Duke projektuar ekuacionin (1) në boshtet e koordinatave dhe duke marrë parasysh varësinë e forcave të specifikuara nga koordinatat, shpejtësitë dhe koha, marrim ekuacione diferenciale për dinamikën e një pike. Pra, për koordinatat karteziane kemi:

Ekuacionet diferenciale të lëvizjes në një sistem koordinativ cilindrik do të kenë formën

;

Si përfundim, paraqesim ekuacionet diferenciale të dinamikës së një pike në projeksionet në boshtin e një trekëndëshi natyror; Këto ekuacione janë veçanërisht të përshtatshme në rastet kur dihet trajektorja e pikës. Duke projektuar ekuacionin (3.1) në tangjenten, normalen kryesore dhe binormale të trajektores, marrim

, ,

Le të shqyrtojmë tani, duke përdorur shembullin e ekuacioneve të dinamikës së një pike në koordinatat karteziane (3.2), formulimin dhe procesin e zgjidhjes së problemeve të dinamikës së një pike. Ekzistojnë dy probleme kryesore të dinamikës së pikës: drejt Dhe e kundërta. Problemi i parë i dinamikës (i drejtpërdrejtë) është si vijon: jepet lëvizja e një pike me masë , dmth jepen funksionet

kërkohet gjetja e forcave që shkaktojnë këtë lëvizje. Zgjidhja e këtij problemi nuk është e vështirë. Sipas ekuacioneve (3.1) dhe (3.3), gjejmë projeksionet, për të cilat funksionet e dhëna (3.3) i diferencojmë dy herë.

, , (3.4)

Shprehjet (3.4) paraqesin projeksionet e rezultantes së të gjitha forcave që veprojnë në një pikë; Disa nga forcat (ose disa nga projeksionet) mund të njihen, pjesa tjetër (por jo më shumë se tre projeksione) mund të gjenden nga ekuacionet (3.4). Ky problem mund të reduktohet zyrtarisht në zgjidhjen e problemit të statikës nëse e rishkruajmë ekuacionin (3.1) në formën

Këtu është forca e inercisë së një pike projeksioni i së cilës në bosht x, y, z janë të barabarta me shprehjet (3.3) me shenja të kundërta. Reduktimi formal i problemit të dinamikës në problemin e statikës duke futur forca inerciale, që praktikohet mjaft shpesh në problemet e mekanikës, quhet metoda kinetostatike.

Problemi i dytë (i anasjelltë) i dinamikës së pikës është formuluar si më poshtë: në një pikë të masës T, vektori i pozicionit dhe i shpejtësisë së të cilit në momentin fillestar të kohës dihet, veprojnë forcat e dhëna; ju duhet të gjeni lëvizjen e kësaj pike (koordinatat e saj x, y, z) në funksion të kohës. Meqenëse anët e djathta të ekuacioneve (2) janë projeksione të forcave në bosht x, y, z- janë të njohura funksionet e koordinatave, derivatet e tyre të parë dhe koha, atëherë për të marrë rezultatin e kërkuar është e nevojshme të integrohet një sistem prej tre ekuacionesh diferenciale të zakonshme të rendit të dytë. Një zgjidhje analitike për një problem të tillë rezulton të jetë e mundur vetëm në disa raste të veçanta. Megjithatë, metodat numerike bëjnë të mundur zgjidhjen e problemit me pothuajse çdo shkallë të kërkuar të saktësisë. Le të supozojmë se kemi integruar sistemin e ekuacioneve diferenciale (3.2) dhe kemi gjetur shprehje për koordinatat x, y, z në funksion të kohës. Meqenëse sistemi (3.2) është i rendit të gjashtë, gjatë integrimit të tij do të shfaqen gjashtë konstante arbitrare dhe do të marrim shprehjet e mëposhtme për koordinatat:

Për të përcaktuar konstantet (i = 1, 2,... 6) në këtë zgjidhje duhet t'i drejtohemi kushteve fillestare të problemit. Duke shkruar kushtet e deklaruara në lidhje me koordinatat karteziane, kemi kur t= 0

Duke zëvendësuar në shprehjen e gjetur (3.5) grupin e parë të kushteve fillestare (3.6) në t=0, marrim tre ekuacione që lidhen me konstantat e integrimit:

Tre marrëdhëniet që mungojnë gjenden si më poshtë: ne dallojmë ekuacionet e lëvizjes (3.5) në lidhje me kohën dhe zëvendësojmë grupin e dytë të kushteve fillestare (3.6) në shprehjet që rezultojnë në t= 0; ne kemi

Tani duke zgjidhur këto gjashtë ekuacione së bashku, marrim vlerat e dëshiruara të gjashtë konstantave arbitrare të integrimit (i = 1, 2,... 6), duke e zëvendësuar atë në ekuacionet e lëvizjes (3.5), gjejmë zgjidhjen përfundimtare të problemit.

Kur hartoni ekuacione diferenciale të lëvizjes së një pike për një rast specifik, para së gjithash, duhet të vlerësohen veprimet e faktorëve të ndryshëm: të merren parasysh forcat kryesore dhe të hidhen poshtë ato dytësore. Kur zgjidhen probleme të ndryshme teknike, forcat e rezistencës së ajrit dhe forcat e fërkimit të thatë shpesh neglizhohen; Kjo është, për shembull, ajo që bëhet gjatë llogaritjes së frekuencave natyrore të sistemeve osciluese, vlerat e të cilave ndikohen në mënyrë të papërfillshme nga forcat e përmendura. Nëse një trup lëviz afër sipërfaqes së tokës, atëherë graviteti i tij konsiderohet konstant dhe sipërfaqja e tokës konsiderohet e sheshtë; kur largoheni nga sipërfaqja e tokës në distanca të krahasueshme me rrezen e saj, është e nevojshme të merret parasysh ndryshimi i gravitetit me lartësinë, prandaj, në probleme të tilla përdoret ligji i gravitetit të Njutonit.

Forca e rezistencës së ajrit nuk mund të neglizhohet me shpejtësi të lartë të lëvizjes së trupit; në këtë rast, zakonisht miratohet ligji kuadratik i rezistencës (forca e rezistencës konsiderohet proporcionale me katrorin e shpejtësisë së trupit).

(3.6)

Këtu është presioni i shpejtësisë, ρ – dendësia e mediumit në të cilin lëviz pika, – koeficienti i tërheqjes, – madhësia karakteristike tërthore. Megjithatë, siç do të tregohet më poshtë, në disa probleme është e nevojshme të merret parasysh fërkimi i brendshëm në një lëng (gaz), i cili çon në një formulë më të përgjithshme për përcaktimin e forcës së rezistencës.

Nëse trupi lëviz në një mjedis viskoz, atëherë edhe në shpejtësi të ulëta duhet të merret parasysh forca e rezistencës, por në këtë problem mjafton të konsiderohet proporcionale me fuqinë e parë të shpejtësisë.

Shembull. Le të shqyrtojmë problemin e lëvizjes drejtvizore të një pike në një mjedis me rezistencë; forca e rezistencës jepet me shprehjen (3.6). Shpejtësia fillestare e pikës është , shpejtësia përfundimtare është . Është e nevojshme të përcaktohet shpejtësia mesatare e lëvizjes në një interval të caktuar shpejtësie. Nga formula (3.2) kemi

(3.7)

Ky është një ekuacion diferencial me ndryshore të ndashme, zgjidhja e të cilave mund të paraqitet si

,

zgjidhja e të cilave do të shkruhet në formë

(3.8)

Për të përcaktuar distancën e përshkuar, le të kalojmë te koordinatat e reja; për ta bërë këtë, ne shumëzojmë anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit (3.7) me ; Në të njëjtën kohë, ne vërejmë se

,

atëherë edhe këtu fitojmë një ekuacion diferencial me ndryshore të ndashme

,

zgjidhja e të cilave mund të paraqitet në formë

(3.9)

Nga formulat (3.8) dhe (3.9) marrim shprehjen për shpejtësinë mesatare

.

Për shpejtësinë mesatare është .

Por nëse vendosim , atëherë është e lehtë të shihet se në këtë rast dhe, domethënë, trupi në lëvizje nuk do të ndalet kurrë, gjë që, së pari, bie ndesh me sensin e shëndoshë, dhe së dyti, nuk është e qartë se sa do të jetë e barabartë shpejtësia mesatare. . Për të përcaktuar, marrim integrale të majta në diapazonin nga infinitimal ε, atëherë marrim

Ministria e Arsimit Teknik të Përgjithshëm dhe Profesional

Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës MAMI

Departamenti: Mekanika teorike

Abstrakt mbi temën :

Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike.

Zgjidhja e problemeve të dinamikës së pikës.

Studenti: Zinoviev M.Yu.

Grupi: 3-AiU-1

Mësues:

Hyrje në dinamikë. Ligjet e dinamikës.

Konceptet dhe përkufizimet bazë.

Dinamikaështë degë e mekanikës që studion lëvizjen e trupave material nën ndikimin e forcave.

Lëvizja nga një këndvështrim thjesht gjeometrik konsiderohet në kinematikë. Dallimi midis dinamikës është se kur studiohet lëvizja e trupave, merren parasysh si forcat që veprojnë mbi to ashtu edhe inercia e vetë trupave materialë.

Koncepti i forcës, si masa kryesore e veprimit mekanik që ushtrohet mbi një trup material, u prezantua në statikë. Por statika nuk ka të bëjë me çështjen e ndryshimeve të mundshme në forcat vepruese me kalimin e kohës, dhe kur zgjidheshin problemet, të gjitha forcat konsideroheshin konstante. Ndërkohë, së bashku me forcat konstante, mbi një trup lëvizës zakonisht veprojnë forca të ndryshueshme, modulet dhe drejtimet e të cilave ndryshojnë ndërsa trupi lëviz. Në këtë rast, duke pasur parasysh forcat (aktive) ( Aktiv zakonisht quhet një forcë që, pasi ka filluar të veprojë në një trup në qetësi, mund ta vërë atë në lëvizje) dhe reagimet e lidhjeve.

Përvoja tregon se forcat e ndryshueshme mund të varen në një mënyrë të caktuar nga koha, pozicioni i trupit dhe shpejtësia e tij. Në veçanti, forca tërheqëse e një lokomotivë elektrike kur reostati fiket ose ndizet gradualisht, ose forca që shkakton dridhje të themelit kur motori funksionon me një bosht me qendër të dobët, varet nga koha; Forca gravitacionale e Njutonit ose forca elastike e një sustë varet nga pozicioni i trupit; Forcat e rezistencës së mediumit varen nga shpejtësia. Si përfundim, vërejmë se të gjitha konceptet e paraqitura në statikë dhe rezultatet e marra atje vlejnë në mënyrë të barabartë për forcat e ndryshueshme, pasi kushti i qëndrueshmërisë së forcave nuk u përdor askund në statikë.

Inercia e një trupi manifestohet në faktin se ai ruan lëvizjen e tij në mungesë të forcave vepruese dhe kur një forcë fillon të veprojë mbi të, shpejtësitë e pikave të trupit nuk ndryshojnë menjëherë, por gradualisht dhe më shumë. ngadalë, aq më e madhe është inercia e këtij trupi. Një masë sasiore e inercisë së një trupi material quhet një sasi fizike e quajtur masë trupi (Masa është gjithashtu një masë e vetive gravitacionale të një trupi), Në ​​mekanikën klasike, masa T konsiderohet si një sasi skalare, pozitive dhe konstante për çdo trup të caktuar.

Përveç masës totale, lëvizja e një trupi varet, në rastin e përgjithshëm, edhe nga forma e trupit, më saktë nga pozicioni relativ i grimcave që e formojnë atë, d.m.th. mbi shpërndarjen e masave në trup.

Për të abstraguar nga marrja parasysh e formës së trupit (shpërndarja e masës) gjatë studimit fillestar të dinamikës, një koncept abstrakt i pika materiale, si një pikë me masë, dhe studimi i dinamikës fillon me dinamikën e një pike materiale.

Nga kinematika dihet se lëvizja e një trupi në përgjithësi përbëhet nga përkthimore dhe rrotulluese. Gjatë zgjidhjes së problemeve specifike, trupi material mund të konsiderohet si pikë materiale në rastet kur, sipas kushteve të problemit, lejohet të mos merret parasysh pjesa rrotulluese e lëvizjes së trupit. Për shembull, një planet mund të konsiderohet një pikë materiale kur studion lëvizjen e tij rreth Diellit, ose një predhë artilerie kur përcakton rrezen e tij të fluturimit, etj. Prandaj, një trup që lëviz në mënyrë përkthimore mund të konsiderohet gjithmonë si një pikë materiale me një masë të barabartë me masën e të gjithë trupit.

Studimi i dinamikës zakonisht fillon me dinamikën e një pike materiale, pasi është e natyrshme që studimi i lëvizjes së një pike duhet t'i paraprijë studimit të lëvizjes së një sistemi pikash dhe, në veçanti, të një trupi të ngurtë.

LIGJET E DINAMIKËS.

PROBLEMET E DINAMIKËS SË NJË PIKË MATERIALE

Dinamika bazohet në ligjet e vendosura duke përmbledhur rezultatet e një sërë eksperimentesh dhe vëzhgimesh kushtuar studimit të lëvizjes së trupave dhe të verifikuara nga praktika e gjerë shoqërore dhe industriale e njerëzimit. Ligjet e dinamikës u shpjeguan për herë të parë sistematikisht nga I. Newton në veprën e tij klasike "Parimet Matematikore të Filozofisë Natyrore", botuar në 1687. (Ekziston një përkthim i shkëlqyer rusisht i bërë nga A.N. Krymov. Shih: Veprat e mbledhura të Akademik A.N. Krylov, vëll. VII. M.-L., 1936). Këto ligje mund të formulohen si më poshtë.

Ligji i Parë(ligji i inercisë):

një pikë materiale e izoluar nga ndikimet e jashtme ruan gjendjen e saj të prehjes ose lëvizjen e njëtrajtshme drejtvizore derisa forcat e aplikuara ta detyrojnë atë të ndryshojë këtë gjendje. Lëvizja e kryer nga një pikë në mungesë të forcave quhet lëvizje nga inercia.

Ligji i inercisë pasqyron një nga vetitë themelore të materies - të mbetet pa ndryshim në lëvizje. Është e rëndësishme të theksohet se zhvillimi i dinamikës si shkencë u bë i mundur vetëm pasi Galileo zbuloi këtë ligj (1638) dhe në këtë mënyrë hodhi poshtë pikëpamjen mbizotëruese që nga koha e Aristotelit se lëvizja e një trupi mund të ndodhë vetëm nën ndikimin e forcës.

Një pyetje e rëndësishme është në lidhje me cilën kornizë referimi vlen ligji i inercisë. Njutoni supozoi se kishte një hapësirë ​​fikse (absolute) në lidhje me të cilën ky ligj ishte i vërtetë. Por sipas pikëpamjeve moderne, hapësira është një formë e ekzistencës së materies, dhe një lloj hapësire absolute, vetitë e së cilës nuk varen nga lënda që lëviz në të, nuk ekziston. Ndërkohë, duke qenë se ligji ka një origjinë eksperimentale (Galileo gjithashtu theksoi se ky ligj mund të arrihet duke marrë parasysh lëvizjen e një topi në një plan të pjerrët me një kënd prirjeje gjithnjë në rënie), duhet të ekzistojnë sisteme referimi në të cilat kjo ligji do të përmbushet në shkallë të ndryshme të përafrimit. Në këtë drejtim, në mekanikë, duke lëvizur, si zakonisht, në abstraksion shkencor, ata prezantojnë konceptin e një sistemi referimi në të cilin ligji i inercisë është i vlefshëm, postulojnë ekzistencën e tij dhe thërrasin sistemi i referencës inerciale.

Nëse një sistem i caktuar referimi real mund të konsiderohet si inercial kur zgjidhen probleme të caktuara të mekanikës, përcaktohet duke kontrolluar se në çfarë mase rezultatet e marra nën supozimin se ky sistem është inercial konfirmohen nga përvoja. Sipas përvojës, për sistemin tonë diellor një sistem referimi mund të konsiderohet inercial me një shkallë të lartë saktësie, origjina e të cilit është në qendër të Diellit dhe boshtet drejtohen te të ashtuquajturit yje fiks. Gjatë zgjidhjes së shumicës së problemeve teknike, korniza inerciale, me saktësi të mjaftueshme për praktikë, mund të konsiderohet një sistem referimi i lidhur fort me Tokën.

Ligji i dytë(ligji bazë i dinamikës)

përcakton se si shpejtësia e një pike ndryshon kur një forcë vepron mbi të, përkatësisht: produkti i masës së një pike materiale dhe nxitimi që ajo merr nën veprimin e një force të caktuar është i barabartë në madhësi me këtë forcë, dhe drejtimi i nxitimit përkon me drejtimin e forcës.

Matematikisht, ky ligj shprehet me barazinë e vektorit

Në këtë rast, ekziston një marrëdhënie midis moduleve të nxitimit dhe forcës

ta= F. (1")

Ligji i dytë i dinamikës, si i pari, zhvillohet vetëm në lidhje me kornizën inerciale të referencës. Nga ky ligj është menjëherë e qartë se masa e inercisë së një pike materiale është masa e saj, pasi nën veprimin e një force të caktuar, një pikë masa e së cilës është më e madhe, domethënë më inerte, do të marrë më pak nxitim dhe anasjelltas.

Nëse disa forca veprojnë në një pikë në të njëjtën kohë, atëherë, siç vijon nga ligji i paralelogramit të forcave, ato do të jenë ekuivalente me një forcë, d.m.th., rezultante , e barabartë me shumën gjeometrike të këtyre forcave. Ekuacioni që shpreh ligjin bazë të dinamikës merr formën në këtë rast

I njëjti rezultat mund të merret duke përdorur në vend të ligjit paralelogram ligji i veprimit të pavarur të forcave, sipas të cilit, kur disa forca veprojnë njëkohësisht në një pikë, secila prej tyre i jep pikës të njëjtin nxitim që do të jepte nëse do të vepronte e vetme.

Ligji i tretë(ligji i barazisë së veprimit dhe reagimit) përcakton natyrën e ndërveprimit mekanik ndërmjet trupave materiale. Për dy pika materiale thuhet:

dy pika materiale veprojnë mbi njëra-tjetrën me forca të barabarta në madhësi dhe të drejtuara përgjatë vijës së drejtë që lidh këto pika në drejtime të kundërta.

Ky ligj përdoret në statikë. Ai luan një rol të madh në dinamikën e një sistemi pikash materiale, pasi vendos marrëdhëniet midis forcave të brendshme që veprojnë në këto pika.

Kur dy pika të lira materiale ndërveprojnë, ato, sipas ligjit të tretë dhe të dytë të dinamikës, do të lëvizin me nxitime në përpjesëtim të zhdrejtë me masat e tyre.

Problemet e dinamikës. Për një pikë materiale të lirë, problemet e dinamikës janë si më poshtë:

1) duke ditur ligjin e lëvizjes së një pike, përcaktoni forcën që vepron në të (problemi i parë i dinamikës);

2) 2) duke ditur forcat që veprojnë në një pikë, përcaktoni ligjin e lëvizjes së pikës (e dyta, ose detyra kryesore e dinamikës).

Për një pikë materiale jo të lirë, domethënë një pikë në të cilën vendoset një kufizim, duke e detyruar atë të lëvizë përgjatë një sipërfaqe ose kurbë të caktuar, detyra e parë e dinamikës është zakonisht të përcaktojë reagimin e kufizimit, duke ditur lëvizjen e pika dhe forcat aktive që veprojnë mbi të. Detyra e dytë (kryesore) e dinamikës gjatë lëvizjes jo të lirë ndahet në dysh dhe konsiston në njohjen e forcave aktive që veprojnë në një pikë për të përcaktuar: a) ligjin e lëvizjes së pikës, b) reagimin e kufizimit të vendosur.

SISTEMET E NJËSISË

Për të matur të gjitha madhësitë mekanike, mjafton të futen njësi matëse të rreth tre madhësive që janë të pavarura nga njëra-tjetra. Dy prej tyre konsiderohen si njësi të gjatësisë dhe kohës. Si e treta, rezulton të jetë më e përshtatshme për të zgjedhur njësinë e matjes së masës ose forcës. Meqenëse këto sasi janë të lidhura me barazi (1), është e pamundur të zgjidhet një njësi matëse për secilën prej tyre në mënyrë arbitrare. Kjo nënkupton mundësinë e futjes së dy sistemeve të njësive në mekanikë që janë thelbësisht të ndryshme nga njëra-tjetra.

Lloji i parë i sistemeve të njësive.

Në këto sisteme, njësitë e gjatësisë, kohës dhe masës merren si bazë dhe forca matet me një njësi derivatore.

Këto sisteme përfshijnë Sistemin Ndërkombëtar të Matjes së Madhësive Fizike (SI), në të cilin njësitë kryesore të matjes së sasive mekanike janë metri (m), kilogrami i masës (kg) dhe sekonda (s). Njësia matëse e forcës është njësia e prejardhur - 1 njuton (N);

1 N është forca që i jep një nxitim prej 1 m/s 2 në një masë prej 1 kg (1 N = 1 kg-m/s 2). Sa janë 1 m, 1 kg dhe 1 s dihet nga një kurs fizikë. Sistemi Ndërkombëtar i Njësive (SI) është prezantuar në Rusi si sistemi i preferuar që nga viti 1961

Lloji i dytë i sistemeve të njësive.

Në këto sisteme si bazë merren njësitë e gjatësisë, kohës dhe forcës dhe masa matet me një njësi derivative.

Sisteme të tilla përfshijnë sistemin MKGSS, i cili u përdor gjerësisht në teknologji, në të cilin njësitë kryesore janë metri (m), kilogrami i forcës (kg) dhe sekonda (s). Njësia e matjes së masës në këtë sistem do të jetë 1 kgf 2 / m, d.m.th masa të cilës një forcë prej 1 kg i jep një nxitim 1 m/s 2.

Marrëdhënia ndërmjet njësive të forcës në sistemet SI dhe MKGSS është si më poshtë: 1 kg = 9,81 N ose 1 N = 0,102 kg.

Si përfundim, duhet theksuar se është e nevojshme të bëhet dallimi midis koncepteve dimension magnitudë dhe njësi saj matjet. Dimensioni përcaktohet vetëm nga lloji i ekuacionit që shpreh vlerën e një sasie të caktuar, dhe njësia e matjes varet edhe nga zgjedhja e njësive bazë. Për shembull, nëse, siç është zakon, shënojmë dimensionet e gjatësisë, kohës dhe masës, përkatësisht, me simbolet L, T dhe M. , pastaj dimensioni i shpejtësisë L/T , dhe njësia matëse mund të jetë 1 m/s, 1 km/h etj.

LLOJET KRYESORE TË FORCAVE

Le të shqyrtojmë forcat e mëposhtme konstante ose të ndryshueshme (ligjet e ndryshimit të forcave të ndryshueshme, si rregull, vendosen në mënyrë eksperimentale).

Graviteti. Është një forcë konstante , që vepron në çdo trup që ndodhet afër sipërfaqes së tokës. Moduli i gravitetit është i barabartë me peshën e trupit.

Përvoja ka vërtetuar se nën ndikimin e forcës, çdo trup që bie lirisht në Tokë (nga një lartësi e vogël dhe në hapësirën pa ajër) ka të njëjtin nxitim. , thirrur përshpejtimi i rënies së lirë, dhe ndonjehere nxitimi i gravitetit ( Ligji i rënies së lirë të trupave u zbulua nga Galileo. Vlera e q është e ndryshme në vende të ndryshme në sipërfaqen e tokës; varet nga gjerësia gjeografike e vendit mbi nivelin e detit. Në gjerësinë gjeografike të Moskës (në nivelin e detit) q = 9,8156 m/s2

Pastaj nga ekuacioni (1") rezulton se

P=t q ose t=P/ q. (3)

Këto barazi bëjnë të mundur, duke ditur masën e një trupi, të përcaktohet pesha e tij (moduli i forcës së rëndesës që vepron mbi të) ose, duke ditur peshën e një trupi, të përcaktohet masa e tij. Pesha trupore ose graviteti, si dhe vlera e q , ndryshimi me ndryshimet në gjerësi dhe lartësi; masa është një sasi konstante për një trup të caktuar.

Forca e fërkimit . Kjo është ajo që ne do ta quajmë shkurtimisht forcën e fërkimit rrëshqitës që vepron (në mungesë të lubrifikantit të lëngshëm) në një trup në lëvizje. Moduli i tij përcaktohet nga barazia

ku f është koeficienti i fërkimit, të cilin do ta konsiderojmë konstant;

N- reagim normal.

Graviteti . Kjo është forca me të cilën dy trupa materiale tërhiqen nga njëri-tjetri sipas ligjit të gravitetit universal të zbuluar nga Njutoni. Forca gravitacionale varet nga distanca dhe për dy pika materiale me masë dhe të vendosura në një distancë r nga njëra-tjetra, ajo shprehet me barazinë

ku f është konstanta gravitacionale (në SI/=6,673* ).

Forca elastike . Kjo forcë varet edhe nga distanca. Vlera e tij mund të përcaktohet bazuar në ligjin e Hooke-it, sipas të cilit sforcimi (forca për njësi sipërfaqe) është proporcionale me deformimin. Në veçanti, për forcën elastike të sustave marrim vlerën

ku l është zgjatimi (ose ngjeshja) e sustës; Me - i ashtuquajturi koeficienti i ngurtësisë së sustës (në SI i matur në N/m).

Forca viskoze e fërkimit . Kjo forcë e varur nga shpejtësia vepron mbi një trup kur ai lëviz ngadalë në një mjedis shumë viskoz (ose në prani të një lubrifikuesi të lëngshëm) dhe mund të shprehet me barazinë

Ku v- shpejtësia e trupit; m , - koeficienti i rezistencës. Një varësi e formës (7) mund të merret bazuar në ligjin e fërkimit viskoz të zbuluar nga Njutoni.

Forca e tërheqjes aerodinamike (hidrodinamike). . Kjo forcë varet gjithashtu nga shpejtësia dhe vepron në një trup që lëviz, për shembull, në një mjedis të tillë si ajri ose uji. Zakonisht vlera e tij shprehet me barazi

(8)

ku p është dendësia e mediumit; S është zona e projeksionit të trupit në një plan pingul me drejtimin e lëvizjes (zona e mesit);

Cx: është një koeficient tërheqjeje pa dimension, zakonisht përcaktohet në mënyrë eksperimentale dhe në varësi të formës së trupit dhe mënyrës se si orientohet gjatë lëvizjes.

Inerte dhe masë gravitacionale.

Për të përcaktuar në mënyrë eksperimentale masën e një trupi të caktuar, mund të vazhdohet nga ligji (1), ku masa përfshihet si masë e inercisë dhe për këtë arsye quhet masë inerciale. Por mund të nisemi edhe nga ligji (5), ku masa përfshihet si masë e vetive gravitacionale të një trupi dhe quhet, në përputhje me rrethanat, masë gravitacionale (ose e rëndë). Në parim, nga askund nuk rezulton se masat inerciale dhe gravitacionale përfaqësojnë të njëjtën sasi. Sidoqoftë, një numër eksperimentesh kanë vërtetuar se vlerat e të dy masave përkojnë me një shkallë shumë të lartë saktësie (sipas eksperimenteve të kryera nga fizikanët sovjetikë (1971), me një saktësi prej ). Ky fakt i vërtetuar eksperimentalisht quhet parimi i ekuivalencës. Ajnshtajni e bazoi atë në teorinë e tij të përgjithshme të relativitetit (teoria e gravitetit).

Bazuar në sa më sipër, në mekanikë ata përdorin termin e vetëm "masë", duke përcaktuar masën si masë e inercisë së një trupi dhe vetive të tij gravitacionale.

EKUACIONET DIFERENCIALE TË LËVIZJES SË NJË PIKE. ZGJIDHJA E PROBLEMEVE TË DINAMIKËS SË PIKËS

EKUACIONET DIFERENCIALE TË LËVIZJES SË NJË PIKË MATERIALE

Për të zgjidhur problemet e dinamikës së pikës, ne do të përdorim një nga dy sistemet e mëposhtme të ekuacioneve.

Ekuacionet në koordinatat karteziane .

Nga kinematika dihet se lëvizja e një pike në koordinatat karteziane drejtkëndore jepet nga ekuacionet:

Problemet e dinamikës së një pike janë të përcaktojnë forcën që vepron në pikë, duke ditur lëvizjen e pikës, d.m.th., ekuacionin (9), ose, anasjelltas, duke ditur forcat që veprojnë në pikë, të përcaktojnë ligjin e lëvizjes së saj. , d.m.th. ekuacioni (9). Rrjedhimisht, për të zgjidhur problemet e dinamikës së një pike, është e nevojshme të kemi ekuacione që lidhen me koordinatat x, y, zg kjo pikë dhe forca (ose forcat) që veprojnë mbi të. Këto ekuacione japin ligjin e dytë të dinamikës.

Le të shqyrtojmë një pikë materiale që lëviz nën veprimin e forcave ., në lidhje me kornizën inerciale të referencës Ohug. Projektimi i të dy anëve të barazisë (2), d.m.th. barazia e boshtit x, y, zg dhe duke pasur parasysh atë etj., marrim

(10)

ose, duke treguar derivatet e dyta në lidhje me kohën me dy pika,

Këto do të jenë ekuacionet e kërkuara, d.m.th. ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike në koordinatat karteziane drejtkëndëshe. Meqenëse forcat vepruese mund të varen nga koha t, në pozicionin e pikës, pra në koordinatat e saj x, y, z, dhe në shpejtësinë, d.m.th., në , atëherë në rastin e përgjithshëm ana e djathtë e secilit prej ekuacioneve (10) mund të jetë funksion i të gjitha këtyre ndryshoreve, d.m.th. t, x, y, z, njëkohësisht.

Ekuacionet në projeksionet në boshtet e një trekëndëshi natyror . Për të marrë këto ekuacione, ne projektojmë të dyja anët e barazisë në bosht M t nb, ato. në një tangjente M t: të trajektoret e pikave, normale kryesore Deputeti, drejtuar drejt konkavitetit të trajektores, dhe binormales Mb

Pastaj, duke marrë parasysh se , , ne marrim

(11)

Ekuacionet (11), ku v=ds!dt, përfaqësojnë ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike në projeksionet në boshtin e një trekëndëshi natyror.

ZGJIDHJA E PROBLEMIT TË PARË DINAMIKËS

(PERCAKTIMI I FORCAVE ME LEVIZJE TE DHUR)

Nëse jepet nxitimi i një pike lëvizëse, atëherë forca vepruese ose reagimi i lidhjes gjendet menjëherë duke përdorur ekuacionet (1) ose (2). Në këtë rast, për të llogaritur reagimin, është e nevojshme të njihen gjithashtu forcat aktive. Kur nxitimi nuk specifikohet drejtpërdrejt, por ligji i lëvizjes së pikës është i njohur, atëherë ekuacionet (10) ose (11) mund të përdoren për të përcaktuar forcën.

ZGJIDHJA E PROBLEMIT KRYESOR TË DINAMIKËS ME LËVIZJE REKTOLINEARE TË NJË PIKË

Lëvizja e një pike materiale do të jetë drejtvizore kur forca që vepron mbi të (ose rezultanta e forcave të aplikuara) ka një drejtim konstant dhe shpejtësia e pikës në momentin fillestar të kohës është zero ose e drejtuar përgjatë forcës.

Nëse gjatë lëvizjes drejtvizore, boshti i koordinatave drejtohet përgjatë trajektores Oh, atëherë lëvizja e pikës do të përcaktohet nga ekuacioni i parë (10), d.m.th., nga ekuacioni

ose (12)

Ekuacioni (12) quhet ekuacioni diferencial i lëvizjes drejtvizore të një pike. Ndonjëherë është më e përshtatshme për ta zëvendësuar atë me dy ekuacione që përmbajnë derivatet e parë:

(13)

Në rastet kur, kur zgjidhet një problem, është e nevojshme të kërkohet varësia e shpejtësisë nga koordinata x, dhe jo nga koha t (ose kur vetë forcat varen nga x), ekuacioni (13) shndërrohet në ndryshoren x. . Meqenëse dVx/dt=dVx/dx*dx/dt=dVx/dx*Vx, atëherë në vend të (13) marrim

(14)

Zgjidhja e problemit kryesor të dinamikës zbret në gjetjen e ligjit të lëvizjes së një pike nga këto ekuacione, duke njohur forcat, d.m.th. x=f(t). Për ta bërë këtë, ju duhet të integroni ekuacionin diferencial përkatës. Për ta bërë më të qartë se për çfarë konsiston ky problem matematikor, kujtojmë se forcat e përfshira në anën e djathtë të ekuacionit (12) mund të varen nga koha t, nga pozicioni i pikës, d.m.th X, dhe nga shpejtësia e tij, T. e. nga Vy=x. Prandaj, në rastin e përgjithshëm, ekuacioni (12) nga pikëpamja matematikore është një ekuacion diferencial i rendit të dytë që ka formën .

Nëse për këtë problem specifik integrohet ekuacioni diferencial (12), atëherë zgjidhja që rezulton do të përfshijë dy konstante të integrimit dhe dhe vendim të përbashkët ekuacioni (12) do të ketë formën

(15)

Për të përfunduar zgjidhjen e çdo problemi specifik, është e nevojshme të përcaktohen vlerat e konstantave. Për këtë qëllim, të ashtuquajturat kushtet fillestare.

Ne do të fillojmë studimin e çdo lëvizjeje nga një pikë e caktuar në kohë, e quajtur momenti i fillimit. Nga ky moment do të llogarisim kohën e lëvizjes, duke pasur parasysh se në momentin fillestar t=0. Zakonisht, momenti fillestar i lëvizjes nën ndikimin e forcave të dhëna merret si moment fillestar. Pozicioni që zë një pikë në momentin fillestar quhet pozicioni fillestar dhe shpejtësia e saj në këtë moment është shpejtësia fillestare(një pikë mund të ketë një shpejtësi fillestare ose sepse para momentit t=0 lëvizte me inerci, ose si rezultat i një veprimi mbi të deri në momentin t =0 disa forca të tjera). Për të zgjidhur problemin kryesor të dinamikës, përveç forcave vepruese, duhet edhe të dihet kushtet fillestare, d.m.th., pozicioni dhe shpejtësia e pikës në momentin fillestar të kohës.

Në rastin e lëvizjes drejtvizore, kushtet fillestare janë të specifikuara në formular

Në t=0, . (16)

Duke përdorur kushtet fillestare, mund të përcaktoni vlera specifike të konstanteve dhe të gjeni zgjidhje private ekuacioni (12), i cili jep ligjin e lëvizjes së një pike në formë

Duke përdorur ekuacionet diferenciale të lëvizjes, zgjidhet problemi i dytë i dinamikës. Rregullat për kompozimin e ekuacioneve të tilla varen nga mënyra se si duam të përcaktojmë lëvizjen e një pike.

1) Përcaktimi i lëvizjes së një pike duke përdorur metodën e koordinatave.

Le të shqyrtojmë një pikë të lirë materiale që lëviz nën ndikimin e forcave , ,.., . Le të vizatojmë boshtet e koordinatave fikse Oxyz(Fig. 4). Duke projektuar të dyja anët e barazisë në këto boshte dhe duke marrë parasysh këtë, etj., marrim ekuacionet diferenciale të lëvizjes kurvilineare të një pike në projeksionet në boshtet e një sistemi koordinativ kartezian drejtkëndor:

Fig.4

Meqenëse forcat që veprojnë në një pikë mund të varen nga koha, nga pozicioni i pikës dhe nga shpejtësia e saj, anët e djathta të ekuacioneve mund të përmbajnë kohë t, koordinatat e pikave x, y, z dhe parashikimet e shpejtësisë së tij. Për më tepër, ana e djathtë e çdo ekuacioni mund të përfshijë të gjitha këto variabla.

Për të zgjidhur problemin kryesor të dinamikës duke përdorur këto ekuacione, është e nevojshme, përveç forcave vepruese, të njihen kushtet fillestare, d.m.th. pozicioni dhe shpejtësia e pikës në momentin fillestar. Në akset koordinative Oxyz kushtet fillestare jepen në formën: në

Duke ditur forcat vepruese, pasi të integrojmë ekuacionet do të gjejmë koordinatat x, y, z pika lëvizëse në funksion të kohës t, ato. Le të gjejmë ligjin e lëvizjes së një pike.

Shembulli 3. Le të studiojmë lëvizjen e një trupi të hedhur me një shpejtësi fillestare në një kënd me horizontin, duke e konsideruar atë si pikë materiale të masës T. Në këtë rast, ne do të neglizhojmë rezistencën e ajrit dhe do ta konsiderojmë fushën e gravitetit të jetë uniforme ( R=konst), duke supozuar se diapazoni i fluturimit dhe lartësia e trajektores janë të vogla në krahasim me rrezen e Tokës.

Le të vendosim origjinën RRETH në pozicionin e fillimit të pikës. Le ta drejtojmë boshtin vertikalisht lart; boshti horizontal kau vendoseni në një aeroplan që kalon Oh dhe vektori dhe boshti Oz le ta vizatojmë pingul me dy boshtet e para (Fig. 5). Pastaj këndi ndërmjet vektorit dhe boshtit kau do të jetë e barabartë me .

Fig.5

Le të përshkruajmë një pikë lëvizëse M diku përgjatë trajektores. Pika ndikohet vetëm nga forca e rëndesës, projeksionet e së cilës në boshtet koordinative janë të barabarta me: , , .

Zëvendësimi i këtyre sasive në ekuacione diferenciale dhe shënimi se, etj. jemi pas reduktimit me m marrim:

Duke shumëzuar të dyja anët e këtyre ekuacioneve me dt dhe duke u integruar, gjejmë:

Kushtet fillestare në problemin tonë kanë formën:

në t=0:

Duke plotësuar kushtet fillestare do të kemi:

, , .

Zëvendësimi i këtyre vlerave ME 1 , ME 2 dhe ME 3 në zgjidhjen e gjetur më sipër dhe duke e zëvendësuar , , Le të arrijmë te ekuacionet:

Duke integruar këto ekuacione, marrim:

Zëvendësimi i të dhënave fillestare jep ME 4 =ME 5 =ME 6 =0, dhe në fund gjejmë ekuacionet e lëvizjes së pikës M si:

Nga ekuacioni i fundit rezulton se lëvizja ndodh në rrafsh Oksi.

Duke pasur ekuacionin e lëvizjes së një pike, është e mundur të përcaktohen të gjitha karakteristikat e një lëvizjeje të caktuar duke përdorur metoda kinematike.

1. Trajektorja e një pike. Duke përjashtuar kohën t nga dy ekuacionet e para (1), marrim ekuacionin e trajektores së pikës:

Ky është ekuacioni i një parabole me një bosht paralel me boshtin Oh. Kështu, Një pikë e rëndë e hedhur në një kënd me horizontin lëviz në hapësirën pa ajër përgjatë një parabole (Galileo).

2. Gama horizontale. Le të përcaktojmë diapazonin horizontal, d.m.th. matur përgjatë boshtit Oh distancë OS=X. Duke supozuar në barazi (2) y=0, gjeni pikat e kryqëzimit të trajektores me boshtin Oh. Nga ekuacioni:

marrim

Zgjidhja e parë jep pikën RRETH, pika e dytë ME. Prandaj, X=X 2 dhe në fund

Nga formula (3) është e qartë se i njëjti varg horizontal X do të fitohet në një kënd për të cilin, d.m.th. nëse këndi . Rrjedhimisht, me një shpejtësi të caktuar fillestare, e njëjta pikë C mund të arrihet nga dy trajektore: e sheshtë () dhe e montuar ().

Për një shpejtësi të caktuar fillestare, diapazoni më i madh horizontal në hapësirën pa ajër fitohet kur, d.m.th. në kënd

3. Lartësia e trajektores. Nëse vendosim ekuacionin (2)

Pastaj gjejmë lartësinë e trajektores N:

4. Koha e fluturimit. Nga ekuacioni i parë i sistemit (1) rezulton se koha totale e fluturimit T përcaktohet nga barazia . Zëvendësimi këtu X vlerën e saj, ne e marrim

Në këndin e diapazonit më të madh, të gjitha vlerat e gjetura janë të barabarta:

Rezultatet e marra janë praktikisht mjaft të zbatueshme për përcaktimin e përafërt të karakteristikave të fluturimit të predhave (raketave) me rreze veprimi prej 200...600 km. , pasi në këto vargje (dhe në ) predha kalon pjesën kryesore të rrugës së saj në stratosferë, ku rezistenca e ajrit mund të neglizhohet. Në intervale më të shkurtra, rezultati do të ndikohet shumë nga rezistenca e ajrit, dhe në intervalet mbi 600 km graviteti nuk mund të konsiderohet më konstant.

Shembulli 4. Nga një top i montuar në një lartësi h, gjuajti një e shtënë në një kënd në horizontale (Fig. 6). Topi doli me shpejtësi nga tyta e armës u. Le të përcaktojmë ekuacionet e lëvizjes së bërthamës.

Fig.6

Për të hartuar saktë ekuacionet diferenciale të lëvizjes, është e nevojshme të zgjidhen probleme të tilla sipas një skeme të caktuar.

a) Caktoni një sistem koordinativ (numri i akseve, drejtimi dhe origjina e tyre). Akset e zgjedhura mirë thjeshtojnë zgjidhjen.

b) Tregoni një pikë në një pozicion të ndërmjetëm. Në këtë rast, është e nevojshme të sigurohet që koordinatat e këtij pozicioni të jenë domosdoshmërisht pozitive (Fig. 6).

c) Tregoni forcat që veprojnë në pikën në këtë pozicion të ndërmjetëm (mos tregoni forcat inerciale!).

Në këtë shembull, është vetëm forca, pesha e bërthamës. Ne nuk do të marrim parasysh rezistencën e ajrit.

d) Hartoni ekuacione diferenciale duke përdorur formulat: . Nga këtu marrim dy ekuacione: dhe .

e) Zgjidh ekuacionet diferenciale.

Siç mund të shihet nga ky shembull, skema e zgjidhjes së problemit është mjaft e thjeshtë. Vështirësitë mund të lindin vetëm kur zgjidhen ekuacionet diferenciale, gjë që mund të jetë e vështirë.

2) Përcaktimi i lëvizjes së një pike në mënyrë të natyrshme.

Metoda e koordinatave zakonisht përcakton lëvizjen e një pike që nuk kufizohet nga asnjë kusht ose lidhje. Nëse vendosen kufizime në lëvizjen e një pike, në shpejtësinë ose koordinatat, atëherë përcaktimi i një lëvizjeje të tillë duke përdorur një metodë koordinative nuk është aspak e lehtë. Është më i përshtatshëm për të përdorur një mënyrë natyrale për të specifikuar lëvizjen.

Le të përcaktojmë, për shembull, lëvizjen e një pike përgjatë një linje të caktuar fikse, përgjatë një trajektoreje të caktuar (Fig. 7).

Fig.7

Drejt e në temë M Krahas forcave të dhëna aktive vepron edhe reaksioni i vijës. Tregojmë përbërësit e reaksionit përgjatë boshteve natyrore

Ligji bazë i mekanikës, siç tregohet, vendos për një pikë materiale një lidhje midis elementeve kinematike (w - nxitimi) dhe kinetikë ( - masa, F - forca) në formën:

Është i vlefshëm për sistemet inerciale që zgjidhen si sisteme kryesore, prandaj nxitimi që shfaqet në të me arsye mund të quhet nxitimi absolut i një pike.

Siç tregohet, forca që vepron në një pikë, në rastin e përgjithshëm, varet nga koha e pozicionit të pikës, e cila mund të përcaktohet nga vektori i rrezes dhe shpejtësia e pikës. Zëvendësimi i nxitimit të pikës me shprehjen e saj përmes vektori i rrezes, ne shkruajmë ligjin bazë të dinamikës në formën:

Në hyrjen e fundit, ligji themelor i mekanikës është një ekuacion diferencial i rendit të dytë që shërben për të përcaktuar ekuacionin e lëvizjes së një pike në formë të fundme. Ekuacioni i dhënë më sipër quhet ekuacioni i lëvizjes së një pike në formë diferenciale dhe vektoriale.

Ekuacioni diferencial i lëvizjes së një pike në projeksione mbi koordinatat karteziane

Integrimi i një ekuacioni diferencial (shih më lart) në rastin e përgjithshëm është një problem kompleks dhe zakonisht për ta zgjidhur atë kalohet nga një ekuacion vektorial në ekuacione skalare. Meqenëse forca që vepron në një pikë varet nga pozicioni kohor i pikës ose koordinatat e saj dhe shpejtësia e pikës ose projeksioni i shpejtësisë, atëherë, duke treguar projeksionin e vektorit të forcës në një sistem koordinativ drejtkëndor, ekuacionet diferenciale të Lëvizja e pikës në formë skalare do të ketë formën:

Forma natyrore e ekuacioneve diferenciale të lëvizjes së një pike

Në rastet kur trajektorja e një pike dihet paraprakisht, për shembull, kur vendoset një lidhje në pikën që përcakton trajektoren e saj, është e përshtatshme të përdoret projeksioni i ekuacionit vektorial të lëvizjes mbi boshtet natyrore të drejtuara përgjatë tangjentes. , normalja kryesore dhe binormalja e trajektores. Projeksionet e forcës, të cilat ne do t'i quajmë në përputhje me rrethanat, në këtë rast do të varen nga koha t, pozicioni i pikës, i cili përcaktohet nga harku i trajektores dhe shpejtësia e pikës, ose që nga nxitimi përmes projeksioneve në akset natyrore shkruhet në formën:

atëherë ekuacionet e lëvizjes në projeksion mbi boshtet natyrore kanë formën:

Ekuacionet e fundit quhen ekuacione natyrore të lëvizjes. Nga këto ekuacione rezulton se projeksioni i forcës që vepron në një pikë mbi binormalen është zero dhe projeksioni i forcës në normalen kryesore përcaktohet pas integrimit të ekuacionit të parë. Në të vërtetë, nga ekuacioni i parë do të përcaktohet si funksion i kohës t për një të dhënë atëherë, duke zëvendësuar në ekuacionin e dytë do të gjejmë pasi për një trajektore të caktuar dihet rrezja e lakimit të saj.

Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike në koordinata kurvilinare

Nëse pozicioni i një pike përcaktohet nga koordinatat e saj lakor, atëherë duke projektuar ekuacionin vektorial të lëvizjes së pikës në drejtimet e tangjenteve në vijat e koordinatave, marrim ekuacionet e lëvizjes në formë.

Artikuj të ngjashëm