Vzhľadom na kvadratickú formu (2) A(X, X) = , kde X = (X 1 , X 2 , …, X n). Zvážte kvadratickú formu v priestore R 3, tj X = (X 1 , X 2 , X 3), A(X, X) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(použili sme podmienku tvarovej symetrie, tj A 12 = A 21 , A 13 = A 31 , A 23 = A 32). Vypíšeme maticu kvadratická forma A v základe ( e}, A(e) =
. Keď sa základ zmení, matica kvadratickej formy sa zmení podľa vzorca A(f) = C t A(e)C, Kde C– prechodová matica zo základu ( e) na základ ( f), A C t– transponovaná matica C.

Definícia11.12. Forma kvadratickej formy s diagonálnou maticou sa nazýva kanonický.

Tak nech A(f) =
, Potom A"(X, X) =
+
+
, Kde X" 1 , X" 2 , X" 3 - vektorové súradnice X na novom základe ( f}.

Definícia11.13. Vpustiť n V zvolí sa takýto základ f = {f 1 , f 2 , …, f n), v ktorom má kvadratická forma tvar

A(X, X) =
+
+ … +
, (3)

Kde r 1 , r 2 , …, r n– vektorové súradnice X v základe ( f). Výraz (3) sa nazýva kanonický pohľad kvadratická forma. Koeficienty  1, λ 2, …, λ n sa volajú kanonický; základ, v ktorom má kvadratická forma kánonickú formu, sa nazýva kánonickom základe.

Komentujte. Ak kvadratická forma A(X, X) sa redukuje na kanonickú formu, potom, všeobecne povedané, nie všetky koeficienty  i sa líšia od nuly. Hodnosť kvadratickej formy sa rovná hodnote jej matice na akomkoľvek základe.

Nech hodnosť kvadratického tvaru A(X, X) je rovnaký r, Kde r ≤ n. Matica kvadratického tvaru v kanonickom tvare má diagonálny tvar. A(f) =
, keďže má rovnaké postavenie r, potom medzi koeficienty  i musí byť r, Nie rovná nule. Z toho vyplýva, že počet nenulových kanonických koeficientov sa rovná hodnote kvadratickej formy.

Komentujte. Lineárna transformácia súradníc je prechodom od premenných X 1 , X 2 , …, X n na premenné r 1 , r 2 , …, r n, v ktorej sú staré premenné vyjadrené prostredníctvom nových premenných s nejakými číselnými koeficientmi.

X 1 = a 11 r 1 + α 12 r 2 + … + α 1 n r n ,

X 2 = α 2 1 r 1 + α 2 2 r 2 + … + α 2 n r n ,

………………………………

X 1 = a n 1 r 1 + a n 2 r 2 + … + α nn r n .

Keďže každá základná transformácia zodpovedá nedegenerovanej lineárnej transformácii súradníc, otázku redukcie kvadratickej formy na kanonickú formu možno vyriešiť výberom zodpovedajúcej nedegenerovanej transformácie súradníc.

Veta 11.2 (hlavná veta o kvadratických formách). Akákoľvek kvadratická forma A(X, X), špecifikované v n-rozmerný vektorový priestor V, pomocou nedegenerovanej lineárnej transformácie súradníc možno zredukovať na kanonickú formu.

Dôkaz. (Lagrangeova metóda) Myšlienkou tejto metódy je postupne dopĺňať kvadratický trinom pre každú premennú na úplný štvorec. Budeme to predpokladať A(X, X) ≠ 0 a v zákl e = {e 1 , e 2 , …, e n) má tvar (2):

A(X, X) =
.

Ak A(X, X) = 0, potom ( a ij) = 0, to znamená, že forma je už kanonická. Vzorec A(X, X) možno transformovať tak, že koeficient a 11 ≠ 0. Ak a 11 = 0, potom koeficient druhej mocniny inej premennej je odlišný od nuly, potom prečíslovaním premenných je možné zabezpečiť, že a 11 ≠ 0. Prečíslovanie premenných je nedegenerovaná lineárna transformácia. Ak sú všetky koeficienty umocnených premenných rovné nule, potom sa potrebné transformácie získajú nasledovne. Nech napr. a 12 ≠ 0 (A(X, X) ≠ 0, teda aspoň jeden koeficient a ij≠ 0). Zvážte transformáciu

X 1 = r 1 – r 2 ,

X 2 = r 1 + r 2 ,

X i = r i, o i = 3, 4, …, n.

Táto transformácia je nedegenerovaná, pretože determinant jej matice je nenulový
= = 2 ≠ 0.

Potom 2 a 12 X 1 X 2 = 2 a 12 (r 1 – r 2)(r 1 + r 2) = 2
– 2
, teda vo forme A(X, X) naraz sa objavia štvorce dvoch premenných.

A(X, X) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Pridelenú sumu prevedieme do tvaru:

A(X, X) = a 11
, (5)

kým koeficienty a ij zmeniť na . Zvážte nedegenerovanú transformáciu

r 1 = X 1 + + … + ,

r 2 = X 2 ,

r n = X n .

Potom dostaneme

A(X, X) =
. (6).

Ak kvadratická forma
= 0, potom otázka obsadenia A(X, X) na kánonickú formu.

Ak sa tento tvar nerovná nule, potom zopakujeme úvahy, berúc do úvahy transformácie súradníc r 2 , …, r n a bez zmeny súradníc r 1. Je zrejmé, že tieto premeny budú nedegenerované. V konečnom počte krokov, kvadratická forma A(X, X) sa zredukuje na kánonickú formu (3).

Komentujte 1. Požadovaná transformácia pôvodných súradníc X 1 , X 2 , …, X n možno získať vynásobením nedegenerovaných transformácií nájdených v procese uvažovania: [ X] = A[r], [r] = B[z], [z] = C[t], potom [ X] = AB[z] = ABC[t], teda [ X] = M[t], Kde M = ABC.

Komentujte 2. Nechajte A(X, X) = A(X, X) =
+
+ …+
, kde  i ≠ 0, i = 1, 2, …, r a  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Zvážte nedegenerovanú transformáciu

r 1 = z 1 , r 2 = z 2 , …, r q = z q , r q +1 =
z q +1 , …, r r = z r , r r +1 = z r +1 , …, r n = z n. Ako výsledok A(X, X) bude mať tvar: A(X, X) = + + … + – – … – ktorá sa volá normálna forma kvadratickej formy.

Príklad11.1. Znížte kvadratickú formu na kanonickú formu A(X, X) = 2X 1 X 2 – 6X 2 X 3 + 2X 3 X 1 .

Riešenie. Pretože a 11 = 0, použite transformáciu

X 1 = r 1 – r 2 ,

X 2 = r 1 + r 2 ,

X 3 = r 3 .

Táto transformácia má maticu A =
, to je [ X] = A[r] dostaneme A(X, X) = 2(r 1 – r 2)(r 1 + r 2) – 6(r 1 + r 2)r 3 + 2r 3 (r 1 – r 2) =

2– 2– 6r 1 r 3 – 6r 2 r 3 + 2r 3 r 1 – 2r 3 r 2 = 2– 2– 4r 1 r 3 – 8r 3 r 2 .

Keďže koeficient pri sa nerovná nule, môžeme vybrať druhú mocninu jednej neznámej, nech je r 1. Vyberme všetky výrazy, ktoré obsahujú r 1 .

A(X, X) = 2(– 2r 1 r 3) – 2– 8r 3 r 2 = 2(– 2r 1 r 3 + ) – 2– 2– 8r 3 r 2 = 2(r 1 – r 3) 2 – 2– 2– 8r 3 r 2 .

Vykonajte transformáciu, ktorej matica sa rovná B.

z 1 = r 1 – r 3 ,  r 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = r 2 ,  r 2 = z 2 ,

z 3 = r 3 ;  r 3 = z 3 .

B =
, [r] = B[z].

Dostaneme A(X, X) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Vyberme pojmy, ktoré obsahujú z 2. Máme A(X, X) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Vykonanie maticovej transformácie C:

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z] = C[t].

Mám: A(X, X) = 2– 2+ 6kanonická forma kvadratickej formy s [ X] = A[r], [r] = B[z], [z] = C[t], odtiaľ [ X] = ABC[t];

ABC =


=
. Konverzné vzorce sú nasledovné

X 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

X 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

220400 Algebra a geometria Tolstikov A.V.

Prednášky 16. Bilineárne a kvadratické formy.

Plán

1. Bilineárna forma a jej vlastnosti.

2. Kvadratický tvar. Matica kvadratického tvaru. Transformácia súradníc.

3. Redukcia kvadratickej formy na kanonickú formu. Lagrangeova metóda.

4. Zákon zotrvačnosti kvadratických foriem.

5. Redukcia kvadratickej formy na kanonickú formu pomocou metódy vlastných čísel.

6. Silverstovo kritérium pre pozitívnu definitívnosť kvadratickej formy.

1 kurz analytická geometria A lineárna algebra. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Prvky lineárnej algebry a analytickej geometrie. 1997.

3. Voevodin V.V. Lineárna algebra.. M.: Nauka 1980.

4. Zbierka úloh pre vysoké školy. Lineárna algebra a základy matematická analýza. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Lineárna algebra v otázkach a problémoch. M.: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Bilineárna forma a jej vlastnosti. Nechaj V - n-rozmerný vektorový priestor nad poľom P.

Definícia 1.Bilineárna forma, definované na V, takémuto mapovaniu sa hovorí g: V2® P, ktoré ku každému objednanému páru ( X , r ) vektory X , r od vloží V priraďte číslo z poľa P, označené g(X , r ) a lineárne v každej z premenných X , r , t.j. majúce vlastnosti:

1) ("X , r , z Î V)g(X + r , z ) = g(X , z ) + g(r , z );

2) ("X , r Î V) („a О P)g(a X , r ) = a g(X , r );

3) ("X , r , z Î V)g(X , r + z ) = g(X , r ) + g(X , z );

4) ("X , r Î V) („a О P)g(X , a r ) = a g(X , r ).

Príklad 1. akýkoľvek skalárny produkt, definovaný na vektorovom priestore V je bilineárna forma.

2 . Funkcia h(X , r ) = 2X 1 r 1 - X 2 r 2 +X 2 r 1 kde X = (X 1 ,X 2), r = (r 1 ,r 2) О R 2, bilineárna forma zapnutá R 2 .

Definícia 2. Nechaj v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Matrix bilineárna forma g(X , r ) vzhľadom na základv nazývaná matica B=(b ij)n ´ n, ktorého prvky sa vypočítavajú podľa vzorca b ij = g(v i, v j):

Príklad 3. Bilineárna matica h(X , r ) (pozri príklad 2) vzhľadom na základ e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) sa rovná .

Veta 1. NechajX, Y - súradnicové stĺpce vektorov respX , r v základev, B - matica bilineárnej formyg(X , r ) vzhľadom na základv. Potom môže byť bilineárna forma napísaná ako

g(X , r )=X t BY. (1)

Dôkaz. Z vlastností bilineárnej formy získame

Príklad 3. Bilineárna forma h(X , r ) (pozri príklad 2) možno zapísať v tvare h(X , r )=.

Veta 2. Nechaj v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - dve základne vektorový priestor V, T - matica prechodu zo záklv na základu. Nechaj B= (b ij)n ´ n A S=(s ij)n ´ n - bilineárne maticeg(X , r ) vzhľadom na bázyv au. Potom

S=T t BT.(2)

Dôkaz. Definíciou matice prechodu a matice bilineárnej formy nájdeme:



Definícia 2. Bilineárna forma g(X , r ) sa nazýva symetrické, Ak g(X , r ) = g(r , X ) pre akékoľvek X , r Î V.

Veta 3. Bilineárna formag(X , r )- symetrický práve vtedy, ak je matica bilineárneho tvaru symetrická vzhľadom na akúkoľvek bázu.

Dôkaz. Nechaj v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - základ vektorového priestoru V,B= (b ij)n ´ n- matice bilineárneho tvaru g(X , r ) vzhľadom na základ v. Nechajte bilineárnu formu g(X , r ) - symetrické. Potom podľa definície 2 pre ľubovoľné i, j = 1, 2,…, n máme b ij = g(v i, v j) = g(v j, v i) = b ji. Potom matica B- symetrický.

A naopak, nech matrix B- symetrický. Potom Bt= B a pre akékoľvek vektory X = X 1 v 1 + …+ x n v n =vX, r = r 1 v 1 + r 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, podľa vzorca (1) dostaneme (berieme do úvahy, že číslo je maticou rádu 1 a počas transpozície sa nemení)

g(X , r ) =g(X , r )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(r , X ).

2. Kvadratický tvar. Matica kvadratického tvaru. Transformácia súradníc.

Definícia 1.Kvadratický tvar definované na V, nazývané mapovanie f:V® P, čo pre ľubovoľný vektor X od V je určená rovnosťou f(X ) = g(X , X ), Kde g(X , r ) je symetrická bilineárna forma definovaná na V .

Nehnuteľnosť 1.Podľa daného kvadratického tvaruf(X )bilineárna forma sa nachádza jednoznačne podľa vzorca

g(X , r ) = 1/2(f(X + r ) - f(X )-f(r )). (1)

Dôkaz. Pre akékoľvek vektory X , r Î V získame z vlastností bilineárnej formy

f(X + r ) = g(X + r , X + r ) = g(X , X + r ) + g(r , X + r ) = g(X , X ) + g(X , r ) + g(r , X ) + g(r , r ) = f(X ) + 2g(X , r ) + f(r ).

Z toho vyplýva vzorec (1). 

Definícia 2.Matica kvadratického tvaruf(X ) vzhľadom na základv = (v 1 , v 2 ,…, v n) je matica zodpovedajúceho symetrického bilineárneho tvaru g(X , r ) vzhľadom na základ v.

Veta 1. NechajX= (X 1 ,X 2 ,…, x n)t- súradnicový stĺpec vektoraX v základev, B - matica kvadratickej formyf(X ) vzhľadom na základv. Potom kvadratická formaf(X )

Definícia 10.4.Kanonický pohľad kvadratická forma (10.1) sa nazýva nasledujúca forma: . (10.4)

Ukážme, že na základe vlastných vektorov nadobudne kvadratická forma (10.1) kanonickú formu. Nechaj

- normalizovaný vlastné vektory, zodpovedajúce vlastné hodnoty λ 1, λ 2, λ 3 matice (10.3) na ortonormálnom základe. Potom bude maticou prechodu zo starého základu na nový matica

. V novom základe matica A bude mať diagonálny tvar (9.7) (vlastnosťou vlastných vektorov). Teda transformácia súradníc pomocou vzorcov:

,

v novom základe získame kanonickú formu kvadratickej formy s koeficientmi rovnými vlastným hodnotám λ 1, λ 2, λ 3:

Poznámka 1. C geometrický bod Z hľadiska uvažovanej transformácie súradníc je rotácia súradnicového systému, kombinujúca staré súradnicové osi s novými.

Poznámka 2. Ak sa niektoré vlastné hodnoty matice (10.3) zhodujú, môžeme k príslušným ortonormálnym vlastným vektorom pridať jednotkový vektor ortogonálny ku každému z nich, a tak zostrojiť základ, v ktorom kvadratická forma nadobudne kanonickú formu.

Prenesme kvadratickú formu do kanonickej formy

X² + 5 r² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Jej matica má tvar V príklade diskutovanom v prednáške 9 sa nachádzajú vlastné hodnoty a ortonormálne vlastné vektory tejto matice:

Vytvorme prechodovú maticu k základu z týchto vektorov:

(poradie vektorov sa zmení tak, aby tvorili pravotočivú trojicu). Transformujme súradnice pomocou vzorcov:

.

Kvadratická forma je teda redukovaná na kanonickú formu s koeficientmi rovnými vlastným hodnotám matice kvadratickej formy.

Prednáška 11.

Krivky druhého rádu. Elipsa, hyperbola a parabola, ich vlastnosti a kanonické rovnice. Redukcia rovnice druhého rádu na kanonickú formu.

Definícia 11.1.Krivky druhého rádu na rovine sa nazývajú priesečníky kruhového kužeľa s rovinami, ktoré neprechádzajú jeho vrcholom.

Ak takáto rovina pretína všetky tvoriace priamky jednej dutiny kužeľa, potom sa v reze ukáže elipsa, v priesečníku generatíc oboch dutín – hyperbola a ak je rovina rezu rovnobežná s akoukoľvek tvoriacou čiarou, potom je prierez kužeľa parabola.

Komentujte. Všetky krivky druhého rádu sú špecifikované rovnicami druhého stupňa v dvoch premenných.

Elipsa.

Definícia 11.2.Elipsa je množina bodov v rovine, pre ktorú je súčet vzdialeností dvoch pevných bodov F 1 a F triky, je konštantná hodnota.

Komentujte. Keď sa body zhodujú F 1 a F 2 sa elipsa zmení na kruh.

Odvoďme rovnicu elipsy výberom karteziánskeho systému

y M(x,y) súradnice tak, že os Oh sa zhodoval s priamkou F 1 F 2, začiatok

r 1 r 2 súradnice – so stredom segmentu F 1 F 2. Nech je dĺžka tohto

segment sa rovná 2 s, potom vo zvolenom súradnicovom systéme

Z 1 Z 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Nechajte bod M(x, y) leží na elipse a

súčet vzdialeností od nej do F 1 a F 2 sa rovná 2 A.

Potom r 1 + r 2 = 2a, Ale ,

teda zavedenie notácie b² = a²- c² a po vykonaní jednoduchých algebraických transformácií dostaneme rovnica kanonickej elipsy: (11.1)

Definícia 11.3.Výstrednosť elipsy sa nazýva magnitúda e=s/a (11.2)

Definícia 11.4.riaditeľka D i elipsa zodpovedajúca ohnisku F i F i vzhľadom na os OU kolmo na os Oh na diaľku a/e od pôvodu.

Komentujte. Pri inom výbere súradnicového systému nemusí byť elipsa určená kanonická rovnica(11.1), ale rovnica druhého stupňa iného typu.

Vlastnosti elipsy:

1) Elipsa má dve na seba kolmé osi symetrie (hlavné osi elipsy) a stred symetrie (stred elipsy). Ak je elipsa daná kanonickou rovnicou, potom jej hlavné osi sú súradnicové osi a jej stred je počiatok. Keďže dĺžky segmentov tvorených priesečníkom elipsy s hlavnými osami sú rovné 2 A a 2 b (2a>2b), To hlavná os, prechádzajúci cez ohniská sa nazýva hlavná os elipsy a druhá hlavná os sa nazýva vedľajšia os.

2) Celá elipsa je obsiahnutá v obdĺžniku

3) Výstrednosť elipsy e< 1.

naozaj,

4) Smerové čiary elipsy sú umiestnené mimo elipsy (keďže vzdialenosť od stredu elipsy po smerovú čiaru je a/e, A e<1, следовательно, a/e>a a celá elipsa leží v obdĺžniku)

5) Pomer vzdialenosti RI z bodu elipsy do ohniska F i do diaľky d i od tohto bodu po priamku zodpovedajúcu ohnisku sa rovná excentricite elipsy.

Dôkaz.

Vzdialenosti od bodu M(x, y) až po ohniská elipsy možno znázorniť takto:

Vytvorme rovnice smerovej čiary:

(D 1), (D 2). Potom Odtiaľ r i / d i = e, čo bolo potrebné dokázať.

Hyperbola.

Definícia 11.5.Hyperbola je množina bodov v rovine, pre ktoré je modul rozdielu vzdialeností dvoch pevných bodov F 1 a F 2 tejto roviny, tzv triky, je konštantná hodnota.

Odvoďme kanonickú rovnicu hyperboly analogicky s odvodením rovnice elipsy s použitím rovnakého zápisu.

|r 1 - r 2 | = 2a, odkiaľ Ak označíme b² = c² - a², odtiaľto môžete získať

- rovnica kanonickej hyperboly. (11.3)

Definícia 11.6.Výstrednosť hyperbola sa nazýva množstvo e = c/a.

Definícia 11.7.riaditeľka D i hyperbola zodpovedajúca ohnisku F i, sa nazýva priamka umiestnená v rovnakej polrovine s F i vzhľadom na os OU kolmo na os Oh na diaľku a/e od pôvodu.

Vlastnosti hyperboly:

1) Hyperbola má dve osi symetrie (hlavné osi hyperboly) a stred symetrie (stred hyperboly). V tomto prípade sa jedna z týchto osí pretína s hyperbolou v dvoch bodoch, ktoré sa nazývajú vrcholy hyperboly. Nazýva sa to skutočná os hyperboly (os Oh pre kanonickú voľbu súradnicového systému). Druhá os nemá spoločné body s hyperbolou a nazýva sa jej pomyselná os (v kanonických súradniciach - os OU). Na jej oboch stranách je pravá a ľavá vetva hyperboly. Ohniská hyperboly sa nachádzajú na jej skutočnej osi.

2) Vetvy hyperboly majú dve asymptoty, určené rovnicami

3) Spolu s hyperbolou (11.3) môžeme uvažovať o tzv. konjugovanej hyperbole, definovanej kanonickou rovnicou

u ktorých sa prehodí reálna a imaginárna os pri zachovaní rovnakých asymptot.

4) Excentricita hyperboly e> 1.

5) Pomer vzdialenosti RI z bodu hyperboly do ohniska F i do diaľky d i od tohto bodu po priamku zodpovedajúcu ohnisku sa rovná excentricite hyperboly.

Dôkaz možno vykonať rovnakým spôsobom ako pri elipse.

Parabola.

Definícia 11.8.Parabola je množina bodov v rovine, pre ktorú je vzdialenosť k nejakému pevnému bodu F táto rovina sa rovná vzdialenosti k nejakej pevnej priamke. Bodka F volal zameranie paraboly a priamka je jej riaditeľka.

Na odvodenie parabolickej rovnice zvolíme karteziánsku

súradnicový systém tak, že jeho počiatok je stred

D M(x,y) kolmá FD, vynechané zo zamerania na smernicu

r su, a súradnicové osi boli umiestnené paralelne a

kolmo na riaditeľa. Nechajte dĺžku segmentu FD

D O F x sa rovná R. Potom od rovnosti r = d z toho vyplýva

pretože

Pomocou algebraických transformácií je možné túto rovnicu zredukovať do tvaru: r² = 2 px, (11.4)

volal rovnica kanonickej paraboly. Rozsah R volal parameter paraboly.

Vlastnosti paraboly:

1) Parabola má os symetrie (os paraboly). Bod, kde parabola pretína os, sa nazýva vrchol paraboly. Ak je parabola daná kanonickou rovnicou, potom jej osou je os oh, a vrchol je počiatkom súradníc.

2) Celá parabola sa nachádza v pravej polrovine roviny Ooh.

Komentujte. Pomocou vlastností smerových čiar elipsy a hyperboly a definície paraboly môžeme dokázať nasledujúce tvrdenie:

Množina bodov v rovine, pre ktorú platí vzťah e vzdialenosť k nejakému pevnému bodu k vzdialenosti k nejakej priamke je konštantná hodnota, je to elipsa (s e<1), гиперболу (при e>1) alebo parabola (s e=1).

Súvisiace informácie.

Táto metóda pozostáva z postupného výberu celých štvorcov v kvadratickej forme.

Nech je daný kvadratický tvar

Pripomeňme si to kvôli symetrii matice

,

Existujú dva možné prípady:

1. Aspoň jeden z koeficientov druhých mocnín je odlišný od nuly. Bez straty všeobecnosti budeme predpokladať (to sa dá vždy dosiahnuť vhodným prečíslovaním premenných);

2. Všetky koeficienty

ale tam je koeficient iný ako nula (pre definitívnosť nech je).

V prvom prípade transformovať kvadratickú formu takto:

,

a všetky ostatné výrazy sú označené.

je kvadratická forma (n-1) premenných.

Správajú sa k nej rovnako a podobne.

Všimni si

Druhý prípad substitúcia premenných

prichádza k prvému.

Príklad 1: Redukujte kvadratickú formu na kanonickú formu pomocou nedegenerovanej lineárnej transformácie.

Riešenie. Zozbierajme všetky výrazy obsahujúce neznáme a pridajte ich na úplný štvorec

.

(Pretože .)

alebo

(3)

alebo


(4)

a z neznámeho
formulár bude mať formu. Ďalej predpokladáme

alebo

a z neznámeho
formulár bude mať kánonickú formu

Vyriešme rovnosti (3) vzhľadom na
:

alebo

Sekvenčné vykonávanie lineárnych transformácií
A
, Kde

,

má matricu

Lineárna transformácia neznámych
dáva kvadratickú formu na kánonickú formu (4). Premenné
spojené s novými premennými
vzťahy

S rozkladom LU sme sa zoznámili na workshope 2_1

Pripomeňme si výroky z workshopu 2_1

Vyhlásenia(pozri L.5, s. 176)

Tento skript je navrhnutý tak, aby pochopil úlohu LU v metóde Lagrange, musíte s ním pracovať v poznámkovom bloku EDITOR pomocou tlačidla F9.

A v nižšie priložených úlohách je lepšie vytvoriť si vlastné M-funkcie, ktoré pomôžu vypočítať a pochopiť problémy lineárnej algebry (v rámci tejto práce)

Ax=X."*A*X % dostaneme kvadratickú formu

Ax=simple(Ax) % zjednodušiť to

4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2

% nájde rozklad LU bez preusporiadania riadkov matice A

% Pri prevode matice do echelónovej formy

%bez riadkových permutácií dostaneme maticu M1 a U3

% U sa získa z A U3=M1*A,

% s touto maticou elementárnych transformácií

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

%dostaneme U3=M1*A, kde

4.0000 -2.0000 2.0000

% z M1 je ľahké získať L1 zmenou znamienka

% v prvom stĺpci vo všetkých riadkoch okrem prvého.

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% L1 je také, že

A_=L1*U % toto je rozklad LU, ktorý potrebujeme

% prvkov na hlavnej diagonále U -

% sú koeficienty druhých mocnín y i ^2

% v prevedenej kvadratickej forme

% v našom prípade je len jeden koeficient

% znamená, že v nových súradniciach bude iba 4y 1 2 na druhú,

% pre zostávajúce koeficienty 0r 2 2 a 0r 3 2 sa rovnajú nule

% stĺpcov matice L1 je rozklad Y x X

% v prvom stĺpci vidíme y1=x1-0,5x2+0,5x3

% pre druhú vidíme y2=x2; podľa tretieho y3=x3.

% ak sa L1 transponuje,

% to je T=L1."

% T - matica prechodu z (X) do (Y): Y=TX

0.5000 1.0000 0

1.0000 -0.5000 0.5000

% A2 – matica transformovanej kvadratickej formy

% Poznámka U=A2*L1." a A=L1* A2*L1."

4.0000 -2.0000 2.0000

1.0000 -0.5000 0.5000

% Takže sme dostali rozklad A_=L1* A2*L1." alebo A_=T."* A2*T

% ukazuje zmenu premenných

% y1=x1-0,5x2+0,5x3

% a znázornenie kvadratickej formy v nových súradniciach

A_=T."*A2*T % T=L1." prechodová matica z (X) do (Y): Y=TX

isequal(A,A_) % sa musí zhodovať s pôvodným A

4.0000 -2.0000 2.0000

2.0000 1.0000 -1.5000

2.0000 -1.5000 1.0000

Q1=inv(T) % nájsť maticu prechodu z (Y) do (X)

% Nájdime premenu,

% kvadratická Ax=X."*A*X

% na nový typ Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y

Ay = 4*y1^2 - y2*y3

x1 - x2/2 + x3/2

% druhej transformačnej matice,

%, čo je oveľa jednoduchšie zostaviť.

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

% R=Ql*Q2, X=R*Z

R=Q1*Q2 % nedegenerovaná lineárna transformácia

% uvedenie operátorovej matice do kanonickej formy.

det(R) % determinant sa nerovná nule - transformácia je nedegenerovaná

4*z1^2 - z2^2 + z3^2 v poriadku

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

Sformulujme algoritmus na redukciu štvorcov racionálna forma na kanonickú formu ortogonálnou transformáciou:

Redukcia kvadratickej formy na kanonickú formu.

Kanonická a normálna forma kvadratickej formy.

Lineárne transformácie premenných.

Pojem kvadratickej formy.

Štvorcové tvary.

Definícia: Kvadratická forma premenných je vzhľadom na tieto premenné homogénnym polynómom druhého stupňa.

Premenné si možno predstaviť ako afinné súradnice body aritmetického priestoru A n alebo ako súradnice vektora n-rozmerného priestoru V n. Kvadratický tvar premenných budeme označovať ako.

Príklad 1:

Ak už boli podobné členy redukované v kvadratickej forme, potom sa označujú koeficienty pre a pre () - . Preto sa verí, že. Kvadratická forma môže byť napísaná takto:

Príklad 2:

Matica systému (1):

- volal matice kvadratickej formy.

Príklad: Matice kvadratických foriem z príkladu 1 majú tvar:

Kvadratická matica tvaru z príkladu 2:

Lineárna transformácia premenných nazývame taký prechod zo systému premenných na systém premenných, v ktorom sú staré premenné vyjadrené prostredníctvom nových pomocou tvarov:

kde koeficienty tvoria nesingulárnu maticu.

Ak sa premenné považujú za súradnice vektora v euklidovskom priestore vzhľadom na nejakú bázu, potom lineárnu transformáciu (2) možno považovať za prechod v tomto priestore na novú bázu, voči ktorej má rovnaký vektor súradnice.

V nasledujúcom budeme uvažovať o kvadratických formách iba s reálnymi koeficientmi. Budeme predpokladať, že premenné nadobúdajú iba reálne hodnoty. Ak sa v kvadratickej forme (1) premenné podrobia lineárnej transformácii (2), získa sa kvadratická forma nových premenných. V ďalšom si ukážeme, že vhodnou voľbou transformácie (2) možno kvadratickú formu (1) zredukovať na formu obsahujúcu len druhé mocniny nových premenných, t.j. . Tento typ kvadratickej formy je tzv kanonický. Matica kvadratickej formy je v tomto prípade diagonálna: .

Ak všetky koeficienty môžu nadobudnúť iba jednu z hodnôt: -1,0,1, volá sa príslušný typ normálne.

Príklad: Rovnica stredovej krivky druhého rádu pomocou prechodu do nového súradnicového systému

možno redukovať na tvar: a kvadratická forma v tomto prípade bude mať tvar:

Lema 1: Ak kvadratická forma(1)neobsahuje druhé mocniny premenných, potom sa pomocou lineárnej transformácie môže dostať do tvaru obsahujúceho druhú mocninu aspoň jednej premennej.

dôkaz: Podľa konvencie obsahuje kvadratická forma iba členy so súčinmi premenných. Nechať za akékoľvek rôzne významy i a j sú odlišné od nuly, t.j. je jedným z týchto pojmov zahrnutých v kvadratickej forme. Ak vykonáte lineárnu transformáciu a všetko ostatné necháte nezmenené, t.j. (determinant tejto transformácie je odlišný od nuly), potom sa v kvadratickom tvare objavia aj dva členy s druhou mocninou premenných: . Tieto výrazy nemôžu zmiznúť, keď sa pridajú podobné výrazy, pretože každý zo zostávajúcich výrazov obsahuje aspoň jednu premennú odlišnú od alebo od.

Príklad:

Lema 2: Ak štvorcový tvar (1) obsahuje člen so druhou mocninou premennej, napríklad a aspoň jeden ďalší výraz s premennou , potom pomocou lineárnej transformácie, f možno previesť do variabilnej formy , majúci tvar: (2), Kde g – kvadratická forma neobsahujúca žiadnu premennú .

dôkaz: Vyberme v kvadratickom tvare (1) súčet členov obsahujúcich: (3) tu g 1 označuje súčet všetkých členov, ktoré neobsahujú.

Označme

(4), kde označuje súčet všetkých pojmov, ktoré neobsahujú.

Vydelme obe strany (4) a odčítajme výslednú rovnosť od (3), po prinesení podobných budeme mať:

Výraz na pravej strane neobsahuje premennú a je kvadratickou formou premenných. Označme tento výraz g a koeficient , a potom f sa bude rovnať: . Ak urobíme lineárnu transformáciu: , ktorej determinant je odlišný od nuly, potom g bude kvadratickou formou premenných a kvadratickú formu f zredukujeme na tvar (2). Lema je dokázaná.

Veta: Každá kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu pomocou transformácie premenných.

dôkaz: Vykonajte indukciu počtu premenných. Kvadratická forma má tvar: , ktorý je už kanonický. Predpokladajme, že veta platí pre kvadratickú formu v n-1 premenných a dokážme, že platí pre kvadratickú formu v n premenných.

Ak f neobsahuje druhé mocniny premenných, potom pomocou lemy 1 je možné ju zredukovať na formu obsahujúcu druhú mocninu aspoň jednej premennej pomocou lemy 2 možno výslednú kvadratickú formu znázorniť v tvare (2). Pretože kvadratická forma je závislá od n-1 premenných, potom sa induktívnym predpokladom dá redukovať na kanonickú formu pomocou lineárnej transformácie týchto premenných na premenné, ak do vzorcov tohto prechodu pridáme vzorec, tak dostaneme vzorce pre lineárny transformácia, ktorá vedie ku kanonickej forme kvadratickej forme obsiahnutej v rovnosti (2). Zloženie všetkých uvažovaných transformácií premenných je žiaducou lineárnou transformáciou, ktorá vedie ku kanonickej forme kvadratickej formy (1).

Ak kvadratická forma (1) obsahuje druhú mocninu akejkoľvek premennej, potom lemma 1 nemusí byť použitá. Daná metóda je tzv Lagrangeova metóda.

Z kanonickej formy, kde, môžete prejsť do normálnej formy, kde, ak a ak pomocou transformácie:

Príklad: Redukujte kvadratickú formu na kanonickú pomocou Lagrangeovej metódy:

Pretože Keďže kvadratická forma f už obsahuje druhé mocniny niektorých premenných, lemmu 1 nie je potrebné aplikovať.

Vyberáme členov, ktorí obsahujú:

3. Aby sme získali lineárnu transformáciu, ktorá priamo redukuje tvar f na tvar (4), najprv nájdeme transformácie inverzné k transformáciám (2) a (3).

Teraz pomocou týchto transformácií zostavíme ich zloženie:

Ak získané hodnoty (5) dosadíme do (1), okamžite dostaneme zobrazenie kvadratickej formy vo forme (4).

Z kanonickej formy (4) pomocou transformácie

môžete prejsť na normálne zobrazenie:

Lineárna transformácia, čím sa kvadratická forma (1) dostane do normálnej formy, je vyjadrená vzorcami:

Bibliografia:

1. Voevodin V.V. Lineárna algebra. Petrohrad: Lan, 2008, 416 s.

2. Beklemishev D.V. Kurz analytickej geometrie a lineárnej algebry. M.: Fizmatlit, 2006, 304 s.

3. Kostrikin A.I. Úvod do algebry. časť II. Základy algebry: učebnica pre vysoké školy, -M. : Fyzikálna a matematická literatúra, 2000, 368 s.

Prednáška č. 26 (II semester)

Predmet: Zákon zotrvačnosti. Pozitívne určité formy.

Podobné články