Ur praktisk synvinkel är det största intresset att använda derivatan för att hitta de största och minsta värdena på en funktion. Vad är detta kopplat till? Maximera vinster, minimera kostnader, bestämma den optimala belastningen av utrustning... Med andra ord, inom många områden av livet måste vi lösa problem med att optimera vissa parametrar. Och det här är uppgifterna att hitta de största och minsta värdena för en funktion.

Det bör noteras att de största och minsta värdena för en funktion vanligtvis söks på ett visst intervall X, som antingen är hela funktionsdomänen eller en del av definitionsdomänen. Själva intervallet X kan vara ett segment, ett öppet intervall , ett oändligt intervall.

I den här artikeln kommer vi att prata om att hitta de största och minsta värdena explicit given funktion en variabel y=f(x) .

Sidnavigering.

Det största och minsta värdet av en funktion - definitioner, illustrationer.

Låt oss kort titta på de viktigaste definitionerna.

Funktionens största värde det för vem som helst ojämlikhet är sant.

Funktionens minsta värde y=f(x) på intervallet X kallas ett sådant värde det för vem som helst ojämlikhet är sant.

Dessa definitioner är intuitiva: det största (minsta) värdet av en funktion är det största (minsta) accepterade värdet på intervallet som betraktas vid abskissan.

Stationära punkter– dessa är värdena för argumentet där derivatan av funktionen blir noll.

Varför behöver vi stationära punkter när vi ska hitta de största och minsta värdena? Svaret på denna fråga ges av Fermats teorem. Av detta teorem följer att om en differentierbar funktion har ett extremum (lokalt minimum eller lokalt maximum) någon gång, då är denna punkt stationär. Funktionen tar alltså ofta sitt största (minsta) värde på intervallet X i en av de stationära punkterna från detta intervall.

Dessutom kan en funktion ofta anta sina största och minsta värden vid punkter där den första derivatan av denna funktion inte finns, och själva funktionen är definierad.

Låt oss omedelbart svara på en av de vanligaste frågorna om detta ämne: "Är det alltid möjligt att bestämma det största (minsta) värdet av en funktion"? Nej inte alltid. Ibland sammanfaller gränserna för intervallet X med gränserna för funktionens definitionsdomän, eller så är intervallet X oändligt. Och vissa funktioner i oändligheten och vid definitionsdomänens gränser kan anta både oändligt stora och oändligt små värden. I dessa fall kan ingenting sägas om funktionens största och minsta värde.

För tydlighetens skull kommer vi att ge en grafisk illustration. Titta på bilderna så blir mycket tydligare.

På segmentet

I den första figuren tar funktionen de största (max y) och minsta (min y) värdena vid stationära punkter belägna inuti segmentet [-6;6].

Betrakta fallet som avbildas i den andra figuren. Låt oss ändra segmentet till . I det här exemplet uppnås det minsta värdet på funktionen vid en stationär punkt, och det största i den punkt med abskissan som motsvarar intervallets högra gräns.

I figur 3 är gränspunkterna för segmentet [-3;2] abskissorna för de punkter som motsvarar funktionens största och minsta värde.

På öppet intervall

I den fjärde figuren tar funktionen de största (max y) och minsta (min y) värdena vid stationära punkter inom det öppna intervallet (-6;6).

På intervallet går det inte att dra några slutsatser om det största värdet.

I oändligheten

I exemplet som presenteras i den sjunde figuren tar funktionen det största värdet (max y) i en stationär punkt med abskissan x=1, och det minsta värdet (min y) uppnås på intervallets högra gräns. Vid minus oändlighet närmar sig funktionsvärdena asymptotiskt y=3.

Under intervallet når funktionen varken det minsta eller det största värdet. När x=2 närmar sig från höger tenderar funktionsvärdena till minus oändlighet (den räta linjen x=2 är vertikal asymptot), och eftersom abskissan tenderar till plus oändlighet, närmar sig funktionsvärdena asymptotiskt y=3. En grafisk illustration av detta exempel visas i figur 8.

Algoritm för att hitta de största och minsta värdena av en kontinuerlig funktion på ett segment.

Låt oss skriva en algoritm som låter oss hitta de största och minsta värdena för en funktion på ett segment.

1. Vi hittar definitionsdomänen för funktionen och kontrollerar om den innehåller hela segmentet.
2. Vi hittar alla punkter där förstaderivatan inte finns och som finns i segmentet (vanligtvis finns sådana punkter i funktioner med ett argument under modultecknet och i kraftfunktioner med en bråk-rationell exponent). Om det inte finns några sådana punkter, gå vidare till nästa punkt.
3. Vi bestämmer alla stationära punkter som faller inom segmentet. För att göra detta likställer vi det till noll, löser den resulterande ekvationen och väljer lämpliga rötter. Om det inte finns några stationära punkter eller ingen av dem faller in i segmentet, gå vidare till nästa punkt.
4. Vi beräknar funktionens värden vid valda stationära punkter (om några), vid punkter där den första derivatan inte finns (om någon), såväl som vid x=a och x=b.
5. Från de erhållna värdena för funktionen väljer vi de största och minsta - de kommer att vara de nödvändiga största respektive minsta värdena för funktionen.

Låt oss analysera algoritmen för att lösa ett exempel för att hitta de största och minsta värdena för en funktion i ett segment.

Exempel.

Hitta det största och minsta värdet på en funktion

• på segmentet ;
• på segmentet [-4;-1] .

Lösning.

Definitionsdomänen för en funktion är hela uppsättningen av reella tal, med undantag för noll, det vill säga. Båda segmenten faller inom definitionsdomänen.

Hitta derivatan av funktionen med avseende på:

Uppenbarligen finns derivatan av funktionen vid alla punkter i segmenten och [-4;-1].

Vi bestämmer stationära punkter från ekvationen. Den enda riktig rotär x=2. Denna stationära punkt faller in i det första segmentet.

För det första fallet beräknar vi värdena för funktionen i ändarna av segmentet och vid den stationära punkten, det vill säga för x=1, x=2 och x=4:

Därför det största värdet av funktionen uppnås vid x=1 och det minsta värdet – vid x=2.

För det andra fallet beräknar vi funktionsvärdena endast i ändarna av segmentet [-4;-1] (eftersom det inte innehåller en enda stationär punkt):

Lösning.

Låt oss börja med funktionens domän. Kvadratisk trinomium bråkens nämnare får inte försvinna:

Det är lätt att kontrollera att alla intervall från problemformuleringen tillhör funktionens definitionsdomän.

Låt oss skilja på funktionen:

Uppenbarligen existerar derivatan genom hela definitionsdomänen för funktionen.

Låt oss hitta stationära punkter. Derivatan går till noll vid . Denna stationära punkt faller inom intervallen (-3;1] och (-3;2).

Nu kan du jämföra resultaten som erhålls vid varje punkt med grafen för funktionen. Blå prickade linjer indikerar asymptoter.

Vid det här laget kan vi avsluta med att hitta de största och minsta värdena för funktionen. Algoritmerna som diskuteras i den här artikeln låter dig få resultat med ett minimum av åtgärder. Det kan dock vara användbart att först bestämma intervallen för ökning och minskning av funktionen och först efter det dra slutsatser om de största och minsta värdena för funktionen på något intervall. Detta ger en tydligare bild och en noggrann motivering av resultaten.

§ Extrema, maximala och lägsta värden för funktioner för flera variabler - sida nr 1/1

§ 8. Extrema De största och minsta värdena av funktioner av flera variabler.

1. Extrema funktioner av flera variabler.

plan
,
- en poäng på det här området.

Punkt
kallad högsta poäng funktioner
, om för någon punkt

ojämlikheten håller

.

Likaså punkt
kallad minimipunkt funktioner
, om för någon punkt
från något område av en punkt
ojämlikheten håller

.

Anteckningar. 1) Enligt definitionerna, funktionen
måste definieras i något område av punkten
. De där. maximala och minimala poäng för funktionen
det kan bara finnas interna punkter i regionen
.

2) Om det finns ett område till punkten
, där för någon punkt
till skillnad från
ojämlikheten håller

(

), sedan poängen
kallad strikt maxpoäng (respektive strikt minimipoäng ) funktioner
. I detta avseende kallas maximi- och minimipoängen som definieras ovan ibland icke-striktiga max- och minimipoäng.

Maximi- och minimumpunkterna för en funktion kallas dess extrema punkter . Funktionsvärdena vid max- och minpunkten anropas respektive toppar Och minimum , eller kort sagt, ytterligheter denna funktion.

Begreppen extrema är lokala till sin natur: värdet av en funktion vid en punkt
jämförs med funktionsvärdena på ganska nära punkter. I ett givet område kan en funktion inte ha några extrema alls, eller så kan den ha flera minima, flera maxima och till och med ett oändligt antal av båda. Dessutom kan vissa minimivärden vara större än vissa av dess maximum. Blanda inte ihop max- och minvärdena för en funktion med dess max- och minvärden.

Låt oss hitta det nödvändiga villkoret för ett extremum. Låt t.ex.
– maxpunkt för funktionen
. Sedan finns det per definition en gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-grannskap till punkten
Så att
för vilken punkt som helst
från detta område. Särskilt,

(1)

Var
,
, Och

(2)

Var
,
. Men (1) betyder att en funktion av en variabel
har vid punkten maximalt eller är på intervallet
konstant. Därav,

eller
- existerar inte,

⇒
eller
- existerar inte.

På samma sätt får vi det från (2).

eller
- existerar inte.

Följande sats är alltså giltig.

SAT 8.1. ( nödvändiga förutsättningarna extremum). Om funktionen
vid punkten
har ett extremum, då är antingen båda dess första ordningens partiella derivator lika med noll, eller åtminstone en av dessa partiella derivator existerar inte.

Geometriskt betyder sats 8.1 att if
– funktionens extrema punkt
, då är tangentplanet till grafen för denna funktion vid punkten antingen parallellt med planet
, eller inte existerar alls. För att verifiera detta räcker det med att komma ihåg hur man hittar ekvationen för ett tangentplan till en yta (se formel (4.6)).

Punkter som uppfyller villkoren i sats 8.1 kallas kritiska punkter funktioner
. Precis som för en funktion av en variabel är de nödvändiga förutsättningarna för ett extremum inte tillräckliga. De där. inte varje kritisk punkt i en funktion kommer att vara dess extrema punkt.

EXEMPEL. Tänk på funktionen
. Punkt
är avgörande för denna funktion, eftersom båda dess första ordningens partiella derivator vid denna tidpunkt
Och
är lika med noll. Det kommer dock inte att vara en extrem punkt. Verkligen,
, men i vilket område som helst
det finns punkter där funktionen tar positiva värden och punkter där funktionen tar negativa värden. Detta är lätt att verifiera om du bygger en graf över funktionen - en hyperbolisk paraboloid.

För en funktion av två variabler ges de lämpligaste tillräckliga villkoren av följande teorem.

SAT 8.2. (tillräckliga förutsättningar för extremumet av en funktion av två variabler). Låta
– kritisk punkt för funktionen
och i något område av punkten
funktionen har kontinuerliga partiella derivator upp till och med andra ordningen. Låt oss beteckna

,
,
.

Sedan 1) om
, peka sedan
är inte en extrempunkt;


Om vi ​​använder sats 8.2 för att undersöka den kritiska punkten
misslyckades (dvs. om
eller så har funktionen ingen mening i grannskapet alls
kontinuerliga partiella derivator av den erforderliga ordningen), svaret på frågan om närvaron vid en punkt
extremum kommer att ge tecknet på funktionsökningen vid denna punkt.

Av definitionen följer faktiskt att om funktionen
har vid punkten
strikt max då

för alla punkter
från något område av en punkt
, eller annars

för alla tillräckligt små
Och
. Likaså om
är en punkt av strikt minimum, då för alla tillräckligt liten
Och
ojämlikhet kommer att tillfredsställas
.

Så, för att ta reda på om den kritiska punkten är
extremum punkt, är det nödvändigt att undersöka ökningen av funktionen vid denna punkt. Om för alla små nog
Och
det kommer att bevara tecknet, då vid punkten
funktionen har ett strikt extremum (minst if
, och den maximala if
).

Kommentar. Regeln förblir sann för ett icke-strikt extremum, men med ändringen det för vissa värden
Och
funktionsökningen blir noll
EXEMPEL. Hitta extrema funktioner:

1)
; 2)
.

1) Funktion

Och
finns också överallt. Lösa ett ekvationssystem
,
hitta två kritiska punkter
Och
.

För att studera kritiska punkter tillämpar vi sats 8.2. Vi har:

,
,
.

Låt oss utforska poängen
:

,
,
,

;
.

Därför vid punkten
denna funktion har ett minimum, nämligen
.

Utforska den kritiska punkten
:

,
,
,


.

Därför är den andra kritiska punkten inte funktionens extrema punkt.

2) Funktion
definieras överallt. Dess första ordningens partiella derivator
och de finns också överallt. Lösa ett ekvationssystem
,
hitta den enda kritiska punkten
.

För att studera den kritiska punkten tillämpar vi sats 8.2. Vi har:

,
,
,

,
,
,

.

Bestäm närvaron eller frånvaron av ett extremum vid en punkt
att använda sats 8.2 misslyckades.

Låt oss undersöka tecknet för funktionsökningen vid punkten
:

Om
, Den där
;

Om
, Den där
.

Eftersom den
bevarar inte tecken i närheten av en punkt
, då har funktionen vid det här laget inget extremum.

Definitionerna av maximum och minimum och de nödvändiga villkoren för ett extremum överförs lätt till funktioner av tre eller flera variabler. Tillräckliga förutsättningar för ett extremum för en funktion (
) variabler beaktas inte i denna kurs på grund av deras komplexitet. I det här fallet kommer vi att bestämma karaktären på de kritiska punkterna genom tecknet på funktionsökningen.

2. Funktionens största och minsta värden.

Låt funktionen av två variabler
definieras inom något område
plan
,
,
– punkter i detta område. Funktionsvärde vid en punkt
kallad den största , om för någon punkt
från regionen
ojämlikheten håller

.

Likaså värdet av funktionen vid punkten
kallad den minsta , om för någon punkt
från regionen
ojämlikheten håller

.

Tidigare har vi redan sagt att om en funktion är kontinuerlig och området
– är stängd och begränsad, då tar funktionen sina största och minsta värden inom detta område. Samtidigt poäng
Och
kan ligga både inne på området
, och på dess gräns. Om poängen
(eller
) ligger inne i regionen
, då kommer detta att vara den maximala (minsta) punkten för funktionen
, dvs. kritisk punkt för en funktion i en region
. Därför, för att hitta de största och minsta värdena för funktionen
i området
behöver:
.

Ett extremum av en funktion är en egenskap av lokal, lokal karaktär (se definition). Maximum (minimum) ska inte förväxlas med det största (minsta) värdet av en funktion i ett slutet område D.

Definition. Låt oss säga funktionen z = f(x, y) är definierad och kontinuerlig i vissa regioner D, har finita partiella derivator i denna region. Sedan i denna region kommer det att finnas punkter där funktionen når störst och minst värdena för de återstående värdena. Dessa punkter kan ligga inne i regionen eller på dess gräns.

För att hitta de största och minsta värdena för en funktion i ett slutet område behöver du:

1) Hitta stationära punkter som ligger inne i regionen och beräkna värdena för funktionen vid dessa punkter.

Kommentar. Fäst till stationära punkter punkter där derivator är oändliga eller inte existerar (om några).

2) Hitta stationära punkter på gränsen för regionen och beräkna värdena för funktionen vid dessa punkter.

3) Hitta funktionens värden vid hörnpunkterna - skärningspunkterna för gränslinjerna.

4) Välj det största och minsta från alla hittade värden.

Exempel 1.22. Hitta det största och minsta värdet på en funktion

z = 2x 2 – xy ++ y 2 + 7x i ett slutet område D: –3 x 3, –3 y 3 (Fig. 1.3).

Ris. 1.3. Studieområde D

Lösning. 1) Hitta stationära punkter

Härifrån på = –1, X= –2, stationär punkt M 0 (–2, –1) D, z(M 0) = –7.

2) Vi studerar funktionen på gränsen av regionen, som består av segment AB, DC, CB, AD.

a) På en rak linje AB: på= 3, och funktionen har formen

z = 2x 2 + 3x + 9 + 7x =

= 2x 2 + 10x + 9, x [–3, 3].

Detta är en funktion av en oberoende variabel.

Låt oss bestämma de stationära punkterna för denna funktion:

därav, X = –2,5.

Vi definierar z på X = –2.5, samt i slutet av segmentet [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

medel = 3,5, a = 57.

b) Betrakta segmentet Sol:X = 3.

z = y 2 – 3y + 39; på [–3, 3],

= 2y – 3; 2y – 3 = 0 y = 3/2.

Vi hittar z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

c) På ett segment CD: y = 3, z = 2x 2 + 4x+ 9; på [–3, 3],

= –4x + 4 = 0 Þ x = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Högsta och lägsta värden

En funktion avgränsad i ett avgränsat slutet område når sina maximala och lägsta värden antingen vid stationära punkter eller vid punkter som ligger på gränsen för regionen.

För att hitta de största eller minsta värdena för en funktion måste du:

1. Hitta stationära punkter som ligger inom detta område och beräkna värdet på funktionen vid dem.

2. Hitta det största (minsta) värdet på funktionen på gränsen för regionen.

3. Jämför alla erhållna funktionsvärden: det största (minsta) kommer att vara det största (minsta) värdet på funktionen i detta område.

Exempel 2. Hitta det största (minsta) värdet på funktionen: i en cirkel.

Lösning.

stationär punkt; .

2 .Gränsen för detta slutna område är en cirkel eller , där .

Funktionen vid regionens gräns blir en funktion av en variabel: , där . Låt oss hitta de största och minsta värdena för denna funktion.

När x=0 ; (0,-3) och (0,3) är kritiska punkter.

Låt oss beräkna värdena för funktionen i slutet av segmentet

3 . Att jämföra värderingarna med varandra vi får,

Vid punkterna A och B.

I punkterna C och D.

Exempel 3. Hitta de största och minsta värdena av funktionen i ett slutet område definierat av olikheten:

Lösning. Arean är en triangel som begränsas av koordinataxlarna och den räta linjen x+y=1.

1. Vi hittar stationära punkter inne i regionen:

; ; y = -1/8; x = 1/8.

Den stationära punkten tillhör inte den aktuella regionen, så z-värdet i den beräknas inte.

2 .Vi studerar funktionen på gränsen. Eftersom gränsen består av tre sektioner som beskrivs av tre olika ekvationer, studerar vi funktionen på varje sektion separat:

A) i sektion 0A: y=0 - ekvation 0A, då ; av ekvationen framgår att funktionen ökar med 0A från 0 till 1. Det betyder .

b) i avsnitt 0B: x=0 - ekvation OB, då ; –6y+1=0; - kritisk punkt.

V) på den räta linjen x+y = 1: y=1-x, då får vi funktionen

Låt oss beräkna värdet på funktionen z i punkt B(0,1).

3 .Jämför vi siffrorna får vi det

På rak AB.

Vid punkt B.

Tester för självkontroll av kunskap.

1 . Funktionens extremum är

a) dess första ordningens derivator

b) dess ekvation

c) hennes schema

d) dess högsta eller minimum

2. Extremum av en funktion av flera variabler kan uppnås:

a) endast vid punkter som ligger inom dess definitionsdomän, där alla första ordningens partiella derivator är större än noll

b) endast vid punkter som ligger inom dess definitionsdomän, där alla första ordningens partiella derivator är mindre än noll

c) endast vid punkter som ligger inom dess definitionsdomän, där alla första ordningens partiella derivator inte är lika med noll

d) endast vid punkter som ligger inom dess definitionsdomän, där alla första ordningens partiella derivator är lika med noll

3. En funktion som är kontinuerlig i ett begränsat slutet område når sina maximala och lägsta värden:

a) vid stationära punkter

b) antingen på stationära punkter eller på punkter som ligger på gränsen till regionen

c) på punkter som ligger på gränsen till regionen

d) på alla punkter

4. Stationära punkter för en funktion av flera variabler är punkterna:

a) där alla första ordningens partiella derivator inte är lika med noll

b) där alla första ordningens partiella derivator är större än noll

c) där alla första ordningens partiella derivator är lika med noll

d) där alla första ordningens partiella derivator är mindre än noll

Låt funktionen y=f(x) vara kontinuerlig på segmentet. Som ni vet når denna funktion sin största potential. och namn värden. Funktionen kan ta dessa värden antingen inre punkt segment, eller på segmentets gräns, dvs. när =a eller =b. Om , då bör punkten sökas bland de kritiska punkterna för denna funktion.

Vi får följande regel för att hitta de största och minsta värdena på en funktion på:

1) hitta de kritiska punkterna för funktionen på intervallet (a,b);

2) beräkna värdena för funktionen vid de hittade kritiska punkterna;

3) beräkna värdena för funktionen i slutet av segmentet, dvs. vid punkterna x=a och x=b;

4) bland alla beräknade värden för funktionen, välj den största och minsta.

Anmärkningar:

1. Om en funktion y=f(x) på ett segment bara har en kritisk punkt och det är en maximal (minimum) punkt, så får funktionen vid denna punkt det största (minsta) värdet.

2. Om funktionen y=f(x) på ett segment inte har kritiska punkter, betyder det att funktionen monotont ökar eller minskar på det. Följaktligen tar funktionen sitt största värde (M) i ena änden av segmentet och dess minsta värde (m) i den andra.

60. Komplexa tal. Moivres formler.
Komplext tal namn uttryck av formen z = x + iy, där x och y är reella tal, och i är det sk. imaginär enhet, . Om x=0 anropas talet 0+iy=iy. ett tänkt tal; om y=0, så identifieras talet x+i0=x med det reella talet x, vilket betyder att mängden R av alla är reell. antal fenomen en delmängd av mängden C av alla komplexa tal, dvs. . Nummer x namn verklig del z,. Två komplexa tal kallas lika (z1=z2) om och endast om deras reella delar är lika och deras imaginära delar är lika: x1=x2, y1=y2. I synnerhet är det komplexa talet Z=x+iy lika med noll om och endast om x=y=0. Begreppen "mer" och "mindre" introduceras inte för komplexa tal. Två komplexa tal z=x+iy och , som endast skiljer sig åt i den imaginära delens tecken, kallas konjugat.

Geometrisk representation av komplexa tal.

Varje komplext tal z = x + iy kan representeras av en punkt M(x,y) i Oxy-planet så att x=Re z, y=Im z. Och omvänt kan varje punkt M(x;y) i koordinatplanet betraktas som en bild av ett komplext tal z = x + iy. Planet där komplexa tal avbildas kallas komplext plan, därför att de reella talen z = x + 0i = x ligger på den. Ordinataaxeln kallas den imaginära axeln, eftersom de rent imaginära komplexa talen z = 0 + iy ligger på den. Det komplexa talet Z=x+iy kan specificeras med hjälp av radievektorn r=OM=(x,y). Längden på vektorn r som representerar ett komplext tal z kallas modulen för detta tal och betecknas med |z| eller r. Storleken på vinkeln mellan Riktningen för den reella axeln och vektorn r som representerar ett komplext tal kallas argumentet för detta komplexa tal, betecknat med Arg z eller . Argumentet för komplexa tal Z=0 är odefinierat. Argumentet för ett komplext tal är en flervärdig storhet och bestäms upp till termen där arg z är huvudvärdet för argumentet som finns i intervallet (), dvs. - (ibland tas ett värde som hör till intervallet (0; ) som argumentets huvudvärde).

Att skriva talet z i formen z=x+iy kallas den algebraiska formen av ett komplext tal.

Operationer på komplexa tal

Tillägg. Summan av två komplexa tal z1=x1+iy1 och z2=x2+iy2 är ett komplext tal som definieras av likheten: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Tillägget av komplexa tal är kommutativt och kombinativa egenskaper: zl+z2=z2+zl. (zl+z2)+z3=zl+(z2+z3). Subtraktion. Subtraktion definieras som inversen av addition. Skillnaden mellan komplexa tal z1 och z2 är ett komplext tal z som, när det adderas till z2, ger talet z1, d.v.s. z=zl-z2, om z+z2=z1. Om z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, så är det från denna definition lätt att få z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Multiplikation. Produkten av komplexa tal z1=x1+iy1 och z2=x2+iy2 är det komplexa talet som definieras av likheten z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Härifrån följer i synnerhet: . Om siffrorna anges trigonometrisk form: .

När komplexa tal multipliceras multipliceras deras moduler och deras argument adderas. Moivres formel(om det finns n faktorer och alla är lika): .

Liknande artiklar