Теория мора. Определение прогибов и углов поворотов методом мора

Теория прочности предельных напряженных состояний, предложенная Мором (начало ХХв.), основывается на предположении, что прочность материалов в общем случае напряженного состояния зависит главным образом от величины и знака наибольшего s 1 и наименьшего s 3 из главных напряжений. Среднее по величине главное напряжение лишь незначительно влияет на прочность.

Если при данных значениях s 1 и s 3 нарушается прочность материала, то круг, построенный на этих напряжениях, называется предельным. Меняя предельное напряженное состояние, получим для данного материала семейство предельных окружностей (рис.39):

Опыты показывают, что по мере перехода из области растяжения в область сжатия прочность увеличивается. Это соответствует увеличению диаметров предельных окружностей по мере движения влево. Огибающая АВСД семейства предельных кругов ограничивает область прочности.

При наличии предельной огибающей расчет прочности производится весьма просто. По найденным значениям главных напряжений s 1 и s 3 строим круг. Прочность будет обеспечена, если он целиком лежит внутри огибающей. Огибающую определяют путем построения по опытным данным нескольких кругов при различных комбинациях главных напряжений.

О применимости той или иной теории прочности для практических расчетов можно сказать следующее. Разрушение материалов происходит путем отрыва за счет растягивающих напряжений и путем среза за счет наибольших касательных напряжений. При этом разрушение путем отрыва может происходить при весьма малых остаточных деформациях или вовсе без них (хрупкое разрушение). Разрушение путем среза имеет место лишь после некоторой остаточной деформации (вязкое разрушение). Отсюда ясно, что первую и вторую теории прочности, отражающие разрушение путем отрыва, следует применять для материалов, находящихся в хрупком состоянии. Третью и четвертую теории прочности, отражающие наступление текучести и разрушение путем среза, следует применять для материалов, находящихся в пластическом состоянии. Теория прочности Мора является универсальной и пригодной для всех материалов.

Так как первая и вторая теории прочности имеют существенные недостатки, то в настоящее время все более утверждается мнение о нежелательности их применения.

Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать:

а) третью теорию (или четвертую) – для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию;

б) теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Следует подчеркнуть, что хрупкое или пластическое состояние материала определяется не только его характером, но и видом напряженного состояния, температурой и скоростью нагружения. Как показывают опыты, пластичные материалы при определенных условиях нагружения и температуре ведут себя как хрупкие, в то же время хрупкие материалы при определенных напряженных состояниях ведут себя как пластичные.

Так, например, при напряженных состояниях, когда все три главных напряжения - растягивающие и близки по величине, пластичные материалы ведут себя как хрупкие.

При напряженных состояниях, близких к всестороннему сжатию, хрупкие материалы могут вести себя как пластичные. При всестороннем сжатии материалы могут выдерживать, не разрушаясь, очень большие давления.

Допустим, что мы располагаем испытательной машиной, на которой образцу можно задавать любые напряженные состояния с пропорциональным изменением всех компонент.

Выберем некоторое напряженное состояние и будем одновременно увеличивать все компоненты. Рано или поздно это напряженное состояние станет предельным. Образец либо разрушится, либо в нем появятся пластические деформации. Вычертим для предельного состояния на плоскости наибольший из трех кругов Мора (круг 1, рис. 8.2). Будем в дальнейшем считать, что предельное состояние не зависит от Далее, на образце того же материала проводим испытание при другом напряженном состоянии. Снова путем пропорционального увеличения компонент добиваемся того, что напряженное состояние станет предельным. На диаграмме (см. рис. 8.2) вычерчиваем соответствующий круг (круг 2).

Вычерчиваем их общую огибающую. Примем, что эта огибающая является единственной, независимо от промежуточных главных напряжений . Это положение является основным допущением в излагаемой теории.

Форма огибающей предельных кругов Мора зависит от свойств материала и является его механической характеристикой, такой же, как, например, диаграмма растяжения. Если огибающая предельных кругов для материала дана, можно при любом заданном напряженном состоянии определить коэффициент запаса. Для этого надо по заданным напряжениям вычертить наибольший из трех кругов Мора, а затем, хотя бы графически, установить, во сколько раз следует увеличить чтобы увеличенный круг касался предельной огибающей.

В изложенном подходе к вопросам предельных состояний не содержится, как видим, критериальных гипотез, и теория Мора основана в первую очередь на логической систематизации результатов необходимых экспериментов.

Теперь нужно решить вопрос о том, как построить огибающую предельных кругов при ограниченном числе испытаний. Наиболее простыми являются испытания на растяжение и сжатие. Следовательно, два предельных круга получить просто (рис. 8.3). Можно получить еще один предельный круг путем испытания тонкостенной трубки на кручение. При этом материал будет находиться в состоянии чистого сдвига и центр соответствующего круга расположится в начале координат (рис. 8.4).. Однако этот круг для определения формы огибающей мало что дает, поскольку расположен вблизи двух первых кругов.

Для определения огибающей чрезвычайно важно знать положение точки С (см. рис. 8.2 и 8.3). Нормальное напряжение в этой точке представляет собой напряжение отрыва при всестороннем растяжении. До сих пор, однако, не существует метода для проведения соответствующего испытания. Вообще не удается осуществить испытание в условиях напряженного состояния, когда все три главных напряжения являются растягивающими (об этом подробнее см. в § 14.2). Поэтому пока нет возможности построить для материала предельный круг, расположенный правее предельного круга растяжения.

В силу указанных обстоятельств наиболее простым и естественным является решение аппроксимировать предельную огибающую касательной к кругам растяжения и сжатия (см. рис. 8.3). Понятно, что это не исключает возможности в дальнейшем, когда будут найдены новые методы испытания, уточнить форму огибающей и тем самым более полно отразить особенности поведения материала в условиях, близких к всестороннему растяжению.

Выведем выражение для полагая, что огибающая является прямой. На рис. 8.4 эта огибающая проведена по касательной к предельным кругам растяжения и сжатия (точки и

Построим круг Мора для некоторого напряженного состояния, заданного наибольшим и наименьшим главными напряжениями (см. рис. 8.4). Если все компоненты этого напряженного состояния увеличить в раз (где - коэффициент запаса), то круг станет предельным. Напряжения примут значения

Этот увеличенный (предельный) круг Мора касается предельной огибающей в точке С. Кроме того, согласно условию пропорционального увеличения компонент, он будет касаться продолжения луча ОА в точке В. Из точки С проводим горизонтальную прямую и составляем пропорпорцию:

Но отрезки и представляют собой разности радиусов рассматриваемых кругов. Поэтому

Преобразовывая пропорцию, получаем

или, если учесть выражения (8.3),

Для эквивалентного растяжения

По условию эквивалентности коэффициенты запаса в этих напряженных состояниях равны. Поэтому

где - отношение предела текучести при растяжении к пределу текучести при сжатии: . В частном случай, если материал имеет при растяжении и сжатии одинаковые пределы текучести, Тогда формула (8.4) переходит в полученную ранее формулу (8.1).

В настоящее время практические расчеты по допускаемым напряжениям в сложном напряженном состоянии ведут, как правило, на основе формулы (8.4). Вместе с тем, если материал обладает одинаковыми механическими характеристиками при растяжении и сжатии, то расчеты можно вести по

формулам гипотезы энергии формоизменения. Числовые результаты получаются вполне удовлетворительными.

Основное ограничение, которое накладывается на применение теории Мора, связано с недостаточной точностью определения предельной огибающей в области всестороннего растяжения. Это ограничение, однако, не столь существенно, поскольку напряженные состояния такого рода при решении практических задач встречаются редко. Недостаточно точно известен также вид предельной огибающей в области глубокого всестороннего сжатия. Здесь вследствие принятого упрощения также возможны погрешности. Наилучшие результаты выведенная расчетная формула дает для смешанных напряженных состояний, т. е. при Тогда предельный круг Мора располагается в интервале между предельными кругами растяжения и сжатия.

Подход Мора хорош тем, что позволяет в связи с особенностями напряженного состояния доходчиво разъяснить относительную условность деления материалов на пластичные и хрупкие.

Для одного и того же материала мы всегда можем построить две огибающие предельных кругов Мора. Первая огибающая характеризует переход от упругого состояния материала к пластическому. Поскольку образование пластических деформаций мы принимаем независимым от шарового тензора, эта огибающая представляет собой прямую, параллельную оси а (рис. 8.5). Вторая огибающая соответствует разрушению образца (кривая 2).

Для материала пластичного (в общепринятом понимании этого термина) прямая 1 в правой части диаграммы (см.

рис. 8.5, а) проходит ниже кривой 2. Это означает, что при обычном испытании образца на растяжение круг Мора 8, но мере увеличения растягивающего напряжения а, сначала пересечет прямую 1. В образце возникнут пластические деформации. Затем круг 3 коснется кривой 2. Образец разрушится.

Теперь рассмотрим взаимное расположение огибающих для хрупкого материала (см. рис. 8.5, б). Здесь прямая 1 в правой части диаграммы расположена выше кривой 2. При испытании образца на растяжение круг Мора 8, не касаясь прямой 1, соприкасается с кривой 2. Разрушение происходит без заметных остаточных деформаций, как и положено для хрупких материалов. Предел текучести при этом, естественно, не определяют. Но это еще не значит, что он не существует. Представим себе, что мы испытываем тот же образец на растяжение в условиях высокого гидростатического давления. Тогда круг 3, как единое целое, сместится в левую часть диаграммы и при увеличении растягивающей силы коснется сначала прямой 1, но не кривой 2. Мы получаем и пластические деформации для материала, считающегося хрупким, и находим даже его предел текучести.

Все признаки хрупкого разрушения можно получить и у пластичного материала, если его испытывать в условиях наложенного всестороннего растяжения.

Главное достоинство теории Мора заключается в принципе подхода к рассматриваемому вопросу. К сожалению, на это далеко не всегда обращают внимание, и часто теорию Мора ставят в один ряд с общеизвестными гипотезами, а то обстоятельство, что в частных случаях расчетная формула Мора совпадает с расчетной формулой гипотезы касательных напряжении, усиливает впечатление о равноценности этих подходов. Между тем феноменологический подход Мора, т.е. подход, основанный на логическом описании явления, является наиболее естественным и правильным. При обнаружении погрешностей или несоответствий этот подход сохраняет за нами возможность внести в теорию дополнительные уточнения. Так, если в дальнейшем удастся провести испытания образцов в области положительных можно будет аппроксимировать предельную огибающую Мора уже не прямой, а некоторой

кривой. В расчетную формулу в этом случае войдут не только характеристики материала на растяжение и сжатие, но и некоторые новые показатели, найденные в результате дополнительных испытаний.

Особое значение приобретает феноменологический подход в связи с широким применением в технике новых материалов. Такие материалы, как стеклопластики, стеклоткани и вообще материалы, имеющие волокнистую структуру, часто работают в условиях сложного напряженного состояния. При анализе подобных конструкций уже не приходится рассчитывать на апробированные теории. Надо создавать новую теорию, а это не всегда легко. Поэтому более целесообразным является феноменологический подход.

Сказанное о предпочтительности феноменологического подхода к вопросам предельного состояния не зачеркивает практического значения некоторых гипотез. Так, гипотеза максимальных касательных напряжений и гипотеза энергии формоизменения, прочно вошли в расчетную практику и обеспечивают большие удобства при решении конкретных задач, а гипотеза энергии формоизменения приобрела особое значение в связи с созданием и развитием теории пластичности (см. § 11.2).

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение теории предельных состояний.

Пример 8.1. Определить, какое из трех показанных на рис. 8.6 напряженных состояний является более опасным. Числовые значения напряжений заданы в Материал на растяжение и на сжатие работает одинаково

Подсчитываем эквивалентное напряжение по формуле (8.4) для случаев а, б и в.

Наиболее опасным является состояние а. Состояния a и b равкоопасны.

Пример 8.2. Прибор для исследования морских глубин опускают под воду на глубину Н (рис. 8.7). Вес прибора в воде равен Р. Плотность воды , а материала троса . Определить эквивалентные напряжения в верхнем и нижнем сечениях троса, если

В нижнем сечении имеет место трехосное напряженное состояние. Растягивающее напряжение создается весом прибора, сжимающее - давлением жидкости на глубине

В верхнем сечении имеет место только осевое растяжение, создаваемое весом прибора Р и весом троса в воде Таким образом, в верхнем сечении

Если плотность троса более чем в два раза превышает плотность воды, то наиболее опасным будет верхнее сечение троса. Это сечение необходимо также проверить на прочность в случае, когда прибор висит на тросе в воздухе перед опусканием в воду.

Пример 8.3. Через систему шестерен передается момент (рис. 8.8). В пределах вычерченного узла этот момент уравновешивается моментом на нижней шестерне, где передаточное число от

первого вала ко второму. Подобрать диаметр первого вала, если дано: см. Материал на растяжение и сжатие работает одинаково: . Требуется обеспечить двукратный запас прочности

Из условия равенства нулю суммы моментов относительно оси вала находим тангенциальную силу на шестерне (рис. 8.8, б): . Между шестернями возникает не только тангенциальная, но и радиальная сила Ее значение зависит от типа зацепления. Обычно принимают, что Определяя реакции опор, строим эпюры изгибающих и крутящих моментов (рис. 8.8, в).

Результирующий наибольший изгибающий момент равен, очевидно,

Наиболее опасной будет периферийная точка В в сечении, лежащая в плоскости момента (рис. 8.8, г).

В окрестности точки выделяем элемент, показанный на рис. 8.8, д. Напряжение определяется изгибающим моментом, крутящим:

Для полученного напряженного состояния находим главные напряжения. Поскольку одна из главных площадок известна, пользуемся

построением круга Мора (рис. 8.9), откуда получаем

Подставляя сюда значения изгибающего и крутящего моментов, получаем окончательно

По заданным числовым значениям величии из условия находим диаметр мм.

Рассмотренное в последнем примере напряженное состояние всегда встречается при расчете вала на совместные кручение и изгиб (или растяжение). Поэтому имеет смысл для плоского напряженного состояния , показанного на рис. 8.9, сразу выразить стэкв через две указанные компоненты с тем, чтобы избежать промежуточного определения главных напряжений.

Согласно этой теории нарушение прочности происходит тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений.

В первоначальной формулировке теории Мора вопрос о характере разрушения остается открытым; в зависимости от того, какой будет эта неблагоприятная комбинация, речь может идти о наступлении текучести или о разрушении в прямом смысле слова. Запишем условие прочности по Мору следующим образом:

В плоскости это уравнение изображается некоторой кривой (рис. 265). Для суждения о прочности необходимо рассмотреть всевозможные площадки, проходящие через данную точку, и проверить, будет ли выполнено равенство (182.1) хотя бы на одной из них.

Каждой площадке соответствует точка с координатами на плоскости чертежа, совокупность этих точек заполняет некоторую фигуру. Покажем, что кривая, ограничивающая снаружи эту фигуру, является кругом Мора, построенным на напряжениях . Действительно, точки этого круга изображают напряженные состояния на площадках, параллельных оси следовательно, принадлежат искомой фигуре. Теперь нам достаточно показать, что точка М, находящаяся вне круга Мора, построенного на напряжениях не может изображать напряженного состояния на какой-либо площадке.

Для доказательства предположим противное. Тогда отрезок МС больше радиуса круга Мора и мы имеем следующее неравенство:

Здесь - координаты точки М.

После элементарных преобразований это неравенство примет следующий вид:

По предположению являются нормальным и касательным напряжениями на некоторой площадке. Пусть направляющие косинусы ее нормали по отношению к главным осям будут Тогда по формулам § 39

Внеся эти выражения для s и в неравенство (181.2), получим:

Но направляющие косинусы связаны условием

Поэтому первая скобка равна . Сокращая эту величину, придем окончательно к следующему неравенству:

Но это неравенство невозможно. Действительно, левая часть представляет собою квадратный трехчлен относительно корни этого трехчлена . Так как при трехчлен равен то при и трехчлен положителен, следовательно, при , он должен быть отрицателен, а по определению является средним по величине напряжением.

Следовательно, способ проверки прочности оказывается таким же, как в предыдущем параграфе: на напряжениях , строится круг Мора, прочность обеспечена в том случае, когда этот круг не пересекает предельную кривую.

Вид предельной кривой находится из опыта. Для различных напряженных состояний, соответствующих условию разрушения, строятся круги Мора. Предельная кривая будет их огибающей. Как уже неоднократно указывалось, опытные данные по разрушению относятся главным образом к плоскому напряженному состоянию. Если известны разрушающие напряжения при растяжении, сжатии и чистом сдвиге, мы можем с достаточной степенью надежности построить участок предельной кривой, позволяющей судить о прочности во всех случаях плоского напряженного состояния. Действительно, при плоском напряженном состоянии, если то в противном случае было бы и напряженное состояние не было бы плоским; случай же, когда , невозможен, тогда . Поэтому для плоского напряженного состояния круг Мора, построенный на напряжениях либо заключает в себе начало координат, либо проходит через него.

Построим круги Мора, соответствующие предельному состоянию при растяжении, при сжатии и при чистом сдвиге, как показано на рис. 266. Огибающая этих кругов АВ представляет собою часть предельной кривой, которая определяется, таким образом, достаточно надежно. Предельные круги Мора для всех возможных плоских напряженных состояний будут, в соответствии с вышесказанным, касаться предельной кривой на участке АВ. Для того чтобы продолжить предельную кривую влево, необходимо иметь опытные данные испытаний при наложенном всестороннем сжатии. Такие опыты производились многократно, и соответствующие результаты имеются. Продолжение кривой вправо от точки В носит гипотетический характер, следует ожидать, что она пересекает ось в точке .

Абсцисса этой точки представляет собою сопротивление отрыву при всестороннем растяжении, то есть при полном отсутствии пластической деформации. Форма кривой вблизи точки D совершенно неизвестна.

У хрупких материалов обычно сопротивление сжатию больше, чем сопротивление растяжению, соответствующие величины проще всего находятся из опыта. Для расчета на прочность в условиях плоского напряженного состояния в первом приближении можно заменить кривую прямой, касающейся предельных кругов Мора для растяжения и для сжатия. Действительная кривая, как показано на рис. 266, направлена выпуклостью вверх, поэтому сделанное допущение идет в запас прочности.

Рассматривая всевозможные круги Мора, касающиеся прямой АВ (рис. 267), мы найдем, что величины , для этих кругов связаны линейным соотношением. Действительно, из подобия треугольников ОАВ и КСВ следует:

Так как - радиус круга Мора, отрезки АО, ОВ и АВ фиксированы заданием предельной прямой, то вышеприведенная пропорция принимает следующий вид:

Но это есть линейное соотношение между а, и которое можно записать следующим образом:

(182.3)

При растяжении и в предельном состоянии временное сопротивление при растяжении); поэтому . При сжатии и в предельном состоянии - временное сопротивление при сжатии); поэтому . Условие достижения предельного состояния (182.3) запишется следующим образом:

Вводя запас прочности, получим следующее условие прочности:

(182.4)

Условие (182.4) справедливо как для хрупких, так и для пластических материалов, так как при оно превращается в условие Треска.

Нужно помнить, что применение формулы (182.4) обосновано только для плоского напряженного состояния, так как всякая экстраполяция линейной формулы для уравнения предельной кривой сомнительна.

Недостатком теории Мора является то, что в ней не учитывается роль среднего напряжения . Для пластических материалов условие Мора переходит в условие Треска, а мы видели, что достижение пластического состояния лучше предсказывается условием Мизеса, содержащим все три главных напряжения. Действительно, если построить круги Мора для различных предельных состояний, не ограничиваясь растяжением, сжатием и чистым сдвигом, как это показано на рис. 266, то окажется, что, строго говоря, огибающей провести нельзя.

Развивая ту же идею, которая заставила перейти от условия пластичности. Треска к условию Мизеса, можно предположить, что предельное состояние достигается тогда, когда возникает неблагоприятная комбинация октаэдрического касательного и октаэдрического нормального напряжений. Условие (182.1) при этом заменяется следующим:

Здесь (см. § 41)

Соответствующие теории развивались Шлейхером (1926 г.), Ю. И. Ягном (1931 г.), П. П. Баландиным (1937 г.). Для получения расчетных формул целесообразно задаться некоторым аналитическим выражением для функции что и было сделано упомянутыми авторами. По-видимому, теории такого типа лучше отвечают опытным данным, чем теория Мора.

Главное напряжение влияет на прочность материала, однако изменяет ее незначительно - в пределах 15%. Поэтому можно с известным приближением считать, что прочность материала определяется лишь наибольшим и наименьшим главными напряжениями Таким образом, расчет прочности в общем случае трехосного напряженного состояния сводится к расчету прочности при двухосном напряженном состоянии.

Для анализа прочности материала при двухосном напряженном состоянии удобно пользоваться кругами Мора, подробно рассмотренными в § 5.3.

Если для какого-либо материала имеются данные о его опасных состояниях при нескольких различных соотношениях между напряжениями то, изображая каждое опасное напряженное состояние при помощи круга Мора, получаем некоторое семейство таких кругов (рис. 1.8). Если к этому семейству кругов провести огибающую, то круги, характеризующие прочное состояние материала, будут располагаться внутри огибающей, а характеризующие опасное состояние - касаться ее.

Уменьшив эти круги в раз (где п - коэффициент запаса) и сохранив масштаб для напряжений, можно получить круги и огибающую, соответствующие допускаемым напряженным состояниям (рис. 2.8).

Для материалов, сопротивление которых сжатию больше, чем растяжению, ординаты огибающей уменьшаются по мере возрастання растягивающих напряжений (см. рис. 1.8). В некоторой точке А (при положительном значении а) огибающая пересекает ось абсцисс. Эту точку можно рассматривать как круг Мора для случая всестороннего равномерного растяжения.

Эксперименты показывают, что при всестороннем равномерном сжатии материал не разрушается, как бы велики ни были сжимающие напряжений. Поэтому огибающая остается незамкнутой и не пересекает ось абсцисс при отрицательных значениях а.

Получение достаточного количества опытных данных для точного построения огибающей затруднительно.

Поэтому практически огибающую, соответствующую допускаемым напряженным состояниям, имеющую криволинейное очертание, заменяют двумя прямыми АВ и АС, которые являются касательными к кругам Мора, построенным по значениям полученным на основании опытов на одноосное растяжение и сжатие (рис. 3.8).

Для того чтобы выяснить, удовлетворяется ли условие прочности в некоторой точке тела при возникающих в ней главных напряжениях и по этим значениям напряжений необходимо построить соответствующий круг Мора.

Если круг будет расположен между прямыми АВ и АС (круг 1 на рис. 3.8), то, следовательно, материал в окрестности рассматриваемой точки имеет избыточную прочность, а если круг будет пересекать эти прямые (круг 2 на рис. 3.8), то этот материал имеет недостаточную прочность, т. е. коэффициент запаса для соответствующего напряженного состояния меньше требуемого. Круг, касающийся прямых АВ и АС (круг 3 на рис. 3.8), характеризует напряженное состояние, которое является допускаемым.

Этот способ проверки прочности материала предложен О. Мором.

Выяснить, удовлетворяет ли данное напряженное состояние условию прочности, можно и не прибегая к построению круга Мора, а воспользовавшись аналитическим выражением условия прочности. Для получения такого выражения построим круг Мора, касающийся прямых А3 и А3", т. е. круг, соответствующий допускаемому напряженному состоянию (этот круг в точке 5 на рис. 4.8 касается прямой А3), и установим соотношение между главными напряжениями в этом состоянии.

Из подобия треугольников 1-2-8 и 6-7-8 (рис. 4.8) находим

Подставляем эти значения в уравнение (а):

откуда после преобразований получаем

Следовательно, условие прочности имеет вид

Условие (9.8) выражает упрощенную теорию Мора, в которой предельные (или допускаемые) огибающие заменены прямыми, проведенными по известным значениям опасных (или допускаемых) напряжений при простом растяжении и сжатии.

Теория прочности Мора широко используется при расчетах конструкций из хрупких материалов. Для пластичных материалов допускаемые напряжения на одноосное растяжение и сжатие одинаковы и теория прочности Мора совпадает с третьей теорией прочности. Поэтому теорию прочности Мора иногда рассматривают как обобщение третьей теории применительно к хрупким материалам, неодинаково сопротивляющимся растяжению и сжатию. Заметим, что при огибающая кругов Мора, соответствующих предельным (или допускаемым) напряженным состояниям, параллельна оси а.

Недостатком теории прочности Мора (так же как и третьей теории) является пренебрежение влиянием промежуточного главного напряжения

Кроме того, следует иметь в виду, что, по существу, она применима для случаев таких напряженных состояний, для которых т. е. главные круги Мора (т. е. круги, построенные на главных напряжениях ) располагаются между кругами, соответствующими одноосному растяжению и одноосному сжатию, использованными при выводе условия прочности (9.8).

Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.

Получение формулы интеграла Мора

Рассмотрим балку, изображенную на рис. 15.6, а. Обозначим и , соответственно, изгибающий момент и поперечную силу, возникающие в заданной балке от действующей на нее группы нагрузок P. Пусть требуется определить прогиб балки () в точке K.

Введем в рассмотрение вспомогательную балку (та же балка, но нагруженная только единичной силой либо единичным изгибающим моментом). Нагрузим ее только одной силой (рис. 15.6, б). Единичную силу приложим в точке K, где нужно определить прогиб.

Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной балке, обозначим и .

Воспользуемся теперь теоремой о взаимности работ, согласно которой работа внешних сил, приложенных к вспомогательной балке на соответствующих перемещениях заданной балки равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил заданной балки на соответствующих перемещениях вспомогательной балки. Тогда .

При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием поперечной силы, (не учитывать второе слагаемое).

Тогда, учитывая, что , окончательно получим формулу интеграла Мора : .

Определение перемещений по формуле интеграла Мора часто называют определением перемещений методом Мора , а саму формулу – интегралом Мора .

Входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z.

Заметим, что если мы хотим в этой же точке K определить угол поворота поперечного сечения (), то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, а единичный момент (рис. 15.6, в).

порядок вычисления перемещений методом Мора:

· к вспомогательной балке в той точке, где требуется определить перемещение, прикладываем единичное усилие. При определении прогиба прикладываем единичную силу , а при определении угла поворота – единичный момент ;

· для каждого участка балки составляем выражения для изгибающих моментов заданной () и вспомогательной () балок;

· вычисляем интеграл Мора для всей балки по соответствующим участкам;

· если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного усилия. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия.

Вычисление интеграла Мора пример

Пусть для шарнирно опертой балки постоянной изгибной жесткости , длиной l, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 15.7, а), требуется определить прогиб посредине пролета () и угол поворота на левой опоре ().