механической системы

Кинетической энергией механической системы называется арифметическая сумма кинетических энергий всех ее материальных точек

Вычисление кинетической энергии твердого тела

1. Поступательное движение

Как известно, при поступательном движении скорости всех точек тела в один и тот же момент времени равны, тогда (83) можно представить в виде

. (84)

При поступательном движении тела, его кинетическая энергия равна половине произведения массы на квадрат скорости центра масс.

2. Вращательное движение твердого тела

При вращательном движении скорость каждой точки тела

. (85)

Подставим (85) в (83):

.

Принимая во внимание (59), получим

. (86)

При вращательном движении кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости.

3 . Плоское движение

Плоское движение можно представить как вращение относительно полюса (например, центра масс) и движения вместе с полюсом, тогда

. (87)

Кинетическая энергия тела при плоском движении равна сумме кинетических энергий от поступательного движения вместе с центром масс и вращательного движения относительно центра масс.

Теорема: Изменение кинетической энергии механической системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех внутренних и внешних сил системы на том же перемещении

. (88)

Замечания :

1. Введенная величина кинетической энергии системы в отличие от количества движения системы и кинетического момента является скалярной величиной. При этом:

Q =0 при вращательном движении и покое;

K O =0 при поступательном движении или покое;

T

Таким образом, в отличие от теоремы об изменении количества движения и кинетического момента, данная теорема пригодна для изучения любого вида движения, так как T =0 только для неподвижной системы.

2. В отличие от упомянутых теорем данная теорема учитывает действие внутренних сил системы.

Некоторые случаи вычисления работы

1. Работа момента силы M Z относительно оси равна произведению момента на угол поворота  тела относительно оси

. (89)

2. Сумма работ внутренних сил абсолютно твердого тела (недеформируемого) всегда равна нулю.

3. Работа момента трения качения
.

,

где  - коэффициент трения качения;

R – радиус цилиндра;

s – длина дуги, равная отрезку пути, пройденного центром масс C вдоль поверхности;


- угол поворота осей цилиндра в процессе движения;

N – нормальная реакция поверхности;

P – сила тяжести;

F тр – сила трения скольжения.

Дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и плоского движения твердого тела

1. Поступательное движение

При поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и в один и тот же момент времени имеют одинаковые ускорения. Тогда для описания движения можно использовать теорему о движении центра масс (67). Проектируем это уравнение на координатные оси

Система (90) представляет собой дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.

2. Вращательное движение

Пусть твердое тело совершает вращение относительно оси под действием сил. Динамической характеристикой вращательного движения твердого тела является кинетический моментK z , а характеристикой вращательного действия силы  момент силы относительно оси. Поэтому для описания вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента (81)

. (91)

При вращательном движении
, тогда

,

учитывая, что I z =const, в итоге получим

. (92)

Уравнение (92) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Найденный угол  будет определять положение тела, совершающего вращательное движение, в любой момент времени.

3. Плоское движение

Положение тела, совершающего плоское движение, в любой момент времени определяется положением полюса и углом поворота тела относительно полюса. Если за полюс принять центр масс тела, то уравнение его движения можно найти по теореме о движении центра масс (67), а вращательное движение относительно центра будет определяться уравнением (92), справедливым и для движения системы относительно оси, проходящей через центр масс. Тогда дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела имеют вид

Кинетическая энергия механической системы складывается из кинетических энергий всех её точек:

Дифференцируя каждую часть этого равенства по времени, получим

Воспользовавшись основным законом динамики для к -й точки системы m k 2i k = Fj., приходим к равенству

Скалярное произведение силы F на скорость v точки её приложения называют мощностью силы и обозначают Р :

Используя это новое обозначение, представим (11.6) в следующем виде:

Полученное равенство выражает дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии: скорость изменения кинетической энергии механической системы равна сумме jмощностей всех действующих на систему cm.

Предс тавив производную f в (8.5) в форме дроби -- и выполнив

затем разделение переменных, получим:

где dT - дифференциал кинетической энергии, т.е. её изменение за бесконечно малый промежуток времени dr, dr k = k dt - элементарное перемещение к- й точки системы, т.е. перемещение за время dt.

Скалярное произведение силы F на элементарное перемещение dr точки её приложения называют элементарной работой силы и обозначают dA:

Используя свойства скалярного произведения можно представить элементарную работу силы также в виде

Здесь ds = dr - длина дуги траектории точки приложения силы, соответствующая её элементарному перемещению с/г; а - угол между направлениями вектора силы F и вектора элементарного перемещения c/r; F„ F y , F, - проекции вектора силы F на декартовы оси; dx, dy, dz - проекции на декартовы оси вектора элементарного перемещения с/г.

С учетом обозначения (11.9) равенство (11.8) можно представить в следующей форме:

т.е. дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех сил, действующих на систему. Это равенство, так же как и (11.7), выражает дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии, но отличается от (11.7) тем, что использует не производные, а бесконечно малые приращения - дифференциалы.

Выполняя почленное интегрирование равенства (11.12), получаем

где в качестве пределов интегрирования использованы: 7 0 - кинетическая энергия системы в момент времени? 0 ; 7) - кинетическая энергия системы в момент времени t x .

Определенные интегралы по временному отрезку или A(F):

Замечание 1. Для вычисления работы иногда удобнее использовать не дуговую параметризацию траектории M(s), а координатную M(x{t), у(/), z(f)). В этом случае для элементарной работы естественно взять представление (11.11), а криволинейный интеграл представить в виде:

С учетом обозначения (11.14) работы на конечном перемещении равенство (11.13) принимает вид

и представляет собой конечную форму теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема 3. Изменение кинетической энергии механической системы при её перемещении из начального положения в конечное равно сумме работ всех сил, действующих на точки системы на этом перемещении.

Замечание 2. В правой части равенства (11.16) учитываются работы всех сил , действующих на систему, как внешних, так и внутренних. Тем не менее существуют такие механические системы, для которых суммарная работа всех внутренних сил равна нулю. Эго гак называемые неизменяемые системы , у которых расстояния между взаимодействующими материальными точками не меняются. Например, система твердых тел, связанных шарнирами без трения или гибкими нерастяжимыми нитями. Для таких систем в равенстве (11.16) достаточно учесть лишь работы внешних сил, т.е. теорема (11.16) принимает вид:

Пример решения задачи с применением теоремы об изменении кинетической энергии системы с твердыми телами, блоками, шкивами и пружиной.

Содержание

Условие задачи

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R 3 = 0,3 м , r 3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ 3 = 0,2 м , блока 4 радиуса R 4 = 0,2 м и подвижного блока 5. Блок 5 считать сплошным однородным цилиндром. Коэффициент трения груза 2 о плоскость f = 0,1 . Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3. Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К подвижному блоку 5 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с = 280 Н/м .

Под действием силы F = f(s) = 80(6 + 7 s) Н , зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. Деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент M = 1,6 Н·м сил сопротивления (от трения в подшипниках). Массы тел: m 1 = 0 , m 2 = 5 кг , m 3 = 6 кг , m 4 = 0 , m 5 = 4 кг .

Определить значение центра масс тела 5 V C5 в тот момент времени, когда перемещение s груза 1 станет равным s 1 = 0,2 м .

Указание . При решении задачи использовать теорему об изменении кинетической энергии .

Решение задачи

Дано: R 3 = 0,3 м , r 3 = 0,1 м , ρ 3 = 0,2 м , R 4 = 0,2 м , f = 0,1 , с = 280 Н/м , m 1 = 0 , m 2 = 5 кг , m 3 = 6 кг , m 4 = 0 , m 5 = 4 кг , F = f(s) = 80(6 + 7 s) Н , s 1 = 0,2 м .

Найти: V C5 .

Обозначения переменных

R 3 , r 3 - радиусы ступеней шкива 3;
ρ 3 - радиус инерции шкива 3 относительно оси вращения;
R 5 - радиус блока 5;
V 1 , V 2 - скорости тел 1 и 2;
ω 3 - угловая скорость вращения шкива 3;
V C5 - скорость центра масс C 5 блока 5;
ω 5 - угловая скорость вращения блока 5;
s 1 , s 2 - перемещение тел 1 и 2;
φ 3 - угол поворота шкива 3;
s C5 - перемещение центра масс C 5 блока 5;
s A , s B - перемещение точек A и B.

Установление кинематических соотношений

Установим кинематические соотношения. Поскольку грузы 1 и 2 связаны одной нитью, то их скорости равны:
V 2 = V 1 .
Поскольку нить, соединяющая грузы 1 и 2 намотана на внешнюю ступень шкива 3, то точки внешней ступени шкива 3 движутся со скоростью V 2 = V 1 . Тогда угловая скорость вращения шкива:
.
Скорость центра масс V C5 блока 5 равна скорости точек внутренней ступени шкива 3:
.
Скорость точки K равна нулю. Поэтому она является мгновенным центром скоростей блока 5. Угловая скорость вращения блока 5:
.
Скорость точки B - свободного конца пружины - равна скорости точки A:
.

Выразим скорости через V C5 .
;
;
.

Теперь установим связи между перемещениями тел и углами поворота шкива и блока. Поскольку скорости и угловые скорости являются производными по времени от перемещений и углов поворота
,
то такие же связи будут между перемещениями и углами поворота:
s 2 = s 1 ;
;
;
.

Определение кинетической энергии системы

Найдем кинетическую энергию системы. Груз 2 совершает поступательное движение со скоростью V 2 . Шкив 3 совершает вращательное движение с угловой скоростью вращения ω 3 . Блок 5 совершает плоскопараллельное движение. Он вращается с угловой скоростью ω 5 и его центр масс движется со скоростью V C5 . Кинетическая энергия системы:
.

Поскольку радиус инерции шкива относительно оси вращения задан, то момент инерции шкива относительно оси вращения определяется по формуле:
J 3 = m 3 ρ 2 3 .
Поскольку блок 5 является сплошным однородным цилиндром, то его момент инерции относительно центра масс равен
.

С помощью кинематических соотношений выражаем все скорости через V C5 и подставляем выражения для моментов инерции в формулу для кинетической энергии.
,
где мы ввели постоянную
кг.

Итак, мы нашли зависимость кинетической энергии системы от скорости центра масс V C5 подвижного блока:
, где m = 75 кг.

Определение суммы работ внешних сил

Рассмотрим внешние силы , действующие на систему.
При этом мы не рассматриваем силы натяжения нитей, поскольку нити нерастяжимые и, поэтому, они не производят работу. По этой причине мы не рассматриваем внутренние напряжения, действующие в телах, поскольку они являются абсолютно твердыми.
На тело 1 (с нулевой массой) действует заданная сила F .
На груз 2 действует сила тяжести P 2 = m 2 g 2 и сила трения F T .
На шкив 3 действует сила тяжести P 3 = m 3 g , сила давления оси N 3 и момент сил трения M .
На шкив 4 (с нулевой массой) действует сила давления оси N 4 .
На подвижный блок 5 действует сила тяжести P 5 = m 5 g , сила упругости F y пружины и сила натяжения нити T K в точке K .

Работа, которую совершает сила при перемещении точки ее приложения на малое смещение равна скалярному произведению векторов , то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними. Заданная сила , приложенная к телу 1, параллельна перемещению тела 1. Поэтому работа, которую совершает сила , при перемещении тела 1 на расстояние s 1 равна:


Дж.

Рассмотрим груз 2. На него действуют сила тяжести P 2 , сила давления поверхности N 2 , силы натяжения нитей T 23 , T 24 и сила трения F T . Поскольку груз не совершает перемещения в вертикальном направлении, то проекция его ускорения на вертикальную ось равна нулю. Поэтому сумма проекций сил на вертикальную ось равна нулю:
N 2 - P 2 = 0 ;
N 2 = P 2 = m 2 g .
Сила трения:
F T = f N 2 = f m 2 g .
Силы P 2 и N 2 перпендикулярны перемещению s 2 , поэтому они работу не производят.
Работа силы трения:
Дж.

Если рассматривать груз 2 как изолированную систему, то нужно учитывать работу, произведенную силами натяжения нитей T 23 и T 24 . Однако нас интересует вся система, состоящая из тел 1, 2, 3, 4 и 5. Для такой системы силы натяжения нитей являются внутренними силами. А поскольку нити нерастяжимые, то сумма их работ равна нулю. В случае с грузом 2, нужно еще учесть силы натяжения нитей, действующих на шкив 3 и блок 4. Они равны по величине и противоположны по направлению силам T 23 и T 24 . Поэтому работа, производимая силами натяжения нитей 23 и 24 над грузом 2 равна по величине и противоположна по знаку работе, производимой силами натяжения этих нитей над шкивом 3 и блоком 4. В результате сумма работ, производимая силами натяжения нитей равна нулю.

Рассмотрим шкив 3. Поскольку его центр масс не перемещается, то работа силы тяжести P 3 равна нулю.
Поскольку ось C 3 неподвижна, то сила давления оси N 3 работу не производит.
Работа, произведенная моментом сил , вычисляется аналогично работе, произведенной силой :
.
В нашем случае, векторы момента сил трения и угла поворота шкива направлены вдоль оси вращения шкива, но противоположны по направлению. Поэтому работа момента сил трения:
Дж.

Рассмотрим блок 5.
Поскольку скорость точки K равна нулю, то сила T K работу не производит.
Центр масс блока C 5 переместился на расстояние s C5 вверх. Поэтому работа силы тяжести блока равна:
Дж.
Работа силы упругости пружины равна изменению потенциальной энергии пружины со знаком минус. Поскольку вначале пружина не деформирована, то
Дж.

Сумма работ всех сил:

Дж.

Применение теоремы об изменении кинетической энергии системы

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме.
.
Поскольку в начале система покоилась, то ее кинетическая энергия в начале движения
T 0 = 0 .
Тогда
.
Отсюда
м/с.

Интегральная (конечная) форма . Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки: изменение кинетической энергии мате-риальной точки на некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на том же перемещении .

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы формулируется: изменение кинетической энергии меха-нической системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних cuл, приложенных к системе, на этом перемещении:

В случае неизменяемой системы сумма работ внутренних сил на любом перемещении равна нулю (), тогда

Закон сохранения механической энергии. При движении механической системы под действием сил, имеющих потенциал, изменения кинетической энергии системы определяются зависимостями:

Откуда ,

Сумму кинетической и потенциальной энергий системы называют полной механической энергией системы.

Таким образом , при движении механической системы в стационар-ном потенциальном поле полная механическая энергия системы при движении остается неизменной .

Задача. Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжения тела 3, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость и ускорение тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s (рис. 3.70).

В задаче принять:

Решение. На механическую систему действуют активные силы , , . Применяя принцип освобождения от связей системы, покажем реакции шарнирно-неподвижной опоры 2 и шероховатой наклонной поверхности. Направления скоростей тел системы изобразим с учетом того, что тело 1 спускается.

Задачу решим, применяя теорему об изменении кинетической энергии механической системы :

где Т и - кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - алгебраическая сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное; - сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями:

Так как в начальном положении система покоилась, то . Следовательно:

Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3:

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, равна:

Кинетическая энергия блока 2, совершающего вращение вокруг оси Оz , перпендикулярной плоскости чертежа:

Кинетическая энергия тела 3 в его поступательном движении:

Таким образом,

Выражение кинетической энергии содержит неизвестные скорости всех тел системы. Начать определение необходимо с . Избавимся от лишних неизвестных, составив уравнения связей.

Уравнения связей это не что иное, как кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы. При составлении уравнений связей выразим все неизвестные скорости и перемещения тел системы через скорость и перемещение груза 1.

Скорость любой точки обода малого радиуса равна скорости тела 1, а также произведению угловой скорости тела 2 и радиуса вращения r:

Отсюда выразим угловую скорость тела 2:

Вращательная скорость любой точки обода блока большого радиуса , с одной стороны, равна произведению угловой скорости блока и радиуса вращения, а с другой - скорости тела 3:

Подставив значение угловой скорости, получим:

Проинтегрировав при начальных условиях выражения (а) и (б), запишем соотношение перемещений точек системы:

Зная основные зависимости скоростей точек системы, вернемся к выражению кинетической энергии и подставим в него уравнения (а) и (б):

Момент инерции тела 2 равен:

Подставляя значения масс тел и момента инерции тела 2, запишем:

Определение суммы работ всех внешних сил системы на заданном перемещении.

Теперь согласно теореме об изменении кинетической энергии механической системы приравняем значения Т и

Скорость тела 1 получим из выражения (г)

Ускорение тела 1 можно определить, продифференцировав по времени равенство (г).

Если рассмотреть какую-нибудь точку системы с мас­сой , имеющую скорость , то для этой точки будет

,

где и - элементарные работы действующих на точку внеш­них и внутренних сил. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, получим

,

. (2)

Равенство выражает теорему об изменении кине­тической энергии системы в дифференциальной форме.

Если полученное выражение отнести к элементарному промежутку времени, в течение которого произошло рассматриваемое перемещение, можно получить вторую формулировку для дифференциальной формы теоремы: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех внешних () и внутренних () сил, т.е.

Дифференциальными формами теоремы об изменении кинетической энергии можно воспользоваться для составления дифференциальных уравнений движения, но это делается достаточно редко, потому что есть более удобные приемы.

Проинтегрировав обе части равенства (2) в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна , в положение, где значение кинетической энергии становится равным , будемиметь

Полученное уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом пере­мещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

В отличие от предыдущих теорем, внутренние силы в уравнениях не исключаются. В самом деле, если и - силы взаимодействия между точками и системы (см. рис.51), то . Но при этом точка , может перемещаться по направ­лению к , а точка - по направлению к . Работа каждой из сил бу­дет тогда положительной и сумма работ нулем не будет. Примером мо­жет служить явление отката. Внутренние силы (силы давления), действующие и на снаряд и на откатывающиеся части, совершают здесь положительную работу. Сумма этих работ, не равная нулю, и изменяет кинетическую энергию системы от вели­чины в начале выстрела до величины конце.

Другой пример: две точки, соединенные пружиной. При изменении расстояния между точками упругие силы, приложенные к точкам, будут совершать работу. Но если система состоит из абсолютно твердых тел и связи между ними неизменяемые, не упругие, идеальные, то работа внутренних сил будет равна нулю и их можно не учитывать и вообще не показывать на расчетной схеме.

Рассмотрим два важных частных случая.

1) Неизменяемая система . Неизменяемой будем называть систему, в которой расстояния между точками приложения внутрен­них сил при движении системы не изменяются. В частности, такой системой является абсолютно твердое тело или нерастяжимая нить.

Рис.51

Пусть две точки и неизменяе­мой системы (pис.51), действующие друг на друга с силами и () имеют в данный момент скорости и . Тогда за промежу­ток времени dt эти точки совершат элементарные перемещения и , направленные вдоль векторов и . Но таккак отрезок является неизменяемым, то по известной теореме кинематики про­екции векторов и , а, следовательно, и перемещений и на направление отрезка будут равны друг другу, т.е. . Тогда элементарные работы сил и будут одинаковы по мо­дулю и противоположны по знаку и в сумме дадут нуль. Этот резуль­тат справедлив для всех внутренних сил при любом перемещении системы.

Отсюда заключаем, что для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения принимают вид

2) Система с идеальными связями . Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем. Разделим все действующие на точки системы внешние и внутренние силы на активные и реакции связей. Тогда

,

где - элементарная работа действующих на k- ю точку системы внешних и внутренних активных сил, a - элементарная работа реакций наложенных на ту же точку внешних и внутренних связей.

Как видим, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и активных сил и реакций связей. Однако можно ввести по­нятие о таких «идеальных» механических системах, у которых нали­чие связей не влияет на изменение кинетической энергии системы при ее движении. Для таких связей должно, очевидно, выполняться условие:

Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи назы­вают идеальными. Для механической системы, на которую наложены только не изменяющиеся со временем идеальные связи, будем, очевидно, иметь

Таким образом, изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяющимися со временем связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении, приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.

Механическая система называется консервативной (энергия ее как бы законсервирована, не изменяется), если для нее имеет место интеграл энергии

или (3)

Это есть закон сохранения механической энергии: при движении системы в потенциальном поле механическая энергия ее (сумма потенциальной и кинетической) все время остается неизменной, постоянной.

Механическая система будет консервативной, если действующие на нее силы потенциальны, например сила тяжести, силы упругости. В консервативных механических системах с помощью интеграла энергии можно проводить проверку правильности составления дифференциальных уравнений движения. Если система консервативна, а условие (3) не выполняется, значит при составлении уравнений движения допущена ошибка.

Интегралом энергии можно воспользоваться для проверки правильности составления уравнений и другим способом, без вычисления производной. Для этого следует после проведения численного интегрирования уравнений движения вычислить значение полной механической энергии для двух различных моментов времени, например, начального и конечного. Если разница значений окажется сопоставимой с погрешностями вычислений, это будет свидетельствовать о правильности используемых уравнений.

Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравнений движения внутренние силы, но все внешние силы, в том числе и наперед неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохранялись. Практическая ценность теоремы об изменении кинетической энергии состоит в том, что при не изменяющихся со временем идеальных связях она позволит исключить из уравнений движения все наперед неизвестные реакции связей.

Похожие статьи