Koncepti i integraleve kurvilineare dhe shembuj zgjidhjesh. Integral i ciklit të mbyllur, formula e Green-it, shembuj

Për rastin kur fusha e integrimit është një segment i një kurbë të caktuar që shtrihet në një rrafsh. Shënimi i përgjithshëm për një integral të linjës është si më poshtë:

Ku f(x, y) është një funksion i dy ndryshoreve, dhe L- kurbë, përgjatë një segmenti AB i cili integrim bëhet. Nëse integrandi është i barabartë me një, atëherë integrali i linjës e barabartë me gjatësinë harku AB .

Si gjithmonë në llogaritjen integrale, një integral i linjës kuptohet si kufiri i shumave integrale të disa pjesëve shumë të vogla të diçkaje shumë të madhe. Çfarë përmblidhet në rastin e integraleve të lakuar?

Le të ketë një segment në aeroplan AB disa kurbë L, dhe një funksion i dy ndryshoreve f(x, y) të përcaktuara në pikat e kurbës L. Le të kryejmë algoritmin e mëposhtëm me këtë segment të kurbës.

Kurbë e ndarë AB në pjesë me pika (fotot më poshtë).
Zgjidhni lirisht një pikë në secilën pjesë M.
Gjeni vlerën e funksionit në pikat e zgjedhura.
Vlerat e funksionit shumëzohen me
- gjatësitë e pjesëve në rast integrali lakor i llojit të parë ;
- projeksionet e pjesëve në boshtin koordinativ në rast integrali lakor i llojit të dytë .
Gjeni shumën e të gjitha produkteve.
Gjeni kufirin e shumës integrale të gjetur me kusht që gjatësia e pjesës më të gjatë të lakores të priret në zero.

Nëse kufiri i përmendur ekziston, atëherë kjo kufiri i shumës integrale dhe quhet integrali lakor i funksionit f(x, y) përgjatë kurbës AB .

lloji i parë

Rasti i një integrali lakor
lloji i dytë

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm.

Mune ( ζ i; η i)- një pikë me koordinatat e zgjedhura në çdo vend.

fune ( ζ i; η i)- vlera e funksionit f(x, y) në pikën e zgjedhur.

Δ si- gjatësia e një pjese të një segmenti kurbë (në rastin e një integrali lakor të llojit të parë).

Δ xi- projeksioni i një pjese të segmentit të kurbës mbi bosht kau(në rastin e një integrali lakor të llojit të dytë).

d= maxΔ s i- gjatësia e pjesës më të gjatë të segmentit të kurbës.

Integralet kurvilineare të llojit të parë

Bazuar në sa më sipër për kufirin e shumave integrale, një integral rreshtor i llojit të parë shkruhet si më poshtë:

Integrali lakor i llojit të parë ka të gjitha vetitë që ka integral i caktuar. Megjithatë, ka një ndryshim të rëndësishëm. Për një integral të caktuar, kur kufijtë e integrimit ndërrohen, shenja ndryshon në të kundërtën:

Në rastin e një integrali lakor të llojit të parë, nuk ka rëndësi se cila pikë e lakores AB (A ose B) konsiderohet fillimi i segmentit, dhe cili është fundi, d.m.th

Integralet kurvilineare të llojit të dytë

Bazuar në atë që është thënë për kufirin e shumave integrale, një integral lakor i llojit të dytë shkruhet si më poshtë:

Në rastin e një integrali lakor të llojit të dytë, kur fillimi dhe fundi i një segmenti kurbë ndërrohen, shenja e integralit ndryshon:

Kur përpiloni shumën integrale të një integrali lakor të llojit të dytë, vlerat e funksionit fune ( ζ i; η i) mund të shumëzohet edhe me projeksionin e pjesëve të një segmenti kurbë mbi bosht Oy. Pastaj marrim integralin

Në praktikë, zakonisht përdoret bashkimi i integraleve lakor të llojit të dytë, domethënë dy funksione f = P(x, y) Dhe f = P(x, y) dhe integrale

dhe shuma e këtyre integraleve

thirrur integrali lakor i përgjithshëm i llojit të dytë .

Llogaritja e integraleve kurvilineare të llojit të parë

Llogaritja e integraleve kurvilineare të llojit të parë reduktohet në llogaritjen e integraleve të përcaktuara. Le të shqyrtojmë dy raste.

Le të jepet një kurbë në aeroplan y = y(x) dhe një segment kurbë AB korrespondon me një ndryshim në ndryshore x nga a përpara b. Pastaj në pikat e kurbës funksioni i integrandit f(x, y) = f(x, y(x)) ("Y" duhet të shprehet përmes "X"), dhe diferenciali i harkut dhe integrali i linjës mund të llogaritet duke përdorur formulën

Nëse integrali është më i lehtë për t'u integruar mbi y, atëherë nga ekuacioni i lakores duhet të shprehim x = x(y) ("x" deri "y"), ku ne llogarisim integralin duke përdorur formulën

Shembulli 1.

Ku AB- segment i drejtë midis pikave A(1; −1) dhe B(2; 1) .

Zgjidhje. Le të bëjmë një ekuacion të një drejtëze AB, duke përdorur formulën (ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna A(x1 ; y 1 ) Dhe B(x2 ; y 2 ) ):

Nga ekuacioni drejtvizor shprehim y përmes x :

Atëherë dhe tani mund të llogarisim integralin, pasi na kanë mbetur vetëm "X":

Le të jepet një kurbë në hapësirë

Pastaj në pikat e kurbës funksioni duhet të shprehet përmes parametrit t() dhe diferencial me hark , prandaj integrali lakor mund të llogaritet duke përdorur formulën

Në mënyrë të ngjashme, nëse një kurbë është dhënë në aeroplan

atëherë me formulën llogaritet integrali lakor

Shembulli 2. Llogarit integralin e vijës

Ku L- pjesë e një vije rrethi

ndodhet në oktantin e parë.

Zgjidhje. Kjo kurbë është një e katërta e vijës rrethore të vendosur në rrafsh z= 3. Ajo korrespondon me vlerat e parametrave. Sepse

atëherë diferenciali i harkut

Le të shprehim funksionin integrand përmes parametrit t :

Tani që kemi gjithçka të shprehur përmes një parametri t, ne mund ta reduktojmë llogaritjen e këtij integrali lakor në një integral të caktuar:

Llogaritja e integraleve kurvilineare të llojit të dytë

Ashtu si në rastin e integraleve kurvilinearë të llojit të parë, llogaritja e integraleve të llojit të dytë reduktohet në llogaritjen e integraleve të përcaktuara.

Lakorja jepet në koordinata drejtkëndore karteziane

Le të jepet një kurbë në rrafsh nga ekuacioni i funksionit "Y", i shprehur me "X": y = y(x) dhe harku i lakores AB korrespondon me ndryshimin x nga a përpara b. Më pas zëvendësojmë shprehjen e "y" përmes "x" në integrand dhe përcaktojmë diferencialin e kësaj shprehjeje të "y" në lidhje me "x": . Tani që gjithçka shprehet në termat "x", integrali i linjës së llojit të dytë llogaritet si një integral i caktuar:

Një integral lakor i llojit të dytë llogaritet në mënyrë të ngjashme kur kurba jepet nga ekuacioni i funksionit "x" i shprehur përmes "y": x = x(y) , . Në këtë rast, formula për llogaritjen e integralit është si më poshtë:

Shembulli 3. Llogarit integralin e vijës

, Nëse

A) L- segment i drejtë O.A., Ku RRETH(0; 0) , A(1; −1) ;

b) L- harku i parabolës y = x² nga RRETH(0; 0) deri në A(1; −1) .

a) Le të llogarisim integralin lakor mbi një segment të drejtë (blu në figurë). Le të shkruajmë ekuacionin e drejtëzës dhe të shprehim "Y" me "X":

marrim dy = dx. Ne e zgjidhim këtë integral lakor:

b) nëse L- harku i parabolës y = x² , marrim dy = 2xdx. Ne llogarisim integralin:

Në shembullin e sapo zgjidhur, ne morëm të njëjtin rezultat në dy raste. Dhe kjo nuk është një rastësi, por rezultat i një modeli, pasi ky integral plotëson kushtet e teoremës së mëposhtme.

Teorema. Nëse funksionet P(x,y) , P(x,y) dhe derivatet e tyre të pjesshme janë të vazhdueshme në rajon D funksionet dhe në pika në këtë rajon derivatet e pjesshme janë të barabarta, atëherë integrali lakor nuk varet nga rruga e integrimit përgjatë vijës. L ndodhet ne zone D .

Lakorja jepet në formë parametrike

Le të jepet një kurbë në hapësirë

dhe në integrandet që zëvendësojmë

duke i shprehur këto funksione nëpërmjet një parametri t. Marrim formulën për llogaritjen e integralit lakor:

Shembulli 4. Llogarit integralin e vijës

Nëse L- pjesë e një elipsi

plotësimi i kushtit y ≥ 0 .

Zgjidhje. Kjo kurbë është pjesa e elipsës e vendosur në rrafsh z= 2. Ajo korrespondon me vlerën e parametrit.

ne mund të paraqesim integralin lakor në formën e një integrali të caktuar dhe ta llogarisim atë:

Nëse jepet një integral lakor dhe Lështë një vijë e mbyllur, atëherë një integral i tillë quhet integral me unazë të mbyllur dhe është më e lehtë të llogaritet duke përdorur Formula e Green .

Më shumë shembuj të llogaritjes së integraleve të linjës

Shembulli 5. Llogarit integralin e vijës

Ku L- një segment me vijë të drejtë midis pikave të kryqëzimit të tij me boshtet koordinative.

Zgjidhje. Le të përcaktojmë pikat e kryqëzimit të drejtëzës me boshtet koordinative. Zëvendësimi i një vije të drejtë në ekuacion y= 0, marrim , . Zëvendësimi x= 0, marrim , . Kështu, pika e kryqëzimit me boshtin kau - A(2; 0) , me bosht Oy - B(0; −3) .

Nga ekuacioni drejtvizor shprehim y :

, .

Tani mund të paraqesim integralin e linjës si një integral të caktuar dhe të fillojmë ta llogarisim atë:

Në integrand zgjedhim faktorin , dhe e zhvendosim jashtë shenjës integrale. Në integrandin që rezulton ne përdorim duke iu nënshtruar shenjës diferenciale dhe më në fund e marrim.

Përkufizimi: Lëreni në çdo pikë të një kurbë të qetë L=AB në aeroplan Oksi dhënë funksion të vazhdueshëm dy variabla f(x,y). Le të ndajmë kurbën në mënyrë arbitrare L në n pjesë me pika A = M 0, M 1, M 2, ... M n = B. Pastaj në secilën prej pjesëve që rezultojnë $\bar((M)_(i-1)(M)_(i))$ zgjedhim çdo pikë $\bar((M)_(i))\majtas (\ bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\djathtas)$dhe bëni shumën $$(S)_(n)=\sum_(i=1) ^(n )f\left(\bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\Delta (l)_(i)$$ ku $\Delta (l) _(i)=(M)_(i-1)(M)_(i)$ - harku i harkut $\bar((M)_(i-1)(M)_(i ))$ . Shuma e marrë quhet shuma integrale e llojit të parë për funksionin f(x,y) , dhënë në kurbën L.

Le të shënojmë me d më e madhja e gjatësisë së harkut $\bar((M)_(i-1)(M)_(i))$ (pra d = $max_(i)\Delta(l)_(i)\ )). Nëse në d? 0 ekziston një kufi i shumave integrale S n (i pavarur nga metoda e ndarjes së kurbës L në pjesë dhe zgjedhja e pikave \(\bar((M)_(i))$), atëherë ky kufi quhet integrali lakor i rendit të parë nga funksioni f(x,y) përgjatë kurbës L dhe shënohet me $$\int_(L)f(x,y)dl$$

Mund të vërtetohet se nëse funksioni f(x,y)është i vazhdueshëm, atëherë ekziston integrali i drejtëzës $\int_(L)f(x,y)dl$.

Vetitë e një integrali lakor të llojit të parë

Një integral lakor i llojit të parë ka veti të ngjashme me vetitë përkatëse të një integrali të caktuar:

aditiviteti,
lineariteti,
vlerësimi i modulit,
teorema e vlerës mesatare.

Megjithatë, ka një ndryshim: $$\int_(AB)f(x,y)dl=\int_(BA)f(x,y)dl$$ d.m.th. një integral rreshtor i llojit të parë nuk varet nga drejtimi i integrimit.

Llogaritja e integraleve kurvilineare të llojit të parë

Llogaritja e një integrali lakor të llojit të parë reduktohet në llogaritje integral i caktuar. Gjegjësisht:

Nëse kurba L jepet nga një funksion vazhdimisht i diferencueshëm y=y(x), x $\in $ , atëherë $$(\int\limits_L (f\left((x,y) \djathtas)dl) ) = (\int \limits_a^b (f\majtas((x,y\left(x \djathtas)) \djathtas)\sqrt (1 + ((\left((y"\left(x \djathtas)) \ djathtas))^ 2)) dx) ;)$$ ne kete rast shprehja $dl=\sqrt((1 + ((\left((y"\left(x \right)) \djathtas))^2 ))) dx $ quhet diferencial i gjatësisë së harkut.
Nëse kurba L është specifikuar parametrikisht, d.m.th. në formën x=x(t), y=y(t), ku x(t), y(t) janë funksione vazhdimisht të diferencueshme në një interval $\majtas [ \alfa ,\beta \djathtas ]$, atëherë $$ (\int\limits_L (f\majtas((x,y) \djathtas)dl) = (\int\limits_\alfa ^\beta (f\majtas ((x\majtas(t \djathtas), y \majtë(t \djathtas)) \djathtas)\sqrt (((\majtas((x"\left(t \djathtas)) \djathtas))^2) + ((\majtas((y"\majtas( t \right)) \right))^2)) dt)) $$ Kjo barazi shtrihet në rastin e një lakore hapësinore L të përcaktuar parametrikisht: x=x(t), y=y(t), z=z( t), $t\në \majtas [\alfa,\beta \djathtas]$. Në këtë rast, nëse f(x,y,z) është një funksion i vazhdueshëm përgjatë kurbës L, atëherë $$ (\int\limits_L (f\left((x,y,z) \djathtas)dl) ) = ( \int \limits_\alfa ^\beta (f\majtas [ (x\majtas(t \djathtas),y\majtas(t \djathtas),z\left(t \djathtas)) \djathtas ]\sqrt ((( \majtë ((x"\majtas(t \djathtas)) \djathtas))^2) + ((\majtas((y"\left(t \djathtas)) \djathtas))^2) + ((\majtas (( z"\left(t \djathtas)) \djathtas))^2)) dt)) $$
Nëse një kurbë e rrafshët L jepet nga ekuacioni polar r=r($\varphi $), $\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \djathtas ] $, atëherë $$ (\int\ limits_L (f\ majtas ((x,y) \djathtas)dl) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left((r\cos \varphi ,r\sin \varphi) \djathtas)\ sqrt ((r ^2) + (((r)")^2)) d\varphi)) $$

Integralet kurvilineare të llojit të parë - shembuj

Shembulli 1

Llogaritni një integral të vijës së llojit të parë

$$ \int_(L)\frac(x)(y)dl $$ ku L është harku i parabolës y 2 =2x, i mbyllur midis pikave (2,2) dhe (8,4).

Zgjidhje: Gjeni diferencialin e harkut dl për lakoren $y=\sqrt(2x)$. Ne kemi:

$(y)"=\frac(1)(\sqrt(2x)) $ $$ dl=\sqrt(1+\majtas ((y)" \djathtas)^(2)) dx= \sqrt( 1+\left (\frac(1)(\sqrt(2x)) \right)^(2)) dx = \sqrt(1+ \frac(1)(2x)) dx $$ Prandaj ky integral është i barabartë me : $ $\int_(L)\frac(x)(y)dl=\int_(2)^(8)\frac(x)(\sqrt(2x))\sqrt(1+\frac(1)( 2x) )dx= \int_(2)^(8)\frac(x\sqrt(1+2x))(2x)dx= $$ $$ \frac(1)(2)\int_(2)^( 8) \sqrt(1+2x)dx = \frac(1)(2).\frac(1)(3)\majtas (1+2x \djathtas)^(\frac(3)(2))|_ (2 )^(8)= \frac(1)(6)(17\sqrt(17)-5\sqrt(5)) $$

Shembulli 2

Llogaritni integralin lakor të llojit të parë $\int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl $, ku L është rrethi x 2 +y 2 =ax (a>0).

Zgjidhje: Le të prezantojmë koordinatat polare: $x = r\cos \varphi $, $y=r\sin \varphi $. Atëherë meqenëse x 2 +y 2 =r 2, ekuacioni i rrethit ka formën: $r^(2)=arcos\varphi $, pra $r=acos\varphi $ dhe diferencialin i harkut $$ dl = \ sqrt(r^2+(2)"^2)d\varphi = $$ $$ =\sqrt(a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi )d \varphi=ad\varphi $$ .

Në këtë rast, $\varphi\në \majtas [- \frac(\pi)(2) ,\frac(\pi)(2) \djathtas ] $. Prandaj, $$ \int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl=a\int_(-\frac(\pi )(2))^(\frac(\pi )(2))acos \varphi d\varphi =2a^2 $$

Minimumi teorik
Integralet kurvilineare dhe sipërfaqësore gjenden shpesh në fizikë. Ato vijnë në dy lloje, e para prej të cilave diskutohet këtu. Kjo
lloji i integraleve ndërtohet sipas skemës së përgjithshme, sipas së cilës të përcaktuara, të dyfishta dhe integrale të trefishta. Le të kujtojmë shkurtimisht këtë skemë.
Ekziston një objekt mbi të cilin kryhet integrimi (një-dimensionale, dy-dimensionale ose tre-dimensionale). Ky objekt është i ndarë në pjesë të vogla,
zgjidhet një pikë në secilën pjesë. Në secilën prej këtyre pikave, vlera e integrandit llogaritet dhe shumëzohet me masën e pjesës që
i takon pikë e dhënë(gjatësia e një segmenti, zona ose vëllimi i një rajoni të pjesshëm). Pastaj të gjitha produktet e tilla përmblidhen dhe kufiri plotësohet
kalimi në thyerjen e objektit në pjesë pafundësisht të vogla. Kufiri që rezulton quhet integral.
1. Përkufizimi i një integrali lakor të llojit të parë
Le të shqyrtojmë një funksion të përcaktuar në një kurbë. Kurba supozohet të jetë e korrigjueshme. Le të kujtojmë se çfarë do të thotë kjo, përafërsisht,
se një vijë e thyer me lidhje arbitrare të vogla mund të futet në një kurbë dhe në kufirin e një numri pafundësisht të madh lidhjesh, gjatësia e vijës së thyer duhet të mbetet
final. Lakorja ndahet në harqe të pjesshme të gjatësisë dhe zgjidhet një pikë në secilin prej harqeve. Një vepër po përpilohet
përmbledhja kryhet mbi të gjitha harqet e pjesshme . Pastaj kalimi në kufi kryhet me tendencën e gjatësisë së më të madhes
nga harqet e pjesshme në zero. Kufiri është një integral lakor i llojit të parë
.
Një tipar i rëndësishëm i këtij integrali, që rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i tij, është pavarësia e tij nga drejtimi i integrimit, d.m.th.
.
2. Përkufizimi i integralit sipërfaqësor të llojit të parë
Konsideroni një funksion të përcaktuar në një sipërfaqe të lëmuar ose të lëmuar pjesë-pjesë. Sipërfaqja është e ndarë në zona të pjesshme
me zona, zgjidhet një pikë në secilën zonë të tillë. Një vepër po përpilohet , kryhet përmbledhja
mbi të gjitha zonat e pjesshme . Pastaj kalimi në kufi kryhet me tendencën e diametrit të më të madhit nga të gjitha të pjesshme
zonat në zero. Kufiri është një integral sipërfaqësor i llojit të parë
.
3. Llogaritja e një integrali lakor të llojit të parë
Metoda për llogaritjen e një integrali lakor të llojit të parë mund të shihet tashmë nga shënimi i tij zyrtar, por në fakt rrjedh drejtpërdrejt nga
përkufizimet. Integrali është reduktuar në një të caktuar, ju vetëm duhet të shkruani diferencialin e harkut të kurbës përgjatë së cilës kryhet integrimi.
Le të fillojmë me rastin e thjeshtë të integrimit përgjatë një kurbë të rrafshët të dhënë nga një ekuacion eksplicit. Në këtë rast, diferenciali i harkut
.
Pastaj një ndryshim i ndryshores kryhet në integrand dhe integrali merr formën
,
ku segmenti i përgjigjet ndryshimit të ndryshores përgjatë asaj pjese të kurbës përgjatë së cilës kryhet integrimi.
Shumë shpesh kurba specifikohet parametrikisht, d.m.th. ekuacionet e formës Pastaj diferenciali i harkut
.
Kjo formulë është shumë thjesht e justifikuar. Në thelb, kjo është teorema e Pitagorës. Diferenciali i harkut është në të vërtetë gjatësia e pjesës infiniteminale të kurbës.
Nëse kurba është e lëmuar, atëherë pjesa e saj infiniteminale mund të konsiderohet drejtvizore. Për një vijë të drejtë kemi relacionin
.
Në mënyrë që ajo të kryhet për një hark të vogël të kurbës, duhet të kalohet nga rritjet e fundme në diferenciale:
.
Nëse kurba specifikohet në mënyrë parametrike, atëherë diferencat llogariten thjesht:
etj.
Prandaj, pas ndryshimit të variablave në integrand, integrali i kurbës llogaritet si më poshtë:
,
ku pjesa e kurbës përgjatë së cilës kryhet integrimi i përgjigjet segmentit të ndryshimit të parametrit.
Situata është disi më e ndërlikuar në rastin kur kurba është e specifikuar në koordinata kurvilineare. Kjo çështje zakonisht diskutohet në kuadër të diferencialit
gjeometria. Le të japim një formulë për llogaritjen e integralit përgjatë kurbës së dhënë koordinatat polare ekuacioni:
.
Le të japim një justifikim për diferencialin e harkut në koordinatat polare. Diskutim i detajuar i ndërtimit të rrjetit të sistemit të koordinatave polare
cm . Le të zgjedhim një hark të vogël të kurbës të vendosur në lidhje me linjat koordinative siç tregohet në Fig. 1. Për shkak të vogëlsisë së të gjithë atyre të paraqitur
përsëri mund të zbatojmë teoremën e Pitagorës dhe të shkruajmë:
.
Nga këtu vijon shprehja e dëshiruar për diferencialin e harkut.
Nga një këndvështrim thjesht teorik, është mjaft e thjeshtë të kuptohet se një integral lakor i llojit të parë duhet të reduktohet në rastin e tij të veçantë -
në një integral të caktuar. Në të vërtetë, duke bërë ndryshimin e diktuar nga parametrizimi i lakores përgjatë së cilës llogaritet integrali, ne vendosim
hartëzimi një-për-një ndërmjet një pjese të një kurbë të caktuar dhe një segmenti të ndryshimit të parametrave. Dhe ky është një reduktim në integral
përgjatë një vije të drejtë që përkon me boshti koordinativ- një integral i caktuar.
4. Llogaritja e integralit të sipërfaqes së llojit të parë
Pas pikës së mëparshme, duhet të jetë e qartë se një nga pjesët kryesore të llogaritjes së një integrali sipërfaqësor të llojit të parë është shkrimi i elementit të sipërfaqes,
mbi të cilat kryhet integrimi. Përsëri, le të fillojmë me rastin e thjeshtë të një sipërfaqe të përcaktuar nga një ekuacion eksplicit. Pastaj
.
Bëhet një zëvendësim në integrand dhe integrali i sipërfaqes zvogëlohet në një dyfish:
,
ku është rajoni i rrafshit në të cilin është projektuar pjesa e sipërfaqes mbi të cilën kryhet integrimi.
Megjithatë, shpesh është e pamundur të përcaktohet një sipërfaqe me një ekuacion eksplicit, dhe më pas ajo përcaktohet në mënyrë parametrike, d.m.th. ekuacionet e formës
.
Elementi i sipërfaqes në këtë rast është shkruar më i ndërlikuar:
.
Integrali i sipërfaqes mund të shkruhet në përputhje me rrethanat:
,
ku është zona e ndryshimit të parametrave që korrespondon me pjesën e sipërfaqes mbi të cilën kryhet integrimi.
5. Kuptimi fizik i integraleve curvilineare dhe sipërfaqësore të llojit të parë
Integralet e diskutuara kanë një kuptim fizik shumë të thjeshtë dhe të qartë. Le të ketë ndonjë kurbë, dendësia lineare e së cilës nuk është
konstante, dhe është një funksion i pikës . Le të gjejmë masën e kësaj kurbe. Le ta ndajmë kurbën në shumë elementë të vegjël,
brenda të cilit dendësia e tij përafërsisht mund të konsiderohet konstante. Nëse gjatësia e një pjese të vogël të kurbës është e barabartë me , atëherë masa e saj
, ku është çdo pikë e pjesës së përzgjedhur të kurbës (ndonjë, pasi dendësia është brenda
kjo pjesë përafërsisht supozohet të jetë konstante). Prandaj, masa e të gjithë kurbës merret duke mbledhur masat e pjesëve të saj individuale:
.
Që barazia të bëhet e saktë, duhet shkuar deri në kufirin e ndarjes së kurbës në pjesë infiniteminale, por ky është një integral lakor i llojit të parë.

Çështja e ngarkesës totale të lakores zgjidhet në mënyrë të ngjashme nëse dihet densiteti i ngarkesës lineare .
Këto argumente mund të transferohen lehtësisht në rastin e një sipërfaqeje të ngarkuar jo uniformisht me një densitet të ngarkesës sipërfaqësore . Pastaj
ngarkesa sipërfaqësore është një integral sipërfaqësor i llojit të parë
.
Shënim. Një formulë e rëndë për një element sipërfaqësor të përcaktuar parametrikisht është e papërshtatshme për t'u mbajtur mend. Një shprehje tjetër është marrë në gjeometrinë diferenciale,
ai përdor të ashtuquajturat së pari formë kuadratike sipërfaqet.
Shembuj të llogaritjes së integraleve lakor të llojit të parë
Shembulli 1. Integrale përgjatë një linje.
Llogarit integralin

përgjatë një segmenti vije që kalon nëpër pikat dhe .
Së pari, shkruajmë ekuacionin e vijës së drejtë përgjatë së cilës kryhet integrimi: . Le të gjejmë një shprehje për:
.
Ne llogarisim integralin:
Shembulli 2. Integrale përgjatë një kurbë në një plan.
Llogarit integralin

përgjatë një harku parabole nga pika në pikë.
Pikat e vendosjes dhe ju lejon të shprehni një ndryshore nga ekuacioni i parabolës: .

Ne llogarisim integralin:
.
Megjithatë, u bë e mundur të kryheshin llogaritjet në një mënyrë tjetër, duke përfituar nga fakti se kurba jepet nga një ekuacion i zgjidhur në lidhje me variablin.
Nëse marrim variablin si parametër, kjo do të çojë në një ndryshim të vogël në shprehjen për diferencialin e harkut:
.
Prandaj, integrali do të ndryshojë pak:
.
Ky integral llogaritet lehtësisht duke zëvendësuar variablin nën diferencial. Rezultati është i njëjti integral si në metodën e parë të llogaritjes.
Shembulli 3. Integral përgjatë një kurbë në një plan (duke përdorur parametrizimin).
Llogarit integralin

përgjatë gjysmës së sipërme të rrethit .
Ju, sigurisht, mund të shprehni një nga variablat nga ekuacioni i një rrethi, dhe pastaj të kryeni pjesën tjetër të llogaritjeve në mënyrën standarde. Por ju gjithashtu mund të përdorni
specifikimi i kurbës parametrike. Siç e dini, një rreth mund të përcaktohet me ekuacione. Gjysmërrethi i sipërm
korrespondon me një ndryshim në parametrin brenda . Le të llogarisim diferencialin e harkut:
.
Kështu,
Shembulli 4. Integrale përgjatë një kurbë në një plan të specifikuar në koordinatat polare.
Llogarit integralin

përgjatë lobit të djathtë të lemniskatit .

Vizatimi i mësipërm tregon një lemniskat. Integrimi duhet të kryhet përgjatë lobit të djathtë. Le të gjejmë diferencialin e harkut për kurbën :
.
Hapi tjetër është përcaktimi i kufijve të integrimit mbi këndin polar. Është e qartë se pabarazia duhet të plotësohet, prandaj
.
Ne llogarisim integralin:
Shembulli 5. Integrale përgjatë një kurbë në hapësirë.
Llogarit integralin

përgjatë kthesës së spirales që korrespondon me kufijtë e ndryshimit të parametrave

Lloji i parë.

1.1.1. Përkufizimi i një integrali lakor të llojit të parë

Lëreni në aeroplan Oksi kurba e dhënë (L). Le për çdo pikë në kurbë (L) funksioni i vazhdueshëm i përcaktuar f(x;y). Le të thyejmë harkun AB linjat (L) pika A=P 0, P 1, P n = B në n harqe arbitrare P i -1 P i me gjatesite ( i = 1, 2, n) (Fig. 27)

Le të zgjedhim në çdo hark P i -1 P i pikë arbitrare M i (x i ; y i) , le të llogarisim vlerën e funksionit f(x;y) në pikën M i. Le të bëjmë një shumë integrale

Lere ku.

λ→0 (n→∞), pavarësisht nga metoda e ndarjes së kurbës ( L)në pjesët elementare, as nga zgjedhja e pikave M i integrali lakor i llojit të parë nga funksioni f(x;y)(integral lakor përgjatë gjatësisë së harkut) dhe shënoni:

Komentoni. Përkufizimi i integralit lakor të funksionit paraqitet në mënyrë të ngjashme f(x;y;z) përgjatë lakores hapësinore (L).

Kuptimi fizik i një integrali lakor të llojit të parë:

Nëse (L) - kurbë e sheshtë me një plan linear, atëherë masa e lakores gjendet me formulën:

1.1.2. Karakteristikat themelore të një integrali lakor të llojit të parë:

3. Nëse rruga e integrimit ndahet në pjesë të tilla që , dhe kanë një pikë të vetme të përbashkët, atëherë .

4. Integrali lakor i llojit të parë nuk varet nga drejtimi i integrimit:

5. , ku është gjatësia e lakores.

1.1.3. Llogaritja e një integrali lakor të llojit të parë.

Llogaritja e një integrali lakor reduktohet në llogaritjen e një integrali të caktuar.

1. Lëreni kurbë (L) jepet nga ekuacioni . Pastaj

Kjo do të thotë, diferenciali i harkut llogaritet duke përdorur formulën.

Shembull

Llogaritni masën e një segmenti të drejtë nga një pikë A(1;1) drejt e në temë B(2;4), Nëse .

Zgjidhje

Ekuacioni i drejtëzës që kalon në dy pika: .

Pastaj ekuacioni i drejtëzës ( AB): , .

Le të gjejmë derivatin.

Pastaj . = .

2. Lëreni kurbë (L) specifikuar në mënyrë parametrike: .

Pastaj, domethënë, diferenciali i harkut llogaritet duke përdorur formulën.

Për rastin hapësinor të specifikimit të një lakore: Pastaj

Kjo do të thotë, diferenciali i harkut llogaritet duke përdorur formulën.

Shembull

Gjeni gjatësinë e harkut të lakores, .

Zgjidhje

Ne gjejmë gjatësinë e harkut duke përdorur formulën: .

Për ta bërë këtë, gjejmë diferencialin e harkut.

Le të gjejmë derivatet , , Pastaj gjatësia e harkut: .

3. Lëreni kurbë (L) të specifikuara në sistemin e koordinatave polar: . Pastaj

Kjo do të thotë, diferenciali i harkut do të llogaritet duke përdorur formulën.

Shembull

Llogaritni masën e harkut të drejtëzës, 0≤ ≤ nëse .

Zgjidhje

Ne gjejmë masën e harkut duke përdorur formulën:

Për ta bërë këtë, le të gjejmë diferencialin e harkut.

Le të gjejmë derivatin.

1.2. Integrali lakor i llojit të dytë

1.2.1. Përkufizimi i një integrali lakor të llojit të dytë

Lëreni në aeroplan Oksi kurba e dhënë (L). Lëreni (L) jepet një funksion i vazhdueshëm f(x;y). Le të thyejmë harkun AB linjat (L) pika A = P 0 , P 1 , P n = B në drejtim nga pika A drejt e në temë NË në n harqe arbitrare P i -1 P i me gjatesite ( i = 1, 2, n) (Fig. 28).

Le të zgjedhim në çdo hark P i -1 P i pikë arbitrare M i (x i ; y i), le të llogarisim vlerën e funksionit f(x;y) në pikën M i. Le të bëjmë një shumë integrale, ku - gjatësia e projeksionit të harkut P i -1 P i për aks Oh. Nëse drejtimi i lëvizjes përgjatë projeksionit përkon me drejtimin pozitiv të boshtit Oh, atëherë merret parasysh projeksioni i harqeve pozitive, ndryshe - negativ.

Lere ku.

Nëse ka një kufi për shumën integrale në λ→0 (n→∞), pavarësisht nga metoda e ndarjes së kurbës (L) në pjesë elementare, as nga zgjedhja e pikave M i në çdo pjesë elementare, atëherë ky kufi quhet integrali lakor i llojit të dytë nga funksioni f(x;y)(integrali lakor mbi koordinatë X) dhe shënoni:

Komentoni. Integrali lakor mbi koordinatën y paraqitet në mënyrë të ngjashme:

Komentoni. Nëse (L)është një kurbë e mbyllur, atëherë shënohet integrali mbi të

Komentoni. Nëse në ( L) jepen tre funksione njëherësh dhe nga këto funksione ka integrale , , ,

atëherë thirret shprehja: + + integrali lakor i përgjithshëm i llojit të dytë dhe shkruani:

1.2.2. Karakteristikat themelore të një integrali lakor të llojit të dytë:

3. Kur ndryshon drejtimi i integrimit, integrali lakor i llojit të dytë ndryshon shenjën e tij.

4. Nëse rruga e integrimit është e ndarë në pjesë të tilla që , dhe kanë një pikë të vetme të përbashkët, atëherë

5. Nëse kurba ( L) shtrihet në aeroplan:

Boshti pingul Oh, atëherë =0;

Boshti pingul Oy, Se ;

Boshti pingul Oz, atëherë =0.

6. Një integral lakor i llojit të dytë mbi një kurbë të mbyllur nuk varet nga zgjedhja e pikës së fillimit (varet vetëm nga drejtimi i përshkimit të kurbës).

1.2.3. Kuptimi fizik i një integrali lakor të llojit të dytë.

Puna A forcat lëvizëse pika materiale masë njësi nga një pikë M pikërisht N së bashku ( MN) është e barabartë me:

1.2.4. Llogaritja e një integrali lakor të llojit të dytë.

Llogaritja e një integrali lakor të llojit të dytë reduktohet në llogaritjen e një integrali të caktuar.

1. Lëreni kurbën ( L) jepet nga ekuacioni .

Shembull

Llogaritni ku ( L) - vijë e thyer OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Zgjidhje

Që atëherë (Fig. 29).

1) Ekuacioni (OA): , ,

2) Ekuacioni i një drejtëze (AB): .

2. Lëreni kurbë (L) specifikuar parametrikisht: .