

Root (i matematik)- Rot i matematik, 1) K. grad n av talet a ≈ tal x (betecknat), vars n:te grad är lika med a (det vill säga xn = a). Åtgärden att hitta K. kallas rotextraktion. För en ¹ 0 finns det n olika värden på K. (allmänt sett ... ...

Rot- I Root (radix) är ett av de viktigaste vegetativa organen hos lummiga växter (med undantag för mossor), som tjänar till vidhäftning till substratet, absorption av vatten och näringsämnen från det, primär omvandling av ett antal absorberade ämnen, .. .... Stora sovjetiska encyklopedien

ROT- 1) K. grad n från talet a nummer n och i graden x n till talet är lika med a. 2) Ekvationen för en algebraisk ekvation över ett fält K, elementet som, efter att ha ersatt den på plats, förvandlar ekvationen till en identitet. K. av denna ekvation kallas. även K. polynom Om det förekommer... ... Matematisk uppslagsverk

Multipel rot- polynom f (x) = a0xn + a1xn ​​1 +... + an, ett tal c så att f (x) är delbart utan rest med andra eller högre potens av binomet (x c). I det här fallet kallas c multiplicitetsroten om f (x) är delbart med (x c) k, men inte... ... Stora sovjetiska encyklopedien

Konjugera rot- Om något irreducerbart polynom över en ring ges och några av dess rötter i förlängningen väljs, så kallas konjugatroten för en given rot av polynomet vilken som helst rot av polynomet ... Wikipedia

Kvadratroten ur 2- lika med längden på hypotenusan i en rätvinklig triangel med benlängd 1. Kvadratroten av talet 2 är positiv ... Wikipedia

Om funktionen f(x) är ett polynom, kan alla dess rötter bestämmas med den inbyggda funktionen

där v är en vektor sammansatt av polynomets koefficienter.

Eftersom ett polynom av n:e graden har exakt n rötter (några av dem kan vara multipler), måste vektorn v bestå av n+1 element. Resultatet av funktionen polyroots() är en vektor som består av n rötter av polynomet i fråga. I det här fallet finns det inget behov av att införa någon initial approximation, som för funktionen root(). Ett exempel på att söka efter rötter till ett polynom av fjärde graden visas i fig. 4.6:

Ris. 4.6. Hitta roten till ett polynom

Koefficienterna för polynomet som betraktas i exemplet skrivs som en kolumnvektor som börjar med den fria termen och slutar med koefficienten med högsta potensen x n.

För funktionen polyroots() kan du välja en av två numeriska metoder - Lagger-polynommetoden (den är installerad som standard) eller parmatrismetoden. För att ändra metoden måste du ta fram snabbmenyn genom att högerklicka på ordet polyroots och välja antingen LaGuerre eller Companion Matrix högst upp i snabbmenyn. Sedan måste du klicka utanför polyroots-funktionen - och om det automatiska beräkningsläget är aktiverat kommer polynomets rötter att räknas om i enlighet med den nyvalda metoden.

För att överlåta valet av lösningsmetod till Mathcad måste du markera rutan AutoSelect genom att välja objektet med samma namn i samma sammanhangsmeny.

Lösa system av icke-linjära ekvationer

Överväg att lösa ett system av n olinjära ekvationer med m okända

f 1 (x 1,...,x m) = 0,

f n (x 1,...,x m) = 0,

Här är f 1 (x 1 ,... ,х m) , ..., f n (x 1 ,... ,х m) några skalära funktioner av skalära variabler x 1 ,... ,х m och ev. , från alla andra variabler. Det kan finnas antingen fler eller färre variabler i ekvationerna. Observera att ovanstående system formellt kan skrivas om som

där x är en vektor sammansatt av variablerna x 1,...,x m, och f (x) är motsvarande vektorfunktion.

För att lösa system finns det en speciell beräkningsenhet, bestående av tre delar, som kommer sekventiellt efter varandra:

Givet - nyckelord;

Ett system skrivet med booleska operatorer i form av likheter och möjligen ojämlikheter;

Find(x 1,...,x m) - inbyggd funktion för att lösa systemet med avseende på variablerna x 1,...,x m.

Given/Find-blocket använder iterativa metoder för att hitta en lösning, därför krävs det, precis som root()-funktionen, att ställa in initialvärdena för alla x 1,...,x m. Detta måste göras innan du skriver nyckelordet Given. Värdet på funktionen Hitta är en vektor som består av lösningen för varje variabel. Således är antalet vektorelement lika med antalet Find-argument.

Låt oss titta på ett exempel. Lös ett system av två ekvationer med två okända:

med en noggrannhet på 0,01. Separera rötterna grafiskt.

Låt oss presentera systemets ekvationer i form av följande funktioner för en variabel:

Låt oss välja diskreta värden för variablerna:

Låt oss hitta rötterna till ekvationen med hjälp av Given – Find()-blocket:

I fig. 4.7 visar ett annat exempel på att lösa ett system med två ekvationer:

Ris. 4.7. Lösa ett ekvationssystem

Först, Fig. 4.7 de funktioner som definierar ekvationssystemet introduceras. Sedan tilldelas variablerna x och y, i förhållande till vilka det kommer att lösas, initiala värden. Detta följs av nyckelordet Given och två booleska likhetsoperatorer som uttrycker det aktuella ekvationssystemet. Beräkningsblocket slutförs av Find-funktionen, vars värde tilldelas vektorn v. Därefter skrivs innehållet i vektor v ut, det vill säga systemets lösning. Det första elementet i vektorn är det första argumentet i sökfunktionen, det andra elementet är dess andra argument. I slutet kontrollerades korrektheten av lösningen av ekvationerna. Observera att ekvationerna kan definieras direkt inuti beräkningsenheten.

En grafisk tolkning av det övervägda systemet presenteras i fig. 4.8. Var och en av ekvationerna visas på xy-planet med en graf. Den första ekvationen representeras av en kurva, den andra av en heldragen linje. De två skärningspunkterna för kurvorna motsvarar den samtidiga exekveringen av båda ekvationerna, d.v.s. de önskade reella rötterna i systemet. Som är lätt att se, i fig. 4.7, endast en av de två lösningarna hittades - placerad i den nedre högra delen av grafen. För att hitta den andra lösningen bör du upprepa beräkningarna och ändra de initiala värdena så att de ligger närmare en annan skärningspunkt mellan graferna, till exempel x = -1, y = -1.

Ris. 4.8. Grafisk lösning av ett system med två ekvationer

Ett exempel på ett system med två ekvationer och samma antal okända övervägdes, vilket förekommer oftast. Det finns dock fall då antalet ekvationer och okända kanske inte sammanfaller. Dessutom kan ytterligare villkor i form av ojämlikheter läggas till beräkningsenheten. Till exempel, införandet av en begränsning för att endast söka efter negativa värden på x i exemplet som diskuteras ovan kommer att leda till att hitta en annan lösning, som visas i fig. 4.9:

Ris. 4.9. Lösa ett system av ekvationer och ojämlikheter

Trots samma initiala värden som i fig. 4.8, i fig. 4.9 en annan rot erhålls. Detta hände just på grund av införandet av en ytterligare ojämlikhet, som definieras i det givna blocket (x< 0).

Om du försöker lösa ett inkompatibelt system kommer Mathcad att visa ett felmeddelande om att ingen lösning har hittats och du bör försöka ändra de initiala värdena eller felvärdet.

Beräkningsenheten använder CTOL-konstanten för att uppskatta felet vid lösning av ekvationer som anges efter nyckelordet Givet. Till exempel, om CTOL=0,001, kommer ekvationen x=10 att anses vara uppfylld både vid x=10,001 och vid x=9,999. En annan konstant TOL bestämmer villkoret för att stoppa iterationer av den numeriska algoritmen. CTOL-värdet kan anges av användaren på samma sätt som TOL, till exempel CTOL:=0.01. Som standard antas det att CTOL=TOL=0,001, men du kan åsidosätta dem om så önskas.

Särskild försiktighet bör iakttas när man löser system med fler okända än antalet ekvationer. Till exempel kan du ta bort en av de två ekvationerna från figuren vi undersökte. 4.7, försöker lösa den enda ekvationen g(x,y)=0 med två okända x och y. I denna formulering har problemet ett oändligt antal rötter: för valfritt x och följaktligen y = -x/2 är villkoret som definierar den enda ekvationen uppfyllt. Men även om det finns ett oändligt antal rötter, kommer den numeriska metoden endast att utföra beräkningar tills de logiska uttrycken i beräkningsenheten är uppfyllda (inom felmarginalen). Efter detta kommer iterationerna att stoppas och en lösning kommer att returneras. Som ett resultat kommer endast ett par värden (x, y) att hittas, detekteras först.

Beräkningsblocket med Find-funktionen kan också hitta roten till en ekvation med en okänd. Åtgärden Hitta i det här fallet är helt lik de exempel som redan diskuterats i det här avsnittet. Problemet med att hitta en rot betraktas som att lösa ett system som består av en ekvation. Den enda skillnaden är att talet som returneras av funktionen Find() är en skalär snarare än en vektortyp. Ett exempel på att lösa ekvationen från föregående avsnitt visas i fig. 4.10.

Ris. 4.10. Att hitta roten till en ekvation i en okänd ekvation med hjälp av funktionen Find().

Mathcad erbjuder tre olika typer av gradientmetoder för att lösa ett system av olinjära ekvationer med hjälp av Given – Find()-blocket. För att ändra den numeriska metoden måste du:

Högerklicka på namnet på sökfunktionen;

Välj det icke-linjära objektet i snabbmenyn som visas;

Välj en av tre metoder: Konjugera gradient (standard), Quasi-Newton eller Levenberg-Marquardt.

§ 13. Hela funktioner (polynom) och deras grundläggande egenskaper. Lösa algebraiska ekvationer på mängden komplexa tal 165

13.1. Grundläggande definitioner 165

13.2. Grundläggande egenskaper för heltalspolynom 166

13.3. Grundläggande egenskaper för rötterna till en algebraisk ekvation 169

13.4. Lösa grundläggande algebraiska ekvationer på mängden komplexa tal 173

13.5. Övningar för självständigt arbete 176

Självtestfrågor 178

Ordlista 178

1. Grundläggande definitioner

En hel algebraisk funktion eller algebraiskt polynom (polynom )argument x kallas en funktion av följande typ

Här n–grad av polynom ( naturligt tal eller 0), x – variabel (reell eller komplex), a 0 , a 1 , …, a n –polynomkoefficienter (reella eller komplexa tal), a 0  0.

Till exempel,

;
;
,
– kvadratisk trinomium;

,
;.

siffra X 0 sånt P n (x 0)0, anropad noll funktion P n (x) eller roten till ekvationen
.

Till exempel,

hans rötter
,
,
.

därför att
Och
.

Anmärkning (om definitionen av nollor för en hel algebraisk funktion)

I litteraturen är funktionsnollor ofta
kallas dess rötter. Till exempel siffror
Och
kallas rötter till den andragradsfunktion
.

1. Grundläggande egenskaper för heltalspolynom

 Identitet (3) gäller för  x 
(eller x  ), därför är den giltig för
; ersätta
, vi får A n = b n. Låt oss ömsesidigt upphäva villkoren i (3) A n Och b n och dividera båda delarna med x:

Denna identitet gäller även för  x inklusive när x= 0, så vi antar x= 0, vi får A n – 1 = b n – 1 .

Låt oss ömsesidigt avbryta villkoren i (3") A n– 1 och b n– 1 och dividera båda sidor med x, som ett resultat får vi

Om vi ​​fortsätter resonemanget på samma sätt, får vi det A n – 2 = b n –2 , …, A 0 = b 0 .

Sålunda har det bevisats att av den identiska likheten mellan två heltalspolynom följer att deras koefficienter sammanfaller för samma potenser x.

Det omvända påståendet är ganska uppenbart, det vill säga om två polynom har samma alla koefficienter, så är de samma funktioner definierade i mängden
, därför sammanfaller deras värden för alla värden i argumentet
, vilket betyder deras identiska jämlikhet. Fastighet 1 är helt bevisad.

Exempel (identisk likhet mellan polynom)

.

 Låt oss skriva formeln för division med en rest: P n (x) = (x – X 0)∙F n – 1 (x) + A,

Var F n – 1 (x) - polynom av grad ( n – 1), A- resten, som är ett tal på grund av den välkända algoritmen för att dividera ett polynom med ett binomial "i en kolumn".

Denna jämlikhet gäller för  x inklusive när x = X 0 ; troende
, vi får

P n (x 0) = (x 0 – x 0)F n – 1 (x 0) + A  A = P n (X 0) 

En konsekvens av den bevisade egenskapen är ett uttalande om uppdelningen utan återstod av ett polynom med ett binomial, känt som Bezouts sats.

Bezouts sats (om att dividera ett heltalspolynom med ett binomial utan rest)

Om antalet är nollpunkten för polynomet , då är detta polynom delbart utan rest med skillnaden , det vill säga att jämställdheten är sann  (5)

 Beviset för Bezouts sats kan utföras utan att använda den tidigare bevisade egenskapen att dividera ett heltalspolynom
med binomial
. Låt oss faktiskt skriva formeln för att dividera polynomet
med binomial
med resten A=0:

Låt oss nu ta hänsyn till det är nollpunkten för polynomet
, och skriv den sista jämlikheten för
:

Exempel (faktorering av ett polynom med Bezouts så kallade)

1) därför att P 3 (1)0;

2) därför att P 4 (–2)0;

3) därför att P 2 (–1/2)0.

Beviset för detta teorem ligger utanför vår kurs. Därför accepterar vi satsen utan bevis.

Låt oss arbeta med denna sats och Bezouts sats med polynomet P n (x):

efter n-flera tillämpningar av dessa satser får vi det

Var a 0 är koefficienten vid x n i polynombeteckning P n (x).

Om i jämställdhet (6) k nummer från uppsättningen X 1 ,X 2 , …X n sammanfaller med varandra och med talet , då får vi i produkten till höger faktorn ( x–) k. Sedan numret x= kallas k-faldig rot av polynomet P n (x ) , eller roten av multiplicitet k . Om k= 1, sedan siffran
kallad enkel rot av ett polynom P n (x ) .

Exempel (polynom linjär faktorisering)

1) P 4 (x) = (x – 2)(x – 4) 3  x 1 = 2 - enkel rot, x 2 = 4 - trippelrot;

2) P 4 (x) = (x – i) 4  x = i- roten av multiplicitet 4.

Liknande artiklar