Пусть G={p 0 =e, p 1 , …, p r } есть некоторая группа подстановок, определенная на множестве X = {1, 2, …, n} с единицей e=p 0 тождественной подстановкой. Определим отношение x~y, положив x~y равносильно, что существует p принадлежащее G(p(x)=y). Введенное отношение есть отношение эквивалентности, то есть оно удовлетворяет трем аксиомам:

1) x~x;
2) x~y→y~x;
3) x~y&y~z→x~z;

Пусть А – произвольное множество.
Определение : Бинарное отношение δ=A*A есть отношение эквивалентности (обозначается a ~ b), если они удовлетворяет следующим аксиомам:
∀ a, b, c ∈ A
1) a ~ a – рефлексивность;
2) a ~ b ⇒ b ~ a – коммутативность;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c — транзитивность

обозначается a ~ b, σ(a,b), (a,b) ∈ σ, a σ b

Определение : Разбиение множества А есть семейство попарно не пресекающихся подмножеств из А, в объединении (в сумме) дающих все А.
А= ∪А i , А i ∩А j = ∅, ∀i ≠ j.

Подмножества А i называются смежными классами разбиения.

Теорема : каждое отношение эквивалентности, определенное на А, соответствует некоторому разбиению множества А. Всякое разбиение множества А соответствует некоторому отношению эквивалентности на множестве А.

Коротко: между классами всех определенных на множестве А отношений эквивалентностей и классом всех разбиений множества А существует взаимнооднозначное соответствие.

Доказательство : пусть σ — есть отношение эквивалентности на множестве А. Пусть а ∈ А.

Построим множество: К a ={x ∈ A,: x~a } – всех элементов, эквивалентных а. Множество (обозначение) называется классом эквивалентности относительно эквивалентности σ. Заметим, что если b принадлежит K a , то b~a. Покажем, что a~b⇔K a =K b . В самом деле, пусть a~b. Возьмем произвольный элемент c принадлежит K a . Тогда c~a, a~b, c~b, c принадлежит K b и потому K b принадлежит K a . То, что K a принадлежит K b , показывается аналогично. Следовательно, K b =K a .
Пусть теперь K b =K a . Тогда a принадлежит K a = K b , a принадлежит K b , a~b. Что и требовалось показать.

Если 2 класса K a и K b имеют общий элемент с, то K a = K b . В самом деле, если с принадлежит K a и K b , то b~c, c~a, b~a => K a = K b .

Поэтому различные классы эквивалентности либо не пересекаются, либо пересекаются и тогда совпадают. Всякий элемент с из А принадлежит только одному классу эквивалентности К с. Поэтому система непересекающихся классов эквивалентности в пересечении дает все множество А. И потому эта система есть разбиение множества А на классы эквивалентности.

Обратное: Пусть А = сумма по или A i – есть разбиение А. Введем на А отношение a~b, как a~b ⇔ a,b принадлежат одному и тому же классу разбиения. Это отношение удовлетворяет следующим аксиомам:

1) a ~ a (лежат в одном классе);
2) a ~ b → b ~ a;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c, т.е. введенное отношение ~ есть отношение эквивалентности.

Замечание :
1) разбиение множества А на одноэлементные подмножества и разбиение А, состоящие только из множества А, называется тривиальными (несобственным) разбиением.

2) Разбиение А на одноэлементные подмножества соответствует отношению эквивалентности которое есть равенство.

3) Разбиение А, состоящие из одного класса А, соответствует отношению эквивалентности, содержащему A x A.

4) a σ b → [a] σ = [b] σ — всякое отношение эквивалентности определенное на некотором множестве разбивает это множество на попарно не пересекающиеся классы называемые классами эквивалентности.

Определение : Совокупность классов эквивалентности множества А называется фактор-множеством A/σ множества А по эквивалентности σ.

Определение : Отображение p:A→A/σ, при котором p(A)=[a] σ , называется каноническим (естественным) отображением.

Всякое отношение эквивалентности, определенное на некотором множестве, разбивает это множество на попарно не пересекающиеся классы, называемые классами эквивалентности.

Пусть R – бинарное отношение на множестве X. Отношение R называется рефлексивным , если (x, x) Î R для всех x Î X; симметричным – если из (x, y) Î R следует (y, x) Î R; транзитивным числу 23 соответствует вариант 24 если (x, y) Î R и (y, z) Î R влекут (x, z) Î R.

Пример 1

Будем говорить, что x Î X имеет общее с элементом y Î X, если множество
x Ç y не пусто. Отношение иметь общее будет рефлексивным и симметричным, но не транзитивным.

Отношением эквивалентности на X называется рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение. Легко видеть, что R Í X ´ X будет отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда имеют место включения:

Id X Í R (рефлексивность),

R -1 Í R (симметричность),

R ° R Í R (транзитивность).

В действительности эти три условия равносильны следующим:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

Разбиением множества X называется множество А попарно непересекающихся подмножеств a Í X таких, что UA = X. С каждым разбиением А можно связать отношение эквивалентности ~ на X, полагая x ~ y, если x и y являются элементами некоторого a Î A.

Каждому отношению эквивалентности ~ на X соответствует разбиение А, элементами которого являются подмножества, каждое из которых состоит из находящихся в отношении ~. Эти подмножества называются классами эквивалентности . Это разбиение А называется фактор-множеством множества X по отношению ~ и обозначается: X/~.

Определим отношение ~ на множестве w натуральных чисел, полагая x ~ y, если остатки от деления x и y на 3 равны между собой. Тогда w/~ состоит из трёх классов эквивалентности, соответствующих остаткам 0, 1 и 2.

Отношение порядка

Бинарное отношение R на множестве X называется антисимметричным , если из x R y и y R x следует: x = y. Бинарное отношение R на множестве X называется отношением порядка , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Легко видеть, что это равносильно выполнению следующих условий:

1) Id X Í R (рефлексивность),

2) R Ç R -1 (антисимметричность),

3) R ° R Í R (транзитивность).

Упорядоченная пара (X, R), состоящая из множества X и отношения порядка R на X, называется частично упорядоченным множеством .

Пример 1

Пусть X = {0, 1, 2, 3}, R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}.

Поскольку R удовлетворяет условиям 1 – 3, то (X, R) – частично упорядоченное множество. Для элементов x = 2, y = 3, неверно ни x R y, ни y R x. Такие элементы называют несравнимыми . Обычно отношение порядка обозначают £. В приведенном примере 0 £ 1 и 2 £ 2, но неверно, что 2 £ 3.

Пример 2

Пусть < – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Элементы x, y Î X частично упорядоченного множества (X, £) называются сравнимыми , если x £ y либо y £ x.

Частично упорядоченное множество (X, £) называется линейно упорядоченным или цепью , если любые два его элемента сравнимы. Множество из примера 2 будет линейно упорядоченным, а из примера 1 – нет.

Подмножество A Í X частично упорядоченного множества (X, £) называется ограниченным сверху , если существует такой элемент x Î X, что a £ x для всех a Î A. Элемент x Î X называется наибольшим в X, если y £ x для всех y Î X. Элемент x Î X называется максимальным, если нет отличных от x элементов y Î X, для которых x £ y. В примере 1 элементы 2 и 3 будут максимальными, но не наибольшими. Аналогично определяются ограничение снизу подмножества, наименьший и минимальный элементы. В примере 1 элемент 0 будет и наименьшим и минимальным. В примере 2 этими свойствами также обладает 0, но в (w, £) нет ни наибольшего, ни максимального элемента.

Пусть (X, £) – частично упорядоченное множество, A Í X – подмножество. Отношение на А, состоящее из пар (a, b) элементов a, b Î A, для которых a £ b, будет отношением порядка на А. Это отношение обозначают тем же символом: £. Таким образом, (A, £) – частично упорядоченное множество. Если оно является линейно упорядоченным, то будем говорить, что А – цепь в (X, £).

Принцип максимальности

Некоторые математические утверждения невозможно доказать без аксиомы выбора. Про эти утверждения говорят, что они зависят от аксиомы выбора или справедливы в теории ZFC , на практике вместо аксиомы выбора для доказательства используют обычно либо аксиому Цермело, либо лемму Куратовского-Цорна, либо любое другое утверждение, равносильное аксиоме выбора.

Лемма Куратовского-Цорна . Если каждая цепь в частично упорядоченном множестве (X, £) ограничена сверху, то в X есть по крайней мере один максимальный элемент.

Эта лемма равносильна аксиоме выбора, и поэтому её можно принять в качестве аксиомы.

Теорема. Для любого частично упорядоченного множества (X, £) существует отношение, содержащее отношение £ и превращающее X в линейно упорядоченное множество.

Доказательство . Множество всех отношений порядка, содержащих отношение £, упорядочено отношением включения Í. Поскольку объединение цепи отношений порядка будет отношением порядка, то по лемме Куратовского-Цорна существует максимальное отношение R, такое, что x £ y влечет x R y. Докажем, что R – отношение, линейно упорядочивающее X. Предположим противное: пусть существуют a, b Î X такие, что ни (a, b), ни (b, a) не принадлежат R. Рассмотрим отношение:

R¢ = R È {(x, y): x R a и b R y}.

Оно получается добавлением пары (a, b) к R и пар (x, y), которые должны быть добавлены к R¢ из условия, что R¢ – отношение порядка. Легко видеть, что R¢ рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Получаем R Ì R¢, противоречащее максимальности R, следовательно, R – искомое отношение линейного порядка.

Линейно упорядоченное множество X называется вполне упорядоченным, если всякое его непустое подмножество A Í X содержит наименьший элемент a Î A. Лемма Куратовского-Цорна и аксиома выбора эквивалентны также следующему утверждению:

Аксиома Цермело . Для каждого множества существует отношение порядка, превращающее его во вполне упорядоченное множество.

Например, множество w натуральных чисел является вполне упорядоченным. Принцип индуктивности обобщается следующим образом:

Трансфинитная индукция . Если (X, £) – вполне упорядоченное множество и F(x) – свойство его элементов, верное для наименьшего элемента x 0 Î X и такое, что из истинности F(y) для всех y < z следует истинность F(z), то F(x) верно для всех x Î X.

Здесь y < z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.

Понятие мощности

Пусть f: X à Y и g: Y à Z – отображения множеств. Поскольку f и g – отношения, то определена их композиция g ° f(x) = g(f(x)). Если h: Z à T – отображение множеств, то h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. Отношения Id X и Id Y – функции, стало быть, определены композиции Id Y ° f = f ° Id x = f. При X = Y определим f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, …, f n+1 = f n ° f.

Отображение f: X àY называется инъекцей , если для любых элементов x 1 ¹ x 2 множества X справедливо f(x 1) ¹ f(x 2). Отображение f называется сюръекцией , если для каждого y ÎY существует такой x Î X, что f(x) = y. Если f является и сюръекцией, и инъекцией, то f называется биекцией . Легко видеть, что f – биекция тогда и только тогда, когда обратное отношение f -1 Í Y ´ X является функцией.

Будем говорить, что справедливо равенство |X| = |Y|, если существует биекция между X и Y. Положим |X| £ |Y|, если существует инъекция f: X à Y.

Теорема Кантора-Шредера-Бернштейна . Если |X| £ |Y| и |Y| £ |X| , то |X| = |Y|.

Доказательство . По условию, существуют инъекции f: X à Y и g: Y à X. Пусть A = g¢¢Y = Img – образ множества Y относительно отображения g. Тогда

(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,

(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢(X \ A) = Æ, …,

(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …

Рассмотрим отображение j: X à A, заданное как j(x) = gf(x), при

x Î (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È …, и j(x) = x в остальных случаях. Легко видеть, что j – биекция. Искомая биекция между X и Y будет равна g -1 ° j.

Антиномия Кантора

Положим |X| < |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.

Теорема Кантора . Для любого множества X справедливо |X| < |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

Если отношение R обладает свойствами: рефлексивное симметричное транзитивное, т.е. является отношением эквивалентности (~ или ≡ или Е) на множестве M , то множество классов эквивалентности называется фактор множеством множества M относительно эквивалентности R и обозначается M/R

Здесь есть подмножество элементов множества M эквивалентных x , называемых классом эквивалентности .

Из определения фактор-множества следует, что оно является подмножеством булеана: .

Функция называется отождествлением и определяется следующим образом:

Теорема. Фактор-алгебра F n /~ изоморфна алгебре булевых функций B n

Доказательство .

Искомый изоморфизм ξ : F n / ~ → B n определяется по следующему правилу: классу эквивалентности ~(φ) сопоставляется функция f φ , имеющая таблицу истинности произвольной формулы из множества ~(φ) . Поскольку разным классам эквивалентности соответствуют различные таблицы истинности, отображение ξ инъективно, а так как для любой булевой функции f из В п найдется формула , представляющая функцию f, то отображение ξ сюръективно. Сохранение операций , 0, 1 при отображении ξ проверяется непосредственно. ЧТД.

По теореме о функциональной полноте каждой функции , не являющейся константой 0 , соответствует некоторая СДНФ ψ , принадлежащая классу ~(φ) = ξ -1 (f) формул, представляющих функцию f . Возникает задача нахождения в классе ~(φ) дизъюнктивной нормальной формы, имеющей наиболее простое строение.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Курс лекций по дисциплине дискретная математика

Московский государственный строительный университет.. институт экономики управления и информационных систем в строительстве.. иэуис..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Предмет дискретной математики
Предмет дискретная (финитная, конечная) математика – направление математики, изучающее свойства дискретных структур, в то время как классическая (непрерывная) математика изучает свойства объ

Изоморфизм
Наука, изучающая алгебраические операции называется алгеброй. Это понятие по мере изучения курса будет конкретизироваться и углубляться. Алгебру интересует только вопрос, КАК действуе

Упражнения
1. Докажите, что изоморфное отображение всегда изотонно, а обратное утверждение неверно. 2. Запишите на языке множеств свою группу. 3. Запишите на языке множеств предметы, которые

Множество и элементы множества
В настоящее время существующие теории множеств различаются парадигматикой (системой взглядов) концептуального базиса и логических средств. Так, в качестве примера, можем привести две противоположны

Конечные и бесконечные множества
То, из чего состоит множество, т.е. объекты, образующие множество, называется его элементами. Элементы множества различны и отличаются друг от друга. Как видно из приведенных пример

Мощность множества
Мощность для конечного множества равна числу его элементов. Например, мощность универсума В(A) множества A мощностью n

А1A2A3| + … + |А1A2A3| + … + |А1A2An| + … + |Аn-2An-1An| + (-1)n-1 |А1A2A3…An|
Конечное множество А имеет мощность k, если оно равномощно отрезку 1.. k;:

Подмножество, собственное подмножество
После того как введено понятие множества, возникает задача конструирования новых множеств из уже имеющихся, то есть определить операции над множествами. Множество М",

Символический язык содержательных теорий множеств
В процессе изучения курса будем различать объектный язык теории множеств и метаязык, средствами которого изучается объектный язык. Под языком теории множеств будем понимать реляцион

Доказательство
Множество В бесконечно, значит,

Добавление и удаление элементов
Если А - множество, а х - элемент, причем, то элемент

Ограниченные множества. Границы множеств
Пусть на некотором множестве X задана числовая функция f(х). Верхней гранью (границей) функции f(х) называется такое число

Точная верхняя (нижняя) граница
Совокупность всех верхних границ Е обозначается через Еs, всех нижних границ - через Еi. В случа

Точная верхняя (нижняя) граница множества
Если элемент z принадлежит пересечению множества E и множеству всех его верхних границ Es (соответственно нижних г

Основные свойства верхних и нижних границ
Пусть X - частично упорядоченное множество. 1. Если, то

Множество с атрибутивной точки зрения
Агрегатная точка зрения, в отличие от атрибутивной, является логически несостоятельной в том плане, что она приводит к парадоксам типа Рассела и Кантора (см. ниже). В рамках атрибутивной т

Структура
Частично упорядоченное множество X называется структурой, если в нем любое двухэлементное множество

Покрытие и разбиение множеств
Разбиением множества А называется семейство Аi

Бинарные отношения
Последовательность длины п, члены которой суть а1, .... аn, будем обозначать через {а1, .... а

Свойства бинарных отношений
Бинарное отношение R на множестве Хобладает следующими свойствами: (а) рефлексивно, если хRх

Тернарные отношения
Декартовым произведением XY

N-арные отношения
По аналогии с декартовым произведением двух множеств X,Y можно построить декартово произведение X

Отображения
Отображения – это некоторые связи между элементами множеств. Простейшими примерами отношений являются отношения принадлежности х

Соответствие
ПодмножествоSдекартового произведения называетсяn-арным соответствиeмэлементов множествMi. Формально

Функция
В основе всех разделов дискретной математики лежит понятие функции. Пусть Х -

Представление функции в терминах отношений
Функцией называется бинарное отношение f, если из и

Инъекция, сюръекция, биекция
При использовании термина «отображение» различают отображение ХвY и отображение Х на Y

Обратная функция
Для произвольных, определим

Частично упорядоченные множества
Множество S называется частично упорядоченным (ЧУМ), если на нем задано рефлексивное, транзитивной и антисимметричное бинарное отношение частичного порядка

Минимизации представления множества
Используя эти законы, рассмотрим задачу минимизации представления множества М с помощью операций

Перестановки
Дано множество A. Пусть A – конечное множество, состоящее из n элементов A = {a1, a2, …, a

Перестановки с повторениями
Пусть в множестве A имеются одинаковые (повторяющиеся) элементы. Перестановкой с повторениями состава (n1, n2, … ,nk

Размещения
Кортежи длины k (1≤k≤n), состоящие из различных элементов n-элементного множества A (кортежи отличаются од

Размещения с повторениями
Пусть во множестве A имеются одинаковые (повторяющиеся) элементы. Размещениями с повторениями из n элементов по k назы

Упорядоченное размещение
Разместим п объектов по m ящикам так, чтобы каждый ящик содержал бы последовательность, а не множество, как прежде, помещенных в нем объектов. Два

Сочетания
Из m-элементного множества A построим упорядоченное множество длины n, элементы которого являются размещениями с одними и тем

Сочетания с повторениями
Полученные формулы справедливы только, когда в множестве A нет одинаковых элементов. Пусть имеются элементы n видов и из них составляется кортеж из

Метод производящий функций
Этот метод используется для перечисления комбинаторных чисел и установления комбинаторных тождеств. Исходным пунктом являются последовательность {ai} комбинатор

Алгебраическая система
Алгебраической системой A называется совокупность ‹M,O,R›, первая составляющая которой M есть непустое множество, вторая компонента O – множество

Замыкание и подалгебры
Подмножество называется замкнутым относительно операции φ, если

Алгебры с одной бинарной операцией
Пусть на множестве М задана одна бинарная операция. Рассмотрим порождаемые ею алгебры, но предварительно рассмотрим некоторые свойства бинарных операций. Бинарная о

Группоид
Алгебра вида <М, f2>называется группоидом. Если f2 - операция типа умножения (

Целые числа по модулю m
Дано кольцо целых чисел . Напомним. Алгебра <М,

Конгруэнции
Конгруэнцией на алгебре A = (Σ – сигнатура алгебры состоит только из функциональных символов) называется такое отношение эквивалентности

Элементы теории графов
Графы - математические объекты. Теория графов применяется в таких областях, как физика, химия, теория связи, проектирование ЭВМ, электротехника, машиностроение, архитектура, исследование о

Граф, вершина, ребро
Под неориентированным графом (или короче графом) будем понимать такую произвольную пару G = , что

Соответствие
Другое, употребляемое чаще описание ориентированного графа G состоит в задании множества вершин Х и соответствия Г, ко

Неориентированный граф
Если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным (неориентированный дубликат или неориен

Инцидентность, смешанный граф
Если ребро е имеет вид {и, v } или <и, v>, то будем говорить, что ребро е инцидентно вер

Обратное соответствие
Поскольку представляет собой множество таких вершин

Изоморфизм графов
Два графа G1 = и G2 = изоморфны (G

Путь, ориентированный маршрут
Путем (или ориентированным маршрутом) ориентированного графа называется последовательность дуг, в котор

Смежные дуги, смежные вершины, степень вершины
Дуги а = (хi, хj), хi ≠ хj, имеющие общие концевые вершины, н

Связность
Две вершины в графе называются связным, если существует соединяющая их простая цепь. Граф называется связным, если все его вершины связны. Теорема.

Граф со взвешенными дугами
Граф G = (N, A) называется взвешенным, если на множестве дуг A определена некоторая функция l: A → R, которую на

Матрица сильной связности
Матрица сильной связности: по диагонали ставим 1; заполняем строку X1 - если вершина достижима из X1 и X1 д

Деревья
Деревья важны не только потому, что они находят приложения в различных областях знаний, но и Вилу особого положения их в самой теории графов. Последнее вызвано предельной простотой строения деревье

В любом нетривиальном дереве имеются по крайней мере две висячие вершины
Доказательство Рассмотрим дерево G(V, Е). Дерево - связный граф, следовательно,

Теорема
Центр свободного дерева состоит из одной вершины или из двух смежных вершин: Z(G) = 0&k(G) = 1 → С(G) = К1

Ориентированные, упорядоченные и бинарные деревья
Ориентированные (упорядоченные) деревья являются абстракцией иерархических отношений, которые очень часто встречаются как в практической жизни, так и в математике и программировании. Дерево (ориент

Доказательство
1. Каждая дуга входит в какой-то узел. Из п. 2 определения 9.2.1 имеем: v

Упорядоченные деревья
Множества Т1,.. ., Тk в эквивалентном определении ордерева являются поддеревьями. Если относительный порядок поддеревьев Т1,.. .,

Бинарные деревья
Бинарное (или двоичное) дерево - это конечное множество узлов, которое либо пусто, либо состоит из корня и двух непересекающихся бинарных деревьев - левого и правого. Бинарное дерево не яв

Представление свободных деревьев
Для представления деревьев можно использовать те же приёмы, что и для представления графов общего вида - матрицы смежности и инциденций, списки смежности и другие. Но используя особенные свойства д

End for
Обоснование Код Прюфера действительно является представлением свободного дерева. Чтобы убедиться в этом, покажем, что если Т" - дерево

Представление бинарных деревьев
Всякое свободное дерево можно ориентировать, назначив один из узлов корнем. Всякое ордерево можно произвольно упорядочить. Для потомков одного узла (братьев) упорядоченного ордерева определено отно

Основные логические функции
Обозначим через E2 = {0, 1} – множество, состоящее из двух чисел. Числа 0 и 1 являются основными в дискретной мате

Булева функция
Булевой функцией от n аргументов x1, x2, … ,xn, называется функция f из n-ой степени множества

Двухэлементная булева алгебра
Рассмотрим множество Во = {0,1} и определим на нем операции, согласно таблицам ист

Таблицы булевых функций
Булева функция от n переменных может быть задана таблицей, состоящей из двух столбцов и 2n строк. В первом столбце перечисляются все наборы из B

F5 – повторение по y
f6 – сумма по модулю 2 f7

Порядок выполнения операций
Если в сложном выражении скобок нет, то операции надо выполнять в следующем порядке: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание. Соглашения относительно расстановки скоПервая теорема Шеннона
Для решения задачи нахождения СДНФ и СКНФ, эквивалентных исходной формуле φ, предварительно рассмотрим разложения булевой функции f(x1, х2

Вторая теорема Шеннона
В силу принципа двойственности для булевых алгебр справедлива Теорема 6.4.3 (вторая теорема Шеннона). Любая булева функция f(x1, х2,...

Функциональная полнота
Теорема(о функциональной полноте). Для любой булевой функции f найдется формула φ, представляющая функцию f

Алгоритм нахождения сднф
Для нахождения СДНФ данную формулу нужно привести сначала к ДНФ, а затем преобразовать ее конъюнкты в конституенты единицы с помощью следующих действий: а) если в конъюнкт входит некоторая

Метод Квайна
Рассмотрим метод Квайна для нахождения МДНФ, представляющей данную булеву функцию. Определим следующие триоперации: - операция полного склеивания -

Каноническое представление логических функций
Каноническими формами логических (формул) функций называются выражения, имеющие стандартную форму булевой формулы такой, которая однозначно представляет логическую функцию. В алгебр

Системы булевых функций
Пусть даны булевы функции f(g1, g2, …, gm) и g1(x1, x2, …, xn), g2(x1

Базис Жегалкина
Примерю Рассмотрим систему. Она является полной, так как любая функция из стандартного базиса выражается чере

Теорема Поста
Теорема Поста устанавливает необходимые и достаточные условия полноты системы булевых функций. (Post E.L. The two-valued interactive systems of mathematical logic. – Annals of Math. Stu

Доказательство
Необходимость. От противного. Пусть и

Алгебра Жегалкина
Сумма по модулю 2, конъюнкция и константы 0 и 1 образуют функционально полную систему, т.е. образуют алгебру - алгебру Жегалкина. A =

Логика высказываний
Математическая логика изучает базовые понятия синтаксиса (формы) и семантики (содержания) естественного языка. Рассмотрим три крупных направления исследований в математической логике - логику

Определение предиката
Пусть Х1, Х2, ..., Хп произвольные переменные. Эти переменные будем называть предметными. Пусть наборы переменных вы

Применение предикатов в алгебре
Рассмотрим предикаты, в которых свободной является лишь одна переменная, которую обозначим через х, и обсудим применение предикатов в алгебре. Типичным приме

Булева алгебра предикатов
Так как к предикатам можно применять логические операции, то для них справедливы основные законы булевой алгебры. Теорема. (Свойства логических операций для предикатов). Мн

F↔G=(F→G)(G→F), F→G=неFG
2. Использовать закон ненеF=F, законы де Моргана: не(F

Исчисление предикатов
Исчисление предикатов называют еще теорий первого порядка. В исчислении предикатов, так же как и в исчислении высказываний, на первом по важности месте стоит проблема разрешимост

Следование и эквиваленция
Высказывательная форма Q2 следует из высказывательной формы Q1, если импликация Q1→Q2 обращается в истинное выс

Принятые обозначения
Символы «порядка не более». При сравнении скорости роста двух функций f(n) и g(n) (с неотрицательными значениями) очень удобны следующи

Метаобозначения
Обозна-чения Содержание Пример ИЛИ

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

А={1,2,3,5,7} — множество чисел
Х={x 1 ,x 2 ,...,x n } — множество некоторых элементов x 1 ,x 2 ,...,x n
N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

N	{1,2,3,...,n} Множество всех
Z	{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q	Множество рациональных чисел . Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.
R	Множество всех вещественных чисел . Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .

Элементы логической символики

Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Квантор

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

∀- квантор общности , используется вместо слов "для всех", "для любого".
∃- квантор существования , используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Пример 1

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1.4. Функция f имеет обратную функцию f -1 тогда и только тогда, когда f биективна.

Теорема 1.5. Композиция биективных функций является функцией биективной.

Рис. 1.12 показывают различные отношения, все они, кроме первой, являются функциями.

отношение, но

инъекция, но

сюръекция, но

не функция

не сюръекция

не инъекция

Пусть f : А→ В – функция, а множества А и В - конечные множества, положим А = n , B = m . Принцип Дирихле гласит, что если n > m , то, по крайней мере, одно значение f встречается более одного раза. Иными словами, найдется пара элементов a i ≠ a j , a i , a j A, для которых f(a i )= f(a j ).

Принцип Дирихле легко доказать, поэтому оставляем его читателю в качестве тривиального упражнения. Рассмотрим пример. Пусть в группе более 12 студентов. Тогда, очевидно, что, по крайней мере, у двоих из них день рождения в одном и том же месяце.

§ 7. Отношение эквивалентности. Фактор- множество

Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если R рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение равенства на множестве чисел обладает указанными свойствами, поэтому является отношением эквивалентности.

Отношение подобия треугольников, очевидно, является отношением эквивалентности.

Отношение нестрогого неравенства (≤ ) на множестве действительных чисел не будет отношением эквивалентности, ибо не является симметричным: из 3≤ 5 не следует, что 5≤ 3.

Классом эквивалентности (классом смежности) , порожденным элементом а при данном отношении эквивалентности R, называется подмножество тех х А, которые находятся в отношении R с а. Указанный класс эквивалентности обозначается через [ а] R , следовательно, имеем:

[ а] R = {х A: а, х R }.

Рассмотрим пример. На множестве треугольников введено отношение подобия. Ясно, что все равносторонние треугольники попадают в один смежный класс, ибо каждый из них подобен, например, треугольнику, все стороны которого имеют единичную длину.

Теорема 1.6. Пусть R - отношение эквивалентности на множестве А и [ а] R смежный класс, т.е. [ а] R = {х A: а, х R }, тогда:

1) для любого а А : [ а] R ≠ , в частности, а [ а] R ;

2) различные смежные классы не пересекаются;

3) объединение всех смежных классов совпадает со всем множеством А;

4) совокупность различных смежных классов образуют разбиение множества А.

Доказательство. 1) В силу рефлексивности R получим, что для любого а, а А, имеем a,a R , следовательно а [ а] R и [ а] R ≠ ;

2) допустим, что [ а] R ∩ [b] R ≠ , т.е. существует элемент с из А и с [ а] R ∩ [b] R . Тогда из (cRa)&(cRb) в силу симметричности R получаем, что (аR с)&(cRb), а из транзитивности R имеем аRb.

Для любого х [ а] R имеем: (хRa)&(аRb) , тогда в силу транзитивности R получим хRb, т.е. х [b] R , поэтому [ а] R [b] R . Аналогично для любого у, у [b] R , имеем: (уRb)&(аRb) , а в силу симметричности R получим, что (уRb)&(bR а), затем, в силу транзитивности R, получим, что уR а, т.е. у [ а] R и

поэтому [b] R [ а] R . Из [ а] R [b] R и [b] R [ а] R получаем [ а] R = [b] R , т. е. если смежные классы пересекаются, то они совпадают;

3) для любого а, а А, как доказано, имеем а [ а] R , тогда, очевидно, что объединение всех смежных классов совпадет с множеством А.

Утверждение 4) теоремы 1.6 следует из 1)-3). Теорема доказана. Можно доказать следующую теорему.

Теорема 1.7 . Различные отношения эквивалентности на множестве А порождают различные разбиения А.

Теорема 1.8 . Каждое разбиение множества А порождает отношение эквивалентности на множестве A , причем различные разбиения порождают различные отношения эквивалентности.

Доказательство. Пусть дано разбиение В= {B i } множества A . Определим отношение R : а,b R тогда и только тогда, когда существует B i такое, что а и b оба принадлежат этому B i . Очевидно, что введенное отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным, следовательно, R – отношение эквивалентности. Можно показать, что если разбиения различны, то и отношения эквивалентности, ими порождаемые, тоже различны.

Совокупность всех классов смежности множества А по данному отношению эквивалентности R называется фактор- множеством и обозначается через А/R . Элементами фактор-множества являются классы смежности. Класс смежности [ а] R , как известно, состоит из элементов А, которые находятся между собой в отношении R .

Рассмотрим пример отношения эквивалентности на множестве целых чисел Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

Два целых числа а и b называют сравнимыми (конгруэнтными) по модулю m , если m делитель числа a-b , т. е. если имеем:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

В этом случае записывают a≡ b(mod m) .

Теорема 1.9. Для любых чисел a , b , c и m>0 имеем:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) если a ≡ b(mod m), то b ≡ a(mod m);

3) если a ≡ b(mod m) и b ≡ c(mod m), то a ≡ c(mod m).

Доказательство. Утверждения 1) и 2) очевидны. Докажем 3). Пусть a=b+k 1 m , b=c+k 2 m , тогда a=c+(k 1 +k 2 )m , т.е. a ≡ c(mod m) . Теорема доказана.

Таким образом, отношение сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности и делит множество целых чисел на непересекающиеся классы чисел.

Построим бесконечно раскручивающуюся спираль, которая на рис. 1.13 изображена сплошной линией, и бесконечно скручивающуюся спираль, изображенную штриховой линией. Пусть задано целое неотрицательное число m . Все целые числа (элементы из множества Z ) расположим в точках пересечения этих спиралей с m лучами, как показано на рис. 1.13.

Для отношения сравнимости по модулю m (в частности и для m =8) класс эквивалентности – это числа, лежащие на луче. Очевидно, что каждое число попадает в один и только один класс. Можно получить, что для m= 8 имеем: