Lösningen till ett system av homogena linjära ekvationer är alltid. Homogena ekvationssystem

Systemet m linjära ekvationer c n kallas okända linjärt homogent system ekvationer om alla fria termer är lika med noll. Ett sådant system ser ut som:

Var och ij (jag = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - givna nummer; x i- okänd.

Ett system av linjära homogena ekvationer är alltid konsekvent, eftersom r(A) = r(). Den har alltid minst noll ( trivial) lösning (0; 0; …; 0).

Låt oss överväga under vilka förhållanden homogena system har lösningar som inte är noll.

Sats 1. Ett system av linjära homogena ekvationer har lösningar som inte är noll om och endast om rangordningen för dess huvudmatris är r färre okända n, dvs. r < n.

□ 1). Låt ett system av linjära homogena ekvationer ha en lösning som inte är noll. Eftersom rangordningen inte kan överstiga matrisens storlek, så är det uppenbarligen r ≤ n. Låta r = n. Sedan en av de mindre storlekarna n n skiljer sig från noll. Därför har motsvarande system med linjära ekvationer en unik lösning: ... Det betyder att det inte finns några andra lösningar än triviala. Så, om det finns en icke-trivial lösning, då r < n.

2). Låta r < n. Då är det homogena systemet, eftersom det är konsekvent, osäkert. Det betyder att den har ett oändligt antal lösningar, d.v.s. har lösningar som inte är noll. ■

Tänk på ett homogent system n linjära ekvationer c n okänd:

(2)

Sats 2. Homogent system n linjära ekvationer c n okända (2) har lösningar som inte är noll om och endast om dess determinant är lika med noll: = 0.

□ Om system (2) har en lösning som inte är noll, då = 0. För när systemet bara har en enda nolllösning. Om = 0, då rangen r systemets huvudmatris är mindre än antalet okända, dvs. r < n. Och därför har systemet ett oändligt antal lösningar, dvs. har lösningar som inte är noll. ■

Låt oss beteckna lösningen av system (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n som ett snöre .

Lösningar av ett system av linjära homogena ekvationer har följande egenskaper:

1. Om linjen är en lösning på system (1), då är linjen en lösning på system (1).

2. Om linjerna och är lösningar av system (1), sedan för alla värden Med 1 och Med 2 är deras linjära kombination också en lösning på system (1).

Giltigheten av dessa egenskaper kan verifieras genom att direkt ersätta dem i systemets ekvationer.

Av de formulerade egenskaperna följer att varje linjär kombination av lösningar till ett system av linjära homogena ekvationer också är en lösning till detta system.

System av linjärt oberoende lösningar e 1 , e 2 , …, e r kallad grundläggande, om varje lösning av system (1) är en linjär kombination av dessa lösningar e 1 , e 2 , …, e r.

Sats 3. Om rang r matriser av koefficienter för variabler i systemet av linjära homogena ekvationer (1) är mindre än antalet variabler n, då varje grundläggande system av lösningar till system (1) består av n–r beslut.

Det är därför gemensamt beslut system av linjära homogena ekvationer (1) har formen:

Var e 1 , e 2 , …, e r– alla grundläggande system av lösningar till systemet (9), Med 1 , Med 2 , …, med sid– godtyckliga nummer, R = n–r.

Sats 4. Allmän lösning av systemet m linjära ekvationer c n okända är lika med summan av den allmänna lösningen av motsvarande system av linjära homogena ekvationer (1) och en godtycklig speciell lösning av detta system (1).

Exempel. Lös systemet

Lösning. För detta system m = n= 3. Determinant

enligt sats 2 har systemet bara en trivial lösning: x = y = z = 0.

Exempel. 1) Hitta allmänna och speciella lösningar för systemet

2) Hitta det grundläggande systemet av lösningar.

Lösning. 1) För detta system m = n= 3. Determinant

enligt sats 2 har systemet lösningar som inte är noll.

Eftersom det bara finns en oberoende ekvation i systemet

x + y – 4z = 0,

sedan från det kommer vi att uttrycka x =4z- y. Var får vi ett oändligt antal lösningar: (4 z- y, y, z) – detta är den allmänna lösningen för systemet.

På z= 1, y= -1, får vi en speciell lösning: (5, -1, 1). Att sätta z= 3, y= 2, får vi den andra specifika lösningen: (10, 2, 3), etc.

2) I den allmänna lösningen (4 z- y, y, z) variabler y Och zär fria och variabeln X- beroende av dem. För att hitta det grundläggande systemet med lösningar, låt oss tilldela värden till de fria variablerna: först y = 1, z= 0, alltså y = 0, z= 1. Vi får dellösningar (-1, 1, 0), (4, 0, 1), som utgör det grundläggande lösningssystemet.

Illustrationer:

Ris. 1 Klassificering av linjära ekvationssystem

Ris. 2 Studie av linjära ekvationssystem

Presentationer:

· Lösning SLAE_matrix-metod

· Lösning av SLAE_Cramer-metoden

· Lösning SLAE_Gauss-metod

· Paket för att lösa matematiska problem Mathematica, MathCad: söka efter analytiska och numeriska lösningar på linjära ekvationssystem

Kontrollfrågor:

1. Definiera en linjär ekvation

2. Vilken typ av system ser det ut? m linjära ekvationer med n okänd?

3. Vad kallas att lösa linjära ekvationssystem?

4. Vilka system kallas likvärdiga?

5. Vilket system kallas inkompatibelt?

6. Vilket system kallas led?

7. Vilket system kallas bestämt?

8. Vilket system kallas obestämt

9. Lista elementära transformationer av linjära ekvationssystem

10. Lista de elementära transformationerna av matriser

11. Formulera ett teorem om tillämpningen av elementära transformationer på ett system av linjära ekvationer

12. Vilka system kan lösas med matrismetoden?

13. Vilka system kan lösas med Cramers metod?

14. Vilka system kan lösas med Gaussmetoden?

15. Lista 3 möjliga fall som uppstår när man löser system av linjära ekvationer med Gauss-metoden

16. Beskriv matrismetoden för att lösa linjära ekvationssystem

17. Beskriv Cramers metod för att lösa linjära ekvationssystem

18. Beskriv Gauss metod för att lösa linjära ekvationssystem

19. Vilka system kan lösas med en invers matris?

20. Lista 3 möjliga fall som uppstår när man löser system av linjära ekvationer med Cramer-metoden

Litteratur:

1. Högre matematik för ekonomer: Lärobok för universitet / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: ENHET, 2005. – 471 sid.

2. Allmän kurs i högre matematik för ekonomer: Lärobok. / Ed. IN OCH. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 sid.

3. Samling av problem i högre matematik för ekonomer: Lärobok / Redigerad av V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 sid.

4. Gmurman V. E. Guide till att lösa problem inom sannolikhetsteori och magmatisk statistik. - M.: Högre skola, 2005. – 400 sid.

5. Gmurman. V.E Sannolikhetsteori och matematisk statistik. - M.: Högre skola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Högre matematik i övningar och problem. Del 1, 2. – M.: Onyx 2000-talet: Fred och utbildning, 2005. – 304 sid. Del 1; – 416 sid. Del 2.

7. Matematik i nationalekonomi: Lärobok: I 2 delar / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finans och statistik, 2006.

8. Shipachev V.S. Högre matematik: Lärobok för studenter. universitet - M.: Higher School, 2007. - 479 sid.

Relaterad information.

System av linjära homogena ekvationer- har formen ∑a k i x i = 0. där m > n eller m Ett homogent system av linjära ekvationer är alltid konsekvent, eftersom rangA = rangB. Den har uppenbarligen en lösning bestående av nollor, som kallas trivial.

Syftet med tjänsten. Kalkylatorn online är utformad för att hitta en icke-trivial och grundläggande lösning på SLAE. Den resulterande lösningen sparas i en Word-fil (se exempel på lösning).

Instruktioner. Välj matrisdimension:

Egenskaper för system av linjära homogena ekvationer

För att systemet ska ha icke-triviala lösningar, är det nödvändigt och tillräckligt att rangordningen för dess matris är mindre än antalet okända.

Sats. Ett system i fallet m=n har en icke-trivial lösning om och endast om determinanten för detta system är lika med noll.

Sats. Varje linjär kombination av lösningar till ett system är också en lösning på det systemet.
Definition. Uppsättningen av lösningar till ett system av linjära homogena ekvationer kallas grundläggande system av lösningar, om denna uppsättning består av linjärt oberoende lösningar och någon lösning till systemet är en linjär kombination av dessa lösningar.

Sats. Om rangordningen r för systemmatrisen är mindre än antalet n okända, så finns det ett grundläggande system av lösningar som består av (n-r) lösningar.

Algoritm för att lösa system av linjära homogena ekvationer

Att hitta rangordningen för matrisen.
Vi väljer den grundläggande birollen. Vi skiljer på beroende (grundläggande) och fria okända.
Vi stryker ut de ekvationer i systemet vars koefficienter inte ingår i basmoll, eftersom de är konsekvenser av de andra (enligt satsen om basismoll).
Vi flyttar termerna för ekvationerna som innehåller fria okända till höger sida. Som ett resultat får vi ett system av r ekvationer med r okända, ekvivalent med den givna, vars determinant är icke-noll.
Vi löser det resulterande systemet genom att eliminera okända. Vi hittar relationer som uttrycker beroende variabler genom fria.
Om rangordningen för matrisen inte är lika med antalet variabler, hittar vi systemets grundläggande lösning.
I fallet ring = n har vi en trivial lösning.

Exempel. Hitta grunden för vektorsystemet (a 1, a 2,...,a m), rangordna och uttryck vektorerna utifrån basen. Om a 1 =(0,0,1,-1) och 2 =(1,1,2,0) och 3 =(1,1,1,1) och 4 =(3,2,1 ,4), och 5 =(2,1,0,3).
Låt oss skriva ner huvudmatrisen för systemet:

Multiplicera den 3:e raden med (-3). Låt oss lägga till den 4:e raden till den 3:e:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Multiplicera den fjärde raden med (-2). Låt oss multiplicera den 5:e raden med (3). Låt oss lägga till den 5:e raden till den 4:e:
Låt oss lägga till den andra raden till den första:
Låt oss hitta rangordningen för matrisen.
Systemet med koefficienterna för denna matris är ekvivalent med det ursprungliga systemet och har formen:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Genom att använda metoden för att eliminera okända, hittar vi en icke-trivial lösning:
Vi fick relationer som uttrycker de beroende variablerna x 1 , x 2 , x 3 genom de fria x 4 , det vill säga vi hittade en generell lösning:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Den linjära ekvationen kallas homogen, om dess fria term är lika med noll och inhomogen annars. Ett system som består av homogena ekvationer kallas homogent och har den allmänna formen:

Det är uppenbart att varje homogent system är konsekvent och har en noll (trivial) lösning. Därför måste man, när den tillämpas på homogena system av linjära ekvationer, ofta leta efter ett svar på frågan om förekomsten av lösningar som inte är noll. Svaret på denna fråga kan formuleras som följande teorem.

Sats . Ett homogent system av linjära ekvationer har en lösning som inte är noll om och endast om dess rangordning är mindre än antalet okända .

Bevis: Låt oss anta att ett system vars rangordning är lika har en lösning som inte är noll. Uppenbarligen överstiger det inte. Om systemet har en unik lösning. Eftersom ett system med homogena linjära ekvationer alltid har en nolllösning, så kommer nolllösningen att vara denna unika lösning. Således är lösningar som inte är noll möjliga endast för .

Följd 1 : Ett homogent ekvationssystem, där antalet ekvationer är mindre än antalet okända, har alltid en lösning som inte är noll.

Bevis: Om ett ekvationssystem har , så överstiger inte systemets rangordning antalet ekvationer, dvs. . Således är villkoret uppfyllt och därför har systemet en lösning som inte är noll.

Följd 2 : Ett homogent ekvationssystem med okända har en lösning som inte är noll om och endast om dess determinant är noll.

Bevis: Låt oss anta att ett system av linjära homogena ekvationer, vars matris med determinanten , har en lösning som inte är noll. Sedan, enligt den beprövade satsen, och detta betyder att matrisen är singular, dvs. .

Kronecker-Capelli teorem: En SLU är konsekvent om och endast om rangordningen för systemmatrisen är lika med rangordningen för den utökade matrisen för detta system. Ett system ur kallas konsekvent om det har minst en lösning.

Homogent system av linjära algebraiska ekvationer.

Ett system av m linjära ekvationer med n variabler kallas ett system av linjära homogena ekvationer om alla fria termer är lika med 0. Ett system med linjära homogena ekvationer är alltid konsekvent, eftersom den har alltid åtminstone en nolllösning. Ett system med linjära homogena ekvationer har en lösning som inte är noll om och endast om rangordningen av dess matris av koefficienter för variabler är mindre än antalet variabler, dvs. för rang A (n. Vilken linjär kombination som helst

Lin systemlösningar. homogen. ur-ii är också en lösning på detta system.

Ett system av linjärt oberoende lösningar e1, e2,...,еk kallas fundamental om varje lösning i systemet är en linjär kombination av lösningar. Sats: om rangordningen r för koefficientmatrisen för variablerna i ett system av linjära homogena ekvationer är mindre än antalet variabler n, så består varje grundläggande system av lösningar till systemet av n-r lösningar. Därför den allmänna lösningen av det linjära systemet. en dag ur-th har formen: c1e1+c2e2+...+skek, där e1, e2,..., ek är vilket grundläggande system av lösningar som helst, c1, c2,...,ck är godtyckliga tal och k=n-r. Den allmänna lösningen av ett system av m linjära ekvationer med n variabler är lika med summan

av den allmänna lösningen av systemet som motsvarar den är homogen. linjära ekvationer och en godtycklig speciell lösning av detta system.

7. Linjära mellanrum. Delutrymmen. Grund, dimension. Linjärt skal. Linjärt utrymme kallas n-dimensionell, om det finns ett system av linjärt oberoende vektorer i det, och vilket system som helst med ett större antal vektorer är linjärt beroende. Numret är uppringt dimension (antal dimensioner) linjärt utrymme och betecknas med . Med andra ord, dimensionen av ett utrymme är det maximala antalet linjärt oberoende vektorer i detta utrymme. Om ett sådant nummer finns, kallas utrymmet ändligt dimensionellt. Om det för något naturligt tal n finns ett system i rymden som består av linjärt oberoende vektorer, så kallas ett sådant rum oändligt dimensionellt (skrivet: ). I det följande, om inte annat anges, kommer ändligdimensionella utrymmen att beaktas.

Grunden för ett n-dimensionellt linjärt utrymme är en ordnad samling av linjärt oberoende vektorer ( basvektorer).

Sats 8.1 om expansion av en vektor i termer av en bas. Om är basen för ett n-dimensionellt linjärt utrymme, så kan vilken vektor som helst representeras som en linjär kombination av basvektorer:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
och dessutom på det enda sättet, d.v.s. koefficienterna bestäms unikt. Med andra ord kan vilken rymdvektor som helst expanderas till en bas och dessutom på ett unikt sätt.

I själva verket är dimensionen av rymden . Systemet av vektorer är linjärt oberoende (detta är en bas). Efter att ha lagt till vilken vektor som helst till basen får vi ett linjärt beroende system (eftersom detta system består av vektorer av n-dimensionellt rymd). Med hjälp av egenskapen för 7 linjärt beroende och linjärt oberoende vektorer får vi slutsatsen av satsen.

Ett homogent system är alltid konsekvent och har en trivial lösning
. För att en icke-trivial lösning ska existera är det nödvändigt att rangordna matrisen var mindre än antalet okända:

Grundläggande system av lösningar homogent system
kalla ett system av lösningar i form av kolumnvektorer
, som motsvarar den kanoniska grunden, d.v.s. grund i vilken godtyckliga konstanter
ställs växelvis lika med ett, medan resten sätts till noll.

Då har den allmänna lösningen av det homogena systemet formen:

Var
- godtyckliga konstanter. Den övergripande lösningen är med andra ord en linjär kombination av det grundläggande lösningssystemet.

Således kan grundläggande lösningar erhållas från den allmänna lösningen om de fria okända får värdet av ett i sin tur, vilket sätter alla andra lika med noll.

Exempel. Låt oss hitta en lösning på systemet

Låt oss acceptera , då får vi en lösning i formen:

Låt oss nu konstruera ett grundläggande system av lösningar:

Den allmänna lösningen kommer att skrivas som:

Lösningar av ett system av homogena linjära ekvationer har följande egenskaper:

Med andra ord är varje linjär kombination av lösningar till ett homogent system återigen en lösning.

Lösa linjära ekvationssystem med Gauss-metoden

Att lösa linjära ekvationssystem har intresserat matematiker i flera århundraden. De första resultaten erhölls på 1700-talet. År 1750 publicerade G. Kramer (1704–1752) sina verk om bestämningsfaktorerna för kvadratmatriser och föreslog en algoritm för att hitta den inversa matrisen. 1809 skisserade Gauss en ny lösningsmetod känd som metoden för eliminering.

Gaussmetoden, eller metoden för sekventiell eliminering av okända, består i det faktum att, med hjälp av elementära transformationer, ett ekvationssystem reduceras till ett ekvivalent system av steg (eller triangulär) form. Sådana system gör det möjligt att sekventiellt hitta alla okända i en viss ordning.

Låt oss anta att i system (1)
(vilket alltid är möjligt).

(1)

Multiplicera den första ekvationen en efter en med den så kallade lämpliga siffror

och om vi adderar resultatet av multiplikationen med motsvarande ekvationer i systemet, får vi ett ekvivalent system där det i alla ekvationer utom den första inte kommer att finnas någon okänd X 1

(2)

Låt oss nu multiplicera den andra ekvationen för system (2) med lämpliga tal, förutsatt att

och lägga till den med de lägre, eliminerar vi variabeln från alla ekvationer, med början från den tredje.

Fortsätter denna process, efter
steg vi får:

(3)

Om minst ett av siffrorna
är inte lika med noll, då är motsvarande likhet motsägelsefull och system (1) är inkonsekvent. Omvänt, för alla gemensamma nummersystem
är lika med noll. siffra är inget annat än rangordningen för systemets matris (1).

Övergången från system (1) till (3) kallas rakt fram Gauss-metoden och att hitta okända från (3) – baklänges .

Kommentar : Det är bekvämare att utföra transformationer inte med själva ekvationerna, utan med systemets utökade matris (1).

Exempel. Låt oss hitta en lösning på systemet

Låt oss skriva den utökade matrisen för systemet:

Låt oss lägga till den första till raderna 2,3,4, multiplicerat med (-2), (-3), (-2) respektive:

Låt oss byta rad 2 och 3, och i den resulterande matrisen lägg till rad 2 till rad 4, multiplicerat med :

Lägg till rad 4 rad 3 multiplicerat med
:

Det är uppenbart att
därför är systemet konsekvent. Från det resulterande ekvationssystemet

vi hittar lösningen genom omvänd substitution:

,
,
,
.

Exempel 2. Hitta en lösning på systemet:

Det är uppenbart att systemet är inkonsekvent, eftersom
, A
.

Fördelar med Gauss-metoden :

Mindre arbetsintensiv än Cramers metod.

Fastställer entydigt systemets kompatibilitet och låter dig hitta en lösning.

Gör det möjligt att bestämma rangen för alla matriser.

2.4.1. Definition. Låt oss ges ett inhomogent system av linjära ekvationer

Tänk på ett homogent system

vars matris av koefficienter sammanfaller med matrisen av koefficienter för systemet (2.4.1). Sedan anropas system (2.4.2). reducerat homogent system (2.4.1).

2.4.2. Sats. Den allmänna lösningen av ett inhomogent system är lika med summan av någon speciell lösning av det inhomogena systemet och den allmänna lösningen av det reducerade homogena systemet.

För att hitta en generell lösning på det inhomogena systemet (2.4.1) är det alltså tillräckligt:

1) Undersök det för kompatibilitet. Vid kompatibilitet:

2) Hitta den allmänna lösningen för det reducerade homogena systemet.

3) Hitta någon speciell lösning på den ursprungliga (inhomogena) lösningen.

4) Genom att lägga till den hittade specifika lösningen och den allmänna lösningen för den givna, hitta den allmänna lösningen för det ursprungliga systemet.

2.4.3. Träning. Undersök systemet för kompatibilitet och, i fallet med kompatibilitet, hitta dess generella lösning i form av summan av det särskilda och det allmänna givna.

Lösning. a) För att lösa problemet använder vi ovanstående schema:

1) Vi undersöker systemet för kompatibilitet (genom metoden att gränsa till minderåriga): Huvudmatrisens rangordning är 3 (se lösningen till övning 2.2.5, a), och moll som inte är noll i den maximala ordningen består av element från 1:a, 2:a, 4:e raden och 1:a, 3:e, 4:e kolumnen. För att hitta rangordningen för den utökade matrisen, gränsar vi till den 3:e raden och 6:e kolumnen i den utökade matrisen: =0. Betyder att, rg A =rg=3, och systemet är konsekvent. I synnerhet är det likvärdigt med systemet

2) Låt oss hitta en generell lösning X 0 reducerat homogent system

X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}

(se lösning till övning 2.2.5, a)).

3) Låt oss hitta någon speciell lösning x h för det ursprungliga systemet . För att göra detta, i system (2.4.3), motsvarande det ursprungliga, de fria okända x 2 och x Vi antar att 5 är lika med till exempel noll (detta är den mest bekväma informationen):

och lös det resulterande systemet: x 1 =- , x 3 =- , x 4 = -5. Således är (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ en speciell lösning av systemet.

4) Hitta den allmänna lösningen X n för det ursprungliga systemet :

X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=

={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.

Kommentar. Jämför svaret du fick med det andra svaret i exempel 1.2.1 c). För att få svaret i den första formen för 1.2.1 c) tas de grundläggande okända x 1 , x 3 , x 5 (den moll för vilken inte heller är lika med noll), och som fri ¾ x 2 och x 4 .

§3. Vissa applikationer.

3.1. På frågan om matrisekvationer. Vi påminner dig om det matrisekvation över fältet F är en ekvation där det okända är en matris över fältet F .

De enklaste matrisekvationerna är ekvationer av formen

YXA=B , XA =B (2.5.1)

Var A , B ¾ given (känd) matris över ett fält F , A X ¾ sådana matriser, vid utbyte av vilka ekvationer (2.5.1) förvandlas till sanna matrislikheter. Speciellt reduceras matrismetoden för vissa system till att lösa en matrisekvation.

I fallet när matriserna A i ekvationer (2.5.1) är icke-degenererade, de har lösningar, respektive X =A B Och X =B.A. .

I det fall då åtminstone en av matriserna på vänster sida av ekvationerna (2.5.1) är singular, är denna metod inte längre lämplig, eftersom motsvarande inversa matris A existerar inte. I detta fall reduceras att hitta lösningar på ekvationer (2.5.1) till att lösa system.

Men låt oss först introducera några begrepp.

Låt oss kalla uppsättningen av alla lösningar i systemet allmänt beslut . Låt oss kalla en separat tagen lösning för ett obestämt system privat lösning .

3.1.1. Exempel. Lös matrisekvation över fält R.

A) X = ; b) X = ; V) X = .

Lösning. a) Eftersom =0, då formeln X =A B är inte lämplig för att lösa denna ekvation. Om i arbetet XA =B matris A har 2 rader, sedan matrisen X har 2 kolumner. Antal rader X måste matcha antalet rader B . Det är därför X har 2 rader. Således, X ¾ någon kvadratisk matris av andra ordningen: X = . Låt oss ersätta X i den ursprungliga ekvationen:

Multiplicerar vi matriserna på vänster sida av (2.5.2), kommer vi fram till likheten

Två matriser är lika om och endast om de har samma dimensioner och deras motsvarande element är lika. Därför är (2.5.3) ekvivalent med systemet

Detta system är likvärdigt med systemet

Löser vi det, till exempel med den Gaussiska metoden, kommer vi till en uppsättning lösningar (5-2 b , b , -2d , d ), Var b , d köra oberoende av varandra R. Således, X = .

b) Liknar a) vi har X = och.

Detta system är inkonsekvent (kolla in det!). Därför har denna matrisekvation inga lösningar.

c) Låt oss beteckna denna ekvation med YXA =B . Därför att A har 3 kolumner och B har 2 kolumner, alltså X ¾ någon matris med dimension 3´2: X = . Därför har vi följande kedja av ekvivalenser:

Vi löser det sista systemet med den Gaussiska metoden (vi utelämnar kommentarer)

Därmed kommer vi fram till systemet

vars lösning är (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Var z , w köra oberoende av varandra R.

Svar: a) X = , b , d Î R.

b) Det finns inga lösningar.

V) X = z , w Î R.

3.2. På frågan om permuterbarhet av matriser. I allmänhet är produkten av matriser icke-kommuterbar, det vill säga om A Och B Så att AB Och B.A. definieras då, generellt sett, AB ¹ B.A. . Men ett exempel på en identitetsmatris E visar att pendlingsbarhet också är möjlig A.E. =E.A. för vilken matris som helst A , om bara A.E. Och E.A. var bestämda.