Пусть теперь известна функция . На рис. 5.10
и
 векторы скорости движущейся точки в моменты t и t . Чтобы получить приращение вектора скорости
перенесем параллельно вектор
в точкуМ :

Средним ускорением точки за промежуток времени t называется отношение приращения вектора скорости
к промежутку времениt :

Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной радиус-вектора по времени

. (5.11)

Ускорение точки  это векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости по времени.

Построим годограф скорости (рис.5.11). Годографом скорости по определению является кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости откладывается из одной и той же точки.

Определение скорости точки при координатном способе задания её движения

Пусть движение точки задано координатным способом в декартовой системе координат

х = x (t ), y = y (t ), z = z (t )

Радиусвектор точки равен

Так как единичные векторы
постоянны, то по определению

. (5.12)

Обозначим проекции вектора скорости на оси Ох , Оу и Oz через V x , V y , V z

(5.13)

Сравнивая равенства (5.12) и (5.13) получим

(5.14)

В дальнейшем производную по времени будем обозначать точкой сверху, т.е.

Модуль скорости точки определяется формулой

. (5.15)

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:

Определение ускорения точки при координатном способе задания её движения

Вектор скорости в декартовой системе координат равен

По определению

Обозначим проекции вектора ускорения на оси Ох , Оу и Oz через а x , а y , а z соответственно и разложим вектор скорости по осям:

. (5.17)

Сравнивая равенства (5.16) и (5.17) получим

Модуль вектора ускорения точки вычисляется аналогично модулю вектора скорости точки:

, (5.19)

а направление вектора ускорения  направляющими косинусами:

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания её движения

При этом способе используются естественные оси с началом в текущем положении точки М на траектории (рис.5.12) и единичными векторами
Единичный векторнаправлен по касательной к траектории в сторону положитель ного отсчета дуги, единичный вектор направлен по главной нормали траектории в сторону ее вогнутости, единичный векторнаправлен по бинормали к траектории в точкеМ .

Орты илежат всоприкасающейся плоскости , орты ивнормальной плоскости , орты и в спрямляющей плоскости .

Полученный трехгранник называется естественным.

Пусть задан закон движения точки s = s (t ).

Радиус вектор точкиМ относительно какойлибо фиксированной точки будет сложной функцией времени
.

Из дифференциальной геометрии известны формулы СерреФрене, устанавливающие связи между единичными векторами естественных осей и векторфункцией кривой

где   радиус кривизны траектории.

Используя определение скорости и формулы СерреФрене, получим:

. (5.20)

Обозначая проекцию скорости на касательную и учитывая, что вектор скорости направлен по касательной, имеем

. (5.21)

Сравнивая равенства (5.20) и (5.21), получим формулы для определения вектора скорости по величине и направлению

Величина положительна, если точкаМ движется в положительном направлении отсчета дуги s и отрицательна в противоположном случае.

Используя определение ускорения и формулы СерреФрене, получим:

Обозначим проекцию ускорения точки на касательную, главную нормаль и бинормаль
соответственно.

Тогда ускорение равно

Из формул (5.23) и (5.24) следует, что вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и раскладывается по направлениям и:

(5.25)

Проекция ускорения на касательную
называетсякасательным или тангенциальным ускорением . Оно характеризует изменение величины скорости.

Проекция ускорения на главную нормаль
называетсянормальным ускорением . Оно характеризует изменение вектора скорости по направлению.

Модуль вектора ускорения равен
.

Если иодного знака, то движение точки будет ускоренным.

Если иразных знаков, то движение точки будет замедленным.

К примеру, автомобиль, который трогается с места, движется ускоренно, так как наращивает скорость движения. В точке начала движения скорость автомобиля равняется нулю. Начав движение, автомобиль разгоняется до некоторой скорости. При необходимости затормозить, автомобиль не сможет остановиться мгновенно, а за какое-то время. То есть скорость автомобиля будет стремиться к нулю - автомобиль начнет двигаться замедленно до тех пор, пока не остановится полностью. Но физика не имеет термина «замедление». Если тело двигается, уменьшая скорость, этот процесс тоже называется ускорением , но со знаком «-».

Средним ускорением называется отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Вычисляют среднее ускорение при помощи формулы:

где - это . Направление вектора ускорения такое же, как у направления изменения скорости Δ = - 0

где 0 является начальной скоростью. В момент времени t 1 (см. рис. ниже) у тела 0 . В момент времени t 2 тело имеет скорость . Исходя из правила вычитания векторов, определим вектор изменения скорости Δ = - 0 . Отсюда вычисляем ускорение:

В системе СИ единицей ускорения называется 1 метр в секунду за секунду (либо метр на секунду в квадрате):

Метр на секунду в квадрате - это ускорение прямолинейно движущейся точки, при котором за 1 с скорость этой точки растет на 1 м/с. Другими словами, ускорение определяет степень изменения скорости тела за 1 с. К примеру, если ускорение составляет 5 м/с 2 , значит, скорость тела ежесекундно растет на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени - это физическая величина , которая равна пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к 0. Другими словами - это ускорение, развиваемое телом за очень маленький отрезок времени:

Ускорение имеет такое же направление, как и изменение скорости Δ в крайне маленьких промежутках времени, за которые скорость изменяется. Вектор ускорения можно задать при помощи проекций на соответствующие оси координат в заданной системе отсчета (проекциями а Х, a Y , a Z).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела увеличивается по модулю, т.е. v 2 > v 1 , а вектор ускорения имеет такое же направление, как и у вектора скорости 2 .

Если скорость тела по модулю уменьшается (v 2 < v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем замедление движения (ускорение отрицательно, а < 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Если происходит движение по криволинейной траектории, то изменяется модуль и направление скорости. Значит, вектор ускорения изображают в виде 2х составляющих.

Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.

У вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. выше) направление такое же, как и у линейной скорости либо противоположно ему. Т.е. вектор тангенциального ускорения находится в одной оси с касательной окружности, являющейся траекторией движения тела.

. (5.11)

Определение скорости точки при координатном способе задания её движения

Пусть движение точки задано координатным способом в декартовой системе координат

х = x (t ), y = y (t ), z = z (t )

Радиусвектор точки равен

Так как единичные векторы
постоянны, то по определению

. (5.12)

Обозначим проекции вектора скорости на оси Ох , Оу и Oz через V x , V y , V z

(5.13)

Сравнивая равенства (5.12) и (5.13) получим

(5.14)

В дальнейшем производную по времени будем обозначать точкой сверху, т.е.

Модуль скорости точки определяется формулой

. (5.15)

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:

Определение ускорения точки при координатном способе задания её движения

Вектор скорости в декартовой системе координат равен

По определению

. (5.17)

Сравнивая равенства (5.16) и (5.17) получим

Модуль вектора ускорения точки вычисляется аналогично модулю вектора скорости точки:

, (5.19)

а направление вектора ускорения  направляющими косинусами:

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания её движения

Орты илежат всоприкасающейся плоскости , орты ивнормальной плоскости , орты и в спрямляющей плоскости .

Полученный трехгранник называется естественным.

Пусть задан закон движения точки s = s (t ).

Радиус вектор точкиМ относительно какойлибо фиксированной точки будет сложной функцией времени
.

где   радиус кривизны траектории.

Используя определение скорости и формулы СерреФрене, получим:

. (5.20)

Обозначая проекцию скорости на касательную и учитывая, что вектор скорости направлен по касательной, имеем

. (5.21)

Сравнивая равенства (5.20) и (5.21), получим формулы для определения вектора скорости по величине и направлению

Используя определение ускорения и формулы СерреФрене, получим:

Обозначим проекцию ускорения точки на касательную, главную нормаль и бинормаль
соответственно.

Тогда ускорение равно

(5.25)

Модуль вектора ускорения равен
.

Если иодного знака, то движение точки будет ускоренным.

Если иразных знаков, то движение точки будет замедленным.

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение. В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

V 2 > v 1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

V 2 < v 1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Введем единичный вектор τ, связанный с движущейся точкой A и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты (рис. 1.6). Очевидно, что τ - переменный вектор: он зависит от l. Вектор скорости v точки A направлен по касательной к траектории, поэтому его можно представить так

где v τ =dl/dt - проекция вектора v на направление вектора τ, причем v τ - величина алгебраическая. Кроме того, |v τ |=|v|=v.

Ускорение точки

Продифференцируем (1.22) по времени

(1.23)

Преобразуем последний член этого выражения

(1.24)

Определим приращение вектора τ на dl (рис. 1.7).

Как видно из рис. 1.7, угол , откуда , причем при .

Введя единичный вектор n нормали к траектории в точке 1, направленный к центру кривизны, запишем последнее равенство в векторном виде

Подставим (1.23) в (1.24) и полученное выражение в (1.22). В результате найдем

(1.26)

Здесь первое слагаемое называют тангенциальным a τ , второе - нормальным a n .

Таким образом, полное ускорение a точки может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорений.

Модуль полного ускорения точки

(1.27)

Направлено оно в сторону вогнутости траектории под углом α к вектору скорости, причем .

Если угол α острый, то tgα>0, следовательно, dv/dt>0, так как v 2 /R>0 всегда.

В данном случае величина скорости возрастает с течением времени - движение называют ускоренным (рис. 1.8).

В том случае, когда скорость с течением времени уменьшается по величине, движение называется замедленным (рис. 1.9).

Если же угол α=90°, tgα=∞, то есть dv/dt=0. В этом случае скорость с течением времени по величине не изменяется, а полное ускорение будет равно центростремительному

(1.28)

В частности, полное ускорение равномерного вращательного движения (R=const, v=const) есть центростремительное ускорение, по величине равное a n =v 2 /R и направленное все время к центру.

При прямолинейном движении, наоборот, полное ускорение тела равно тангенциальному. В данном случае a n =0, так как прямолинейную траекторию можно считать окружностью бесконечно большого радиуса, а при R→∞; v 2 /R=0; a n =0; a=a τ .