Vilken polyeder sägs vara inskriven i en boll. Polyedrar inskrivna i en boll

Beskrivning av presentationen med individuella bilder:

1 rutschkana

Bildbeskrivning:

kommunal självstyrande utbildningsinstitution gymnasieskola nr 45 Metodhandbok för elever i 11:e klass Sammanställd av en matematiklärare av den högsta kategorin Elena Vyacheslavovna Gavinskaya. Kaliningrad läsåret 2016-2017

2 rutschkana

Bildbeskrivning:

Polyedrar inskrivna i en sfär. Ämnet liknar det för planimetrikursen, där det sades att cirklar kan beskrivas kring trianglar och regelbundna n-goner. Analogen av en cirkel i rymden är en sfär, och en polygon är en polyeder. I det här fallet är analogen till en triangel ett triangulärt prisma, och analogen vanliga polygoner – vanliga polyedrar. Definition. En polyeder sägs vara inskriven i en sfär om alla dess hörn hör till denna sfär. Själva sfären sägs vara omskriven kring polyedern.

3 rutschkana

Bildbeskrivning:

"En sfär kan beskrivas runt ett rakt prisma om och bara om en cirkel kan beskrivas runt basen av detta prisma." Bevis: Om en sfär är omskriven runt ett rakt prisma, så tillhör alla hörn i prismats bas sfären och därför till cirkeln, som är skärningslinjen mellan sfären och basens plan. Omvänt, låt en cirkel med centrum i punkt O1 och radie r beskrivas nära basen av ett rakt prisma. Sedan, runt prismats andra bas, kan en cirkel med centrum i punkt O2 och samma radie beskrivas. Låt O1O2=d, O – mitten av O1O2. Då blir sfären med centrum O och radie R= den önskade omskrivna sfären. Sats 1.

4 rutschkana

Bildbeskrivning:

"En sfär kan beskrivas runt vilken triangulär pyramid som helst, och bara en." Bevis. Låt oss vända oss till ett bevis liknande det från planimetrikursen. Först och främst måste vi hitta platsen för punkter på samma avstånd från triangelns två hörn. Till exempel A och B. En sådan geometrisk plats är den vinkelräta bisektrisen som dras till segmentet AB. Sedan hittar vi lokuset för punkter på samma avstånd från A och C. Detta är den vinkelräta bisektaren till segmentet AC. Skärningspunkten för dessa bisektorala perpendicularer kommer att vara det önskade centrum O i cirkeln omskriven kring triangeln ABC. Sats 2.

5 rutschkana

Bildbeskrivning:

Låt oss nu överväga den rumsliga situationen och göra liknande konstruktioner. Låt en triangulär pyramid DABC ges, och punkterna A, B och C definierar planet α. Geometrisk plats punkter på samma avstånd från punkterna A, B och C är en rät linje a, vinkelrät mot planet α och som går genom centrum O1 i cirkeln omskriven kring triangeln ABC. Den geometriska platsen för punkter på samma avstånd från punkterna A och D är planet β, vinkelrätt mot segmentet AD och som går genom dess vertexpunkt E. Planet β och den räta linjen a skär varandra i punkt O, som kommer att vara det önskade centrumet för sfär omskriven om den triangulära pyramiden DABC. I själva verket, i kraft av konstruktionen, är punkt O lika långt från alla hörn i DABC-pyramiden. Dessutom kommer en sådan punkt att vara unik, eftersom den korsande räta linjen och planet har en enda gemensam punkt.

6 rutschkana

Bildbeskrivning:

En boll omskriven om en vanlig pyramid. Bollen kan beskrivas runt vilken vanlig pyramid som helst. Kulans centrum ligger på en rät linje som går genom pyramidens höjd och sammanfaller med mitten av en cirkel omskriven om en likbent triangel, vars sida är pyramidens sidokant, och höjden är höjden på pyramiden. Kulans radie är lika med radien för denna cirkel. Radien på kulan R, höjden på pyramiden H och radien på cirkeln r som beskrivs nära pyramidens bas hänger samman med relationen: R2=(H-R)2+r2 Denna relation är också giltig i det fall då H< R.

7 rutschkana

Bildbeskrivning:

Problemet handlar om en boll omskriven om en vanlig pyramid. "En sfär med ett centrum i punkt O och en radie på 9√3 m beskrivs nära den vanliga pyramiden PABC. Den räta linjen PO, som innehåller höjden på pyramiden, skär pyramidens bas i punkt H så att PH:OH = 2:1. Hitta volymen på pyramiden om var och en av dess sidokanter bildar en vinkel på 45 grader med basens plan.”

8 rutschkana

Bildbeskrivning:

Givet: PABC – vanlig pyramid; bollen (O;R=9√3 m) beskrivs nära pyramiden; RO∩(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Hitta: Vpir. Lösning: Eftersom RN:OH=2:1 (efter tillstånd), då RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (som höjd av pyramiden) => => RN _ AN (per definition) => RAS - rektangulär. 3. AT RAS:

Bild 9

Bildbeskrivning:

4. Eftersom RABC enligt villkoret är en vanlig pyramid och PH är dess höjd, så är per definition ABC korrekt; H är mitten av en cirkel omskriven om ABC, vilket betyder 5. Svar: 486 m3.

10 rutschkana

Bildbeskrivning:

En sfär omskriven runt ett prisma. En sfär kan beskrivas runt ett prisma om den är rak och dess baser är polygoner inskrivna i en cirkel. Kulans centrum ligger i mitten av prismats höjd och förbinder mitten av de cirklar som beskrivs runt prismats baser. Radien för kulan R, höjden på prismat H och radien på cirkeln r som beskrivs runt prismats bas är relaterade av relationen:

11 rutschkana

Bildbeskrivning:

Problemet handlar om en sfär avgränsad runt ett prisma. "Ett vanligt prisma ABCDA1B1C1D1 med en höjd av 6 cm är inskrivet i en sfär (så; R = 5 cm). Hitta prismats tvärsnittsarea genom ett plan parallellt med basens plan och som går genom punkt O - kulans mitt."

12 rutschkana

Bildbeskrivning:

Givet: ABCDA1B1C1D1 – regelbundet prisma; en kula (O;R=5 cm) beskrivs runt ett prisma; höjden på prismat h är 6 cm; a║(ABC); O med α. Hitta: Ssec α, Lösning: Eftersom prismat genom villkor är inskrivet i en kula, då (r är radien för cirkeln omskriven runt prismats bas) Men genom villkor ges ett regelbundet prisma, vilket betyder

Bild 13

Bildbeskrivning:

a) (АВВ1) ║(СС1D1) (genom egenskapen hos ett rakt prisma) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (genom egenskapen parallella plan) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (genom egenskapen hos ett rakt prisma) => KM=NR (genom egenskapen för parallella plan). Detta betyder att KMNR är ett parallellogram (efter attribut) => MN=KR och MN ║ KR b) α ║ (ABC) (efter konstruktion) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (enligt egenskapen hos parallella plan) 2. 3. Eftersom enligt villkoret ABCDA1B1C1D1 är ett regelbundet prisma, och sektionen för plan α är parallell med baserna, så är figuren som bildas av snittet en kvadrat. Låt oss bevisa det: => => =>

14 rutschkana

Bildbeskrivning:

KMH= ABC=90o (som vinklar med motsvarande inriktade sidor) Detta betyder att romben KMNR är en kvadrat (definitivt), vilket är vad som behövde bevisas. Dessutom är kvadraterna KMNR och ABCD lika. Därför är deras arealer lika med egenskap, och därför är Ssektion α.=SABCD=32 (cm2) Svar: 32 cm2. c) KM ║ AB (bevisat) (BCC1) ║(ADD1) (genom egenskapen av ett rakt prisma) => KM=AB=4√2 cm (genom egenskapen parallella plan). d) På samma sätt är det bevisat att MN ║ BC och MN = BC = 4√2 cm. Detta betyder att MN = KM => parallellogram MNRK är en romb (per definition). e) MN ║ BC (bevisat) KM ║ AB (bevisat) => =>

15 rutschkana

Bildbeskrivning:

En cylinder omskriven runt ett prisma. En cylinder kan beskrivas runt ett rakt prisma om dess bas är en polygon inskriven i en cirkel. Radien för cylindern R är lika med radien för denna cirkel. Cylinderaxeln ligger på samma räta linje med prismats höjd H och förbinder mitten av cirklarna som beskrivs nära prismats baser. I fallet med ett fyrkantigt prisma (om basen är en rektangel), passerar cylinderaxeln genom skärningspunkten för diagonalerna för prismats baser.

16 rutschkana

Bildbeskrivning:

Problemet handlar om en cylinder omskriven runt ett prisma. Rak prisma ABCDA1B1C1D1, vars bas är en rektangel, är inskriven i en cylinder, vars generatris är 7 cm och radien är 3 cm. Hitta arean på prismats laterala yta om vinkeln mellan diagonalerna ABCD är 60 grader. ОО1 – cylinderaxel.

Bild 17

Bildbeskrivning:

Givet: ABCDA1B1C1D1 – rakt prisma; cylindern beskrivs nära prismat; generatris för cylindern AA1=7 cm; radien för cylinderns bas är 3 cm; vinkeln mellan diagonalerna ABCD är 60°; ОО1 – cylinderaxel. Hitta: Sidoprisma. Lösning: Eftersom, enligt villkoret, ett fyrkantigt prisma, vid vars bas är en rektangel, är inskrivet i en kula, är det enligt egenskapen AC∩ВD=O. Detta betyder AOB=60o och AO=OB=3cm. 2. I AOB med hjälp av cosinussatsen.

Definition. Sfären kallas inskriven i en polyeder, om planen på alla ytor av polyedern rör vid sfären i skottkärror som finns inuti dessa ytor. I det här fallet sägs polyedern vara omskriven kring en sfär.

Sats 1.En sfär (kula) kan skrivas in i en godtycklig tetraeder.

Uppsättningen av punkter på samma avstånd från tetraederns laterala ytor är den räta skärningslinjen mellan två halvledarplan med dihedriska vinklar vid två laterala kanter. Denna linje kommer att skäras av halvledarplanet för den dihedrala vinkeln vid basen. Den resulterande punkten är lika långt från tetraederns alla ytor.

I tetraedern ABCD är planen CDN och ADM halvledarplan för de tvåsidiga vinklarna vid sidokanterna CD och AD. De skär varandra längs den raka linjen OD. Plan AKC är bisekturplanet för den dihedriska vinkeln vid basen (kant AC). Detta plan kommer att skära linjen OD vid punkt S (P är skärningspunkten för linjerna DM och KC, som tillhör planen AKC och ADM samtidigt, därför är punkt S skärningspunkten mellan AP och OD), vilket kommer att vara en punkt på samma avstånd från alla ytor av tetraedern och kommer därför att vara mitten av en sfär inskriven i tetraedern ABCD.

Exempel 1. Hitta radien för en sfär inskriven i en vanlig tetraeder.

Låt oss betrakta liknande trianglar DPS och DOK (med två vinklar: vinkel D är vanlig, vinklar DPS och DOK är räta vinklar).

Sedan PS:KO=DS:DK,

med tanke på att PS=r=SO och DS=DO-SO=DO-r,

, , Den där .

Svar: radien för en sfär inskriven i en vanlig tetraeder är lika med

Sats 2. Du kan passa in en sfär i en vanlig pyramid.

Sats 3. En sfär kan inskrivas i en vanlig stympad pyramid om och endast om dess apotem är lika med summan av radierna av cirklarna inskrivna vid dess baser.

Sats 4. En sfär kan inskrivas i vilket prisma som helst om en cirkel kan skrivas in i dess vinkelräta sektion, vars radie är lika med halva prismats höjd.

Sats 5. En sfär kan inskrivas i ett vanligt prisma om och endast om prismats höjd är lika med diametern på cirkeln inskriven vid dess bas.

Sfärer som beskrivs runt en cylinder, kon och

Stympad kon.

Definition. Sfären kallas beskrivs runt cylindern eller stympad kon, om alla punkter i bascirklarna hör till sfären; Sfären kallas beskrivs runt konen, om alla punkter i bascirkeln, liksom konens vertex, tillhör sfären.

I dessa fall sägs cylindern, den stympade konen eller konen vara inskriven i en sfär.

Sats 1.En sfär kan beskrivas runt en godtycklig cylinder.

O 1 och O 2 är mitten av de nedre respektive övre baserna. Den räta linjen O 1 O 2 är vinkelrät mot basens plan. Låt oss rita ett plan som går genom mitten av cylinderns generatris vinkelrätt mot denna generatris. Detta plan kommer att vara parallellt med planen för basen och skära linjen O 1 O 2 vid punkt O, som kommer att vara mitten av sfären omskriven kring cylindern. Avståndet från punkt O till alla punkter på basen kommer att vara lika, eftersom O 1 O 2 är GMT, på samma avstånd från cirkeln (en rät linje som går genom cirkelns mitt och vinkelrät mot cirkelns plan). Det betyder att punkt O är mitten av en sfär med radien OA, omskriven runt en cylinder.

Sats 2. En sfär kan beskrivas runt en stympad kon.

O 1 och O 2 är mitten av de nedre respektive övre baserna. Den räta linjen O 1 O 2 är vinkelrät mot basens plan. Låt oss betrakta generatrisen för en stympad kon AB. Låt oss hitta GMT, på samma avstånd från skottkärror A och B. De kommer att vara ett plan som går genom punkt P - mitten av AB och vinkelrätt mot denna räta linje. Detta plan kommer att skära O 1 O 2 vid punkt O, som kommer att vara lika långt från punkterna A och B. Det är också uppenbart att punkt O kommer att vara lika långt från alla punkter på baserna på den stympade konen. Följaktligen kommer denna punkt O att vara mitten av en sfär med radien OA, beskriven runt en stympad kon.

Sats 3. En sfär kan beskrivas runt en kon.

I likhet med föregående sats är OA höjden på konen, som är HMT, på samma avstånd från cirkeln. Låt oss betrakta generatrisen AB och hitta GMT på samma avstånd från A och B. Det resulterande planet (enligt föregående problem) kommer att skära OA vid punkt O 1, som kommer att vara lika långt från punkterna A och B, såväl som från alla punkter på konens bas. Således fick vi att punkten O 1 är mitten av en sfär med radie O 1 A, beskriven runt en kon.

Målet med arbetet är att ta reda på allt teoretiskt material på ämnet "Inskrivna och omskrivna polyedrar" och lär dig att tillämpa det i praktiken.

Polyedrar inskrivna i en sfär En konvex polyeder kallas inskriven om alla dess hörn ligger på någon sfär. Denna sfär kallas beskriven för en given polyeder. Mitten av denna sfär är en punkt på samma avstånd från polyederns hörn. Det är skärningspunkten för plan, som var och en passerar genom mitten av kanten av polyedern vinkelrätt mot den.

Pyramid inskriven i en sfär Teorem: En sfär kan beskrivas runt en pyramid om och bara om en cirkel kan beskrivas runt pyramidens bas.

Formel för att hitta radien för en omskriven sfär Låt SABC vara en pyramid med lika laterala kanter, h är dess höjd, R är radien för den omskrivna cirkeln runt basen. Låt oss hitta radien för den omskrivna sfären. Låt oss lägga märke till likheten räta trianglar SKO 1 och SAO. Då SO 1/SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Men KS = SA/2. Då är Ri = SA2/(2SO); Ri = (h2 + R2)/(2 h); R1 = b 2/(2 h), där b är sidokanten.

Prisma inskrivet i en sfär Teorem: En sfär kan beskrivas runt ett prisma endast om prismat är rakt och en cirkel kan beskrivas runt dess bas.

En parallellepiped inskriven i en sfär Teorem: En sfär kan beskrivas runt en parallellepiped om och endast om parallellepipeden är rektangulär, eftersom den i detta fall är rak och en cirkel kan beskrivas runt dess bas - ett parallellogram (eftersom basen är en rektangel).

En kon och en cylinder inskrivna i en sfär Teorem: En sfär kan beskrivas runt vilken kon som helst. Teorem: En sfär kan beskrivas runt vilken cylinder som helst.

Uppgift 1 Ta reda på radien på kulan som omges av en vanlig tetraeder med kant a. om Lösning: Låt oss först konstruera en bild av mitten av en omskriven boll på bilden av en vanlig tetraeder SABC. Låt oss rita apotemerna SD och AD (SD = AD). I den likbenta triangeln ASD är varje punkt i median-DN på samma avstånd från ändarna av segmentet AS. Därför är punkt O 1 skärningspunkten mellan höjden SO och segmentet DN. Genom att använda formeln från R 1 = b 2/(2 h) får vi: SO 1 = SA 2/(2 SO); SO = SOi = a2/(2a =a =)=a /4. Svar: SO 1 = a /4.

Uppgift 2 I en vanlig fyrkantig pyramid är sidan av basen lika med a, a platt vinkel vid spetsen är lika med α. Hitta radien för den omskrivna sfären. Lösning: Med hjälp av formeln R 1=b 2/(2 h) för att hitta radien för den omskrivna kulan hittar vi SC och SO. SC = a/(2 sin(a/2)); SO 2). (a/(2 sin(α/2))2 – (a /2)2 = =). = a 2/(4 sin 2(α/2)) – 2 a 2/4 = = a 2/(4 sin 2(α/2)) (1 – 2 sin 2(α/2)) = = a 2/(4 sin 2(α/2)) · cosα R 1 = a 2/(4 sin 2(α/2)) · 1/(2 a Svar: R 1 = a/(4 sin(α/ 2) ) /(2 sin(α/2))) = a/(4 sin(α/2)

Polyedrar omskrivna kring en sfär En konvex polyeder kallas omskriven om alla dess ytor vidrör någon sfär. Denna sfär kallas inskriven för en given polyeder. Mitten av en inskriven sfär är en punkt på samma avstånd från polyederns alla ytor.

Position för mitten av en inskriven sfär. Ett halvledsplan är ett plan som delar en dihedrisk vinkel i två lika stora dihedriska vinklar. Varje punkt i detta plan är lika långt från den dihedriska vinkelns ytor. I allmänt fall mitten av en sfär som är inskriven i en polyeder är skärningspunkten för halvledarplanen för alla dihedriska vinklar i polyedern. Den ligger alltid inuti polyedern.

En pyramid omskriven runt en boll En boll sägs vara inskriven i en (godtycklig) pyramid om den vidrör pyramidens alla ytor (både i sidled och bas). Sats: Om sidoytorna lutar lika mycket mot basen, kan en boll inskrivas i en sådan pyramid. Eftersom de tvåsidiga vinklarna vid basen är lika, är deras halvor också lika och bisektrarna skär varandra i en punkt i höjd med pyramiden. Denna punkt tillhör alla halvledarplan vid basen av pyramiden och är på samma avstånd från alla ytor på pyramiden - mitten av den inskrivna kulan.

Formel för att hitta radien för en inskriven sfär Låt SABC vara en pyramid med lika laterala kanter, h är dess höjd, r är radien för den inskrivna cirkeln. Låt oss hitta radien för den omskrivna sfären. Låt SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Sedan, genom egenskapen för bisektrisen av en triangels inre vinkel, O 1 O/OH = O 1 S/SH; ri/r = (h – rl)/; r 1 = rh – rr 1; ri · (+ r) = rh; ri = rh/(+r). Svar: r 1 = rh/(+ r).

Ett prisma omskrivet runt en sfär Teorem: En sfär kan skrivas in i ett prisma om och endast om prismat är rakt och en cirkel vars diameter är lika med prismats höjd kan inskrivas vid basen.

En parallellepiped och en kub beskrivna runt en sfär Teorem: En sfär kan skrivas in i en parallellepiped om och endast om parallellepipeden är en rät linje och dess bas är en romb, och höjden på denna romb är diametern på den inskrivna sfären, vilket i sin tur är lika med parallellepipedens höjd. (Av alla parallellogram kan bara en cirkel skrivas in i en romb) Sats: En sfär kan alltid skrivas in i en kub. Mitten av denna sfär är skärningspunkten för kubens diagonaler, och radien är lika med halva längden på kubens kant.

En cylinder och en kon som beskrivs runt en sfär: En sfär kan bara skrivas in i en cylinder vars höjd är lika med basens diameter. Teorem: En sfär kan skrivas in i vilken kon som helst.

Kombinationer av figurer Inskrivna och omskrivna prismor Ett prisma inskrivet i en cylinder är ett prisma där basernas plan är planen för cylinderns baser, och sidokanterna är cylinderns generatorer. Ett tangentplan till en cylinder är ett plan som går genom cylinderns generatris och vinkelrätt mot planet för den axiella sektionen som innehåller denna generatris. Ett prisma som beskrivs runt en cylinder är ett prisma vars basplan är planen för cylinderns baser, och sidoytorna berör cylindern.

Inskrivna och omskrivna pyramider En pyramid inskriven i en kon är en pyramid vars bas är en polygon inskriven i cirkeln av konens bas, och spetsen är konens spets. De laterala kanterna på en pyramid inskrivna i en kon bildar konen. Ett tangentplan till en kon är ett plan som går genom generatrisen och vinkelrätt mot planet för den axiella sektion som innehåller denna generatris. En pyramid omskriven runt en kon är en pyramid vars bas är en polygon omskriven runt konens bas, och spetsen sammanfaller med konens spets. Planen på sidoytorna på den beskrivna pyramiden tangerar konens plan.

Andra typer av konfigurationer En cylinder är inskriven i en pyramid om cirkeln på en av dess baser vidrör pyramidens alla sidoytor och dess andra bas ligger på pyramidens bas. En kon är inskriven i ett prisma om dess vertex ligger på prismats övre bas, och dess bas är en cirkel inskriven i en polygon - prismats nedre bas. Ett prisma är inskrivet i en kon om alla hörn i prismats övre bas ligger på konens sidoyta och prismats nedre bas ligger på konens bas.

Uppgift 1 I en vanlig fyrkantig pyramid är basens sida lika med a, och planvinkeln vid spetsen är lika med α. Hitta radien för bollen inskriven i pyramiden. Lösning: Låt oss uttrycka sidorna av ∆SOK i termer av a och α. OK = a/2. SK = KC cot(a/2); SK = (en spjälsäng(α/2))/2. SO = = (a/2) Med formeln r 1 = rh/(+ r) hittar vi radien för den inskrivna kulan: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α/2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α/2) + 1) = (a/2) Svar: r 1 = (a/2) =

Slutsats Ämnet ”Polyhedra” studeras av elever i årskurs 10 och 11, men i läroplan det finns väldigt lite material om ämnet "Inskrivna och omskrivna polyedrar", även om det väcker stort intresse bland studenter, eftersom studiet av polyedrarnas egenskaper bidrar till utvecklingen av abstrakt och logiskt tänkande, vilket senare kommer att vara användbart för oss i studien , arbete och liv. Under arbetet med den här uppsatsen studerade vi allt teoretiskt material om ämnet "Inskrivna och omskrivna polyedrar", undersökte möjliga kombinationer av figurer och lärde oss att tillämpa allt studerat material i praktiken. Problem som involverar kombinationen av kroppar är den svåraste frågan i stereometrikursen i 11:e klass. Men nu kan vi med tillförsikt säga att vi inte kommer att ha problem med att lösa sådana problem, eftersom under vår forskningsarbete vi etablerade och bevisade egenskaperna hos inskrivna och omskrivna polyedrar. Mycket ofta har eleverna svårt att konstruera en ritning för ett problem i detta ämne. Men efter att ha lärt oss att för att lösa problem som involverar kombinationen av en boll med en polyeder, är bilden av bollen ibland onödig och det räcker för att indikera dess centrum och radie, kan vi vara säkra på att vi inte kommer att ha dessa svårigheter. Tack vare denna uppsats kunde vi förstå detta svåra men mycket fascinerande ämne. Vi hoppas att vi nu inte kommer att ha några svårigheter att tillämpa det studerade materialet i praktiken.

Polyedrar inskrivna i en sfär. Grundläggande definitioner och satser. Definition. En sfär sägs vara omskriven kring en polyeder (eller en polyeder inskriven i en sfär) om alla hörn på polyedern ligger på denna sfär.

Bild 8 från presentationen "Geometriproblem" 11:e klass. Storleken på arkivet med presentationen är 1032 KB.

Geometri 11:e klass

sammanfattning andra presentationer

"Volymer av geometriska kroppar" - Volymer av polyedrar. Begreppet volym. Volym av pyramiden. Avhämtningskon. Volymen av ett rakt prisma. Svar. Vetenskaperna strävar efter matematik. Lycka till med att lära dig materialet. Volym av en rektangulär parallellepiped. Ritningar och ritningar. Volym av en vanlig fyrkantig pyramid. Egenskaper av områden. Fyrkant. Kanten av en kub. Begreppet volym av kroppar. Fyrkant. Cylindervolym. Kon. Polygon. Geometriska figurer. Tre mässingskuber.

"Vektorer i rymden" - Vektorkoordinater. Skillnader. Vektorer i rymden. Skillnaden mellan två vektorer. Multiplicera två vektorer. Åtgärder med vektorer. Enkel vektor. Förmåga att utföra handlingar. Polygonregel. Sonored vektorer. Definition av en vektor. Åtgärd med vektorer. Vektorerna är icke-samplanära. Lösning.

"Geometriska problem i Unified State Exam" - Ytarea av en polyeder. Hitta tangenten för den yttre vinkeln. Deltog i skapandet av presentationen. Uppgiftsalternativ. Arean av en triangel. Arean av en trapets. Hitta arean av triangeln. Arean av en del av en cirkel. Grundläggande referensmaterial. Planimetri. Vanliga misstag. Grunderna i geometri. Muntliga övningar. Möjliga arbetsuppgifter. Kunna utföra handlingar med geometriska former. Hitta volymen på polyedern.

"Beräkna volymen av en rotationskropp" - Cone. Hitta volymen. Boll. Cylinder och kon. Cylinder. Volym av en kon. Sfär. Typer av rotationskroppar. Figur. Volym V av en kon. Definition av en kon. Cylindriskt kärl. Definition av en cylinder. Cylindrar finns runt omkring oss. Volymer av rotationskroppar. Kub Radier.

"Vektorkoordinater i rymden" - Lärobok. Lösning. Absolutvärde. Summan av vektorer. Vektor skillnad. Allmän början. Samordna. Teckning. Vektorns storlek och riktning. Produkt av en vektor. Segmentets längd. Åtgärder på vektorer i rymden. Flygplan. Bevis. Skalär produkt vektorer. Vektorer i rymden.

"Rörelse" 11:e klass - Symmetri i arkitektur. Axiell symmetri. Parallell överföring. Rörelse. Symmetri i växter. Glidande symmetri. Symmetri i djurvärlden. Introduktion. Sväng. Central symmetri. Rörelse. Spegelsymmetri.

Formel för att hitta radien för en omskriven sfär Låt SABC vara en pyramid med lika laterala kanter, h är dess höjd, R är radien för cirkeln omskriven runt basen. Låt oss hitta radien för den omskrivna sfären. Notera likheten mellan räta trianglar SKO1 och SAO. Då S01/SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Men KS = SA/2. Då är Ri = SA2/(2SO); Ri = (h2 + R2)/(2h); R1 = b2/(2h), där b är en sidokant.

Uppgift 1 Hitta radien för en sfär omskriven om en vanlig tetraeder med kant a. Lösning: SOi = SA2/(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Svar: SO 1 = a /4. Låt oss först konstruera en bild av mitten av en omskriven boll med hjälp av bilden av en vanlig tetraeder SABC. Låt oss rita apotemerna SD och AD (SD = AD). I den likbenta triangeln ASD är varje punkt i median-DN på samma avstånd från ändarna av segmentet AS. Därför är punkt O 1 skärningspunkten mellan höjden SO och segmentet DN. Med formeln från R 1 = b 2 /(2h) får vi:

Uppgift 2 Lösning: Genom att använda formeln R 1 =b 2 /(2h) för att hitta radien för den omskrivna kulan hittar vi SC och SO. SC = a/(2sin(a/2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α I en vanlig fyrkantig pyramid är sidan av basen lika med a, och planvinkeln vid spetsen är lika med α . Hitta radien för den omskrivna kulan. =a/(4sin(a/2) ·: R1 = a/(4sin(a/2) ·).

Position för mitten av en inskriven sfär. Ett halvledsplan är ett plan som delar en dihedrisk vinkel i två lika stora dihedriska vinklar. Varje punkt i detta plan är lika långt från den dihedriska vinkelns ytor. I det allmänna fallet är mitten av en sfär inskriven i en polyeder skärningspunkten för bisekturplanen för alla dihedriska vinklar i polyedern. Den ligger alltid inuti polyedern.

Formel för att hitta radien för en inskriven sfär Låt SABC vara en pyramid med lika laterala kanter, h är dess höjd, r är radien för den inskrivna cirkeln. Låt oss hitta radien för den omskrivna sfären. Låt SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Sedan, genom egenskapen för bisektrisen av en triangels inre vinkel, O 1 O/OH = O 1 S/SH; ri/r = (h – ri)/; r 1 · = rh – rr 1 ; ri · (+ r) = rh; ri = rh/(+r). Svar: r 1 = rh/(+ r).

En parallellepiped och en kub beskrivna runt en sfär Teorem: En sfär kan inskrivas i en parallellepiped om och endast om parallellepipeden är rak och dess bas är en romb, och höjden på denna romb är diametern på den inskrivna sfären, vilket, i sin tur är lika med parallellepipedens höjd. (Av alla parallellogram kan bara en cirkel skrivas in i en romb) Sats: En sfär kan alltid skrivas in i en kub. Mitten av denna sfär är skärningspunkten för kubens diagonaler, och radien är lika med halva längden på kubens kant.

Kombinationer av figurer Inskrivna och omskrivna prismor Ett prisma omskrivet kring en cylinder är ett prisma vars basplan är planen för cylinderns baser, och sidoytorna berör cylindern. Ett prisma inskrivet i en cylinder är ett prisma vars basplan är planen för cylinderns baser, och sidokanterna är cylinderns generatorer. Ett tangentplan till en cylinder är ett plan som går genom cylinderns generatris och vinkelrätt mot planet för den axiella sektionen som innehåller denna generatris.

Inskrivna och omskrivna pyramider En pyramid inskriven i en kon är en pyramid vars bas är en polygon inskriven i cirkeln av konens bas, och spetsen är konens spets. De laterala kanterna på en pyramid inskrivna i en kon bildar konen. En pyramid omskriven runt en kon är en pyramid vars bas är en polygon omskriven runt konens bas, och spetsen sammanfaller med konens spets. Planen på sidoytorna på den beskrivna pyramiden tangerar konens plan. Ett tangentplan till en kon är ett plan som går genom generatrisen och vinkelrätt mot planet för den axiella sektion som innehåller denna generatris.

Uppgift 1 I en vanlig fyrkantig pyramid är basens sida lika med a, och planvinkeln vid spetsen är lika med α. Hitta radien för bollen inskriven i pyramiden. Lösning: Låt oss uttrycka sidorna av SOK i termer av a och α. OK = a/2. SK = KC cot(a/2); SK = (a · ctg(a/2))/2. SO = = (a/2) Med formeln r 1 = rh/(+ r) hittar vi radien för den inskrivna kulan: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Svar: r 1 = (a/2)

Slutsats Ämnet "Polyhedra" studeras av elever i årskurs 10 och 11, men läroplanen innehåller mycket lite material om ämnet "Inskrivna och omskrivna polyedrar", även om det är av stort intresse för eleverna, eftersom studiet av polyedrarnas egenskaper bidrar till utvecklingen av abstrakt och logiskt tänkande, vilket senare kommer att vara användbart för oss i studier, arbete, liv. Under arbetet med den här uppsatsen studerade vi allt teoretiskt material om ämnet "Inskrivna och omskrivna polyedrar", undersökte möjliga kombinationer av figurer och lärde oss att tillämpa allt studerat material i praktiken. Problem som involverar kombinationen av kroppar är den svåraste frågan i stereometrikursen i 11:e klass. Men nu kan vi med tillförsikt säga att vi inte kommer att ha problem med att lösa sådana problem, eftersom vi under vårt forskningsarbete har etablerat och bevisat egenskaperna hos inskrivna och omskrivna polyedrar. Mycket ofta har eleverna svårt att konstruera en ritning för ett problem i detta ämne. Men efter att ha lärt oss att för att lösa problem som involverar kombinationen av en boll med en polyeder, är bilden av bollen ibland onödig och det räcker för att indikera dess centrum och radie, kan vi vara säkra på att vi inte kommer att ha dessa svårigheter. Tack vare denna uppsats kunde vi förstå detta svåra men mycket fascinerande ämne. Vi hoppas att vi nu inte kommer att ha några svårigheter att tillämpa det studerade materialet i praktiken.