Föreläsning 2. Planet som en yta av första ordningen. Planekvationer och deras studie. En rät linje i rymden, den relativa positionen för räta linjer i rymden, ett plan och en rät linje i rymden. En rät linje på ett plan, ekvationer av en rät linje på ett plan, avståndet från en punkt till en rät linje på ett plan. Andra ordningens kurvor; härledning av kanoniska ekvationer, studie av ekvationer och konstruktion av kurvor. Ytor av andra ordningen, studie av kanoniska ekvationer av ytor. Sektionsmetod. 1

Element av analytisk geometri § 1. Plan. Vi har OXYZ och någon yta S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Definition 1: en ekvation med tre variabler kallas en ekvation för ytan S i rymden om denna ekvation är uppfylld av koordinaterna för varje punkt som ligger på ytan och inte är nöjd med koordinaterna inte en enda punkt som ligger på den. 2

Exempel. Ekvation (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) vi definierar en sfär med centrum i punkten C(a, b, c) och radie R. M M (x , y, z) – variabel punkt M ϵ (S) |CM| = RC3

Definition 2: En yta S kallas en yta av n:te ordningen om den i något kartesiskt koordinatsystem ges av en algebraisk ekvation av n:te graden F(x, y, z) = 0 (1) I exemplet (S) - en cirkel, en yta av andra ordningen . Om S är en yta av n:e ordningen, så är F(x, y, z) ett polynom av n:te graden med avseende på (x, y, z) Betrakta den enda ytan av 1:a ordningen - ett plan. Låt oss skapa en ekvation för ett plan som går genom punkten M (x, y, z), med en normalvektor 4

Låt M(x, y, z) vara en godtycklig (aktuell) punkt i planet. MM 0 O α eller i koordinatform: (2) Ekvation (2) är ekvationen för det plan som passerar genom punkten M med en given normalvektor. 5

D (*) (3) - fullständig ekvation för planet Ofullständig ekvation för planet. Om i ekvation (3) flera koefficienter (men inte A, B, C samtidigt) = 0, så kallas ekvationen ofullständig och planet α har egenskaper i sin plats. Till exempel, om D = 0, så passerar α genom origo. 6

Avståndet från punkten M 1 till planet α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 tillämpas på punkten M 0 K 7

- avstånd från punkt M 1 till plan α Ekvation för planet "i segment" Låt oss skapa en ekvation av planet som skär bort segment som inte är noll på koordinataxlarna med C(0, 0, c) värden a, b, c. Låt oss ta B(0, b, 0) som värde. Låt oss skapa en ekvation för punkt A med A(a, 0, 0) 8

-ekvation för planet α "i segment" -ekvation för planet som passerar genom punkt A, vinkelrätt mot normalvektorn 9

§ 2. Allmän ekvation för en rät linje. En rät linje i rymden kan definieras genom skärningspunkten mellan två plan. (1) ekvation för en rät linje Ett system av typen (1) definierar en rät linje i rymden om koefficienterna A 1, B 1, C 1 samtidigt är oproportionerliga till A 2, B 2, C 2. 10

Parametriska och kanoniska ekvationer för en rät linje - godtycklig punkt för en rät linjepunkt MM 0 Parametrisk ekvation t - parameter 11

Genom att eliminera t får vi: - kanonisk ekvation System (3) bestämmer rörelsen av en materialpunkt, rätlinjig och likformig från startpositionen M 0 (x 0, y 0, z 0) med hastighet i vektorns riktning. 12

Vinkeln mellan raka linjer i rymden. Villkor för parallellitet och vinkelräthet. Låt det finnas två linjer L 1, L 2 i rymden som ges av deras kanoniska ekvationer: Då reduceras uppgiften att bestämma vinkeln mellan dessa linjer till att bestämma vinkeln

deras riktningsvektorer: Med hjälp av definitionen av skalärprodukten och uttrycket i koordinater för den specificerade skalärprodukten och längderna av vektorerna q 1 och q 2, får vi fram: 15

Villkoret för parallellitet av räta linjer l 1 och l 2 motsvarar kollineariteten för q 1 och q 2, ligger i proportionaliteten av koordinaterna för dessa vektorer, dvs. den har formen: Villkoret för vinkelräthet följer av definitionen av skalärprodukten och dess likhet med noll (vid cos = 0) och har formen: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Vinkel mellan en rät linje och ett plan: villkor för parallellitet och vinkelräthet för en rät linje och ett plan Betrakta planet P, definierat av den allmänna ekvationen: Ax + By + Cz + D = 0, och den räta linjen L, definierad av den kanoniska ekvationen: 17

Eftersom vinkeln mellan den räta linjen L och planet P är komplementär till vinkeln mellan riktningsvektorn för den räta linjen q = (l, m, n) och normalvektorn för planet n = (A, B, C) , från definitionen av skalärprodukten q n = q n cos och likheten cos = sin (= 90 -), får vi: 18

Parallellitetstillståndet för den räta linjen L och planet П (inklusive det faktum att L tillhör П) är ekvivalent med villkoret för vinkelräthet för vektorerna q och n och uttrycks som = 0 skalärprodukt av dessa vektorer: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Villkoret för vinkelräthet för den räta linjen L och planet P är ekvivalent med villkoret för parallellism för vektorerna n och q och uttrycks av proportionaliteten av koordinaterna för dessa vektorer: 19

Villkor för att två linjer ska tillhöra samma plan Två linjer i rymden L 1 och L 2 kan: 1) skära varandra; 2) vara parallell; 3) korsning. I de två första fallen ligger linjerna L 1 och L 2 i samma plan. Låt oss fastställa villkoret för att två räta linjer definierade av kanoniska ekvationer ska tillhöra samma plan: 20

För att de två indikerade linjerna ska tillhöra samma plan är det uppenbarligen nödvändigt och tillräckligt att tre vektorer = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) och q 2 = (l 2, m 2, n 2), var koplanära, för vilka det i sin tur är nödvändigt och tillräckligt att den blandade produkten av dessa tre vektorer = 0. 21

Genom att skriva de blandade produkterna av de indikerade vektorerna i koordinater får vi ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att två räta linjer L 1 och L 2 ska tillhöra samma plan: 22

Villkor för att en rät linje ska tillhöra ett plan Låt det finnas en rät linje och ett plan Ax + Bi + Cz + D = 0. Dessa villkor har formen: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 och Al + Bm + Cn = 0, varav den första betyder att punkten M 1(x1, y1, z 1) genom vilken linjen passerar tillhör planet, och den andra är villkoret för parallellitet mellan linjen och planet. 23

Andra ordningens kurvor. § 1. Begreppet ekvation av en linje på ett plan. Ekvationen f (x, y) = 0 kallas ekvationen för linje L i det valda koordinatsystemet om den är uppfylld av koordinaterna för någon punkt som ligger på linjen och inte uppfylld av koordinaterna för någon punkt som inte ligger på den. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Exempel: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

En linje L kallas en linje av n:te ordningen om den i något kartesiskt koordinatsystem ges av en algebraisk ekvation av n:te graden med avseende på x och y. Vi känner till den enda linjen av 1:a ordningen - en rät linje: Ax + By + D = 0 Vi kommer att överväga kurvor av 2:a ordningen: ellips, hyperbel, parabel. Den allmänna ekvationen för andra ordningens linjer är: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Ellips (E) Definition. Ellips är mängden av alla punkter i planet, summan av avstånden till två fasta punkter i planet F 1 och F 2, kallade foci, är ett konstant värde och ett stort avstånd mellan brännpunkterna. Låt oss beteckna konstanten som 2 a, avståndet mellan brännpunkterna som 2 c. Rita X-axeln genom brännpunkterna, (a > c, a > 0, c > 0). Y-axel genom mitten av brännvidden. Låt M vara en godtycklig punkt för ellipsen, t. M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), där r 1, r 2 är fokala 27 radier för E.

Låt oss skriva (1) i koordinatform: (2) Detta är ekvationen för en ellips i det valda koordinatsystemet. Förenklat (2) får vi: b 2 = a 2 - c 2 (3) – ellipsens kanoniska ekvation. Det kan visas att (2) och (3) är ekvivalenta: 28

Studie av formen på en ellips med hjälp av den kanoniska ekvationen 1) Ellips är en kurva av 2:a ordningen 2) Symmetri av ellipsen. eftersom x och y ingår i (3) endast i jämna potenser har ellipsen 2 axlar och 1 symmetricentrum, som i det valda koordinatsystemet sammanfaller med de valda koordinataxlarna och punkten O. 29

3) Plats för ellipsen Det vill säga att hela E är beläget inuti en rektangel, vars sidor är x = ± a och y = ± b. 4) Korsning med axlar. A 1(-a; 0); A2(a; 0); C OX: ellipsens hörn C OU: B 1(0; b); B2(0; -b); På grund av ellipsens symmetri kommer vi att överväga dess beteende (↓) endast under det första kvartalet. trettio

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Upplösning (3) med avseende på y får vi: i första kvartalet x > 0 och ellipsen minskar."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hyperbola (Г) Definition: Г är mängden av alla punkter i planet, modulen för skillnaden i avstånd till 2 fasta punkter i planet F 1, F 2 är ett konstant värde och

Förenklat (1): (2) är den kanoniska ekvationen för G. (1) och (2) är ekvivalenta. Studie av en hyperbel med hjälp av den kanoniska ekvationen 1) Г är en linje av 2:a ordningen 2) Г har två axlar och ett symmetricentrum, som i vårt fall sammanfaller med koordinataxlarna och origo. 3) Plats för hyperbeln. 34

Hyperbeln är placerad utanför remsan mellan linjerna x = a, x = -a. 4) Skärningspunkter med axlar. OX: OY: har inga lösningar A1(-a; 0); A 2(a; 0) – reella hörn Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – imaginära hörn Г 2 a – reell axel Г 2 b – imaginär axel Г 35

5) Asymptoter av en hyperbel. På grund av symmetrin hos Г överväger vi dess del under första kvartalet. Efter att ha löst (2) med avseende på y, får vi: ekvation Г i första kvartalet x ≥ 0 Betrakta den räta linjen: eftersom i första kvartalet x>0, det vill säga i första kvartalet med samma abskiss, ordinatan av linjen > ordna den motsvarande punkten Г, dvs i den första fjärdedelen Г ligger under denna räta linje. Hela G ligger inuti en vertikal vinkel med sidorna 36

6) Det kan visas att i den första delen ökar G 7) Plan för att konstruera G a) bygg en rektangel 2 a, 2 b b) rita dess diagonaler c) markera A 1, A 2 - de verkliga hörnen för G och 38 skriv dessa grenar

Parabol (P) Betrakta d (direktrix) och F (fokus) på planet. Definition. П – uppsättning av alla punkter i planet på samma avstånd från linje d och punkt F (fokus) 39

d-directrix F-fokus XOY-punkt М П sedan, |MF| = |MN| (1) ekvation för P, vald i koordinatsystemet. Förenklat (1) får vi y 2 = 2 px (2) – kanoniska ekvationer för P. (1) och (2) är ekvivalenta 40

Studie av P med den kanoniska ekvationen x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Cylindrar. Cylindriska ytor med generatriser parallella med koordinataxlarna Genom punkt x på linjen L drar vi en rät linje parallellt med OZ-axeln. Ytan som bildas av dessa raka linjer kallas en cylindrisk yta eller cylinder (C). Varje rät linje parallell med OZ-axeln kallas en generatris. l är styrningen av XOY-planets cylindriska yta. Z(x, y) = 0 (1) 42

Låt M(x, y, z) vara en godtycklig punkt på en cylindrisk yta. Låt oss projicera det på L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 det vill säga , koordinaterna M uppfyller (1), är det uppenbart att om M C så projiceras den inte till punkten M 0 ϵ L och därför kommer koordinaterna för M inte att uppfylla ekvation (1), som definierar C med en generatrisparallell till OZ-axeln i rymden. På liknande sätt kan det visas att: Ф(x, z) = 0 i utrymmet Г || OY 43 (y, z) = 0 definierar i utrymmet C || OXE

Projektion av en rumslig linje på ett koordinatplan En linje i rymden kan definieras parametriskt och genom skärningspunkten mellan ytor. Samma linje kan definieras som ∩ av olika ytor. Låt den rumsliga linjen L ges ∩ av två ytor α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 ekvation L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Låt oss hitta projektionen av L på planet XOY från ekvation (1) och exkludera Z. Vi får ekvationen: Z(x, y) = 0 – i rymden är detta ekvationen Ε med generatorn || OZ och guide L. 46

Projektion: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Andra ordningens ytor Ellipsoid - den kanoniska ekvationen för en yta har formen: 1) Ellipsoid - en andra ordningens yta. 2) X, Y, Z anger ekvationen endast i jämna potenser => ytan har 3 plan och 1 symmetricentrum, som i det valda koordinatsystemet sammanfaller med koordinatplanen och origo. 47

3) Placering av ellipsoiden Ytan är innesluten mellan || plan med ekvationerna x = a, x = -a. På liknande sätt, dvs hela ytan är innesluten i en rektangulär parallellepiped. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Vi kommer att undersöka ytan med metoden för sektioner - skära ytan med koordinatplan || samordna. I avsnittet kommer vi att få linjer, av vilkas form vi kommer att bedöma formen på ytan. 48

Låt oss skära ytan med XOY-planet. I avsnittet får vi en rad. - ellips a och b – halvaxlar Liknar YOZ-planet - ellips med halvaxlar b och c Plan || XOY Om h(0, c), minskar ellipsaxlarna från a och b till 0. 49

a = b = c - sfär Paraboloider a) Hyperbolisk paraboloid - en yta med en kanonisk ekvation: 1) Andra ordningens yta 2) Eftersom x, y kommer in i ekvationen endast i jämna potenser, har ytan symmetriplan, som sammanfaller för ett givet val av koordinater med 50 plan XOZ, YOZ.

3) vi undersöker ytan med hjälp av sadelsnittsmetoden. XOZ I tvärsnitt är parabeln symmetrisk mot OZ-axeln, stigande. pl. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" area ||XOY för h > 0 hyperboler, med verklig halvaxel längs OX, för h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) Tvåarkshyperboloid 1) yta av andra ordningen 2) har 3 plan och 1 symmetricentrum 3) ytplacering x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a ; (a, b, c > 0) Ytan består av två delar placerade utanför remsan mellan planen med ekvationerna x = a, x = -a 4) vi studerar snittmetoden (På egen hand!) 57

Andra ordningens kon En andra ordningens kon är en yta vars kanoniska ekvation har formen: 1) en andra ordningens yta 2) har 3 plan och 1 symmetricentrum 3) vi studerar snittmetoden kvadrat. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" kvadrat ||XOY |h| –>∞ från 0 till ∞ kvadrat YOZ par raka linjer, passerar genom"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

I de följande styckena fastställs att första ordningens ytor är plan och endast plan, och olika former av skrivning av planens ekvationer beaktas.

198. Sats 24. I kartesiska koordinater definieras varje plan av en förstagradsekvation.

Bevis. Förutsatt att ett visst kartesiskt rektangulärt koordinatsystem ges, betraktar vi ett godtyckligt plan a och bevisar att detta plan bestäms av en ekvation av första graden. Låt oss ta en punkt M på planet a 0 (d: 0; y 0; zO); Låt oss dessutom välja vilken vektor som helst (bara inte lika med noll!), vinkelrät mot planet a. Vi betecknar den valda vektorn med bokstaven p, dess projektioner på koordinataxlarna-bokstäverna A, B, C.

Låt M(x; y; z) vara en godtycklig punkt. Den ligger på planet om och endast om vektorn MqM är vinkelrät mot vektorn n. Med andra ord, punkten Ж som ligger på planet a kännetecknas av villkoret:

Vi får ekvationen för planet a om vi uttrycker detta tillstånd i termer av koordinater x, y, z. För detta ändamål skriver vi ner koordinaterna för vektorerna M 0M och th:

M OM=(x-x0; y-y0; z-zo), P=(A; B; C).

Enligt paragraf 165 ett tecken på vinkelräthet hos två vektorer är lika med noll av deras skalära produkt, det vill säga summan av parvisa produkter av motsvarande koordinater för dessa vektorer. Så M 0M J_ p om och bara om

A(x-x0)+B(y-y0) + C(z-ze) = 0.(1)

Detta är den önskade ekvationen för planet a, eftersom den är uppfylld av koordinaterna lz, y, z poäng M om och endast om M ligger på planet a (d.v.s. när J_«).

Genom att öppna parentesen presenterar vi ekvationen(1) som

Ax + By + Cz + (- A x 0 - By 0-Cz0) = 0.

Ax-\-By + Cz + D = 0. (2)

Vi ser att planet a verkligen bestäms av en ekvation av första graden. Teoremet har bevisats.

199. Varje (icke-noll) vektor vinkelrät mot ett visst plan kallas en vektor normal till den. Med detta namn kan vi säga att ekvationen

A(x-X())+B(y~y0) + C(z-z0)=0

är ekvationen för planet som passerar genom punkten M 0 (x 0; y 0; z0) och har en normalvektor n- (A; B; MED). Formens ekvation

Axe + Bu-\- Cz + D = 0

kallas den allmänna ekvationen för planet.

200. Sats 25. I kartesiska koordinater definierar varje förstagradsekvation ett plan.

Bevis. Om du antar att något kartesiskt rektangulärt koordinatsystem är givet, överväg en godtycklig förstagradsekvation

Axe-\-By+Cz-\rD = 0. (2)

När vi säger "godtycklig" ekvation menar vi att koefficienterna A, B, C, D kan vara vilka siffror som helst, men, naturligtvis, exklusive

fallet med samtidig lika med noll av alla tre koefficienterna A, B, C. Vi måste bevisa att ekvationen(2) är ekvationen för något plan.

Låt lg 0, y 0, r 0- någon lösning på ekvationen(2), dvs en trippel av tal som uppfyller denna ekvation*). Ersätter siffrorna i 0, z0 istället för de nuvarande koordinaterna till vänster sida av ekvationen(2), vi får den aritmetiska identiteten

Ax0 + By0 + Cz0+D^O. (3)

Subtrahera från ekvationen(2) identitet (3). Vi får ekvationen

A(x-xo)+B(y-yo) + C(z-zo) = 0, (1)

vilket, enligt den föregående, är ekvationen för planet som passerar genom punkten M 0 (jc0; y 0; z0) och som har en normal vektor n- (A; B; C). Men ekvationen(2) är ekvivalent med ekvationen(1), sedan ekvationen(1) fås från ekvationen(2) genom terminsvis subtraktion av identiteten(3) och ekvation (2) i sin tur erhålls från ekvationen(1) genom terminsvis tillägg av identiteten(3). Därför ekvationen(2) är en ekvation av samma plan.

Vi har bevisat att en godtycklig förstagradsekvation definierar ett plan; Därmed är satsen bevisad.

201. Ytor som bestäms av ekvationer av första graden i kartesiska koordinater kallas, som vi vet, ytor av första ordningen. Med denna terminologi kan vi uttrycka de etablerade resultaten enligt följande:

Varje plan är en yta av första ordningen; varje första ordningens yta är ett plan.

Exempel. Skriv en ekvation för planet som passerar genom punkten Afe(l; 1; 1) vinkelrätt mot vektorn i*=( 2; 2; 3}.

Lösning Enligt paragraf 199 den erforderliga ekvationen är

2(*- 1)+2 (y-1)+3(y-1)=0,

eller

2x+2y+3g- 7 = 0.

*) Ekvation (2), som alla ekvationer av första graden med tre okända, har den oändligt många lösningar. För att hitta någon av dem måste du tilldela numeriska värden till två okända och sedan hitta den tredje okända i ekvationen.

202. För att avsluta detta avsnitt, bevisar vi följande påstående: om två ekvationer Axx-j- B^y -]- Cxz Dt = 0 och A 2x + B^y -f- C2z -]- £)2 = 0 definiera samma plan, då är deras koefficienter proportionella.

Faktum är att i detta fall vektorerna nx = (A 1; Bx\ och p 2 - (/42; B 2 ; Cr) är vinkelräta mot samma plan, därför kollinjära mot varandra. Men då, enligt paragraf 154 nummer Аъ В 2, С 2 proportionell mot talen A1g B1gCx; betecknar proportionalitetsfaktorn med p har vi: A 2-A 1ts, B2 = Bx\i, C2 =.Cj\i. Låt M 0 (x 0; y 0 ; ^-valfri punkt på planet; dess koordinater måste uppfylla var och en av de givna ekvationerna, så Axx 0 + Vxu 0

Cxz0 = 0 och A2xQ В 2у 0 C2z0 + D2 = 0. Låt oss multiplicera den första av dessa likheter med sid. och subtrahera från den andra; vi får D2-Djp = 0. Därför D%-Dx\i och

B^ Cr_ D2

Ah B, Cx-B1 ^

Därmed är vårt påstående bevisat.

1.7.1. Plan.

Betrakta på kartesisk basis ett godtyckligt plan P och en normalvektor (vinkelrät) till det `n (A, B, C). Låt oss ta en godtycklig fixpunkt M0(x0, y0, z0) och en aktuell punkt M(x, y, z) i detta plan.

Det är uppenbart att ?`n = 0 (1,53)

(se (1.20) för j = p/2). Detta är ekvationen för ett plan i vektorform. När vi går vidare till koordinaterna får vi den allmänna ekvationen för planet

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1,54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Det kan visas att i kartesiska koordinater bestäms varje plan av en ekvation av första graden och omvänt bestämmer varje ekvation av första graden ett plan (dvs ett plan är en yta av första ordningen och en yta av första ordern är ett plan).

Låt oss överväga några speciella fall av platsen för planet som anges av den allmänna ekvationen:

A = 0 – parallell med Ox-axeln; B = 0 – parallellt med Oy-axeln; C = 0 – parallellt med Oz-axeln. (Sådana plan vinkelräta mot ett av koordinatplanen kallas projicerande plan); D = 0 – passerar genom origo; A = B = 0 – vinkelrätt mot Oz-axeln (parallellt med xOy-planet); A = B = D = 0 – sammanfaller med xOy-planet (z = 0). Alla andra fall analyseras på liknande sätt.

Om D? 0, genom att dividera båda sidor av (1,54) med -D, kan vi få ekvationen för planet till formen: (1,55),

a = – D/A, b = –D/B, c = –D/C. Relation (1.55) kallas ekvationen för planet i segment; a, b, c – abskiss, ordinata och applikat för skärningspunkterna för planet med Ox-, Oy-, Oz-axlarna och |a|, |b|, |c| – längderna på segmenten avskurna av planet på motsvarande axlar från koordinaternas ursprung.

Multiplicera båda sidor (1,54) med en normaliserande faktor (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)

där cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm är riktningen cosinus för normalen till planet, p är avståndet till planet från origo.

Låt oss överväga de grundläggande sambanden som används i beräkningarna. Vinkeln mellan planen A1x + B1y + C1z + D1 = 0 och A2x + B2y + C2z + D2 = 0 kan enkelt definieras som vinkeln mellan normalerna för dessa plan `n1 (A1, B1, C1) och

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

Från (1.57) är det lätt att erhålla vinkelräthetsvillkoret

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

och parallellism (1.59) plan och deras normaler.

Avstånd från en godtycklig punkt M0(x0, y0, z0) till planet (1,54)

bestäms av uttrycket: (1.60)

Ekvationen för ett plan som passerar genom tre givna punkter M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) skrivs lämpligast med hjälp av vektorernas samplanaritetsvillkor (1.25) där M(x, y, z) – aktuell punkt i planet.

(1.61)

Låt oss presentera ekvationen för ett knippe plan (dvs.

Uppsättningar av plan som passerar genom en rak linje) - det är bekvämt att använda i ett antal problem.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Där l О R, och inom parentes är ekvationerna för alla två plan av strålen.

Kontrollfrågor.

1) Hur kontrollerar man att en given punkt ligger på ytan som definieras av denna ekvation?

2) Vad är det karakteristiska särdraget som skiljer ekvationen för ett plan i det kartesiska koordinatsystemet från ekvationen för andra ytor?

3) Hur är planet beläget i förhållande till koordinatsystemet om dess ekvation inte innehåller: a) en fri term; b) en av koordinaterna; c) två koordinater; d) en av koordinaterna och en fri term; d) två koordinater och en fri term?

1) Givet punkterna M1(0,-1,3) och M2(1,3,5). Skriv ekvationen för ett plan som går genom punkt M1 och vinkelrätt mot vektorn Välj det rätta svaret:

A) ; b) .

2) Hitta vinkeln mellan planen och . Välj det rätta svaret:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Hetero. Plan vars normaler inte är kolinjära eller skära, otvetydigt definiera den räta linjen som linjen för deras skärningspunkt, vilket skrivs enligt följande:

Ett oändligt antal plan kan dras genom denna linje (paketet av plan (1.62)), inklusive de som projicerar den på koordinatplan. För att få deras ekvationer räcker det att transformera (1.63), eliminera en okänd från varje ekvation och reducera dem till exempel till formen (1.63`).

Låt oss ställa in uppgiften - att rita genom punkten M0(x0,y0,z0) en rät linje parallell med vektorn `S (l, m, n) (det kallas en riktningslinje). Låt oss ta en godtycklig punkt M(x,y,z) på den önskade linjen. Vektorer och måste vara kolinjär, varifrån vi får linjens kanoniska ekvationer.

(1,64) eller (1.64`)

där cosa, cosb, cosg är riktningens cosinus för vektorn `S. Från (1.64) är det lätt att få ekvationen för en rät linje som går genom givna punkter M1(x1, y1, z1) och M2(x2, y2, z2) (den är parallell )

Eller (1,64``)

(Värdena på bråken i (1.64) är lika för varje punkt på linjen och kan betecknas med t, där t R. Detta låter dig ange linjens parametriska ekvationer

Varje värde på parametern t motsvarar en uppsättning koordinater x, y, z för en punkt på en linje eller (annars) - värden på okända som uppfyller ekvationerna för en linje).

Med hjälp av de redan kända egenskaperna hos vektorer och operationer på dem och de kanoniska ekvationerna för den räta linjen är det lätt att få följande formler:

Vinkel mellan raka linjer: (1.65)

Parallellismtillstånd (1,66).

vinkelräthet l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1,67) räta linjer.

Vinkeln mellan den räta linjen och planet (enkelt fås genom att hitta vinkeln mellan den räta linjen och normalen till planet, vilket summerar till önskat p/2)

(1.68)

Från (1.66) får vi parallellitetsvillkoret Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

och vinkelräthet (1,70) för en rät linje och ett plan. Det nödvändiga och tillräckliga villkoret för att två linjer ska vara i samma plan kan enkelt erhållas från samplanaritetsvillkoret (1.25).

(1.71)

Kontrollfrågor.

1) Vilka är sätten att definiera en rät linje i rymden?

1) Skriv ekvationerna för en linje som går genom punkt A(4,3,0) och parallellt med vektorn Ange rätt svar:

A) ; b) .

2) Skriv ekvationerna för en rät linje som går genom punkterna A(2,-1,3) och B(2,3,3). Ange rätt svar.

A) ; b) .

3) Hitta skärningspunkten för linjen med planet: , . Ange rätt svar:

a) (6,4,5); b) (6,-4,5).

1.7.3. Ytor av andra ordningen. Om en linjär ekvation i en tredimensionell kartesisk bas unikt definierar ett plan, beskriver alla icke-linjära ekvationer som innehåller x, y, z någon annan yta. Om ekvationen är av formen

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, då beskriver den en andra ordningens yta (allmän ekvation för en andra ordningens yta). Genom att välja eller transformera kartesiska koordinater kan ekvationen förenklas så mycket som möjligt, vilket leder till en av följande former som beskriver motsvarande yta.

1. Kanoniska ekvationer av andra ordningens cylindrar, vars generatorer är parallella med Oz-axeln, och motsvarande andra ordningens kurvor som ligger i xOy-planet fungerar som guider:

(1.72), (1,73), y2 = 2px (1,74)

elliptiska, hyperboliska respektive paraboliska cylindrar.

(Kom ihåg att en cylindrisk yta är en yta som erhålls genom att flytta en rät linje, kallad en generatris, parallell med sig själv. Skärningslinjen för denna yta med ett plan vinkelrätt mot generatrisen kallas en guide - den bestämmer formen på ytan).

I analogi kan vi skriva ner ekvationerna för samma cylindriska ytor med generatriser parallella med Oy-axeln och Ox-axeln. Styrningen kan definieras som skärningslinjen mellan cylinderns yta och motsvarande koordinatplan, dvs. ekvationssystem av formen:

2. Ekvationer av en andra ordningens kon med en vertex i origo:

(1.75)

(konens axlar är Oz-, Oy- och Ox-yxorna)

3. Kanonisk ekvation för ellipsoiden: (1,76);

Speciella fall är till exempel rotationsellipsoider – yta erhållen genom att rotera en ellips runt Oz-axeln (Kl

a > c ellipsoiden är komprimerad, med a x2 + y2+ z2 + = r2 – ekvationen för en sfär med radien r med centrum i origo).

4. Kanonisk ekvation för en hyperboloid på ett ark

(tecknet "–" kan visas framför någon av de tre termerna på vänster sida - detta ändrar bara ytans position i rymden). Speciella fall är t.ex. rotationshyperboloider på ett ark – yta erhållen genom att rotera en hyperbel runt Oz-axeln (hyperbolens imaginära axel).

5. Kanonisk ekvation för en tvåarkshyperboloid

(tecknet "–" kan visas framför någon av de tre termerna på vänster sida).

Speciella fall är rotationshyperboloider med två ark, till exempel en yta som erhålls genom att rotera en hyperbel runt Oz-axeln (hyperbolens verkliga axel).

6. Kanonisk ekvation för en elliptisk paraboloid

(p >0, q >0) (1,79)

7. Kanonisk ekvation för en hyperbolisk paraboloid

(p >0, q >0) (1,80)

(variabeln z kan byta plats med vilken som helst av variablerna x och y - ytans position i rymden kommer att ändras).

Observera att en uppfattning om egenskaperna (formen) hos dessa ytor lätt kan erhållas genom att betrakta sektioner av dessa ytor med plan vinkelräta mot koordinataxlarna.

Kontrollfrågor.

1) Vilken uppsättning punkter i rymden bestämmer ekvationen?

2) Vilka är de kanoniska ekvationerna för andra ordningens cylindrar; andra ordningens kon; ellipsoid; enkelarkshyperboloid; två-arks hyperboloid; elliptisk paraboloid; hyperbolisk paraboloid?

1) Hitta sfärens centrum och radie och ange rätt svar:

a) C(1,5;-2,5;2), ; b) C(1,5;2,5;2);

2) Bestäm typen av yta som ges av ekvationerna: . Ange rätt svar:

a) enkelarkshyperboloid; hyperbolisk paraboloid; elliptisk paraboloid; kon.

b) två-arks hyperboloid; hyperbolisk paraboloid; elliptisk paraboloid; kon.

§7. Plan som en yta av första ordningen. Planets allmänna ekvation. Ekvation för ett plan som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor Låt oss introducera ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem Oxyz i rymden och betrakta en ekvation av första graden (eller linjär ekvation) för x, y, z: (7.1) Axe  Genom  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Sats 7.1. Vilket plan som helst kan specificeras i ett godtyckligt rektangulärt kartesiskt koordinatsystem med en ekvation av formen (7.1). På exakt samma sätt som i fallet med en linje på ett plan är motsatsen till sats 7.1 giltig. Sats 7.2. Varje ekvation av formen (7.1) definierar ett plan i rymden. Beviset för satserna 7.1 och 7.2 kan utföras på samma sätt som beviset för satserna 2.1, 2.2. Av satserna 7.1 och 7.2 följer att planet och endast det är en yta av första ordningen. Ekvation (7.1) kallas den allmänna planekvationen. Dess -koefficienter A, B, C tolkas geometriskt som koordinaterna för vektorn n vinkelrät mot det plan som definieras av denna ekvation. Denna vektor  n(A, B, C) kallas normalvektorn till det givna planet. Ekvation (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 för alla möjliga värden av koefficienterna A, B, C definierar alla plan som passerar genom punkten M 0 ( x0, y0, z0). Det kallas ekvationen för ett gäng plan. Valet av specifika värden för A, B, C i (7.2) betyder valet av planet P från länken som går genom punkten M 0 vinkelrätt mot den givna vektorn n(A, B, C) (Fig. 7.1) ). Exempel 7.1. Skriv ekvationen för planet P som går genom punkten   A(1, 2, 0) parallellt med vektorerna a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Normalvektorn n till P är ortogonal mot de givna vektorerna a och b (Fig. 7.2),   därför kan vi för n ta deras vektor n produkt: A    P i j k        1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n     a   k . Låt oss ersätta koordinaterna i fig. 7.2. Till exempel, 7.1 P M0  punkt M 0 och vektor n i ekvation (7.2), får vi Fig. 7.1. Till ekvationen för planet för ett knippe av plan P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 eller P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1s om två av koefficienterna . A, B, C i ekvationen (7.1) är lika med noll, den anger ett plan parallellt med ett av koordinatplanen. Till exempel, när A  B  0, C  0 – plan P1: Cz  D  0 eller P1: z   D / C (Fig. 7.3). Den är parallell med Oxy-planet, eftersom dess normalvektor  n1(0, 0, C) är vinkelrät mot detta plan. För A  C  0, B  0 eller B  C  0, A  0, ekvation (7. 1) definierar planen P2: Med  D  0 och P3: Axe  D  0, parallellt med koordinatplanen Oxz och Oyz, eftersom   deras normalvektorer n2(0, B, 0) och n3(A, 0) , 0 ) är vinkelräta mot dem (fig. 7.3). Om endast en av koefficienterna A, B, C i ekvation (7.1) är lika med noll, så specificerar den ett plan parallellt med en av koordinataxlarna (eller innehåller det om D  0). Planet P: Ax  By  D  0 är alltså parallellt med Oz-axeln, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Fig. 7.4. Plan P: Axe  B y  D  0, parallellt med Oz-axeln Fig. 7.3. Planen är parallella med koordinatplanen  eftersom dess normalvektor n(A, B, 0) är vinkelrät mot Oz-axeln. Observera att den passerar genom den räta linjen L: Axe  By  D  0 som ligger i Oxy-planet (Fig. 7.4). För D  0, anger ekvation (7.1) ett plan som går genom origo. Exempel 7.2. Hitta värdena för parametern  för vilken ekvationen x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 definierar planet parallellt med P: a) av koordinatplanen; b) parallell med en av koordinataxlarna; c) passera genom koordinaternas ursprung. Låt oss skriva denna ekvation i formen x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) För vilket värde som helst på  definierar ekvation (7.3) ett visst plan, eftersom koefficienterna för x, y, z i (7.3) inte försvinner samtidigt. a) För   0 definierar ekvation (7.3) ett plan P parallellt med planet Oxy, P: z  3 / 2, och för   2 definierar det ett plan P 2 parallellt med planet Oyz, P: x  5/ 2. För inga värden på  är planet P som definieras av ekvation (7.3) parallellt med planet Oxz, eftersom koefficienterna för x, z i (7.3) inte försvinner samtidigt. b) För   1 definierar ekvation (7.3) ett plan P parallellt med Oz-axeln, P: x  3y  2  0. För andra värden av parametern  definierar den inte ett plan parallellt med endast en av koordinataxlarna. c) För   3 definierar ekvation (7.3) planet P som passerar genom origo, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Exempel 7.3. Skriv ekvationen för planet P som passerar genom: a) punkt M (1,  3, 2) parallell med den plana axeln Oxy; b) Ox-axeln och punkt M (2, – 1, 3).   a) För normalvektorn n till P här kan vi ta vektorn k (0, 0,1) - enhetsvektorn för Oz-axeln, eftersom den är vinkelrät mot Oxy-planet. Ersätt koordinaterna för punkten  M (1,  3, 2) och vektorn n i ekvation (7.2), vi får ekvationen för planet P: z 3  0.   b) Normalvektorn n till P är ortogonal mot vektorerna i (1, 0, 0) och OM (2,  1, 3) ,  därför kan vi ta deras vektorprodukt som n:    i j k        i  OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Ersätt koordinaterna för punkt O och vektor n i ekvation (7.2), vi får ekvationen för planet P:  3(y  0)  (z  0)  0 eller P: 3 y  z  0 .◄ 3

Liknande artiklar