I den här artikeln kommer vi att analysera definitionen av talcirkeln i detalj, ta reda på dess huvudegenskap och ordna siffrorna 1,2,3, etc. Om hur man markerar andra tal på cirkeln (till exempel \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) förstår .

Nummercirkel kallas en cirkel med enhetsradie vars punkter motsvarar , ordnade enligt följande regler:

1) Ursprunget är längst till höger i cirkeln;

2) Moturs - positiv riktning; medurs – negativ;

3) Om vi ​​plottar avståndet \(t\) på cirkeln i positiv riktning, så kommer vi till en punkt med värdet \(t\);

4) Om vi ​​plottar avståndet \(t\) på cirkeln i negativ riktning, så kommer vi till en punkt med värdet \(–t\).

Varför kallas cirkeln en talcirkel?
För det finns siffror på den. På så sätt liknar cirkeln talaxeln - på cirkeln, liksom på axeln, finns det en specifik punkt för varje tal.

Varför veta vad en talcirkel är?
Med hjälp av talcirkeln bestäms värdena för sinus, cosinus, tangenter och cotangenter. Därför, för att kunna trigonometri och klara Unified State Exam med 60+ poäng, måste du förstå vad en talcirkel är och hur du placerar prickar på den.

Vad betyder orden "...av enhetsradie..." i definitionen?
Detta betyder att radien för denna cirkel är lika med \(1\). Och om vi konstruerar en sådan cirkel med centrum i origo, kommer den att skära med axlarna i punkterna \(1\) och \(-1\).

Det behöver inte ritas litet, du kan ändra "storleken" på indelningarna längs axlarna, då blir bilden större (se nedan).

Varför är radien exakt en? Detta är bekvämare, för i det här fallet, när vi beräknar omkretsen med formeln \(l=2πR\), får vi:

Längden på talcirkeln är \(2π\) eller ungefär \(6,28\).

Vad betyder "... vars punkter motsvarar reella tal"?
Som vi sa ovan, på talcirkeln för ett reellt tal kommer det definitivt att finnas dess "plats" - en punkt som motsvarar detta nummer.

Varför bestämma ursprung och riktning på talcirkeln?
Huvudsyftet med talcirkeln är att unikt bestämma dess punkt för varje nummer. Men hur kan du bestämma var du ska placera poängen om du inte vet var du ska räkna ifrån och var du ska flytta?

Här är det viktigt att inte blanda ihop origo på koordinatlinjen och på talcirkeln – det är två olika referenssystem! Och blanda inte ihop \(1\) på \(x\)-axeln och \(0\) på cirkeln - det här är punkter på olika objekt.

Vilka punkter motsvarar siffrorna \(1\), \(2\), etc.?

Kom ihåg att vi antog att talcirkeln har en radie på \(1\)? Detta kommer att vara vårt enhetssegment (i analogi med talaxeln), som vi kommer att plotta på cirkeln.

För att markera en punkt på talcirkeln som motsvarar siffran 1 måste du gå från 0 till ett avstånd lika med radien i positiv riktning.

För att markera en punkt på cirkeln som motsvarar talet \(2\), måste du resa ett avstånd lika med två radier från origo, så att \(3\) är ett avstånd lika med tre radier, etc.

När du tittar på den här bilden kan du ha två frågor:
1. Vad händer när cirkeln "slutar" (dvs vi gör en hel revolution)?
Svar: låt oss gå till andra omgången! Och när den andra är över, går vi till den tredje och så vidare. Därför kan ett oändligt antal tal ritas på en cirkel.

2. Var blir de negativa siffrorna?
Svar: precis där! De kan också ordnas, räkna från noll det erforderliga antalet radier, men nu i negativ riktning.

Tyvärr är det svårt att ange heltal på talcirkeln. Detta beror på att längden på talcirkeln inte blir lika med ett heltal: \(2π\). Och på de mest bekväma platserna (vid skärningspunkterna med axlarna) kommer det också att finnas bråk, inte heltal

Omkretsär platsen för punkter i planet på samma avstånd från en fast punkt som kallas Centrum.

Låt punkten vara mitten och punkten
, är en godtycklig punkt på cirkeln. Sedan

där R heter radie cirkel, eller utökad

Ekvation (4) kallas kanonisk en cirkels ekvation.

Kommentar. Om vi ​​i ekvation (4) betecknar
,
och dividera båda delarna med
, får vi ekvationen
. Den där. en cirkel är ett specialfall av en ellips med lika halvaxlar.

7.1.3. Hyperbel

Överdriftär det geometriska stället för punkter i planet, för var och en av vilka modulen för skillnaden i avstånd från två fasta punkter, kallad knep, är ett konstant värde.

Låta
, - fokuserar, avstånd
,Mär en godtycklig punkt i hyperbeln. Då har vi enligt definitionen

, (5)

Var A– specificerat värde.

Låt oss introducera ett koordinatsystem med den metod som visas nedan i figuren.

då kan relation (5) efter algebraiska transformationer och eliminering av irrationalitet representeras som:

(6)

som kallas den kanoniska ekvationen för en hyperbel. I detta koordinatsystem och den angivna ekvationen (6) har hyperbelns graf formen:

Om hyperbelekvationen har formen

(7)

då ser dess graf ut så här:

alternativ Och kallas halvaxlar - giltig, - explicit. Parameter

(8)

kallad excentricitet. Det kännetecknar formen av en hyperbol.

Låt oss notera några egenskaper hos en hyperbel.

1) En hyperbel har minst två symmetriaxlar och ett symmetricentrum.

Ja, punkt (0;0) för vilken plats som helst av hyperbelgrafen i det kanoniska koordinatsystemet är det symmetricentrum. Symmetriaxlarnas roll spelas av axlarna ÅH Och OU.

2) En hyperbel skär en av symmetriaxlarna vid två kallade punktertoppar , skär hyperbeln inte den andra symmetriaxeln.

Sådana, i den första grafen, är hyperbelns (6) hörn placerade på axeln ÅH, det här är prickarna
Och
, på den andra grafen (7) - på axeln OU,-Detta
Och
.

3) En hyperbel har asymptoter, det vill säga raka linjer som hyperbeln närmar sig utan gräns., om en punkt som glider längs går den till oändlighet.

För en hyperbel med kanonisk ekvation
asymptoterna beskrivs av ekvationerna

Och
. (9)

För en hyperbel som ges av ekvationen
asymptoter ges av räta linjer

. (10)

Hyperboltrick
(eller
För
) ligger på samma axel med sina hörn. Här

. (11)

Optisk egenskap hos en hyperbel. En stråle som kommer ut från ett av hyperbelns fokus, efter sin reflektion från kurvan, färdas som om den hade kommit ut ur det andra fokuset.

7.1.4. Parabel

Parabelär platsen för punkter i planet på samma avstånd från en fast punkt, kallad fokus, och denna linje, som kallas rektor.

Låt det vara rakt l, - rektor, - fokus och distanserad från rektorn sid, och peka M, är en godtycklig punkt i parabeln. Sedan

Låt oss välja ett koordinatsystem som visas nedan.

.

Då kommer parabelns ekvation, efter att ha eliminerat irrationalitet, att ta formen

,
(12)

som kallas kanonisk parabelekvation. I detta koordinatsystem och den angivna ekvationen (12) har parabelns graf formen:

För den hittade kanoniska parabelekvationen, riktningsekvationen

,
(13)

och fokusera ligger vid punkten
.

Låt oss notera en av egenskaperna.

En parabel har en symmetriaxel.

I det ovan valda koordinatsystemet är parabelns symmetriaxel ÅH.

Kommentar. 1. Om fokus har koordinater
, och riktningen beskrivs av ekvationen
, då tar parabelns ekvation formen

. (14)

Om fokus är placerat på axeln 0y, då tar ekvationen formen

eller
, (15)

beroende på rektorns plats (
eller
, respektive). Dessa ekvationer kallas också kanonisk. De noterade egenskaperna gör det möjligt att entydigt bestämma platsen för parabeln och dess karakteristiska egenskaper (fokuskoordinater, riktlinjeekvation).

Optiskfast egendomparaboler. Strålar parallella med parabelns axel, efter reflektion från kurvan, passerar genom dess fokus.

Cirkel- en geometrisk figur som består av alla punkter i planet belägna på ett givet avstånd från en given punkt.

Denna punkt (O) kallas cirkelns mitt.
Cirkelradie- detta är ett segment som förbinder centrum med valfri punkt på cirkeln. Alla radier har samma längd (per definition).
Ackord- ett segment som förbinder två punkter på en cirkel. Ett ackord som går genom mitten av en cirkel kallas diameter. Mitten av en cirkel är mittpunkten av valfri diameter.
Alla två punkter på en cirkel delar den i två delar. Var och en av dessa delar kallas cirkelbåge. Bågen kallas halvcirkel, om segmentet som förbinder dess ändar är en diameter.
Längden på en enhetshalvcirkel betecknas med π .
Summan av gradmåtten för två cirkelbågar med gemensamma ändar är lika med 360º.
Den del av planet som begränsas av en cirkel kallas runt om.
Cirkulär sektor- en del av en cirkel som begränsas av en båge och två radier som förbinder bågens ändar med cirkelns centrum. Bågen som begränsar sektorn kallas sektorns båge.
Två cirklar som har ett gemensamt centrum kallas koncentrisk.
Två cirklar som skär varandra i räta vinklar kallas ortogonal.

Den relativa positionen för en rät linje och en cirkel

1. Om avståndet från cirkelns centrum till den räta linjen är mindre än cirkelns radie ( d), då har den räta linjen och cirkeln två gemensamma punkter. I detta fall anropas linjen sekant i förhållande till cirkeln.
2. Om avståndet från cirkelns centrum till den räta linjen är lika med cirkelns radie, så har den räta linjen och cirkeln bara en gemensam punkt. Denna linje kallas tangent till cirkeln, och deras gemensamma punkt kallas tangenspunkt mellan en linje och en cirkel.
3. Om avståndet från cirkelns centrum till den räta linjen är större än cirkelns radie, då den räta linjen och cirkeln har inga gemensamma poäng
.

Centrala och inskrivna vinklar

Central vinkelär en vinkel med sin spets i mitten av cirkeln.
Inskriven vinkel- en vinkel vars spets ligger på en cirkel och vars sidor skär cirkeln.

Inskriven vinkelsats

En inskriven vinkel mäts av halvan av den båge som den sträcker sig över.

• Följd 1.
  Inskrivna vinklar som täcker samma båge är lika.


• Följd 2.
  En inskriven vinkel omsluten av en halvcirkel är en rät vinkel.

Sats om produkten av segment av korsande ackord.

Om två ackord i en cirkel skär varandra, är produkten av segmenten i ett ackord lika med produkten av segmenten i det andra ackordet.

Grundläggande formler

• Omkrets:

C = 2∙π∙R

• Cirkulär bågelängd:

R = С/(2∙π) = D/2

• Diameter:

D = C/π = 2∙R

• Cirkulär bågelängd:

l = (π∙R) / 180∙α,
Var α - gradmått på längden på en cirkelbåge)

• Area av en cirkel:

S = π∙R 2

• Område av den cirkulära sektorn:

S = ((π∙R2)/360)∙α

Ekvation av en cirkel

• I ett rektangulärt koordinatsystem är ekvationen för en cirkel med radie r centrerad vid en punkt C(x o;y o) har formen:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

• Ekvationen för en cirkel med radien r med centrum i origo har formen:

x 2 + y 2 = r 2

OCH cirkel- geometriska former sammankopplade. det finns en bruten gränslinje (kurva) cirkel,

Definition. En cirkel är en sluten kurva, vars varje punkt är lika långt från en punkt som kallas cirkelns mittpunkt.

För att konstruera en cirkel väljs en godtycklig punkt O, som tas som cirkelns mittpunkt, och en sluten linje ritas med en kompass.

Om punkt O i cirkelns centrum är ansluten till godtyckliga punkter på cirkeln, kommer alla resulterande segment att vara lika med varandra, och sådana segment kallas radier, förkortade med den latinska lilla eller stora bokstaven "er" ( r eller R). Du kan rita lika många radier i en cirkel som det finns punkter i cirkelns längd.

Ett segment som förbinder två punkter på en cirkel och passerar genom dess centrum kallas en diameter. Diameter består av två radier, liggande på samma raka linje. Diameter indikeras med den latinska lilla eller stora bokstaven "de" ( d eller D).

Regel. Diameter en cirkel är lika med två av dess radier.

d = 2r
D=2R

En cirkels omkrets beräknas med formeln och beror på cirkelns radie (diameter). Formeln innehåller talet ¶, som visar hur många gånger omkretsen är större än dess diameter. Talet ¶ har ett oändligt antal decimaler. För beräkningar togs ¶ = 3,14.

Cirkelns omkrets betecknas med den latinska stora bokstaven "tse" ( C). En cirkels omkrets är proportionell mot dess diameter. Formler för att beräkna en cirkels omkrets baserat på dess radie och diameter:

C = ¶d
C = 2¶r

• Exempel
• Givet: d = 100 cm.
• Omkrets: C=3,14*100cm=314cm
• Givet: d = 25 mm.
• Omkrets: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm

Cirkulär sekant och cirkelbåge

Varje sekant (rät linje) skär en cirkel i två punkter och delar den i två bågar. Storleken på cirkelbågen beror på avståndet mellan centrum och sekanten och mäts längs en sluten kurva från den första skärningspunkten för sekanten med cirkeln till den andra.

Arcs cirklar är uppdelade sekant i en dur och en moll om sekanten inte sammanfaller med diametern, och i två lika stora bågar om sekanten passerar längs cirkelns diameter.

Om en sekant passerar genom mitten av en cirkel, är dess segment mellan skärningspunkterna med cirkeln cirkelns diameter, eller cirkelns största korda.

Ju längre sekanten är placerad från cirkelns mittpunkt, desto mindre gradmått för den mindre cirkelbågen och desto större är cirkelbågen, och segmentet av sekanten, som kallas ackord, minskar när sekanten rör sig bort från cirkelns mitt.

Definition. En cirkel är en del av ett plan som ligger inuti en cirkel.

En cirkels centrum, radie och diameter är samtidigt centrum, radie och diameter för motsvarande cirkel.

Eftersom en cirkel är en del av ett plan är en av dess parametrar area.

Regel. Area av en cirkel ( S) är lika med produkten av kvadraten på radien ( r 2) till numret ¶.

• Exempel
• Givet: r = 100 cm
• Area av en cirkel:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Givet: d = 50 mm
• Area av en cirkel:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Om du ritar två radier i en cirkel till olika punkter på cirkeln, så bildas två delar av cirkeln, som kallas sektorer. Om du ritar ett ackord i en cirkel, så kallas delen av planet mellan bågen och ackordet cirkelsegment.

Liknande artiklar