И.Н. Слинкина

Учебное пособие для студентов педагогических вузов

по специальности «Информатика»

Шадринск, 2003

Слинкина И.Н.

Исследование операций. Учебно-методическое пособие. – Шадринск: изд-во Шадринского государственного педагогического института, 2002. - 106 с.

Слинкина И.Н. – кандидат педагогических наук

В учебном пособии представлена теоретическая часть курса «Исследование операций». Оно предназначено для студентов очного и заочного отделений факультетов, реализующих специальность «Информатика».

© Шадринский государственный педагогический институт

© Слинкина И.Н., 2002

Вопросы к блокам по курсу «Исследование операций» 5

1.1. Предмет и задачи исследования операций 7

1.2. Основные понятия и принципы исследования операций 8

1.3. Математические модели операций 10

1.4. Понятие линейного программирования 12

1.5. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о наилучшем использовании ресурсов 13

1.6. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о выборе оптимальных технологий 15

1.7. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о смесях 16

1.8. Примеры экономических задач линейного программирования. Транспортная задача 17

1.9. Основные виды записи задач линейного программирования 19

1.10. Способы преобразования 21

1.11. Переход к канонической форме 22

1.12. Переход к симметричной форме записи 25

2.1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования 28

2.2. Решение задач линейного программирования графическим методом 29

2.3. Свойства решений задачи линейного программирования 34

2.4. Общая идея симплексного метода 35

2.5. Построение начального опорного плана при решении задач линейного программирования симплексным методом 36

2.6. Признак оптимальности опорного плана. Симплексные таблицы 40

2.7. Переход к нехудшему опорному плану. 44

2.8. Симплексные преобразования 46

2.9. Альтернативный оптимум (признак бесконечности множества опорных планов) 51

2.10. Признак неограниченности целевой функции 52

2.11. Понятие о вырождении. Монотонность и конечность симплексного метода. Зацикливание 53

2.12. Понятие двойственности для симметричных задач линейного программирования 54

3.1. Несимметричные двойственные задачи 57

3.2. Открытая и закрытая модели транспортной задачи 61

3.3. Построение начального опорного плана. Правило "Северо-западного угла" 63

3.4. Построение начального опорного плана. Правило минимального элемент 64

3.5. Построение начального опорного плана. Метод Фогеля 64

3.6. Метод потенциалов 65

3.7. Решение транспортных задач с ограничениями по пропускной способности 69

3.8. Примеры задач дискретного программирования. Задача о контейнерных перевозках. Задача о назначении 71

3.9. Сущность методов дискретной оптимизации 72

3.10. Задача выпуклого программирования 74

3.11. Метод множителей Лагранжа 75

3.12. Градиентные методы 77

4.1. Методы штрафных и барьерных функций 78

4.2. Динамическое программирование. Основные понятия. Сущность методов решения 79

4.3. Стохастическое программирование. Основные понятия 81

4.4. Матричные игры с нулевой суммой 83

4.5. Чистые и смешанные стратегии и их свойства 85

4.6. Свойства чистых и смешанных стратегий 88

4.7. Приведение матричной игры к ЗЛП 92

4.8. Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания 94

4.9. Потоки событий 96

4.10. Схема гибели и размножения 97

4.11. Формула Литтла 99

4.12. Простейшие системы массового обслуживания 101

Вопросы к блокам по курсу «Исследование операций»

Блок 1

1. Предмет и задачи исследования операций.

2. Основные понятия и принципы исследования операций.

3. Математические модели операций.

4. Понятие линейного программирования.

5. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача

6. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о выборе оптимальных технологий.

7. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о смесях.

8. Примеры экономических задач линейного программирования. Транспортная задача.

9. Основные виды записи задач линейного программирования.

10. Способы преобразования.

11. Переход к канонической форме.

12. Переход к симметричной форме записи.

Блок 2

1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

2. Решение задач линейного программирования графическим методом.

3. Свойства решений задачи линейного программирования.

4. Общая идея симплексного метода.

5. Построение начального опорного плана при решении задач линейного программирования симплексным методом.

6. Признак оптимальности опорного плана. Симплексные таблицы.

7. Переход к нехудшему опорному плану.

8. Симплексные преобразования.

9. Альтернативный оптимум (признак бесконечности множества опорных планов).

10. Признак неограниченности целевой функции.

11. Понятие о вырождении. Монотонность и конечность симплексного метода. Зацикливание.

12. Понятие двойственности для симметричных задач линейного программирования.

Блок 3

1. Несимметричные двойственные задачи.

2. Открытая и закрытая модели транспортной задачи.

3. Построение начального опорного плана. Правило "Северо-западного угла".

4. Построение начального опорного плана. Правило минимального элемент.

5. Построение начального опорного плана. Метод Фогеля.

6. Метод потенциалов.

7. Решение транспортных задач с ограничениями по пропускной способности.

8. Примеры задач дискретного программирования. Задача о контейнерных перевозках. Задача о назначении.

9. Сущность методов дискретной оптимизации.

10. Задача выпуклого программирования.

11. Метод множителей Лагранжа.

12. Градиентные методы.

Блок 4

1. Метод штрафных и барьерных функций.

2. Динамическое программирование. Основные понятия. Сущность методов решения.

3. Стохастическое программирование. Основные понятия.

4. Матричные игры с нулевой суммой.

5. Чистые и смешанные стратегии.

6. Свойства чистых и смешанных стратегий.

7. Приведение матричной игры к ЗЛП

8. Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания.

9. Потоки событий.

10. Схема гибели и размножения.

11. Формула Литтла.

12. Простейшие системы массового обслуживания.

Блок 1.

Предмет и задачи исследования операций

Современное состояние науки и техники, в частности, развитие компьютерных средств расчета и математического обоснования теорий позволило значительно упростить решение многих проблем, поставленных перед различными отраслями науки. Многие из проблем сводятся к решению вопроса об оптимизации производства, оптимальному управлению процессами.

Потребности практики вызвали к жизни специальные научные методы, которые удобно объединять под названием «исследование операций».

Определение: Под исследованием операций будем понимать применение математических, количественных методов для обоснование решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Пусть предпринимается какое-то мероприятие, направленное к достижению определенной цели. У лица (или группы лиц), организующего мероприятие, всегда имеется какая-то свобода выбора: оно может быть организовано тем или иным способом. Решение и есть какой-то выбор из ряда возможностей, имеющихся у организатора.

Необходимость принятия решений и проверки выдвинутой гипотезы решения математически подтверждают следующие примеры:

Задача 1. О наилучшем использовании ресурсов.

На предприятии выпускается несколько видов продукции. Для их изготовления используются некоторые ресурсы (в том числе человеческие, энергетические и т.д.). Необходимо рассчитать, каким образом спланировать работу предприятия, чтобы затраты ресурсов были минимальны, а прибыль – максимальной.

Задача 2. О смесях.

Необходимо подготовить смесь, обладающую определенными свойствами. Для этого можно использовать некоторые "продукты" (для расчета диет – продукты питания, для кормовых смесей – продукты питания для животных, для технических смесей – сплавы, жидкости технического назначения). задача заключается в выборе оптимального количества продуктов (по цене) для получения оптимального количества смеси.

Задача 3. Транспортная задача.

Существует сеть предприятий, выпускающих однотипную продукцию одного качества и сеть потребителей этой продукции. Потребители и поставщики связаны путями сообщений (автодороги, железнодорожные линии, авиационные линии). Определены тарифы перевозок. Необходимо рассчитать оптимальный план перевозок продукции, чтобы затраты при перевозке были минимальны, запросы всех потребителей удовлетворены, а у поставщиков весь товар вывезен.

В каждом из приведенных примеров речь идет о каком-то мероприятии, преследующем определенную цель. Заданы некоторые условия, характеризующие обстановку (в частности, средства, которыми можно распоряжаться). В рамках этих условий требуется принять такое решение, чтобы задуманное мероприятие было в некотором смысле более выгодным.

В соответствии с этими общими чертами вырабатываются и общие приемы решения подобных задач, в совокупности составляющие методологическую схему и аппарат исследования операций.

В настоящее время большое распространение принимают автоматизированные системы управления (АСУ), основанные на использовании компьютерной техники. Создание АСУ невозможно без предварительного обследования управляемого процесса методами математического моделирования. С ростом масштабов и сложности мероприятий математические методы обоснования решений приобретают все большую роль.

Основные понятия и принципы исследования операций

Определение: Операцией называется всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.

Операция есть всегда управляемое мероприятие, т.е. от расчетов зависит, каким способом выбрать параметры, характеризующие ее организацию. «Организация» здесь понимается в широком смысле слова, включая набор технических средств, применяемых в операции.

Определение: Всякий определенный выбор зависящий от решающих параметров называется решением.

Определение: Оптимальными называются решения, по тем или иным причинам предпочтительные перед другими.

Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Иногда в результате исследования удается указать одно-единственное строго определенное решение, гораздо чаще – выделить область практически равноценных оптимальных решений, в пределах которой может быть сделан конечный выбор.

Само принятие решений выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица, чаще – группы лиц, которым представляется право окончательного выбора и на которых возложена ответственность за этот выбор.

Определение: Параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения.

В качестве элементов решения могут фигурировать различные числа, векторы, функции, физические признаки и т.д. Для упрощения всю совокупность элементов решения будем обозначать х.

Кроме элементов решения в любой задачи исследования операций имеются еще и заданные условия, которые фиксированы в условии задачи и нарушены быть не могут. В частности, к таким условиям относятся средства (материальные, технические, людские), которыми можно распоряжаться, и иные ограничения, налагаемые на решение. В своей совокупности они образуют так называемое «множество возможных решений». Обозначим это множество Х, а тот факт, что решение х принадлежит этому множеству, будем записывать: хÎХ.

Чтобы сравнивать между собой по эффективности разные решения, нужно иметь какой-то количественный критерий, так называемый показатель эффективности (целевая функция). Этот показатель выбирается так, чтобы он отражал целевую направленность операции. Лучшим будет считаться то решение, которое в максимальной степени способствует достижению поставленной цели. Чтобы выбрать показатель эффективности Z, нужно прежде всего определить, к чему должно привести решение задачи. Выбирая решение, предпочтение отдается такому, которое обращает показатель эффективности Z в максимум или в минимум. Например, доход от операции хотелось бы обратить в максимум; если же показателем эффективности являются затраты, их желательно обратить в минимум.

Очень часто выполнение операции сопровождается действием случайных факторов: «капризов» природы, колебания спроса и предложения, отказы технических устройств и т.д. В таких случаях обычно в качестве показателя эффективности берется не сама величина, которую хотелось бы максимизировать (минимизировать), а среднее значение (математическое ожидание).

Задача выбора показателя эффективности решается для каждой проблемы индивидуально.

Задача 1. О наилучшем использовании ресурсов.

Задача операции – произвести максимальное количество товаров. Показатель эффективности Z – прибыль от продажи товаров при минимальных затратах на ресурсы (max Z).

Задача 2. О смесях.

Естественный показатель эффективности, подсказанный формулировкой задачи, - это цена необходимых для смеси продуктов при условии необходимости сохранения заданных свойств смеси(min Z).

Задача 3. Транспортная задача.

Задача операции – обеспечить снабжение товарами потребителей при минимальных расходах на перевозки. Показатель эффективности Z – суммарные расходы на перевозки товаров за единицу времени (min Z).

Исследование операций – наука, занимающаяся разработкой и практическим применением математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности (эффективного организационного управления) .

Общие черты исследования операций

В каждой задаче речь идет о каком-то мероприятии, преследующем определенную цель.

Заданы некоторые условия, характеризующие обстановку (в том числе средства, которыми мы можем распоряжаться).

В рамках этих условий требуется принять такое решение, чтобы задуманное мероприятие было в каком-то смысле наиболее выгодным.

Особенности исследования операций

Системный подход к анализу поставленной проблемы означает, что частная задача должна рассматриваться с точки зрения её влияния на критерий функционирования всей системы.

Наибольший эффект может быть достигнут только при непрерывном исследовании, обеспечивающем преемственность в переходе от одной задачи к другой, возникающей в ходе решения предыдущей.

Хотя цель исследования операций – найти оптимальное решение, но из-за сложности вычисления комбинаторных задач ограничиваются поиском «достаточно хорошего» решения.

Операционные исследования проводятся комплексно, по многим направлениям. Для проведения исследования создается операционные группы:

Основные понятия исследования операций

ОПЕРАЦИЯ – всякое управляемое (т.е. зависит от выбора параметров) мероприятие, объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.

РЕШЕНИЕ – всякий определенный выбор зависящих от нас параметров.

ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ – решения по тем или иным признакам предпочтительные перед другими.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ – предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

ЭЛЕМЕНТЫ РЕШЕНИЯ – параметры, совокупность которых образует решение.

ПОКАЗАТЕЛЬ ЭФФЕКТИВНОСТИ (ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ) –количественный критерий, позволяющий сравнивать между собой по эффективности разные решения и отражающий целевую направленность операции (W=>maxилиW=>min).

Лучшим считается то решение, которое в максимальной степени способствует достижению поставленной цели.

Понятие математической модели операции

Схематичное, упрощенное описание операции с помощью того или иного математического аппарата, отражающее важнейшие черты операции, все существенные факторы, от которых в основном зависит успех операции.

Прямые и обратные задачи исследования операций

ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ отвечают на вопрос, что будет, если в заданных условиях мы примем какое-то решение х Х, т.е. чему будет равен показатель эффективностиW(или ряд показателей).

Для решения такой задачи строится мат. модель, позволяющая выразить один или несколько показателей эффективности через заданные условия и элементы решения.

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ отвечают на вопрос, как выбрать решение х для того, чтобы показатель эффективности Wобратился в максимум (минимум).

Эти задачи сложнее. Они могут быть решены простым перебором решений прямых задач.

Но когда число вариантов решений велико применяются методы направленного перебора, в которых оптимальное решение находится путем выполнения последовательных «попыток» или приближений, из которых каждое приближает нас к искомому оптимальному.

Следует усвоить основные понятия и определения исследования операций.

Операция - любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Результат операции зависит от способа ее проведения, организации, иначе - от выбора некоторых параметров. Всякий определенный выбор параметров называется решением. Оптимальными считают те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других. Поэтому основной задачей исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Замечание 1

Следует обратить внимание на постановку проблемы: само принятие решений выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица или группы лиц, которые могут учитывать и другие соображения, отличные от математически обоснованных.

Замечание 2

Если в одних задачах исследования операций оптимальным является решение, при котором выбранный критерий эффективности принимает максимальное или минимальное значение, то в других задачах это вовсе не обязательно. Так, в задаче оптимальным можно считать, например, такое количество торговых точек и персонала в них, при котором среднее время обслуживания покупателей не превысит, например, 5 мин, а длина очереди в среднем в любой момент окажется не более 3 человек (1, стр. 10-11).

Эффективность производственно-коммерческой деятельности в значительной степени определяется качеством решений, повседневно принимаемым менеджерами разного уровня. В связи с этим большое значение приобретают задачи совершенствования процессов принятия решений, решить которые позволяет исследование операций. Термин «исследование операций» впервые начал использоваться в 1939-1940 гг. в военной области. К этому времени военная техника и ее управление принципиально усложнилось вследствие научно-технической революции. И поэтому к началу Второй мировой войны возникла острая необходимость проведения научных исследований в области эффективного использования новой военной техники, количественной оценки и оптимизации принимаемых командованием решений. В послевоенный период успехи новой научной дисциплины были востребованы в мирных областях: в промышленности, предпринимательской и коммерческой деятельности, в государственных учреждениях, в учебных заведениях.

Исследование операций – это методология применения математических количественных методов для обоснования решений задач во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Методы и модели исследования операций позволяют получить решения, наилучшим образом отвечающие целям организации.

Исследование операций - это наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного (или оптимального) управления организационными системами.

Основной постулат исследования операций состоит в следующем: оптимальным решением (управлением) является такой набор значений переменных, при котором достигается оптимальное (максимальное или минимальное) значение критерия эффективности (целевой функции) операции и соблюдаются заданные ограничения.

Предметом исследования операций являются задачи принятия оптимальных решений в системе с управлением на основе оценки эффективности ее функционирования. Характерными понятиями исследования операций являются: модель, изменяемые переменные, ограничения, целевая функция.

Предмет исследования операций в реальности - это системы организационного управления (организации), которые состоят из большого числа взаимодействующих между собой подразделений, причем интересы подразделений не всегда согласуются между собой и могут быть противоположными.

Целью исследования операций является количественное обоснование принимаемых решений по управлению организациями.

Решение, которое оказывается наиболее выгодным для всей организации, называется оптимальным, а решение, наиболее выгодное одному или нескольким подразделениям, будет субоптимальным.

В качестве примера типичной задачи организационного управления, где сталкиваются противоречивые интересы подразделений, рассмотрим задачу управления запасами предприятия.

Производственный отдел стремится выпускать как можно больше продукции при наименьших затратах. Поэтому он заинтересован в возможно более длительном и непрерывном производстве, т. е. в выпуске изделий большими партиями, ибо такое производство снижает затраты на переналадку оборудования, а следовательно и общие производственные затраты. Однако выпуск изделий большими партиями требует создания больших объемов запасов материалов, комплектующих изделий и т. д.

Отдел сбыта также заинтересован в больших запасах готовой продукции, чтобы удовлетворить любые запросы потребителя в любой момент времени. Заключая каждый контракт, отдел сбыта, стремясь продать как можно больше продукции, должен предлагать потребителю максимально широкую номенклатуру изделий. Вследствие этого между производственным отделом и отделом сбыта часто возникает конфликт по поводу номенклатуры изделий. При этом отдел сбыта настаивает на включении в план многих изделий, выпускаемых в небольших количествах даже тогда, когда они не приносят большой прибыли, а производственный отдел требует исключения таких изделий из номенклатуры продукции.

Финансовый отдел, стремясь минимизировать объем капитала, необходимого для функционирования предприятия, пытается уменьшить количество «связанных» оборотных средств. Поэтому он заинтересован в уменьшении запасов до минимума. Как видим, требования к размерам запасов у разных подразделений организации оказываются различными. Возникает вопрос, какая стратегия в отношении запасов будет наиболее благоприятной для всей организации. Это типичная задача организационного управления. Она связана с проблемой оптимизации функционирования системы в целом и затрагивает противоречивые интересы ее подразделений.

Основные особенности исследования операций:

1. Системный подход к анализу поставленной проблемы. Системный подход, или системный анализ, является основным методологическим принципом исследования операций, который состоит в следующем. Любая задача, какой бы частной она не казалась на первый взгляд, рассматривается с точки зрения ее влияния на критерий функционирования всей системы. Выше системный подход был проиллюстрирован на примере задачи управления запасами.

2. Для исследования операций характерно, что при решении каждой проблемы возникают все новые и новые задачи. Поэтому если сначала ставятся узкие, ограниченные цели, применение операционных методов не эффективно. Наибольший эффект может быть достигнут только при непрерывном исследовании, обеспечивающем преемственность в переходе от одной задачи к другой.

3. Одной из существенных особенностей исследования операций является стремление найти оптимальное решение поставленной задачи. Однако часто такое решение оказывается недостижимым из-за ограничений, накладываемых имеющимися в наличии ресурсами (денежные средства, машинное время) или уровнем современной науки. Например, для многих комбинаторных задач, в частности задач календарного планирования при числе станков п > 4, оптимальное решение при современном развитии математики оказывается возможным найти лишь простым перебором вариантов. Тогда приходится ограничиваться поиском «достаточно хорошего», или субоптимального решения. Поэтому исследование операций один из его создателей - Т. Саати - определил как «...искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».

4. Особенность операционных исследований состоит в том, что они проводятся комплексно, по многим направлениям. Для проведения такого исследования создается операционная группа. В ее состав входят специалисты разных областей знания: инженеры, математики, экономисты, социологи, психологи. Задачей создания подобных операционных групп является комплексное исследование всего множества факторов, влияющих на решение проблемы, и использование идей и методов различных наук.

Каждое операционное исследование проходит последовательно следующие основные этапы:

1) описание задачи планирования,

2) построение математической модели,

3) нахождение решения,

4) проверка и корректировка модели,

5) реализация найденного решения на практике.

Описание задачи планирования:

Задачи сетевого планирования и управления

рассматривают соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций (работ) и моментами начала всех операций комплекса. Эти задачи состоят в нахождении минимальной продолжительности комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимости и сроков их выполнения.

Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и состоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.

Задачи управления запасами состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точек заказа) и размеров заказа. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, но, с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.

Задачи распределения ресурсов возникают при определенном наборе операций (работ), которые необходимо выполнять при ограниченных наличных ресурсах, и требуется найти оптимальные распределения ресурсов между операциями или состав операций.

Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с износом и старением оборудования и необходимостью его замены с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также моментов замены оборудования модернизированным.

Задачи составления расписания (календарного планирования) состоят в определении оптимальной очередности выполнения операций (например, обработки деталей) на различных видах оборудования.

Задачи планировки и размещения состоят в определении числа и места размещения новых объектов с учетом их взаимодействия с существующими объектами и между собой.

Задачи выбора маршрута, или сетевые задачи, чаще всего встречаются при исследовании разнообразных задач на транспорте и в системе связи и состоят в определении наиболее экономичных маршрутов (1, стр.15).

Задача исследования операций

Введение……………………………………………………………………...3

1. Основные понятия и определения исследования операций……..……..5

2. Общая постановка задачи исследования операций…………..…………6

Заключение……………………………………………………………….....13

Литература………………………………………………………………......14

Введение

Исследование операций - научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами.

Управление любой системой реализуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Их знание помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществления данного процесса. Для этого все параметры, характеризующие процесс и внешние условия, должны быть количественно определены, измерены. Следовательно, цель исследования операций - количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.

При решении конкретной задачи управления применение методов исследования операций предполагает:

Построение экономических и математических моделей для задач принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;

Изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия.

Примерами задач исследования операций, отражающих его специфику, могут служить следующие задачи.

Задача 1. Для обеспечения высокого качества выпускаемых изделий на заводе организуется система выборочного контроля. Требуется выбрать такие формы его организации - например, назначить размеры контрольных партий, указать последовательность контрольных операций, определить правила отбраковки, - чтобы обеспечить необходимое качество при минимальных расходах.

Задача 2. Для реализации определенной партии сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать параметры сети - число точек, их размещение, количество персонала - так, чтобы обеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи.

Задача 3. К заданному сроку необходимо провести массовое медицинское обследование группы населения с целью выявления определенных заболеваний. На обследование выделены материальные средства, оборудование, персонал. Требуется разработать такой план обследования - установить число медпунктов, их размещение, вид и количество анализов, чтобы выявить как можно больший процент из числа заболевших.

Необходимо отметить также задачи об использовании ресурсов, о смесях, об использовании мощностей, о раскрое материалов, транспортную задачу и др., в которых требуется найти решение, когда некоторый критерий эффективности (например, прибыль, выручка, затраты ресурсов и т.п.) принимает максимальное или минимальное значение.

Приведенные задачи относятся к разным областям практики, но в них есть общие черты: в каждом случае речь идет о каком-то управляемом мероприятии (операции), преследующем определенную цель. В задаче 1 - это организация выборочного контроля с целью обеспечить качество выпускаемой продукции; в задаче 2 - организация временных торговых точек с целью проведения сезонной распродажи; в задаче 3 - массовое медицинское обследование с целью определения процента заболевших.

В каждой задаче заданы некоторые условия проведения этого мероприятия, в рамках которых следует принять решение - такое, чтобы мероприятие принесло определенную выгоду. Условиями проведения операции в каждой задаче оказываются средства, которыми мы располагаем, время, оборудование, технологии, а решение в задаче 1 заключается в выборе формы контроля - размера контрольных партий, правил отбраковки; в задаче 2 - в выборе числа точек размещения, количества персонала; в задаче 3 - в выборе числа медпунктов, вида и количества анализов.

1. Основные понятия и определения исследования операций

Операция - любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Результат операции зависит от способа ее проведения, организации, иначе - от выбора некоторых параметров.

Всякий определенный выбор параметров называется решением.

Оптимальными считают те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других. Поэтому основной задачей исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Замечание 1.Следует обратить внимание на постановку проблемы: само принятие решений выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица или группы лиц, которые могут учитывать и другие соображения, отличные от математически обоснованных.

Замечание2. Если в одних задачах исследования операций оптимальным является решение, при котором некоторый критерий эффективности принимает

максимальное или минимальное значение, то в других задачах это вовсе не обязательно. Так, в задаче 2 оптимальным можно считать такое количество торговых точек и персонала в них, при котором среднее время обслуживания покупателей не превысит, например, 5 мин, а длина очереди в среднем в любой момент окажется не более 3 человек.

Для применения количественных методов исследования требуется построить математическую модель операции. При построении модели операция, как правило, упрощается, схематизируется, и схема операции описывается с помощью того или иного математического аппарата.

Модель операции - это достаточно точное описание операции с помощью математического аппарата (различного рода функций, уравнений, систем уравнений и неравенств и т.п.). Составление модели операции требует понимания сущности описываемого явления и знания математического аппарата.

Эффективность операции - степень ее приспособленности к выполнению задачи - количественно выражается в виде критерия эффективности - целевой функции. Например, в задаче об использовании ресурсов критерий эффективности - прибыль от реализации произведенной продукции, которую нужно максимизировать, в транспортной задаче - суммарные затраты на перевозку грузов от поставщиков к потребителям, которые нужно минимизировать. Выбор критерия эффективности определяет практическую ценность исследования. (Неправильно выбранный критерий может принести вред, ибо операции, организованные под углом зрения такого критерия эффективности, приводят порой к неоправданным затратам.)

2. Общая постановка задачи исследования операций

Важно усвоить методологию построения моделей задач исследования операций. Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы:

постоянные факторы (условия проведения операции), на которые мы влиять не можем. Обозначим их через α1, α2, ... ;

зависимые факторы (элементы решения) x 1, х2, ...; которые в известных пределах мы можем выбирать по своему усмотрению.

Например, в задаче об использовании ресурсов к постоянным факторам следует отнести запасы ресурсов каждого вида, производственную матрицу, элементы которой определяют расход сырья каждого вида на единицу выпускаемой продукции каждого вида. Элементы решения - план выпуска продукции каждого вида.

Критерий эффективности, выражаемый некоторой функцией, называемой целевой, зависит от факторов обеих групп, поэтому целевую функцию Z можно записать в виде

Z = f (x1, х2, ..., α1, α2, ...)

Все модели исследования операций могут быть классифицированы в зависимости от природы и свойств операции, характера решаемых задач, особенностей применяемых математических методов.

Следует отметить, прежде всего, большой класс оптимизационных моделей. Такие задачи возникают при попытке оптимизироватьпланирование и управление сложными системами, в первую очередьэкономическими системами. Оптимизационную задачу можносформулировать в общем виде: найти переменные х1, х2, ..., х n , удовлетворяющие системе неравенств (уравнений)

g i (х1, х2, х3,..., х n )<= b i , i = 1, 2,..., n (0.1)

и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию, т.е.

Z = f (x1, х2, ..., x n ) - m ах (m in ) (0.2)

(Условия неотрицательности переменных, если они есть, входят в ограничения (0.1))

Рассмотрим еще одну, характерную для исследования операций задачу - классическую задачу потребления, имеющую большое значение в экономическом анализе.

Пусть имеется п видов товаров и услуг, количества которых (в натуральных единицах) x1, х2, ..., x n ,по ценам соответственно p 1, p 2, ..., p n за единицу. Суммарная стоимость этих товаров и услуг составляет ∑ p i x i .

Уровень потребления Z может быть выражен некоторой функцией Z = f (x1, х2, ..., x n ) ,называемой функцией полезности. Необходимо найти такой набор товаров и услуг x1, х2, ..., x n при данной величине доходов I, чтобы обеспечить максимальный уровень потребления, т.е.

Z = f (x1, х2, ..., x n ) - m ах (0.3)

при условии

∑ p i x i <= I (0.4)

x i >= 0 ( i = 1, 2,..., n ) (0.5)

Решения этой задачи, зависящие от цен p 1, p 2, ..., p n и величины дохода I , называются функциями спроса.

Очевидно, что рассмотренная задача потребления (0.3)-(0.5), так же как и многие другие, является частным случаем сформулированной выше общей задачи (0.1)-(0.2) на определение экстремума функции п переменных при некоторых ограничениях, т.е. задачей на условный экстремум.

В тех случаях, когда функции f и g i , в задаче (0.1)-(0.2) хотя бы дважды дифференцируемы, можно применять классические методы оптимизации. Однако применение этих методов в исследовании операций весьма ограниченно, так как задача определения условного экстремума функции я переменных технически весьма трудна: метод дает возможность определить локальный экстремум, а из-за многомерности функции определение ее максимального (или минимального) значения (глобального экстремума) может оказаться весьма трудоемким - тем более, что этот экстремум возможен на границе области решений. Классические методы вовсе не работают, если множество допустимых значений аргумента дискретно или функция Z задана таблично. В этих случаях для решения задачи (0.1)-(0.2) применяются методы математического программирования.

Если критерий эффективности Z = f (x1, х2, ..., x n ) (0.2) представляет линейную функцию, а функции g i (х1, х2, х3,..., х n ) в системе ограничений (0.1) также линейны, то такая задача является задачей линейного программирования. Если, исходя из содержательного смысла, ее решения должны быть целыми числами, то эта задача целочисленного линейного программирования. Если критерий эффективности и (или) система ограничений задаются нелинейными функциями, то имеем задачу нелинейного программирования. В частности, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то полученная задача является задачей выпуклого программирования.

Если в задаче математического программирования имеется переменная времени и критерий эффективности (0.2) выражается не в явном виде как функция переменных, а косвенно - через уравнения, описывающие протекание операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.

Если критерий эффективности (0.2) и система ограничений (0.1) задаются функциями вида с*( x 1^α 1 )*( x 2^α 2 )...( x n ^α n ) , то имеем задачу геометрического программирования. Если функции f и (или) g i в выражениях (0.2) и (0.1) зависят от параметров, то получаем задачу параметрического программирования, если эти функции носят случайный характер, - задачу стохастического программирования. Если точный оптимум найти алгоритмическим путем невозможно из-за чрезмерно большого числа вариантов решения, то прибегают к методам эвристического программирования, позволяющим существенно сократить просматриваемое число вариантов и найти если не оптимальное, то достаточно хорошее, удовлетворительное с точки зрения практики, решение.

Из перечисленных методов математического программирования наиболее распространенным и разработанным является линейное программирование. В его рамки укладывается широкий круг задач исследования операций.

Задачи сетевого планирования и управления рассматривают соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций (работ) и моментами начала всех операций комплекса. Эти задачи состоят в нахождении минимальных продолжительностей комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимости и сроков их выполнения.

Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и состоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например, в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.

Задачи управления запасами состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точки заказа) и размера заказа. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, но с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.

Задачи распределения ресурсов возникают при определенном наборе операций (работ), которые необходимо выполнять при ограниченных наличных ресурсах, и требуется найти оптимальные распределения ресурсов между операциями или состав операций.

Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с износом и старением оборудования и необходимостью его замены с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также моментов замены оборудования модернизированным.

Задачи составления расписания (календарного планирования) состоят в определении оптимальной очередности выполнения операций (например, обработки деталей) на различных видах оборудования.

Задачи планировки и размещения состоят в определении оптимального числа и места размещения новых объектов с учетом их взаимодействия с существующими объектами и между собой.

Задачи выбора маршрута, или сетевые задачи, чаще всего встречаются при исследовании разнообразных задач на транспорте и в системе связи и состоят в определении наиболее экономичных маршрутов.

Среди моделей исследования операций особо выделяются модели принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях, изучаемые теорией игр. К конфликтным ситуациям, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные цели, можно отнести ряд ситуаций в области экономики, права, военного дела и т. п. В задачах теории игр необходимо выработать рекомендации по разумному поведению участников конфликта, определить их оптимальные стратегии.

На практике в большинстве случаев успех операции оценивается не по одному, а сразу по нескольким критериям, один из которых следует максимизировать, другие - минимизировать. Математический аппарат может принести пользу и в случаях многокритериальных задач исследования операции, по крайней мере, помочь отбросить заведомо неудачные варианты решений.

Для того чтобы из множества критериев, в том числе и противоречащих друг другу (например, прибыль и расход), выбрать целевую функцию, необходимо установить приоритет критериев. Обозначим f 1 (x), f 2 (x), ..., f n (x) (здесь х - условный аргумент). Пусть они расположены в порядке убывания приоритетов. В зависимости от определенных условий возможны в основном два варианта:

В качестве целевой функции выбирается критерий f 1 (x), обладающий наиболее высоким приоритетом;

Рассматривается комбинация

f ( x ) = ω 1 * f 1 ( x ) + ω 2 * f 2 ( x ) + …+ ω n * f n ( x ) , (0.6)

где ω 1 , ω 2 , … ω n - некоторые коэффициенты (веса).

Величина f (х) , учитывающая в определенной степени все критерии, выбирается в качестве целевой функции.

В условиях определенности ω i - числа, f i (x) - функции. В условиях неопределенности f i (x) могут оказаться случайными и вместо f i (x) в качестве целевой функции следует рассматривать математическое ожидание суммы (0.6).

Попытка сведения многокритериальной задачи к задаче с одним критерием эффективности (целевой функцией) в большинстве случаев не дает удовлетворительных результатов. Другой подход состоит в отбрасывании ("выбраковке") из множества допустимых решений заведомо неудачных решений, уступающих другим по всем критериям. В результате такой процедуры остаются так называемые эффективные (или "паретовские") решения, множество которых обычно существенно меньше исходного. А окончательный выбор "компромиссного" решения (не оптимального по всем критериям, которого, как правило, не существует, а приемлемого по этим критериям) остается за человеком - лицом, принимающим решение.

Заключение

В создание современного математического аппарата и развитие многих направлений исследования операций большой вклад внесли российские ученые Л.В. Канторович, Н.П. Бусленко, Е.С. Вентцель, Н.Н. Воробьев, Н.Н. Моисеев, Д.Б. Юдин и многие другие. Особо следует отметить роль академика Л.В. Канторовича, который в 1939 г., занявшись планированием работы агрегатов фанерной фабрики, решил несколько задач: о наилучшей загрузке оборудования, о раскрое материалов с наименьшими потерями, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др. Л.В. Канторович сформулировал новый класс условно-экстремальных задач и предложил универсальный метод их решения, положив начало новому направлению прикладной математики - линейному программированию.

Значительный вклад в формирование и развитие исследования операций внесли зарубежные ученые Р. Акоф, Р. Беллман, Г. Данциг, Г. Кун, Дж. Нейман, Т. Саати, Р. Черчмен, А. Кофман и др.

Методы исследования операций, как и любые математические методы, всегда в той или иной мере упрощают, огрубляют задачу, отражая порой нелинейные процессы линейными моделями, стохастические системы - детерминированными, динамические процессы - статическими моделями и т.д. Жизнь богаче любой схемы. Поэтому не следует ни преувеличивать значение количественных методов исследования операций, ни преуменьшать его, ссылаясь на примеры неудачных решений. Уместно привести в связи с этим шутливо-парадоксальное определение исследования операций, сделанное одним из его создателей Т. Саати, как "искусства давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами".

Литература

1. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов - М.: ЮНИТИ, 2002.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология - М.: Наука, 1980.

3. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. - М.: Машиностроение, 1986.

Похожие статьи