Štúdium algebry 10. ročníka pomocou učebnice A.G. Mordkovicha a P.V. Semenov sa žiaci prvýkrát stretli s funkciou celočíselnej časti čísla y = [x]. Niektorých to zaujímalo, ale teoretických informácií bolo veľmi málo a dokonca aj úlohy obsahujúce celú časť čísla. Na podporu záujmu detí o túto tému vznikla myšlienka vytvoriť túto príručku.
Realizácia študijného programu je určená pre 1. polrok 10. ročníka pre študentov fyziky a matematiky.
Cieľ kurzu: rozšíriť vedomosti študentov o matematické funkcie a rozvíjať schopnosť využívať poznatky o funkciách pri riešení rovníc a nerovníc rôzneho stupňa zložitosti. Predkladaná učebnica obsahuje teoretické informácie referenčného charakteru. Ide o informácie o funkcii celočíselnej časti čísla y = [x] a funkcii zlomkovej časti čísla y = (x), ich grafy. Sú vysvetlené transformácie grafov obsahujúcich celú časť čísla. Zvažujú sa riešenia najjednoduchších rovníc a nerovníc obsahujúcich celé číslo alebo zlomkovú časť čísla. Rovnako ako metódy na riešenie kvadratických, zlomkových - racionálnych rovníc a nerovníc, sústavy rovníc obsahujúce celé číslo alebo zlomkovú časť čísla.
Manuál obsahuje úlohy na samostatné riešenie.
Manuál obsahuje nasledujúce body:
Úvod.
§1. Úvod do funkcií y = [x] a y = (x).
§2. Rovnice obsahujúce zlomkovú alebo celočíselnú časť čísla.
2.1 Najjednoduchšie rovnice.
2.2 Riešenie rovníc tvaru = g (x).
2.3 Grafická metóda riešenia rovníc.
2.4 Riešenie rovníc zavedením novej premennej.
2.5 Sústavy rovníc.
§3. Prevod grafov funkcií obsahujúcich celú časť čísla.
3.1 Vykresľovanie grafov funkcií tvaru y =
3.2 Vykreslenie grafov funkcií tvaru y = f ([x]).
§4. Nerovnice obsahujúce celé číslo alebo zlomkovú časť čísla.
§5. Celé a zlomkové časti čísel v úlohách olympiády.
Odpovede na úlohy na samostatné riešenie.
Manuál zabezpečuje rozvoj predstáv o funkcii a formovanie aplikovaných zručností.
Určené učiteľom riešiteľ problémovšpecializované školenie.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Rozina T.A
Problémy obsahujúce celok
alebo zlomková časť čísla
Mezhdurechensk 2011
Milí stredoškoláci!
Chystáte sa začať s hĺbkovým štúdiom témy „Celé číslo a zlomkové časti čísla“. Táto príručka vám umožní rozšíriť si znalosti o matematických funkciách pri riešení rovníc a nerovníc rôzneho stupňa zložitosti. Predložená príručka obsahuje teoretické informácie referenčného charakteru, vysvetľuje transformácie grafov obsahujúcich celé číslo alebo zlomkovú časť čísla a uvažuje o riešeniach najjednoduchších rovníc. Rovnako ako metódy na riešenie kvadratických, zlomkových racionálnych rovníc a nerovníc, sústavy rovníc. Manuál obsahuje úlohy na samostatné riešenie. Návod vám pomôže systematizovať a zovšeobecniť vedomosti, ktoré ste získali na tému „Celé a zlomkové časti čísla“.
Veľa štastia!
§1. Úvod do funkcií y = [x] a y = (x)………………………4
§2. Rovnice obsahujúce celé číslo alebo zlomkovú časť čísla......7
- Najjednoduchšie rovnice ………………………………………… 7
- Riešenie rovníc tvaru = g(x)………………………………..8.
2.3 Grafická metóda riešenia rovníc………………10
- Riešenie rovníc zavedením novej premennej……11
- Sústavy rovníc……………………………………………….12
§3. Transformácie grafov funkcií obsahujúcich celé číslo
Časť čísla…………………………………………………………....13
- 3.1 Vykreslenie grafov funkcií tvaru y = …………………13
- 3.2 Vykresľovanie grafov funkcií tvaru y = f([x])……………15
§4. Nerovnice obsahujúce celé číslo alebo zlomkovú časť čísla...17
……
§5. Celé číslo alebo zlomková časť čísla v úlohách olympiády......20
Odpovede na úlohy k samostatnému riešeniu………………………23
Použitá literatúra………………………………………………………………………...25
§1. Úvod do funkcií y = [x]
a y = (x)
História a definícia celých a zlomkových častí čísla
Pojem celočíselnej časti čísla zaviedol nemecký matematik Johann Carl Friedrich Gauss (1771-1855), autor knihy Transactions on Number Theory. Gauss tiež pokročil v teórii špeciálnych funkcií, radov, numerické metódy, riešiac problémy matematickej fyziky, vytvoril matematickú teóriu potenciálu.
Je označená celá časť Reálne číslo x so symbolom [x] alebo E(x).
Symbol [x] zaviedol K. Gauss v roku 1808.
Funkciu celočíselnej časti čísla zaviedol Adrien Marie Legendre ( 1752-1833). - francúzsky matematik. Jeho dielo „Skúsenosť z teórie čísel“, ktoré vyšlo v roku 1798, je základným dielom, výsledkom aritmetických úspechov 18. storočia. Na jeho počesť sa funkcia y = [x] nazýva francúzskym slovom „Antier“ (francúzsky „entier“ - celok) E(x).
Definícia: celočíselná časť čísla x je najväčšie celé číslo c nepresahujúce x, t.j. ak [x] = c, c ≤ x
Napríklad: = 2;
[-1,5] = -2.
Pomocou niektorých hodnôt funkcie môžete zostaviť jej graf. Vyzerá to takto:
Vlastnosti funkcie y = [x]:
1. Definičný obor funkcie y = [x] je množina všetkých reálnych čísel R.
2. Rozsah funkcie y = [x] je množina všetkých celých čísel Z.
3. Funkcia y = [x] je po častiach konštantná, neklesá.
4. Všeobecná funkcia.
5. Funkcia nie je periodická.
6. Funkcia nie je obmedzená.
7. Funkcia má bod zlomu.
8. y=0, pri x.
Napríklad: (3,7) = 0,7
{-2,4} = 0,6.
Nakreslíme funkciu y = (x). Vyzerá to takto:
Najjednoduchšie vlastnosti funkcie y = (x):
1. Definičný obor funkcie y = (x) je množina všetkých reálnych čísel R.
2. Rozsah hodnôt funkcie y = (x) je polovičný interval a y = (x) vám pomôže splniť niektoré úlohy.
ÚLOHY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE
1) Vytvorte grafy funkcií:
A) y = [x] + 5;
B) y = (x) - 2;
B) y = |[x]|.
2) Aké môžu byť čísla x a y, ak:
A) [x + y] = y;
B) [x - y] = x;
B) (x - y) = x;
D) (x + y) = y.
3) Čo možno povedať o veľkosti rozdielu x - y, ak:
A) [x] = [y];
B) (x) = (y).
4) Čo je väčšie: [a] alebo (a)?
§2. Rovnice obsahujúce celé číslo alebo zlomkovú časť čísla
2.1. Najjednoduchšie rovnice
Medzi najjednoduchšie rovnice patria rovnice v tvare [x] = a.
Rovnice tohto typu sa riešia podľa definície:
a ≤ x
Ak a je zlomkové číslo, potom takáto rovnica nebude mať korene.
Pozrime sa na príklad riešeniajedna z týchto rovníc:
[x + 1,3] = - 5. Podľa definície sa takáto rovnica transformuje na nerovnicu:
5 ≤ x + 1,3
Toto bude riešenie rovnice.
Odpoveď: x[-6,3;-5,3).
Zoberme si ďalšiu rovnicu, ktorá patrí do najjednoduchšej kategórie:
[x+1] + [x-2]-[x+3] = 2
Na riešenie rovníc tohto typu je potrebné použiť vlastnosť celočíselnej funkcie: Ak p je celé číslo, potom je rovnosť pravdivá.
[x ± p] = [x] ± p
Dôkaz: x = [x] + (x)
[ [x] + (x) ± p] = [ [x] + (x)] ± p
x = k + a, kde k = [x], a = (x)
[k + a ± p] = [k + a] ± p = [x] ± p.
Riešime navrhovanú rovnicu pomocou dokázanej vlastnosti: Dostaneme [x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 2. Prinesme podobné pojmy a získame najjednoduchšiu rovnicu [x] = 6. Jej riešením je polovičný interval x = 1
Transformujme rovnicu na nerovnicu: 1 ≤ x 2-5x+6
x 2 - 5 x + 6
x 2 - 5x + 6 ≥ 1 a vyriešte to;
x 2 - 5 x + 4
x 2 - 5x + 5>0
Dostaneme x(1;4)
Х(-∞;(5 -)/2][(5 +)/2; +∞),
X(1; (5-)/2][(5+)/2;4).
Odpoveď: x(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).
Riešte rovnice:
1) = 1
2) = 0,487
3) – = 2
4) [x 2] = 4
5) [x]2 = 4
6) = - 5
7) [x 2 – x + 4] = 2
8) = - 1
9) = 4,2
10) (x) – [x] + x = 0
11) x + (x) + [x] = 0
12) [4x – 5] = 7
2.2 Riešenie rovníc tvaru =g(x)
Rovnicu v tvare =g(x) je možné vyriešiť ich zredukovaním na rovnicu
[x] = a.
Pozrime sa na príklad 1.
Vyriešte rovnicu
Nahraďte pravú stranu rovnice novou premennou a a vyjadrime odtiaľ x
11a = 16x + 16, 16x = 11a – 16,
Potom = =
Teraz vyriešme rovnicu pre premennú A
Rozšírme znamienko celočíselnej časti o definíciu a napíšme ho pomocou systému nerovností:
Z intervalu vyberieme všetky celočíselné hodnoty a: 3;4;5;6;7 a vykonáme opačnú výmenu:
odpoveď:
Príklad 2
Vyriešte rovnicu:
Vydeľte každý člen čitateľa v zátvorkách menovateľom:
Z definície celočíselnej časti čísla vyplýva, že (a+1) musí byť celé číslo, čo znamená, že a je celé číslo.Čísla a, (a+1), (a+2) sú tri po sebe idúce čísla, čo znamená, že jedno z nich je nevyhnutne deliteľné 2 a jedno 3. Preto je súčin čísel deliteľný 6.
To je celé číslo. Prostriedky
Poďme vyriešiť túto rovnicu.
a(a+1)(a+2) - 6(a+1) = 0
(a+1)(a(a+2)-6) = 0
a + 1 = 0 alebo a 2 + 2a – 6 = 0
a = -1 D = 28
A = -1 ± (nie sú celé čísla).
odpoveď: -1.
Vyriešte rovnicu:
2.3. Grafický spôsob riešenia rovníc
Príklad 1. [x] = 2(x)
Riešenie. Vyriešme túto rovnicu graficky. Nakreslíme funkcie y = [x] a y = 2(x). Nájdite úsečky ich priesečníkov.
Odpoveď: x = 0; x = 1,5.
V niektorých prípadoch je vhodnejšie použiť graf na nájdenie súradníc priesečníkov grafov. Výslednú hodnotu potom dosaďte do jednej z rovníc a nájdite požadované hodnoty x.
ÚLOHY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE
Riešte rovnice graficky:
- (x) = 1 – x;
- (x) + 1 = [x];
- = 3x;
- 3(x) = x;
- (x) = 5x + 2;
- [|x|] = x;
- [|x|] = x + 4;
- [|x|] = 3|x| - 1;
- 2(x) – 1 = [x] + 2;
10) Koľko riešení má rovnica 2(x) = 1?.
2.4. Riešenie rovníc zavedením novej premennej.
Pozrime sa na prvý príklad:
(x)2-8(x)+7 = 0
Nahraďte (x) a, 0 a
a 2 - 8a + 7 = 0, ktorú riešime inverznou vetou k Vietovej vete: Výsledné korene sú a = 7 a a = 1. Urobme opačnú substitúciu a získame dve nové rovnice: (x) = 7 a (x) = 1. Obe tieto rovnice nemajú korene. Preto rovnica nemá riešenia.
Odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.
Uvažujme o inom prípaderiešenie rovnice zavedením novej
premenná:
3[x]3 + 2[x]2 + 5[x]-10 = 0
Urobme zmenu [x] = a, az. a dostaneme niečo nové kubická rovnica vzadu 3 + 2a 2 +5a-10=0. Prvý koreň tejto rovnice nájdeme výberom: a=1 je koreň rovnice. Našu rovnicu vydelíme (a-1). Dostaneme kvadratická rovnica 3a 2
+ 5a + 10 = 0. Táto rovnica má negatívny diskriminant, čo znamená, že nemá žiadne riešenia. To znamená, že a=1 je jediným koreňom rovnice. Vykonáme opačnú substitúciu: [x]=a=1. Výslednú rovnicu vyriešime zadefinovaním celočíselnej časti čísla: x 2 + 8[x]-9 = 0 10) 10[x] 3 -11[x] 2 -31[x] -10 = 0 2.5. Sústavy rovníc. Zvážte systém rovníc: 2[x] + 3[y] = 8, 3[x] – [y] = 1. Dá sa to vyriešiť buď pridaním alebo substitúciou. Zamerajme sa na prvý spôsob. 2[x] + 3[y] = 8, 9[x] – 3[y] = 3. Po sčítaní týchto dvoch rovníc dostaneme 11[x] = 11. Preto [x] = 1. Dosaďte túto hodnotu do prvej rovnice sústavy a získajte [y] = 2. [x] = 1 a [y] = 2 sú riešenia sústavy. To je x
18-x-y
3) 3[x] – 2(y) = 6
[x] 2 – 4 (y) = 4
4) 3(x) – 4(y) = -6
6(x) – (y)2 = 3.
§3. Transformácie grafov funkcií obsahujúcich celú časť čísla
3.1. Vykresľovanie grafov funkcií tvaru y =
Nech existuje graf funkcie y = f(x). Ak chcete vykresliť funkciu y =, postupujte takto:
- Priesečníky priamok y = n, y = n + 1 označíme grafom funkcie y = f(x). Tieto body patria do grafu funkcie y =, keďže ich ordináty sú celé čísla (na obrázku sú to body A, B, C, D).
Nakreslíme funkciu y = [x]. Pre to
- Nakreslite rovné čiary y = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ... a zvážte jeden z pruhov tvorených priamkami y = n, y = n + 1.
- Priesečníky priamok y = n, y = n + 1 označíme grafom.
Funkcie y = [x]. Tieto body patria do grafu funkcie y = [x],
Pretože ich súradnice sú celé čísla.
- Ak chcete získať zvyšné body grafu funkcie y = [x] v naznačenom páse, premietnite časť grafu y = x, ktorá spadá do pásu rovnobežne s osou O pri k priamke y = n, y = n + 1. Keďže ľubovoľný bod M tejto časti grafu funkcie y = x má takú súradnicu y 0 že n 0 0] = n
- V každom ďalšom páse, kde sú body na grafe funkcie y = x, sa konštrukcia vykonáva podobným spôsobom.
ÚLOHY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE
Graf funkcií:
3.2. Vykreslenie funkcie v tvare y = f([x])
Nech je daný graf nejakej funkcie y = f(x). Graf funkcie y = f([x]) je zostrojený takto:
- Nakreslite rovné čiary x = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ...
- Uvažujme jeden z pruhov tvorených priamkami y = n a y = n + 1. Body A a B priesečníka grafu funkcie y = f(x) s týmito priamkami patria grafu funkcie y = f([x]), pretože ich úsečky sú celé čísla.
- Aby sme získali zvyšné body grafu funkcie y = f([x]) v naznačenom páse, premietneme časť grafu funkcie y = f(x), ktorá spadá do tohto pásu rovnobežne s osou O. y na priamku y = f(n).
- V každom ďalšom páse, kde sú body na grafe funkcie y = f(x), sa konštrukcia vykonáva podobným spôsobom.
Zvážte vykreslenie funkcie y =. Na to nakreslíme graf funkcie y = bodkovanou čiarou. Ďalej
čísla.
3. V každom druhom páse, kde sú body na grafe funkcie y =, stavba sa realizuje obdobným spôsobom.
ÚLOHY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE
Graf funkcií:
§4. Nerovnice obsahujúce celé alebo zlomkové časti čísla
Nasledujúce vzťahy nazvime hlavnými nerovnicami s [x] a (x): [x] > b a (x) > b. Pohodlnou metódou na ich riešenie je grafická metóda. Vysvetlime si to na dvoch príkladoch.
Príklad 1. [x] ≥ b
Riešenie. Predstavme si dve funkcie y = [x] a y = b a nakreslite ich grafy na ten istý výkres. Je jasné, že potom treba rozlišovať dva prípady: b – celé číslo a b – necelé číslo.
Prípad 1. b – celé číslo
Z obrázku je vidieť, že grafy sa zhodujú na .
Preto riešením nerovnosti [x] ≥ b bude lúč x ≥ b.
Prípad 2. b nie je celé číslo.
V tomto prípade sa grafy funkcií y = [x] a y = b nepretínajú. Ale časť grafu y = [x] ležiaca nad čiarou začína v bode so súradnicami ([b] + 1; [b] + 1). Riešením nerovnosti [x] ≥ b je teda lúč x ≥ [b] + 1.
Ostatné typy základných nerovností sa skúmajú úplne rovnakým spôsobom. Výsledky týchto štúdií sú zhrnuté v tabuľke nižšie.
[X] |
(x) ≥ b, (x) > b, b ž 1 | Žiadne riešenia |
(x) ≥ b, (x) > b, b | (-∞; +∞) |
(x) ≥ b, (x) > b, 0 ≤ b | n + b ≤ x n+b |
(x) ≤ b, (x) | (-∞; +∞) |
(x) ≤ b, (x) | Žiadne riešenia |
(x) ≤ b, (x) | n≤x≤b+n |
Pozrime sa na príklad riešenia nerovností:
Nahraďte [x] premennou a, kde a je celé číslo.
>1; >0; >0; >0.
Pomocou intervalovej metódy nájdeme a > -4 [x] > -4
Na vyriešenie získaných nerovností používame zostavenú tabuľku:
x ≥ -3,
Odpoveď: [-3;1).
ÚLOHY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE.
1) [x]
2) [x] ≤ 2
3) [x] > 2,3
4) [x] 2
5) [x]2-5 [x]-6
6) [x] 2 - 7 [x] + 6 0
7) 30[x]2-121[x] + 80
8) [x]2 + 3[x]-40
9) 3(x)2-8(x)-4
10) 110[x]2-167[x] + 1630
11) > 2
12) > 1
13) 0
14) 0
§5. Celé číslo alebo zlomková časť čísla v úlohách olympiády
Príklad 1
Dokážte, že číslo je deliteľné 5 pre ľubovoľné prirodzené číslo n.
Dôkaz: Nech n je párne číslo, t.j. n = 2 m, kde m N,
Preto.
Potom tento výraz vyzerá takto: ,
tie. je deliteľné 5 pre ľubovoľné párne n.
Ak n = 2 m -1, potom
potom tento výraz vyzerá takto:
Toto číslo je deliteľné 5 pre ľubovoľné nepárne n.
Takže tento výraz je deliteľný 5 pre akékoľvek prirodzené n.
Príklad 2
Nájsť všetky základné čísla formulára, kde n N.
Riešenie. Nechať byť. Ak n=3k, potom p=3k 2 . Toto číslo bude prvočíslo a bude sa rovnať 3, pričom k=1.
Ak n=3k+1, k0, potom
To
Toto číslo bude prvočíslo a bude sa rovnať 5, keď k=1.
Ak n = 3k + 2, k 0, potom
Zložené číslo pre ľubovoľné kN.
Odpoveď: 3;5
Príklad 3
Čísla sa píšu v rade, ktoré sú násobkami dvoch, troch a šiestich. Nájdite číslo, ktoré bude v tejto sérii na tisícom mieste.
Riešenie:
Nech x je požadované číslo, potom rad čísel, ktoré sú násobkami dvoch v tomto rade - , sú násobkami troch - , sú násobkami šiestich - . Ale čísla sú násobky šiestich, násobky dvoch a troch, t.j. sa bude počítať trikrát. Preto zo súčtu čísel. Pre násobky dvoch, troch, šiestich musíte odpočítať dvojnásobok násobkov šiestich. Potom rovnica na vyriešenie tohto problému je:
Predstavme si nasledujúci zápis:
Potom a+b-c=1000 (*) a podľa definície celej časti čísla máme:
Vynásobením každého člena nerovnosti číslom 6 dostaneme:
6a3x
6b2x
Sčítaním prvých dvoch nerovností a odčítaním tretej nerovnosti od nich dostaneme:
6(a+b+c) 4x
Použime rovnosť (*), potom: 60004x
1500x
Riešením rovnice budú čísla: 1500 a 1501, ale podľa podmienok úlohy je vhodné iba číslo 1500.
Odpoveď: 1500
Príklad 4.
Je známe, že mladší brat nemá viac ako 8, ale nie menej ako 7 rokov. Ak sa počet celých rokov mladšieho brata zdvojnásobí a počet čiastkových rokov (t. j. mesiacov) jeho veku sa strojnásobí, celkový počet bude predstavovať vek staršieho brata. Uveďte vek každého z bratov s presnosťou na mesiace, ak je známe, že ich celkový vek je 21 rokov a 8 mesiacov.
Riešenie:
Nech je x (rokov) vek mladšieho brata(mesiace) jeho veku. Podľa podmienok problému(roky) – vek staršieho brata. Celkový vek oboch bratov je:
(roku).
3( , 3x + ,
Pretože (x) = x - [x], potom. (Rovnica tvaru = bx + c, kde a,b,c R)
N=6, n=7.
Keď n = 6, x = - nespĺňa podmienky problému.
Keď n = 7, x = .
Vek mladšieho brata je 7 rokov a 2 mesiace.
Starší brat má 14 rokov a 6 mesiacov.
Odpoveď: vek mladšieho brata je 7 rokov a 2 mesiace,
Starší brat má 14 rokov a 6 mesiacov.
Úlohy na samostatné riešenie.
1. Riešte rovnice: a) x+2[x] = 3,2; b) x 3 – [x] = 3
2. Celé čísla m a n sú koprimé a n
Alebo
3. Je dané číslo x väčšie ako 1. Je rovnosť potrebná?
Riešte sústavu rovníc: x+[y]+(z) = 1,1
Y+[z]+(x)=2,2
Z++[x]+(y)=3,3.
4. Je známe, že počet celých metrov v páske je 4-krát väčšie množstvo neúplné metre (t.j. centimetre). Určite maximálnu možnú dĺžku pásky.
Odpovede na úlohy na samostatné riešenie.
§1 2. a) xЄ d) x Є Z; y Є > (a), ak a ≥ 1, (a) ≥ [a], ak a
§2. 2.1 1) , nЄ Z
3), n Z
6) (-∞; 2);, n>3, nZ
§5. 1. a) x = 1,2
Ak (x) je zlomková časť čísla x, potom [x] + (x) = x.
Potom [x] + (x) + 2[x] = 3,2. 3[x] + (x) = 3,2. Pretože 3[x] je celé číslo a 0 ≤ (x)
B) x =.
Poznámka. [x] = x- (x), kde 0 ≤ (x)
X 3 - x + (x) = 3, odkiaľ 2 2 - 1) ≤ 3.
- Prvý súčet je väčší ako druhý o m – n.
- Nevyhnutne.
Poznámka. Ak [√] = n, potom n 4 ≤ x 4. Teraz je to už jednoduché
Dokážte, že [√ ] = n.
- (1; 0,2; 2,1)
- 3 m 75 cm.
Bibliografia
- Alekseeva V., Uskova N. Problémy obsahujúce celé číslo a zlomkové časti čísla // Matematika. 1997. Číslo 17. S.59-63.
- Voronová A.N. Rovnica s premennou pod znamienkom celej alebo zlomkovej časti // Matematika v škole. 2002.č.4. s. 58-60.
- Voronová A.N. Nerovnice s premennou pod znamienkom celociselnej casti // Matematika v skole. 2002. Číslo 2. S.56-59.
- Galkin E.V. Neštandardné úlohy z matematiky. Algebra: Učebnica. manuál pre žiakov 7-11 ročníkov. Čeľabinsk: „Vzglyad“, 2004.
- Dodatočné kapitoly o kurze matematiky pre 10. ročník pre voliteľné triedy: Príručka pre študentov / Komp. ZA. Eunuch. M.: Vzdelávanie, 1979.
- Erovenko V.A., O.V. Mikhašková O.V. Occamov metodický princíp na príklade funkcií celých a zlomkových častí čísla // Matematika v škole. 2003. Číslo 3. S.58-66.
7. Kirzimov V. Riešenie rovníc a nerovníc obsahujúcich celé číslo a
Zlomková časť čísla // Matematika. 30.№ 2002. s. 26-28.
8. Shreiner A.A. „Úlohy krajských matematických olympiád
Novosibirská oblasť“. Novosibirsk 2000.
9. Adresár „Matematika“, Moskva „AST-PRESS“ 1997.
10. Raichmist R.B. „Grafy funkcií. Úlohy a cvičenia." Moskva.
„Škola – tlač“ 1997.
11. Mordkovich A.G., Semenov P.V. „Algebra a začiatky analýzy. 10
Trieda. Časť 2. Kniha problémov. Úroveň profilu" Smolensk
"Mnemosyne" 2007.
y=b(bZ)
y=b(bZ)
Johann Gauss
Adrien Legendre
Matematické hry a zábava
Obľúbené
Redaktorka Kopylová A.N.
Tech. Editor Murashova N.Ya.
Korektor Secheiko L.O.
Dodané na nábor dňa 26. septembra 2003. Podpísané na zverejnenie 14. decembra 2003. Formát 34×103¼. Phys. rúra l. 8,375. Podmienené rúra l. 13,74. Uch. vyd. l. 12,88. Náklad 200 000 kópií. Objednávka č. 279. Účtovná cena 50 rub.
Domoryad A.P.
Matematické hry a zábava. Obľúbené. – Volgograd: VSPU, 2003, - 20 s.
Kniha predstavuje vybrané problémy z monografie Domoryada A.P. „Matematické hry a zábava“, ktoré v roku 1961 vydalo Štátne vydavateľstvo fyzikálnej a matematickej literatúry v Moskve.
ISBN 5-09-001292-X BBK 22.1я2я72
©Vydavateľstvo VSPU, 2003
Určenie zamýšľaného počtu pomocou troch tabuliek
Rozložte čísla od 1 do 60 v rade v každej z troch tabuliek tak, aby v prvej tabuľke stáli v troch stĺpcoch po dvadsiatich číslach, v druhom - v štyroch stĺpcoch po 15 čísel a v treťom - v piatich stĺpci po 12 číslach (pozri obr. 1), je ľahké rýchlo určiť niekým vymyslené číslo N (N≤), ak čísla α, β, γ v stĺpcoch obsahujúcich vymyslené číslo v 1., 2. a 3. sú uvedené v tabuľkách: N sa bude rovnať zvyšku delenia čísla 40α+45β+36γ číslom 60 alebo súčtu (40α+45β+36γ) modulo 60. Napríklad s α=3, β=2, γ=1:
40α+45β+36γ=0+30+36=6(mod60), t.j. N=6
| Ι | II | III |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| ja | II | III | IV |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ja | II | III | IV | V |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
Obr.1
Podobná otázka môže vzniknúť pri číslach do 420 umiestnených v štyroch tabuľkách s tromi, štyrmi, piatimi a siedmimi stĺpcami: ak α, β, γ sú čísla stĺpcov, v ktorých sa nachádza zamýšľané číslo, potom sa rovná zvyšok delenia čísla 280α+ 105β+336+120δ číslom 420.
pásomnica
Hra tzv pásomnica sa hrá na doske s tridsiatimi tromi políčkami.
Takáto doska sa dá ľahko získať prekrytím šachovnice listom kartónu s výrezom v tvare kríža.
Na obrázku je každá bunka označená dvojicou čísel označujúcich čísla vodorovných a zvislých riadkov, na priesečníkoch ktorých sa bunka nachádza. Na začiatku hry sú všetky bunky, s výnimkou jednej, obsadené dámami.
Je potrebné odstrániť 31 dám a je špecifikovaná prázdna „štartovacia“ bunka ( a,b) a „konečný“ ( c,d), na ktorú by mala byť umiestnená hra, ktorá prežila na konci hry. Pravidlá hry sú
sú: z hracej plochy možno odstrániť ľubovoľnú šachovnicu, ak je vedľa nej (v horizontálnom alebo vertikálnom smere) na jednej strane šachovnica („odstránenie“) a na opačnej strane je prázdne políčko, na ktorom je „odstránenie“ ” Dáma musí byť prenesená súčasne.
Z teórie hier vyplýva, že riešenie bude vtedy a len vtedy, ak a c(mod3) a b d(mod3).
Uveďme príklad problému, v ktorom je bunka (44) počiatočnou aj koncovou bunkou.
- 64-44
- 56-54
- 44-64
- 52-54
- 73-53
- 75-73
- 43-63
- 73-53
- 54-52
- 35-55
- 65-45
- 15-35
- 45-25
- 37-35
- 57-37
- 34-36
- 37-35
- 25-45
- 46-44
- 23-43
- 31-33
- 43-23
- 51-31
- 52-32
- 31-33
- 14-34
- 34-32
- 13-33
- 32-34
- 34-54
- 64-44
Tu, v zázname každého ťahu, sú uvedené čísla pôvodnej dámy pre „odstránenú“ dámu
Bunky a číslo bunky, na ktorej je umiestnená (v tomto prípade je z hracej plochy odstránená šachovnica,
stojaci na strednom štvorci)
Skúste odstrániť 31 dám:
a) Počiatočná bunka (5,7) a konečná bunka (2,4);
b) Počiatočná bunka (5,5) a koncová bunka (5,2).
Sčítanie a odčítanie namiesto násobenia
Pred vynálezom logaritmických tabuliek, aby sa uľahčilo násobenie viacciferných čísel, tzv prostasférický tabuľky (z gréckych slov „aphairesis“ – odoberanie), čo sú tabuľky funkčných hodnôt
Pre prírodné hodnoty Z. Keďže pre celé čísla a a b (čísla a+b a a-b sú buď obe spravodlivé, alebo obidve nepárne; v druhom prípade sú zlomkové časti ya identické), potom vynásobenie a číslom b redukuje definíciu a+b a a-b a napokon rozdiely čísel 
,prebraté stoly.
Na vynásobenie troch čísel môžete použiť identitu
z čoho vyplýva, že ak máte tabuľku funkčných hodnôt, výpočet súčinu abc možno zredukovať na určenie čísel a+b+c, a+b-c, a+c-b, b+c-a a zapamätať si – pomocou tabuľky – pravá strana rovnosti (*).
Uveďme ako príklad takú tabuľku pre .
Tabuľka zobrazuje: veľké čísla – hodnoty a malé čísla – význam k, kde
| JEDNOTKY | |||||||||||
| TENS | 1 3 | 2 16 | 5 5 | 9 0 | 14 7 | 21 8 | 30 9 | ||||
| 55 11 | 72 0 | 91 13 | 114 8 | 140 15 | 170 16 | 204 17 | 243 0 | 285 19 | |||
| 333 8 | 385 21 | 443 16 | 506 23 | 576 0 | 651 1 | 732 8 | 820 3 | 914 16 | 1016 5 |
Pomocou vzorca (*) a tabuľky nie je ťažké získať:
9·9·9=820 3 – 30 9 – 30 9 – 30 9 =297,
17 8 4 = 1016 5 – 385 21 – 91 13 + 5 5 = 544 (Kontrola!!)
Funkcia [x] (celočíselná časť x)
Funkcia [x] sa rovná najväčšiemu celému číslu nepresahujúcemu x (x je akékoľvek reálne číslo). Napríklad:
| |
Obrázok 2 zobrazuje graf tejto funkcie a ľavý koniec každého z horizontálnych segmentov patrí do grafu (tučné bodky) a pravý koniec nie.
uhlopriečok štvorca sa rovná rovnakému číslu 
Ak sú iba súčty čísel v ľubovoľnej horizontálnej a vertikálnej polohe rovnaké, potom sa nazýva štvorec polomagický.
Magické 4-štvorce je pomenované po Dürerovi, matematikovi a umelcovi zo 16. storočia, ktorý toto námestie zobrazil na slávnom obraze „Melanchólia“.
Mimochodom, dve nižšie stredné čísla tohto štvorca tvoria číslo 1514 – dátum vzniku obrazu.
Existuje osem deväťbunkových magických štvorcov z ktorých sú Zrkadlový obraz navzájom sú znázornené na obrázku; zvyšných šesť je možné získať z týchto štvorcov ich otočením okolo stredu o 90 180 270.
Ciele lekcie: oboznámiť žiakov s pojmom celé číslo a zlomkové časti čísla; formulovať a dokázať niektoré vlastnosti celočíselnej časti čísla; oboznámiť študentov so širokým spektrom použitia celých a zlomkových častí čísla; zlepšiť schopnosť riešiť rovnice a sústavy rovníc obsahujúcich celé a zlomkové časti čísla.
Vybavenie: plagát „Kto od mladosti robí a myslí na seba, stáva sa neskôr spoľahlivejším, silnejším, múdrejším“ (V. Shukshin).
Projektor, magnetická tabuľa, príručka algebry.
Plán lekcie.
- Organizovanie času.
- Kontrola domácich úloh.
- Učenie sa nového materiálu.
- Riešenie problémov k téme.
- Zhrnutie lekcie.
- Domáca úloha.
Počas vyučovania
I. Organizačný moment: správa témy lekcie; stanovenie cieľa hodiny; posolstvo etáp lekcie.
II. Kontrola domácich úloh.
Odpovedzte na otázky študentov o domáca úloha. Vyriešte problémy, ktoré spôsobovali ťažkosti pri robení domácich úloh.
III. Učenie sa nového materiálu.
V mnohých problémoch algebry musíte brať do úvahy najväčšie celé číslo, ktoré nepresahuje dané číslo. Takéto celé číslo dostalo špeciálny názov „celočíselná časť čísla“.
1. Definícia.
Celočíselná časť reálneho čísla x je najväčšie celé číslo nepresahujúce x. Celočíselná časť čísla x je označená symbolom [x] alebo E(x) (z francúzskeho Entier „antier“ ─ „celek“). Napríklad = 5, [π ] = 3,
Z definície vyplýva, že [x] ≤ x, keďže celočíselná časť nepresahuje x.
Na druhej strane, pretože [x] je najväčšie celé číslo, ktoré spĺňa nerovnosť, potom [x] +1>x. [x] je teda celé číslo definované nerovnosťami [x] ≤ x< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.
Číslo α = υ ─ [x] sa nazýva zlomková časť čísla x a označuje sa (x). Potom máme: 0 ≤ (x)<1 и следовательно, х = [x] + {х}.
2. Niektoré vlastnosti antie.
1. Ak je Z celé číslo, potom = [x] + Z.
2. Pre akékoľvek reálne čísla x a y: ≥ [x] + [y].
Dôkaz: keďže x = [x] + (x), 0 ≤ (x)<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.
Ak 0 ≤ α<1. ς о = [x] + [у].
Ak 1≤ α<2, т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и
= [x] + [y]+1>[x] + [y].
Táto vlastnosť sa vzťahuje na ľubovoľný konečný počet výrazov:
≥ + + + … + .
Schopnosť nájsť celočíselnú časť veličiny je pri približných výpočtoch veľmi dôležitá. V skutočnosti, ak vieme, ako nájsť celú časť hodnoty x, potom, ak vezmeme [x] alebo [x]+1 ako približnú hodnotu hodnoty x, urobíme chybu, ktorej hodnota nie je väčšia ako jedna , odkedy
≤ x – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.
Navyše, hodnota celočíselnej časti veličiny vám umožňuje nájsť jej hodnotu s presnosťou 0,5. Pre túto hodnotu môžete vziať [x] + 0,5.
Schopnosť nájsť celú časť čísla vám umožňuje určiť toto číslo s akoukoľvek presnosťou. Skutočne, odvtedy
≤ Nx ≤ +1, potom
Pre väčšie N bude chyba malá.
IV. Riešenie problémov.
(Získavajú sa extrakciou koreňov s presnosťou 0,1 s nedostatkom a nadbytkom). Pridaním týchto nerovností dostaneme
1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.
Tie. 3.1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.
Všimnite si, že číslo 3,25 sa líši od x nie viac ako 0,15.
Úloha 2. Nájdite najmenšie prirodzené číslo m, pre ktoré
Kontrola ukazuje, že pre k = 1 ak = 2 výsledná nerovnosť neplatí pre žiadne prirodzené m a pre k = 3 má riešenie m = 1.
To znamená, že požadovaný počet je 11.
odpoveď: 11.
Antje v Eqs.
Riešenie rovníc s premennou pod znamienkom „celočíselná časť“ zvyčajne vedie k riešeniu nerovníc alebo systémov nerovníc.
Úloha 3. Vyriešte rovnicu:
Úloha 4. Vyriešte rovnicu
Podľa definície celočíselnej časti je výsledná rovnica ekvivalentná dvojitej nerovnosti
Úloha 5. Vyriešte rovnicu 
Riešenie: ak majú dve čísla rovnakú celočíselnú časť, ich rozdiel v absolútnej hodnote je menší ako 1, a preto nerovnosť vyplýva z tejto rovnice
A preto po prvé, X≥ 0 a po druhé, v súčte v strede výslednej dvojitej nerovnosti sú všetky členy, počnúc od tretiny, rovné 0, takže X < 7 .
Keďže x je celé číslo, zostáva len skontrolovať hodnoty od 0 do 6. Riešeniami rovnice sú čísla 0,4 a 5.
c) označenie.
VI. Domáca úloha.
Dodatočná úloha (voliteľné).
Niekto zmeral dĺžku a šírku obdĺžnika. Vynásobil celú časť dĺžky celou časťou šírky a dostal 48; vynásobil celú časť dĺžky zlomkovou časťou šírky a dostal 3,2; vynásobil zlomkovú časť dĺžky celou časťou šírky a dostal 1,5. Určite plochu obdĺžnika.
Vydavateľstvo Shkolnik
Volgograd, 2003
A.P.Domoryad
BBK 22,1 × 2 × 72
Domoryad Alexander Petrovič
Matematické hry a zábava
Obľúbené
Redaktorka Kopylová A.N.
Tech. redaktorka Murashova N.Ya.
Korektor Secheiko L.O.
Dodané na nábor dňa 26. septembra 2003. Podpísané na zverejnenie 14. decembra 2003. Formát 84x 108 ¼.Fyz.tlač.l. 8,375. Podmienená rúra 13,74. Akademik-ed.l. 12,82. Náklad 200 000 kópií. Objednávka č. 979. Cena knihy je 50 rubľov.
Domoryad A.P.
Matematické hry a zábava: Obľúbené - Volgograd: VSPU, 2003. - 20 s.
Kniha predstavuje vybrané problémy z monografie Domoryada A.P. „Matematické hry a zábava“, ktoré v roku 1961 vydalo štátne vydavateľstvo fyzickej a matematickej literatúry v Moskve.
ISBN5-09-001292-Х BBK22.1я2я72
© Vydavateľstvo "VGPU", 2003
Predslov 6
Určenie zamýšľaného počtu pomocou troch tabuliek 7
Solitaire 8
Sčítanie a odčítanie namiesto násobenia 11
Funkcia [x] (celočíselná časť x) 12
Figúrky zo štvorcových dielikov 14
Magické štvorce 16
Dodatok 17
Predslov
Z rôznorodého materiálu zjednoteného rôznymi autormi pod všeobecným názvom matematické hry a zábava možno rozlíšiť niekoľko skupín „klasickej zábavy“, ktoré už dlho priťahujú pozornosť matematikov:
Zábava súvisiaca s hľadaním originálnych riešení problémov, ktoré umožňujú takmer nevyčerpateľnú škálu riešení; Zvyčajne sa zaujímajú o stanovenie počtu riešení, vývoj metód, ktoré poskytujú veľké skupiny riešení alebo riešení, ktoré spĺňajú nejaké špeciálne požiadavky.
Matematické hry, t.j. hry, v ktorých sa dva „ťahy“ hrajúce vedľa seba, robené striedavo v súlade so špecifikovanými pravidlami, usilujú o dosiahnutie určitého cieľa a ukazuje sa, že akákoľvek počiatočná pozícia môže vopred určiť víťaza a naznačiť, ako - s akýmikoľvek ťahmi súper - môže dosiahnuť víťazstvo.
„Hry jedného človeka“, t.j. zábava, pri ktorej je prostredníctvom série operácií vykonávaných jedným hráčom v súlade s týmito pravidlami potrebné dosiahnuť určitý, vopred určený cieľ; tu ich zaujímajú podmienky, za ktorých je možné cieľ dosiahnuť, a hľadajú čo najmenší počet ťahov potrebný na jeho dosiahnutie.
Každý sa môže pokúsiť tým, že ukáže vytrvalosť a vynaliezavosť, dosiahnuť zaujímavé (svoje!) výsledky.
Ak taká klasická zábava, akou je napríklad skladanie „magických štvorcov“, môže osloviť relatívne úzky okruh ľudí, potom skladanie napríklad symetrických figúrok z detailov vyrezaného štvorca, hľadanie číselných zaujímavostí atď. akékoľvek matematické školenie, môže priniesť potešenie amatérom aj nemilovníkom matematiky. To isté možno povedať o zábave, ktorá si vyžaduje prípravu v 9. – 11. ročníku strednej školy.
Mnohé zábavy a dokonca aj jednotlivé problémy môžu pre milovníkov matematiky navrhnúť témy na nezávislý výskum.
Vo všeobecnosti je kniha určená čitateľom s matematickým vzdelaním v 10. – 11. ročníku, hoci väčšina materiálu je prístupná aj žiakom deviateho ročníka a niektoré otázky sú prístupné aj žiakom 5. – 8. ročníka.
Mnohé odseky môžu učitelia matematiky využiť na organizáciu mimoškolských aktivít.
Rôzne kategórie čitateľov môžu túto knihu používať rôznymi spôsobmi: ľudia, ktorí nie sú zapálení pre matematiku, sa môžu zoznámiť so zvláštnymi vlastnosťami čísel, číslic atď. bez toho, aby sa ponorili do zdôvodnenia hier a zábavy, pričom jednotlivé výroky preberajú na vieru; Milovníkom matematiky odporúčame študovať jednotlivé časti knihy ceruzkou a papierom, riešiť navrhnuté problémy a odpovedať na jednotlivé otázky navrhnuté na zamyslenie.
Určenie zamýšľaného počtu pomocou troch tabuliek
Umiestnením čísel od 1 do 60 do radu v každej z troch tabuliek tak, aby v prvej tabuľke boli v troch stĺpcoch po dvadsiatich číslach, v druhom - v štyroch stĺpcoch po 15 čísel a v treťom - piatich stĺpcoch z 12 čísel v každom (pozri obr. 1), je ľahké rýchlo určiť niekým vymyslené číslo N (N≤60), ak čísla α, β, γ v stĺpcoch obsahujúcich vymyslené číslo v 1., 2. a 3. sú uvedené tabuľky: N bude presne zvyšok delenia čísla 40α+45β+36γ číslom 60 alebo, inými slovami, N bude presne menšie kladné číslo porovnateľné so súčtom (40α+45β+36γ) modulo 60. Napríklad s α=3, β=2, γ=1:40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60), t.j. N=6.
| ja | II | III | IV | V |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . |
| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 |
| 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| ja | II | III |
|||
| 1 | 2 | 3 |
|||
| 4 | 5 | 6 |
|||
| 7 | 8 | 9 |
|||
| . | . | . |
|||
| . | . | . |
|||
| . | . | . |
|||
| 55 | 56 | 57 |
|||
| 58 | 59 | 60 |
|||
| ja | II | III | IV |
||
| 1 | 2 | 3 | 4 |
||
| 5 | 6 | 7 | 8 |
||
| . | . | . | . |
||
| . | . | . | . |
||
| . | . | . | . |
||
| 53 | 54 | 55 | 56 |
||
| 57 | 58 | 59 | 60 |
||
Podobnú otázku možno vyriešiť pre čísla do 420, umiestnené v štyroch tabuľkách s tromi, štyrmi, piatimi a siedmimi stĺpcami: ak - čísla stĺpcov, v ktorých je zamýšľané číslo, potom sa rovná zvyšku po vydelení číslo 280α+105β+336γ+120δ pri 420.
pásomnica
| 737773 | 747774 | 757775 | ||||
| 636663 | 642264 | 656665 | ||||
| 515551 | 555252 | 535553 | 544554 | 554455 | 555556 | 555557 |
| 414441 | 424442 | 434443 | 444444 | 454445 | 464446 | 474447 |
| 313331 | 323332 | 333333 | 343334 | 353335 | 363336 | 373337 |
| 232223 | 242224 | 252225 | ||||
| 131113 | 141114 | 111115 |
Hra tzv pásomnica sa hrá na doske s tridsiatimi tromi políčkami. Táto doska sa dá ľahko získať tak, že šachovnicu prekryjete hárkom kartónu s výrezom v tvare kríža.
Užitočná a vzrušujúca zábava zahŕňa skladanie figúrok zo siedmich dielikov štvorca, vystrihnutých podľa obr. 3, (a), pričom pri skladaní daných figúrok treba použiť všetkých sedem dielikov, ktoré sa musia s každým, aj čiastočne, prekrývať. iné.
Na obr. Obrázok 4 zobrazuje symetrické obrázky 1. Skúste poskladať tieto figúrky z častí štvorca znázorneného na obr. 3, (a).
(a) (b)
Obr.3
Ryža. 4
Z rovnakých výkresov môžete vytvoriť mnoho ďalších postáv (napríklad obrázky rôznych predmetov, zvierat atď.).
Menej bežnou verziou hry je skladanie figúrok z dielikov štvorca znázorneného na obr. 3, (b).
Magické štvorce
Magický štvorec"n 2 -námestie" nazvime štvorec delený o n 2 bunky sa vyplnia ako prvé n 2 prirodzené čísla tak, že súčty čísel v ľubovoľnom vodorovnom alebo zvislom riadku, ako aj na ktorejkoľvek z uhlopriečok štvorca, sa rovnajú rovnakému čísluAk sú rovnaké iba súčty čísel v ľubovoľnom vodorovnom a zvislom riadku, potom sa volá štvorec polomagický.
Funkcia [ X] sa rovná najväčšiemu celému číslu väčšiemu ako X (X– akékoľvek reálne číslo). Napríklad:
Funkcia [ X] má „body zlomu“: pre celočíselné hodnoty X sa „náhle zmení“.
Obrázok 2 zobrazuje graf tejto funkcie a ľavý koniec každého z horizontálnych segmentov patrí do grafu (tučné bodky) a pravý koniec nie.
Pokúste sa dokázať, že ak je kanonický rozklad čísla n! tam je potom 
Podobné vzorce platia aj pre
Keď to viete, je ľahké určiť, napríklad koľkými nulami číslo 100 končí! Naozaj, nechajme to tak. Potom
A 
.
Preto 100! Delené podľa, t.j. končí dvadsiatimi štyrmi nulami.
Figúrky zo štvorcových kusov
Užitočná a vzrušujúca zábava zahŕňa skladanie figúrok zo siedmich dielikov štvorca, vystrihnutých podľa obr. 3, (a), pričom pri skladaní daných figúrok treba použiť všetkých sedem dielikov, ktoré sa musia s každým, aj čiastočne, prekrývať. iné.
Na obr. Obrázok 4 zobrazuje symetrické obrázky 1. Skúste poskladať tieto figúrky z častí štvorca znázorneného na obr. 3, (a).
Z rovnakých výkresov môžete vytvoriť mnoho ďalších postáv (napríklad obrázky rôznych predmetov, zvierat atď.).
Menej bežnou verziou hry je skladanie figúrok z dielikov štvorca znázorneného na obr. 3, (b).
Magické štvorce
Magický štvorec"n 2 -námestie" nazvime štvorec delený o n 2 bunky sa vyplnia ako prvé n 2 prirodzené čísla tak, že súčty čísel v ľubovoľnom vodorovnom alebo zvislom riadku, ako aj na ktorejkoľvek z uhlopriečok štvorca, sa rovnajú rovnakému číslu
Ak sú rovnaké iba súčty čísel v ľubovoľnom vodorovnom a zvislom riadku, potom sa volá štvorec polomagický.
Magické námestie 4 2 je pomenované po Dürerovi, matematikovi a umelcovi zo 16. storočia, ktorý zobrazil štvorec na slávnom obraze „Melanchólia“.
Mimochodom, dve nižšie stredné čísla tohto štvorca tvoria číslo 1514, dátum vzniku obrazu.
Existuje iba osem deväťbunkových magických štvorcov. Dva z nich, ktoré sú navzájom zrkadlovými obrazmi, sú znázornené na obrázku; zvyšných šesť je možné získať z týchto štvorcov ich otočením okolo stredu o 90°, 180°, 270°
2. Nie je ťažké úplne preskúmať otázku magických štvorcov pre n=3
Skutočne, S3 = 15 a existuje iba osem spôsobov, ako reprezentovať číslo 15 ako súčet rôznych čísel (od jednej do deviatich):
15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6
Všimnite si, že každé z čísel 1, 3, 7, 9 je zahrnuté v dvoch a každé z čísel 2, 4, 6, 8 je zahrnuté v troch špecifikovaných súčtoch a iba číslo 5 je zahrnuté v štyroch súčtoch. Na druhej strane z ôsmich trojbunkových riadkov: tri horizontálne, tri vertikálne a dva diagonálne, tri riadky prechádzajú každou z rohových buniek štvorca, štyri cez strednú bunku a dva riadky cez každú zo zostávajúcich buniek. . Preto musí byť číslo 5 nevyhnutne v centrálnej bunke, čísla 2, 4, 6, 8 - v rohových bunkách a čísla 1, 3, 7, 9 - v zostávajúcich bunkách štvorca.
Podobné články
