Predikát (lat. praedicatum- uviedol, uviedol, povedal) - akýkoľvek matematický výrok, v ktorom je aspoň jedna premenná. Predikát je hlavným predmetom štúdia v logike prvého poriadku.

Predikát je výraz s logickými premennými, ktoré majú zmysel pre akékoľvek prípustné hodnoty týchto premenných.

Výrazy: x > 5, x > y – predikáty.

Predikát ( n-miestne, príp n-ary) je funkcia s množinou hodnôt (0,1) (alebo „false“ a „true“), ktoré sú definované na množine. Teda každá množina prvkov množiny M charakterizované ako „pravda“ alebo „nepravda“.

Predikát môže byť spojený s matematickým vzťahom: ak n-ka patrí do vzťahu, potom na ňom predikát vráti 1 Najmä unárny predikát vymedzuje vzťah príslušnosti k určitej množine.

Predikát je jedným z prvkov logiky prvého a vyššieho rádu. Počnúc logikou druhého rádu môžu byť kvantifikátory umiestnené na predikáty vo vzorcoch.

Predikát je tzv rovnako pravdivé a napíš:

ak na ľubovoľnej množine argumentov nadobudne hodnotu 1.

Predikát je tzv rovnako falošné a napíš:

ak na ľubovoľnej množine argumentov nadobudne hodnotu 0.

Predikát je tzv uskutočniteľné, ak má hodnotu 1 aspoň v jednej skupine argumentov.

Keďže predikáty majú iba dva významy, sú na ne použiteľné všetky operácie Booleovej algebry, napríklad: negácia, implikácia, konjunkcia, disjunkcia atď.

Kvantifikátor je bežný názov pre logické operácie, obmedzujúce doménu pravdivosti akéhokoľvek predikátu. Najčastejšie spomínané:

Univerzálny kvantifikátor(označenie: znie: „pre každého...“, „pre každého...“ alebo „každý...“, „akýkoľvek...“, „pre každého...“).

Kvantifikátor existencie(označenie: , znie: „existuje...“ alebo „nájde sa...“).

Príklady

Označme P(X) predikát" X deliteľné 5." Pomocou všeobecného kvantifikátora môžeme formálne zapísať nasledujúce tvrdenia (samozrejme nepravdivé):

akýkoľvek prirodzené číslo násobok 5;

každé prirodzené číslo je násobkom 5;

všetky prirodzené čísla sú násobky 5;

nasledujúcim spôsobom:

Nasledujúce (už pravdivé) tvrdenia používajú existenciálny kvantifikátor:

existujú prirodzené čísla, ktoré sú násobkami 5;

existuje prirodzené číslo, ktoré je násobkom 5;

aspoň jedno prirodzené číslo je deliteľné 5.

Ich formálny zápis:

.Úvod do pojmu

Nechajte na množine X základné čísla je daný predikát P(x): "Prvočíslo x je nepárne." Pred tento predikát nahraďme slovo „akýkoľvek“. Dostaneme nepravdivé tvrdenie „akékoľvek prvočíslo x je nepárne“ (tento výrok je nepravdivý, pretože 2 je prvočíslo párne).

Dosadením slova „existuje“ pred daný predikát P(x) dostaneme pravdivé tvrdenie „Existuje prvočíslo x, ktoré je nepárne“ (napríklad x = 3).

Predikát teda môžete zmeniť na výrok tak, že pred predikát umiestnite slová „všetko“, „existuje“ atď., ktoré sa v logike nazývajú kvantifikátory.

Kvantifikátory v matematickej logike

Príkaz znamená, že rozsah premennej X zahrnuté do domény pravdivosti predikátu P(X).

(„Pre všetky hodnoty (x) je výrok pravdivý.“)

Výrok znamená, že doména pravdivosti predikátu P(X) je neprázdny.

(„Existuje (x), pre ktoré je tvrdenie pravdivé“).

Otázka 31 Graf a jeho prvky. Základné pojmy. Incidencia, multiplicita, slučka, súvislosť. Typy grafov. Trasa v grafe a jej dĺžka. Klasifikácia ciest. Matice susednosti orientovaných a neorientovaných grafov.

V matematickej teórii grafov a informatike je graf súborom neprázdnej množiny vrcholov a množiny párov vrcholov.

Objekty sú reprezentované ako vrcholy alebo uzly grafu a spojenia sú reprezentované ako oblúky alebo hrany. Pre rôzne oblasti použitia sa typy grafov môžu líšiť v smerovosti, obmedzeniach počtu spojení a dodatočných údajoch o vrcholoch alebo hranách.

Cesta (alebo reťazec) v grafe je konečná postupnosť vrcholov, v ktorej je každý vrchol (okrem posledného) spojený s nasledujúcim vrcholom v postupnosti vrcholov hranou.

Smerovaná cesta v digrafe je konečná postupnosť vrcholov v i , pre ktoré všetky páry ( v i,v i+ 1) sú (orientované) hrany.

Cyklus je dráha, na ktorej sa prvý a posledný vrchol zhodujú. V tomto prípade je dĺžka cesty (alebo cyklu) počtom jej komponentov rebrá. Všimnite si, že ak vrcholy u A v sú konce nejakej hrany, potom podľa túto definíciu, podsekvencia ( u,v,u) je cyklus. Aby sa predišlo takýmto „degenerovaným“ prípadom, zaviedli sa nasledujúce pojmy.

Cesta (alebo cyklus) sa nazýva jednoduchá, ak sa jej okraje neopakujú; elementárny, ak je jednoduchý a jeho vrcholy sa neopakujú. Je ľahké vidieť, že:

Každá cesta spájajúca dva vrcholy obsahuje elementárnu cestu spájajúcu dva rovnaké vrcholy.

Akékoľvek jednoduché neelementárne cesta obsahuje elementárne cyklu.

akýkoľvek jednoduché cyklus prechádzajúci cez nejaký vrchol (alebo hranu) obsahuje elementárne(pod)cyklus prechádzajúci tým istým vrcholom (alebo hranou).

Slučka je elementárny cyklus.

Graf alebo neorientovaný graf G je objednaný pár G: = (V,E

E ide o množinu párov (v prípade neorientovaného grafu neusporiadaných) vrcholov, ktoré sa nazývajú hrany.

V(a preto E, inak by išlo o multimnožinu) sa zvyčajne zvažujú konečné množiny. Mnohé dobré výsledky získané pre konečné grafy nie sú pravdivé (alebo sa nejakým spôsobom líšia). nekonečné grafy. Mnohé úvahy sa totiž v prípade nekonečných množín stávajú nesprávnymi.

Vrcholy a hrany grafu sa nazývajú aj prvky grafu, počet vrcholov v grafe | V| - poradie, počet hrán | E| - veľkosť grafu.

Vrcholy u A v sa nazývajú koncové vrcholy (alebo jednoducho konce) hrany e = {u,v). Hrana zase spája tieto vrcholy. Dva koncové vrcholy tej istej hrany sa nazývajú susedné.

Dve hrany sa nazývajú susediace, ak majú spoločný koncový vrchol.

Dve hrany sa nazývajú viacnásobné, ak sa množiny ich koncových vrcholov zhodujú.

Hrana sa nazýva slučka, ak sa jej konce zhodujú, tj e = {v,v}.

stupeň stup V vrcholy V zavolajte počet hrán, ktoré k nemu patria (v tomto prípade sa slučky počítajú dvakrát).

Vrchol sa považuje za izolovaný, ak nie je koncom žiadnej hrany; visiaci (alebo list), ak ide o koniec presne jednej hrany.

Orientovaný graf (skrátene ako digraph) G je objednaný pár G: = (V,A), pri ktorej sú splnené tieto podmienky:

V je neprázdna množina vrcholov alebo uzlov,

A je to množina (usporiadaných) párov odlišných vrcholov, nazývaných oblúky alebo orientované hrany.

Arc je usporiadaná dvojica vrcholov (v, w), kde je vrchol v sa nazýva začiatok a w- koniec oblúka. Dá sa povedať, že oblúk vedie zhora v navrchol w.

Zmiešaný graf

Zmiešaný graf G je graf, v ktorom môžu byť niektoré hrany smerované a niektoré môžu byť neorientované. Napísané ako objednaná trojka G: = (V,E,A), Kde V, E A A definované rovnako ako vyššie.

Orientované a neorientované grafy sú špeciálnymi prípadmi zmiešaných grafov.

Izomorfné grafy (?)

Graf G sa nazýva izomorfný s grafom H, ak existuje bijekcia f z množiny vrcholov grafu G do množiny vrcholov grafu H, ktorý má nasledujúcu vlastnosť: ak je v grafe G z vrcholu je hrana A navrchol B, potom v grafe H f(A) navrchol f(B) a naopak - ak je v grafe H z vrcholu je hrana A navrchol B, potom v grafe G z vrcholu musí byť hrana f − 1 (A) navrchol f − 1 (B). V prípade orientovaného grafu musí táto bijekcia zachovať aj orientáciu hrany. V prípade váženého grafu musí bijekcia zachovať aj váhu hrany.

Matica priľahlosti grafu G s konečným počtom vrcholov n(číslované od 1 do n) - Toto štvorcovú maticu A veľkosť n, v ktorom je hodnota prvku a ij rovný počtu hrán z i vrchol grafu v j-tý vrchol.

Niekedy, najmä v prípade neorientovaného grafu, môže vzniknúť slučka (hrana z i vrchol do seba) sa počíta ako dve hrany, teda hodnota diagonálneho prvku a ii v tomto prípade sa rovná dvojnásobku počtu slučiek okolo i vrchol.

Matica susedstva jednoduchý graf(neobsahuje žiadne slučky ani viac hrán) je binárna matica a obsahuje nuly na hlavnej diagonále.

Otázka 32 Funkcia. Metódy priraďovania. Klasifikácia funkcií. Základné elementárne funkcie a ich rozvrhy. Zloženie funkcií. Elementárne funkcie.

Funkcia je matematický pojem, ktorý odráža vzťah medzi prvkami množín. Môžeme povedať, že funkcia je „zákon“, podľa ktorého každý prvok jednej množiny (tzv doména definície ) sa dáva do súladu s niektorým prvkom inej množiny (tzv rozsah hodnôt ).

Matematický koncept funkcie vyjadruje intuitívnu predstavu o tom, ako jedna veličina úplne určuje hodnotu inej veličiny. Takže hodnota premennej X jednoznačne definuje význam výrazu X 2, pričom hodnota mesiaca jednoznačne určuje hodnotu mesiaca nasledujúceho po ňom, taktiež ľubovoľnú osobu je možné porovnávať s inou osobou – svojím otcom. Podobne, niektoré vopred vytvorené algoritmy vytvárajú určité výstupné údaje na základe meniacich sa vstupných údajov.

Metódy určenia funkcie

Analytická metóda

Funkciu matematický objekt predstavuje binárny vzťah, splnenie určitých podmienok. Funkciu možno zadať priamo ako množinu usporiadaných párov, napríklad: existuje funkcia . Táto metóda je však úplne nevhodná pre funkcie na nekonečných množinách (čo sú obvyklé reálne funkcie: mocninná, lineárna, exponenciálna, logaritmická atď.).

Ak chcete zadať funkciu, použite výraz: . pričom X je premenná, ktorá prechádza doménou definície funkcie a r- rozsah hodnôt. Tento záznam označuje prítomnosť funkčného vzťahu medzi prvkami množín. X A r môže prechádzať akýmikoľvek súbormi objektov akejkoľvek povahy. Môžu to byť čísla, vektory, matice, jablká, farby dúhy. Vysvetlime si to na príklade:

Nech je súbor jablko, lietadlo, hruška, stolička a mnoho muž, lokomotíva, námestie. Definujme funkciu f takto: (jablko, osoba), (lietadlo, lokomotíva), (hruška, štvorec), (stolička, osoba). Ak zavedieme premennú x prechádzajúcu množinou a premennú y prechádzajúcu množinou, zadanú funkciu môžeme analyticky špecifikovať ako: .

Číselné funkcie môžu byť špecifikované podobne. Napríklad: kde x prechádza množinou reálne čísla definuje nejakú funkciu f. Je dôležité pochopiť, že samotný výraz nie je funkciou. Funkcia ako objekt je množina (usporiadaných párov). A tento výraz ako objekt je rovnosťou dvoch premenných. Definuje funkciu, ale nie je jednou.

V mnohých odvetviach matematiky je však možné pomocou f(x) označiť ako funkciu samotnú, tak aj analytický výraz, ktorý ju definuje. Táto syntaktická konvencia je mimoriadne pohodlná a opodstatnená.

Grafická metóda

Číselné funkcie možno nastaviť aj pomocou grafu. Nech je reálna funkcia n premenných.

Uvažujme nejaký (n+1)-rozmerný lineárny priestor nad poľom reálnych čísel (keďže funkcia je reálna). V tomto priestore si vyberieme ľubovoľný základ (). Každý bod funkcie je spojený s vektorom: . Takže budeme mať veľa vektorov lineárny priestor, zodpovedajúce bodom tejto funkcie podľa určeného pravidla. Body zodpovedajúceho afinného priestoru vytvoria určitú plochu.

Ak vezmeme euklidovský priestor voľného geometrické vektory(riadené segmenty) a počet argumentov funkcie f nepresahuje 2, zadaná množina bodov môže byť vizuálne znázornená vo forme kresby (grafu). Ak sa navyše pôvodná báza považuje za ortonormálnu, získame „školskú“ definíciu grafu funkcie.

Pre funkcie 3 alebo viacerých argumentov nie je táto reprezentácia použiteľná z dôvodu nedostatku geometrickej intuície viacrozmerných priestorov.

Pre takéto funkcie však možno prísť s vizuálnou semi-geometrickou reprezentáciou (napríklad každá hodnota štvrtej súradnice bodu môže byť spojená s určitou farbou na grafe)

Proporcionálne množstvá. Ak premenné r A x sú priamo úmerné

r = k x ,

Kde k- konštantná hodnota ( faktor proporcionality).

Rozvrh priama úmernosť– priamka prechádzajúca počiatkom súradníc a tvoriaca priamku s osou X uhol, ktorého dotyčnica sa rovná k: opálenie = k(obr. 8). Preto sa koeficient proporcionality nazýva aj tzv sklon. Obrázok 8 zobrazuje tri grafy pre k = 1/3, k= 1 a k = 3 .

Lineárna funkcia. Ak premenné r A X súvisia podľa rovnice 1. stupňa:

A x + B y = C ,

kde je aspoň jedno z čísel A alebo B sa nerovná nule, potom je graf tejto funkčnej závislosti priamka. Ak C= 0, potom prejde počiatkom, inak nie. Grafy lineárne funkcie pre rôzne kombinácie A,B,C sú znázornené na obr.9.

Inverzná úmernosť. Ak premenné r A x sú nepriamo úmerné, To funkčná závislosť medzi nimi je vyjadrená rovnicou:

r = k / X,

Kde k- konštantná hodnota.

Inverzne úmerný graf – hyperbola(obr. 10). Táto krivka má dve vetvy. Hyperboly sa získajú, keď sa kruhový kužeľ pretína s rovinou (pre kužeľosečky pozri časť „Kužeľ“ v kapitole „Stereometria“). Ako je znázornené na obr. 10, súčinom súradníc bodov hyperboly je konštantná hodnota, v našom príklade rovná 1. všeobecný prípad táto hodnota sa rovná k, čo vyplýva z rovnice hyperboly: xy = k.

Hlavné charakteristiky a vlastnosti hyperboly:

X 0, rozsah: r 0 ;

Funkcia je monotónna (klesajúca) pri X< 0 a pri x> 0, ale nie

celkovo monotónna kvôli bodu zlomu X = 0);

Neohraničená funkcia, nespojitá v bode X= 0, nepárne, neperiodické;

- Funkcia nemá nuly.

Kvadratická funkcia. Toto je funkcia: r = sekera 2 + bx + c, Kde a, b, c- trvalý, a b=c= 0 a r = sekera 2. Graf tejto funkcie štvorcová parabola - OY, ktorá sa volá os paraboly.Bodka O vrchol paraboly.

Kvadratická funkcia. Toto je funkcia: r = sekera 2 + bx + c, Kde a, b, c- trvalý, a 0. V najjednoduchšom prípade máme: b=c= 0 a r = sekera 2. Graf tejto funkcie štvorcová parabola - krivka prechádzajúca počiatkom súradníc (obr. 11). Každá parabola má os symetrie OY, ktorá sa volá os paraboly.Bodka O priesečník paraboly s jej osou sa nazýva vrchol paraboly.

Graf funkcie r = sekera 2 + bx + c- aj štvorcová parabola rovnakého typu ako r = sekera 2, ale jeho vrchol neleží v počiatku, ale v bode so súradnicami:

Tvar a umiestnenie štvorcovej paraboly v súradnicovom systéme úplne závisí od dvoch parametrov: koeficientu a pri X 2 a diskriminačný D:D=b 2 – 4ac. Tieto vlastnosti vyplývajú z analýzy koreňov kvadratická rovnica(pozri príslušnú časť v kapitole „Algebra“). Všetky možné rôzne prípady pre štvorcovú parabolu sú znázornené na obr.

Hlavné charakteristiky a vlastnosti štvorcovej paraboly:

Rozsah definície funkcie:  < X+ (t.j. X R), a oblasť

hodnoty: … (Prosím, odpovedzte na túto otázku sami!);

Funkcia ako celok nie je monotónna, ale vpravo alebo vľavo od vrcholu

správa sa monotónne;

Funkcia je neobmedzená, spojitá všade, aj pri b = c = 0,

a neperiodické;

- pri D< 0 не имеет нулей.

Exponenciálna funkcia. Funkcia r = a x, Kde a- volá sa kladné konštantné číslo exponenciálna funkcia.Argument X prijíma akékoľvek platné hodnoty; funkcie sa považujú za hodnoty iba kladné čísla, keďže inak máme viachodnotovú funkciu. Áno, funkcia r = 81X má pri X= 1/4 štyri rôzne významy: r = 3, r = 3, r = 3 i A r = 3 i(Skontrolovať prosím!). Ale považujeme to len za hodnotu funkcie r= 3. Tabuľky exponenciálna funkcia Pre a= 2 a a= 1/2 sú uvedené na obr. Prechádzajú bodom (0, 1). O a= 1 máme priamy čiarový graf, rovnobežná os X, t.j. funkcia sa stáva konštantná hodnota, rovná 1. Keď a> 1 sa exponenciálna funkcia zvyšuje a pri 0< a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:

Rozsah definície funkcie:  < X+ (t.j. X R);

rozsah: r> 0 ;

Funkcia je monotónna: zvyšuje sa s a> 1 a klesá na 0< a < 1;

- Funkcia nemá nuly.

Logaritmická funkcia. Funkcia r=log a x, Kde a– volá sa konštantné kladné číslo, ktoré sa nerovná 1 logaritmický. Táto funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii; jej graf (obr. 18) získame otáčaním grafu exponenciálnej funkcie okolo osi 1. súradnicového uhla.

Hlavné charakteristiky a vlastnosti logaritmickej funkcie:

Rozsah funkcie: X> 0 a rozsah hodnôt:  < r+

(t.j. y R);

Toto je monotónna funkcia: zvyšuje sa ako a> 1 a klesá na 0< a < 1;

Funkcia je neobmedzená, všade nepretržitá, neperiodická;

Funkcia má jednu nulu: X = 1.

Goniometrické funkcie. Pri stavbe goniometrické funkcie používame radián miera uhlov potom funkcia r= hriech X je znázornená grafom (obr. 19). Táto krivka sa nazýva sínusoida.

Graf funkcie r=cos X znázornené na obr. 20; toto je tiež sínusoida vyplývajúca z pohybu grafu r= hriech X pozdĺž osi X doľava o 2

Z týchto grafov sú zrejmé charakteristiky a vlastnosti týchto funkcií:

doména:  < X+ rozsah hodnôt: 1 r +1;

Tieto funkcie sú periodické: ich perióda je 2;

Obmedzené funkcie (| r| , všade kontinuálne, nie monotónne, ale

majúci tzv intervaly monotónnosti, vo vnútri ktorej sú

správať sa ako monotónne funkcie (pozri grafy na obr. 19 a obr. 20);

Funkcie majú nekonečný počet núl (viac podrobností nájdete v časti

"trigonometrické rovnice")

Funkčné grafy r= opálenie X A r= detská postieľka X sú znázornené na obr. 21 a obr. 22, v tomto poradí.

Z grafov je zrejmé, že tieto funkcie sú: periodické (ich perióda ,

neobmedzené, vo všeobecnosti nie monotónne, ale majú intervaly monotónnosti

(ktoré?), nespojité (aké body nespojitosti majú tieto funkcie?). región

definície a rozsah hodnôt týchto funkcií:

Funkcie r= Arcsin X(obr.23) a r= Arccos X(obr. 24) viachodnotový, neobmedzený; ich doména definície a rozsah hodnôt, v tomto poradí: 1 X+1 a  < r+ . Keďže tieto funkcie majú viacero hodnôt, nerobte to

uvažované v elementárnej matematike sa ich hlavné hodnoty považujú za inverzné goniometrické funkcie: r= arcsin X A r= arccos X; ich grafy sú na obr. 23 a obr. 24 zvýraznené hrubými čiarami.

Funkcie r= arcsin X A r= arccos X majú nasledujúce vlastnosti a vlastnosti:

Obe funkcie majú rovnakú definičnú oblasť: 1 X +1 ;

ich rozsah hodnôt:  /2 r/2 pre r= arcsin X a 0 r Pre r= arccos X;

(r= arcsin X- zvýšenie funkcie; r= arccos X - klesajúci);

Každá funkcia má jednu nulu ( X= 0 pre funkciu r= arcsin X A

X= 1 pre funkciu r= arccos X).

Funkcie r= Arktan X(obr.25) a r= Arccot X(obr. 26) - viachodnotové, neobmedzené funkcie; ich doména definície:  X+ . Ich hlavné významy r= arktan X A r= arccot X sa považujú za inverzné goniometrické funkcie; ich grafy sú na Obr. 25 a Obr. 26 zvýraznené hrubými vetvami.

Funkcie r= arktan X A r= arccot X majú nasledujúce vlastnosti a vlastnosti:

Obe funkcie majú rovnakú definičnú oblasť:  X + ;

ich rozsah hodnôt:  /2<r < /2 для r= arktan X a 0< r < для r= arccos X;

Funkcie sú obmedzené, neperiodické, spojité a monotónne

(r= arktan X- zvýšenie funkcie; r= arccot X - klesajúci);

Iba funkcia r= arktan X má jednu nulu ( X= 0);

funkciu r= arccot X nemá nuly.

Zloženie funkcií

Ak sú zadané dve mapy a , kde , potom má zmysel „mapa od konca do konca“ daná vzorcom, ktorá sa nazýva zloženie funkcií a a označuje sa .

Obr. 1.30 Celoplošné zobrazenie od do

Logika a argumentácia: Učebnica. manuál pre univerzity. Ruzavin Georgij Ivanovič

4.2. Kvantifikátory

4.2. Kvantifikátory

Významný rozdiel medzi predikátovou logikou a výrokovou logikou je tiež v tom, že prvá z nich zavádza kvantitatívnu charakteristiku výrokov alebo, ako sa hovorí v logike, ich kvantifikuje. Už v tradičnej logike sa rozsudky triedili nielen podľa kvality, ale aj podľa kvantity, t.j. všeobecné súdy sa líšili od konkrétnych a individuálnych. Ale neexistovala žiadna teória o spojení medzi nimi. Moderná logika zvažuje kvantitatívne charakteristiky výrokov v špeciálnej teórii kvantifikácie, ktorá je neoddeliteľnou súčasťou predikátového počtu.

Pre kvantifikáciu (kvantitatívnu charakteristiku) výrokov táto teória zavádza dva hlavné kvantifikátory: všeobecný kvantifikátor, ktorý budeme označovať symbolom (x), a existenčný kvantifikátor, označovaný symbolom (Ex). Umiestňujú sa bezprostredne pred výroky alebo vzorce, na ktoré sa vzťahujú. V prípade, že kvantifikátory majú širší rozsah, pred príslušný vzorec sa umiestnia zátvorky.

Všeobecný kvantifikátor ukazuje, že predikát označený určitým symbolom patrí všetkým objektom danej triedy alebo vesmíru uvažovania.

Takže výrok: „Všetky hmotné telá majú hmotnosť“ možno preložiť do symbolickej reči takto:

kde x - označuje hmotné teleso:

M - hmotnosť;

(x) je všeobecný kvantifikátor.

Podobne tvrdenie o existencii mimozmyslových javov možno vyjadriť prostredníctvom kvantifikátora existencie:

kde x označuje javy:

E - vlastnosť mimozmyslového vnímania vlastná takýmto javom;

(Pr) je existenčný kvantifikátor.

Pomocou kvantifikátora všeobecnosti môžete vyjadriť empirické a teoretické zákony, zovšeobecnenia o súvislosti medzi javmi, univerzálne hypotézy a iné všeobecné tvrdenia. Napríklad zákon tepelnej rozťažnosti telies možno symbolicky znázorniť ako vzorec:

(x) (T(x) ? P(x)),

kde (x) je všeobecný kvantifikátor;

T(x) - telesná teplota;

P(x) je jeho rozšírenie;

Znak implikácie.

Existenciálny kvantifikátor sa vzťahuje len na určitú časť predmetov z daného vesmíru uvažovania. Preto sa napríklad používa na symbolické písanie štatistických zákonov, ktoré uvádzajú, že vlastnosť alebo vzťah sa vzťahuje len na charakterizáciu určitej časti skúmaných objektov.

Zavedenie kvantifikátorov umožňuje predovšetkým transformovať predikáty na určité výroky. Samotné predikáty nie sú ani pravdivé, ani nepravdivé. Stávajú sa takými, ak sú premenné buď nahradené konkrétnymi výrokmi, alebo ak sú spojené kvantifikátormi, sú kvantifikované. Na tomto základe sa zavádza delenie premenných na viazané a voľné.

Premenné, ktoré spadajú pod vplyv znakov kvantifikátorov všeobecnosti alebo existencie, sa nazývajú viazané. Napríklad vzorce (x) A (x) a (x) (P (x) > Q (x)) obsahujú premennú x. V prvom vzorci stojí všeobecný kvantifikátor bezprostredne pred predikátom A(x), v druhom kvantifikátor rozširuje svoju činnosť na premenné zahrnuté v predchádzajúcom a nasledujúcom člene implikácie. Podobne môže existenčný kvantifikátor označovať ako samostatný predikát, tak aj ich kombináciu, tvorenú logickými operáciami negácie, konjunkcie, disjunkcie atď.

Voľná premenná nepodlieha kvantifikátorom, preto charakterizuje predikátovú alebo výrokovú funkciu, nie výrok.

Pomocou kombinácie kvantifikátorov je možné vyjadriť pomerne zložité vety v prirodzenom jazyku v symbolickom jazyku logiky. V tomto prípade sa výroky, kde hovoríme o existencii objektov, ktoré spĺňajú určitú podmienku, zavádzajú pomocou kvantifikátora existencie. Napríklad vyhlásenie o existencii rádioaktívnych prvkov je napísané pomocou vzorca:

kde R označuje vlastnosť rádioaktivity.

Výrok, že pre fajčiara existuje nebezpečenstvo, že dostane rakovinu, možno vyjadriť nasledovne: (Ex) (K(x) ? P(x)), kde K označuje vlastnosť „fajčiť“ a P – „ dostať rakovinu“. S určitými výhradami by sa to isté dalo vyjadriť“ pomocou všeobecného kvantifikátora: (x) (K(x) ? P(x)). Ale tvrdenie, že každý, kto fajčí, môže dostať rakovinu, by bolo nesprávne, a preto je najlepšie ho napísať pomocou kvantifikátora existencie a nie všeobecného kvantifikátora.

Všeobecný kvantifikátor sa používa pre výroky, ktoré uvádzajú, že určitý predikát A je splnený akýmkoľvek objektom v jeho rozsahu hodnôt. Vo vede, ako už bolo spomenuté, sa všeobecný kvantifikátor používa na vyjadrenie výrokov univerzálnej povahy, ktoré sú verbálne reprezentované frázami ako „pre každého“, „každý“, „akýkoľvek“, „akýkoľvek“ atď. Negáciou kvantifikátora všeobecnosti možno vyjadriť všeobecne negatívne výroky, ktoré sa v prirodzenom jazyku uvádzajú slovami „žiadny“, „ani jeden“, „nikto“ atď.

Samozrejme, pri preklade výpovedí z prirodzeného jazyka do symbolického jazyka sa vyskytujú určité ťažkosti, no dosiahne sa potrebná presnosť a jednoznačné vyjadrenie myšlienky. Nemožno si však myslieť, že formálny jazyk je bohatší ako prirodzený jazyk, v ktorom sa vyjadruje nielen význam, ale aj jeho rôzne odtiene. Preto môžeme hovoriť len o presnejšom zobrazení prirodzených jazykových prejavov ako univerzálneho prostriedku na vyjadrovanie myšlienok a ich výmenu v procese komunikácie.

Najčastejšie sa kvantifikátory všeobecnosti a existencie objavujú spoločne. Napríklad na symbolické vyjadrenie výroku: „Pre každé reálne číslo x existuje číslo y také, že x bude menšie ako y“, označíme predikát „byť menší“ symbolom<, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.

Už zo samotnej definície kvantifikátorov všeobecnosti a existencie hneď vyplýva, že medzi nimi existuje určitá súvislosť, ktorá sa zvyčajne vyjadruje pomocou nasledujúcich zákonov.

1. Zákony permutácie kvantifikátorov:

(x) (y) A ~ (y) (x) A;

(Pr) (Ey) A ~ (Ey) (Ex) A;

(Pr) (y) A ~ (y) (Pr) A;

2. Zákony negácie kvantifikátorov:

¬ (x) A ~ (Pr) ¬ A;

¬ (Pr) A ~ (x) ¬ A;

3. Zákony vzájomnej vyjadrenosti kvantifikátorov:

(x) A ~ ¬ (Pr) ¬ A;

(Pr.) A ~ ¬ (x) ¬ A.

Tu A označuje akýkoľvek vzorec objektového (predmetového) jazyka. Význam negácie kvantifikátorov je zrejmý: ak neplatí, že pre ľubovoľné x platí A, potom existuje x, pre ktoré A neplatí. Z toho tiež vyplýva, že ak: akékoľvek x má A, potom neexistuje žiadne x, ktoré by nemalo-A, čo je symbolicky znázornené v prvom zákone vzájomnej vyjadrenia.

V predikátovej logike sa uvažujú o dvoch operáciách, ktoré transformujú jednomiestny predikát na výrok, na tento účel sa používajú špeciálne slová, ktoré sa umiestňujú pred predikáty. V logike sa nazývajú kvantifikátory.

Existujú dva typy kvantifikátorov:

1. Všeobecný kvantifikátor;

2. Kvantifikátor existencie.

1. Všeobecný kvantifikátor.

Nech je na množine M definovaný predikát P(x).

Symbol sa volá univerzálny kvantifikátor(spoločenstvo). Toto je obrátené prvé písmeno anglického slova All – všetko. Čítajú „všetci“, „každý“, „akýkoľvek“, „každý“. Premenná x in predikát P(x) sa nazýva zadarmo ( môže mať rôzny význam od M), do vyhlásenie volajú x súvisiace univerzálny kvantifikátor.

Príklad č. 1: P(x) – „Prvočíslo x je nepárne“

Pridajme všeobecný kvantifikátor – „Každé prvočíslo x je nepárne“ – nepravdivé tvrdenie.

Výraz je výrok, ktorý je pravdivý, keď P(x) je pravdivé pre každý prvok x z množiny M a inak je nepravdivé. Tento výrok už nezávisí od x.

2. Kvantifikátor existencie.

Nech P(x) - predikát definovaný na množine M. Výrazom rozumieme vyhlásenie, čo je pravda, ak existuje prvok, pre ktorý je P(x) pravda, a inak nepravda. Tento výrok už nezávisí od x. Zodpovedajúci verbálny výraz je: „Existuje x také, že P(x) je pravdivé. Symbol sa volá kvantifikátor existencie. Vo výroku je premenná x viazaná týmto kvantifikátorom (k nej je pripojený kvantifikátor).

(Prečítajte si: „V M je x také, že P v x je pravdivé.“)

Výraz je výrok, ktorý je pravdivý, ak existuje prvok x€M (aspoň jeden), pre ktorý je P(x) pravdivé a inak nepravdivé.

Príklad č. 2: P(x) „Číslo x je násobkom 5“

Akékoľvek prirodzené číslo je násobkom 5"

Každé prirodzené číslo je násobkom 5" nepravdivých tvrdení

Všetky prirodzené čísla sú násobky 5."

Existuje prirodzené číslo deliteľné 5

Nájdite prirodzené číslo deliteľné 5 pravdivými tvrdeniami

Aspoň jedno prirodzené číslo je deliteľné 5

Kvantifikátorové operácie sa vzťahujú aj na predikáty s viacerými miestami. Nech je napríklad na množine M daný dvojmiestny predikát P(x,y). Aplikácia kvantifikačnej operácie na predikát P(x,y) vzhľadom na premennú x dáva do súladu s dvojmiestnym predikátom P(x,y) jednomiestny predikát (alebo jednomiestny predikát) v závislosti od premenná y a nezávislá od premennej x. Môžete na ne aplikovať kvantifikátorové operácie na premennej y, čo povedie k príkazom nasledujúcich typov:

Na zostavenie negácií s kvantifikátormi potrebujete:

1) nahradiť kvantifikátor všeobecnosti kvantifikátorom existencie a nahradiť kvantifikátor existencie kvantifikátorom všeobecnosti;

2) nahraďte predikát jeho negáciou.

Platia teda nasledujúce vzorce:

Negácia vety by sa mala písať ako a negácia vety ako . Je zrejmé, že veta má rovnaký význam, a teda aj rovnakú pravdivostnú hodnotu ako veta a veta má rovnaký význam ako veta. Inými slovami, je ekvivalentné ; ekvivalent

PRÍKLAD č.3. Zostrojte negáciu výroku „Niektoré dvojciferné čísla sú deliteľné 12“.

Riešenie Nahradme kvantifikátor existencie (je vyjadrený slovom „niektorý“) kvantifikátorom všeobecnosti „všetko“ a zostrojme negáciu vety za slovom „niektoré“, pričom pred neho umiestnime časticu „nie“. slovesa. Dostaneme výrok „Všetky dvojciferné čísla nie sú deliteľné 12“.

PRÍKLAD č.4. Formulujte negáciu výroku „V každej triede aspoň jeden žiak neuspel v teste“.

Riešenie: Tento výrok obsahuje všeobecný kvantifikátor vyjadrený slovom „každý“ a kvantifikátor existencie vyjadrený slovami „aspoň jeden“. Podľa pravidla pre konštrukciu negácií výrokov s kvantifikátormi je potrebné nahradiť kvantifikátor všeobecnosti kvantifikátorom existencie a kvantifikátor existencie kvantifikátorom všeobecnosti a odstrániť časticu „nie“ zo slovesa. Dostaneme: "Existuje trieda, v ktorej všetci študenti prešli testom."

V akomkoľvek národnom jazyku sa v bežnej reči používajú spojovacie prostriedky „a“, „alebo“, „ak ..., potom ...“, „ak a len ak ...“ atď. umožňujú zostaviť nové komplexné výroky z už daných výrokov. Pravdivosť alebo nepravdivosť takto získaných tvrdení závisí od pravdivosti a nepravdivosti pôvodných tvrdení a zodpovedajúcich interpretácia spojív ako operácií s príkazmi. Logická operácia môže byť úplne opísaná pravdivostná tabuľka, čo naznačuje, aké významy má zložitý výrok pre všetky možné významy jednoduchých výrokov.

Logická operácia je metóda konštrukcie komplexného výroku z elementárnych výrokov, v ktorom pravdivostná hodnota komplexného výroku je úplne určená pravdivostnými hodnotami pôvodných výrokov (pozri článok „ ”).

V algebre logiky majú logické operácie a zodpovedajúce logické spojovacie prvky špeciálne názvy a označujú sa takto:

Konjunkcia je logická operácia, ktorá spája každé dva elementárne výroky s novým výrokom, ktorý je pravdivý vtedy a len vtedy, ak sú pravdivé oba pôvodné výroky 7 . Logická operácia konjunkcia

Zvážte dve vyhlásenia: p = “Zajtra bude mráz"A q = “Zajtra bude snežiť" Očividne nové príslovie p & q = “Zajtra bude mráz a zajtra bude snežiť“ je pravdivé len vtedy, ak sú súčasne pravdivé výroky p A q, totiž že zajtra bude mráz a sneh. Vyhlásenie p & q bude falošný vo všetkých ostatných prípadoch: bude snežiť, ale bude topiť (t. j. nebude mráz); bude mráz, ale nebude sneh; nebude mráz a nebude ani sneh.

Disjunkcia- logická operácia, ktorá spája každé dva elementárne výroky s novým výrokom, ktorý je nepravdivý vtedy a len vtedy, ak sú oba počiatočné výroky nepravdivé, a pravdivý, keď je pravdivý aspoň jeden z dvoch výrokov, ktoré ho tvoria 8. Logická operácia disjunkcia určuje nasledujúca pravdivostná tabuľka:

Zvážte dve vyhlásenia: p = “Kolumbus bol v Indii"A q = “Kolumbus bol v Egypte p q = “Kolumbus bol v Indii alebo v Egypte“ platí, ak bol Kolumbus v Indii, ale nebol v Egypte, a ak nebol v Indii, ale bol v Egypte, a tiež ak bol v Indii aj v Egypte. Ale toto tvrdenie bude nepravdivé, ak Kolumbus nebol ani v Indii, ani v Egypte.

Spojku „alebo“ možno v reči použiť v inom, „výlučnom“ zmysle. Potom to zodpovedá ďalšiemu tvrdeniu - disjunktivnej alebo striktnej disjunkcii.

Prísne, alebo delenie,disjunkcia- logická operácia, ktorá spája dva elementárne výroky s novým výrokom, ktorý je pravdivý len vtedy, keď je pravdivý iba jeden výrok. Logická operácia disjunktívna veta určuje nasledujúca pravdivostná tabuľka:

Zvážte dve vyhlásenia: p = “Mačka loví myši"A q = “Mačka spí na pohovke" Je zrejmé, že nové vyhlásenie pq pravda len v dvoch prípadoch – keď mačka loví myši alebo keď mačka pokojne spí. Toto tvrdenie bude nepravdivé, ak mačka nerobí ani jedno, ani druhé, t.j. keď nenastanú obe udalosti. Toto tvrdenie však bude nepravdivé aj vtedy, ak sa predpokladá, že sa obe tvrdenia vyskytnú súčasne. Keďže sa to nemôže stať, vyhlásenie je nepravdivé.

V logike majú spojky „buď“ a „alebo“ rôzne významy, ale v ruštine sa niekedy namiesto spojky „alebo“ používa spojka „alebo“. V týchto prípadoch je jednoznačnosť definície použitej logickej operácie spojená s rozborom obsahu výpovede. Napríklad analýza výroku „ Peťa sedí na pódiu A alebo na pódiu B" nahradené " Peťa sedí na pódiu A alebo B“, potom analýza posledného výroku jasne naznačí logickú operáciu delenie disjunkcia, pretože človek nemôže byť na dvoch rôznych miestach súčasne.

Implikácia- logická operácia, ktorá spája každé dva elementárne výroky s novým výrokom, ktorý je nepravdivý vtedy a len vtedy stave(premisa) - pravda, a dôsledkom(záver) je nepravdivý. Ohromný počet závislostí medzi udalosťami možno opísať pomocou implikácie. Napríklad s výrokom „ Ak pôjdeme cez prázdniny do Petrohradu, navštívime Katedrálu sv. Izáka“ Potvrdzujeme, že ak prídeme do Petrohradu počas prázdnin, určite navštívime Dóm svätého Izáka.

Logická operácia implikácia

Implikácia bude nepravdivá, iba ak je premisa pravdivá a záver nepravdivý, a určite bude pravdivá, ak jej podmienka p falošný. Navyše, pre matematika je to celkom prirodzené. V skutočnosti, vychádzajúc z nepravdivého predpokladu, je možné správnym uvažovaním získať pravdivé aj nepravdivé tvrdenie.

Povedzme 1 = 2, potom 2 = 1. Sčítaním týchto rovnosti dostaneme 3 = 3, t.j. z nepravdivého predpokladu sme identickými transformáciami získali pravdivé tvrdenie.

Implikácia vytvorená z výrokov A A IN, možno napísať pomocou týchto viet: „Ak A, To IN“, „Od A by mal IN”, “A znamená IN", "Za účelom A, je potrebné, aby IN", "Za účelom IN, dosť na A”.

Ekvivalencia- logická operácia, ktorá spája dva elementárne výroky s novým, ktorý je pravdivý vtedy a len vtedy, ak sú oba počiatočné výroky súčasne pravdivé alebo súčasne nepravdivé. Logická operácia rovnocennosť je daná nasledujúcou pravdivostnou tabuľkou:

Uvažujme o možných významoch zložitého výroku, ktorý je ekvivalentom: „ Učiteľ dá študentovi 5 v štvrťroku vtedy a len vtedy, ak študent dostane v teste 5.”.

1) Žiak dostal v teste 5 a v štvrťroku 5, t.j. učiteľ splnil svoj sľub, preto je výrok pravdivý.

2) Žiak nedostal z testu 5 a učiteľ mu nedal 5 v kvartáli, t.j. učiteľ svoj sľub dodržal, tvrdenie je pravdivé.

3) Žiak nedostal z testu päťku, ale učiteľ mu dal päťku v kvartáli, t.j. učiteľ nedodržal svoj sľub, tvrdenie je nepravdivé.

4) Žiak dostal z testu 5, ale učiteľ mu v kvartáli nedal 5, t.j. učiteľ nedodržal svoj sľub, tvrdenie je nepravdivé.

Všimnite si, že v matematických teorémoch je ekvivalencia vyjadrená spojkou „nevyhnutné a dostatočné“.

Operácie diskutované vyššie boli dvojité (binárne), t.j. boli vykonané na dvoch operandoch (príkazoch). V algebre logiky je definovaná a široko používaná jednomiestna (unárna) operácia negácia.

Negácia- logická operácia, ktorá spája každý elementárny výrok s novým výrokom, ktorého význam je opačný ako pôvodný. Logická operácia negácia je daná nasledujúcou pravdivostnou tabuľkou:

V ruštine sa spojenie „nie je pravda, že...“ používa na konštrukciu negácie. Aj keď spojka „nie je pravda, že...“ nespája žiadne dva výroky do jedného, logici ho interpretujú ako logickú operáciu, keďže keď sa umiestni pred ľubovoľný výrok, vytvorí z neho nový.

Negovaním výroku "Mám doma počítač" bude vyhlásenie "Nie je pravda, že mám doma počítač" alebo, čo je to isté v ruštine, "Nemám doma počítač". Negovaním výroku “Neviem po čínsky” bude vyhlásenie „Nie je pravda, že neviem po čínsky“ alebo, čo je to isté v ruštine, “Hovorím čínsky”.

Kvantifikátory

V matematickej logike sa spolu s logickými operáciami používajú aj kvantifikátory. Kvantifikátor(z lat. kvantový- koľko) je logická operácia, ktorá dáva kvantitatívnu charakteristiku oblasti objektov, na ktoré sa vzťahuje výraz získaný v dôsledku jeho aplikácie.

V bežnom jazyku slová ako Všetky, každý, niektoré, akýkoľvek, akýkoľvek, nekonečne veľa, existuje, k dispozícii, jediný, niektoré, Konečný číslo, ako aj všetky kardinálne čísla. Vo formalizovaných jazykoch, ktorých neoddeliteľnou súčasťou je predikátový počet, postačujú na vyjadrenie všetkých takýchto charakteristík dva typy kvantifikátorov: všeobecný kvantifikátor A kvantifikátor existencie.

Kvantifikátory umožňujú špecifickú výrazovú formu (pozri „ Vyhlásenia. Booleovské hodnoty") získať expresívny tvar s menším počtom parametrov, najmä získať výrok 9 z jednomiestneho expresívneho tvaru.

Všeobecný kvantifikátor umožňuje z daného formulára výpisu s jednou voľnou premennou X získajte vyhlásenie pomocou odkazu „Pre každého X…“. Výsledok aplikácie všeobecného kvantifikátora na výrokovú formu A( X) označujú X A( X). Vyhlásenie X A( X) bude pravdivé vtedy a len vtedy, ak po nahradení za A( X) namiesto voľnej premennej X akéhokoľvek objektu z rozsahu možných hodnôt sa vždy získa pravdivé tvrdenie. Vyhlásenie X A( X) možno čítať takto: „Pre akékoľvek X A( X)“, „A( X) za svojvoľné X", "Pre všetkých X pravda A( X)", "Každý X má vlastnosť A( X)" a tak ďalej.

Existenciálny kvantifikátor umožňuje z danej expresívnej formy s jedinou voľnou premennou X získať vyhlásenie pomocou spojovacieho výrazu „Existuje taký X, Čo …". Výsledok aplikácie všeobecného kvantifikátora na výrokovú formu A( X) označujú X A( X). Vyhlásenie
X A( X) platí vtedy a len vtedy, ak je v rozsahu možných hodnôt premennej X existuje objekt taký, že pri dosadení jeho názvu namiesto výskytu voľnej premennej X v( X) sa ukazuje ako pravdivé tvrdenie. Vyhlásenie X A( X) možno čítať takto: „Pre niektorých X A( X)“, „Pre vhodné X pravda A( X)“, „Existuje X, pre ktoré A( X)“, „Aspoň pre jedného X pravda A( X)" a tak ďalej.

Kvantifikátory zohrávajú pre formalizované jazyky matematickej logiky rovnakú úlohu, akú hrajú pre prirodzený jazyk takzvané „kvantitatívne“ („kvantifikátory“) slová – určujú rozsah použiteľnosti daného tvrdenia (alebo expresívnej formy).

Pri konštrukcii negácie k výroku obsahujúcemu kvantifikátor platí nasledovné pravidlo: k predikátu sa pridá častica „nie“, všeobecný kvantifikátor sa nahradí kvantifikátorom jedinečnosti a naopak. Pozrime sa na príklad. Negáciou tvrdenia „Všetci chlapci z 11. ročníka sú výborní žiaci“ je tvrdenie „Nie je pravda, že všetci chlapci z 11. ročníka sú vynikajúci žiaci“ alebo „Niektorí chlapci z 11. ročníka nie sú výborní žiaci.“

V informatike sa kvantifikátory používajú v logických programovacích jazykoch (pozri „ Programovacie jazyky”) a databázové dopytovacie jazyky.

Schopnosť vytvárať zložité príkazy sa vyžaduje pri práci s databázami, pri konštrukcii internetového vyhľadávacieho dotazu, pri konštrukcii algoritmov a písaní programov v akomkoľvek algoritmickom jazyku. Navyše túto zručnosť možno klasifikovať ako všeobecnú školskú zručnosť, pretože je spojená s konštrukciou zložitých inferencií (uvažovanie, vyvodzovanie záverov). Táto zručnosť je založená na znalosti základných logických operácií a schopnosti určiť pravdivosť zložitých tvrdení.

Na základnej škole sa žiaci zoznámia s logickými operáciami disjunkcia, konjunkcia a negácia. Je tam zavedený aj pojem pravdivostnej tabuľky. S najväčšou pravdepodobnosťou oboznámenie sa s týmito pojmami vzniká v programovacích jazykoch, ale dajú sa použiť aj v tabuľkových procesoroch - tam sa logické operácie implementujú prostredníctvom zodpovedajúcich funkcií OR, AND, NOT.

Zložitejšie logické operácie sa dajú zvládnuť na strednej škole. Problémy s použitím implikácie sa nachádzajú v každej z publikovaných verzií jednotnej štátnej skúšky z informatiky. Napríklad: na aké číslo X pravdivé tvrdenie (( X > 3) (X < 3)) –> (X < 1)? (Demo verzia Jednotnej štátnej skúšky, 2007.)

Pri štúdiu operácie implikácie by študenti mali venovať pozornosť skutočnosti, že väčšina matematických viet sú implikácie. Avšak tie implikácie, v ktorých sú premisy (podmienky) a závery (dôsledky) vetami bez vzájomnej (v podstate) súvislosti, nemôžu vo vede hrať viac či menej dôležitú úlohu. Sú to úplne neplodné návrhy, pretože... nevedie k hlbším záverom. V matematike totiž ani jedna veta nie je implikáciou, v ktorej by podmienka a záver obsahovo nesúviseli. Okrem spojky „ak,... potom...“ sú implikácie v matematických vetách formulácie len nevyhnutných alebo iba postačujúcich podmienok.

Úlohy vytvorenia dostatočných a nevyhnutných podmienok pre školákov sa ukazujú ako ťažké. Pri rozvíjaní tejto zručnosti je potrebné venovať pozornosť najmä trom bodom:

a) tvar „nevyhnutné a postačujúce“ používaný v matematických výrokoch zodpovedá spojovaciemu výrazu „ak a len vtedy“ (ekvivalencia);

b) spojka „s cieľom...( A), je potrebné, aby...( B)“ sa realizuje priamou implikáciou A B. (Aby mala kvadratická rovnica riešenie, musí byť diskriminant nezáporný);

c) postačujúca podmienka je realizovaná inverznou implikáciou B ® A a v ruštine sa dá vyjadriť napríklad takto: „na to, aby... (A), stačí, že... (B).“

Na strednej škole (10. – 11. ročník) je užitočné, aby si študenti rozvíjali schopnosť zostaviť negáciu výroku v ruštine. Táto zručnosť je potrebná napríklad na dokazovanie teorémov metódou „protirečenia“. Zostrojiť negáciu aj pre jednoduché výroky nie je vždy jednoduché. Napríklad k výpovedi Na parkovisku sú červené“Zhiguli“ nasledujúce vety nebudú záporné:

1) Tie na parkovisku nie sú červené “Zhiguli”;

2) Na parkovisku je biely “Mercedes”;

3) Reds“Zhiguli” nie sú zaparkované.

Negácia tohto tvrdenia by bola „Na parkovisku nie sú žiadne červené žiguli“. Školákom sa to dá vysvetliť takto: negácia vety musí úplne vylúčiť pravdivosť pôvodného tvrdenia. Ak je na parkovisku biely mercedes, nič nebráni tomu, aby zaparkoval aj červený Žiguli.

O algoritme na konštrukciu negácie zložitého výroku sa dočítate v knihe „Mathematical Foundations of Computer Science“ od E. Andreevovej, L. Bosovej, I. Faliny.

Štúdium kvantifikátorov doteraz nebolo pre školské kurzy informatiky tradičné. Teraz sú však zaradené do štandardu špecializovanej školy. Najjednoduchším spôsobom je demonštrovať úlohu kvantifikátorov pri konštruovaní rovnakých negácií výrokov v ruštine, matematických aj ľubovoľných. Pravidlo nahradenia všeobecného kvantifikátora existenčným kvantifikátorom a naopak možno ľahko zdôvodniť pomocou De Morganových zákonov (pozri. "Boolovské výrazy").

6 Z latinských slov idem- to isté a potens- silný; doslova ekvivalentné.

7 Táto definícia sa ľahko rozširuje na prípad n Vyhlásenia ( n > 2, n- prirodzené číslo).

8 Táto definícia, rovnako ako predchádzajúca, platí pre prípad n Vyhlásenia ( n > 2, n- prirodzené číslo).

9 Uspensky V.A., Vereshchagin N.K., Plisko V.E.Úvodný kurz matematickej logiky. M.: Fizmatlit, 2002.

Okrem vyššie uvedených operácií použijeme ďalšie dve nové operácie súvisiace s vlastnosťami predikátovej logiky. Tieto operácie vyjadrujú vyhlásenia o komunite a existencii.

Kvantifikátor- nejaký spôsob, ako pripísať prítomnosť akýchkoľvek vlastností celému súboru objektov: (všeobecný kvantifikátor) alebo jednoducho (), (kvantifikátor existencie).

1. Všeobecný kvantifikátor. Nech R (x) je dobre definovaný predikát, ktorý má hodnotu I alebo A pre každý prvok x nejakého poľa M. Potom výrazom (x)R(x) rozumieme výrok, ktorý je pravdivý, keď R(x) je pravdivé pre každý prvok x poľa M, inak je nepravdivé. Tento výrok už nezávisí od x. Zodpovedajúci slovný výraz bude: „pre každé x platí R (x)“.

Teraz nech U(x) je vzorec predikátovej logiky, ktorý nadobúda určitú hodnotu, ak sú objekty premenných a v ňom zahrnuté predikáty premenných nahradené úplne určitým spôsobom. Vzorec I(x) môže okrem x obsahovať aj iné premenné. Potom výraz I(x) pri nahradení všetkých premenných objektov aj predikátov, okrem x, predstavuje špecifický predikát, ktorý závisí len od x. A vzorec (x)I(x) sa stáva úplne určitým výrokom. V dôsledku toho je tento vzorec úplne určený špecifikovaním hodnôt všetkých premenných okrem x, a preto nezávisí od x. Symbol (x) sa volá všeobecný kvantifikátor .

2. Kvantifikátor existencie. Nech R(x) je nejaký predikát. Spájame s ním vzorec (x)R(x), pričom jeho hodnotu definujeme ako pravdivú, ak existuje prvok poľa M, pre ktorý platí R(x), a v opačnom prípade ako nepravdivú. Potom ak ja (x) - špecifický vzorec predikátová logika, potom je definovaný aj vzorec (x)И(x) a nezávisí od hodnoty x. Volá sa znak (x). kvantifikátor existencie .

Volajú sa kvantifikátory (x) a (x). dvojaký navzájom.

Povieme, že vo vzorcoch (x)I(x) a (x)I(x) sa kvantifikátory (x) a (x) vzťahujú na premennú x alebo že premenná x súvisí so zodpovedajúcim kvantifikátorom.

Nazveme predmetnú premennú, ktorá nie je spojená so žiadnym kvantifikátorom voľné premenné. Takto sme opísali všetky vzorce predikátovej logiky.

Ak dva vzorce I a B, týkajúce sa určitého poľa M, so všetkými náhradami premenných predikátov, príkazov premenných a premenných voľného objektu jednotlivými predikátmi definovanými na M, jednotlivými príkazmi a jednotlivými objektmi z M, berú rovnaké hodnoty A alebo A, potom povieme, že tieto vzorce sú ekvivalentné na poli M. (Pri nahrádzaní premenných predikátov, výrokov a objektov samozrejme nahrádzame tie, ktoré sú označené rovnako vo vzorcoch I a B v Rovnakým spôsobom).

Ak sú dva vzorce ekvivalentné na ľubovoľných poliach M, potom ich jednoducho nazveme ekvivalentné. Ekvivalentné vzorce možno navzájom nahradiť.

Ekvivalencia vzorcov umožňuje ich v rôznych prípadoch zredukovať na pohodlnejšiu formu.

Konkrétne platí: I → B je ekvivalentné AND B.

Pomocou toho môžeme nájsť ekvivalentný vzorec pre každý vzorec, v ktorom sú medzi operáciami výrokovej algebry iba &, a -.

Príklad: (x)(A(x)→(y)B(y)) je ekvivalentné s (x)(A(x)(y)B(y)).

Okrem toho pre predikátovú logiku existujú ekvivalencie spojené s kvantifikátormi.

Existuje zákon, ktorý spája kvantifikátory so záporným znamienkom. Zvážte výraz (x)I(x).

Výrok „(x)I(x) je nepravdivý“ je ekvivalentný výroku: „existuje prvok y, pre ktorý je U(y) nepravdivé“ alebo, čo je to isté, „existuje prvok y, pre ktorý U (y) je pravda.“ Preto je výraz (x)I(x) ekvivalentný výrazu (y)I(y).

Uvažujme výraz (x)I(x) rovnakým spôsobom.

Toto je tvrdenie „(x) A (x) je nepravdivé“. Ale takéto tvrdenie je ekvivalentné tvrdeniu: „pre každého je I(y) nepravdivé“ alebo „pre každého je I(y) pravdivé“. Takže (x)I(x) je ekvivalentné výrazu (y)I(y).

Získame tak nasledujúce pravidlo:

Znak negácie sa môže vložiť pod znak kvantifikátora, čím sa kvantifikátor nahradí duálnym znakom.

Už sme videli, že pre každý vzorec existuje ekvivalentný vzorec, ktorý z operácií výrokovej algebry obsahuje iba &, a -.

Pomocou ekvivalencií pre každý vzorec môžete nájsť ekvivalent, v ktorom sa znamienka negácie vzťahujú na elementárne výroky a elementárne predikáty.

Predikátový kalkul je určený na axiomatický popis predikátovej logiky.

Predikátová kalkulácia - nejaký axiomatický systém určený na modelovanie určitého prostredia a testovanie akýchkoľvek hypotéz týkajúcich sa vlastností tohto prostredia pomocou vyvinutého modelu. Hypotézy tvrdia prítomnosť alebo neprítomnosť určitých vlastností v určitých objektoch a sú vyjadrené vo forme logického vzorca. Opodstatnenosť hypotézy sa tak redukuje na posúdenie odvoditeľnosti a splniteľnosti logického vzorca.