Derivat av en komplex funktion. Totalt derivat

Låt z=ƒ(x;y) vara en funktion av två variabler x och y, som var och en är en funktion av en oberoende variabel t: x = x(t), y = y(t). I detta fall är funktionen z = f(x(t);y(t)) en komplex funktion av en oberoende variabel t; variablerna x och y är mellanvariabler.

Om z = ƒ(x;y) är en funktion differentierbar i punkten M(x;y) є D och x = x(t) och y = y(t) är differentierbara funktioner av den oberoende variabeln t, då är derivatan av den komplexa funktionen z(t ) = f(x(t);y(t)) beräknas med hjälp av formeln

Låt oss ge den oberoende variabeln t ett inkrement Δt. Då kommer funktionerna x = = x(t) och y = y(t) att ta emot inkrement Δx respektive Δy. De kommer i sin tur att få funktionen z att öka Az.

Eftersom funktionen z - ƒ(x;y) genom villkor är differentierbar i punkten M(x;y), kan dess totala ökning representeras i formen

där а→0, β→0 vid Δх→0, Δу→0 (se avsnitt 44.3). Låt oss dividera uttrycket Δz med Δt och gå till gränsen vid Δt→0. Då Δх→0 och Δу→0 på grund av kontinuiteten i funktionerna x = x(t) och y = y(t) (enligt satsens villkor är de differentierbara). Vi får:

Specialfall: z=ƒ(x;y), där y=y(x), dvs. z=ƒ(x;y(x)) är en komplex funktion av en oberoende variabel x. Detta fall reduceras till det föregående, och rollen för variabeln t spelas av x. Enligt formel (44.8) har vi:

Formel (44.9) kallas totalderivatformeln.

Allmänt fall: z=ƒ(x;y), där x=x(u;v), y=y(u;v). Då är z= f(x(u;v);y(u;v)) en komplex funktion av de oberoende variablerna u och v. Dess partiella derivat kan hittas med formeln (44.8) enligt följande. Efter att ha fixerat v, ersätter vi det med motsvarande partiella derivator

Derivat av en funktion specificerad implicit.
Derivat av en parametriskt definierad funktion

I den här artikeln ska vi titta på två mer typiska uppgifter som ofta finns i prov i högre matematik. För att framgångsrikt bemästra materialet måste du kunna hitta derivator åtminstone på en mellannivå. Du kan lära dig att hitta derivat praktiskt taget från grunden i två grundläggande lektioner och Derivat av en komplex funktion. Om din differentieringsförmåga är okej, låt oss gå.

Derivat av en funktion specificerad implicit

Eller kort sagt derivatan av en implicit funktion. Vad är en implicit funktion? Låt oss först komma ihåg själva definitionen av en funktion av en variabel:

En variabel funktionär en regel enligt vilken varje värde på den oberoende variabeln motsvarar ett och endast ett värde på funktionen.

Variabeln kallas oberoende variabel eller argument.
Variabeln kallas beroende variabel eller fungera .

Hittills har vi tittat på funktioner definierade i explicit form. Vad betyder det? Låt oss genomföra en debriefing med hjälp av specifika exempel.

Tänk på funktionen

Vi ser att till vänster har vi en ensam "spelare" och till höger - bara "X". Det vill säga funktionen uttryckligen uttrycks genom den oberoende variabeln.

Låt oss titta på en annan funktion:

Det är här variablerna blandas ihop. Dessutom omöjligt på något sätt uttryck "Y" endast genom "X". Vilka är dessa metoder? Att överföra termer från del till del med byte av tecken, flytta dem utanför parentes, kasta faktorer enligt proportionsregeln, etc. Skriv om likheten och försök uttrycka "y" explicit: . Du kan vrida och vända ekvationen i timmar, men du kommer inte att lyckas.

Låt mig presentera dig: – exempel implicit funktion.

Under loppet av matematisk analys visades det att den implicita funktionen existerar(dock inte alltid), den har en graf (precis som en "normal" funktion). Den implicita funktionen är exakt densamma existerar första derivata, andra derivata osv. Som de säger, alla rättigheter för sexuella minoriteter respekteras.

Och i den här lektionen kommer vi att lära oss hur man hittar derivatan av en funktion specificerad implicit. Det är inte så svårt! Alla differentieringsregler och tabellen över derivator av elementära funktioner förblir i kraft. Skillnaden ligger i ett märkligt ögonblick, som vi kommer att titta på just nu.

Ja, och jag ska berätta de goda nyheterna - uppgifterna som diskuteras nedan utförs enligt en ganska strikt och tydlig algoritm utan en sten framför tre spår.

Exempel 1

1) I det första steget fäster vi slag till båda delarna:

2) Vi använder reglerna för linjäritet för derivatan (de två första reglerna i lektionen Hur hittar man derivatan? Exempel på lösningar):

3) Direkt differentiering.
Hur man särskiljer är helt klart. Vad ska man göra där det finns "spel" under slagen?

- bara till den grad av skam, derivatan av en funktion är lika med dess derivata: .

Hur man kan skilja
Här har vi komplex funktion. Varför? Det verkar som om det bara finns en bokstav "Y" under sinus. Men faktum är att det bara finns en bokstav "y" - ÄR SJÄLV EN FUNKTION(se definition i början av lektionen). Således är sinus en extern funktion och är en intern funktion. Vi använder regeln för att differentiera en komplex funktion :

Vi differentierar produkten enligt den vanliga regeln :

Observera att – också är en komplex funktion, alla "spel med klockor och visselpipor" är en komplex funktion:

Själva lösningen borde se ut ungefär så här:

Om det finns parenteser, expandera dem:

4) På vänster sida samlar vi termerna som innehåller ett "Y" med ett primtal. Flytta allt annat till höger sida:

5) På vänster sida tar vi derivatan ur parentes:

6) Och enligt proportionsregeln släpper vi dessa parenteser i nämnaren på höger sida:

Derivatet har hittats. Redo.

Det är intressant att notera att vilken funktion som helst kan skrivas om implicit. Till exempel funktionen kan skrivas om så här: . Och särskilj det med den algoritm som just diskuterades. Faktum är att fraserna "implicit funktion" och "implicit funktion" skiljer sig åt i en semantisk nyans. Frasen "implicit specificerad funktion" är mer generell och korrekt, – denna funktion specificeras implicit, men här kan du uttrycka "spelet" och presentera funktionen explicit. Orden "implicit funktion" betyder oftare "klassisk" implicit funktion, när "spelet" inte kan uttryckas.

Det bör också noteras att en "implicit ekvation" implicit kan specificera två eller till och med flera funktioner samtidigt, till exempel definierar en cirkels ekvation implicit funktionerna , , som definierar halvcirklar. Men inom ramen för denna artikel, vi kommer inte att göra någon speciell skillnad mellan termer och nyanser, det var bara information för allmän utveckling.

Andra lösningen

Uppmärksamhet! Du kan bekanta dig med den andra metoden bara om du vet hur du säkert hittar partiella derivat. Calculus nybörjare och dummies, tack läs inte och hoppa över den här punkten, annars blir ditt huvud en hel röra.

Låt oss hitta derivatan av den implicita funktionen med den andra metoden.

Vi flyttar alla termer till vänster sida:

Och betrakta en funktion av två variabler:

Då kan vår derivata hittas med hjälp av formeln
Låt oss hitta de partiella derivatorna:

Således:

Den andra lösningen låter dig utföra en kontroll. Men det är inte tillrådligt för dem att skriva ut den slutliga versionen av uppgiften, eftersom partiella derivator bemästras senare, och en student som studerar ämnet "Derivat av en funktion av en variabel" borde ännu inte känna till partiella derivator.

Låt oss titta på några fler exempel.

Exempel 2

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Lägg till streck till båda delarna:

Vi använder linjäritetsregler:

Hitta derivat:

Öppna alla parenteser:

Vi flyttar alla termer med till vänster sida, resten till höger sida:

Slutligt svar:

Exempel 3

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Fullständig lösning och provdesign i slutet av lektionen.

Det är inte ovanligt att fraktioner uppstår efter differentiering. I sådana fall måste du bli av med fraktioner. Låt oss titta på ytterligare två exempel.

Exempel 4

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Vi omsluter båda delarna under streck och använder linjäritetsregeln:

Differentiera med hjälp av regeln för att differentiera en komplex funktion och regeln om differentiering av kvoter :

Utöka parenteserna:

Nu måste vi bli av med fraktionen. Detta kan göras senare, men det är mer rationellt att göra det direkt. Bråkens nämnare innehåller . Multiplicera på . I detalj kommer det att se ut så här:

Ibland uppstår efter differentiering 2-3 fraktioner. Om vi hade ett annat bråk, till exempel, skulle operationen behöva upprepas - multiplicera varje termin i varje del på

På vänster sida sätter vi det utanför parentes:

Slutligt svar:

Exempel 5

Hitta derivatan av en funktion given implicit

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Det enda är att innan du blir av med bråket måste du först bli av med den tre våningar höga strukturen av själva bråket. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Derivat av en parametriskt definierad funktion

Låt oss inte stressa, allt i det här stycket är också ganska enkelt. Du kan skriva ner den allmänna formeln för en parametriskt definierad funktion, men för att göra det tydligt kommer jag omedelbart att skriva ner ett specifikt exempel. I parametrisk form ges funktionen av två ekvationer: . Ofta skrivs ekvationer inte under parenteser, utan sekventiellt: , .

Variabeln kallas en parameter och kan ta värden från "minus oändlighet" till "plus oändlighet". Betrakta till exempel värdet och ersätt det i båda ekvationerna: . Eller i mänskliga termer: "om x är lika med fyra, då är y lika med ett." Du kan markera en punkt på koordinatplanet, och denna punkt kommer att motsvara parameterns värde. På samma sätt kan du hitta en punkt för valfritt värde på parametern "te". När det gäller en "vanlig" funktion, för indianerna av en parametriskt definierad funktion, respekteras också alla rättigheter: du kan bygga en graf, hitta derivator, etc. Förresten, om du behöver rita en graf över en parametriskt definierad funktion kan du använda mitt program.

I de enklaste fallen är det möjligt att representera funktionen explicit. Låt oss uttrycka parametern: – från den första ekvationen och ersätta den med den andra ekvationen: . Resultatet är en vanlig kubisk funktion.

I mer "allvarliga" fall fungerar inte detta trick. Men det spelar ingen roll, eftersom det finns en formel för att hitta derivatan av en parametrisk funktion:

Vi hittar derivatan av "spelet med avseende på variabeln te":

Alla differentieringsregler och tabellen över derivat är naturligtvis giltiga för bokstaven, alltså, det finns ingen nyhet i processen att hitta derivat. Byt bara mentalt ut alla "X" i tabellen med bokstaven "Te".

Vi hittar derivatan av "x med avseende på variabeln te":

Nu återstår bara att ersätta de hittade derivaten i vår formel:

Redo. Derivatan, liksom själva funktionen, beror också på parametern.

När det gäller notationen, istället för att skriva den i formeln, skulle man helt enkelt kunna skriva den utan ett abonnemang, eftersom detta är en "vanlig" derivata "med avseende på X". Men i litteraturen finns det alltid ett alternativ, så jag kommer inte att avvika från standarden.

Exempel 6

Vi använder formeln

I detta fall:

Således:

En speciell egenskap för att hitta derivatan av en parametrisk funktion är det faktum att vid varje steg är det fördelaktigt att förenkla resultatet så mycket som möjligt. Så när jag hittade det i exemplet öppnade jag parentesen under roten (även om jag kanske inte gjorde det). Det finns en god chans att när du byter in i formeln kommer många saker att reduceras bra. Även om det förstås finns exempel med klumpiga svar.

Exempel 7

Hitta derivatan av en funktion specificerad parametriskt

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand.

I artikeln De enklaste typiska problemen med derivat vi tittade på exempel där vi behövde hitta andraderivatan av en funktion. För en parametriskt definierad funktion kan du också hitta den andra derivatan, och den hittas med följande formel: . Det är ganska uppenbart att för att hitta den andra derivatan måste du först hitta den första derivatan.

Exempel 8

Hitta första och andra derivatan av en funktion given parametriskt

Låt oss först hitta den första derivatan.
Vi använder formeln

I detta fall:

Det är känt att funktionen y= f(x) kan specificeras implicit med hjälp av en ekvation som förbinder variablerna x och y:

F(x,y)=0.

Låt oss formulera villkoren under vilka ekvationen F(x,y)=0 definierar en av variablerna som en funktion av den andra. Följande är sant

Sats (existensen av en implicit funktion) Låt funktionen F(x,y)=0 uppfyller följande villkor:

1) det finns en poäng P˳(x˳,y˳) , vart i F(x˳,y˳)=0

2) F’y(x˳,y˳)≠ 0

3) funktioner F’x (x ,y)och F'y (x ,y) kontinuerligt i något område av punkten

P 0 (x 0 ,y 0).

Sedan finns det en unik funktion y =f (x), definierad på något intervall som innehåller en punkt, och som uppfyller ekvationen F(x,y)=0 för valfritt x från detta intervall, så att f(x 0)=y0

Om y har en implicit funktion från X, det vill säga det bestäms från ekvationen F ( X, på) = 0, då, förutsatt att på det finns en funktion från X, vi får identiteten F (X, på(X)) = 0, vilket kan betraktas som en konstant funktion. Genom att differentiera denna konstanta funktion får vi:

Om i detta förhållande kan du hitta.

Differentieringsrelation (1) igen får vi:

Relation (2) kan betraktas som en ekvation för att bestämma andraderivatan. Differentieringsrelation (2) igen får vi en ekvation för att bestämma tredjederivatan osv.

Riktningsderivat. Riktningsvektor för fallet med två och tre variabler (riktningscosinus). Ökning av en funktion i en given riktning. Definition av riktningsderivata, dess uttryck genom partiella derivator. Funktionsgradient. Gradientens och nivålinjens relativa position vid en given punkt för en funktion av två variabler.

Derivatan z'I i riktning I av en funktion av två variabler z=f(x;y) kallas gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen i denna riktning och storleken på förskjutningen ∆I eftersom den senare tenderar till 0: z'i=lim∆iz /∆I

Derivatan z’ I kännetecknar förändringshastigheten för funktionen i riktning i.

Om funktionen z=f(x;y) har kontinuerliga partiella derivator i punkten М(x;y), så finns det vid denna punkt en derivata i vilken riktning som helst som utgår från punkten М(x;y), som beräknas med formeln z'i =z'xˑcosα+z"yˑcosβ, där cosα, cosβ är vektorns riktningsaxlar.

Gradienten för funktionen z=f(x,y) är en vektor med koordinaterna f’x, f’y. Betecknas med z=(f’x,f’y) eller .

Riktningsderivatan är lika med skalärprodukten av gradienten och enhetsvektorn som definierar riktningen I.

Vektor z vid varje punkt är riktad vinkelrätt mot nivålinjen som passerar genom denna punkt i riktning mot ökande funktion.

Partialderivatorna f'x och f'y är derivator av funktionen z=f(x,y) längs två partiella riktningar av Ox- och Oy-axlarna.

Låt z=f(x,y) vara en differentierbar funktion i någon domän D, M(x,y) . Låt jag vara någon riktning (vektor med origo i punkt M), och =(cosα;cosβ).

När man rör sig i en given riktning I punkten M(x,y) till punkten M1(x+∆x;y+∆y), kommer funktionen z att få ett inkrement ∆iz=f(x+∆x;y+∆y)- f(x;y) kallas ökningen av funktionen z i en given riktning I.

Om MM1=∆I så är ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, därför ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).

En funktion Z= f(x; y) kallas implicit om den ges av ekvationen F(x,y,z)=0 olöst med avseende på Z. Låt oss hitta de partiella derivatorna av funktionen Z givet implicit. För att göra detta, genom att ersätta funktionen f(x;y) i ekvationen istället för Z, får vi identiteten F(x,y, f(x,y))=0. De partiella derivatorna av en funktion som är identiskt lika med noll med avseende på x och y är också lika med noll.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (anses som konstant)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xansedd konstant)

Var
Och

Exempel: Hitta de partiella derivatorna av funktionen Z som ges av ekvationen
.

Här F(x,y,z)=
;
;
;
. Enligt formlerna ovan har vi:

Och

Riktningsderivat

Låt en funktion av två variabler Z= f(x; y) ges i ett visst område av punkten M (x,y). Betrakta någon riktning som definieras av enhetsvektorn
, Var
(se bild).

På en rät linje som går i denna riktning genom punkt M, tar vi punkt M 1 (
) så att längden
segmentMM 1 är lika med
. Ökningen av funktionen f(M) bestäms av relationen, där
kopplade av relationer. Förhållandegräns på
kommer att kallas derivatan av funktionen
vid punkten
mot och utses .

Om funktionen Z är differentierbar vid punkten
, sedan dess ökning vid denna punkt med hänsyn till relationerna för
kan skrivas i följande form.

dividera båda delarna med

och passerar till gränsen kl
vi får en formel för derivatan av funktionen Z= f(x; y) i riktningen:

Lutning

Betrakta en funktion av tre variabler
differentierbar någon gång
.

Gradienten för denna funktion
vid punkt M är en vektor vars koordinater är lika med partiella derivator
vid denna tidpunkt. För att indikera en gradient, använd symbolen
.
=
.

. Gradienten indikerar riktningen för den snabbaste tillväxten av funktionen vid en given punkt.

Eftersom enhetsvektorn har koordinater (
), så skrivs riktningsderivatan för fallet med en funktion av tre variabler i formen, dvs. har formeln för skalärprodukten av vektorer Och
. Låt oss skriva om den sista formeln enligt följande:

, Var - vinkel mellan vektor Och
. Eftersom den
, då följer att derivatan av funktionen i riktning tar maxvärdet vid =0, dvs. när vektorernas riktning Och
passa ihop. Vart i
Det vill säga att en funktions gradient karakteriserar riktningen och storleken på den maximala ökningshastigheten för denna funktion vid en punkt.

Extremum av en funktion av två variabler

Begreppen max, min, extremum för en funktion av två variabler liknar motsvarande begrepp för en funktion av en variabel. Låt funktionen Z= f(x; y) definieras i någon domän D, etc. M
tillhör detta område. Punkt M
kallas maxpunkten för funktionen Z= f(x; y) om det finns en sådan δ-grannskap till punkten
, att för varje punkt från detta kvarter ojämlikheten
. Punkten min bestäms på liknande sätt, bara olikhetstecknet kommer att ändras
. Funktionens värde vid punkten max(min) kallas maximum (minimum). Maximum och minimum för en funktion kallas extrema.

Nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för ett extremum

Sats:(Nödvändiga förutsättningar för ett extremum). Om vid punkt M
den differentierbara funktionen Z= f(x; y) har ett extremum, då är dess partiella derivator vid denna punkt lika med noll:
,
.

Bevis: Efter att ha fixerat en av variablerna x eller y omvandlar vi Z = f(x; y) till en funktion av en variabel, för vars extremum ovanstående villkor måste uppfyllas. Geometriska likheter
Och
betyda att vid funktionen Z= f(x; y) ytterpunkten är tangentplanet till ytan som representerar funktionen f(x,y)=Z parallell med OXY-planet, eftersom tangentplanets ekvation är Z = Z 0. Den punkt där första ordningens partiella derivator av funktionen Z = f (x; y) är lika med noll, d.v.s.
,
, kallas den stationära punkten för funktionen. En funktion kan ha ett extremum vid punkter där åtminstone en av de partiella derivatorna inte existerar. Till exempel Z=|-
| har max vid punkten O(0,0), men har inga derivator vid denna punkt.

Stationära punkter och punkter där åtminstone en partiell derivata inte finns anropas kritiska punkter. Vid kritiska punkter kan funktionen ha ett extremum eller inte. Likheten mellan partiella derivator till noll är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor för existensen av ett extremum. Till exempel när Z=xy är punkt O(0,0) kritisk. Funktionen Z=xy har dock inget extremum i sig. (Eftersom i kvartal I och III Z>0, och i kvartal II och IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Sats: (Tillräckligt skick för extrema). Låt på en stationär punkt
och i ett visst område har funktionen f(x; y) kontinuerliga partiella derivator upp till 2:a ordningen inklusive. Låt oss räkna på punkten
värden
,
Och
. Låt oss beteckna

Om
, extremum vid punkt
det kanske är det eller inte. Mer forskning behövs.

Utan tvekan, i våra sinnen är bilden av en funktion förknippad med likhet och motsvarande linje - grafen för funktionen. Till exempel, - ett funktionellt beroende, vars graf är en kvadratisk parabel med en vertex vid ursprunget och grenar riktade uppåt; är en sinusfunktion känd för sina vågor.

I dessa exempel är den vänstra sidan av likheten y, och den högra är ett uttryck beroende på argumentet x. Med andra ord har vi en ekvation löst för y. Att representera ett funktionellt beroende i form av ett sådant uttryck kallas genom att explicit specificera funktionen(eller funktion explicit). Och den här typen av funktionstilldelning är den mest bekanta för oss. I de flesta exempel och problem presenteras vi med explicita funktioner. Vi har redan pratat i detalj om differentieringen av funktioner för en variabel, uttryckligen specificerad.

En funktion innebär dock en överensstämmelse mellan en uppsättning värden på x och en uppsättning värden på y, och denna överensstämmelse är INTE nödvändigtvis etablerad av någon formel eller analytiskt uttryck. Det vill säga att det finns många sätt att specificera en funktion förutom det vanliga.

I den här artikeln ska vi titta på implicita funktioner och metoder för att hitta deras derivator. Exempel på funktioner som anges implicit inkluderar eller .

Som du märkte definieras den implicita funktionen av relationen. Men inte alla sådana relationer mellan x och y definierar en funktion. Till exempel, inget par av reella tal x och y uppfyller likheten, därför definierar denna relation inte en implicit funktion.

Det kan implicit bestämma överensstämmelselagen mellan kvantiteterna x och y, och varje värde i argumentet x kan motsvara antingen en (i det här fallet har vi en envärdig funktion) eller flera värden av funktionen (i detta fall funktionen kallas multi-valued). Till exempel motsvarar värdet x = 1 två reella värden y = 2 och y = -2 för den implicit specificerade funktionen.

Det är inte alltid möjligt att föra en implicit funktion till en explicit form, annars skulle det inte finnas något behov av att differentiera de implicita funktionerna i sig. Till exempel, - konverteras inte till en explicit form, men - konverteras.

Nu till saken.

För att hitta derivatan av en implicit given funktion är det nödvändigt att differentiera båda sidor av likheten med avseende på argumentet x, betrakta y som en funktion av x, och sedan uttrycka.

Differentiering av uttryck som innehåller x och y(x) utförs med hjälp av differentieringsregler och regeln för att hitta derivatan av en komplex funktion. Låt oss omedelbart titta på några exempel i detalj så att det inte finns några ytterligare frågor.

Exempel.

Differentiera uttryck i x, med tanke på y som en funktion av x.

Lösning.

Därför att y är en funktion av x, då är det en komplex funktion. Det kan konventionellt representeras som f(g(x)), där f är kubfunktionen och g(x) = y. Sedan, enligt formeln för derivatan av en komplex funktion, har vi: .

När vi differentierar det andra uttrycket tar vi konstanten ur derivattecknet och agerar som i föregående fall (här är f sinusfunktionen, g(x) = y):

För det tredje uttrycket tillämpar vi formeln för produktens derivata:

Genom att konsekvent tillämpa reglerna skiljer vi det sista uttrycket:

Nu kan du gå vidare till att hitta derivatan av en implicit specificerad funktion, för detta har du all kunskap.

Exempel.

Hitta derivatan av en implicit funktion.

Lösning.

Derivatan av en implicit specificerad funktion representeras alltid som ett uttryck som innehåller x och y: . För att komma fram till detta resultat skiljer vi båda sidor av jämställdheten: