Momenti i inercisë. Momenti i inercisë së trupit në raport me boshtin Momenti i inercisë relative

Le të ketë një trup të fortë. Le të zgjedhim një vijë të drejtë OO (Fig. 6.1), të cilën do ta quajmë bosht (drejtesa OO mund të jetë jashtë trupit). Le ta ndajmë trupin në seksione elementare (pika materiale) me masa
ndodhet në një distancë nga boshti
përkatësisht.

Momenti i inercisë së një pike materiale në lidhje me një bosht (OO) është produkti i masës së një pike materiale me katrorin e distancës së saj me këtë bosht:

. (6.1)

Momenti i inercisë (MI) i një trupi në lidhje me një bosht (OO) është shuma e produkteve të masave të seksioneve elementare të trupit me katrorin e distancës së tyre me boshtin:

. (6.2)

Siç mund ta shihni, momenti i inercisë së një trupi është një sasi shtesë - momenti i inercisë së të gjithë trupit në lidhje me një bosht të caktuar e barabartë me shumën momentet e inercisë së pjesëve të tij individuale në raport me të njëjtin bosht.

Në këtë rast

Momenti i inercisë matet në kgm 2. Sepse

, (6.3)

ku  - dendësia e substancës,
- vëllimi i- seksioni, atëherë

ose, duke lëvizur në elemente infinite të vogla,

. (6.4)

Formula (6.4) është e përshtatshme për t'u përdorur për të llogaritur MI të trupave homogjenë me formë të rregullt në lidhje me boshtin e simetrisë që kalon nëpër qendrën e masës së trupit. Për shembull, për MI të një cilindri në lidhje me një bosht që kalon përmes qendrës së masës paralele me gjeneratorin, kjo formulë jep

Ku T- pesha; R- rrezja e cilindrit.

Teorema e Shtajnerit ofron ndihmë të madhe në llogaritjen e MI të trupave në lidhje me boshtet e caktuara: MI i trupave I në raport me çdo bosht është e barabartë me shumën e MI të këtij trupi I c në lidhje me një bosht që kalon nëpër qendrën e masës së trupit dhe paralel me atë të dhënë, dhe produktin e masës trupore me katrorin e distancës d ndërmjet akseve të treguara:

. (6.5)

Momenti i forcës rreth boshtit

Lëreni forcën të veprojë në trup F. Le të supozojmë për thjeshtësi se forca F shtrihet në një rrafsh pingul me një vijë të drejtë OO (Fig. 6.2, A), të cilin do ta quajmë bosht (për shembull, ky është boshti i rrotullimit të trupit). Në Fig. 6.2, A A- pika e aplikimit të forcës F,
- pika e prerjes së boshtit me rrafshin në të cilin shtrihet forca; r- vektori i rrezes që përcakton pozicionin e pikës A në lidhje me pikën RRETH"; O"B = b - shpatulla e forcës. Krahu i forcës në lidhje me boshtin është distanca më e vogël nga boshti në vijën e drejtë në të cilën shtrihet vektori i forcës F(gjatësia e pingules së tërhequr nga pika në këtë linjë).

Momenti i forcës në lidhje me boshtin është një sasi vektoriale e përcaktuar nga barazia

. (6.6)

Moduli i këtij vektori është . Ndonjëherë, prandaj, ata thonë se momenti i një force rreth një boshti është produkt i forcës dhe krahut të saj.

Nëse forca F drejtohet në mënyrë arbitrare, atëherë mund të zbërthehet në dy komponentë; Dhe (Fig.6.2, b), d.m.th.
+, Ku - komponenti i drejtuar paralelisht me boshtin OO, dhe shtrihet në një rrafsh pingul me boshtin. Në këtë rast, nën momentin e forcës F në lidhje me boshtin OO kuptojnë vektorin

. (6.7)

Në përputhje me shprehjet (6.6) dhe (6.7), vektori M drejtuar përgjatë boshtit (shih Fig. 6.2, A,b).

Momenti i një trupi në lidhje me boshtin e rrotullimit

P Lëreni trupin të rrotullohet rreth një boshti të caktuar OO me shpejtësi këndore
. Le ta ndajmë mendërisht këtë trup në seksione elementare me masa
, të cilat janë të vendosura nga boshti, përkatësisht, në distanca
dhe rrotullohen në rrathë, duke patur shpejtësi lineare
Dihet që vlera është e barabartë
- ka një impuls i- komplot. momenti i impulsit i- seksioni (pika materiale) në lidhje me boshtin e rrotullimit quhet vektor (më saktë, pseudovektor)

, (6.8)

Ku r i– vektori i rrezes që përcakton pozicionin i- zona në lidhje me boshtin.

Momenti këndor i të gjithë trupit në lidhje me boshtin e rrotullimit quhet vektor

(6.9)

moduli i të cilit
.

Në përputhje me shprehjet (6.8) dhe (6.9), vektorët
Dhe drejtuar përgjatë boshtit të rrotullimit (Fig. 6.3). Është e lehtë të tregohet se momenti këndor i një trupi L në raport me boshtin e rrotullimit dhe momentin e inercisë I të këtij trupi në lidhje me të njëjtin bosht lidhen me relacionin

. (6.10)

Le të gjejmë momentin e inercisë së trupit në lidhje me boshtin u duke kaluar nëpër një pikë RRETH(Fig. 36).

Fig.36

Sipas përkufizimit, momenti i inercisë.

Le ta vëmë në pikë RRETH origjina e boshteve koordinative x, y, z. Nga trekëndësh kënddrejtë OAM i vijon , ku . Dhe meqenëse vektori i rrezes së pikës është , atëherë, duke e projektuar këtë barazi në bosht u, marrim ( , , - kënde ndërmjet boshtit u dhe sëpata x, y, z).

Siç dihet nga trigonometria

Dhe, duke grupuar terma të ngjashëm që përmbajnë kosinus të këndeve identike, marrim:

Por - distancat nga pika M i me sëpata x, y, z, përkatësisht. Kjo është arsyeja pse

Ku Unë x, unë y, unë z– momentet e inercisë së trupit në raport me boshtet koordinative; I xy, J yz, J xz - momentet centrifugale inercia në raport me boshtet e shënuara në indekse.

Nëse dy momente centrifugale të inercisë, që të dyja përmbajnë emrat e një boshti në indekset e tyre, janë të barabarta me zero, atëherë ky bosht quhet boshti kryesor inercia. Për shembull, nëse J yz = 0dhe J xz= 0, pastaj boshti z– boshti kryesor inercia.

Meqenëse të gjitha momentet e inercisë varen nga vendi ku ndodhet pika RRETH, nga zgjedhja e origjinës së koordinatave, atëherë është e nevojshme të tregohet se për cilën pikë përcaktohen këto momente inercie. Nëse origjina e koordinatave merret në qendër të masës ME, atëherë thirren të gjithë boshtet kryesore të inercisë akset kryesore qendrore të inercisë.

Nëse në këtë pikë boshtet koordinative janë boshtet kryesore të inercisë (momentet centrifugale të inercisë në lidhje me to janë të barabarta me zero), atëherë formula (2) thjeshtohet:

Ndonjëherë, bazuar në disa shenja, nuk është e vështirë të gjesh boshtet kryesore të inercisë së trupit.

1. Nëse një trup homogjen ka një bosht simetrie, atëherë ky bosht është boshti kryesor qendror i inercisë.

Vërtet. Le të drejtojmë boshtin koordinativ z përgjatë boshtit të simetrisë. Pastaj për secilën pikë të trupit me koordinata ( x i, y i, z i) ju mund të gjeni një pikë me koordinata ( -x i, -y i, -z i) dhe për këtë arsye momentet centrifugale të inercisë dhe . Pra boshti z– boshti kryesor i inercisë, dhe boshti qendror, sepse qendra e masës, siç dihet, ndodhet në boshtin e simetrisë. Për më tepër, ky aks do të jetë kryesori për çdo pikë të vendosur në boshtin e simetrisë.

2. Nëse një trup homogjen ka një rrafsh simetrie, atëherë çdo bosht pingul me të do të jetë boshti kryesor i inercisë për të gjitha pikat e këtij rrafshi.

Le të drejtojmë boshtin z pingul me rrafshin e simetrisë nga çdo pikë e tij RRETH, duke caktuar origjinën e koordinatave atje. Pastaj për secilën pikë të trupit me koordinata ( x i, y i, z i) ju mund të gjeni një pikë simetrike me të me koordinata ( x i, y i, - z i). Prandaj, momentet centrifugale të inercisë Unë xz Dhe Unë yz do të jetë e barabartë me zero. Pra boshti z– boshti kryesor i inercisë.

Shembulli 9. Le të përcaktojmë momentin e inercisë së diskut në lidhje me boshtin u, i vendosur në një kënd me boshtin e simetrisë së diskut z(Fig. 37).

Fig.37

Boshtet x, y Dhe z– kryesore akset qendrore inercia, sepse janë boshte simetrie.

Atëherë ku është këndi midis boshteve u Dhe z; këndi - këndi ndërmjet boshteve u Dhe y, e barabartë me ; këndi - këndi ndërmjet boshteve u Dhe x, e barabartë me 90°. Kjo është arsyeja pse

Diferenciale ekuacionet e lëvizjes së sistemit.

Konsideroni një sistem të përbërë nga P pikat materiale. Le të zgjedhim një pikë të sistemit me masë . Le të shënojmë rezultanten e të gjithave të aplikuara në një pikë forcat e jashtme(si lidhjet aktive ashtu edhe ato të reagimit) përmes , dhe rezultante e të gjitha forcave të brendshme - përmes . Nëse pika ka një nxitim , atëherë sipas ligjit bazë të dinamikës

Ne marrim një rezultat të ngjashëm për çdo pikë. Prandaj, për të gjithë sistemin do të ketë:

Këto ekuacione, nga të cilat mund të përcaktohet ligji i lëvizjes së çdo pike të sistemit, quhen ekuacionet diferenciale të lëvizjes së sistemit në formë vektoriale. Ekuacionet janë diferenciale sepse ; forcat e përfshira në anët e djathta të ekuacioneve do të jenë në rast i përgjithshëm varen nga koha, koordinatat e pikave të sistemit dhe shpejtësitë e tyre.

Duke projektuar në disa boshte koordinative, ne mund të marrim ekuacionet diferenciale lëvizja e sistemit në projeksione mbi këto boshte.

Zgjidhje e plotë Problemi kryesor i dinamikës për sistemin do të ishte që, duke ditur forcat e dhëna, të integrohen ekuacionet diferenciale përkatëse dhe në këtë mënyrë të përcaktohet ligji i lëvizjes së secilës prej pikave të sistemit veç e veç.

Megjithatë, kjo zgjidhje zakonisht nuk përdoret për dy arsye. Së pari, kjo rrugë është shumë e ndërlikuar dhe pothuajse gjithmonë shoqërohet me vështirësi të pakapërcyeshme matematikore. Së dyti, në shumicën e rasteve, kur zgjidhen problemet e mekanikës, mjafton të dihen disa karakteristika përmbledhëse të lëvizjes së sistemit në tërësi, dhe jo lëvizjen e secilës prej pikave të tij veç e veç. Këto karakteristika përmbledhëse përcaktohen duke përdorur teorema të përgjithshme dinamika e sistemit, në studimin e të cilit do të vazhdojmë.

Roli kryesor i ekuacioneve është se ato, ose pasojat prej tyre, janë pikat fillestare për marrjen e teoremave të përgjithshme përkatëse.

Teorema të përgjithshme dinamika e një sistemi mekanik: teoremat mbi lëvizjen e qendrës së masës së një sistemi mekanik dhe mbi ndryshimin e momentit, teoremat mbi ndryshimin e momentit kinetik dhe energjisë kinetike janë pasojë e ekuacionit bazë të dinamikës. Këto teorema nuk marrin në konsideratë lëvizjen e pikave dhe trupave individualë të përfshirë në një sistem mekanik, por disa karakteristika integrale, si lëvizja e qendrës së masës së sistemit mekanik, momenti i tij, momenti kinetik Dhe energjia kinetike. Si rezultat, të panjohurat përjashtohen nga shqyrtimi forcat e brendshme, dhe në disa raste reagimi i lidhjeve, i cili thjeshton ndjeshëm zgjidhjen e problemit.

Shpesh dëgjojmë shprehjet: “është inerte”, “lëviz me inerci”, “moment inercie”. NË kuptimi figurativ fjala “inerci” mund të interpretohet si mungesë iniciative dhe veprimi. Ne jemi të interesuar për kuptimin e drejtpërdrejtë.

Çfarë është inercia

Sipas përcaktimit inercia në fizikë, është aftësia e trupave për të mbajtur një gjendje pushimi ose lëvizjeje në mungesë të forcave të jashtme.

Nëse gjithçka është e qartë me vetë konceptin e inercisë në një nivel intuitiv, atëherë Momenti i inercisë- një pyetje më vete. Dakord, është e vështirë të imagjinosh në mendjen tënde se çfarë është. Në këtë artikull do të mësoni se si të zgjidhni problemet themelore në këtë temë "Momenti i inercisë".

Përcaktimi i momentit të inercisë

Nga kursi shkollor dihet se masa është një masë e inercisë së një trupi. Nëse shtyjmë dy karroca të masave të ndryshme, atëherë ajo më e rëndë do të jetë më e vështirë të ndalet. Kjo do të thotë, sa më e madhe të jetë masa, aq më i madh është ndikimi i jashtëm që kërkohet për të ndryshuar lëvizjen e trupit. Ajo që konsiderohet vlen për lëvizjen përkthimore, kur karroca nga shembulli lëviz në vijë të drejtë.

Për analogji me masën dhe lëvizje përpara momenti i inercisë është një masë e inercisë së një trupi gjatë lëvizjes rrotulluese rreth një boshti.

Momenti i inercisë– skalar sasi fizike, një masë e inercisë së një trupi kur rrotullohet rreth një boshti. Shënohet me shkronjën J dhe në sistem SI matet në kilogramë herë për metër katror.

Si të llogarisim momentin e inercisë? Ekziston një formulë e përgjithshme me të cilën në fizikë llogaritet momenti i inercisë së çdo trupi. Nëse një trup ndahet në copa pafundësisht të vogla me një masë dm , atëherë momenti i inercisë do të jetë i barabartë me shumën e produkteve të këtyre masave elementare me katrorin e distancës me boshtin e rrotullimit.

Kjo është formula e përgjithshme për momentin e inercisë në fizikë. Për një pikë materiale të masës m , duke rrotulluar rreth një boshti në një distancë r prej saj, kjo formulë merr formën:

Teorema e Shtajnerit

Nga se varet momenti i inercisë? Nga masa, pozicioni i boshtit të rrotullimit, forma dhe madhësia e trupit.

Teorema e Huygens-Steiner është një teoremë shumë e rëndësishme që përdoret shpesh në zgjidhjen e problemeve.

Meqe ra fjala! Për lexuesit tanë tani ka një zbritje prej 10%. çdo lloj pune

Teorema e Huygens-Steiner thotë:

Momenti i inercisë së trupit në lidhje me aks arbitrarështë e barabartë me shumën e momentit të inercisë së trupit rreth një boshti që kalon përmes qendrës së masës paralel me një bosht arbitrar dhe produktit të masës trupore me katrorin e distancës midis boshteve.

Për ata që nuk duan të integrohen vazhdimisht gjatë zgjidhjes së problemeve të gjetjes së momentit të inercisë, ne paraqesim një vizatim që tregon momentet e inercisë së disa trupave homogjenë që hasen shpesh në problema:

Një shembull i zgjidhjes së një problemi për të gjetur momentin e inercisë

Le të shohim dy shembuj. Detyra e parë është gjetja e momentit të inercisë. Detyra e dytë është përdorimi i teoremës së Huygens-Steiner.

Detyra 1. Gjeni momentin e inercisë së një disku homogjen me masë m dhe rreze R. Boshti i rrotullimit kalon nga qendra e diskut.

Zgjidhja:

Le ta ndajmë diskun në unaza pafundësisht të holla, rrezja e të cilave varion nga 0 përpara R dhe merrni parasysh një unazë të tillë. Le të jetë rrezja e saj r, dhe masa - dm. Atëherë momenti i inercisë së unazës është:

Masa e unazës mund të përfaqësohet si:

Këtu dz– lartësia e unazës. Le të zëvendësojmë masën në formulën për momentin e inercisë dhe të integrojmë:

Rezultati ishte një formulë për momentin e inercisë së një disku ose cilindri absolut të hollë.

Problemi 2. Le të ketë përsëri një disk me masë m dhe rreze R. Tani duhet të gjejmë momentin e inercisë së diskut në lidhje me boshtin që kalon nga mesi i njërës prej rrezeve të tij.

Zgjidhja:

Momenti i inercisë së diskut në lidhje me boshtin që kalon nëpër qendrën e masës njihet nga problemi i mëparshëm. Le të zbatojmë teoremën e Shtajnerit dhe të gjejmë:

Nga rruga, në blogun tonë mund të gjeni materiale të tjera të dobishme për fizikën dhe zgjidhjen e problemeve.

Shpresojmë që në artikull të gjeni diçka të dobishme për veten tuaj. Nëse lindin vështirësi në procesin e llogaritjes së tensorit të inercisë, mos harroni për shërbimin e studentëve. Specialistët tanë do të këshillojnë për çdo çështje dhe do të ndihmojnë në zgjidhjen e problemit në pak minuta.

Momenti i inercisë së një pike materiale në lidhje me një bosht (OO) është produkti i masës së një pike materiale me katrorin e distancës së saj me këtë bosht:

. (6.1)

Momenti i inercisë (MI) i një trupi në lidhje me një bosht (OO) është shuma e produkteve të masave të seksioneve elementare të trupit me katrorin e distancës së tyre me boshtin:

. (6.2)

Siç mund ta shihni, momenti i inercisë së një trupi është një sasi shtesë - momenti i inercisë së të gjithë trupit në lidhje me një bosht të caktuar është i barabartë me shumën e momenteve të inercisë së pjesëve të tij individuale në lidhje me të njëjtin bosht.

Në këtë rast

Momenti i inercisë matet në kgm 2. Sepse

, (6.3)

ku  - dendësia e substancës,
- vëllimi i- seksioni, atëherë

ose, duke lëvizur në elemente infinite të vogla,

. (6.4)

Ku T- pesha; R- rrezja e cilindrit.

. (6.5)

Momenti i forcës rreth boshtit

Momenti i forcës në lidhje me boshtin është një sasi vektoriale e përcaktuar nga barazia

. (6.6)

Moduli i këtij vektori është . Ndonjëherë, prandaj, ata thonë se momenti i një force rreth një boshti është produkt i forcës dhe krahut të saj.

. (6.7)

Në përputhje me shprehjet (6.6) dhe (6.7), vektori M drejtuar përgjatë boshtit (shih Fig. 6.2, A,b).

Momenti i një trupi në lidhje me boshtin e rrotullimit

, (6.8)

Ku r i– vektori i rrezes që përcakton pozicionin i- zona në lidhje me boshtin.

Momenti këndor i të gjithë trupit në lidhje me boshtin e rrotullimit quhet vektor

(6.9)

moduli i të cilit
.

. (6.10)

Konsideroni një pikë materiale me masë m, e cila ndodhet në një distancë r nga aks fiks(Fig. 26). Momenti i inercisë J i një pike materiale në lidhje me një bosht është një sasi fizike skalare e barabartë me produktin e masës m me katrorin e distancës r me këtë bosht:

J = mr 2(75)

Momenti i inercisë së një sistemi me N pika materiale do të jetë i barabartë me shumën e momenteve të inercisë së pikave individuale:

Oriz. 26.

Për të përcaktuar momentin e inercisë së një pike.

Nëse masa shpërndahet vazhdimisht në hapësirë, atëherë përmbledhja zëvendësohet nga integrimi. Trupi ndahet në vëllime elementare dv, secila prej të cilave ka një masë dm.

Rezultati është shprehja e mëposhtme:

Për një trup homogjen në vëllim, dendësia ρ është konstante dhe masën elementare e shkruajmë në formën:

dm = ρdv, ne e transformojmë formulën (70) si më poshtë:

Dimensioni i momentit të inercisë - kg*m 2.

Momenti i inercisë së një trupi është një masë e inercisë së një trupi në lëvizje rrotulluese, ashtu si masa e një trupi është një masë e inercisë së tij në lëvizjen përkthimore.

Momenti i inercisë -është matës i vetive inerte të ngurta gjatë lëvizjes rrotulluese, në varësi të shpërndarjes së masës në lidhje me boshtin e rrotullimit. Me fjalë të tjera, momenti i inercisë varet nga masa, forma, madhësia e trupit dhe pozicioni i boshtit të rrotullimit.

Çdo trup, pavarësisht nëse është në rrotullim apo në prehje, ka një moment inercie rreth çdo boshti, ashtu si një trup ka masë pavarësisht nëse është në lëvizje apo në prehje. Ngjashëm me masën, momenti i inercisë është një sasi shtesë.

Në disa raste, llogaritja teorike e momentit të inercisë është mjaft e thjeshtë. Më poshtë janë momentet e inercisë së disa trupave të ngurtë me formë të rregullt gjeometrike rreth një boshti që kalon nga qendra e gravitetit.

Momenti i inercisë së një disku pafundësisht të sheshtë me rreze R në lidhje me një bosht pingul me rrafshin e diskut:

Momenti i inercisë së një topi me rreze R:

Momenti i inercisë së gjatësisë së shufrës L në lidhje me boshtin që kalon përmes mesit të shufrës pingul me të:

Momenti i inercisë së një rrethi pafundësisht të hollë me rreze R në lidhje me një bosht pingul me rrafshin e tij:

Momenti i inercisë së një trupi rreth një boshti arbitrar llogaritet duke përdorur teoremën e Shtajnerit:

Momenti i inercisë së një trupi rreth një boshti arbitrar është i barabartë me shumën e momentit të inercisë rreth një boshti që kalon përmes qendrës së masës paralele me këtë dhe produktit të masës së trupit me katrorin e distancës midis boshteve .

Duke përdorur teoremën e Shtajnerit, ne llogarisim momentin e inercisë së një shufre me gjatësi L në lidhje me boshtin që kalon përmes skajit pingul me të (Fig. 27).

Për të llogaritur momentin e inercisë së shufrës

Sipas teoremës së Shtajnerit, momenti i inercisë së shufrës në lidhje me boshtin O'O' është i barabartë me momentin e inercisë në lidhje me boshtin OO plus md 2. Nga këtu marrim:

Natyrisht: momenti i inercisë nuk është i njëjtë në lidhje me akset e ndryshme, dhe për këtë arsye, kur zgjidhen problemet mbi dinamikën e lëvizjes rrotulluese, momenti i inercisë së trupit në lidhje me boshtin e interesit për ne duhet të kërkohet veçmas çdo herë. . Kështu, për shembull, gjatë projektimit të pajisjeve teknike që përmbajnë pjesë rrotulluese (në transportin hekurudhor, prodhimin e avionëve, inxhinierinë elektrike, etj.), Kërkohet njohja e vlerave të momenteve të inercisë së këtyre pjesëve. Me një formë komplekse të trupit, llogaritja teorike e momentit të tij të inercisë mund të jetë e vështirë për t'u kryer. Në këto raste ata preferojnë të matin në mënyrë eksperimentale momentin e inercisë së një pjese jo standarde.

Momenti i forcës F në lidhje me pikën O