Сумма ряда

сайт позволяет найти сумму ряда онлайн числовой последовательности. Помимо нахождения суммы ряда онлайн числовой последовательности, сервер в режиме онлайн найдет частичную сумму ряда . Это полезно для аналитических выкладок, когда сумму ряда онлайн необходимо представить и найти как решение предела последовательности частичных сумм ряда . По сравнению с другими сайтами, сайт обладает неоспоримым преимуществом, так как позволяет найти сумму ряда онлайн не только числового, но и функционального ряда , что позволит определить область сходимости исходного ряда , применяя наиболее известные методы. Согласно теории рядов , необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Однако, это условие не является достаточным для определения сходимости числового ряда онлайн .. Для определения сходимости рядов онлайн найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда . Наиболее известные и часто применяемые из них - это признаки Д"Аламбера, Коши, Раабе, сравнения числовых рядов , а также интегральный признак сходимости числового ряда . Особое место среди числовых рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины числовых рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких числовых рядов необходимый признак сходимости ряда онлайн является одновременно и достаточным, то есть равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Существует множество различных сайтов, на которых представлены серверы для вычисления суммы ряда онлайн , а также разложения функций вряд в режиме онлайн в некоторой точке из области определения этой функции. Если разложить функцию в ряд онлайн не представляет на этих серверах особого труда, то вычислить сумму функционального ряда онлайн , каждым членом которого, в отличие от числового ряда , является не число, а функция, представляется практически невозможным в силу отсутствия необходимых технических ресурсов. Для www.сайт такой проблемы не существует.

С помощью данного онлайн калькулятора можно находить суммы рядов, определять их сходимость, абсолютную и условную. Ряд — это последовательность чисел (либо функций — для функциональных рядов), которые связаны между собой определенным законом. Сумма членов ряда это и есть сумма ряда. Для доказательства того, что такая сумма существует (то есть она не равна бесконечности) можно использовать принципы сходимости числовых рядов — принцип Коши, принцип Доламбера и т.д. После доказательства того, что ряд сходится вычислить сумму числового ряда уже необходимо индивидуально. Для геометрической прогрессии, например, сумма вычисляется по формуле:

Найти сумму ряда онлайн

На нашем сайте вы можете вычислить сумму ряда онлайн . Всегда быстро, надежно, бесплатно. Удобный интерфейс для ввода рядов, задание начального и конечного значения элементов. Возможность находить сумму функционального ряда, использование буквенных констант. На практике студенты имеют дело с числовыми рядами довольно часто. Они широко используются в приближенных вычислениях (вычисление интегралов не имеющих аналитического решения, выполнение математических действий, решение дифференциальных уравнений и т.д.). А про функциональные ряды наподобие ряда Тейлора или ряда Фурье и говорить не приходится. С помощью нашего калькулятора определить сумму ряда теперь не проблема.

Определение числовой последовательности

Определения
Численная последовательность Вызывается серия номеров.

свойство
Код числовой последовательности: (an), (bn), (xn) и т. Д.

(an) = {1, 2, 3, 4, …, n, …} = N. Здесь a1 = 1, a2 = 2, a100 = 100.

(bn) = {-18, 23, 11, -4, 35, …}.

Здесь b1 = -18, b5 = 35.

Серия компьютеров

правила
Окончательная последовательность — содержит ограниченное количество терминов.

Бесконечная последовательность — Он содержит бесконечное число членов.

Примеры решений
(an) = {1, 5, 8} — конечная последовательность (3 выражения).

(bn) = {10, -10. 10.-10, 10, …} — бесконечная последовательность.

правило
Восходящая последовательность — a + 1> a для каждого n N, m, e, каждый из следующих членов больше предыдущего.

каждый последующий термин меньше предыдущего.

Примеры решений
1) -12; 14,5; 18; 40; … является восходящей последовательностью;

2) 4; 2; -1; -7; -11; … последовательность уменьшается;

3) -3; 2; -1; -4; 5; 3; -9 — не растет и не уменьшается;

4) 6; 6; 6; 6; 6; — стационарная (постоянная) последовательность.

правило
! Увеличение и уменьшение строго однообразный последовательность.

Рассчитать количество онлайн-сериалов

Функция ограничения

Введите функцию и точку, для которой вы хотите вычислить предел

Сайт предлагает подробное решение для поиска ограничений по функциям.

Мы будем вычислять границы функций в точке.

Указанная функция f (x) . Мы вычисляем ваш предел по точке x0

абсолютный (x) Абсолютное значение х
(модуль х или | x | ) arccos (x) Функция — аркоксин из х arccosh (x) х arcsin (x) Отдельный сын х arcsinh (x) HyperX гиперболический х arctg (x) Функция — арктангенс из х arctgh (x) х е е число — около 2,7 exp (x) Функция — показатель х (как е ^х ) log (x) или ln (x) Естественный логарифм х
(Да log7 (x) log10 (x) = log (x) / log (10)) пи sin (x) Функция — Синус х cos (x) Функция — Конус от х sinh (x) х cosh (x) х sqrt (x) х sqr (x) или x ^ 2 Функция — квадрат х tg (x) Функция — Тангенс от х tgh (x) х cbrt (x) х почва (х) Функция округления х символ (x) Функция — символ х erf (x)

Реальные числа введите в форму 7,5 , не 7,5 2 * x — умножение 3 / x — разделение x ^ 3 — eksponentiacija x + 7 — Кроме того, x — 6 — обратный отсчет

Сумма ряда

Введите данные для расчета суммы партии

Найдем сумму многих чисел.

Найдите сумму серии в Интернете

Если это не найдено, система рассчитывает сумму партии с определенной точностью.

Серия сходимости

Этот калькулятор может определить, сходится ли партия, он также показывает, какие критерии сходимости работают, а какие нет.

Он также знает, как определить сходимость степенных рядов.

Она также написала серию, где вы можете увидеть степень сходимости ряда (или расхождения).

Правила ввода терминов и функций

Выражения могут состоять из функций (запись в алфавитном порядке):

абсолютный (x) Абсолютное значение х
(модуль х или | x | ) arccos (x) Функция — аркоксин из х arccosh (x) Арксозин является гиперболическим из х arcsin (x) Отдельный сын х arcsinh (x) HyperX гиперболический х arctg (x) Функция — арктангенс из х arctgh (x) Арктангенс является гиперболическим х е е число — около 2,7 exp (x) Функция — показатель х (как е ^х ) log (x) или ln (x) Естественный логарифм х
(Да log7 (x) , Необходимо ввести log (x) / log (7) (или, например, для log10 (x) = log (x) / log (10)) пи Число «Pi», которое составляет около 3,14 sin (x) Функция — Синус х cos (x) Функция — Конус от х sinh (x) Функция — Синус гиперболический х cosh (x) Функция — косинус-гиперболический х sqrt (x) Функция представляет собой квадратный корень из х sqr (x) или x ^ 2 Функция — квадрат х tg (x) Функция — Тангенс от х tgh (x) Функция — касательная гиперболическая от х cbrt (x) Функция представляет собой кубический корень х почва (х) Функция округления х на нижней стороне (пример почвы (4.5) == 4.0) символ (x) Функция — символ х erf (x) Функция ошибки (Лаплас или интеграл вероятности)

Следующие операции можно использовать в терминах:

Серия сходимости

Общий член ряда является рациональной частью. Фракцию разлагают на антитело с использованием метода неопределенных коэффициентов:

Выберите счетчик счетчиков счетчика для первой части:

Развернуть скобки:

Теперь мы находим, что находим неизвестные коэффициенты:

После продолжения общий член ряда записывается следующим образом:

Затем мы составим частичную сумму ряда:

Вместе мы получаем:

Для кадров мы страдаем одной секундой:

Заметим, что в скобках есть похожие выражения, которые взаимно уничтожают друг друга. Только два:

Сходимость ряда чисел

Забронированная сумма

Начисленные суммы представляют собой неоплаченные расходы, которые компания включила в отчет о прибылях и убытках.

Обычно это суммы, выплачиваемые через определенные промежутки времени, такие как заработная плата, заработная плата, государственные услуги и вычет подоходного налога с доходов. Например, если баланс находится в середине периода оплаты, платеж в эту дату отображается как сумма, начисленная.

Рассчитанная сумма для отпуска и длинных услуг на счетах потребителей не распространяется, но вычитается полностью на счет созданного резерва.

Предварительно выставленные суммы пенсии, которые пенсионер не требует в установленные сроки, уплачиваются за последние три года до подачи пенсионного требования.

Оплаченная страховая сумма должна распределяться среди сотрудников самозанятых бригад в соответствии с установленной тарифной ставкой и временем работы.

Расчетная сумма выручки облагается НДС.

Предварительно выставленные суммы пенсии, которые не требуются пенсионерам своевременно, выплачиваются в прошлом не более чем за 3 года до подачи пенсионного требования.

Предварительно выставленные суммы пенсии, которые пенсионер не требует в срок, уплачиваются за последние 3 года до подачи требования о выплате пенсии.

Суммы пенсий, которые не были получены в установленный срок по вине органа, назначающего или выплачивающего пенсию, выдается без ограничений в прошлом.

Рассчитанные суммы выплат за отпуск облагаются налогом так же, как и предоплаченные зарплаты.

Начисленные суммы пособий и средств для возмещения дополнительных затрат, которые не были получены процессором своевременно, оплачиваются просроченными, но не более одного года.

Начисленные суммы пособий и средств на возмещение дополнительных расходов, которые они не получили в результате ошибки органа, назначенного и оплаченного ими, выплачиваются на протяжении всего прошедшего периода.

Уплаченная пенсия — это сумма, которую пенсионер не выплачивает своевременно, в течение последнего времени, но не более 3 лет (пенсионеры, получающие пенсию в соответствии с Законом о пенсиях и дополнениях для членов колхозов, 15 июля 1964 года — не более 1 года), прежде чем обращаться за пенсией. Размер пенсии не получает своевременно органом, назначается или выплачивается пенсия, он выдается недавно без каких-либо ограничений.

Платные пенсионные суммы, которые не требуются пенсионерам своевременно, подлежат оплате в течение периода, не превышающего одного года до подачи заявки на получение пенсии.

Пусть задана последовательность чисел R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,…. Выражение R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… называют бесконечным рядом , или просто рядом , а числа R 1 , R 2 , R 3 ,… - членами ряда . При этом имеют в виду, что накопление суммы ряда начинается с первых его членов. Сумма S n = называется частичной суммой ряда : при n=1 – первой частичной суммой, при n=2 – второй частичной суммой и так далее.

Называется ряд сходящимся , если последовательность его частичных сумм имеет предел, и расходящимся – в противном случае. Понятие суммы ряда можно расширить , и тогда некоторые расходящиеся ряды также будут обладать суммами. Именно расширенное понимание суммы ряда будет использовано при разработке алгоритмов при следующей постановке задачи: накопление суммы следует выполнять до тех пор, пока очередной член ряда по абсолютной величине больше заданной величины ε.

В общем случае все или часть членов ряда могут быть заданы выражениями, зависящими от номера члена ряда и переменных. Например,

Тогда возникает вопрос, как минимизировать объём вычислений - вычислять значение очередного члена ряда по общей формуле члена ряда (в приведённом примере её представляет выражение под знаком суммы), по рекуррентной формуле (её вывод представлен ниже) или использовать рекуррентные формулы лишь для частей выражения члена ряда (см. ниже).

Вывод рекуррентной формулы для вычисления члена ряда

Пусть требуется найти ряд чисел R 1 , R 2 , R 3 ,…, последовательно вычисляя их по формулам

,
, …,

Для сокращения вычислений в данном случае удобно воспользоваться рекуррентной формулой вида
, позволяющей вычислить значение R N при N>1, зная значение предыдущего члена ряда R N-1 , где
- выражение, которое можно получить после упрощения отношения выражения в формуле (3.1) для N к выражению для N-1:

Таким образом, рекуррентная формула примет вид
.

Из сравнения общей формулы члена ряда (3.1) и рекуррентной (3.2) видно, что рекуррентная формула значительно упрощает вычисления. Применим ее для N=2, 3 и 4 зная, что
:

Способы вычисление значения члена ряда

Для вычисления значения члена ряда, в зависимости от его вида, может оказаться предпочтительнее использование либо общей формулы члена ряда, либо рекуррентной формулы, либо смешанного способа вычисления значения члена ряда , когда для одной или нескольких частей члена ряда используются рекуррентные формулы, и затем их значения подставляются в общую формулу члена ряда. Например, - для ряда проще вычислять значение члена ряда
по его общей формуле
(сравните с
- рекуррентной формулой); - для ряда
лучше воспользоваться рекуррентной формулой
; - для ряда следует применить смешанный способ, вычисляя A N =X 3N по рекуррентной формуле
, N=2, 3,… при A 1 =1 и B N =N! - также по рекуррентной формуле
, N=2, 3,… при B 1 =1, а затем – член ряда
- по общей формуле, которая примет вид
.

Пример 3.2.1 выполнения задания

Вычислить с точностью ε для 0 o  X  45 o

используя рекуррентную формулу для вычисления члена ряда:

точное значение функции cos X,

абсолютную и относительную ошибки приближенного значения.

program Project1;

{$APPTYPE CONSOLE}

K=Pi/180; //Коэффициент для перевода из градусов в радианы

Eps: Extended =1E-8;

X: Extended =15;

R, S, Y, D: Extended;

{$IFNDEF DBG} //Операторы, не используемые при отладке

Write("Введите требуемую точность: ");

Write("Введите значение угла в градусах: ");

D:=Sqr(K*X); //Перевод X в радианы и возведение в квадрат

//Задание начальных значений переменным

//Цикл для вычисления членов ряда и накопления их суммы.

//Выполнять, пока модуль очередного члена ряда больше Eps.

while Abs(R)>Eps do

if N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//Вывод результатов вычислений:

WriteLn(N:14," = Число шагов, за которое достигнута",

"заданная точность");

WriteLn(S:14:11," = Приближенное значение функции");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Точное значение функции");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Абсолютная ошибка");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = Относительная ошибка");

Поскольку точное значение суммы ряда удается вычислить далеко не всегда (такие задачи были нами рассмотрены), возникает проблема приближенного вычисления суммы ряда с заданной точностью.

Напомним, что -ый остаток рядаполучается из исходного рядаотбрасыванием первыхслагаемых:

Тогда, поскольку для сходящегося ряда
,

остаток сходящегося ряда равен разности между суммой ряда и -ой частичной суммой:

и для достаточно больших имеем приближенное равенство

Из определения остатка ряда следует, что абсолютная погрешность при замене точного неизвестного значения суммы его частичной суммойравна модулю остатка ряда:

Таким образом, если требуется вычислить сумму ряда с заданной точностью , то нужно оставить сумму такого числаслагаемых, чтобы для отброшенного остатка ряда выполнялось неравенство:

Метод приближенного вычисления суммы выбирается в зависимости от вида ряда:

если ряд положительный и может быть исследован на сходимость по интегральному признаку (удовлетворяет условиям соответствующей теоремы), то для оценки суммы используем формулу

;

если это ряд Лейбница, то применяем оценку:

В других задачах можно использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Задача №1. Сколько нужно взять слагаемых ряда
, чтобы получить его сумму с точностью 0,01.

Решение. Прежде всего отметим, что данный ряд сходится. Рассмотрим-ый остаток ряда, который и является погрешностью вычислений суммы ряда:

Оценим этот ряд с помощью бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Для этого заменим в каждом слагаемом множитель на, при этом каждое слагаемое увеличится:

После вынесения общего множителя за скобку, в скобке остался ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумму которого мы и вычислили по формуле

Заданная точность будет достигнута, если будет удовлетворять условию

Решим неравенство, учитывая, что - целое.

При
имеем

В силу монотонности функции
, неравенство
будет выполняться для всех
.

Следовательно, если вместо точного значения суммы мы возьмем первые пять (или более) слагаемых, то погрешность вычислений не превысит 0,01.

Ответ:
.

Задача №2. Оценить ошибку, получаемую при замене суммы ряда
суммой первых 100 слагаемых.

Решение. Заметим, что данный ряд является сходящимся и знакопеременным. Оценивать будем ряд
, состоящий из модулей исходного ряда, что сразу увеличивает погрешность вычислений. Кроме того, нам придется перейти (используя признак сравнения) к большему, более простому сходящемуся ряду:

Рассмотрим ряд . Поскольку этот ряд удовлетворяет условиям теоремы – интегрального признака сходимости, то для оценки погрешности вычисления суммы используем соответствующую формулу:

Вычислим несобственный интеграл:

погрешность вычислений можно оценить по формуле

по условию
, тогда.

Ответ:
.

Задача №3. Оценить ошибку, получаемую при замене суммы ряда
суммой первых 10 слагаемых.

Решение. Подчеркнем еще раз, что задача о приближенном вычислении суммы имеет смысл только для сходящегося ряда, поэтому, прежде всего отметим, что данный ряд сходится. Поскольку исследуемый ряд является знакопеременным со сложным правилом изменения знака, то оценивать придется, как и в предыдущем примере, ряд из модулей данного ряда:

Используя тот факт, что
при любом значении аргумента, имеем:

Оценим остаток ряда:

Мы получили ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой

его сумма равна:

Ответ:
.

Задача №4. Вычислить сумму ряда
с точностью 0,01.

Решение. Данный ряд является рядом Лейбница. Для оценки погрешности верна формула:

другими словами, погрешность вычислений меньше модуля первого отброшенного слагаемого. Подберем номер так, чтобы

При
имеем

Погрешность
, если в качестве значения суммы возьмем сумму первых четырех слагаемых:

Ответ:
.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МАТИ»  РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»

Числовые ряды

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Высшая математика»

Составители : Егорова Ю.Б.

Мамонов И.М.

Корниенко Л.И.

Москва 2005 введение

Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделения факультета № 14 специальностей 071000, 130200, 220200.

1. Основные понятия

Пусть u 1 , u 2 , u 3 , …, u n , …  бесконечная числовая последовательность. Выражение
называетсябесконечным числовым рядом , числа u 1 , u 2 , u 3 , …, u n  членами ряда;
называется общим членом ряда. Ряд часто записывают в сокращенном (свернутом) виде:

Сумму первых n членов числового ряда обозначают через и называютn -й частичной суммой ряда :

Ряд называется сходящимся , если его n -я частичная сумма при неограниченном возрастанииn стремится к конечному пределу, т.е. если
Числоназываютсуммой ряда .

Если же n -я частичная сумма ряда при
не стремится к конечному пределу, то ряд называютрасходящимся .

Пример 1. Найти сумму ряда
.

Решение. Имеем
. Так как:

Следовательно,

Так как
, то ряд сходится и его сумма равна
.

2. Основные теоремы о числовых рядах

Теорема 1. Если сходится ряд
то сходится и рядполучаемый из данного ряда отбрасыванием первых
членов (этот последний ряд называют
-м остатком исходного ряда). И наоборот, из сходимости
-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.

Теорема 2. Если сходится ряд
и суммой его является число, то сходится и ряд
причем сумма последнего ряда равна
.

Теорема 3. Если сходятся ряды

имеющие соответственно суммыS и Q, то сходится и ряд причем сумма последнего ряда равна
.

Теорема 4 (Необходимый признак сходимости ряда) . Если ряд
сходится, то
, т.е. при
предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.

Следствие 1. Если
, то ряд расходится.

Следствие 2. Если
, то определить сходимость или расходимость ряда с помощью необходимого признака сходимости нельзя. Ряд может как сходящимся, так и расходящимся.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Находим общий член ряда
. Так как:

т.е.
, то ряд расходится (не выполняется необходимое условие сходимости).

3. Признаки сходимости рядов с положительными членами

3.1. Признаки сравнения

Признаки сравнения основаны на сравнении сходимости заданного ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна. Для сравнения используются ниже перечисленные ряды.

Ряд
составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму

Ряд
составленный из членов возрастающей геометрической прогрессии, является расходящимся.

Ряд
является расходящимся.

Ряд
называется рядом Дирихле. При>1 ряд Дирихле сходится, при <1- расходится.

При =1 ряд
называется гармоническим. Гармонический ряд расходится.

Теорема. Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами:

(2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е.
(n = 1, 2, 3, …). Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Замечание. Этот признак остается в силе, если неравенствo
выполняется не при всех, а лишь начиная с некоторого номераn = N , т.е. для всех n  N .

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда
составленного из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Так как этот ряд сходится, то сходится и заданный ряд.

Теорема. Второй признак сравнения (предельная форма признака сравнения). Если существует конечный и отличный от нуля предел
, то оба рядаиодновременно сходятся или расходятся.