Дисперсионный анализ основан на работах знаменитого математика Р.А.Фишера . Несмотря на достаточно солидный «возраст», данный метод до сих пор остается одним из основных при проведении биологических и сельскохозяйственных исследований. Идеи, положенные в основу дисперсионного анализа, широко используются во многих других методах математического анализа экспериментальных данных, а также при планировании биологических и сельскохозяйственных экспериментов.

Дисперсионный анализ позволяет:

1) сравнивать две или несколько выборочных средних;

2) одновременно изучать действие нескольких независимых факторов, при этом можно определить как эффект каждого фактора в изменчивости изучаемого признака, так и их взаимодействие;

3) правильно планировать научный эксперимент.

Изменчивость живых организмов проявляется в виде разброса или рассеяния значений отдельных признаков в пределах, которые определяются степенью биологической выравненности материала и характером взаимосвязей с условиями среды. Признаки, изменяющиеся под воздействием тех или иных причин, называют результативными .

Факторы это любые воздействия или состояния, разнообразие которых может так или иначе отражаться на разнообразии результативного признака. Под статистическим влиянием факторов в дисперсионном анализе понимается отражение в разнообразии результативного признака того разнообразия изучаемых факторов, которое организовано в исследовании.

Под разнообразием будем понимать наличие неодинаковых значений каждого признака у разных особей, объединенных в группу. Разнообразие группы особей по изучаемому признаку может иметь разную степень, которая обычно измеряется показателями разнообразия (или изменчивости): лимитами, средним квадратическим отклонением, коэффициентом вариации. В дисперсионном анализе степень разнообразия индивидуальных и средних значений признака измеряется и сравнивается особыми способами, составляющими специфику этого общего метода.

Организация факторов заключается в том, что каждому изучаемому фактору придается несколько значений. В соответствии с этими значениями каждый фактор разбивается на несколько градаций; для каждой градации подбирается по принципу случайной выборки несколько особей, у которых впоследствии и измеряется величина результативного признака.

Для того, чтобы выяснить степень и достоверность влияния изучаемых факторов, надо измерить и оценить ту часть общего разнообразия, которая вызывается этими факторами.

Факторы, влияющие на степень варьирования результативного признака, делятся на:

1)регулируемые

2) случайные

Регулируемые (систематические) факторы вызываются действием изучаемого в эксперименте фактора, который имеет в опыте несколько градаций. Градация фактора – это степень его воздействия на результативный признак. В соответствии с градациями признака выделяется несколько вариантов опыта для сравнения. Поскольку эти факторы предварительно обусловлены, их называют регулируемыми в исследованиях, т.е. заданными, зависящими от организации опыта. Следовательно, регулируемые факторы – факторы, действие которых изучается в опыте, именно они и обусловливают различия между средними выборочными разных вариантов–межгрупповую (факториальную) дисперсию.

Случайные факторы определяются естественным варьированием всех признаков биологических объектов в природе. Это неконтролируемые в опыте факторы. Они оказывают случайное влияние на результативный признак, обусловливают экспериментальные ошибки и определяют внутри каждого варианта разброс (рассеяние) признака. Этот разброс носит название внутригрупповой (случайной) дисперсии .

Таким образом, относительная роль отдельных факторов в общей изменчивости результативного признака характеризуется дисперсией и может быть изучена с помощью дисперсионного анализа или анализа рассеяния

Дисперсионный анализ основан на сравнении межгрупповой и внутригрупповой дисперсий . Если межгрупповая дисперсия не превышает внутригрупповую, значит, различия между группами имеют случайный характер. Если межгрупповая дисперсия существенно выше, чем внутригрупповая, то между изучаемыми группами (вариантами) существуют статистически значимые различия, обусловленные действием изучаемого в опыте фактора.

Из этого следует, что при статистическом изучении результативного признака при помощи дисперсионного анализа следует определить его варьирование по вариантам, повторениям, остаточное варьирование внутри этих групп и общее варьирование результативного признака в опыте. В соответствии с этим различают три вида дисперсий :

1) Общую дисперсию результативного признака (S y 2);

2) Межгрупповую, или частную, между выборками (S y 2);

3) Внутригрупповую, остаточную (S z 2).

Следовательно, дисперсионный анализ – это расчленение общей суммы квадратов отклонений и общего числа степеней свободы на части или компоненты, соответствующие структуре эксперимента, и оценка значимости действия и взаимодействия изучаемых факторов по F-критерию. В зависимости от числа одновременно исследуемых факторов различают двух-, трех-, четырехфакторный дисперсионный анализ.

При обработке полевых однофакторных статистических комплексов, состоящих из нескольких независимых вариантов, общая изменчивость результативного признака, измеряемая общей суммой квадратов (С y), расчленяется на три компонента: варьирование между вариантами (выборками) – С V , варьирование повторений (варианты связаны между собой общим контролируемым условием – наличием организованных повторений) – С p и варьирование внутри вариантов С z . В общей форме изменчивость признака представлена следующим выражением:

С y = С V +С p + С z .

Общее число степеней свободы (N -1) также расчленяется на три части:

степени свободы для вариантов (l – 1);

степени свободы для повторений (n – 1);

случайного варьирования (n – 1) × (l – 1).

Суммы квадратов отклонений, по данным полевого опыта – статистического комплекса с вариантами – l и повторениями – n, находят следующим образом. Сначала с помощью исходной таблицы определяют суммы по повторениям – Σ P , вариантам – Σ V и общую сумму всех наблюдений - Σ X.

Затем вычисляют следующие показатели:

Общее число наблюдений N = l × n;

Корректирующий фактор (поправку) С кор = (Σ X 1) 2 / N;

Общую сумму квадратов Cy = Σ X 1 2 – C кор;

Сумму квадратов для повторений C p = Σ P 2 / (l –C кор);

Сумму квадратов для вариантов C V = Σ V 2 / (n – 1);

Сумму квадратов для ошибки (остаток) C Z = C y - C p - C V .

Полученные суммы квадратов C V и C Z делят на соответствующие им степени свободы и получают два средних квадрата (дисперсии):

Вариантов S v 2 = C V / l – 1;

Ошибки S Z 2 = C Z / (n – 1)×(l – 1).

Оценка существенности разностей между средними. Полученные средние квадраты используют в дисперсионном анализе для оценки значимости действия изучаемых факторов путем сравнения дисперсии вариантов (S v 2) с дисперсией ошибки (S Z 2) по критерию Фишера (F = S Y 2 / S Z 2). За единицу сравнения принимают средний квадрат случайной дисперсии, который определяет случайную ошибку эксперимента.

Применение критерия Фишера позволяет установить наличие или отсутствие существенных различий между выборочными средними, но не указывает конкретных различий между средними.

Проверяемой H o – гипотезой является предположение - все выборочные средние являются оценками одной генеральной средней и различия между ними несущественны. Если F факт = S Y 2 / S Z 2 ≤ F теор , то нулевая гипотеза не отвергается. Между выборочными средними нет существенных различий, и на этом проверка заканчивается. Нулевая гипотеза отвергается при F факт = S Y 2 / S Z 2 ≥ F теор Значение F- критерия для принятого в исследовании уровня значимости находят в соответствующей таблице с учетом степеней свободы для дисперсии вариантов и случайной дисперсии. Обычно пользуются 5%-ным уровнем значимости, а при более строгом подходе 1% - ным и даже 0,1%-ным.

Для выборки объема n выборочная дисперсия вычисляется как сумма квадратов отклонений от выборочного среднего, деленная на n-1 (объем выборки минус единица). Таким образом, при фиксированном объеме выборки n дисперсия есть функция суммы квадратов (отклонений), обозначаемая, для краткости, SS(от английского Sum of Squares – Сумма квадратов). Далее слово выборочная мы часто опускаем, прекрасно понимая, что рассматривается выборочная дисперсия или оценка дисперсии. В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты.:

SS ошибок и SS эффекта. Внутригрупповая изменчивость (SS ) обычно называется остаточной компонентой или дисперсией ошибки. Это означает, что обычно при проведении эксперимента она не может быть предсказана или объяснена. С другой стороны, SS эффекта (или компоненту дисперсии между группами) можно объяснить различием между средними значениями в группах. Иными словами, принадлежность к некоторой группе объясняет межгрупповую изменчивость, т.к. нам известно, что эти группы обладают разными средними значениями.

Основная логика дисперсионного анализа. Подводя итоги, можно сказать, что целью дисперсионного анализа является проверка статистической значимости различия между средними (для групп или переменных). Эта проверка проводится с помощью разбиения суммы квадратов на компоненты, т.е. с помощью разбиения общей дисперсии (вариации) на части, одна из которых обусловлена случайной ошибкой (то есть внутригрупповой изменчивостью), а вторая связана с различием средних значений. Последняя компонента дисперсии затем используется для анализа статистической значимости различия между средними значениями. Если это различие значимо , нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза о существовании различия между средними.

Зависимые и независимые переменные. Переменные, значения которых определяется с помощью измерений в ходе эксперимента (например, балл, набранный при тестировании), называются зависимыми переменными. Переменные, которыми можно управлять при проведении эксперимента (например, методы обучения или другие критерии, позволяющие разделить наблюдения на группы или классифицировать) называются факторами или независимыми переменными.

Множество факторов. Мир по своей природе сложен и многомерен. Ситуации, когда некоторое явление полностью описывается одной переменной, чрезвычайно редки. Например, если мы пытаемся научиться выращивать большие помидоры, следует рассматривать факторы, связанные с генетической структурой растений, типом почвы, освещенностью, температурой и т.д. Таким образом, при проведении типичного эксперимента приходится иметь дело с большим количеством факторов. Основная причина, по которой использование дисперсионного анализа предпочтительнее повторного сравнения двух выборок при разных уровнях факторов с помощью серий t- критерия, заключается в том, что дисперсионный анализ существенно более эффективен и, для малых выборок, более информативен.

Вывод. Дисперсионный анализ разработан и введен в практику сельскохозяйственных и биологических исследований английским ученым Р. А. Фишером. Сущность дисперсионного анализа заключается, в разложении общей изменчивости признака и общего числа степеней свободы на составляющие части, соответствующие структуре полевого опыта, также в оценке действующего фактора по критерию Фишера.

Где Общая изменчивость признака, обусловленная действием изучаемого вопроса, неоднородностью почвенного плодородия и случайными ошибками в опыте.

Варьирование урожаев по повторениям полевого опыта.

Варьирование урожаев по вариантам опыта, связанное с действием изучаемого вопроса.

Варьирование урожаев, связанное со случайными ошибками в опыте.

Вывод в дисперсионном анализе делается согласно следующим правилам:

1. В опыте есть существенные различия, если Fфактическое ≥Fтеоритическое. В опыте нет существенных различий, если Fфактическое

2. НСР – Наименьшая существенная разность, используестся для определения разности между вариантами. Если разность d≥ НСР, то различия между вариантами существенные. Если d< НСР, то различия между вариантами не существенные.

Группы вариантов.

1. Если разница d– существенная, и указывает на повышение урожайности, то варианты относятся к 1 группе.

2. Если разница d– не существенная, то варианты относятся ко 2 группе.

3. Если разница d– существенная, но указывает на снижение урожайности, то варианты относятся к 3 группе.

Выбор формулы дисперсионного анализа зависит от методов размещения вариантов в опыте:

1. Для организованных повторений:

2. Для неорганизованных повторений.

Аналитическая статистик а

7.1 Дисперсионный анализ . 2

В данном варианте метода влиянию каждой из градаций подвергаются разные выборки испытуемых. Градаций фактора должно быть не менее трех .

Пример 1. Три различные группы из шести испытуемых получили списки из десяти слов. Первой группе слова предъявлялись с низкой скоростью -1 слово в 5 секунд, второй группе со средней скоростью - 1 слово в 2 секунды, и третьей группе с большой скоростью - 1 слово в секунду. Было предсказано, что показатели воспроизведения будут зависеть от скорости предъявления слов. Результаты представлены в табл. 1.

Таблица 1. Количество воспроизведенных слов (по J . Greene , M D " Olivera , 1989, p . 99)

№ испытуемого	Группа 1 низкая скорость	Группа 2 средняя скорость	Группа 3 высокая скорость
суммы
средние	7,17	6,17	4,00
Общая сумма

Дисперсионный однофакторный анализ позволяет проверить гипотезы:

H 0 : различия в объеме воспроизведения слов между группами являются не более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы

H 1 : Различия в объеме воспроизведения слов между группами являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы.

Последовательность операций в однофакторном дисперсионном анализе для несвязанных выборок:

1. подсчитаем SS факт - вариативность признака, обусловленную действи­ем исследуемого фактора. Часто встречающееся обозначе­ние SS - сокращение от "суммы квадратов" (sum of squares ). Это со­кращение чаще всего используется в переводных источниках (см., на­пример: Гласс Дж., Стенли Дж., 1976).

,(1)

где Т с – сумма индивидуальных значений по каждому из условий. Для нашего примера 43, 37, 24 (см. табл. 1);

с – количество условий (градаций) фактора (=3);

n – количество испытуемых в каждой группе (=6);

N – общее количество индивидуальных значений (=18);

Квадрат общей суммы индивидуальных значений (=104 2 =10816)

Отметим разницу между , в которой все индивидуальные значения сначала возводятся в квадрат, а потом суммируются, и , где индивидуальные значения сначала суммируются для получения об­щей суммы, а потом уже эта сумма возводится в квадрат.

По формуле (1) рассчитав фактическую вариативность признака, получаем:

2. подсчитаем SS общ – общую вариативность признака:

(2)

3. подсчитаем случайную (остаточную) величину SS сл , обусловленную неучтенными факторами:

(3)

4.число степеней свободы равно:

=3-1=2(4)

5.«средний квадрат» или усредненная величина соответствующих сумм квадратов SS равна:

(5)

6.значение статистики критерия F эмп рассчитаем по формуле:

(6)

Для нашего примера имеем: F эмп =15,72/2,11=7,45

7.определим F крит по статистическим таблицам Приложения 3 для df 1 =k 1 =2 и df 2 =k 2 =15 табличное значение статистики равно 3,68

8. если F эмп < F крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная гипотеза. Для нашего примера F эмп > F крит (7.45>3.68), следовательно п

Вывод: различия в объеме воспроизведения слов между группами являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы (р<0,05). Т.о. скорость предъявления слов влияет на объем их воспроизведения.

7.1.2 Дисперсионный анализ для связанных выборок

Метод дисперсионного анализа для связанных выборок применяет­ся в тех случаях, когда исследуется влияние разных градаций фактора или разных условий на одну и ту же выборку испытуемых. Градаций фактора должно быть не менее трех .

В данном случае различия между испытуемыми - возможный са­мостоятельный источник различий. Однофакторный дисперсионный анализ для связанных выборок позволит определить, что перевешивает - тенденция, выраженная кривой изменения фактора, или индивидуальные различия между испытуемыми. Фактор индивидуальных различий может оказаться более значимым, чем фактор изменения экспериментальных условий.

Пример 2. Группа из 5 испытуемых была обследована с помощью трех экспериментальных заданий, направленных на изучение интеллектуальной, настойчивости (Сидоренко Е. В., 1984). Каждому испытуемому инди­видуально предъявлялись последовательно три одинаковые анаграммы: четырехбуквенная, пятибуквенная и шестибуквенная. Можно ли счи­тать, что фактор длины анаграммы влияет на длительность попыток ее решения?

Таблица 2. Длительность решения анаграмм (сек)

Код испытуемого	Условие 1. четырехбуквенная анаграмма	Условие 2. Пятибуквенная анаграмма	Условие 3. шестибуквенная анаграмма	Суммы по испытуемым
суммы		1244		1342

Сформулируем гипотезы. Наборов гипотез в данном случае два.

Набор А .

Н 0 (А): Различия в длительности попыток решения анаграмм разной длины являются не более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами.

Н 1 (А): Различия в длительности попыток решенияанаграммразной длины являются более выраженными, чем различия, обусловлен­ные случайными причинами.

Набор Б.

Н о (Б): Индивидуальные различия между испытуемыми являются не более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами.

Н 1 (Б): Индивидуальные различия между испытуемыми являются более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причи­нами.

Последовательность операций в однофакторном дисперсионном анализе для связанных выборок:

1. подсчитаем SS факт - вариативность признака, обусловленную действи­ем исследуемого фактора по формуле (1).

где Т с – сумма индивидуальных значений по каждому из условий (столбцов). Для нашего примера 51, 1244, 47 (см. табл. 2); с – количество условий (градаций) фактора (=3); n – количество испытуемых в каждой группе (=5); N – общее количество индивидуальных значений (=15); - квадрат общей суммы индивидуальных значений (=1342 2)

2. подсчитаем SS исп - вариативность признака, обусловленную индивидуальными значения испытуемых.

Где Т и – сумма индивидуальных значений по каждому испытуемому. Для нашего примера 247, 631, 100, 181, 183 (см. табл. 2); с – количество условий (градаций) фактора (=3); N – общее количество индивидуальных значений (=15);

3. подсчитаем SS общ – общую вариативность признака по формуле (2):

4. подсчитаем случайную (остаточную) величину SS сл , обусловленную неучтенными факторами по формуле (3):

5. число степеней свободы равно (4):

; ; ;

6. «средний квадрат» или математическое ожидание суммы квадратов, усредненная величина соответствующих сумм квадратов SS равна (5):

;

7. значение статистики критерия F эмп рассчитаем по формуле (6):

;

8. определим F крит по статистическим таблицам Приложения 3 для df 1 =k 1 =2 и df 2 =k 2 =8 табличное значение статистики F крит_факт =4,46, и для df 3 =k 3 =4 и df 2 =k 2 =8 F крит_исп =3,84

9. F эмп_факт > F крит_факт (6,872>4,46), следовательно принимается альтернативная гипотеза.

10. F эмп_исп < F крит_исп (1,054<3,84), следовательно принимается нулевая гипотеза.

Вывод: различия в объеме воспроизведения слов в разных условиях являются более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами (р<0,05).Индивидуальные различия между испытуе­мыми являются не более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами.

7.2 Корреляционный анализ

7.2.1 Понятие корреляционной связи

Исследователя нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых выборках. Например, могут ли учащиеся с высоким уровнем тревожности демонстрировать стабильные академичес­кие достижения, или связана ли продолжительность работы учителя в школе с размером его заработной платы, или с чем больше связан уровень умственного развития учащихся - с их успеваемостью по математике или по литературе и т.п.?

Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной, или корреляцией. Корреляционная связь - это согласованное изме­нение двух признаков, отражающее тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью дру­гого.

Известно, например, что в среднем между ростом людей и их весом наблюдается положительная связь, и такая, что чем боль­ше рост, тем больше вес человека. Однако из этого правила име­ются исключения, когда относительно низкие люди имеют из­быточный вес, и, наоборот, астеники, при высоком росте име­ют малый вес. Причиной подобных исключений является то, что каждый биологический, физиологический или психологический признак определяется воздействием многих факторов: средовых, генетических, социальных, экологических и т.д.

Корреляционные связи - это вероятностные изменения, которые можно изучать только на представительных выборках методами математической статисти­ки. «Оба термина, - пишет Е.В. Сидоренко, - корреляционная связь и корреляционная зависимость - часто используются как синони­мы. Зависимость подразумевает влияние, связь - любые согласован­ные изменения, которые могут объясняться сотнями причин. Корреляционные связи не могут рассматриваться как свидетельство причинно-следственной зависимости, они свидетельствуют лишь о том, что изменениям одного признака, как правило, сопутствуют определенные изменения другого.

Корреляционная зависимость - это изменения, которые вносят значения одного признака в вероятность появления разных значений другого признака (Е.В. Сидоренко, 2000).

Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (ли­нейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимо­сти полученных коэффициентов корреляции.

Корреляционные связи различаются по форме, направлению и степени (силе).

По форме корреляционная связь может быть прямолинейной или криволинейной. Прямолинейной может быть, например, связь между количеством тренировок на тренажере и количеством правильно решае­мых задач в контрольной сессии. Криволинейной может быть, напри­мер, связь между уровнем мотивации и эффективностью выполнения задачи (см. рис. 1). При повышении мотивации эффективность вы­полнения задачи сначала возрастает, затем достигается оптимальный уровень мотивации, которому соответствует максимальная эффективность выполнения задачи; дальнейшему повышению мотивации сопутст­вует уже снижение эффективности.

Рис.1. Связь между эффективностью решения задачи

и силой мотивационной тен­денции (по J. W. A t k in son, 1974, р 200)

По направлению корреляционная связь может быть положитель­ной ("прямой") и отрицательной ("обратной"). При положительной прямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значе­ниям одного признака - низкие значения другого. При отрицательной корреляции соотношения обратные. При положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, например r =+0,207 , при отрицательной корреля­ции - отрицательный знак, например r =-0,207 .

Степень, сила или теснота корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции.

Сила связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции.

Максимальное воз­можное абсолютное значение коэффициента корреляции r =1,00 ; минимальное r =0,00 .

Общая классификация корреляционных связей (по Ивантер Э.В., Коросову А.В., 1992):

сильная , или тесная при коэффициенте корреляции r >0,70 ;

средняя при 0,50< r <0,69 ;

умеренная при 0,30< r <0,49 ;

слабая при 0,20< r <0,29 ;

очень слабая при r <0,19 .

Переменные Х и Y могут быть измерены в разных шкалах, именно это определяет выбор соответствующего коэффициента корреляции (см. табл. 3):

Таблица 3. Использование коэффициента корреляции в зависимости от типа переменных

Тип шкалы		Мера связи
Переменная X	Переменная У
Интервальная или отношений	Интервальная или отношений	Коэффициент Пирсона
	Ранговая, интервальная или отношений	Коэффициент Спирмена
Ранговая	Ранговая	Коэффициент Кендалла
Дихотомическая	Дихотомическая	Коэффициент « j »
Дихотомическая	Ранговая	Рангово-бисериальный
Дихотомическая	Интервальная или отношений	Бисериальный

7.2.2 Коэффициент корреляции Пирсона

Термин «корреляция» был введен в науку выдающимся анг­лийским естествоиспытателем Френсисом Гальтоном в 1886 г. Однако точную формулу для подсчета коэффициента корреля­ции разработал его ученик Карл Пирсон.

Коэффициент характеризует наличие только линейной свя­зи между признаками, обозначаемыми, как правило, символами X и Y. Формула расчета коэффициента корреляции построена таким образом, что, если связь между признаками имеет ли­нейный характер, коэффициент Пирсона точно устанавливает тесноту этой связи. Поэтому он называется также коэффициен­том линейной корреляции Пирсона. Если же связь между пере­менными X и Y не линейна, то Пирсон предложил для оценки тесноты этой связи так называемое корреляционное отношение.

Величина коэффициента линейной корреляции Пирсона не может превышать +1 и быть меньше чем -1. Эти два числа +1 и -1 - являются границами для коэффициента корреляции. Когда при расчете получается величина большая +1 или меньшая -1 - следовательно произошла ошибка в вычислениях.

Знак коэффициента корреляции очень важен для интерпре­тации полученной связи. Подчеркнем еще раз, что если знак ко­эффициента линейной корреляции - плюс, то связь между кор­релирующими признаками такова, что большей величине одного признака (переменной) соответствует большая величина дру­гого признака (другой переменной). Иными словами, если один показатель (переменная) увеличивается, то соответственно уве­личивается и другой показатель (переменная). Такая зависимость носит название прямо пропорциональной зависимости.

Если же получен знак минус, то большей величине одного признака соответствует меньшая величина другого. Иначе гово­ря, при наличии знака минус, увеличению одной переменной (признака, значения) соответствует уменьшение другой пере­менной. Такая зависимость носит название обратно пропорцио­нальной зависимости.

В общем виде формула для подсчета коэффициента корреля­ции такова:

(7)

гдех i - значения, принимаемые в выборке X,

y i - значения, принимаемые в выборке Y;

Средняя по X, - средняя по Y.

Расчет коэффициента корреляции Пирсона предполагает, что переменные Х и У распределены нормально .

В формуле (7) встречается величина при делении на n (число значений переменной X или Y) она называется ковариацией . Формула (7) предполагает также, что при расчете коэффициентов корреля­ции число значений переменной Х равно числу значений переменной Y .

Число степеней свободы k = n -2.

Пример 3. 1 0 школьникам были даны тесты на наглядно-образное и вербальное мышление. Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Исследователя интересует вопрос: существует ли вза­имосвязь между временем решения этих задач? Переменная X - обозначает среднее время реше­ния наглядно-образных, а переменная Y- сред­нее время решения вербальных заданий тестов .

Решение. Представим исходные данные в виде таблицы 4, в которой введены дополнительные столб­цы, необходимые для расчета по формуле (7).

Таблица 4

№ испытуемых	x		х i -	(х i - ) 2	y i -	(y i -) 2
			16,7	278,89		51,84	120,24
				13,69	17,2	295,84	63,64
				7,29		51,84	19,44
				68,89		14,44	31,54
				59,29		7,84	21,56
				0,49		46,24	4,76
				10,89		17,64	13,86
				10,89		51,84	23,76
				68,89	10,8	116,64	89,64
				68,89	18,8	353,44	156,04
Сумма	357	242		588,1		1007,6	416,6
Среднее	35,7	24,2

Рассчитываем эмпирическую величину коэффициента корре­ляции по формуле (7):

Определяем критические значения для полученного коэффи­циента корреляции по таблице Приложения 3. При нахождении критических значений для вычисленного коэффициента линейной корреляции Пирсона число степе­ней свободы рассчитывается как k = n – 2 = 8.

к крит =0,72 > 0,54 , следовательно, гипотеза Н 1 отвергается и при­нимается гипотеза H 0 , иными словами, связь между временем решения наглядно-образных и вербальных заданий теста не доказана.

7.3 Регрессионный анализ

Это группа методов, направ­ленных на выявление и математическое выражение тех измене­ний и зависимостей, которые имеют место в системе случайных величин. Если такая система моделирует педагогическую, то, следовательно, путем регрессионного анализа выявляются и ма­тематически выражаются психолого-педагогические явления и зависимости между ними. Характеристики этих явлений изме­ряются в разных шкалах, что накладывает ограничения на спо­собы математического выражения изменений и зависимостей, которые изучаются педагогом-исследователем.

Методы регрессионного анализа рассчитаны, главным обра­зом, на случай устойчивого нормального распределе­ния, в котором изменения от опыта к опыту проявляются лишь в виде независимых испытаний.

Выделяются различные формальные задачи регрессионного анализа. Они могут быть простыми или сложными по формулировкам, по математиче­ским средствам и трудоемкости. Перечислим и рассмотрим на примерах те из них, которые представляются основными.

Первая задача - выявить факт изменчивости изучаемого яв­ления при определенных, но не всегда четко фиксированных условиях. В предыдущей лекции мы уже решали эту задачу с помощью параметрических и непараметрических критериев.

Вторая задача - выявить тенденцию как периодическое изменение признака. Сам по себе этот признак мо­жет быть зависим или не зависим от переменной-условия (он может зависеть от неизвестных или неконтролируемых иссле­дователем условий). Но это не важно для рассматриваемой за­дачи, которая ограничивается лишь выявлением тенденции и ее особенностей.

Проверка гипотез об отсутствии или наличии тенденции мо­жет выполняться с использованием кри­терия Аббе. Критерий Аббе предназначен для проверки гипотез о равенстве средних значений, установленных для 4

Эмпирическое значение критерия Аббе вычисля­ется по формуле:

(8)

где -среднее арифметическое из выборки;

п – число значений в выборке.

Согласно критерию, гипотеза о равенстве средних отклоняется (принимается альтернативная гипотеза), если значение статистики . Табличное (критическое) значение статистики определяется из таблицы для q -критерия Аббе, которая с сокращениями заимствована из книги Л.Н. Болышева и Н.В. Смирнова (см. Приложение 3).

В качестве таких величин, для которых применим критерий Аббе, могут высту­пать выборочные доли или проценты, средние арифметические и другие статистики выборочных распределений, если они близ­ки к нормальному (или предварительно нормализованы). По­этому критерий Аббе может найти широкое применение в пси­холого-педагогических исследованиях. Рассмотрим пример вы­явления тенденции с помощью критерия Аббе.

Пример 4. В табл. 5 представлена динамика процента студентов IV курса, на «отлично» сдававших экзамены в зимние сессии на протяжении 10 лет работыодного изфакультетовуниверситета.Требуетсяустановить, есть ли тенденция к повышению успеваемости.

Таблица 5. Динамика процента отличников четвертого курса за 10 лет работы факультета

Учебный год
1995-96	10,8
1996-97	16,4
1997-98	17,4
1998-99	22,0
1999-00	23,0
2000-01	21,5
2001-02	26,1
2002-03	17,2
2003-04	27,5
2004-05	33,0

В качестве нулевой проверяем гипотезу об отсутствии тенденции, т. е. о равенстве процентов.

Усредняем проценты, приведенные в табл. 5, находим, что =21,5. Вычисляем разности между последующими и предыдущими зна­чениями в выборке, возводим их в квадрат и суммируем:

Аналогично вычисляет знаменатель в формуле (8), суммируя квадраты разностей между каждым измерением и средним арифметическим:

Теперь по формуле (8) получаем:

В таблице критерия Аббе из Приложения 3 находим, что при n =10 и уровне значимости 0,05 критическое значение , что больше полученного нами 0,41, следовательно гипотезу о равенстве процента «отличников» приходится отклонить, и можно принять альтернативную гипотезу о наличии тенденции.

Третья задача – это выявление закономерности, выра­женной в виде корреляционного уравнения (регрессии) .

Пример 5. Эстонский исследователь Я. Микк , изучая трудности по­нимания текста, установил «формулу читаемости», которая представляет собой множественную линейную регрессию:

Оценка трудности понимания текста,

где х 1 - длина самостоятельных предложений в количестве печат­ных знаков,

х 2 - процент различных незнакомых слов,

х 3 - абстрактность повторяющихся понятий, выраженных существительными.

Сравнивая между собой коэффициенты регрессии, выражающие степень влияния факторов, можно видеть, что трудность понимания текста опреде­ляется прежде всего его абстрактностью. Вдвое мень­ше (0,27) трудность понимания текста зависит от числа незнакомых слов и практически она совсем не зависит от длины предложении.

Как было уже отмечено, дисперсионный метод тесно связан со статистическими группировками и предполагает, что изучаемая совокупность подразделена на группы по факторным признакам, влияние которых должно быть изучено.

На основе дисперсионного анализа производится:

1. оценка достоверности различий в групповых средних по одному факторному признаку или нескольким;

2. оценка достоверности взаимодействий факторов;

3. оценка частных различий между парами средних.

В основе применения дисперсионного анализа лежит закон разложения дисперсий (вариаций) признака на составляющие.

Общая вариация D о результативного признака при группировке может быть разложена на следующие составные части:

1. на межгрупповую D м связанную с группировочным признаком;

2. на остаточную (внутригрупповую) D B , не связанную с группировочным признаком.

Соотношение между этими показателями выражается следующим образом:

D о = D м + D в. (1.30)

Рассмотрим применение дисперсионного анализа на примере.

Допустим, требуется доказать, влияют ли сроки посева на урожайность пшеницы. Исходные опытные данные для дисперсионного анализа представлены в табл. 8.

Таблица 8

В данном примере N = 32, K = 4, l = 8.

Определим общую суммарную вариацию урожайности, которая представляет собой сумму квадратов отклонений индивидуальных значений признака от общей средней:

где N – число единиц совокупности; Y i – индивидуальные значения урожайности; Y o – общая средняя урожайности по всей совокупности.

Для определения межгрупповой суммарной вариации, определяющей вариацию результативного признака за счет изучаемого фактора, необходимо знать средние значения результативного признака по каждой группе. Эта суммарная вариация равна сумме квадратов отклонений групповых средних величин от общей средней величины признака, взвешенной на число единиц совокупности в каждой из групп:

Внутригрупповая суммарная вариация равна сумме квадратов отклонений индивидуальных значений признака от групповых средних по каждой группе, суммированной по всем группам совокупности.

Влияние фактора на результативный признак проявляется в соотношении между D м и D в: чем сильнее влияние фактора на величину изучаемого признака, тем больше D м и меньше D в.

Для проведения дисперсионного анализа нужно установить источники варьирования признака, объем вариации по источникам, определить число степеней свободы для каждой компоненты вариации.

Объем вариации уже установлен, теперь необходимо определить число степеней свободы вариации. Число степеней свободы – это число независимых отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения. Общее число степеней свободы, соответствующее общей сумме квадратов отклонений в дисперсионном анализе, разлагается по составляющим вариации. Так, общей сумме квадратов отклонений D о соответствует число степеней свободы вариации, равное N – 1 = 31. Групповой вариации D м соответствует число степеней свободы вариации, равное K – 1 = 3. Внутригрупповой остаточной вариации соответствует число степеней свободы вариации, равное N – K = 28.

Теперь, зная суммы квадратов отклонений и число степеней свободы, можно определить дисперсии для каждой составляющей. Обозначим эти дисперсии: d м – групповые и d в – внутригрупповые.

После вычисления этих дисперсий приступим к установлению значимости влияния фактора на результативный признак. Для этого находим отношение: d M /d B = F ф,

Величина F ф, называемая критерием Фишера , сравнивается с табличным, F табл. Как уже было отмечено, если F ф > F табл, то влияние фактора на результативный признак доказано. Если F ф < F табл то можно утверждать, что различие между дисперсиями находится в пределах возможных случайных колебаний и, следовательно, не доказывает с достаточной вероятностью влияние изучаемого фактора.

Теоретическая величина связана с вероятностью, и в таблице ее значение приводится при определенном уровне вероятности суждения. В приложении имеется таблица, позволяющая установить возможную величину F при вероятности суждения, наиболее часто используемой: уровень вероятности «нулевой гипотезы» – 0,05. Вместо вероятностей «нулевой гипотезы» таблица может быть названа таблицей для вероятности 0,95 существенности влияния фактора. Повышение уровня вероятности требует для сравнения более высокого значения F табл.

Величина F табл зависит также от числа степеней свободы двух сравниваемых дисперсий. Если число степеней свободы стремится к бесконечности, то F табл стремится к единице.

Таблица значений F табл построена следующим образом: в столбцах таблицы указаны степени свободы вариации для большей дисперсии, а в строках – степени свободы для меньшей (внутригрупповой) дисперсии. Величина F находится на пересечении столбца и строки соответствующих степеней свободы вариации.

Так, в нашем примере F ф = 21,3/3,8 = 5,6. Табличное же значение F табл для вероятности 0,95 и степеней свободы, соответственно равных 3 и 28, F табл = 2,95.

Значение F ф полученное в опыте, превышает теоретическое значение даже для вероятности 0,99. Следовательно, опыт с вероятностью более 0,99 доказывает влияние изучаемого фактора на урожайность, т. е. опыт можно считать надежным, доказанным, а значит, сроки посева оказывают существенное влияние на урожайность пшеницы. Оптимальным сроком посева следует считать период с 10 по 15 мая, так как именно при этом сроке посева получены наилучшие результаты урожайности.

Нами рассмотрена методика дисперсионного анализа при группировке по одному признаку и случайному распределению повторностей внутри группы. Однако часто бывает так, что опытный участок имеет какие-то различия в плодородии почвы и т. д. Поэтому может возникнуть такая ситуация, что большее число делянок одного из вариантов попадет на лучшую часть, и его показатели будут завышены, а другого варианта – на худшую часть, и результаты в этом случае, естественно, будут хуже, т. е. занижены.

Чтобы исключить варьирование, которое вызывается не относящимися к опыту причинами, надо из внутригрупповой (остаточной) дисперсии вычленить дисперсию, рассчитанную по повторностям (блокам).

Общая сумма квадратов отклонений подразделяется в этом случае уже на 3 составляющие:

D о = D м + D повт + D ост. (1.33)

Для нашего примера сумма квадратов отклонений, вызванная повторностями, будет равна:

Стало быть, собственно случайная сумма квадратов отклонений будет равна:

D ост = D в – D повт; D ост = 106 – 44 = 62.

Для остаточной дисперсии число степеней свободы будет равно 28 – 7 = 21. Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 9.

Таблица 9

Поскольку фактические значения F-критерия для вероятности 0,95 превышают табличные, то влияние сроков посева и повторностей на урожайность пшеницы следует считать существенным. Рассмотренный способ построения опыта, когда участок предварительно делится на блоки с относительно выровненными условиями, а проверяемые варианты распределяются внутри блока в случайном порядке, называется способом рендомизированных блоков.

С помощью анализа дисперсионным методом можно изучить влияние не только одного фактора на результат, а двух и более. Дисперсионный анализ в этом случае будет называться многофакторным дисперсионным анализом .

Двухфакторный дисперсионный анализ отличается от двух однофакторных тем, что он может ответить на следующие вопросы:

1. 1каково влияние обоих факторов вместе?

2. какова роль сочетания этих факторов?

Рассмотрим дисперсионный анализ опыта, в котором следует выявить влияние не только сроков посева, но и сортов на урожайность пшеницы (табл. 10).

Таблица 10. Данные опыта по влиянию сроков посева и сортов на урожайность пшеницы

– это сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от общей средней.

Вариация по совместному влиянию сроков посева и сорта

– это сумма квадратов отклонений средних по подгруппам от общей средней, взвешенных на число повторностей, т. е. на 4.

Вычисление вариации по влиянию только сроков посева:

Остаточная вариация определяется как разность между общей вариацией и вариацией по совместному влиянию изучаемых факторов:

D ост = D о – D пс = 170 – 96 = 74.

Все расчеты можно оформить в виде таблицы (табл. 11).

Таблица 11. Результаты дисперсионного анализа

Результаты дисперсионного анализа показывают, что влияние изучаемых факторов, т. е. сроков посева и сорта, на урожайность пшеницы существенно, так как F-критерии фактические по каждому из факторов значительно превышают табличные, найденные для соответствующих степеней свободы, и при этом с достаточно высокой вероятностью (р = 0,99). Влияние же сочетания факторов в данном случае отсутствует, так как факторы независимы друг от друга.

Анализ влияния трех факторов на результат ведется по такому же принципу, что и для двух факторов, только в этом случае будет три дисперсии по факторам и четыре дисперсии по сочетанию факторов. С увеличением числа факторов резко увеличивается объем расчетных работ и, кроме того, становится затруднительно оформлять исходную информацию в комбинационную таблицу. Поэтому вряд ли целесообразно изучать влияние многих факторов на результат с использованием дисперсионного анализа; лучше взять меньшее их число, но выбрать наиболее существенные факторы с точки зрения экономического анализа.

Нередко исследователю приходится иметь дело с так называемыми непропорциональными дисперсионными комплексами, т. е. такими, в которых не соблюдается пропорциональность численностей вариантов.

В таких комплексах вариация суммарного действия факторов не равна сумме вариации по факторам и вариации сочетания факторов. Она отличается на величину, зависящую от степени связей между отдельными факторами, возникающих вследствие нарушения пропорциональности.

В этом случае возникают трудности при определении степени влияния каждого фактора, так как сумма частных влияний не равна суммарному влиянию.

Одним из способов приведения непропорционального комплекса к единой структуре является способ его замены пропорциональным комплексом, в котором частоты усреднены по группам. Когда такая замена произведена, задача решается по принципам пропорциональных комплексов.

Свои способности человек может узнать, только попытавшись приложить их. (Сенека)

Дисперсионный анализ

Вводный обзор

В этом разделе мы рассмотрим основные методы, предположения и терминологию дисперсионного анализа.

Отметим, что в англоязычной литературе дисперсионный анализ обычно называется анализом вариации. Поэтому, для краткости, ниже мы иногда будем использовать термин ANOVA (An alysis o f va riation ) для обычного дисперсионного анализа и термин MANOVA для многомерного дисперсионного анализа. В этом разделе мы последовательно рассмотрим основные идеи дисперсионного анализа (ANOVA ), ковариационного анализа (ANCOVA ), многомерного дисперсионного анализа (MANOVA ) и многомерного ковариационного анализа (MANCOVA ). После краткого обсуждения достоинств анализа контрастов и апостериорных критериев рассмотрим предположения, на которых основаны методы дисперсионного анализа. Ближе к концу этого раздела поясняются преимущества многомерного подхода для анализа повторных измерений по сравнению с традиционным одномерным подходом.

Основные идеи

Цель дисперсионного анализа. Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними. Глава (глава 8) содержит краткое введение в исследование статистической значимости. Если вы просто сравниваете средние в двух выборках, дисперсионный анализ даст тот же результат, что и обычный t - критерий для независимых выборок (если сравниваются две независимые группы объектов или наблюдений) или t - критерий для зависимых выборок (если сравниваются две переменные на одном и том же множестве объектов или наблюдений). Если вы не достаточно знакомы с этими критериями, рекомендуем обратиться к вводному обзору главы (глава 9).

Откуда произошло название Дисперсионный анализ ? Может показаться странным, что процедура сравнения средних называется дисперсионным анализом. В действительности, это связано с тем, что при исследовании статистической значимости различия между средними, мы на самом деле анализируем дисперсии.

Разбиение суммы квадратов

Для выборки объема n выборочная дисперсия вычисляется как сумма квадратов отклонений от выборочного среднего, деленная на n-1 (объем выборки минус единица). Таким образом, при фиксированном объеме выборки n дисперсия есть функция суммы квадратов (отклонений), обозначаемая, для краткости, SS (от английского Sum of Squares – Сумма Квадратов). В основе дисперсионного анализа лежит разделение (или разбиение) дисперсии на части. Рассмотрим следующий набор данных:

Средние двух групп существенно различны (2 и 6 соответственно). Сумма квадратов отклонений внутри каждой группы равна 2. Складывая их, получаем 4. Если теперь повторить эти вычисления без учета групповой принадлежности, то есть, если вычислить SS исходя из общего среднего этих двух выборок, то получим 28. Иными словами, дисперсия (сумма квадратов), основанная на внутригрупповой изменчивости, приводит к гораздо меньшим значениям, чем при вычислении на основе общей изменчивости (относительно общего среднего). Причина этого, очевидно, заключается в существенной разнице между средними значениями, и это различие между средними и объясняет существующее различии между суммами квадратов. В самом деле, если использовать для анализа приведенных данных модуль Дисперсионный анализ , будут получены следующие результаты:

Как видно из таблицы, общая сумма квадратов SS =28 разбита на сумму квадратов, обусловленную внутригрупповой изменчивостью (2+2=4 ; см. вторую строку таблицы) и сумму квадратов, обусловленную различием средних значений. (28-(2+2)=24; см первую строку таблицы).

SS ошибок и SS эффекта. Внутригрупповая изменчивость (SS ) обычно называется дисперсией ошибки. Это означает, что обычно при проведении эксперимента она не может быть предсказана или объяснена. С другой стороны, SS эффекта (или межгрупповую изменчивость) можно объяснить различием между средними значениями в изучаемых группах. Иными словами, принадлежность к некоторой группе объясняет межгрупповую изменчивость, т.к. нам известно, что эти группы обладают разными средними значениями.

Проверка значимости. Основные идеи проверки статистической значимости обсуждаются в главе Элементарные понятия статистики (глава 8). В этой же главе объясняются причины, по которым многие критерии используют отношение объясненной и необъясненной дисперсии. Примером такого использования является сам дисперсионный анализ. Проверка значимости в дисперсионном анализе основана на сравнении дисперсии, обусловленной межгрупповым разбросом (называемой средним квадратом эффекта или MS эффект ) и дисперсии, обусловленной внутригрупповым разбросом (называемой средним квадратом ошибки или MS ошибка ). Если верна нулевая гипотеза (равенство средних в двух популяциях), то можно ожидать сравнительно небольшое различие в выборочных средних из-за случайной изменчивости. Поэтому при нулевой гипотезе внутригрупповая дисперсия будет практически совпадать с общей дисперсией, подсчитанной без учета группой принадлежности. Полученные внутригрупповые дисперсии можно сравнить с помощью F - критерия, проверяющего, действительно ли отношение дисперсий значимо больше 1. В рассмотренном выше примере F - критерий показывает, что различие между средними статистически значимо.

Основная логика дисперсионного анализа. Подводя итоги, можно сказать, что целью дисперсионного анализа является проверка статистической значимости разницы между средними (для групп или переменных). Эта проверка проводится с помощью анализа дисперсии, т.е. с помощью разбиения общей дисперсии (вариации) на части, одна из которых обусловлена случайной ошибкой (то есть внутригрупповой изменчивостью), а вторая связана с различием средних значений. Последняя компонента дисперсии затем используется для анализа статистической значимости различия между средними значениями. Если это различие значимо, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза о существовании различия между средними.

Зависимые и независимые переменные. Переменные, значения которых определяется с помощью измерений в ходе эксперимента (например, балл, набранный при тестировании), называются зависимыми переменными. Переменные, которыми можно управлять при проведении эксперимента (например, методы обучения или другие критерии, позволяющие разделить наблюдения на группы) называются факторами или независимыми переменными. Более подробно эти понятия описаны в главе Элементарные понятия статистики (глава 8).

Многофакторный дисперсионный анализ

В рассмотренном выше простом примере вы могли бы сразу вычислить t-критерий для независимых выборок, используя соответствующую опцию модуля Основные статистики и таблицы. Полученные результаты, естественно, совпадут с результатами дисперсионного анализа. Однако дисперсионный анализ содержит гибкие и мощные технические средства, которые могут быть использованы для гораздо более сложных исследований.

Множество факторов. Мир по своей природе сложен и многомерен. Ситуации, когда некоторое явление полностью описывается одной переменной, чрезвычайно редки. Например, если мы пытаемся научиться выращивать большие помидоры, следует рассматривать факторы, связанные с генетической структурой растений, типом почвы, освещенностью, температурой и т.д. Таким образом, при проведении типичного эксперимента приходится иметь дело с большим количеством факторов. Основная причина, по которой использование дисперсионного анализа предпочтительнее повторного сравнения двух выборок при разных уровнях факторов с помощью t - критерия, заключается в том, что дисперсионный анализ более эффективен и, для малых выборок, более информативен.

Управление факторами. Предположим, что в рассмотренном выше примере анализа двух выборок мы добавим еще один фактор, например, Пол - Gender . Пусть каждая группа состоит из 3 мужчин и 3 женщин. План этого эксперимента можно представить в виде таблицы 2 на 2:

	Эксперимент. Группа 1	Эксперимент. Группа 2
Мужчины	2	6
	3	7
	1	5
Среднее	2	6
Женщины	4	8
	5	9
	3	7
Среднее	4	8

До проведения вычислений, можно заметить, что в этом примере общая дисперсия имеет, по крайней мере, три источника:

(1) случайная ошибка (внутригрупповая дисперсия),

(2) изменчивость, связанная с принадлежностью к экспериментальной группе, и

(3) изменчивость, обусловленная полом объектов наблюдения.

(Отметим, что существует еще один возможный источник изменчивости – взаимодействие факторов , который мы обсудим позднее). Что произойдет, если мы не будем включать пол –gender как фактор при проведении анализа и вычислим обычный t -критерий? Если мы будем вычислять суммы квадратов, игнорируя пол – gender (т.е., объединяя объекты разного пола в одну группу при вычислении внутригрупповой дисперсии, получив при этом сумму квадратов для каждой группы равную SS =10, и общую сумму квадратов SS = 10+10 = 20), то получим большее значение внутригрупповой дисперсии, чем при более точном анализе с дополнительным разбиением на подгруппы по полу - gender (при этом внутригрупповые средние будут равны 2, а общая внутригрупповая сумма квадратов равна SS = 2+2+2+2 = 8). Это различие связано с тем, что среднее значение для мужчин - males меньше, чем среднее значение для женщин – female , и это различие в средних значениях увеличивает суммарную внутригрупповую изменчивость, если фактор пола не учитывается. Управление дисперсией ошибки увеличивает чувствительность (мощность) критерия.

На этом примере видно еще одно преимущество дисперсионного анализа по сравнению с обычным t -критерием для двух выборок. Дисперсионный анализ позволяет изучать каждый фактор, управляя значениями остальных факторов. Это, в действительности, и является основной причиной его большей статистической мощности (для получения значимых результатов требуются меньшие объемы выборок). По этой причине дисперсионный анализ даже на небольших выборках дает статистически более значимые результаты, чем простой t - критерий.

Эффекты взаимодействия

Существует еще одно преимущество применения дисперсионного анализа по сравнению с обычным t - критерием: дисперсионный анализ позволяет обнаружить взаимодействие между факторами и, следовательно, позволяет изучать более сложные модели. Для иллюстрации рассмотрим еще один пример.

Главные эффекты, попарные (двухфакторные) взаимодействия. Предположим, что имеется две группы студентов, причем психологически студенты первой группы настроены на выполнение поставленных задач и более целеустремленны, чем студенты второй группы, состоящей из более ленивых студентов. Разобьем каждую группу случайным образом пополам и предложим одной половине в каждой группе сложное задание, а другой - легкое. После этого измерим, насколько напряженно студенты работают над этими заданиями. Средние значения для этого (вымышленного) исследования показаны в таблице:

Какой вывод можно сделать из этих результатов? Можно ли заключить, что: (1) над сложным заданием студенты трудятся более напряженно; (2) целеустремленные студенты работают упорнее, чем ленивые? Ни одно из этих утверждений не отражает сущность систематического характера средних, приведенных в таблице. Анализируя результаты, правильнее было бы сказать, что над сложными заданиями работают упорнее только целеустремленные студенты, в то время как над легкими заданиями только ленивые работают упорнее. Другими словами характер студентов и сложность задания взаимодействуя между собой влияют на затрачиваемое усилие. Это пример парного взаимодействия между характером студентов и сложностью задания. Отметим, что утверждения 1 и 2 описывают главные эффекты .

Взаимодействия высших порядков. В то время как объяснить попарные взаимодействия еще сравнительно легко, взаимодействия высших порядков объяснить значительно сложнее. Представим себе, что в рассматриваемый выше пример, введен еще один фактор пол -Gender и мы получили следующую таблицу средних значений:

Какие теперь выводы можно сделать из полученных результатов? Графики средних позволяют легко интерпретировать сложные эффекты. Модуль дисперсионного анализа позволяет строить эти графики практически одним щелчком мышки.

Изображение на графиках внизу представляет собой изучаемое трехфакторное взаимодействие.

Глядя на графики, можно сказать, что у женщин существует взаимодействие между характером и сложностью теста: целеустремленные женщины работают над трудным заданием более напряженно, чем над легким. У мужчин это же взаимодействие носит обратный характер. Видно, что описание взаимодействия между факторами становится более запутанным.

Общий способ описания взаимодействий. В общем случае взаимодействие между факторами описывается в виде изменения одного эффекта под воздействием другого. В рассмотренном выше примере двухфакторное взаимодействие можно описать как изменение главного эффекта фактора, характеризующего сложность задачи, под воздействием фактора, описывающего характер студента. Для взаимодействия трех факторов из предыдущего параграфа можно сказать, что взаимодействие двух факторов (сложности задачи и характера студента) изменяется под воздействием пола – Gender . Если изучается взаимодействие четырех факторов, можно сказать, что взаимодействие трех факторов, изменяется под воздействием четвертого фактора, т.е. существуют различные типы взаимодействий на разных уровнях четвертого фактора. Оказалось, что во многих областях взаимодействие пяти или даже большего количества факторов не является чем-то необычным.

Сложные планы

Межгрупповые и внутригрупповые планы (планы с повторными измерениями)

При сравнении двух различных групп обычно используется t - критерий для независимых выборок (из модуля Основные статистики и таблицы ). Когда сравниваются две переменные на одном и том же множестве объектов (наблюдений), используется t -критерий для зависимых выборок. Для дисперсионного анализа также важно зависимы или нет выборки. Если имеются повторные измерения одних и тех же переменных (при разных условиях или в разное время) для одних и тех же объектов , то говорят о наличии фактора повторных измерений (называемого также внутригрупповым фактором, поскольку для оценки его значимости вычисляется внутригрупповая сумма квадратов). Если сравниваются разные группы объектов (например, мужчины и женщины, три штамма бактерий и т.п.), то разница между группами описывается межгрупповым фактором. Способы вычисления критериев значимости для двух описанных типов факторов различны, но общая их логика и интерпретации совпадает.

Меж- и внутригрупповые планы. Во многих случаях эксперимент требует включение в план и межгруппового фактора, и фактора повторных измерений. Например, измеряются математические навыки студентов женского и мужского пола (где пол – Gender -межгрупповой фактор) в начале и в конце семестра. Два измерения навыковкаждого студента образуют внутригрупповой фактор (фактор повторных измерений). Интерпретация главных эффектов и взаимодействий для межгрупповых факторов и факторов повторных измерений совпадает, и оба типа факторов могут, очевидно, взаимодействовать между собой (например, женщины приобретают навыки в течение семестра, а мужчины их теряют).

Неполные (гнездовые) планы

Во многих случаях можно пренебречь эффектом взаимодействия. Это происходит или когда известно, что в популяции эффект взаимодействия отсутствует, или когда осуществление полного факторного плана невозможно. Например, изучается влияние четырех добавок к топливу на расход горючего. Выбираются четыре автомобиля и четыре водителя. Полный факторный эксперимент требует, чтобы каждая комбинация: добавка, водитель, автомобиль - появились хотя бы один раз. Для этого нужно не менее 4 x 4 x 4 = 64 групп испытаний, что требует слишком больших временных затрат. Кроме того, вряд ли существует взаимодействие между водителем и добавкой к топливу. Принимая это во внимание, можно использовать план Латинские квадраты, в котором содержится лишь16 групп испытаний (четыре добавки обозначаются буквами A, B, C и D):

Латинские квадраты описаны в большинстве книг по планированию экспериментов (например, Hays, 1988; Lindman, 1974; Milliken and Johnson, 1984; Winer, 1962), и здесь они не будут детально обсуждаться. Отметим, что латинские квадраты это не n олные планы, в которых участвуют не все комбинации уровней факторов. Например, водитель 1 управляет автомобилем 1 только с добавкой А, водитель 3 управляет автомобилем 1 только с добавкой С. Уровни фактора добавок (A, B, C и D) вложены в ячейки таблицы автомобиль x водитель – как яйца в гнезда. Это мнемоническое правило полезно для понимания природы гнездовых или вложенных планов. Модуль Дисперсионный анализ предоставляет простые способы анализ планов такого типа.

Ковариационный анализ

Основная идея

В разделе Основные идеи кратко обсуждалась идея управления факторами и то, каким образом включение аддитивных факторов позволяет уменьшать сумму квадратов ошибок и увеличивать статистическую мощность плана. Все это может быть распространено и на переменные с непрерывным множеством значений. Когда такие непрерывные переменные включаются в план в качестве факторов, они называются ковариатами .

Фиксированные ковариаты

Предположим, что сравниваются математические навыки двух групп студентов, которые обучались по двум различным учебникам. Предположим также, что имеются данные о коэффициенте интеллекта (IQ) для каждого студента. Можно предположить, что коэффициент интеллекта связан с математическими навыками, и использовать эту информацию. Для каждой из двух групп студентов можно вычислить коэффициент корреляции между IQ и математическими навыками. Используя этот коэффициент корреляции, можно выделить долю дисперсии в группах, объясняемую влиянием IQ и необъясняемую долю дисперсии (см. также Элементарные понятия статистики (глава 8) и Основные статистики и таблицы (глава 9)). Оставшаяся доля дисперсии используется при проведении анализа как дисперсия ошибки. Если имеется корреляция между IQ и математическими навыками, то можно существенно уменьшить дисперсии ошибки SS /(n -1) .

Влияние ковариат на F- критерий. F- критерий оценивает статистическую значимость различия средних значений в группах, при этом вычисляется отношение межгрупповой дисперсии (MS effect ) к дисперсии ошибок (MS error ) . Если MS error уменьшается, например, при учете фактора IQ, значение F увеличивается.

Множество ковариат. Рассуждения, использованные выше для одной ковариаты (IQ), легко распространяются на несколько ковариат. Например, кроме IQ, можно включить измерение мотивации, пространственного мышления и т.д. Вместо обычного коэффициента корреляции при этом используется множественный коэффициент корреляции.

Когда значение F -критерия уменьшается. Иногда введение ковариат в план эксперимента уменьшает значение F -критерия. Обычно это указывает на то, что ковариаты коррелированы не только с зависимой переменной (например, математическими навыками), но и с факторами (например, с разными учебниками). Предположим, что IQ измеряется в конце семестра, после почти годового обучения двух групп студентов по двум разным учебникам. Хотя студенты разбивались на группы случайным образом, может оказаться, что различие учебников настолько велико, что и IQ и математические навыки в разных группах будут сильно различаться. В этом случае, ковариаты не только уменьшают дисперсию ошибок, но и межгрупповую дисперсию. Другими словами, после контроля за разностью IQ в разных группах, разность в математических навыках уже будет несущественной. Можно сказать иначе. После “исключения” влияния IQ, неумышленно исключается и влияние учебника на развитие математических навыков.

Скорректированные средние. Когда ковариата влияет на межгрупповой фактор, следует вычислять скорректированные средние , т.е. такие средние, которые получаются после удаления всех оценок ковариат.

Взаимодействие между ковариатами и факторами. Также как исследуется взаимодействие между факторами, можно исследовать взаимодействие между ковариатами и между группами факторов. Предположим, что один из учебников особенно подходит для умных студентов. Второй учебник для умных студентов скушен, а для менее умных студентов этот же учебник труден. В результате имеется положительная корреляция между IQ и результатом обучения в первой группе (более умные студенты, лучше результат) и нулевая или небольшая отрицательная корреляция во второй группе (чем умнее студент, тем менее вероятно приобретение математических навыков из второго учебника). В некоторых исследованиях эта ситуация обсуждается как пример нарушения предположений ковариационного анализа. Однако так как в модуле Дисперсионный анализ используются самые общие способы ковариационного анализа, можно, в частности, оценить статистическую значимость взаимодействия между факторами и ковариатами.

Переменные ковариаты

В то время как фиксированные ковариаты обсуждаются в учебниках достаточно часто, переменные ковариаты упоминаются намного реже. Обычно, при проведении экспериментов с повторными измерениями, нас интересуют различия в измерениях одних и тех же величин в разные моменты времени. А именно, нас интересует значимость этих различий. Если одновременно с измерениями зависимых переменных проводится измерение ковариат, можно вычислить корреляцию между ковариатой и зависимой переменной.

Например, можно изучать интерес к математике и математические навыки в начале и в конце семестра. Интересно было бы проверить, коррелированы ли между собой изменения в интересе к математике с изменением математических навыков.

Модуль Дисперсионный анализ в STATISTICA автоматически оценивает статистическую значимость изменения ковариат в тех планах, где это возможно.

Многомерные планы: многомерный дисперсионный и ковариационный анализ

Межгрупповые планы

Все рассматриваемые ранее примеры включали только одну зависимую переменную. Когда одновременно имеется несколько зависимых переменных, возрастает лишь сложность вычислений, а содержание и основные принципы не меняются.

Например, проводится исследование двух различных учебников. При этом изучаются успехи студентов в изучении физики и математики. В этом случае имеются две зависимые переменные и нужно выяснить, как влияют на них одновременно два разных учебника. Для этого можно воспользоваться многомерным дисперсионным анализом (MANOVA). Вместо одномерного F критерия, используется многомерный F критерий (l-критерий Уилкса), основанный на сравнении ковариационной матрицы ошибок и межгрупповой ковариационной матрицы.

Если зависимые переменные коррелированы между собой, то эта корреляция должна учитываться при вычислении критерия значимости. Очевидно, если одно и то же измерение повторяется дважды, то ничего нового получить при этом нельзя. Если к имеющемуся измерению добавляется коррелированное с ним измерение, то получается некоторая новая информация, но при этом новая переменная содержит избыточную информацию, которая отражается в ковариации между переменными.

Интерпретация результатов. Если общий многомерный критерий значим, можно заключить, что соответствующий эффект (например, тип учебника) значим. Однако встают следующие вопросы. Влияет ли тип учебника на улучшение только математических навыков, только физических навыков, или одновременно на улучшение тех и других навыков. В действительности, после получения значимого многомерного критерия, для отдельного главного эффекта или взаимодействия исследуется одномерный F критерий. Другими словами, отдельно исследуются зависимые переменные, которые вносят вклад в значимость многомерного критерия.

Планы с повторными измерениями

Если измеряются математические и физические навыки студентов в начале семестра и в конце, то это и есть повторные измерения. Изучение критерия значимости в таких планах это логическое развитие одномерного случая. Заметим, что методы многомерного дисперсионного анализа обычно также используются для исследования значимости одномерных факторов повторных измерений, имеющих более чем два уровня. Соответствующие применения будут рассмотрены позднее в этой части.

Суммирование значений переменных и многомерный дисперсионный анализ

Даже опытные пользователи одномерного и многомерного дисперсионного анализа часто приходят в затруднение, получая разные результаты при применении многомерного дисперсионного анализа, например, для трех переменных, и при применении одномерного дисперсионного анализа к сумме этих трех переменных, как к одной переменной.

Идея суммирования переменных состоит в том, что каждая переменная содержит в себе некоторую истинную переменную, которая и исследуется, а также случайную ошибку измерения. Поэтому при усреднении значений переменных, ошибка измерения будет ближе к 0 для всех измерений и усредненное значений будет более надежным. На самом деле, в этом случае применение дисперсионного анализа к сумме переменных разумно и является мощным методом. Однако если зависимые переменные по своей природе многомерны, суммирование значений переменных неуместно.

Например, пусть зависимые переменные состоят из четырех показателей успеха в обществе . Каждый показатель характеризует совершенно независимую сторону человеческой деятельности (например, профессиональный успех, преуспеваемость в бизнесе, семейное благополучие и т.д.). Сложение этих переменных подобно сложению яблока и апельсина. Сумма этих переменных не будет подходящим одномерным показателем. Поэтому с такими данными нужно обходится как с многомерными показателями в многомерном дисперсионном анализе .

Анализ контрастов и апостериорные критерии

Почему сравниваются отдельные множества средних?

Обычно гипотезы относительно экспериментальных данных формулируются не просто в терминах главных эффектов или взаимодействий. Примером может служить такая гипотеза: некоторый учебник повышает математические навыки только у студентов мужского пола, в то время как другой учебник примерно одинаково эффективен для обоих полов, но все же менее эффективен для мужчин. Можно предсказать, что эффективность учебника взаимодействует с полом студента. Однако этот прогноз касается также природы взаимодействия. Ожидается значительное различие между полами для обучающихся по одной книге и практически не зависимые от пола результаты для обучающихся по другой книге. Такой тип гипотез обычно исследуется с помощью анализа контрастов.

Анализ контрастов

Если говорить коротко, то анализ контрастов позволяет оценивать статистическую значимость некоторых линейных комбинаций эффектов сложного плана. Анализ контрастов главный и обязательный элемент любого сложного плана дисперсионного анализа. Модуль Дисперсионный анализ имеет достаточно разнообразные возможности анализа контрастов, которые позволяют выделять и анализировать любые типы сравнений средних.

Апостериорные сравнения

Иногда в результате обработки эксперимента обнаруживается неожиданный эффект. Хотя в большинстве случаев творческий исследователь сможет объяснить любой результат, это не дает возможностей для дальнейшего анализа и получения оценок для прогноза. Эта проблема является одной из тех, для которых используются апостериорные критерии , то есть критерии, не использующие априорные гипотезы. Для иллюстрации рассмотрим следующий эксперимент. Предположим, что на 100 карточках записаны числа от 1 до 10. Опустив все эти карточки в шапку, мы случайным образом выбираем 20 раз по 5 карточек, и вычисляем для каждой выборки среднее значение (среднее чисел, записанных на карточки). Можно ли ожидать, что найдутся две выборки, у которых средние значения значимо отличаются? Это очень правдоподобно! Выбирая две выборки с максимальным и минимальным средним, можно получить разность средних, сильно отличающуюся от разности средних, например, первых двух выборок. Эту разность можно исследовать, например, с помощью анализа контрастов. Если не вдаваться в детали, то существует несколько, так называемых апостериорных критериев, которые основаны в точности на первом сценарии (взятие экстремальных средних из 20 выборок), т. е. эти критерии основаны на выборе наиболее отличающихся средних для сравнения всехсредних значений в плане. Эти критерии применяются для того, чтобы чисто случайно не получить искусственный эффект, например, обнаружить значимое различие между средними, когда его нет. Модуль Дисперсионный анализ предлагает широкий выбор таких критериев. Когда в эксперименте, связанном с несколькими группами, встречаются неожиданные результаты, то используются апостериорные процедуры для исследования статистической значимости полученных результатов.

Сумма квадратов типа I, II, III и IV

Многомерная регрессия и дисперсионный анализ

Существует тесная взаимосвязь между методом многомерной регрессии и дисперсионным анализом (анализом вариаций). И в том и в другом методе исследуется линейная модель. Если говорить коротко, то практически все планы эксперимента можно исследовать с помощью многомерной регрессии. Рассмотрим следующий простой межгрупповой 2 x 2 план.

DV	A	B	AxB
3	1	1	1
4	1	1	1
4	1	-1	-1
5	1	-1	-1
6	-1	1	-1
6	-1	1	-1
3	-1	-1	1
2	-1	-1	1

Столбцы А и В содержат коды, характеризующие уровни факторов А и В, столбец АxВ содержит произведение двух столбцов А и В. Мы можем анализировать эти данные с помощью многомерной регрессии. Переменная DV определяется как зависимая переменная, переменные от A до AxB как независимые переменные. Исследование значимости для коэффициентов регрессии будет совпадать с вычислениями в дисперсионном анализе значимости главных эффектов факторов A и B и эффекта взаимодействия AxB .

Несбалансированные и сбалансированные планы

При вычислении корреляционной матрицы для всех переменных, например, для данных, изображенных выше, можно заметить, что главные эффекты факторов A и B и эффект взаимодействия AxB некоррелированы. Это свойство эффектов называют также ортогональностью. Говорят, что эффекты A и B - ортогональны или независимы друг от друга. Если все эффекты в плане ортогональны друг другу, как в приведенном выше примере, то говорят, что план сбалансирован .

Сбалансированные планы обладают “хорошим свойством”. Вычисления при анализе таких планов очень просты. Все вычисления сводятся к вычислению корреляции между эффектами и зависимыми переменными. Так как эффекты ортогональны, частные корреляции (как в полной многомерной регрессии) не вычисляются. Однако в реальной жизни планы не всегда сбалансированы.

Рассмотрим реальные данные с неравным числом наблюдений в ячейках.

Фактор A	Фактор B
	B1	B2
A1	3	4, 5
A2	6, 6, 7	2

Если закодировать эти данные как выше и вычислить корреляционную матрицу для всех переменных, то окажется, что факторы плана коррелированы друг с другом. Факторы в плане теперь не ортогональны и такие планы называются несбалансированными. Заметим, что в рассматриваемом примере, корреляция между факторами полностью связана с различием частот 1 и -1 в столбцах матрицы данных. Другими словами, планы экспериментов с неравными объемами ячеек (точнее, непропорциональными объемами) будут несбалансированными, это означает, что главные эффекты и взаимодействия будут смешиваться. В этом случае для вычисления статистической значимости эффектов нужно полностью вычислять многомерную регрессию. Здесь имеется несколько стратегий.

Сумма квадратов типа I, II, III и IV

Сумма квадратов типа I и III . Для изучения значимости каждого фактора в многомерной модели можно вычислять частную корреляцию каждого фактора, при условии, что все другие факторы уже учтены в модели. Можно также вводить факторы в модель пошаговым способом, фиксируя все факторы, уже введенные в модель и игнорируя все остальные факторы. Вообще, в этом и состоит различие между типом III и типом I суммы квадратов (эта терминология была введена в SAS, см. например, SAS, 1982; подробное обсуждение можно также найти в Searle, 1987, стр. 461; Woodward, Bonett, and Brecht, 1990, стр. 216; или Milliken and Johnson, 1984, стр. 138).

Сумма квадратов типа II. Следующая “промежуточная” стратегия формирования модели состоит: в контроле всех главных эффектов при исследовании значимости отдельного главного эффекта; в контроле всех главных эффектов и всех попарных взаимодействий, когда исследуется значимость отдельного попарного взаимодействия; в контроле всех главных эффектов всех попарных взаимодействий и всех взаимодействий трех факторов; при исследовании отдельного взаимодействия трех факторов и т.д. Суммы квадратов для эффектов, вычисляемые таким способом, называются типом II суммы квадратов. Итак, тип II суммы квадратов контролирует все эффекты того же порядка и ниже, игнорируя все эффекты более высокого порядка.

Сумма квадратов типа IV . Наконец, для некоторых специальных планов с пропущенными ячейками (неполными планами) можно вычислять, так называемые, типа IV суммы квадратов. Этот метод будет обсуждаться позднее в связи с неполными планами (планами с пропущенными ячейками).

Интерпретация гипотезы о сумме квадратов типа I, II, и III

Сумму квадратов типа III легче всего интерпретировать. Напомним, что суммы квадратов типа III исследуют эффекты после контроля всех других эффектов. Например, после нахождения статистически значимого типа III эффекта для фактора A в модуле Дисперсионный анализ , можно сказать, что существует единственный значимый эффект фактора A , после введения всех других эффектов (факторов) и соответственно интерпретировать этот эффект. Вероятно в 99% всех приложений дисперсионного анализа именно этот тип критерия интересует исследователя. Этот тип суммы квадратов обычно вычисляется в модуле Дисперсионный анализ по умолчанию, независимо от того выбрана опция Регрессионный подход или нет (стандартные подходы принятые в модуле Дисперсионный анализ обсуждаются ниже).

Значимые эффекты, полученные с помощью сумм квадратов типа или типа II суммы квадратов интерпретировать не так легко. Лучше всего их интерпретировать в контексте пошаговой многомерной регрессии. Если при использовании суммы квадратов типа I главный эффект фактора В оказался значим (после включения в модель фактора А, но перед добавлением взаимодействия между А и В), можно заключить, что существует значимый главный эффект фактора В, при условии, что нет взаимодействия между факторами А и В. (Если при использовании критерия типа III , фактор В также оказался значимым, то можно заключить, что существует значимый главный эффект фактора B, после введения в модель всех других факторов и их взаимодействий).

В терминах маргинальных средних гипотезы типа I и типа II обычно не имеют простой интерпретации. В этих случаях говорят, что нельзя интерпретировать значимость эффектов, рассматривая только маргинальные средние. Скорее представленные p значений средних имеют отношение к сложной гипотезе, которая комбинирует средние и объем выборки. Например, тип II гипотезы для фактора А в простом примере плана 2 x 2, рассматриваемом ранее будут (см. Woodward, Bonett, and Brecht, 1990, стр. 219):

nij - число наблюдений в ячейке

uij - среднее значение в ячейке

n . j - маргинальное среднее

Если не вдаваться в детали (более подробно см. Milliken and Johnson, 1984, глава 10), то ясно, что это не простые гипотезы и в большинстве случаев ни одна из них не представляет особенного интереса у исследователя. Однако существуют случаи, когда гипотезы типа I могут быть интересны.

Принимаемый по умолчанию вычислительный подход в модуле Дисперсионный анализ

По умолчанию, если не отмечена опция Регрессионный подход , модуль Дисперсионный анализ использует модель средних по ячейкам . Для этой модели характерно, что суммы квадратов для разных эффектов вычисляются для линейных комбинаций средних значений по ячейкам. В полном факторном эксперименте это приводит к суммам квадратов, которые совпадают с суммами квадратов, обсуждаемыми ранее как тип III . Однако в опции Спланированные сравнения (в окне Результаты дисперсионного анализа ), пользователь может проверять гипотезу относительно любой линейной комбинации взвешенных или невзвешенных средних по ячейкам. Таким образом, пользователь может проверять не только гипотезы типа III , но гипотезы любого типа (включая тип IV ). Этот общий подход особенно полезен, когда исследуются планы с пропущенными ячейками (так называемые неполные планы).

Для полных факторных планов этот подход полезно также использовать в тех случаях, когда хотят анализировать взвешенные маргинальные средние. Например, предположим, что в рассматриваемом ранее простом 2 x 2 плане, нужно сравнить взвешенные (по уровням фактора B ) маргинальные средние для фактора А. Это бывает полезным, когда распределение наблюдений по ячейкам не готовилось экспериментатором, а строилось случайно, и эта случайность отражается в распределении числа наблюдений по уровням фактора B в совокупности.

Например, имеется фактор - возраст вдов. Возможная выборка респондентов разбита на две группы: моложе 40 лет и старше 40 (фактор В). Второй фактор (фактор А) в плане - получали или нет социальную поддержку вдовы в некотором агентстве (при этом одни вдовы были выбраны случайно, другие служили в качестве контроля). В этом случае распределение вдов по возрастам в выборке отражает действительное распределение вдов по возрастам в совокупности. Оценке эффективности группы социальной поддержки вдов по всем возрастам будет соответствовать взвешенное среднее для двух возрастных групп (с весами соответствующими числу наблюдений в группе).

Спланированные сравнения

Заметим, что сумма введенных коэффициентов контрастов не обязательно равна 0 (нулю). Вместо этого программа будет автоматически вносить поправки, чтобы соответствующие гипотезы не смешивались с общим средним.

Для иллюстрации этого вернемся опять к простому 2 x 2 плану, рассмотренному ранее. Напомним, что числа наблюдений в ячейках этого несбалансированного плана -1, 2, 3, и 1. Предположим, что мы хотим сравнить взвешенные маргинальные средние для фактора А (взвешенные с частотой уровней фактора В). Можно ввести коэффициенты контраста:

Заметим, что эти коэффициенты не дают в сумме 0. Программа будет устанавливать коэффициенты так, что в сумме они будут давать 0, и при этом будут сохраняться их относительные значения, т. е.:

1/3 2/3 -3/4 -1/4

Эти контрасты будут сравнивать взвешенные средние для фактора А.

Гипотезы о главном среднем. Гипотеза, о том, что не взвешенное главное среднее равно 0 может исследоваться с помощью коэффициентов:

Гипотеза о том, что взвешенное главное среднее равно 0 проверяется с помощью:

Ни в одном случае программа не производит корректировки коэффициентов контрастов.

Анализ планов с пропущенными ячейками (неполные планы)

Факторные планы, содержащие пустые ячейки (обработка комбинаций ячеек, в которых нет наблюдений) называются неполными. В таких планах некоторые факторы обычно не ортогональны и некоторые взаимодействия не могут быть вычислены. Вообще не существует лучшего метода анализа таких планов.

Регрессионный подход

В некоторых старых программах, которые основаны на анализе планов дисперсионного анализа с помощью многомерной регрессии, факторы в неполных планах по умолчанию задаются обычным образом (как будто план полный). Затем производится многомерный регрессионный анализ для этих фиктивно закодированных факторов. К несчастью, этот метод приводит к результатам, которые очень трудно, или даже невозможно, интерпретировать, так как неясно, как каждый эффект участвует в линейной комбинации средних значений. Рассмотрим следующий простой пример.

Фактор A	Фактор B
	B1	B2
A1	3	4, 5
A2	6, 6, 7	Пропущено

Если будет выполняться многомерная регрессия вида Зависимая переменная = Константа + Фактор A + Фактор B , то гипотеза о значимости факторов A и B в терминах линейных комбинаций средних выглядит так:

Фактор A: Ячейка A1,B1 = Ячейка A2,B1

Фактор B: Ячейка A1,B1 = Ячейка A1,B2

Этот случай прост. В более сложных планах невозможно фактически определить, что точно будет исследоваться.

Средние ячеек, подход дисперсионного анализа, гипотезы типа IV

Подход, который рекомендуется в литературе и который кажется предпочтительнее - исследование осмысленных (с точки зрения исследовательских задач) априорных гипотез о средних, наблюдаемых в ячейках плана. Подробное обсуждение этого подхода можно найти в Dodge (1985), Heiberger (1989), Milliken and Johnson (1984), Searle (1987), или Woodward, Bonett, and Brecht (1990). Суммы квадратов, ассоциированные с гипотезами о линейной комбинации средних в неполных планах, исследующие оценки части эффектов, называются также суммами квадратов IV .

Автоматическая генерация гипотез типа IV . Когда многофакторные планы имеют сложный характер пропущенных ячеек, желательно определить ортогональные (независимые) гипотезы, исследование которых эквивалентно исследованию главных эффектов или взаимодействий. Были развиты алгоритмические (вычислительные) стратегии (основанные на псевдообратной матрице плана) для генерирования подходящих весов для таких сравнений. К сожалению, окончательные гипотезы определяются не единственным образом. Конечно, они зависят от порядка, в котором эффекты были определены и редко допускают простую интерпретацию. Поэтому рекомендуется внимательно изучить характер пропущенных ячеек, затем формулировать гипотезы типа IV , которые наиболее содержательно соответствуют целям исследования. Затем исследовать эти гипотезы, используя опцию Спланированные сравнения в окне Результаты . Самый легкий путь задать сравнения в этом случае - требовать введения вектора контрастов для всех факторов вместе в окне Спланированные сравнения. После вызова диалогового окна Спланированные сравнения будут показаны все группы текущего плана и помечены те, которые пропущены.

Пропущенные ячейки и проверка специфического эффекта

Существует несколько типов планов, в которых расположение пропущенных ячеек не случайно, но тщательно спланировано, что позволяет проводить простой анализ главных эффектов не затрагивая другие эффекты. Например, когда необходимое число ячеек в плане недоступно, часто используются планы Латинские квадраты для оценивания главных эффектов нескольких факторов с большим числом уровней. Например, 4 x 4 x 4 x 4 факторный план требует 256 ячеек. В то же время можно использовать Греко-латинский квадрат для оценки главных эффектов, имея только 16 ячеек в плане (глава Планирование эксперимента , том IV, содержит детальное описание таких планов). Неполные планы, в которых главные эффекты (и некоторые взаимодействия) могут быть оценены с помощью простых линейных комбинаций средних, называются сбалансированными неполными планами .

В сбалансированных планах стандартный (по умолчанию) метод генерирования контрастов (весов) для главных эффектов и взаимодействий будет затем производить анализ таблицы дисперсий, в которой суммы квадратов для соответствующих эффектов не смешиваются друг с другом. Опция Специфический эффекты окна Результаты будет генерировать пропущенные контрасты, записывая ноль в пропущенные ячейки плана. Сразу после того, как будет запрошена опция Специфический эффекты для пользователя, изучающего некоторую гипотезу, появляется таблица результатов с фактическими весами. Заметим, что в сбалансированном плане, суммы квадратов соответствующих эффектов вычисляются только, если эти эффекты ортогональны (независимы) всем другим главным эффектам и взаимодействиям. В противном случае нужно воспользоваться опцией Спланированные сравнения для изучения содержательных сравнений между средними.

Пропущенные ячейки и объединенные эффекты/члены ошибки

Если опция Регрессионное подход в стартовой панели модуля Дисперсионный анализ не выбрана, то при вычислении суммы квадратов для эффектов будет использоваться модель средних по ячейкам (установка по умолчанию). Если план не сбалансирован, то при объединении неортогональных эффектов (см. выше обсуждение опции Пропущенные ячейки и специфический эффект ) можно получить сумму квадратов, состоящую из неортогональных (или перекрывающихся) компонент. Полученные при этом результаты, обычно не интерпретируемы. Поэтому нужно быть очень осторожным при выборе и реализации сложных неполных экспериментальных планов.

Существует много книг с детальным обсуждением планов разного типа. (Dodge, 1985; Heiberger, 1989; Lindman, 1974; Milliken and Johnson, 1984; Searle, 1987; Woodward and Bonett, 1990), но такого рода информация лежит вне границ этого учебника. Тем не менее, позднее в этом разделе будет продемонстрирован анализ различного типа планов.

Предположения и эффекты нарушения предположений

Отклонение от предположения о нормальности распределений

Предположим, что зависимая переменная измерена в числовой шкале. Предположим также, что зависимая переменная имеет нормальное распределение внутри каждой группы. Дисперсионный анализ содержит широкий набор графиков и статистик для обоснования этого предположения.

Эффекты нарушения. Вообще F критерий очень устойчив к отклонению от нормальности (подробные результаты см. в работе Lindman, 1974). Если эксцесс больше 0, то значение статистики F может стать очень маленьким. Нулевая гипотеза при этом принимается, хотя она может быть и не верна. Ситуация меняется на противоположную, когда эксцесс меньше 0. Асимметрия распределения обычно незначительно влияет на F статистику. Если число наблюдений в ячейке достаточно большое, то отклонение от нормальности не имеет особого значения в силу центральной предельной теоремы , в соответствии с которой, распределение среднего значения близко к нормальному, независимо от начального распределения. Подробное обсуждение устойчивости F статистики можно найти в Box and Anderson (1955), или Lindman (1974).

Однородность дисперсии

Предположения. Предполагается, что дисперсии разных групп плана одинаковы. Это предположение называется предположением об однородности дисперсии. Вспомним, что в начале этого раздела, описывая вычисление суммы квадратов ошибок, мы производили суммирование внутри каждой группы. Если дисперсии в двух группах отличаются друг от друга, то сложение их не очень естественно и не дает оценки общей внутригрупповой дисперсии (так как в этом случае общей дисперсии вообще не существует). Модуль Дисперсионный анализ - ANOVA /MANOVA содержит большой набор статистических критериев обнаружения отклонения от предположений однородности дисперсии.

Эффекты нарушения. Линдман (Lindman 1974, стр. 33) показывает, что F критерий вполне устойчив относительно нарушения предположений однородности дисперсии (неоднородность дисперсии, см. также Box, 1954a, 1954b; Hsu, 1938).

Специальный случай: коррелированность средних и дисперсий. Бывают случаи, когда F статистика может вводить в заблуждение. Это бывает, когда в ячейках плана средние значения коррелированы с дисперсией. Модуль Дисперсионный анализ позволяет строить диаграммы рассеяния дисперсии или стандартного отклонения относительно средних для обнаружения такой корреляции. Причина, по которой такая корреляция опасна, состоит в следующем. Представим себе, что имеется 8 ячеек в плане, 7 из которых имеют почти одинаковое среднее, а в одной ячейке среднее намного больше остальных. Тогда F критерий может обнаружить статистически значимый эффект. Но предположим, что в ячейке с большим средним значением и дисперсия значительно больше остальных, т.е. среднее значение и дисперсия в ячейках зависимы (чем больше среднее, тем больше дисперсия). В этом случае большое среднее значение ненадежно, так как оно может быть вызвано большой дисперсией данных. Однако F статистика, основанная на объединенной дисперсии внутри ячеек, будет фиксировать большое среднее, хотя критерии, основанные на дисперсии в каждой ячейке, не все различия в средних будут считать значимыми.

Такой характер данных (большое среднее и большая дисперсия) - часто встречается, когда имеются резко выделяющиеся наблюдения. Одно или два резко выделяющихся наблюдений сильно смещают среднее значение и очень увеличивают дисперсию.

Однородность дисперсии и ковариаций

Предположения. В многомерных планах, с многомерными зависимыми измерениями, также применяются предположение об однородности дисперсии, описанные ранее. Однако так как существуют многомерные зависимые переменные, то требуется так же чтобы их взаимные корреляции (ковариации) были однородны по всем ячейкам плана. Модуль Дисперсионный анализ предлагает разные способы проверки этих предположений.

Эффекты нарушения . Многомерный аналог F - критерия - λ-критерий Уилкса. Не так много известно об устойчивости (робастности) λ-критерия Уилкса относительно нарушения указанных выше предположений. Тем не менее, так как интерпретация результатов модуля Дисперсионный анализ основывается обычно на значимости одномерных эффектов (после установления значимости общего критерия), обсуждение робастности касается, в основном, одномерного дисперсионного анализа. Поэтому должна быть внимательно исследована значимость одномерных эффектов.

Специальный случай: ковариационный анализ. Особенно серьезные нарушения однородности дисперсии/ковариаций могут происходить, когда в план включаются ковариаты. В частности, если корреляция между ковариатами и зависимыми измерениями различна в разных ячейках плана, может последовать неверное истолкование результатов. Следует помнить, что в ковариационном анализе, в сущности, проводится регрессионный анализ внутри каждой ячейки для того, чтобы выделить ту часть дисперсии, которая соответствует ковариате. Предположение об однородности дисперсии/ковариации предполагает, что этот регрессионный анализ проводится при следующем ограничении: все регрессионные уравнения (наклоны) для всех ячеек одинаковы. Если это не предполагается, то могут появиться большие ошибки. Модуль Дисперсионный анализ имеет несколько специальных критериев для проверки этого предположения. Можно посоветовать использовать эти критерии, для того, чтобы убедиться, что регрессионные уравнения для различных ячеек примерно одинаковы.

Сферичность и сложная симметрия: причины использования многомерного подхода к повторным измерениям в дисперсионном анализе

В планах, содержащих факторы повторных измерений с более чем двумя уровнями, применение одномерного дисперсионного анализа требует дополнительных предположений: предположения о сложной симметрии и предположения о сферичности. Эти предположения редко выполняются (см. ниже). Поэтому в последние годы многомерный дисперсионный анализ завоевал популярность в таких планах (оба подхода совмещены в модуле Дисперсионный анализ ).

Предположение о сложной симметрии Предположение о сложной симметрии состоит в том, что дисперсии (общие внутригрупповые) и ковариации (по группам) для различных повторных измерений однородны (одинаковы). Это достаточное условие для того, чтобы одномерный F критерий для повторных измерений был обоснованным (т.е. выданные F-значения в среднем соответствовали F-распределению). Однако в данном случае это условие не является необходимым.

Предположение о сферичности. Предположение о сферичности является необходимым и достаточным условием того, чтобы F-критерий был обоснованным. Оно состоит в том, что внутри групп все наблюдения независимы и одинаково распределены. Природа этих предположений, а также влияние их нарушений обычно не очень хорошо описаны в книгах по дисперсионному анализу - эта будет описано в следующих параграфах. Там же будет показано, что результаты одномерного подхода могут отличаться от результатов многомерного подхода, и будет объяснено, что это означает.

Необходимость независимости гипотез. Общий способ анализа данных в дисперсионном анализе – это подгонка модели . Если относительно модели, соответствующей данным, имеются некоторые априорные гипотезы, то дисперсия разбивается для проверки этих гипотез (критерии главных эффектов, взаимодействий). С точки зрения вычислений, этот подход генерирует некоторое множество контрастов (множество сравнений средних в плане). Однако если контрасты не независимы друг от друга, разбиение дисперсий становится бессодержательным. Например, если два контраста A и B тождественны и выделяется соответствующая им часть из дисперсии, то одна и та же часть выделяется дважды. Например, глупо и бессмысленно выделять две гипотезы: “среднее в ячейке 1 выше среднего в ячейке 2” и “среднее в ячейке 1 выше среднего в ячейке 2”. Итак, гипотезы должны быть независимы или ортогональны.

Независимые гипотезы при повторных измерениях. Общий алгоритм, реализованный в модуле Дисперсионный анализ , будет пытаться для каждого эффекта генерировать независимые (ортогональные) контрасты. Для фактора повторных измерений эти контрасты задают множество гипотез относительно разностей между уровнями рассматриваемого фактора. Однако если эти разности коррелированы внутри групп, то результирующие контрасты не являются больше независимыми. Например, в обучении, где обучающиеся измеряются три раза за один семестр, может случиться, что изменения между 1 и 2 измерением отрицательно коррелируют с изменением между 2 и 3 измерениями субъектов. Те, кто большую часть материала освоил между 1 и 2 измерениями, осваивают меньшую часть в течение того времени, которое прошло между 2 и 3 измерением. В действительности, для большинства случаев, где дисперсионный анализ используются при повторных измерениях, можно предположить, что изменения по уровням коррелированы по субъектам. Однако когда это случается, предположение о сложной симметрии и предположения о сферичности не выполняются и независимые контрасты не могут быть вычислены.

Влияние нарушений и способы их исправления. Когда предположения о сложной симметрии или о сферичности не выполняются, дисперсионный анализ может выдать ошибочные результаты. До того, как были достаточно разработаны многомерные процедуры, было предложено несколько предположений для компенсации нарушений этих предположений. (см., например, работы Greenhouse & Geisser, 1959 и Huynh & Feldt, 1970). Эти методы до сих пор широко используются (поэтому они представлены в модуле Дисперсионный анализ ).

Подход многомерного дисперсионного анализа к повторным измерениям. В целом проблемы сложной симметрии и сферичности относятся к тому факту, что множества контрастов, включенных в исследование эффектов факторов повторных измерений (с числом уровней большим, чем 2) не независимы друг от друга. Однако им не обязательно быть независимыми, если используется многомерный критерий для одновременной проверки статистического значимости двух или более контрастов фактора повторных измерений. Это является причиной того, что методы многомерного дисперсионного анализа стали чаще использоваться для проверки значимости факторов одномерных повторных измерений с более чем 2 уровнями. Этот подход широко распространен, так как он, в общем случае, не требует предположения о сложной симметрии и предположения о сферичности.

Случаи, в которых подходмногомерного дисперсионного анализа не может быть использован. Существуют примеры (планы), когда подход многомерного дисперсионного анализа не может быть применен. Обычно это случаи, когда имеется небольшое количество субъектов в плане и много уровней в факторе повторных измерений. Тогда для проведения многомерного анализа может быть слишком мало наблюдений. Например, если имеется 12 субъектов, p = 4 фактора повторных измерений, и каждый фактор имеет k = 3 уровней. Тогда взаимодействие 4-х факторов будет “расходовать”(k -1)P = 2 4 = 16 степеней свободы. Однако имеется лишь 12 субъектов, следовательно, в этом примере многомерный тест не может быть проведен. Модуль Дисперсионный анализ самостоятельно обнаружит эти наблюдения и вычислит только одномерные критерии.

Различия в одномерных и многомерных результатах. Если исследование включает большое количество повторных измерений, могут возникнуть случаи, когда одномерный подход дисперсионного анализа к повторным измерениям дает результаты, сильно отличающиеся от тех, которые были получены при многомерном подходе. Это означает, что разности между уровнями соответствующих повторных измерений коррелированы по субъектам. Иногда этот факт представляет некоторый самостоятельный интерес.

Многомерный дисперсионный анализ и структурное моделирование уравнений

В последние годы моделирование структурных уравнений стало популярным, как альтернатива многомерному анализу дисперсии (см. например, Bagozzi and Yi, 1989; Bagozzi, Yi, and Singh, 1991; Cole, Maxwell, Arvey, and Salas, 1993). Этот подход позволяет проверять гипотезы не только о средних в разных группах, но так же и о корреляционных матрицах зависимых переменных. Например, можно ослабить предположения об однородности дисперсии и ковариаций и явно включить в модель для каждой группы дисперсии и ковариации ошибки. Модуль STATISTICA Моделирование структурными уравнениями (SEPATH ) (см. том III) позволяет проводить такой анализ.

В практической деятельности врачей при проведении медико-биологических, социологических и экспериментальных исследований возникает необходимость установить влияние факторов на результаты изучения состояния здоровья населения, при оценке профессиональной деятельности, эффективности нововведений.

Существует ряд статистических методов, позволяющих определить силу, направление, закономерности влияния факторов на результат в генеральной или выборочной совокупностях (расчет критерия I, корреляционный анализ, регрессия, Χ 2 - (критерий согласия Пирсона и др.). Дисперсионный анализ был разработан и предложен английским ученым, математиком и генетиком Рональдом Фишером в 20-х годах XX века.

Дисперсионный анализ чаще используют в научно-практических исследованиях общественного здоровья и здравоохранения для изучения влияния одного или нескольких факторов на результативный признак. Он основан на принципе "отражения разнообразий значений факторного(ых) на разнообразии значений результативного признака" и устанавливает силу влияния фактора(ов) в выборочных совокупностях.

Сущность метода дисперсионного анализа заключается в измерении отдельных дисперсий (общая, факториальная, остаточная), и дальнейшем определении силы (доли) влияния изучаемых факторов (оценки роли каждого из факторов, либо их совместного влияния) на результативный(е) признак(и).

Дисперсионный анализ - это статистический метод оценки связи между факторными и результативным признаками в различных группах, отобранный случайным образом, основанный на определении различий (разнообразия) значений признаков. В основе дисперсионного анализа лежит анализ отклонений всех единиц исследуемой совокупности от среднего арифметического. В качестве меры отклонений берется дисперсия (В)- средний квадрат отклонений. Отклонения, вызываемые воздействием факторного признака (фактора) сравниваются с величиной отклонений, вызываемых случайными обстоятельствами. Если отклонения, вызываемые факторным признаком, более существенны, чем случайные отклонения, то считается, что фактор оказывает существенное влияние на результативный признак.

Для того, чтобы вычислить дисперсию значения отклонений каждой варианты (каждого зарегистрированного числового значения признака) от среднего арифметического возводят в квадрат. Тем самым избавляются от отрицательных знаков. Затем эти отклонения (разности) суммируют и делят на число наблюдений, т.е. усредняют отклонения. Таким образом, получают значения дисперсий.

Важным методическим значением для применения дисперсионного анализа является правильное формирование выборки. В зависимости от поставленной цели и задач выборочные группы могут формироваться случайным образом независимо друг от друга (контрольная и экспериментальная группы для изучения некоторого показателя, например, влияние высокого артериального давления на развитие инсульта). Такие выборки называются независимыми.

Нередко результаты воздействия факторов исследуются у одной и той же выборочной группы (например, у одних и тех же пациентов) до и после воздействия (лечение, профилактика, реабилитационные мероприятия), такие выборки называются зависимыми.

Дисперсионный анализ, в котором проверяется влияние одного фактора, называется однофакторным (одномерный анализ). При изучении влияния более чем одного фактора используют многофакторный дисперсионный анализ (многомерный анализ).

Факторные признаки - это те признаки, которые влияют на изучаемое явление.
Результативные признаки - это те признаки, которые изменяются под влиянием факторных признаков.

Для проведения дисперсионного анализа могут использоваться как качественные (пол, профессия), так и количественные признаки (число инъекций, больных в палате, число койко-дней).

Методы дисперсионного анализа:

1. Метод по Фишеру (Fisher) - критерий F (значения F см. в приложении N 1);
   Метод применяется в однофакторном дисперсионном анализе, когда совокупная дисперсия всех наблюдаемых значений раскладывается на дисперсию внутри отдельных групп и дисперсию между группами.
2. Метод "общей линейной модели".
   В его основе лежит корреляционный или регрессионный анализ, применяемый в многофакторном анализе.

Обычно в медико-биологических исследованиях используются только однофакторные, максимум двухфакторные дисперсионные комплексы. Многофакторные комплексы можно исследовать, последовательно анализируя одно- или двухфакторные комплексы, выделяемые из всей наблюдаемой совокупности.

Условия применения дисперсионного анализа:

1. Задачей исследования является определение силы влияния одного (до 3) факторов на результат или определение силы совместного влияния различных факторов (пол и возраст, физическая активность и питание и т.д.).
2. Изучаемые факторы должны быть независимые (несвязанные) между собой. Например, нельзя изучать совместное влияние стажа работы и возраста, роста и веса детей и т.д. на заболеваемость населения.
3. Подбор групп для исследования проводится рандомизированно (случайный отбор). Организация дисперсионного комплекса с выполнением принципа случайности отбора вариантов называется рандомизацией (перев. с англ. - random), т.е. выбранные наугад.
4. Можно применять как количественные, так и качественные (атрибутивные) признаки.

При проведении однофакторного дисперсионного анализа рекомендуется (необходимое условие применения):

1. Нормальность распределения анализируемых групп или соответствие выборочных групп генеральным совокупностям с нормальным распределением.
2. Независимость (не связанность) распределения наблюдений в группах.
3. Наличие частоты (повторность) наблюдений.

Нормальность распределения определяется кривой Гаусса (Де Мавура), которую можно описать функцией у = f(х), так как она относится к числу законов распределения, используемых для приближенного описания явлений, которые носят случайный, вероятностный характер. Предмет медико-биологических исследований - явления вероятностного характера, нормальное распределение в таких исследованиях встречается весьма часто.

Принцип применения метода дисперсионного анализа

Сначала формулируется нулевая гипотеза, то есть предполагается, что исследуемые факторы не оказывают никакого влияния на значения результативного признака и полученные различия случайны.

Затем определяем, какова вероятность получить наблюдаемые (или более сильные) различия при условии справедливости нулевой гипотезы.

Если эта вероятность мала*, то мы отвергаем нулевую гипотезу и заключаем, что результаты исследования статистически значимы. Это еще не означает, что доказано действие именно изучаемых факторов (это вопрос, прежде всего, планирования исследования), но все же маловероятно, что результат обусловлен случайностью.
__________________________________
* Максимальную приемлемую вероятность отвергнуть верную нулевую гипотезу называют уровнем значимости и обозначают α = 0,05.

При выполнении всех условий применения дисперсионного анализа, разложение общей дисперсии математически выглядит следующим образом:

D oбщ. = D факт + D ост. ,

D oбщ. - общая дисперсия наблюдаемых значений (вариант), характеризуется разбросом вариант от общего среднего. Измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Общее разнообразие складывается из межгруппового и внутригруппового;

D факт - факторная (межгрупповая) дисперсия, характеризуется различием средних в каждой группе и зависит от влияния исследуемого фактора, по которому дифференцируется каждая группа. Например, в группах различных по этиологическому фактору клинического течения пневмонии средний уровень проведенного койко-дня неодинаков - наблюдается межгрупповое разнообразие.

D ост. - остаточная (внутригрупповая) дисперсия, которая характеризует рассеяние вариант внутри групп. Отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неуточненных факторов и не зависящую от признака - фактора, положенного в основание группировки. Вариация изучаемого признака зависит от силы влияния каких-то неучтенных случайных факторов, как от организованных (заданных исследователем), так и от случайных (неизвестных) факторов.

Поэтому общая вариация (дисперсия) слагается из вариации, вызванной организованными (заданными) факторами, называемыми факториальной вариацией и неорганизованными факторами, т.е. остаточной вариацией (случайной, неизвестной).

Классический дисперсионный анализ проводится по следующим этапам:

1. Построение дисперсионного комплекса.
2. Вычисление средних квадратов отклонений.
3. Вычисление дисперсии.
4. Сравнение факторной и остаточной дисперсий.
5. Оценка результатов с помощью теоретических значений распределения Фишера-Снедекора (приложение N 1).

АЛГОРИТМ ПРОВЕДЕНИЯ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА ПО УПРОЩЕННОМУ ВАРИАНТУ

Алгоритм проведения дисперсионного анализа по упрощенному способу позволяет получить те же результаты, но расчеты выполняются значительно проще:

I этап. Построение дисперсионного комплекса

Построение дисперсионного комплекса означает построение таблицы, в которой были бы четко разграничены факторы, результативный признак и подбор наблюдений (больных) в каждую группу.

Однофакторный комплекс состоит из нескольких градаций одного фактора (А). Градации - это выборки из разных генеральных совокупностей (А1, А2, АЗ).

Двухфакторный комплекс - состоит из нескольких градаций двух факторов в комбинации между собой. Этиологические факторы заболеваемостью пневмонией те же (А1, А2, АЗ) в сочетании с разными формами клинического течения пневмонии (Н1 - острое, Н2 - хроническое).

Результативный признак (количество койко-дней в среднем)	Этиологические факторы развития пневмоний
	А1		А2		А3
	Н1	Н2	Н1	Н2	Н1	Н2
М = 14 дней

II этап. Вычисление общей средней (М обш)

Вычисление суммы вариант по каждой градации факторов: Σ Vj = V 1 + V 2 + V 3

Вычисление общей суммы вариант (Σ V общ) по всем градациям факторного признака: Σ V общ = Σ Vj 1 + Σ Vj 2 + Σ Vj 3

Вычисление средней групповой (М гр.) факторного признака: М гр. = Σ Vj / N,
где N - сумма числа наблюдений по всем градациям факторного I признака (Σn по группам).

III этап. Расчет дисперсий:

При соблюдении всех условий применения дисперсионного анализа математическая формула выглядит следующим образом:

D oбщ. = D факт + D ост.

D oбщ. - общая дисперсия, характеризуется разбросом вариант (наблюдаемых значений) от общего среднего;
D факт. - факторная (межгрупповая) дисперсия, характеризует разброс групповых средних от общего среднего;
D ост. - остаточная (внутригрупповая) дисперсия, характеризует рассеяние вариант внутри групп.

1. Вычисление факториальной дисперсии (D факт.): D факт. = Σ h - H
2. Вычисление h проводится по формуле: h = (Σ Vj) / N
3. Вычисление Н проводится по формуле: H = (Σ V) 2 / N
4. Вычисление остаточной дисперсии: D ост. = (Σ V) 2 - Σ h
5. Вычисление общей дисперсии: D oбщ. = (Σ V) 2 - Σ H

IV этап. Расчет основного показателя силы влияния изучаемого фактора Показатель силы влияния (η 2) факторного признака на результат определяется долей факториальной дисперсии (D факт.) в общей дисперсии (D oбщ.), η 2 (эта) - показывает какую долю занимает влияние изучаемого фактора среди всех других факторов и определяется по формуле:

V этап. Определение достоверности результатов исследования методом Фишера проводят по формуле:

F - критерий Фишера;
F st. - табличное значение (см.приложение 1).
σ 2 факт, σ 2 ост. - факториальная и остаточная девиаты (от лат. de - от, via - дорога) - отклонение от средней линии, определяются по формулам:

r - число градаций факторного признака.

Сравнение критерия Фишера (F) со стандартным (табличным) F проводят по графам таблицы с учетом степеней свободы:

v 1 = n - 1
v 2 = N - 1

По горизонтали определяют v 1 по вертикали - v 2 , на их пересечении определяют табличное значение F, где верхнее табличное значение р ≥ 0,05, а нижнее соответствует р > 0,01, и сравнивают с вычисленным критерием F. Если значение вычисленного критерия F равно или больше табличного, то результаты достоверны и Н 0 не отвергается.

Условие задачи:

На предприятии Н. повысился уровень травматизма в связи с чем врач провел исследование отдельных факторов, среди которых изучался стаж работы работающих в цехах. Выборки сделаны на предприятии Н. из 4 цехов с близкими условиями и характером труда. Уровни травматизма рассчитаны на 100 работающих за прошлый год.

При исследовании фактора рабочего стажа получены следующие данные:

На основании данных проведённого исследования была выдвинута нулевая гипотеза (Н 0) о влиянии стажа работы на уровень травматизма работников предприятия А.

Задание
Подтвердите или опровергните нулевую гипотезу методом одно-факторного дисперсионного анализа:

1. определите силу влияния;
2. оцените достоверность влияния фактор.

Этапы применения дисперсионного анализа
для определения влияния фактора (стажа работы) на результат (уровень травматизма)

Вывод. В выборочном комплексе выявлено, что сила влияния стажа работы на уровень травматизма составляет 80% в общем числе других факторов. Для всех цехов завода можно с вероятностью 99,7% (13,3 > 8,7) утверждать, что стаж работы влияет на уровень травматизма.

Таким образом, нулевая гипотеза (Н 0) не отвергается и влияние стажа работы на уровень травматизма в цехах завода А считается доказанным.

Значение F (критерий Фишера) стандартного при р ≥ 0,05 (верхнее значение) при р ≥ 0,01 (нижнее значение)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
6	6,0 13,4	5,1 10,9	4,8 9,8	4,5 9,2	4,4 8,8	4,3 8,5	4,2 8,3	4,1 8,1	4,1 8,0	4,1 7,9	4,0 7,8
7	5,6 12,3	4,7 9,6	4,4 8,5	4,1 7,9	4,0 7,5	3,9 7,2	3,8 7,0	3,7 6,8	3,7 6,7	3,6 6,6	3,6 6,5
8	5,3 11,3	4,6 8,7	4,1 7,6	3,8 7,0	3,7 6,6	3,6 6,4	3,5 6,2	3,4 6,0	3,4 5,9	3,3 5,8	3,1 5,7
9	5,1 10,6	4,3 8,0	3,6 7,0	3,6 6,4	3,5 6,1	3,4 5,8	3,3 5,6	3,2 5,5	3,2 5,4	3,1 5,3	3,1 5,2
10	5,0 10,0	4,1 7,9	3,7 6,6	3,5 6,0	3,3 5,6	3,2 5,4	3,1 5,2	3,1 5,1	3,0 5,0	2,9 4,5	2,9 4,8
11	4,8 9,7	4,0 7,2	3,6 6,2	3,6 5,7	3,2 5,3	3,1 5,1	3,0 4,9	3,0 4,7	2,9 4,6	2,9 4,5	2,8 4,5
12	4,8 9,3	3,9 6,9	3,5 6,0	3,3 5,4	3,1 5,1	3,0 4,7	2,9 4,7	2,9 4,5	2,8 4,4	2,8 4,3	2,7 4,2
13	4,7 9,1	3,8 6,7	3,4 5,7	3,2 5,2	3,0 4,9	2,9 4,6	2,8 4,4	2,8 4,3	2,7 4,2	2,7 4,1	2,6 4,0
14	4,6 8,9	3,7 6,5	3,3 5,6	3,1 5,0	3,0 4,7	2,9 4,5	2,8 4,3	2,7 4,1	2,7 4,0	2,6 3,9	2,6 3,9
15	4,5 8,7	3,7 6,4	3,3 5,4	3,1 4,9	2,9 4,6	2,8 4,3	2,7 4,1	2,6 4,0	2,6 3,9	2,5 3,8	2,5 3,7
16	4,5 8,5	3,6 6,2	3,2 5,3	3,0 4,8	2,9 4,4	2,7 4,2	2,7 4,0	2,6 3,9	2,5 3,8	2,5 3,7	2,5 3,6
17	4,5 8,4	3,6 6,1	3,2 5,2	3,0 4,7	2,8 4,3	2,7 4,1	2,6 3,9	2,6 3,8	2,5 3,8	2,5 3,6	2,4 3,5
18	4,4 8,3	3,5 6,0	3,2 5,1	2,9 4,6	2,8 4,2	2,7 4,0	2,6 3,8	2,5 3,7	2,7 3,6	2,4 3,6	3,4 3,5
19	4,4 8,2	3,5 5,9	3,1 5,0	2,9 4,5	2,7 4,2	2,6 3,9	2,5 3,8	2,5 3,6	2,4 3,5	2,4 3,4	2,3 3,4
20	4,3 8,1	3,5 5,8	3,1 4,9	2,9 4,4	2,7 4,1	2,6 3,9	2,5 3,7	2,4 3,6	2,4 3,4	2,3 3,4	2,3 3,3

1. Власов В.В. Эпидемиология. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. 464 с.
2. Архипова ГЛ., Лаврова И.Г., Трошина И.М. Некоторые современные методы статистического анализа в медицине. - М.: Метроснаб, 1971. - 75 с.
3. Зайцев В.М., Лифляндский В.Г., Маринкин В.И. Прикладная медицинская статистика. - СПб.: ООО "Издательство ФОЛИАНТ", 2003. - 432 с.
4. Платонов А.Е. Статистический анализ в медицине и биологии: задачи, терминология, логика, компьютерные методы. - М.: Издательство РАМН, 2000. - 52 с.
5. Плохинский Н.А. Биометрия. - Издательство Сибирского отделения АН СССР Новосибирск. - 1961. - 364 с.

Похожие статьи