В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них.
1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.
Решим уравнение
х 2 + 10х - 24 = 0 .
Разложим левую часть на множители:
х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0 .
2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.
Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 .
Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:
х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как
х 2 + 2 х 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х 2 + 6х - 7 = 0 ,
прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:
х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.
Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.
3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.
Умножим обе части уравнения
ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0
на 4а и последовательно имеем:
4а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0,
((2ах) 2 + 2ах b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
Примеры .
а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0, два разных корня;
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при
b 2 - 4 ac >0 , уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.
б) Решим уравнение: 4х 2 - 4х + 1 = 0,
а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, один корень;
Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4 ac = 0 , то уравнение
ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень,
в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,
а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.
Данное уравнение корней не имеет.
Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4 ac < 0 ,
уравнение ах 2 + b х + с = 0 не имеет корней.
Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.
4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х 2 + px + c = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид
x 1 x 2 = q ,x 1 + x 2 = - p
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0 , то оба корня отрицательны, если р < 0 , то оба корня положительны.
Например,
x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 иx 2 = 1, так какq = 2 > 0 иp = - 3 < 0;
x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 иx 2 = - 1, так какq = 7 > 0 иp = 8 > 0.
б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .
Например,
x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 иx 2 = 1, так какq = - 5 < 0 иp = 4 > 0;
x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 иx 2 = - 1, так какq = - 9 < 0 иp = - 8 < 0.
5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».
Рассмотрим квадратное уравнение
ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
а 2 х 2 + а b х + ас = 0.
Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению
у 2 + by + ас = 0,
равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.
Окончательно получаем
х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Пример.
Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
у 2 – 11у + 30 = 0.
Согласно теореме Виета
у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.
Ответ: 2,5; 3.
6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
А. Пусть дано квадратное уравнение
ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.
1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1,
х 2 = с/а.
Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение
x 2 + b / a x + c / a = 0.
Согласно теореме Виетаx 1 + x 2 = - b / a ,
x 1 x 2 = 1 c / a .
По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,
x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a,x 1 x 2 = - 1 (- c/a),
т.е. х 1 = -1 и х 2 = c / a , что м требовалось доказать.
Примеры.
1) Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то
х 1 = 1, х 2 = c / a = -208/345.
Ответ: 1; -208/345.
2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то
х 1 = 1, х 2 = c / a = 115/132.
Ответ: 1; 115/132.
Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней
Пример.
Решим уравнение 3х2 - 14х + 16 = 0 .
Решение . Имеем: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7 ;
D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;
На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.
Уравнение и его корни
Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями . Решить уравнение , значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения .
Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.
При решении уравнений используются следующие свойства:
- если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.
- если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, то получится уравнение равносильное данному.
Пример №1 Какие из чисел: -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения:
Чтобы решить данное задание необходимо просто поочередно подставить вместо переменной x каждое из чисел и выделить те числа, при которых равенство считается верным.
При «х= -2»:
\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)
\(4=4 \) - равенство верное, значит (-2) - корень нашего уравнения
При «х= -1»
\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)
\(1=7 \) - равенство неверное, поэтому (-1) - не является корнем уравнения
\(0^2=10-3 \cdot 0 \)
\(0=10 \) - равенство неверное, поэтому 0 не является корнем уравнения
\(2^2=10-3 \cdot 2 \)
\(4=4 \) - равенство верное, значит 2 - корень нашего уравнения
\(3^2=10-3 \cdot 3 \)
\(9=1 \) - равенство неверное, поэтому 3 не является корнем уравнения
Ответ: из представленных чисел, корнями уравнения \(x^2=10-3x \) являются числа -2 и 2.
Линейное уравнение с одной переменной - это уравнения вида ax = b, где x - переменная, а a и b - некоторые числа.
Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!
Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x
Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:
4х + 28 = 3 - х
Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:
4х + х = 3 - 28
Теперь вычитаем значение слева и справа:
Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):
Ответ х = -5
Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:
4(-5+7) = 3-(-5)
8 = 8 - уравнение решено верно!
Решить теперь что-нибудь по-сложнее:
Пример №3 Найти корни уравнения: \((y+4)-(y-4)=6y \)
В первую очередь, также избавимся от скобок:
Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:
Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:
Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:
\(y=\frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \)
Ответ: y = \(1\frac{1}{3} \)
Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.
Пример №4 \((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)
Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:
\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)
\(0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 \)
\(0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 \)
\(x=\frac{7,8}{-5,2}=\frac{3}{-2} =-1,5 \)
Ответ: x = -1,5
Если что-то не понятно по ходу решения пишите в комментариях
Решение задач с помощью уравнений
Зная что такое уравнения и научившись их вычислять - вы также открываете себе доступ к решению множества задач, где для решения используются именно уравнения.
Не буду вдаваться в теорию, лучше показать все и сразу на примерах
Пример №5 В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того, как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине, а сколько в ящике?
В первую очередь нужно определить, что мы примем за «х», в данной задаче можно принять и ящики, и корзины, но я возьму яблоки в корзине.
Значит, пусть в корзине было x яблок, так как в ящике яблок было в два раза больше, то возьмем это за 2х. После того, как из корзины яблоки переложили в ящик в корзине яблок стало: х - 10, а значит, в ящике стало - (2х + 10) яблок.
Теперь можно составить уравнение:
5(х-10) - в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.
Приравняем первое значение и второе:
2x+10 = 5(x-10) и решаем:
2х + 10 = 5х - 50
2х - 5х = -50 - 10
х = -60/-3 = 20 (яблок) - в корзине
Теперь, зная сколько яблок было в корзине, найдем сколько яблок было в ящике - так как их было в два раза больше, то просто результат умножим на 2:
2*20 = 40 (яблок) - в ящике
Ответ: в ящике - 40 яблок, а в корзине - 20 яблок.
Я понимаю, что многие из вас, возможно, не до конца разобрались в решении задач, но уверяю к этой теме мы вернемся и еще не раз на наших уроках, а пока если у вас остались вопросы - задавайте их в комментариях.
Под конец еще несколько примеров на решения уравнений
Пример №6 \(2x - 0,7x = 0 \)
Пример №7 \(3p - 1 -(p+3) = 1 \)
Пример №8 \(6y-(y-1) = 4+5y \)
\(6y-y+1=4+5y \)
\(6y-y-5y=4-1 \)
\(0y=3 \) - корней нет, т.к. на ноль делить нельзя!
Всем спасибо за внимание. Если что-то непонятно спрашивайте в комментариях.
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.
Замена многочлена или. Здесь - многочлена степени, например, выражение - многочлен степени.
Допустим, у нас есть пример:
Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за? Правильно, .
Уравнение приобретает вид:
Производим обратную замену переменных:
Решим первое уравнение:
Решим второе уравнение:
… Что это означает? Правильно! Что решений не существует.
Таким образом, мы получили два ответа - ; .
Понял как применять метод замены переменной при многочлене? Потренируйся сделать подобное самостоятельно:
Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.
За нужно взять.
Мы получаем выражение:
Решая квадратное уравнение, мы получаем, что имеет два корня: и.
Решением первого квадратного уравнения являются числа и
Решением второго квадратного уравнения - числа и.
Ответ : ; ; ;
Подведем итоги
Метод замены переменной имеет основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:
1. Степенная замена, когда за мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.
2. Замена многочлена, когда за мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.
3. Дробно-рациональная замена, когда за мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.
Важные советы при введении новой переменной:
1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.
2. Уравнение относительно новой переменно нужно решать до конца и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.
3. При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.
Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.
Разберем 3 задачи
Ответы на 3 задачи
1. Пусть, тогда выражение приобретает вид.
Так как, то может быть как положительным, так и отрицательным.
Ответ:
2. Пусть, тогда выражение приобретает вид.
решения нет, так как.
Ответ:
3. Группировкой получаем:
Пусть, тогда выражение приобретает вид
.
Ответ:
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ.
Замена переменных - это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.
Перечислю основные типы замен.
Степенная замена
Степенная замена.
Например, с помощью замены биквадратное уравнение приводится к квадратному: .
В неравенствах все аналогично.
Например, в неравенстве сделаем замену, и получим квадратное неравенство: .
Пример (реши самостоятельно):
Решение:
Это дробно-рациональное уравнение (повтори ), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение степени, поэтому применяется замена переменных.
Все станет намного проще после замены: . Тогда:
Теперь делаем обратную замену:
Ответ: ; .
Замена многочлена
Замена многочлена или.
Здесь − многочлен степени, т.е. выражение вида
(например, выражение - многочлен степени, то есть).
Чаще всего используется замена квадратного трехчлена: или.
Пример:
Решите уравнение.
Решение:
И опять используется замена переменных.
Тогда уравнение примет вид:
Корни этого квадратного уравнения: и.
Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:
Значит, это уравнение корней не имеет.
Корни этого уравнения: и.
Ответ. .
Дробно-рациональная замена
Дробно-рациональная замена.
и − многочлены степеней и соответственно.
Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида
обычно используется замена.
Сейчас покажу, как это работает.
Легко проверить, что не является корнем этого уравнения: ведь если подставить в уравнение, получим, что противоречит условию.
Разделим уравнение на:
Перегруппируем:
Теперь делаем замену: .
Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:
Отсюда следует, что.
Вернемся к нашему уравнению:
Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.
Пример:
Решите уравнение: .
Решение:
При равенство не выполняется, поэтому. Разделим уравнение на:
Уравнение примет вид:
Его корни:
Произведем обратную замену:
Решим полученные уравнения:
Ответ: ; .
Еще пример:
Решите неравенство.
Решение:
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на:
Теперь очевидна замена переменной: .
Тогда неравенство примет вид:
Используем метод интервалов для нахождения y:
при всех, так как
при всех, так как
Значит, неравенство равносильно следующему:
при всех, так как.
Значит, неравенство равносильно следующему: .
Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:
Ответ: .
Замена переменных - один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.
Напоследок дам тебе пару важных советов :
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ.
Замена переменных - метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.
Виды замены переменной:
- Степенная замена: за принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень - .
- Дробно-рациональная замена: за принимается какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную - , где и - многочлены степеней n и m, соответственно.
- Замена многочлена: за принимается целое выражение, содержащее неизвестное - или, где - многочлен степени.
После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.
Похожие статьи