O ktorom mnohostene sa hovorí, že je vpísaný do gule. Mnohosten vpísaný do gule

Popis prezentácie po jednotlivých snímkach:

1 snímka

Popis snímky:

mestská autonómna vzdelávacia inštitúcia stredná škola č. 45 Metodická príručka pre žiakov 11. ročníka Zostavila učiteľka matematiky najvyššej kategórie Elena Vjačeslavovna Gavinskaja. Kaliningrad akademický rok 2016-2017

2 snímka

Popis snímky:

Mnohosten vpísaný do gule. Téma je podobná ako v kurze planimetrie, kde bolo povedané, že kruhy možno opísať okolo trojuholníkov a pravidelných n-uholníkov. Analógom kruhu v priestore je guľa a mnohouholník je mnohosten. V tomto prípade je analógom trojuholníka trojuholníkový hranol a analógom pravidelných mnohouholníkov je pravidelný mnohosten. Definícia. Hovorí sa, že mnohosten je vpísaný do gule, ak všetky jeho vrcholy patria do tejto gule. Samotná guľa je údajne ohraničená okolo mnohostenu.

3 snímka

Popis snímky:

"Guľu možno opísať okolo priameho hranola vtedy a len vtedy, ak je možné opísať kruh okolo základne tohto hranola." Dôkaz: Ak je guľa opísaná okolo priameho hranola, potom všetky vrcholy podstavy hranola patria gule a teda kružnici, ktorá je priesečníkom gule a roviny podstavy. Naopak, nech je kružnica so stredom v bode O1 a polomerom r opísaná v blízkosti podstavy priameho hranola. Potom okolo druhej základne hranola možno opísať kružnicu so stredom v bode O2 a rovnakým polomerom. Nech O1O2=d, O – stred O1O2. Potom guľa so stredom O a polomerom R= bude želanou opísanou guľou. Veta 1.

4 snímka

Popis snímky:

"Guľu možno opísať okolo akejkoľvek trojuholníkovej pyramídy a iba jednej." Dôkaz. Prejdime k dôkazu podobnému tomu z kurzu planimetrie. Najprv musíme nájsť lokus bodov rovnako vzdialených od dvoch vrcholov trojuholníka. Napríklad A a B. Takýmto geometrickým umiestnením je kolmica na úsečku AB. Potom nájdeme lokus bodov rovnako vzdialených od A a C. Toto je kolmica na úsečku AC. Priesečník týchto odvesničiek bude požadovaný stred O kružnice opísanej trojuholníku ABC. Veta 2.

5 snímka

Popis snímky:

Teraz zvážme priestorovú situáciu a urobme podobné konštrukcie. Nech je daný trojuholníkový ihlan DABC a body A, B a C definujú rovinu α. Geometrickým centrom bodov rovnako vzdialených od bodov A, B a C je priamka a, kolmá na rovinu α a prechádzajúca stredom O1 kružnice opísanej trojuholníku ABC. Geometrickým miestom bodov rovnako vzdialených od bodov A a D je rovina β, kolmá na úsečku AD a prechádzajúca jej vrcholom - bod E. Rovina β a priamka a sa pretínajú v bode O, ktorý bude požadovaným stredom úsečky. guľa opísaná okolo trojuholníkovej pyramídy DABC. Na základe konštrukcie je bod O rovnako vzdialený od všetkých vrcholov pyramídy DABC. Okrem toho bude takýto bod jedinečný, pretože pretínajúca sa priamka a rovina majú jeden spoločný bod.

6 snímka

Popis snímky:

Guľa opísaná okolo pravidelnej pyramídy. Lopta môže byť opísaná okolo akejkoľvek pravidelnej pyramídy. Stred gule leží na priamke prechádzajúcej výškou pyramídy a zhoduje sa so stredom kružnice opísanej okolo rovnoramenného trojuholníka, ktorého strana je bočným okrajom pyramídy a výška je výška pyramídy. pyramída. Polomer lopty sa rovná polomeru tohto kruhu. Polomer gule R, výška ihlana H a polomer kružnice r opísanej v blízkosti podstavy ihlana súvisia vzťahom: R2=(H-R)2+r2 Tento vzťah platí aj v prípade, keď H< R.

7 snímka

Popis snímky:

Problém sa týka gule opísanej okolo pravidelnej pyramídy. „Gule so stredom v bode O a polomerom 9√3 m je opísaná v blízkosti pravidelnej pyramídy PABC. Priamka PO, obsahujúca výšku pyramídy, pretína základňu pyramídy v bode H tak, že PH:OH = 2:1. Nájdite objem pyramídy, ak každá z jej bočných hrán zviera s rovinou základne uhol 45 stupňov.

8 snímka

Popis snímky:

Dané: PABC – pravidelná pyramída; guľa (O;R=9√3 m) je opísaná v blízkosti pyramídy; RO°(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Nájsť: Vpir. Riešenie: Keďže RN:OH=2:1 (podľa podmienok), potom RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (ako výška pyramídy) => => RN _ AN (podľa definície) => RAS - pravouhlý. 3. AT RAS:

Snímka 9

Popis snímky:

4. Keďže podľa podmienky je RABC pravidelná pyramída a PH je jej výška, potom je ABC podľa definície správne; H je stred kružnice opísanej okolo ABC, čo znamená 5. Odpoveď: 486 m3.

10 snímka

Popis snímky:

Guľa opísaná okolo hranola. Guľu možno opísať okolo hranola, ak je rovný a jeho základňami sú mnohouholníky vpísané do kruhu. Stred gule leží v strede výšky hranola spájajúceho stredy kružníc opísaných okolo základov hranola. Polomer gule R, výška hranola H a polomer kružnice r opísanej okolo podstavy hranola súvisia vzťahom:

11 snímka

Popis snímky:

Problém sa týka gule opísanej okolo hranola. „Pravidelný hranol ABCDA1B1C1D1 s výškou 6 cm je vpísaný do gule (teda; R = 5 cm). Nájdite plochu prierezu hranola rovinou rovnobežnou s rovinami základne a prechádzajúcou bodom O - stredom gule."

12 snímka

Popis snímky:

Dané: ABCDA1B1C1D1 – pravidelný hranol; guľa (O;R=5 cm) je opísaná okolo hranola; výška hranola h je 6 cm; α║(ABC); O s α. Nájdite: Ssec α, Riešenie: Keďže podľa podmienky je hranol vpísaný do gule, potom (r je polomer kružnice opísanej okolo podstavy hranola) Ale podmienkou je daný pravidelný hranol, čo znamená

Snímka 13

Popis snímky:

a) (АВВ1) ║(СС1D1) (vlastnosťou priameho hranola) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (vlastnosťou rovnobežných rovín) ║BCC1 (ADD1) (vlastnosťou priameho hranola) => KM=NR (vlastnosťou rovnobežných rovín). To znamená, že KMNR je rovnobežník (podľa atribútu) => MN=KR a MN ║ KR b) α ║ (ABC) (podľa konštrukcie) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (podľa vlastnosti rovnobežných rovín) 2. 3. Keďže podľa podmienky ABCDA1B1C1D1 je pravidelný hranol a rez rovinou α je rovnobežný so základňami, potom obrazec tvorený rezom je štvorec. Dokážme to: => => =>

Snímka 14

Popis snímky:

KMH= ABC=90o (ako uhly so zodpovedajúcimi zarovnanými stranami) To znamená, že kosoštvorec KMNR je štvorec (podľa definície), čo je potrebné dokázať. Okrem toho sú štvorce KMNR a ABCD rovnaké. Preto podľa vlastnosti sú ich plochy rovnaké, a preto je prierez α.=SABCD=32 (cm2) Odpoveď: 32 cm2. c) KM ║ AB (dokázané) (BCC1) ║(ADD1) (vlastnosťou priameho hranola) => KM=AB=4√2 cm (vlastnosťou rovnobežných rovín). d) Podobne je dokázané, že MN ║ BC a MN = BC = 4√2 cm To znamená, že MN = KM => rovnobežník MNRK je kosoštvorec (podľa definície). e) MN ║ BC (dokázané) KM ║ AB (dokázané) => =>

15 snímka

Popis snímky:

Valec opísaný okolo hranola. Valec možno opísať okolo priameho hranolu, ak jeho základňou je mnohouholník vpísaný do kruhu. Polomer valca R sa rovná polomeru tejto kružnice. Os valca leží na rovnakej priamke s výškou H hranola a spája stredy kružníc opísaných v blízkosti základov hranola. Pri štvorhrannom hranole (ak je podstavou obdĺžnik) os valca prechádza priesečníkom uhlopriečok podstav hranola.

16 snímka

Popis snímky:

Problém je s valcom opísaným okolo hranola. Priamy hranol ABCDA1B1C1D1, ktorého základňou je obdĺžnik, je vpísaný do valca, ktorého tvoriaca čiara je 7 cm a polomer je 3 cm. Nájdite plochu bočnej plochy hranola, ak je uhol medzi uhlopriečkami ABCD je 60 stupňov. ОО1 – os valca.

Snímka 17

Popis snímky:

Dané: ABCDA1B1C1D1 – rovný hranol; valec je opísaný v blízkosti hranola; tvoriaca čiara valca AA1=7 cm; polomer základne valca je 3 cm; uhol medzi uhlopriečkami ABCD je 60°; ОО1 – os valca. Nájdi: Sside hranol. Riešenie: Keďže podľa podmienky je do gule vpísaný štvorhranný hranol, na ktorého podstave je obdĺžnik, tak podľa vlastnosti AC∩ВD=O. To znamená AOB=60o a AO=OB=3cm. 2. V AOB pomocou kosínusovej vety.

Definícia. Guľa je tzv vpísaný do mnohostenu, ak sa roviny všetkých plôch mnohostenu dotýkajú gule v kolieskach umiestnených vo vnútri týchto plôch. V tomto prípade sa hovorí, že mnohosten je ohraničený okolo gule.

Veta 1.Guľu (guľu) možno vpísať do ľubovoľného štvorstenu.

Množina bodov rovnako vzdialených od bočných plôch štvorstenu je priamka priesečníka dvoch rovín osí uhlov dvojstena na dvoch bočných hranách. Táto čiara bude pretínaná rovinou osy dihedrálneho uhla v základni. Výsledný bod je rovnako vzdialený od všetkých plôch štvorstenu.

V štvorstene ABCD sú roviny CDN a ADM osové roviny dihedrálnych uhlov na bočných okrajoch CD a AD. Pretínajú sa pozdĺž priamky OD. Rovina AKC je osová rovina dihedrálneho uhla na základni (hrana AC). Táto rovina bude pretínať priamku OD v bode S (P je priesečník priamok DM a KC, patriacich súčasne rovinám AKC a ADM, preto bod S je priesečníkom AP a OD), ktoré bude bodom rovnako vzdialeným od všetkých stien štvorstenu, a preto bude stredom gule vpísanej do štvorstenu ABCD.

Príklad 1. Nájdite polomer gule vpísanej do pravidelného štvorstenu.

Uvažujme podobné trojuholníky DPS a DOK (podľa dvoch uhlov: uhol D je spoločný, uhly DPS a DOK sú pravé uhly).

Potom PS:KO=DS:DK,

berúc do úvahy, že PS=r=SO a DS=DO-SO=DO-r,

, , To .

Odpoveď: polomer gule vpísanej do pravidelného štvorstenu sa rovná

Veta 2. Do pravidelnej pyramídy môžete vložiť guľu.

Veta 3. Guľu možno vpísať do pravidelnej zrezanej pyramídy vtedy a len vtedy, ak sa jej apotém rovná súčtu polomerov kružníc vpísaných do jej základov.

Veta 4. Guľu možno vpísať do akéhokoľvek hranola, ak sa dá do jeho kolmého rezu vpísať kružnica, ktorej polomer sa rovná polovici výšky hranola.

Veta 5. Guľu je možné vpísať do pravidelného hranola vtedy a len vtedy, ak sa výška hranola rovná priemeru kružnice vpísanej pri jeho základni.

Gule popísané okolo valca, kužeľa a

Zrezaný kužeľ.

Definícia. Guľa je tzv popísané o valci alebo zrezaný kužeľ, ak všetky body základných kružníc patria do gule; Guľa je tzv popísané okolo kužeľa, ak všetky body základnej kružnice, ako aj vrchol kužeľa patria do gule.

V týchto prípadoch sa hovorí, že valec, zrezaný kužeľ alebo kužeľ je vpísaný do gule.

Veta 1.Guľa môže byť opísaná okolo ľubovoľného valca.

01 a 02 sú stredy spodnej a hornej bázy. Priamka O 1 O 2 je kolmá na roviny podstavy. Nakreslíme rovinu prechádzajúcu stredom tvoriacej priamky valca kolmo na túto tvoriacu čiaru. Táto rovina bude rovnobežná s rovinami podstavy a pretína priamku O 1 O 2 v bode O, ktorý bude stredom gule opísanej okolo valca. Vzdialenosť od bodu O k všetkým bodom základne bude rovnaká, pretože O 1 O 2 je GMT, rovnako vzdialený od kruhu (priamka prechádzajúca stredom kruhu a kolmá na rovinu kruhu). To znamená, že bod O je stredom gule s polomerom OA, opísanej okolo valca.

Veta 2. Okolo zrezaného kužeľa možno opísať guľu.

01 a 02 sú stredy spodnej a hornej bázy. Priamka O 1 O 2 je kolmá na roviny podstavy. Uvažujme tvoriacu čiaru zrezaného kužeľa AB. Nájdite GMT v rovnakej vzdialenosti od fúrok A a B. Bude to rovina prechádzajúca bodom P - stredom AB a kolmá na túto priamku. Táto rovina bude pretínať O 1 O 2 v bode O, ktorý bude rovnako vzdialený od bodov A a B. Je tiež zrejmé, že bod O bude rovnako vzdialený od všetkých bodov podstav zrezaného kužeľa. V dôsledku toho bude tento bod O stredom gule s polomerom OA, opísanej okolo zrezaného kužeľa.

Veta 3. Okolo kužeľa možno opísať guľu.

Podobne ako v predchádzajúcej vete, OA je výška kužeľa, čo je HMT, rovnako vzdialená od kruhu. Uvažujme tvoriacu čiaru AB a nájdime GMT rovnako vzdialené od A a B. Výsledná rovina (podľa predchádzajúcej úlohy) bude pretínať OA v bode O 1, ktorý bude rovnako vzdialený od bodov A a B, ako aj od ľubovoľných bodov základňa kužeľa. Takto sme získali, že bod O 1 je stredom gule s polomerom O 1 A, opísanej okolo kužeľa.

Cieľom práce je naučiť sa všetok teoretický materiál na tému „Vpísané a ohraničené mnohosteny“ a naučiť sa ho aplikovať v praxi.

Mnohosten vpísaný do gule Konvexný mnohosten sa nazýva vpísaný, ak všetky jeho vrcholy ležia na nejakej gule. Táto guľa sa nazýva popísaná pre daný mnohosten. Stred tejto gule je bod rovnako vzdialený od vrcholov mnohostenu. Je to priesečník rovín, z ktorých každá prechádza stredom hrany mnohostenu kolmo na ňu.

Pyramída vpísaná do gule Veta: Guľa môže byť opísaná okolo pyramídy práve vtedy, ak je možné opísať kruh okolo základne pyramídy.

Vzorec na nájdenie polomeru opísanej gule Nech SABC je ihlan s rovnakými bočnými hranami, h je jeho výška, R je polomer opísanej kružnice okolo podstavy. Nájdite polomer opísanej gule. Všimnite si podobnosť pravouhlých trojuholníkov SKO 1 a SAO. Potom SO 1/SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Ale KS = SA/2. Potom R1 = SA2/(2SO); R1 = (h2 + R2)/(2 h); R 1 = b 2/(2 h), kde b je bočná hrana.

Hranol vpísaný do gule Veta: Guľu možno opísať okolo hranola iba vtedy, ak je hranol rovný a okolo jeho podstavy možno opísať kruh.

Rovnobežník vpísaný do gule Veta: Guľu možno opísať okolo kvádra práve vtedy, ak je kváder pravouhlý, pretože v tomto prípade je rovný a okolo jeho základne možno opísať kruh - rovnobežník (keďže základňa je obdĺžnik).

Kužeľ a valec vpísaný do gule Veta: Guľu možno opísať okolo akéhokoľvek kužeľa. Veta: Guľu možno opísať okolo akéhokoľvek valca.

Úloha 1 Nájdite polomer gule opísanej pravidelnému štvorstenu s hranou a. o Riešenie: Najprv zostrojme obraz stredu opísanej gule na obraze pravidelného štvorstenu SABC. Nakreslíme apotémy SD a AD (SD = AD). V rovnoramennom trojuholníku ASD je každý bod strednej DN rovnako vzdialený od koncov úsečky AS. Preto je bod O 1 priesečníkom výšky SO a úsečky DN. Použitím vzorca z R1 = b2/(2 h) získame: S01 = SA2/(2 SO); SO = S01 = a2/(2a=a=)=a/4. Odpoveď: SO 1 = a /4.

Úloha 2 V pravidelnom štvorhrannom ihlane je strana základne rovná a a rovinný uhol na vrchole je α. Nájdite polomer opísanej gule. Riešenie: Pomocou vzorca R 1=b 2/(2 h) nájdeme polomer opísanej gule, nájdeme SC a SO. SC = a/(2 sin(a/2)); SO 2). (a/(2 sin(α/2))2 – (a /2)2 = =). = a 2/(4 sin 2(α/2)) – 2 a 2/4 = = a 2/(4 sin 2(α/2)) (1 – 2 sin 2(α/2)) = = a 2/(4 sin 2(α/2)) · cosα R 1 = a 2/(4 sin 2(α/2)) · 1/(2 a Odpoveď: R 1 = a/(4 sin(α/ 2) ) /(2 sin(α/2))) = a/(4 sin(α/2)

Mnohosten opísaný okolo gule Konvexný mnohosten sa nazýva ohraničený, ak sa všetky jeho strany dotýkajú nejakej gule. Táto guľa sa nazýva vpísaná pre daný mnohosten. Stred vpísanej gule je bod rovnako vzdialený od všetkých plôch mnohostenu.

Poloha stredu vpísanej gule Koncepcia osovej roviny dihedrálneho uhla. Stredová rovina je rovina, ktorá rozdeľuje uhol klinu na dva rovnaké uhly klinu. Každý bod tejto roviny je rovnako vzdialený od plôch dihedrálneho uhla. Vo všeobecnom prípade je stred gule vpísanej do mnohostenu priesečníkom rovín osí všetkých uhlov mnohostenu. Vždy leží vo vnútri mnohostenu.

Pyramída opísaná okolo gule Guľa je vpísaná do (ľubovoľnej) pyramídy, ak sa dotýka všetkých strán pyramídy (bočnej aj základnej). Veta: Ak sú bočné steny rovnako naklonené k základni, potom je možné do takejto pyramídy vpísať guľu. Pretože sú uhly v základni rovnaké, ich polovice sú tiež rovnaké a priesečníky sa pretínajú v jednom bode vo výške pyramídy. Tento bod patrí všetkým rovinám osi na základni pyramídy a je rovnako vzdialený od všetkých strán pyramídy - stredu vpísanej gule.

Vzorec na nájdenie polomeru vpísanej gule Nech SABC je pyramída s rovnakými bočnými hranami, h je jej výška, r je polomer vpísanej kružnice. Nájdite polomer opísanej gule. Nech SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Potom pomocou vlastnosti osi vnútorného uhla trojuholníka O 1 O/OH = O 1 S/SH; r1/r = (h – r1)/; r 1 = rh – rr 1; r1 · (+ r) = rh; r1 = rh/(+ r). Odpoveď: r 1 = rh/(+ r).

Hranol opísaný okolo gule Veta: Guľu možno vpísať do hranola vtedy a len vtedy, ak je hranol rovný a do podstavy možno vpísať kružnicu, ktorej priemer sa rovná výške hranola.

Rovnobežník a kocka opísaná okolo gule Veta: Guľu možno vpísať do rovnobežnostena vtedy a len vtedy, ak je rovnobežnosten priamka a jeho základňa je kosoštvorec a výška tohto kosoštvorca je priemerom vpísanej gule, ktorá sa zase rovná výške rovnobežnostena. (Zo všetkých rovnobežníkov možno do kosoštvorca vpísať iba kružnicu) Veta: Guľu možno vždy vpísať do kocky. Stred tejto gule je priesečníkom uhlopriečok kocky a polomer sa rovná polovici dĺžky hrany kocky.

Valec a kužeľ popísané okolo gule Veta: Guľu možno vpísať len do valca, ktorého výška sa rovná priemeru podstavy. Veta: Guľu možno vpísať do akéhokoľvek kužeľa.

Kombinácie obrázkov Vpísané a opísané hranoly Hranol vpísaný do valca je hranol, v ktorom roviny podstav sú rovinami podstav valca a bočné hrany sú generátory valca. Dotyková rovina k valcu je rovina prechádzajúca cez tvoriacu čiaru valca a kolmá na rovinu osového rezu obsahujúceho túto tvoriacu čiaru. Hranol opísaný okolo valca je hranol, ktorého základné roviny sú rovinami podstav valca a jeho bočné strany sa dotýkajú valca.

Vpísané a opísané pyramídy Ihlana vpísaná do kužeľa je pyramída, ktorej základňou je mnohouholník vpísaný do kruhu základne kužeľa a vrchol je vrcholom kužeľa. Bočné okraje pyramídy vpísané do kužeľa tvoria kužeľ. Dotyková rovina kužeľa je rovina prechádzajúca cez tvoriacu čiaru a kolmá na rovinu osového rezu obsahujúceho túto tvoriacu čiaru. Pyramída opísaná okolo kužeľa je pyramída, ktorej základňou je mnohouholník opísaný okolo základne kužeľa a vrchol sa zhoduje s vrcholom kužeľa. Roviny bočných plôch opísanej pyramídy sa dotýkajú roviny kužeľa.

Iné typy konfigurácií Valec je vpísaný do pyramídy, ak sa kružnica jednej z jeho základov dotýka všetkých bočných stien pyramídy a jeho druhá základňa leží na základni pyramídy. Kužeľ je vpísaný do hranola, ak jeho vrchol leží na hornej podstave hranola a jeho podstavou je kružnica vpísaná do mnohouholníka - spodnej podstavy hranola. Hranol je vpísaný do kužeľa, ak všetky vrcholy hornej podstavy hranola ležia na bočnej ploche kužeľa a spodná podstava hranola leží na podstave kužeľa.

Úloha 1 V pravidelnom štvorhrannom ihlane je strana základne rovná a a rovinný uhol na vrchole je α. Nájdite polomer gule vpísanej do pyramídy. Riešenie: Vyjadrime strany ∆SOK pomocou a a α. OK = a/2. SK = KC postieľka(α/2); SK = (postieľka(α/2))/2. SO = = (a/2) Pomocou vzorca r 1 = rh/(+ r) zistíme polomer vpísanej gule: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α/2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α/2) + 1) = (a/2) Odpoveď: r 1 = (a/2) =

Záver Tému „Mnohosten“ študujú žiaci 10. a 11. ročníka, ale v učebných osnovách je veľmi málo materiálu na tému „Vpísané a ohraničené mnohosteny“, hoci vzbudzuje u študentov veľký záujem, keďže štúdium vlastností mnohosten prispieva k rozvoju abstraktného a logického myslenia, ktoré sa nám neskôr bude hodiť pri štúdiu, práci, živote. Pri práci na tejto eseji sme študovali všetok teoretický materiál na tému „Vpísané a ohraničené mnohosteny“, skúmali možné kombinácie obrázkov a naučili sme sa aplikovať všetok študovaný materiál v praxi. Problémy spojené s kombináciou tiel sú najťažšou otázkou v kurze stereometrie v 11. ročníku. Teraz však môžeme s istotou povedať, že s riešením takýchto problémov nebudeme mať problémy, pretože v priebehu našej výskumnej práce sme zistili a dokázali vlastnosti vpísaných a ohraničených mnohostenov. Študenti majú veľmi často problém zostaviť kresbu k problému na túto tému. Ale keď sme sa naučili, že na riešenie problémov spojených s kombináciou lopty a mnohostenu je obraz lopty niekedy zbytočný a stačí uviesť jej stred a polomer, môžeme si byť istí, že tieto ťažkosti nebudeme mať. Vďaka tejto eseji sme dokázali pochopiť túto ťažkú, ale veľmi fascinujúcu tému. Dúfame, že teraz už nebudeme mať problémy s aplikáciou naštudovaného materiálu v praxi.

Mnohosten vpísaný do gule. Základné definície a vety. Definícia. O guli sa hovorí, že je ohraničená okolo mnohostenu (alebo mnohostenu vpísaného do gule), ak všetky vrcholy mnohostenu ležia na tejto gule.

Snímka 8 z prezentácie "Úlohy s geometriou" 11. ročník. Veľkosť archívu s prezentáciou je 1032 KB.

Geometria 11. ročník

súhrn ďalších prezentácií

„Objemy geometrických telies“ - Objemy mnohostenov. Pojem objemu. Objem pyramídy. Vyberací kužeľ. Objem priameho hranolu. Odpoveď. Vedy sa snažia o matematiku. Veľa šťastia pri učení látky. Objem pravouhlého rovnobežnostena. Kresby a kresby. Objem pravidelného štvorbokého ihlana. Vlastnosti oblastí. Námestie. Hrana kocky. Pojem objemu telies. Námestie. Objem valca. Kužeľ. Polygón. Geometrické postavy. Tri mosadzné kocky.

„Vektory vo vesmíre“ – vektorové súradnice. Rozdiely. Vektory vo vesmíre. Rozdiel dvoch vektorov. Násobenie dvoch vektorov. Akcie s vektormi. Jediný vektor. Schopnosť vykonávať akcie. Pravidlo mnohouholníka. Sonorektované vektory. Definícia vektora. Akcia s vektormi. Vektory sú nekoplanárne. Riešenie.

„Geometrické problémy v jednotnej štátnej skúške“ - povrchová plocha mnohostenu. Nájdite tangens vonkajšieho uhla. Podieľal sa na tvorbe prezentácie. Možnosti úloh. Oblasť trojuholníka. Oblasť lichobežníka. Nájdite oblasť trojuholníka. Oblasť časti kruhu. Základný referenčný materiál. Planimetrie. Typické chyby. Základy geometrie. Ústne cvičenia. Možné úlohy. Byť schopný vykonávať akcie s geometrickými tvarmi. Nájdite objem mnohostenu.

„Vypočítajte objem rotačného telesa“ - Kužeľ. Nájdite hlasitosť. Lopta. Valec a kužeľ. Valec. Objem kužeľa. Sphere. Druhy rotačných telies. Obrázok. Objem V kužeľa. Definícia kužeľa. Valcová nádoba. Definícia valca. Valce sú všade okolo nás. Objemy telies revolúcie. Kocka Polomery.

„Vektorové súradnice v priestore“ - učebnica. Riešenie. Absolútna hodnota. Súčet vektorov. Vektorový rozdiel. Všeobecný začiatok. Koordinovať. Kreslenie. Veľkosť a smer vektora. Produkt vektora. Dĺžka segmentu. Akcie na vektoroch v priestore. Lietadlá. Dôkaz. Bodový súčin vektorov. Vektory vo vesmíre.

„Pohyb“ 11. ročník – Symetria v architektúre. Osová súmernosť. Paralelný prenos. Pohyb. Symetria v rastlinách. Posuvná symetria. Symetria vo svete zvierat. Úvod. Otočte sa. Stredová symetria. Pohyb. Zrkadlová symetria.

Vzorec na nájdenie polomeru opísanej gule Nech SABC je ihlan s rovnakými bočnými hranami, h je jeho výška, R je polomer kružnice opísanej základni. Nájdite polomer opísanej gule. Všimnite si podobnosť pravouhlých trojuholníkov SKO1 a SAO. Potom S01/SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Ale KS = SA/2. Potom R1 = SA2/(2SO); R1 = (h2 + R2)/(2h); R1 = b2 /(2h), kde b je bočná hrana.

Úloha 1 Nájdite polomer gule opísanej okolo pravidelného štvorstenu s hranou a. Roztok: S01 = SA2/(2SO); SO = = = a S01 = a2/(2a) = a/4. Odpoveď: SO 1 = a /4. Zostrojme najprv obraz stredu opísanej gule pomocou obrazu pravidelného štvorstenu SABC. Nakreslíme apotémy SD a AD (SD = AD). V rovnoramennom trojuholníku ASD je každý bod strednej DN rovnako vzdialený od koncov úsečky AS. Preto je bod O 1 priesečníkom výšky SO a úsečky DN. Pomocou vzorca z R 1 = b 2 /(2h) dostaneme:

Úloha 2 Riešenie: Pomocou vzorca R 1 =b 2 /(2h) nájdeme polomer opísanej gule, nájdeme SC a SO. SC = a/(2sin(a/2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α V pravidelnej štvorhrannej pyramíde sa strana podstavy rovná a, a rovinný uhol na vrchole je rovný α. Nájdite polomer opísanej gule. R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · 1/(2a/(2sin(α /2)))) =a/(4sin(α /2) ·).Odpoveď: R 1 = a/(4sin(α /2) ·).

Vzorec na nájdenie polomeru vpísanej gule Nech SABC je pyramída s rovnakými bočnými hranami, h je jej výška, r je polomer vpísanej kružnice. Nájdite polomer opísanej gule. Nech SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Potom pomocou vlastnosti osi vnútorného uhla trojuholníka O 1 O/OH = O 1 S/SH; r1 /r = (h – r1)/; r 1 · = rh – rr 1 ; r1 · (+ r) = rh; r1 = rh/(+ r). Odpoveď: r 1 = rh/(+ r).

Rovnobežník a kocka opísaná okolo gule Veta: Guľu možno vpísať do rovnobežnostena vtedy a len vtedy, ak je rovnobežnosten rovný a jeho základňou je kosoštvorec a výška tohto kosoštvorca je priemerom vpísanej gule, ktorá sa zasa rovná výške rovnobežnostena. (Zo všetkých rovnobežníkov možno do kosoštvorca vpísať iba kružnicu) Veta: Guľu možno vždy vpísať do kocky. Stred tejto gule je priesečníkom uhlopriečok kocky a polomer sa rovná polovici dĺžky hrany kocky.

Kombinácie obrázkov Vpísané a opísané hranoly Hranol opísaný okolo valca je hranol, ktorého základné roviny sú rovinami podstav valca a jeho bočné strany sa dotýkajú valca. Hranol vpísaný do valca je hranol, ktorého základné roviny sú roviny podstav valca a bočné hrany sú generátory valca. Dotyková rovina k valcu je rovina prechádzajúca cez tvoriacu čiaru valca a kolmá na rovinu osového rezu obsahujúceho túto tvoriacu čiaru.

Vpísané a opísané pyramídy Ihlana vpísaná do kužeľa je pyramída, ktorej základňou je mnohouholník vpísaný do kruhu základne kužeľa a vrchol je vrcholom kužeľa. Bočné okraje pyramídy vpísané do kužeľa tvoria kužeľ. Pyramída opísaná okolo kužeľa je pyramída, ktorej základňou je mnohouholník opísaný okolo základne kužeľa a vrchol sa zhoduje s vrcholom kužeľa. Roviny bočných plôch opísanej pyramídy sa dotýkajú roviny kužeľa. Dotyková rovina kužeľa je rovina prechádzajúca cez tvoriacu čiaru a kolmá na rovinu osového rezu obsahujúceho túto tvoriacu čiaru.

Úloha 1 V pravidelnom štvorhrannom ihlane je strana základne rovná a a rovinný uhol na vrchole je α. Nájdite polomer gule vpísanej do pyramídy. Riešenie: Vyjadrime strany SOK pomocou a a α. OK = a/2. SK = KC postieľka(α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Pomocou vzorca r 1 = rh/(+ r) zistíme polomer vpísanej gule: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Odpoveď: r 1 = (a/2)

Záver Tému „Mnohosten“ študujú žiaci 10. a 11. ročníka, ale v učebných osnovách je veľmi málo materiálu na tému „Vpísané a ohraničené mnohosteny“, hoci študentov veľmi zaujíma, pretože štúdium vlastností mnohostenov prispieva k rozvoju abstraktného a logického myslenia, ktoré sa nám neskôr bude hodiť pri štúdiu, práci, živote. Pri práci na tejto eseji sme študovali všetok teoretický materiál na tému „Vpísané a ohraničené mnohosteny“, skúmali možné kombinácie obrázkov a naučili sme sa aplikovať všetok študovaný materiál v praxi. Problémy spojené s kombináciou tiel sú najťažšou otázkou v kurze stereometrie v 11. ročníku. Teraz však môžeme s istotou povedať, že s riešením takýchto problémov nebudeme mať problémy, pretože v priebehu našej výskumnej práce sme zistili a dokázali vlastnosti vpísaných a ohraničených mnohostenov. Študenti majú veľmi často problém zostaviť kresbu k problému na túto tému. Ale keď sme sa naučili, že na riešenie problémov spojených s kombináciou lopty a mnohostenu je obraz lopty niekedy zbytočný a stačí uviesť jej stred a polomer, môžeme si byť istí, že tieto ťažkosti nebudeme mať. Vďaka tejto eseji sme dokázali pochopiť túto ťažkú, ale veľmi fascinujúcu tému. Dúfame, že teraz už nebudeme mať problémy s aplikáciou naštudovaného materiálu v praxi.