Gymnasieskola nr 45.

Moskva stad.

Elev i 10:e klass "B" Gorokhov Evgeniy

Kursuppgifter (utkast).

Introduktion till teorin om matriser och determinanter .

1. Matriser................................................... ......................................................... ............................................................... ...................... ......

1.1 Begreppet matris................................................... ............................................................ ............................................

1.2 Grundläggande operationer på matriser.................................................. ...................................................................... ............ .

2. Determinanter................................................... ......................................................... ............................................................... ........

2.1 Begreppet en determinant................................................ ............................................................ ............................................

2.2 Beräkning av determinanter................................................... ............................................................ ............................

2.3 Grundläggande egenskaper hos determinanter.................................................. ...................................................................... ............

3. Linjära ekvationssystem......................................... ............................................................ ............... .

3.1 Grundläggande definitioner................................................... ................................................................... ..........................................

3.2 Konsistensvillkor för linjära ekvationssystem........................................... .......... ...............

3.3 Lösa linjära ekvationssystem med Cramers metod......................................... ........... ..........

3.4 Lösa linjära ekvationssystem med Gauss-metoden......................................... ............................

4. Invers matris......................................................... ............................................................ ............................................

4.1 Begreppet invers matris................................................... ...................................................................... ............................................

4.2 Beräkning av den inversa matrisen......................................... ............................................................ ...............

Bibliografi................................................ . ................................................................ ......................................

Matris är en rektangulär tabell med tal som innehåller en viss kvantitet m rader och ett visst antal n kolumner. Tal m Och n kallas order matriser. Om m = n , matrisen kallas kvadrat och talet m = n -- henne i ordning .

De grundläggande aritmetiska operationerna på matriser är att multiplicera en matris med ett tal, addera och multiplicera matriser.

Låt oss gå vidare till att definiera de grundläggande operationerna på matriser.

Matristillägg: Summan av två matriser, till exempel: A Och B , med samma antal rader och kolumner, med andra ord samma ordningsföljder m Och n kallas matris C = ( MED I j )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) samma order m Och n , element Cij som är lika.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

För att beteckna summan av två matriser används notationen C = A + B. Operationen för att summera matriser kallas deras tillägg

Så per definition har vi:

+ =

=

Från definitionen av summan av matriser, eller mer exakt från formeln ( 1.2 ) det följer omedelbart att operationen att addera matriser har samma egenskaper som operationen att addera reella tal, nämligen:

1) kommutativ egenskap: A + B = B + A

2) kombinera egendom: (A + B) + C = A + (B + C)

Dessa egenskaper gör det möjligt att inte oroa sig för ordningen på matristermerna när man lägger till två eller flera matriser.

Multiplicera en matris med ett tal :

Matrisprodukt för ett reellt tal kallas en matris C = (Cij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , vars element är lika

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

För att beteckna produkten av en matris och ett tal används notationen C= A eller C=A . Operationen att komponera produkten av en matris med ett tal kallas att multiplicera matrisen med detta tal.

Direkt från formel ( 1.3 ) det är tydligt att multiplicera en matris med ett tal har följande egenskaper:

1) fördelningsegenskap avseende summan av matriser:

( A + B) = A+ B

2) associativ egenskap avseende en numerisk faktor:

() A= ( A)

3) fördelningsegenskap avseende summan av tal:

( + ) A= A + A .

Kommentar :Skillnaden mellan två matriser A Och B av identiska ordningar är det naturligt att kalla en sådan matris C av samma beställningar, som i summa med matrisen B ger matrisen A . För att beteckna skillnaden mellan två matriser används en naturlig notation: C = A – B.

Matrismultiplikation :

Matrisprodukt A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , med order lika m Och n per matris B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , med order lika n Och sid , kallas en matris C= (MED ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , med order motsvarande lika m Och sid , och element Cij , definierad av formeln

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

För att beteckna produkten av en matris A till matrisen B använda inspelning

C=AB . Operationen att komponera en matrisprodukt A till matrisen B kallad multiplikation dessa matriser. Av definitionen formulerad ovan följer att matris A kan inte multipliceras med någon matris B : det är nödvändigt att antalet matriskolumner A var lika antal matrisrader B . För båda verken AB Och B.A. inte bara definierades, utan också hade samma ordning, är det nödvändigt och tillräckligt att båda matriserna A Och B var kvadratiska matriser av samma ordning.

Formel ( 1.4 ) är en regel för att komponera matriselement C ,

som är produkten av matrisen A till matrisen B . Denna regel kan formuleras muntligt: Element Cij , står i korsningen i raden och j- matriskolumnen C=AB , är jämställd summan av parvisa produkter av motsvarande element i raden matriser A Och j- matriskolumnen B . Som ett exempel på tillämpningen av denna regel presenterar vi formeln för att multiplicera kvadratmatriser av andra ordningen

Från formeln ( 1.4 ) följande egenskaper hos matrisprodukten följer: A till matrisen B :

1) associativ egenskap: ( AB)C = A(BC);

2) fördelningsegenskap med avseende på summan av matriser:

(A + B) C = AC + BC eller A (B + C) = AB + AC.

Det är vettigt att ta upp frågan om permutationsegenskapen för en produkt av matriser endast för kvadratiska matriser av samma ordning. Elementära exempel visar att produkten av två kvadratiska matriser av samma ordning generellt sett inte har kommuteringsegenskapen. Faktum är att om vi sätter

A = , B = , Den där AB = , A BA =

Samma matriser som produkten har kommuteringsegenskapen för brukar kallas pendling.

Bland kvadratiska matriser lyfter vi fram klassen av sk diagonal matriser, som var och en har element placerade utanför huvuddiagonalen lika med noll. Bland alla diagonala matriser med sammanfallande element på huvuddiagonalen spelar två matriser en särskilt viktig roll. Den första av dessa matriser erhålls när alla element i huvuddiagonalen är lika med en, och kallas identitetsmatrisen n- E . Den andra matrisen erhålls med alla element lika med noll och kallas nollmatrisen n- ordning och betecknas med symbolen O . Låt oss anta att det finns en godtycklig matris A , Då

AE=EA=A , AO=OA=O .

Den första av formlerna kännetecknar identitetsmatrisens speciella roll E, liknande rollen som numret spelar 1 när man multiplicerar reella tal. När det gäller nollmatrisens speciella roll HANDLA OM, då avslöjas det inte bara av den andra av formlerna, utan också av en elementär verifierbar likhet: A+O=O+A=A . Konceptet med en nollmatris kan inte introduceras för kvadratiska matriser.

Först och främst måste du komma ihåg att determinanter endast finns för matriser av kvadratisk typ, eftersom det inte finns några determinanter för matriser av andra typer. I teorin om linjära ekvationssystem och i vissa andra frågor är det bekvämt att använda begreppet determinant, eller determinant .

Låt oss betrakta vilka fyra tal som helst skrivna i form av en matris med två i rader och två kolumner , Determinant eller determinant, som består av siffrorna i denna tabell, är numret ad-bc , betecknas enligt följande: .En sådan determinant kallas andra ordningens determinant, eftersom en tabell med två rader och två kolumner togs för att kompilera den. De tal som utgör determinanten kallas dess element; samtidigt säger de att elementen a Och d utgöra huvuddiagonal determinant och elementen b Och c hans sidan diagonal. Det kan ses att determinanten är lika med skillnaden mellan produkterna av par av element belägna på dess huvud- och sekundära diagonaler. Bestämningsfaktorn för den tredje och varje annan ordning är ungefär densamma, nämligen: Låt oss säga att vi har en kvadratisk matris . Determinanten för följande matris är följande uttryck: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Som du kan se räknas det ut ganska enkelt om du kommer ihåg en viss sekvens. Med ett positivt tecken är huvuddiagonalen och trianglarna bildade av elementen, som har en sida parallell med huvuddiagonalen, i detta fall är dessa trianglar a12a23a31, a13a21a32 .

Siddiagonalen och trianglarna parallella med den har ett negativt tecken, d.v.s. a11a23a32, a12a21a33 . På detta sätt kan bestämningsfaktorer av vilken ordning som helst hittas. Men det finns fall när den här metoden blir ganska komplicerad, till exempel när det finns många element i matrisen, och för att beräkna determinanten måste du spendera mycket tid och uppmärksamhet.

Det finns ett enklare sätt att beräkna determinanten n- åh ordning, var n2 . Låt oss komma överens om att kalla alla element för mindre Aij matriser n- första ordningens determinant som motsvarar matrisen som erhålls från matrisen som ett resultat av borttagning i raden och j- kolumnen (den raden och den kolumn i skärningspunkten där det finns ett element Aij ). Element mindre Aij kommer att betecknas med symbolen . I denna notation betecknar det övre indexet radnumret, det nedre indexet kolumnnumret och stapeln ovanför M betyder att den angivna raden och kolumnen är överstrukna. Bestämmande för ordningen n , motsvarande matrisen, kallar vi talet lika med och betecknas med symbolen .

Sats 1.1 Oavsett radnummer i ( i =1, 2…, n) , för bestämningsfaktorn n- formeln för första storleksordningen är giltig

= det A =

kallad jag- raden . Vi betonar att i denna formel är exponenten till vilken talet höjs (-1) lika med summan av rad- och kolumnnumren i skärningspunkten där elementet är beläget Aij .

Sats 1.2 Oavsett kolumnnummer j ( j =1, 2…, n) , för bestämningsfaktorn n ordningens formel är giltig

= det A =

kallad expansion av denna determinant i j- kolumnen .

Determinanter har också egenskaper som gör det lättare att beräkna dem. Så nedan fastställer vi ett antal egenskaper som en godtycklig determinant har n -:e ordningen.

1. Rad-kolumn jämlikhet egendom . Transponera av någon matris eller determinant är en operation som ett resultat av vilken raderna och kolumnerna byts om samtidigt som deras ordning bibehålls. Som ett resultat av matristransponering A den resulterande matrisen kallas en matris, kallas transponerad med avseende på matrisen A och indikeras av symbolen A .

Determinantens första egenskap formuleras enligt följande: vid transponering bevaras värdet av determinanten, dvs = .

2. Antisymmetriegenskap vid omarrangering av två rader (eller två kolumner). När två rader (eller två kolumner) byts om, behåller determinanten sitt absoluta värde, men ändrar tecken till det motsatta. För en andra ordningens determinant kan denna egenskap verifieras på ett elementärt sätt (av formeln för beräkning av andra ordningens determinant följer omedelbart att determinanterna endast skiljer sig i tecken).

3. Linjär egenskap hos determinanten. Vi kommer att säga att någon sträng ( a) är en linjär kombination av de andra två strängarna ( b Och c ) med koefficienter och . Den linjära egenskapen kan formuleras enligt följande: om i determinanten n någon ordning i Den th raden är en linjär kombination av två rader med koefficienter och sedan = + , var

- en determinant som har i Den -:e raden är lika med en av de två raderna i den linjära kombinationen, och alla andra rader är samma som , a är avgörande för vilken jag- i-strängen är lika med den andra av de två strängarna, och alla andra strängar är samma som .

Dessa tre egenskaper är determinantens huvudegenskaper och avslöjar dess natur. Följande fem fastigheter är logiska konsekvenser tre huvudegenskaper.

Följd 1. En determinant med två identiska rader (eller kolumner) är lika med noll.

Följd 2. Multiplicera alla element i någon rad (eller någon kolumn) av en determinant med ett tal a motsvarar att multiplicera determinanten med detta tal a . Med andra ord kan den gemensamma faktorn för alla element i en viss rad (eller någon kolumn) av en determinant tas bort från tecknet för denna determinant.

Följd 3. Om alla element i en viss rad (eller någon kolumn) är lika med noll, är själva determinanten lika med noll.

Följd 4. Om elementen i två rader (eller två kolumner) i en determinant är proportionella, är determinanten lika med noll.

Följd 5. Om vi ​​till elementen i en viss rad (eller någon kolumn) i en determinant lägger till motsvarande element i en annan rad (en annan kolumn), multiplicerar med en godtycklig faktor, så ändras inte värdet på determinanten. Resultat 5, liksom den linjära egenskapen, tillåter en mer generell formulering, som jag kommer att ge för strängar: om vi till elementen i en viss rad av en determinant lägger till motsvarande element i en sträng som är en linjär kombination av flera andra rader av denna determinant (med eventuella koefficienter), så ändras inte värdet på determinanten . Resultat 5 används ofta i den konkreta beräkningen av determinanter.

Det är känt att vi med hjälp av matriser kan lösa olika ekvationssystem, och dessa system kan vara av vilken storlek som helst och ha hur många variabler som helst. Med några få härledningar och formler blir det ganska snabbt och lättare att lösa enorma ekvationssystem.

Jag kommer särskilt att beskriva Cramer- och Gauss-metoderna. Det enklaste sättet är Cramer-metoden (för mig), eller som den också kallas, Cramer-formeln. Så låt oss säga att vi har något ekvationssystem

, I matrisform kan detta system skrivas enligt följande: A= , där svaren på ekvationerna kommer att finnas i den sista kolumnen. Vi kommer nu att introducera begreppet en fundamental determinant; i det här fallet kommer det att se ut så här:

= . Huvuddeterminanten, som du redan har märkt, är en matris som består av variablernas koefficienter. De visas också i kolumnordning, dvs den första kolumnen innehåller de koefficienter som finns vid x , i den andra kolumnen kl y , och så vidare. Detta är mycket viktigt, eftersom vi i följande steg kommer att ersätta varje kolumn med koefficienter för en variabel med en kolumn med ekvationssvar. Så som sagt byter vi ut kolumnen vid den första variabeln med svarskolumnen, sedan vid den andra beror det förstås på hur många variabler vi behöver hitta.

1 = , 2 = , 3 = .

Sedan måste du hitta determinanterna 1, 2, 3. Du vet redan hur man hittar den tredje ordningens determinant. A Det är här vi tillämpar Cramers regel. Det ser ut så här:

x1 = , x2 = , x3 = – för det här fallet, men i allmänhet ser det ut så här: x jag = . En determinant som består av koefficienter för okända kallas systemets avgörande .

1. V. A. Ilyin, E. G. Poznyak "Linjär algebra"

2. G. D. Kim, E. V. Shikin "Elementära transformationer i linjär algebra"

Linjära problem som använder matristeori är förknippade med apparaten av så kallade determinanter, vilket är mycket värdefullt när det gäller bredden av tillämpningar på teoretiska frågor.

1. Vägledande överväganden.

Låt oss i allmänhet betrakta ett system av två linjära ekvationer med två okända

Låt oss anta att systemet har en lösning och paret x, y utgör lösningen, så att båda ekvationerna redan har förvandlats till sanna likheter. Låt oss multiplicera båda sidorna av den första likheten med den andra och subtrahera. Vi får

Låt oss nu multiplicera den första likheten med den andra med och lägga ihop den. Vi får

Låt oss låtsas att . Sedan

Förutsatt att det finns en lösning kunde vi alltså hitta den. Nu har vi ett alternativ - antingen finns lösningen och då ges den av formler (2), eller så finns inte lösningen. För att bli av med den andra möjligheten behöver du bara slå fast att formlerna (2) verkligen ger en lösning till systemet, för vilket du ska ersätta x och y från (2) till system (1). Vi gör det:

Vi ser att båda ekvationerna har blivit sanna likheter.

Om annars inte vårt resonemang leder till ett fullständigt resultat, lämnar vi detta fall åt sidan tills vidare.

I formlerna (2) är nämnaren densamma. Täljarna är mycket lika i form av nämnaren.

Det finns ett speciellt namn för uttrycket

matrisdeterminant och speciell notation:

Med hjälp av notation för determinanter skrivs formler (2) i formen

Tillämpa till exempel dessa formler för att lösa systemet

Naturligtvis skulle begreppet en determinant inte vara nödvändigt om vi bara pratade om system av två ekvationer med två okända. Resultatet kan generaliseras till linjära ekvationssystem med okända.

Låt oss överväga ett annat fall: Låt systemet vara givet

Låt oss omedelbart utesluta de okända y och . För att göra detta, multiplicera den första ekvationen med den andra med den tredje med och addera. Vi får

Det är tydligt att koefficienterna för y och z är lika med noll.

Koefficienten vid spelar här samma roll som för andra ordningens system. Det kallas matrisens determinant och betecknas:

I denna notation, om determinanten inte är noll,

Likaså,

Vår slutsats är vettig under antagandet att det finns en lösning. Men om du ersätter de hittade uttrycken för x, y, z i det ursprungliga systemet, kan du se till att alla tre ekvationerna blir korrekta likheter.

Så vi har visat att formlerna för att lösa i allmänna linjära ekvationssystem för och har en liknande struktur och huvudrollen i dem spelas av andra ordningens determinanter

och tredje ordningen

Båda dessa uttryck är algebraiska summor av produkter av matriselement, och dessa produkter är sammansatta av ett element från varje rad och ett från varje kolumn. Alla sådana produkter ingår i bestämningsfaktorn. Verk är försedda med + och - tecken enligt reglerna

I dessa figurer är elementen i matrisen som utgör produkterna som ingår i determinanten med tecken sammankopplade med linjer

Låt oss nu gå över till en generalisering av determinanten för kvadratmatriser av valfri ordning, baserat på formen av dessa uttryck för

Här är det bekvämt att beteckna matrisens element med en bokstav, tilldela två index till den - radnumret och kolumnnumret. Låt oss ge en formell definition av determinanten för en kvadratisk ordningsmatris enligt följande:

Determinanten för en kvadratisk ordningsmatris (eller ordningsdeterminant) är den algebraiska summan av alla möjliga produkter av matriselement, tagna en från varje rad, en från varje kolumn och utrustad med plus- och minustecken enligt någon specifik regel.

Vi kommer att vända oss till frågan om vilken typ av regel detta är inom en snar framtid, men för nu kommer vi att försöka skriva ner definitionen symboliskt formulerad ovan. I varje term av determinanten kommer vi att skriva faktorerna i radernas ordning. Kolumnnumren kommer att summera alla siffror från 1 till , i olika ordningsföljder och i alla möjliga ordningsföljder, eftersom determinanten, enligt denna definition, är sammansatt av alla produkter av element, tagna en från varje rad och en från varje kolumn . I bokstavsbeteckningar:

Här går indexen igenom alla möjliga permutationer av tal. Alla permutationer måste delas in i två klasser så att en klass motsvarar termer med ett "plus"-tecken och den andra - med ett "minustecken".

Skicka ditt goda arbete i kunskapsbasen är enkelt. Använd formuläret nedan

Studenter, doktorander, unga forskare som använder kunskapsbasen i sina studier och arbete kommer att vara er mycket tacksamma.

Element i determinantteorin

En determinant är ett tal skrivet i form av en kvadratisk taltabell, beräknad enligt vissa regler.

Till exempel består var och en av tabellerna (1.1) av lika många rader och kolumner och representerar ett antal, vars beräkningsregler kommer att diskuteras nedan.

Antalet rader och kolumner bestämmer ordningen på determinanten. Således är determinant 1.1a) av tredje ordningen, determinant 1.1b) är av andra ordningen, 1.1c) är av första ordningen. Som du kan se är den första ordningens determinant själva talet.

Raka vertikala parenteser vid bordets kanter är tecknet och symbolen för determinanten. Indikeras determinanten med en stor bokstav i det grekiska alfabetet? (delta).

I allmän form skrivs den n:e ordningens determinant enligt följande:

Varje element A I j determinanten har två index: det första indexet i anger radnumret, andra j- nummer på den kolumn där elementet är beläget. Så för determinant 1.1a) element A 11 , A 22 , A 23 , A 32 är lika med 2, 5, 4, 3.

Den andra ordningens determinant beräknas med hjälp av formeln

Andra ordningens determinant är lika med produkten av elementen på huvuddiagonalen minus produkten av elementen på sekundärdiagonalen.

För att beräkna 3:e ordningens determinant används ”triangelmetoden” och Sarrus-metoden. Men vanligtvis i praktiken, för att beräkna 3:e ordningens determinant, används den så kallade metoden för effektiv ordningsminskning, som kommer att diskuteras nedan.

Triangelmetod

När man beräknar determinanten med denna metod är det bekvämt att använda dess grafiska representation. I fig. 1.1 och 1.2 representeras elementen i 3:e ordningens determinant schematiskt av punkter.

Ris. 1.1 Fig. 1.2

Vid beräkning av determinanten följer produkten av element sammankopplade med räta linjer diagrammet i fig. 1.1, ta med ett plustecken, och produkten av element anslutna enligt diagrammet i fig. 1.2, ta med ett minustecken. Som ett resultat av dessa åtgärder tar formeln som används för beräkningen formen:

Beräkna 3:e ordningens determinant.

Sarrus metod

För att implementera det måste du tilldela de två första kolumnerna till höger om determinanten, komponera produkterna av elementen som ligger på huvuddiagonalen och på linjer parallella med den och ta dem med ett plustecken. Komponera sedan produkterna av element som ligger på sidan diagonal och parallellt med den med ett minustecken.

Schema för beräkning av determinanten med Sarrus-metoden.

Beräkna determinanten som ges i exempel 1.2 med Sarrus-metoden.

Mindre och algebraiskt komplement till determinantelementet

Mindre M I j element A I j kallas determinanten ( n-1) -:e ordningen erhållen från determinanten n-:e ordningen genom att stryka över i-th rad och j kolumnen (dvs genom att stryka ut raden och kolumnen i skärningspunkten där elementet är beläget A I j).

Hitta minor av element A 23 Och A 34 determinant av 4:e ordningen.

Element A 23 finns i 2:a raden och 3:e kolumnen. I detta exempel A 23 =4. Genom att kryssa ut den andra raden och den tredje kolumnen vid skärningspunkten mellan detta element (visas för metodologiska ändamål med vertikala och horisontella prickade linjer), får vi den mindre M 23 för detta element. Detta kommer redan att vara en tredje ordningens bestämningsfaktor.

Vid beräkning av minderåriga utförs operationen att stryka ut en rad och kolumn mentalt. Efter att ha gjort detta får vi

Algebraiskt komplement A I j element A I j determinant n Den e ordningen är minor av detta element, taget med tecknet (-1) i + j, Var i+ j- summan av rad- och kolumnnumren som elementet tillhör A I j. De där. a-priory A I j=(-1) i + jM I j

Det är klart att om beloppet i+ j- siffran är alltså jämn A I j=M I j, Om i+ j- siffran är udda, alltså A I j= - M I j.

För determinanten, hitta elementens algebraiska komplement A 23 Och A 31 .

För element A 23 i=2, j=3 och i+ j=5 är ett udda tal, därför

För element A 31 i=3, j=1 och i+ j=4 är ett jämnt tal, vilket betyder

Determinanters egenskaper

1. Om två parallella rader (två rader eller två kolumner) byts ut i determinanten, ändras tecknet för determinanten till det motsatta

Byt två parallella kolumner (1:a och 2:a).

Byt två parallella linjer (1:a och 3:e).

2. Den gemensamma faktorn för elementen i valfri rad (rad eller kolumn) kan tas bort från determinanttecknet.

Egenskaper för en determinant är lika med noll

3. Om alla element i en viss serie i en determinant är lika med noll, är en sådan determinant lika med noll.

4. Om i en determinant elementen i en serie är proportionella mot elementen i en parallell serie, är determinanten lika med noll.

Invariansegenskaper (oföränderlighet) hos determinanten.

5. Om raderna och kolumnerna i determinanten byts om kommer determinanten inte att ändras.

6. Determinanten ändras inte om element i någon parallell serie adderas till elementen i någon serie, först multipliceras med ett visst tal.

Egenskap 6 används i stor utsträckning vid beräkning av determinanter med den så kallade effektiva orderreduktionsmetoden. När du använder den här metoden är det nödvändigt att ta alla element utom ett till noll i en rad (en rad eller kolumn). Ett element som inte är noll i determinanten kommer att vara lika med noll om det adderas till ett tal med samma storlek men motsatt tecken.

Låt oss visa med ett exempel hur detta går till.

Använd egenskaperna 2 och 6 och reducera determinanten till en determinant som har två nollor i valfri rad.

Med hjälp av egenskap 2 förenklar vi determinanten genom att ta bort 2 från 1:a raden, 4 från 2:a raden och 2 från 3:e raden som gemensamma faktorer.

Därför att element A 22 är lika med noll, för att lösa problemet räcker det med att reducera vilket element som helst i den andra raden eller den andra kolumnen till noll. Det finns flera sätt att göra detta.

Låt oss till exempel ta elementet A 21 =2 till noll. För att göra detta, baserat på egenskap 6, multiplicera hela den tredje kolumnen med (-2) och lägg till den till den första. Efter att ha utfört denna operation får vi

Det är möjligt att nollställa ett element A 12 =2, då får vi två element lika med noll i den andra kolumnen. För att göra detta måste du multiplicera den 3:e raden med (-2) och lägga till de resulterande värdena till den första raden

Beräkning av determinant av valfri ordning

Regeln för att beräkna determinanten för vilken ordning som helst är baserad på Laplaces sats.

Laplaces sats

Determinanten är lika med summan av parvisa produkter av elementen i valfri rad (rad eller kolumn) genom deras algebraiska komplement.

Enligt detta teorem kan determinanten beräknas genom att sönderdela den antingen över elementen i valfri rad eller valfri kolumn.

I allmänhet kan den n:te ordningens determinant utökas och beräknas på följande sätt:

Beräkna determinanten med hjälp av Laplaces sats genom att sönderdela den i elementen i 3:e raden och elementen i 1:a kolumnen.

Vi beräknar determinanten genom att expandera den längs den tredje raden

Låt oss beräkna determinanten genom att expandera den över den första kolumnen

Effektiv orderminskningsmetod

Komplexiteten i att beräkna determinanten med Laplaces sats blir betydligt mindre om det bara finns en term i dess expansion antingen i en rad eller i en kolumn. En sådan expansion kommer att erhållas om i raden (eller kolumnen) längs vilken determinanten expanderas, alla element utom ett är lika med noll. Metoden att "nolla" beståndsdelarna i determinanten diskuterades tidigare.

Beräkna determinanten med den effektiva orderreduktionsmetoden.

Därför att determinant av 3:e ordningen, då "nollställer" vi alla två element av determinanten. Det är bekvämt för detta ändamål att ta den andra kolumnen, vars element A 22 = - 1. För elementet A 21 var lika med noll, bör den första kolumnen läggas till den andra. För elementet A 23 var lika med noll, måste du multiplicera den 2:a kolumnen med 2 och lägga till den till den 3:e. Efter att ha utfört dessa operationer omvandlas den givna determinanten till determinanten

Nu utökar vi denna determinant längs den andra linjen

Beräkning av determinantenskära den till en triangulär form

En determinant för vilken alla element över eller under huvuddiagonalen är lika med noll kallas en triangulär determinant. I detta fall är determinanten lika med produkten av dess element i huvuddiagonalen.

Att reducera determinanten till triangulär form är alltid möjligt baserat på dess egenskaper.

En determinant ges. Minska den till triangulär form och beräkna.

Låt oss "nolla ut", till exempel, alla element som ligger ovanför huvuddiagonalen. För att göra detta måste du utföra tre operationer: 1:a operationen - lägg till den första raden med den sista, vi får A 13 = 0. 2:a operationen - multiplicera den sista raden med (-2) och addera med den 2:a, får vi A 23 = 0. Den sekventiella exekveringen av dessa operationer visas nedan.

För att återställa ett element A 12 lägg till 1:a och 2:a raden

Element i matristeori

En matris är en tabell med tal eller andra element som innehåller m linjer och n kolumner.

Allmän bild av matrisen

Matrisen, liksom determinanten, har element utrustade med ett dubbelt index. Innebörden av index är densamma som för determinanter.

Om determinanten är lika med ett tal, är matrisen inte likställd med något annat enklare objekt.

Parenteserna på sidorna av matrisen är dess tecken eller symbol (men inte de raka parenteserna som anger determinanten). För korthetens skull betecknas matrisen med versaler A, B, C etc.

En matris har en storlek som bestäms av dess antal rader och kolumner, vilket skrivs som - A m n.

Till exempel har en numerisk matris av storlek 23 formen, storlek 31 har formen, storlek 14 har formen, etc.

En matris där antalet rader är lika med antalet kolumner kallas kvadrat. I det här fallet, som för determinanter, talar vi om matrisens ordning.

Till exempel har en 3:e ordningens numerisk matris formen

Typer av matriser

En matris som består av en rad kallas en radmatris

En matris som består av en kolumn kallas kolumnmatris

Matrisen kallas kvadrat n-th ordningen om antalet rader är lika med antalet kolumner och är lika med n.

Till exempel en kvadratisk matris av tredje ordningen.

En diagonalmatris är en kvadratisk matris där alla element är noll utom de på huvuddiagonalen. Huvuddiagonalen är diagonalen som går från det övre vänstra hörnet till det nedre högra hörnet.

Till exempel en tredje ordningens diagonalmatris.

En diagonal matris, vars alla element är lika med ett, kallas identitet och betecknas med bokstaven E eller nummer 1

En nollmatris är en matris där alla element är lika med noll.

En övre triangulär matris är en matris där alla element som ligger under huvuddiagonalen är lika med noll.

En lägre triangulär matris är en matris där alla element ovanför huvuddiagonalen är lika med noll.

Till exempel

Övre triangulär matris

Nedre triangulär matris

Om i matrisen A byter rader med kolumner får vi en transponerad matris, som betecknas med symbolen A*.

Till exempel, givet en matris,

matris transponerad med avseende på den A*

Kvadratisk matris A har en determinant, som betecknas med det A(det är ett förkortat franskt ord för "bestämmare").

Till exempel för matrisen A

vi skriver ner dess bestämningsfaktor

Alla operationer med determinanten för en matris är desamma som diskuterats tidigare.

En matris vars determinant är lika med noll kallas speciell, eller degenererad eller singular. En matris för vilken dess determinant inte är lika med noll kallas icke-singular eller icke-singular.

Facklig eller bifogad matris.

Om för en given kvadratisk matris A bestämma de algebraiska komplementen för alla dess element och sedan transponera dem, då kommer den sålunda erhållna matrisen att kallas allierad eller adjoint till matrisen A och indikeras av symbolen A

För ett matrisfynd A.

Sammanställning av determinanten för matrisen A

Vi bestämmer de algebraiska komplementen för alla element i determinanten med hjälp av formeln

Genom att transponera de resulterande algebraiska komplementen får vi den allierade eller adjoint matrisen A i förhållande till en given matris A.

Åtgärder på matriser

Matrisjämlikhet

Två matriser A Och I anses lika om:

a) de båda har samma storlek;

b) motsvarande element i dessa matriser är lika med varandra. Motsvarande element är element med samma index.

Addition och subtraktion av matriser

Du kan bara lägga till och subtrahera matriser med samma dimension. Summan (skillnaden) av två matriser A Och I det kommer att finnas en tredje matris MED, vars element MED I j lika med summan (skillnaden) av motsvarande matriselement A Och I. Enligt definitionen matriselement MEDär enligt regeln.

Till exempel om

Begreppet summa (skillnad) av matriser sträcker sig till vilket ändligt antal matriser som helst. I det här fallet följer summan av matriser följande lagar:

a) kommutativ A + B = B + A;

b) associativ MED + (A + B) = (B + C)+ A.

Multiplicera en matris med ett tal.

För att multiplicera en matris med ett tal, måste du multiplicera varje element i matrisen med det talet.

Följd. Den gemensamma faktorn för alla matriselement kan tas ut ur matristecknet.

Till exempel, .

Som du kan se liknar åtgärderna att lägga till, subtrahera matriser och multiplicera en matris med ett tal som åtgärder på tal. Matrismultiplikation är en specifik operation.

Produkt av två matriser.

Alla matriser kan inte multipliceras. Produkt av två matriser A Och I i den ordning som anges A I endast möjligt när antalet kolumner i den första faktorn A lika med antalet rader i den andra faktorn I.

Till exempel, .

Matrisstorlek A 33, matrisstorlek I 23. Arbete A I omöjligt, arbete I A Kanske.

Produkten av två matriser A och B är den tredje matrisen C, vars element C ij är lika med summan av parvisa produkter av elementen i den i:te raden i den första faktorn och den j:te kolumnen i den andra faktor.

Det visades att i detta fall är produkten av matriser möjlig I A

Av existensregeln för produkten av två matriser följer att produkten av två matriser i det allmänna fallet inte följer den kommutativa lagen, dvs. A I? I A. Om det i ett särskilt fall visar sig det A B = B A, då kallas sådana matriser permuterbara eller kommutativa.

I matrisalgebra kan produkten av två matriser vara en nollmatris även när ingen av faktormatriserna är noll, till skillnad från vanlig algebra.

Låt oss till exempel hitta produkten av matriser A I, Om

Du kan multiplicera flera matriser. Om du kan multiplicera matriser A, I och produkten av dessa matriser kan multipliceras med matrisen MED, då är det möjligt att komponera produkten ( A I) MED Och A(I MED). I detta fall äger kombinationslagen angående multiplikation rum ( A I) MED = A(I MED).

invers matris

Om två matriser A Och I samma storlek och deras produkt A Iär identitetsmatrisen E, då kallas matris B inversen av A och betecknas A -1 , dvs. A A -1 = E.

invers matris A -1 lika med förhållandet mellan fackföreningsmatrisen A till matrisens determinant A

Av detta är det tydligt att för att den inversa matrisen ska existera A -1 det är nödvändigt och tillräckligt att matrisen det A? 0, dvs så att matrisen A var icke degenererad.

För ett matrisfynd A -1 .

Bestämma värdet på matrisens determinant A

Därför att det A? 0, den inversa matrisen existerar. I exempel 2.1. för en given determinant hittades den allierade matrisen

A-priory

Matrix rang

För att lösa och studera ett antal matematiska och tillämpade problem är begreppet matrisrang viktig.

Tänk på matrisen A storlek m n

Välj slumpmässigt i matrisen Ak linjer och k kolumner. Element som ligger i skärningspunkten mellan valda rader och kolumner bildar en kvadratisk matris k-av den ordningen. Determinanten för denna matris kallas minor k-ordning av matris A. Välj k linjer och k kolumner kan användas på olika sätt, vilket resulterar i olika minderåriga k-av den ordningen. 1:a ordningens minderåriga är själva elementen. Uppenbarligen är den största möjliga ordningen av minderåriga lika med den minsta av siffrorna m Och n. Bland de bildade minderåriga av olika ordning kommer det att finnas de som är lika med noll och inte lika med noll.

Högsta ordningen av icke-noll matris minderåriga A kallas matrisens rangordning.

Matrix rang A betecknas med rang A eller r( A).

Om matrisen rankas A lika r, betyder detta att matrisen har en moll som inte är noll r, men varje minderårig är av större ordning än r lika med noll.

Av definitionen av matrisrang följer att:

a) matrisrang A m n inte överstiger den minsta av dess storlekar, dvs. r(A) ? min(m, n);

b) r(A) = 0 om och endast om alla element i matrisen är lika med noll, dvs. A = 0;

c) för en kvadratisk matris n-:e ordningen r(A) = n, om matrisen är icke-singular.

Låt oss titta på ett exempel på att bestämma rangen för en matris med hjälp av metoden att gränsa till minderåriga. Dess essens ligger i att sekventiellt räkna upp de minderåriga i matrisen och hitta den högsta ordningens icke-noll moll.

Beräkna matrisens rangordning.

För matris A 3 4 r(A) ? min (3,4) = 3. Låt oss kontrollera om rangen på matrisen är lika med 3; för att göra detta beräknar vi alla tredje ordningens minderåriga (det finns bara 4 av dem, de erhålls genom att ta bort en av matrisens kolumner).

Eftersom alla tredje ordningens minderåriga är noll, r(A) ? 2. Eftersom det finns en moll noll av andra ordningen, till exempel

Den där r(A) = 2.

Varje moll som inte är noll i en matris vars ordning är lika med dess rang kallas basmoll av denna matris.

En matris kan ha mer än en basisminor, men flera. Ordningarna för alla bas minderåriga är dock samma och lika med rangordningen för matrisen.

De rader och kolumner som bildar en basisminor kallas för basis.

Varje rad (kolumn) i en matris är en linjär kombination av basraderna (kolumnerna).

Liknande dokument

Begreppet och essensen av andra ordningens determinanter. Övervägande av grunderna i ett system av två linjära ekvationer i två okända. Studie av n:e ordningens bestämningsfaktorer och metoder för deras beräkning. Funktioner i ett system med n linjära ekvationer med n okända.

presentation, tillagd 2014-11-14


Determinanter av andra och tredje ordningen. Permutationer och substitutioner. Minderåriga och algebraiska komplement. Tillämpning av metoder för att reducera determinanten till triangulär form, representera determinanten som summan av determinanter, och isolera linjära faktorer.

kursarbete, tillagt 2013-07-19


Konceptet med en matris och linjära åtgärder på dem. Egenskaper för matrisadditionsoperationen. Determinanter av andra och tredje ordningen. Tillämpning av Sarrus regel. Grundläggande metoder för att lösa determinanter. Elementära matristransformationer. Egenskaper för en invers matris.

handledning, tillagd 03/04/2010


Problem och metoder för linjär algebra. Bestämningsfaktorernas egenskaper och ordningen för deras beräkning. Hitta den inversa matrisen med den Gaussiska metoden. Utveckling av en beräkningsalgoritm i Pascal ABC-programmet för att beräkna determinanter och hitta den inversa matrisen.

kursarbete, tillagt 2013-01-02


Begreppet och syftet med determinanter, deras allmänna egenskaper, beräkningsmetoder och egenskaper. Matris algebra. Linjära ekvationssystem och deras lösning. Vektoralgebra, dess lagar och principer. Egenskaper och tillämpningar för en korsprodukt.

test, tillagt 2012-04-01


Element av linjär algebra. Typer av matriser och operationer på dem. Egenskaper för matrisdeterminanter och deras beräkning. Lösa linjära ekvationssystem i matrisform med hjälp av Cramers formler och Gauss metod. Element i differential- och integralkalkyl.

handledning, tillagd 2011-11-06


Ett tal som kännetecknar en kvadratisk matris. Beräkning av determinanten av första och andra ordningen i en matris. Med hjälp av triangelregeln. Algebraiskt komplement till något element av determinanten. Ordna om två rader eller kolumner av en determinant.

presentation, tillagd 2013-09-21


Begreppet matrisrang. Leontief modell för en diversifierad ekonomi. Egenskaper hos den skalära produkten. Nedbrytning av en vektor längs koordinataxlar. Mindre och algebraiska komplement. Determinanter av andra och tredje ordningen. Plan och rak linje i rymden.

föreläsningskurs, tillagd 2013-10-30


Teorin om determinanter i verk av P. Laplace, O. Cauchy och C. Jacobi. Andra ordningens determinanter och system av två linjära ekvationer i två okända. Tredje ordningens determinanter och egenskaper hos determinanter. Lösa ett ekvationssystem med Cramers regel.

presentation, tillagd 2016-10-31


Determinanter av andra och tredje ordningen, egenskaper hos determinanter. Två sätt att beräkna tredje ordningens determinant. Nedbrytningssats. Cramers teorem, som ger ett praktiskt sätt att lösa linjära ekvationssystem med hjälp av determinanter.

Ämne 1. Matriser och matrisdeterminanter

Vad vi lär oss:

Grundläggande begrepp för linjär algebra: matris, determinant.

Vad vi kommer att lära oss:

Utföra operationer på matriser;

Beräkna med andra och tredje ordningens determinanter.

Ämne 1.1. Begreppet matris. Åtgärder på matriser

∆ Matris är en rektangulär tabell som består av rader och kolumner, fylld med några matematiska objekt.

Matriser betecknas med latinska versaler, själva tabellen är omgiven av parentes (mindre ofta i kvadratisk eller annan form).

Element A I j kallad matriselement . Första indexet i– radnummer, andraj– kolumnnummer. Oftast är elementen siffror.

Post "matris" A har storleken m× n» betyder att vi talar om en matris som består avm linjer och n kolumner.

Om m = 1, a n > 1, då är matrisenmatris - rad . Om m > 1, a n = 1, då är matrisenmatris - kolumn .

En matris där antalet rader sammanfaller med antalet kolumner (m= n), kallas fyrkant .

.

Element a 11 , a 22 ,…, a nn kvadratisk matrisA (storlek n× n) form huvuddiagonal , element a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - sidan diagonal .

I matrisen
element 5; 7 bildar huvuddiagonalen, element –5; 8 – sidodiagonal.

Matriser A Och B kallas likvärdig (A= B), om de har samma storlek och deras element i samma positioner sammanfaller, dvs.A I j = b I j .

Identitetsmatris är en kvadratisk matris där elementen i huvuddiagonalen är lika med ett och de återstående elementen är lika med noll. Identitetsmatrisen betecknas vanligtvis E.

Matris införlivats till matris A av storlekm× nkallas matris A T storlek n× m, erhålls från matris A, om dess rader skrivs i kolumner, och dess kolumner i rader.

Aritmetiska operationer på matriser.

Att hitta summan av matriser A Och B av samma dimension är det nödvändigt att lägga till element med samma index (står på samma ställen):

.

Matrisaddition är kommutativ, det vill säga A + B = B + A.

Att hitta matris skillnad A Och B av samma dimension är det nödvändigt att hitta skillnaden mellan element med samma index:

.

Till multiplicera matris Aper nummer k, Det är nödvändigt att multiplicera varje element i matrisen med detta tal:

.

Arbete matriser AB kan endast definieras för matriserA storlek m× n Och B storlek n× sid, dvs. antal matriskolumnerA måste vara lika med antalet matrisraderI. Vart i A· B= C, matris C har storleken m× sid, och dess element c I j finns som en skalär produktith matrisrader A på jth matriskolumnB: ( i=1,2,…, m; j=1,2,…, sid).

!! Egentligen behövs varje rad matriser A (står till vänster) multiplicera skalärt med varje matriskolumn B (står till höger).

Produkten av matriser är inte kommutativ, det vill sägaА·В ≠ В·А . ▲

☺ Det är nödvändigt att analysera exempel för att konsolidera teoretiskt material.

Exempel 1. Bestämma storleken på matriser.

Exempel 2. Definition av matriselement.

I matriselementet A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

I matriselementet A 21 = 2, A 13 = 0.

Exempel 3: Utföra matristransponering.

,

Exempel 4. Utförande av operationer på matriser.

Hitta 2 A- B, Om , .

Lösning. .

Exempel 5. Hitta produkten av matriser Och .

Lösning. MatrisstorlekA – 3 × 2 , matriser I – 2 × 2 . Därför produktenA·B du kan hitta den. Vi får:

Arbete VA kan inte hittas.

Exempel 6. Hitta A 3 om A =
.

Lösning. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

Exempel 6. Hitta 2 A 2 + 3 A + 5 E på
,
.

Lösning. ,

,
,

,
.

Uppgifter att slutföra

1. Fyll i tabellen.

Matris	Storlek	Matris typ	Matriselement
				en 12	en 23	en 32	en 33

2. Utför operationer på matriser
Och
:

3. Utför matrismultiplikation:

4. Transponera matriser:

? 1. Vad är en matris?

2. Hur skiljer man en matris från andra element i linjär algebra?

3. Hur bestämmer man matrisstorleken? Varför är detta nödvändigt?

4. Vad betyder posten? A I j ?

5. Ge en förklaring av följande begrepp: huvuddiagonal, matrisens sekundärdiagonal.

6. Vilka operationer kan utföras på matriser?

7. Förklara essensen av operationen av matrismultiplikation?

8. Kan vilka matriser som helst multipliceras? Varför?

Ämne 1.2. Andra och tredje ordningens bestämningsfaktorer : m metoder för deras beräkning

∆ Om A är en kvadratisk matris n-th order, då kan vi associera med det ett nummer som kallas determinant n:e ordningen och betecknas med |A|. Det vill säga, determinanten skrivs som en matris, men istället för parenteser omges den av parenteser.

!! Ibland kallas bestämningsfaktorer determinanter på engelska manér, alltså = det A.

1:a ordningens determinant (determinant för matris A av storlek1 × 1 ) är själva elementet som matris A innehåller, dvs.

2:a ordningens determinant (matrisdeterminant En storlek 2 × 2 ) är ett tal som kan hittas med hjälp av regeln:

(produkten av elementen på matrisens huvuddiagonal minus produkten av elementen på sekundärdiagonalen).

3:e ordningens determinant (matrisdeterminant En storlek 3 × 3 ) är ett tal som kan hittas med hjälp av "trianglar"-regeln:

För att beräkna 3:e ordningens determinanter kan du använda en enklare regel - riktningsregeln (parallella linjer).

Vägbeskrivning regel : Med höger om determinanten läggs till de två första kolumnerna, produkterna av element på huvuddiagonalen och på diagonalerna parallella med den tas med ett plustecken; och produkterna av elementen i den sekundära diagonalen och diagonalerna parallella med den är med ett minustecken.

!! För att beräkna determinanter kan du använda deras egenskaper, som är giltiga för determinanter av vilken ordning som helst.

Determinanters egenskaper:

1° . Determinanten för matris A ändras inte under transponering, dvs. |A| = |A T |. Den här egenskapen kännetecknar likheten mellan rader och kolumner.

2° . Vid omarrangering av två rader (två kolumner), behåller determinanten sitt tidigare värde, men tecknet är omvänt.

4° . Om någon rad eller kolumn innehåller en gemensam faktor kan den tas bort från determinanttecknet.

Följd 4.1. Om alla element i en serie av en determinant är lika med noll, är determinanten lika med noll.

Följd 4.2. Om elementen i någon serie av en determinant är proportionella mot motsvarande element i en serie parallell med den, så är determinanten lika med noll.▲

☺ Det är nödvändigt att analysera reglerna för beräkning av determinanter.

Exempel 1: Beräkningandra ordningens bestämningsfaktorer,
.

Lösning.

Determinanter av andra och tredje ordningen.

Siffrorna m och n kallas mått matriser.

Matrisen kallas fyrkant, om m = n. Numret n kallas i detta fall i ordning kvadratisk matris.

Varje kvadratisk matris kan associeras med ett tal som är unikt bestämt med hjälp av alla element i matrisen. Detta nummer kallas determinanten.

Andra ordningens determinantär ett tal som erhålls med hjälp av elementen i en 2:a ordningens kvadratmatris enligt följande: .

I det här fallet, från produkten av elementen som ligger på den så kallade huvuddiagonalen i matrisen (som går från det övre vänstra till det nedre högra hörnet), subtraheras produkten av elementen som ligger på den andra eller sekundära diagonalen .

Tredje ordningens determinantär ett tal som bestäms med hjälp av elementen i en kvadratmatris av tredje ordningen enligt följande:

Kommentar. För att göra det lättare att komma ihåg denna formel kan du använda den så kallade Cramer-regeln (trianglar). Det är som följer: de element vars produkter ingår i determinanten med tecknet "+" är ordnade enligt följande:

Bildar två trianglar, symmetriska kring huvuddiagonalen. Element vars produkter ingår i determinanten med tecknet "-" är placerade på liknande sätt i förhållande till den sekundära diagonalen:

14. Bestämningsfaktorer för den e ordningen. (determinanter av högre ordning)

Determinant n ordningen som motsvarar matrisen n´n, numret heter:

Grundläggande metoder för att beräkna determinanter:

1) Orderreduktionsmetod Determinanten baseras på förhållandet: (1)

Var kallas det algebraiska komplementet till det e elementet. Mindre det e elementet kallas determinanten n-1 ordning, erhållen från den ursprungliga determinanten genom att radera i-den linjen och j kolumnen.

Relation (1) kallas expansionen av determinanten i i-den raden. På liknande sätt kan vi skriva expansionen av determinanten längs en kolumn:

Sats: För varje kvadratisk matris gäller likheten ,

var och är Kronecker-symbolen

2) Metod för reduktion till triangulär form baseras på determinanternas sjunde egenskap.

Exempel: Beräkna determinanten: Subtrahera den första raden från alla andra.

3) Metod för återfallsrelation låter en uttrycka en given determinant genom en determinant av samma typ, men av lägre ordning.

Permutationer, inversioner.

Alla arrangemang av nummer 1, 2, ..., n i någon specifik ordning, kallad omarrangemang från n tecken (siffror).

Allmän bild av permutationen: .

Ingen av dem förekommer två gånger i en permutation.

Permutationen kallas även , om dess element utgör ett jämnt antal inversioner, och udda annat.

Siffrorna k och p i permutationen är inversion (störning), om k > p, men k kommer före p i denna permutation.

Tre egenskaper hos permutationer.

Egenskap 1: Antalet olika permutationer är lika med ( , lyder: " n factorial").

Bevis. Antalet permutationer sammanfaller med antalet sätt på vilka olika permutationer kan vara sammansatta. När du komponerar permutationer som j 1 kan du ta vilken som helst av siffrorna 1, 2, ..., n, vad ger n möjligheter. Om j 1 är redan vald, sedan som j 2 kan du ta en av de återstående n– 1 nummer och antalet sätt du kan välja j 1 och j 2 kommer att vara lika osv. Det sista numret i permutationen kan bara väljas på ett sätt, vilket ger sätt och därför permutationer.

Egendom 2: Varje transponering ändrar permutationens paritet.

Bevis.Fall 1. De transponerade talen ligger i en permutation bredvid varandra, d.v.s. det ser ut som (..., k,sid, ...), här markerar ellipsen (...) siffror som stannar kvar på sina platser under transponeringen. Transponering gör det till en permutation av formen (..., sid, k,...). I dessa permutationer, vart och ett av siffrorna k,R gör samma inversioner med siffrorna kvar på plats. Om siffrorna k Och sid har inte tidigare sammanställt inversioner (dvs. k < R), kommer en annan inversion att dyka upp i den nya permutationen och antalet inversioner kommer att öka med en; om k Och R utgjorde en inversion, efter transponeringen kommer antalet inversioner att minska med en. I alla fall ändras permutationens paritet.

Egenskap 3: När den omarrangeras ändrar determinanten tecken.

17. Determinanters egenskaper: determinant för en transponerad matris, byte av rader i determinanten, determinant för en matris med identiska rader.

Fastighet 1. Determinanten ändras inte under införlivandet, d.v.s.

Bevis.

Kommentar. Följande egenskaper hos determinanter kommer endast att formuleras för strängar. Av egenskap 1 följer dessutom att kolumnerna kommer att ha samma egenskaper.

Fastighet 6. När två rader av en determinant omarrangeras multipliceras den med –1.

Bevis.

Fastighet 4. Determinanten som har två lika strängar är 0:

Bevis:

18. Determinanters egenskaper: nedbrytning av en determinant till en sträng.

Mindre element av en determinant är en determinant som erhålls från ett givet element genom att stryka ut raden och kolumnen där det valda elementet förekommer.

Beteckning: det valda elementet i determinanten, dess underordnade.

Exempel. För

Algebraiskt komplement element av determinanten kallas dess moll om summan av indexen för detta element i+j är ett jämnt tal, eller talet motsatt moll om i+j är udda, dvs.

Låt oss överväga ett annat sätt att beräkna tredje ordningens determinanter - den så kallade rad- eller kolumnexpansionen. För att göra detta bevisar vi följande teorem:

Sats: Determinanten är lika med summan av produkterna av elementen i någon av dess rader eller kolumner och deras algebraiska komplement, dvs. där i=1,2,3.

Bevis.

Låt oss bevisa satsen för den första raden av determinanten, eftersom man för vilken annan rad eller kolumn som helst kan föra liknande resonemang och få samma resultat.

Låt oss hitta algebraiska komplement till elementen i den första raden:

Du kan bevisa den här egenskapen själv genom att jämföra värdena på vänster och höger sida av jämlikheten som hittas med hjälp av definition 1.5.

Liknande artiklar