Moment zotrvačnosti pri pohybe osí. Zmena momentov zotrvačnosti tyče pri paralelnom posúvaní osí

Obrázok 7.

Kde Ja x, ja y – axiálne momenty zotrvačnosti vzhľadom na referenčné osi;

ja xy– odstredivý moment zotrvačnosti vzhľadom na referenčné osi;

ja xc, ja yc– axiálne momenty zotrvačnosti vzhľadom na stredové osi;

ja xcyc– odstredivý moment zotrvačnosti vzhľadom na stredové osi;

a, b- vzdialenosť medzi osami.

Určenie momentov zotrvačnosti úseku pri otáčaní osí

Všetky geometrické charakteristiky rezu vzhľadom na stredové osi sú známe x C,v C(obr. 8). Určme momenty zotrvačnosti okolo osí x 1,o 1, otočené vzhľadom k centrálnym o určitý uhol a.

Obrázok 8

Kde I x 1, I y 1 – osové momenty zotrvačnosti okolo osí x 1,o 1 ;

I x 1 rok 1– odstredivý moment zotrvačnosti vzhľadom na osi x 1,o 1 .

Určenie polohy hlavných centrálnych osí zotrvačnosti

Poloha hlavných centrálnych osí zotrvačnosti úseku je určená vzorcom:

Kde 0 – uhol medzi stredovou a hlavnou osou zotrvačnosti.

Určenie hlavných momentov zotrvačnosti

Hlavné momenty zotrvačnosti úseku sú určené vzorcom:

Postupnosť výpočtu zložitého úseku

1) Rozdeľte komplexnú časť na jednoduchšie geometrické obrazce [S 1, S 2,…;x 1, y 1; x 2, y 2, …]

2) Vyberte ľubovoľné osi XOY .

3) Určte polohu ťažiska úseku [x c, y c].

4) Nakreslite stredové osi X c OY c.

5) Vypočítajte momenty zotrvačnosti Ixc, Iy c , pomocou vety o paralelnom preklade osí.

6) Vypočítajte odstredivý moment zotrvačnosti Ix c y c.

7) Určte polohu hlavných osí zotrvačnosti tg2a 0.

8) Vypočítajte hlavné momenty zotrvačnosti Imax, Som v.

PRÍKLAD 2

Pre obrázok zobrazený na obrázku 13 určte hlavné body

zotrvačnosť a poloha hlavných osí zotrvačnosti.

1) Zložitú časť rozložíme na jednoduché geometrické tvary

S1 = 2000 mm2, S2 = 1200 mm2, S= 3200 mm2.

2) Vyberte ľubovoľné osi XOY.

3) Určte polohu ťažiska rezu

x c = 25 mm, y c= 35 mm.

4) Kreslenie centrálnych osí X c OY c

5) Vypočítajte momenty zotrvačnosti Ix c , Iy c

6) Vypočítajte odstredivý moment zotrvačnosti Ix c y c

7) Určte polohu hlavných osí zotrvačnosti

Ak I x > I y A a 0 > 0 , potom uhol 0 odsadenie od osi X s proti smeru hodinových ručičiek.

8) Vypočítajte hlavné momenty zotrvačnosti Imax, Som v

PRÍKLAD 3

Pre obrázok znázornený na obr. 8 určiť polohu hlavných osí

Obrázok 8.

zotrvačnosť a hlavné momenty zotrvačnosti.

1) Ku každému obrázku si zapíšeme základné počiatočné údaje

kanál

S1 = 10,9 cm2

I x = 20,4 cm 4

Ja y = 174 cm 4

y 0= 1,44 cm

h= 10 cm

Nerovný roh

S3 = 6,36 cm2

I x = 41,6 cm 4

Ja y = 12,7 cm 4

ja min = 7,58 cm 4

tga= 0,387

x 0= 1,13 cm

y 0= 2,6 cm

Obdĺžnik

S2 = 40 cm2

cm 4

2) Nakreslite rez v mierke

3) Nakreslite ľubovoľné súradnicové osi

4) Určte súradnice ťažiska rezu

5) Nakreslite stredové osi

6) Určte osové momenty zotrvačnosti vzhľadom na stredové osi

7) Určte odstredivý moment zotrvačnosti vzhľadom na stredové osi

Odstredivý moment zotrvačnosti pre uhlovo valcovanú oceľ vzhľadom na jej ťažisko je určený jedným z nasledujúcich vzorcov:

-4

Znamienko odstredivého momentu zotrvačnosti pre uhlovo valcovanú oceľ sa určuje podľa obr. 9 teda ja xy 3= -13,17 cm4.

8) Určte polohu hlavných osí zotrvačnosti

a0 = 21,84°

9) Určte hlavné momenty zotrvačnosti

ÚLOHA 4

Pre dané schémy (tabuľka 6) je potrebné:

1) Nakreslite prierez v prísnej mierke.

2) Určte polohu ťažiska.

3) Nájdite hodnoty axiálnych momentov zotrvačnosti vzhľadom na stredové osi.

4) Nájdite hodnotu odstredivého momentu zotrvačnosti vzhľadom na stredové osi.

5) Určte polohu hlavných osí zotrvačnosti.

6) Nájdite hlavné momenty zotrvačnosti.

Vezmite číselné údaje z tabuľky. 6.

Výpočtové schémy pre úlohu č.4

Tabuľka 6

Východiskové údaje pre úlohu č.4

№	Rovnaký uhol rohu	Nerovný roh	I-lúč	kanál	Obdĺžnik	Schéma č.
	30'5	50'32'4			100'30
	40'6	56'36'4			100'40
	50'4	63'40'8			100'20
	56'4	70'45'5			80'40
	63'6	80'50'6		14a	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80'8	100'63'6	20a	16a	80'20
	90'9	90'56'8			60'40
	75'9	140'90'10	22a	18a	60'60
	100'10	160'100'12			60'40
	d	A	b	V	G	d

Návod na problém 5

Ohýbanie je typ deformácie, pri ktorej sa v priereze tyče objavuje V.S.F. – ohybový moment.

Na výpočet nosníka na ohyb je potrebné poznať hodnotu maximálneho ohybového momentu M a polohu úseku, v ktorom sa vyskytuje. Rovnakým spôsobom musíte poznať maximálnu bočnú silu Q. Na tento účel sú zostrojené diagramy ohybových momentov a šmykových síl. Z diagramov je ľahké usúdiť, kde je maximálna hodnota momentu resp šmyková sila. Na určenie množstva M A Q použite metódu sekcie. Zvážte obvod znázornený na obr. 9. Zostavme súčet síl na osi Y, pôsobiace na odrezanú časť lúča.

Obrázok 9.

Priečna sila sa rovná algebraickému súčtu všetkých síl pôsobiacich na jednu stranu prierezu.

Zostavme súčet momentov pôsobiacich na odrezanú časť nosníka vzhľadom na prierez.

Ohybový moment sa rovná algebraickému súčtu všetkých momentov pôsobiacich na odrezanú časť lúča vzhľadom na ťažisko prierezu.

Aby bolo možné vykonávať výpočty z akéhokoľvek konca nosníka, je potrebné prijať pravidlo znamienka pre vnútorné silové faktory.

Pre šmykovú silu Q.

Obrázok 10.

Ak vonkajšia sila otáča odrezanú časť lúča v smere hodinových ručičiek, potom je sila kladná, ak vonkajšia sila otáča rezanú časť lúča proti smeru hodinových ručičiek, potom je sila záporná.

Pre ohybový moment M.

Obrázok 11.

Ak pod vplyvom vonkajšia sila zakrivená os lúča má tvar konkávnej misky, takže dážď prichádzajúci zhora ju naplní vodou, potom je ohybový moment kladný (obr. 11a). Ak pod vplyvom vonkajšej sily nadobudne zakrivená os lúča tvar konvexnej misky, takže dážď prichádzajúci zhora ju nenaplní vodou, potom je ohybový moment záporný (obr. 11b).

Medzi rozloženou intenzitou zaťaženia q, šmyková sila Q a ohybový moment M, pôsobiace v určitej sekcii, existujú nasledujúce diferenciálne závislosti:

Uvedené diferenciálne závislosti pri ohybe umožňujú stanoviť niektoré znaky diagramov priečnych síl a ohybových momentov.

1) V tých oblastiach, kde nie je distribuované zaťaženie, diagram Q je ohraničená priamkami rovnobežnými s osou diagramu a diagramom M , V všeobecný prípad, – naklonené priamky (obr. 19).

2) V tých oblastiach, kde na nosník pôsobí rovnomerne rozložené zaťaženie, diagram Q je ohraničená naklonenými priamkami a diagramom M – kvadratické paraboly(obr. 20). Pri vykresľovaní M na stlačených vláknach smeruje konvexnosť paraboly v smere opačnom k pôsobeniu rozloženého zaťaženia (obr. 21a, b).

Obrázok 12.

Obrázok 13.

3) V tých úsekoch, kde Q= 0, dotyčnica k diagramu M rovnobežne s osou diagramu (obr. 12, 13). Ohybový moment v takýchto častiach lúča je extrémne veľký ( M max,Mmin).

4) V oblastiach, kde Q> 0, M zvyšuje, to znamená zľava doprava kladné súradnice diagramu M zvýšenie, negatívne zníženie (obr. 12, 13); v tých oblastiach, kde Q < 0, M klesá (obr. 12, 13).

5) V tých úsekoch, kde na nosník pôsobia sústredené sily:

a) na diagrame Q dôjde k skokom o veľkosti a v smere pôsobiacich síl (obr. 12, 13).

b) na schéme M dôjde k lomom (obr. 12, 13), hrot lomu smeruje proti pôsobeniu sily.

6) V tých úsekoch, kde sú na nosník aplikované sústredené momenty, na diagrame M na diagrame dôjde k skokom vo veľkosti týchto momentov Q nedôjde k žiadnym zmenám (obr. 14).

Obrázok 14.

Obrázok 15.

7) Ak je koncentrovaný

moment, potom sa v tomto úseku ohybový moment rovná vonkajšiemu momentu (odsek C A B na obr. 15).

8) Diagram Q predstavuje diagram derivácie grafu M. Takže ordináty Qúmerné dotyčnici uhla sklonu dotyčnice k diagramu M(obr. 14).

Poradie vykresľovania Q A M:

1) Vypracuje sa návrhová schéma nosníka (vo forme osi) zobrazujúca zaťaženia, ktoré naň pôsobia.

2) Vplyv podpier na nosník je nahradený zodpovedajúcimi reakciami; sú uvedené označenia reakcií a ich prijaté smery.

3) Zostavia sa bilančné rovnice pre nosník, ktorých riešenie určuje hodnoty podporných reakcií.

4) Nosník je rozdelený na úseky, ktorých hranice sú miesta pôsobenia vonkajších sústredených síl a momentov, ako aj body začiatku a konca pôsobenia alebo zmeny charakteru rozloženého zaťaženia.

5) Sú zostavené výrazy pre ohybové momenty M a šmykové sily Q pre každú časť lúča. Výpočtový diagram udáva začiatok a smer merania vzdialenosti pre každý úsek.

6) Pomocou získaných výrazov sa vypočítajú súradnice diagramov pre určitý počet úsekov lúča v množstve dostatočnom na zobrazenie týchto diagramov.

7) Určujú sa úseky, v ktorých sú priečne sily rovné nule a v ktorých teda pôsobia momenty Mmax alebo Mmin pre daný úsek lúča; vypočítajú sa hodnoty týchto momentov.

8) Diagramy sú konštruované pomocou získaných hodnôt ordinát.

9) Zostrojené diagramy sa skontrolujú ich vzájomným porovnaním.

Na určenie nebezpečného úseku sa zostavujú diagramy súčiniteľov vnútornej sily pri ohýbaní. Po nájdení nebezpečného úseku sa vypočíta pevnosť lúča. Vo všeobecnom prípade priečneho ohybu, keď v úsekoch tyče pôsobí ohybový moment a priečna sila, vznikajú v úseku nosníka normálové a šmykové napätia. Preto je logické zvážiť dve podmienky pevnosti:

a) podľa normálnych napätí

b) tangenciálnymi napätiami

Keďže hlavným deštruktívnym faktorom pre nosníky sú normálové napätia, rozmery prierezu nosníka akceptovaného tvaru sa určujú z pevnostných podmienok pre normálne napätia:

Potom sa skontroluje, či vybraný úsek nosníka spĺňa podmienku pevnosti v šmyku.

Tento prístup k výpočtu lúčov však ešte necharakterizuje silu lúča. V mnohých prípadoch sú v úsekoch nosníka body, v ktorých súčasne pôsobia veľké normálové a šmykové napätia. V takýchto prípadoch je potrebné skontrolovať pevnosť nosníka pomocou hlavných napätí. Pre takéto testovanie je najvhodnejšia tretia a štvrtá teória pevnosti:

, .

PRÍKLAD 1

Zostrojte diagramy šmykových síl Q a ohybový moment M pre lúč znázornený na obr. 16, ak: F 1= 3 kN, F 2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = = 2 kN/m, A = 2 m, b = 1 m, s = 3 m.

Obrázok 16.

1) Určite podporné reakcie.

;

Vyšetrenie:

Reakcie nájdené správne

2) Lúč rozdelíme na časti C.A.,AD,DE,E.K.,K.B..

3) Určte hodnoty Q A M na každom mieste.

, ; , .

, ;

, .

, ;

, .

, , .

Nájdite maximálny ohybový moment v oblasti K.B..

Dajme rovnítko medzi rovnicu Q v tomto úseku na nulu a vyjadrite súradnicu z max , s ktorou Q= 0 a moment má maximálnu hodnotu. Ďalej nahradíme z max do momentovej rovnice v tejto časti a nájdite Mmax.

, .

4) Vytvárame diagramy (obr. 16)

PRÍKLAD 2

Pre lúč znázornený na obr. 16 určiť rozmery okrúhleho, obdĺžnikového ( h/b = 2) a I-prierez. Skontrolujte pevnosť I-nosníka podľa hlavných napätí, ak [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.

1) Z pevnostnej podmienky určte potrebný moment odporu

2) Určte rozmery kruhového prierezu

3) Určte rozmery pravouhlého prierezu

4) Vyberáme I-nosník č.10 podľa sortimentu (GOST 8239-89)

W X= 39,7 cm3, S X * = 23 cm3, I X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.

Na kontrolu pevnosti nosníka na základe hlavných napätí je potrebné zostaviť diagramy normálových a tangenciálnych napätí v nebezpečnom reze. Pretože veľkosť hlavných napätí závisí od normálových aj tangenciálnych napätí, skúška pevnosti by sa mala vykonať v časti nosníka, kde M A Q dosť veľký. Na podpere IN(obr. 16) šmyková sila Q má však maximálnu hodnotu M= 0. Preto považujeme časť o podpore za nebezpečnú A, kde je ohybový moment maximálny a šmyková sila pomerne veľká.

Normálne napätia, ktoré sa menia pozdĺž výšky úseku, sa riadia lineárnym zákonom:

Kde r– súradnica bodu rezu (obr. 24).

pri pri= 0, s = 0;

pri ymax ,

Zákon zmien šmykových napätí je určený zákonom o zmenách statického momentu plochy, ktorý sa zase mení pozdĺž výšky prierezu podľa parabolického zákona. Po vypočítaní hodnoty pre charakteristické body rezu zostavíme diagram tangenciálnych napätí. Pri výpočte hodnôt t použijeme označenia rozmerov prierezu prijaté na obr. 17.

Podmienka pevnosti pre vrstvu 3–3 je splnená.

ÚLOHA 5

Pre dané schémy nosníkov (tabuľka 12) zostrojte diagramy priečnych síl Q a ohybový moment M. Vyberte prierez pre diagram a) kruhový [s]= 10 MPa; b) I-lúč [s]= 150 MPa.

Vezmite číselné údaje z tabuľky. 7.

Tabuľka 7

Počiatočné údaje k problému č.6

№

a, m

q1 = q 3, kN/m

q2, kN/m

F1, kN

F2, kN

F3, kN

M 1, kN∙m

M 2, kN∙m

M 3, kN∙m

Schéma č.

0,8

1,2

Pokračovanie tabuľky 12

Osi prechádzajúce ťažiskom rovinného útvaru sa nazývajú centrálne osi.
Moment zotrvačnosti okolo stredovej osi sa nazýva centrálny moment zotrvačnosti.

Veta

Moment zotrvačnosti okolo ktorejkoľvek osi rovná súčtu moment zotrvačnosti okolo stredovej osi rovnobežnej s danou osou a súčin plochy obrázku druhou mocninou vzdialenosti medzi osami.

Na dôkaz tejto vety uvažujme ľubovoľný rovinný útvar, ktorého plocha sa rovná A , ťažisko sa nachádza v bode S a centrálny moment zotrvačnosti okolo osi X bude Ix .
Vypočítajme moment zotrvačnosti obrázku vzhľadom na určitú os x 1 rovnobežne so stredovou osou a v určitej vzdialenosti od nej A (ryža).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Pri analýze výsledného vzorca si všimneme, že prvý člen je osový moment zotrvačnosti vzhľadom na stredovú os, druhý člen je statický moment plochy tohto obrázku vzhľadom na stredovú os (teda rovná nule) a tretí člen po integrácii môže byť reprezentovaný ako produkt a 2 A , t.j. ako výsledok dostaneme vzorec:

I x1 = I x + a 2 A- veta je dokázaná.

Na základe vety môžeme konštatovať, že zo série rovnobežných osí bude axiálny moment zotrvačnosti plochého útvaru najmenší vzhľadom na stredovú os .

Hlavné osi a hlavné momenty zotrvačnosti

Predstavme si plochý útvar, ktorého momenty zotrvačnosti vzhľadom na súradnicové osi Ix A ja y , a polárny moment zotrvačnosti vzhľadom na pôvod sa rovná I ρ . Ako bolo stanovené skôr,

I x + I y = I ρ.

Ak sa súradnicové osi otočia vo svojej rovine okolo začiatku súradníc, potom polárny moment zotrvačnosti zostane nezmenený a osové momenty sa zmenia, pričom ich súčet zostane konštantný. Od čiastky premenných je konštantná, potom jedna z nich klesá a druhá sa zvyšuje a naopak.
V dôsledku toho pri určitej polohe osí dosiahne jeden z osových momentov maximálnu hodnotu a druhý minimálnu.

Osi, okolo ktorých majú momenty zotrvačnosti minimálne a maximálne hodnoty, sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti.
Moment zotrvačnosti okolo hlavnej osi sa nazýva hlavný moment zotrvačnosti.

Ak hlavná os prechádza ťažiskom obrázku, nazýva sa to hlavná stredová os a moment zotrvačnosti okolo takejto osi sa nazýva hlavný centrálny moment zotrvačnosti.
Môžeme dospieť k záveru, že ak je obrazec symetrický okolo akejkoľvek osi, potom táto os bude vždy jednou z hlavných centrálnych osí zotrvačnosti tohto obrazca.

Odstredivý moment zotrvačnosti

Odstredivý moment zotrvačnosti plochého útvaru je súčtom súčinov elementárnych plôch na celej ploche a vzdialenosti od dvoch vzájomne kolmých osí:

I xy = Σ xy dA,

Kde X , r - vzdialenosti od miesta dA na nápravy X A r .
Odstredivý moment zotrvačnosti môže byť kladný, záporný alebo nulový.

Odstredivý moment zotrvačnosti je zahrnutý vo vzorcoch na určenie polohy hlavných osí asymetrických rezov.
Štandardné profilové tabuľky obsahujú charakteristiku tzv polomer otáčania sekcie , vypočítané podľa vzorcov:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (ďalej len znak"√"- koreňový znak)

Kde Ja x, ja y - osové momenty zotrvačnosti prierezu vzhľadom na stredové osi; A - plocha prierezu.
Táto geometrická charakteristika sa používa pri štúdiu excentrického napätia alebo tlaku, ako aj pozdĺžneho ohybu.

Torzná deformácia

Základné pojmy o krútení. Krútenie kruhového nosníka.

Krútenie je typ deformácie, pri ktorej sa v ľubovoľnom priereze nosníka vyskytuje iba krútiaci moment, t.j. faktor sily, ktorý spôsobuje kruhový pohyb prierezu vzhľadom na os kolmú na tento prierez, alebo takémuto pohybu bráni. Inými slovami, k torzným deformáciám dochádza, ak na priamy nosník pôsobí dvojica alebo dvojice síl v rovinách kolmých na jeho os.
Momenty týchto dvojíc síl sa nazývajú krútenie alebo otáčanie. Krútiaci moment je označený T .
Táto definícia podmienečne rozdeľuje mocenské faktory torzné deformácie na vonkajšie (krútenie, krútiace momenty T ) a vnútorné (krútiace momenty M kr ).

V strojoch a mechanizmoch sú okrúhle alebo rúrkové hriadele najčastejšie vystavené krúteniu, takže pre takéto jednotky a diely sa najčastejšie robia výpočty pevnosti a tuhosti.

Zvážte krútenie kruhového valcového hriadeľa.
Predstavte si gumený valcový hriadeľ, v ktorom je jeden z koncov pevne pripevnený a na povrchu je mriežka pozdĺžnych čiar a priečnych kruhov. Na voľný koniec hriadeľa, kolmo na os tohto hriadeľa, vyvinieme pár síl, t.j. skrútime ho pozdĺž osi. Ak pozorne preskúmate čiary mriežky na povrchu hriadeľa, všimnete si, že:
- os hriadeľa, ktorá sa nazýva torzná os, zostane rovná;
- priemery kruhov zostanú rovnaké a vzdialenosť medzi susednými kruhmi sa nezmení;
- pozdĺžne čiary na hriadeli sa zmenia na špirálové čiary.

Z toho môžeme vyvodiť záver, že pri krútení kruhového valcového nosníka (hriadeľa) je hypotéza pravdivá ploché úseky, a tiež predpokladať, že polomery kružníc zostávajú počas deformácie rovné (keďže ich priemery sa nezmenili). A keďže v sekciách hriadeľa nie sú žiadne pozdĺžne sily, vzdialenosť medzi nimi je zachovaná.

V dôsledku toho torzná deformácia kruhového hriadeľa spočíva vo vzájomnej rotácii prierezov okolo torznej osi a ich uhly otáčania sú priamo úmerné vzdialenostiam od pevnej sekcie - čím ďalej je ktorákoľvek sekcia od pevného konca. hriadeľa, tým väčší je uhol vzhľadom na os hriadeľa, ktorý sa otáča.
Pre každú časť hriadeľa uhol natočenia rovný uhlu skrútenie časti hriadeľa uzavretej medzi touto sekciou a tesnením (pevný koniec).

Roh ( ryža. 1) rotácia voľného konca hriadeľa (koncovej časti) sa nazýva plný uhol natočenia valcového nosníka (hriadeľa).
Relatívny uhol natočenia φ 0 nazývaný pomer torzného uhla φ 1 do diaľky l 1 z daného úseku do zapustenia (pevný úsek).
Ak je valcový nosník (hriadeľ) dlhý l má konštantný prierez a je zaťažený torzným momentom na voľnom konci (t. j. pozostáva z homogénneho geometrického prierezu), potom platí nasledujúce tvrdenie:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = konšt - hodnota je konštantná.

Ak vezmeme do úvahy tenkú vrstvu na povrchu vyššie uvedenej gumovej valcovej tyče ( ryža. 1), obmedzené bunkou mriežky cdef , potom si všimneme, že táto bunka sa počas deformácie deformuje a jej strana, vzdialená od pevnej časti, sa posúva smerom k skrúteniu lúča a zaujíma polohu cde 1 f 1 .

Treba poznamenať, že podobný obraz sa pozoruje pri šmykovej deformácii, iba v tomto prípade je povrch deformovaný v dôsledku translačného pohybu sekcií voči sebe navzájom, a nie v dôsledku rotačného pohybu, ako pri torznej deformácii. Na základe toho môžeme usúdiť, že pri krútení v prierezoch vznikajú len dotyčnice vnútorné sily(napätia), ktoré vytvárajú krútiaci moment.

Krútiaci moment je teda výsledný moment vzhľadom na os lúča vnútorných tangenciálnych síl pôsobiacich v priereze.

Určme vzťah medzi rôznymi momentmi zotrvačnosti rezu voči dvom rovnobežným osám (obr. 6.7), spojeným závislosťami

1. Pre statické momenty zotrvačnosti

nakoniec

2. Pre axiálne momenty zotrvačnosti

teda,

Ak je os z prechádza cez ťažisko úseku, potom

Zo všetkých momentov zotrvačnosti okolo rovnobežných osí má osový moment zotrvačnosti najmenšiu hodnotu okolo osi prechádzajúcej ťažiskom úseku.

To isté pre os

Keď os r prechádza ťažiskom úseku

3. Pre odstredivé momenty zotrvačnosti získame

Konečne si môžeme písať

V prípade, že pôvod súradnicového systému yz je v ťažisku úseku, dostaneme

V prípade, že jedna alebo obe osi sú osami symetrie,

6.7. Zmena momentov zotrvačnosti pri otáčaní osí

Nech sú dané momenty zotrvačnosti rezu vzhľadom na súradnicové osi zy.

Je potrebné určiť momenty zotrvačnosti toho istého úseku vzhľadom na osi otočené pod určitým uhlom vzhľadom na súradnicový systém zy(obr. 6.8).

Uhol sa považuje za kladný, ak je potrebné starý súradnicový systém otočiť proti smeru hodinových ručičiek, aby sa presunul do nového (pre pravouhlý pravouhlý súradnicový systém s pravou rukou). Nové aj staré zy súradnicové systémy sú spojené závislosťami, ktoré vyplývajú z obr. 6.8:

1. Definujme výrazy pre osové momenty zotrvačnosti vzhľadom na osi nového súradnicového systému:

Rovnako aj vzhľadom na os

Ak spočítame hodnoty momentov zotrvačnosti okolo osí a, dostaneme

to znamená, že keď sa osi otáčajú, súčet osových momentov zotrvačnosti je konštantná hodnota.

2. Odvoďme vzorce pre odstredivé momenty zotrvačnosti.

6.8. Hlavné momenty zotrvačnosti. Hlavné osi zotrvačnosti

Extrémne hodnoty axiálnych momentov zotrvačnosti sekcie sa nazývajú hlavné momenty zotrvačnosti.

Dve na seba kolmé osi, okolo ktorých majú osové momenty zotrvačnosti extrémne hodnoty, sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti.

Aby sme našli hlavné momenty zotrvačnosti a polohu hlavných osí zotrvačnosti, určíme prvú deriváciu vzhľadom na uhol momentu zotrvačnosti, určený vzorcom (6.27)

Prirovnajme tento výsledok k nule:

kde je uhol, o ktorý je potrebné otočiť súradnicové osi r A z tak, aby sa zhodovali s hlavnými osami.

Porovnaním výrazov (6.30) a (6.31) to môžeme zistiť

V dôsledku toho je odstredivý moment zotrvačnosti vzhľadom na hlavné osi zotrvačnosti nulový.

Vzájomne kolmé osi, z ktorých jedna alebo obe sa zhodujú s osami symetrie rezu, sú vždy hlavnými osami zotrvačnosti.

Vyriešme rovnicu (6.31) pre uhol:

Ak je >0, potom na určenie polohy jednej z hlavných osí zotrvačnosti pre pravý (ľavý) karteziánsky pravouhlý súradnicový systém je potrebná os z otočte pod uhlom proti smeru otáčania (v smere otáčania) v smere hodinových ručičiek. Ak<0, то для определения положения одной из главных осей инерции для правой (левой) декартовой прямоугольной системы координат необходимо осьz otočte pod uhlom v smere otáčania (proti smeru hodinových ručičiek) v smere hodinových ručičiek.

Maximálna os vždy zviera menší uhol s uhlom osí ( r alebo z), voči ktorému má osový moment zotrvačnosti väčšiu hodnotu (obr. 6.9).

Maximálna os smeruje pod uhlom k osi(), if() a nachádza sa v párnych (nepárnych) štvrtinách osí, if().

Určme hlavné momenty zotrvačnosti a. Pomocou vzorcov z trigonometrie spájajúcich funkcie,,,s funkciami,,zo vzorca (6.27) dostaneme

Nech je známe aj Ix, Iy, Ixy. Nakreslíme novú os x 1, y 1 rovnobežnú s osami xy.

A určme moment zotrvačnosti toho istého úseku vzhľadom na nové osi.

Xi = x-a; y1 = y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix – 2b Sx + b 2 A.

Ak os x prechádza ťažiskom rezu, potom statický moment Sx =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Podobne ako na novej osi y 1 budeme mať vzorec I y 1 = Iy + a 2 A

Odstredivý moment zotrvačnosti okolo nových osí

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.

Ak osi xy prechádzajú ťažiskom úseku, potom Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Ak je rez symetrický, aspoň jedna zo stredových osí sa zhoduje s osou symetrie, potom Ixy = 0, čo znamená Ix 1 y 1 = abA

Zmena momentov zotrvačnosti pri otáčaní osí.

Nech sú známe osové momenty zotrvačnosti okolo osí xy.

Nový súradnicový systém xy získame otočením starého systému o uhol (a > 0), ak je rotácia proti smeru hodinových ručičiek.

Stanovme vzťah medzi starými a novými súradnicami lokality

y 1 =ab = ac – bc = ab- de

z trojuholníka acd:

ac/ad =cos α ac= ad*cos α

z trojuholníka oed:

de/od =sin α dc = od*sin α

Dosaďte tieto hodnoty do výrazu pre y

y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.

Podobne

x 1 = x cos α + y sin α.

Vypočítajme osový moment zotrvačnosti vzhľadom na novú os x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

Podobne Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Pridajme ľavú a pravú stranu výsledných výrazov:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

Súčet osových momentov zotrvačnosti pri otáčaní sa nemení.

Určme odstredivý moment zotrvačnosti vzhľadom na nové osi. Predstavme si hodnoty x 1 , y 1 .

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

Hlavné momenty a hlavné osi zotrvačnosti.

Hlavné momenty zotrvačnosti nazývajú sa extrémne hodnoty.

Osi, okolo ktorých boli získané extrémne hodnoty, sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti. Vždy sú navzájom kolmé.

Odstredivý moment zotrvačnosti vzhľadom na hlavné osi je vždy rovný 0. Keďže je známe, že v reze je os symetrie, odstredivý moment je rovný 0, čo znamená, že os symetrie je hlavná os. Ak vezmeme prvú deriváciu výrazu I x 1, potom ju prirovnáme k „0“, dostaneme hodnotu uhla = zodpovedajúcu polohe hlavných osí zotrvačnosti.

tg2 α 0 = -

Ak α 0 >0, potom pre určitú polohu hlavných osí sa musí stará os otáčať proti smeru hodinových ručičiek. Jedna z hlavných osí je max a druhá min. V tomto prípade maximálna os vždy zodpovedá menšiemu uhlu s tou náhodnou osou, voči ktorej má väčší axiálny moment zotrvačnosti. Extrémne hodnoty axiálneho momentu zotrvačnosti sú určené vzorcom:

Kapitola 2. Základné pojmy pevnosti materiálov. Ciele a metódy.

Pri navrhovaní rôznych konštrukcií je potrebné riešiť rôzne otázky pevnosti, tuhosti a stability.

Pevnosť– schopnosť daného telesa odolávať rôznym zaťaženiam bez zničenia.

Tuhosť– schopnosť konštrukcie absorbovať zaťaženie bez veľkých deformácií (posunov). Predbežné prípustné hodnoty deformácie upravujú stavebné predpisy a predpisy (SNIP).

Udržateľnosť

Zvážte stlačenie pružnej tyče

Ak sa zaťaženie postupne zvyšuje, tyč sa najskôr skráti. Keď sila F dosiahne určitú kritickú hodnotu, tyč sa vylomí. - absolútne skrátenie.

V tomto prípade sa tyč nezrúti, ale prudko zmení svoj tvar. Tento jav sa nazýva strata stability a vedie k deštrukcii.

Sopromat– to sú základy vied o pevnosti, tuhosti a stabilite inžinierskych konštrukcií. Metódy používané v sopromate teoretická mechanika, fyzika, matematika. Pevnostný odpor na rozdiel od teoretickej mechaniky zohľadňuje zmeny veľkosti a tvaru telies pod vplyvom zaťaženia a teploty.

Nech z s, y s– stredové osi sekcií, – momenty zotrvačnosti sekcie vzhľadom na tieto osi. Určme momenty zotrvačnosti prierezu vzhľadom na nové osi z 1, o 1 rovnobežné so stredovými osami a posunuté vzhľadom k nim o vzdialenosti a A d. Nechaj dA– elementárna plocha v blízkosti bodu M so súradnicami r A z v centrálnom súradnicovom systéme. Z obr. 4.3 je zrejmé, že súradnice bodu C v novom súradnicovom systéme sa budú rovnať, .

Určme moment zotrvačnosti prierezu vzhľadom na os y 1 :

Obr.4.3

z c

y c

z 1

y 1

Je zrejmé, že prvý integrál dáva, druhý - pretože pôvodný súradnicový systém je centrálny a tretí - prierezovú plochu A.

teda

Podobne

Zmena momentov zotrvačnosti úseku pri otáčaní osí

Nájdime vzťah medzi momentmi zotrvačnosti okolo osí r, z a momenty zotrvačnosti okolo osí y 1, z 1, otočený pod uhlom a. Nechaj Jy> Jz a pozitívny uhol a merané od osi r proti smeru hodinových ručičiek. Nech sú súradnice bodu M pred zákrutou - r, z, po otočení - y 1, z 1(obr. 4.4).

Z obrázku vyplýva:

Teraz určme momenty zotrvačnosti okolo osí y 1 A z 1:

Ryža. 4.4

z 1

y 1

z 1

. (4.13)

Podobne:

Sčítaním rovníc (4.13) a (4.14) člen po člene dostaneme:

tie. súčet momentov zotrvačnosti vzhľadom na ľubovoľné vzájomne kolmé osi zostáva konštantný a nemení sa pri otáčaní súradnicového systému.

Hlavné osi zotrvačnosti a hlavné momenty zotrvačnosti

So zmenou uhla natočenia osí a Každá z veličín sa mení, no ich súčet zostáva nezmenený. Preto existuje taký význam

a = a 0, pri ktorej momenty zotrvačnosti dosahujú extrémne hodnoty, t.j. jeden z nich dosiahne svoju maximálnu hodnotu a druhý dosiahne minimum. Ak chcete nájsť hodnotu a 0 vezmite prvú deriváciu (alebo) a prirovnajte ju k nule:

Ukážme, že vzhľadom na získané osi je odstredivý moment zotrvačnosti rovný nule. K tomu prirovnáme pravú stranu rovnice (4.15) k nule: , odkiaľ, t.j. dostal rovnaký vzorec pre a 0 .

Osi, okolo ktorých je odstredivý moment zotrvačnosti nulový a axiálne momenty zotrvačnosti majú extrémne hodnoty, sa nazývajú hlavné osi. Ak sú tieto osi aj centrálne, potom sa nazývajú hlavné centrálne osi. Axiálne momenty zotrvačnosť okolo hlavných osí sa nazýva hlavné momenty zotrvačnosti.

Označme hlavné osi pomocou y 0 A z 0. Potom

Ak má sekcia os symetrie, potom je táto os vždy jednou z hlavných centrálnych osí zotrvačnosti sekcie.