9.1. Grafiska diagram över argumentationens struktur Varje argumentation börjar med fastställande och diskussion av vissa fakta, som vidare kommer att kallas data, och med hjälp av vilka en viss slutsats förs fram och motiveras. Dessutom att flytta från

Ikonografi som ett system av metoder: scheman och hot Själva praktiken av ikonografisk analys har bildat ett "testat schema" av sekventiella forskningsåtgärder. Diagrammet innebär: – förtydligande historisk betydelse motiv - ur tidssynpunkt (ögonblick

Om du tror att du inte vet något om Euler-kretsar har du fel. Faktum är att du förmodligen har stött på dem mer än en gång, du visste bara inte vad det hette. Var exakt? Schema i form av Euler-cirklar utgjorde grunden för många populära internetmemes (bilder som cirkulerade online om ett specifikt ämne).

Låt oss tillsammans ta reda på vilken typ av cirklar dessa är, varför de kallas så och varför de är så bekväma att använda för att lösa många problem.

Termens ursprung

är ett geometriskt diagram som hjälper till att hitta och/eller göra logiska samband mellan fenomen och begrepp tydligare. Det hjälper också till att skildra förhållandet mellan en uppsättning och dess del.

Det är inte helt klart än, eller hur? Titta på den här bilden:

Bilden visar en mängd olika möjliga leksaker. Några av leksakerna är byggset – de är markerade i en separat oval. Detta är en del av en stor uppsättning "leksaker" och samtidigt en separat uppsättning (ett byggset kan trots allt vara "Lego" eller primitiva byggset gjorda av block för barn). En del av det stora utbudet av "leksaker" kan vara upprullningsleksaker. De är inte konstruktörer, så vi ritar en separat oval för dem. Den gula ovala "upprullningsbilen" hänvisar både till uppsättningen "leksak" och är en del av den mindre uppsättningen "upprullningsleksak". Därför avbildas den inuti båda ovalarna samtidigt.

Nåväl, har det blivit tydligare? Det är därför Eulercirklar är en metod som tydligt visar: det är bättre att se en gång än att höra hundra gånger. Dess förtjänst är att tydlighet förenklar resonemang och hjälper till att få svar snabbare och enklare.

Metodens författare är vetenskapsmannen Leonhard Euler (1707-1783). Han sa detta om diagrammen som är uppkallade efter honom: "cirklar är lämpliga för att underlätta vårt tänkande." Euler anses vara en tysk, schweizisk och till och med rysk matematiker, mekaniker och fysiker. Faktum är att han arbetade i många år vid St. Petersburgs vetenskapsakademi och gjorde ett betydande bidrag till utvecklingen av rysk vetenskap.

Före honom vägleddes den tyske matematikern och filosofen Gottfried Leibniz av en liknande princip när han konstruerade sina slutsatser.

Eulers metod har fått välförtjänt erkännande och popularitet. Och efter honom använde många forskare det i sitt arbete och modifierade det också på sitt eget sätt. Till exempel använde den tjeckiske matematikern Bernard Bolzano samma metod, men med rektangulära kretsar.

Den tyske matematikern Ernest Schroeder gjorde också sitt bidrag. Men de främsta meriterna tillhör engelsmannen John Venn. Han var specialist på logik och publicerade boken "Symbolisk logik", där han i detalj beskrev sin version av metoden (han använde främst bilder av korsningar av uppsättningar).

Tack vare Venns bidrag kallas metoden till och med för Venn-diagram eller även Euler-Venn-diagram.

Varför behövs Euler-cirklar?

Euler-cirklar har ett tillämpat syfte, det vill säga med deras hjälp löses problem som involverar föreningen eller skärningspunkten av mängder i matematik, logik, ledning och mer i praktiken.

Om vi ​​pratar om typerna av Euler-cirklar kan vi dela in dem i de som beskriver föreningen av vissa begrepp (till exempel förhållandet mellan släkte och art) - vi tittade på dem med ett exempel i början av artikeln.

Och även de som beskriver skärningspunkten mellan uppsättningar enligt någon egenskap. John Venn vägleddes av denna princip i sina planer. Och det är detta som ligger till grund för många populära memes på Internet. Här är ett exempel på sådana Euler-cirklar:

Det är roligt, eller hur? Och viktigast av allt blir allt omedelbart klart. Du kan lägga mycket ord på att förklara din synvinkel, eller så kan du bara rita ett enkelt diagram som omedelbart sätter allt på sin plats.

Förresten, om du inte kan bestämma vilket yrke du ska välja, försök att rita ett diagram i form av Euler-cirklar. Kanske kan en sådan här ritning hjälpa dig att göra ditt val:

De alternativ som kommer att vara i skärningspunkten mellan alla tre cirklar är yrket som inte bara kommer att kunna mata dig, utan också kommer att glädja dig.

Lösa problem med Euler-cirklar

Låt oss titta på några exempel på problem som kan lösas med Euler-cirklar.

Här på denna sida - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina erbjuder intressanta och enkla problem, vars lösning kommer att kräva Euler-metoden. Med hjälp av logik och matematik kommer vi att analysera en av dem.

Problem om favorittecknade filmer

Sjätteklassare fyllde i ett frågeformulär och frågade om deras favorittecknade serier. Det visade sig att de flesta av dem gillade "Snövit och de sju dvärgarna", "Svampbob Fyrkant" och "Vargen och kalven." Det är 38 elever i klassen. 21 elever gillar Snövit och de sju dvärgarna. Dessutom gillar tre av dem också "Vargen och kalven", sex gillar "Svampbob Fyrkant" och ett barn gillar lika mycket alla tre tecknade filmer. "Vargen och kalven" har 13 fans, varav fem namngav två tecknade serier i frågeformuläret. Vi måste bestämma hur många sjätteklassare som gillar Svampbob Fyrkant.

Lösning:

Eftersom vi enligt villkoren för problemet får tre uppsättningar, ritar vi tre cirklar. Och eftersom killarnas svar visar att uppsättningarna korsar varandra, kommer teckningen att se ut så här:

Vi kommer ihåg att enligt villkoren för uppgiften, bland fans av tecknad film "The Wolf and the Calf", valde fem killar två tecknade serier samtidigt:

Det visar sig att:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – killarna valde bara “Snövit och de sju dvärgarna”.

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – killarna tittar bara på "Vargen och kalven."

Det återstår bara att ta reda på hur många sjätteklassare som föredrar den tecknade "SpongeBob SquarePants" framför de två andra alternativen. Från det totala antalet elever subtraherar vi alla de som älskar de andra två tecknade serierna eller valde flera alternativ:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – personer tittar bara på "Svampbob Fyrkant."

Nu kan vi säkert lägga ihop alla resulterande siffror och ta reda på att:

tecknad "Svampbob Fyrkant" valdes av 8 + 2 + 1 + 6 = 17 personer. Detta är svaret på frågan som ställs i problemet.

Låt oss också titta på uppgift, som visades upp 2011 Unified State Exam-test i datavetenskap och IKT (källa - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Villkor för problemet:

I sökmotorns frågespråk används symbolen "|" för att beteckna den logiska "ELLER"-operationen, och symbolen "&" används för den logiska "AND"-operationen.

Tabellen visar frågorna och antalet sidor som hittats för ett visst segment av Internet.

Hur många sidor (i tusentals) kommer att hittas för frågan? Kryssare och slagskepp?

Det antas att alla frågor exekveras nästan samtidigt, så att uppsättningen av sidor som innehåller alla sökta ord inte ändras under exekveringen av frågor.

Lösning:

Med hjälp av Euler-cirklar skildrar vi förutsättningarna för problemet. I det här fallet använder vi siffrorna 1, 2 och 3 för att beteckna de resulterande områdena.

Baserat på förutsättningarna för problemet skapar vi ekvationerna:

1. Kryssare | Slagskepp: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Kryssare: 1 + 2 = 4800
3. Slagskepp: 2 + 3 = 4500

Att hitta Kryssare och slagskepp(anges på ritningen som område 2), ersätt ekvation (2) med ekvation (1) och ta reda på att:

4800 + 3 = 7000, från vilket vi får 3 = 2200.

Nu kan vi ersätta detta resultat i ekvation (3) och ta reda på att:

2 + 2200 = 4500, varav 2 = 2300.

Svar: 2300 - antalet sidor som hittats på begäran Kryssare och slagskepp.

Som du kan se hjälper Euler-cirklar att snabbt och enkelt lösa även ganska komplexa eller helt enkelt förvirrande problem vid första anblicken.

Slutsats

Jag tror att vi har lyckats övertyga dig om att Euler-cirklar inte bara är en rolig och intressant sak, utan också en mycket användbar metod för att lösa problem. Och inte bara abstrakta problem i skollektioner, utan också ganska vardagliga problem. Att välja ett framtida yrke till exempel.

Du kommer förmodligen också att bli nyfiken på att veta det i modern populärkultur Eulers cirklar återspeglas inte bara i form av memes, utan också i populära tv-serier. Som "The Big Bang Theory" och "4Isla".

Använd denna användbara och visuella metod för att lösa problem. Och se till att berätta för dina vänner och klasskamrater om det. Det finns speciella knappar under artikeln för detta ändamål.

webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till källan.

När man löser många problem relaterade till uppsättningar visar sig en teknik baserad på användningen av så kallade "euleriska cirklar" vara oumbärlig. Dessa diagram dök först upp i verk av en av historiens största matematiker, Leonhard Euler, som levde och arbetade länge i Ryssland och var medlem av St. Petersburgs vetenskapsakademi. Användningen av Euler-cirklar ger klarhet när man löser komplexa problem, vilket gör många saker bokstavligen uppenbara. Jag föreslår att du själv ser detta genom att använda exemplet för att lösa följande problem.

Ett exempel på att lösa ett problem med Euler-cirklar

Här måste du förstå att om det sägs att "42 personer använder tunnelbanan" betyder det inte att de inte använder några andra transportmedel än tunnelbanan. Vissa av dem kanske använder dem. Det kan finnas en annan typ av transport, en spårvagn eller en buss. Eller kanske båda på en gång! Frågan om problemet är just att räkna de personer som använder alla tre transportslagen.

Vid första anblicken är det inte ens klart var man ska börja lösningen. Men om du tänker lite så blir det tydligt att du måste agera enligt följande algoritm. Vi kommer att försöka beskriva alla personer (58 personer) med hjälp av de uppgifter som är kända från tillståndet. Vi vet att bussen används av 44 personer. Låt oss lägga till antalet personer som använder tunnelbanan. Det finns bara 42 av dem. Med Euler-cirklar kan denna operation visualiseras enligt följande:

Det vill säga, för närvarande har vi att göra med uttrycket 58 = 44 + 42... Tecknet "..." betyder att uttrycket inte är färdigt än. Problemet är att vi räknade personerna i skärningspunkten mellan dessa cirklar två gånger. Motsvarande område på diagrammet är markerat i mörkgrönt. Därför måste de subtraheras en gång. Det är människor som använder buss och tunnelbana. Som du vet finns det 31 av dem, det vill säga vårt "oavslutade" uttryck har formen: 58 = 44 + 42 - 31... Och den mörkgröna färgen försvinner från diagrammet:

Än så länge är allt bra. Nu lägger vi till folk som åker spårvagn. Det finns 32 sådana personer. Uttrycket har formen: 58 = 44 + 42 - 31 + 32... Diagrammet med Eulercirklar blir i sin tur följande:

Lyckligtvis innehåller det oskuggade området exakt de personer vars antal vi behöver räkna. Faktum är att dessa stackars människor använder alla tre transportsätten varje dag för att ta sig till jobbet, eftersom de befinner sig i skärningspunkten mellan alla tre uppsättningarna. Låt oss beteckna antalet av dessa stackars som . Då ser diagrammet ut så här:

Och ekvationen blir:

Beräkningar ges. Detta är svaret på problemet. Så många människor använder alla tre transportsätten varje dag för att ta sig till jobbet.

Här är en enkel lösning. I själva verket i en ekvation. Helt enkelt fantastiskt, eller hur?! Föreställ dig nu hur du skulle behöva lösa detta problem utan att använda Euler-cirklar. Det skulle vara riktig tortyr. Så återigen är vi övertygade om att alla visualiseringsmetoder är extremt användbara när man löser problem i matematik. Använd dem, det hjälper dig att lösa komplexa problem både vid olympiader och vid inträdesprov i matematik till lyceum och universitet.

För att kontrollera om du förstår lösningen på detta problem väl, svara på följande frågor:

1. Hur många använder bara ett transportmedel för att ta sig till jobbet?
2. Hur många använder exakt två typer av transporter för detta?

Skicka dina svar och lösningar i kommentarerna.

Material framställt av Sergey Valerievich

Beskrivning av presentationen med individuella bilder:

1 rutschkana

Bildbeskrivning:

2 rutschkana

Bildbeskrivning:

Leonard Euler Leonard Euler, 1700-talets största matematiker, föddes i Schweiz. År 1727 På inbjudan av Sankt Petersburgs vetenskapsakademi kom han till Ryssland. Euler befann sig i kretsen av framstående matematiker och fick stora möjligheter att skapa och publicera sina verk. Han arbetade med passion och blev snart, enligt samtidens enhälliga erkännande, den första matematikern i världen. En av de första som använde cirklar för att lösa problem var den framstående tyske matematikern och filosofen Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716). I hans grova skisser hittades teckningar med cirklar. Denna metod utvecklades sedan grundligt av den schweiziske matematikern Leonhard Euler (1707 – 1783). (1707-1783)

3 rutschkana

Bildbeskrivning:

Från 1761 till 1768 skrev han de berömda "Breven till en tysk prinsessa", där Euler talade om sin metod, om att skildra uppsättningar i form av cirklar. Det är därför som ritningar i form av cirklar brukar kallas "euleriska cirklar". Euler noterade att representationen av mängder i form av cirklar "är mycket lämplig för att underlätta vårt resonemang." Det är tydligt att ordet "cirkel" här är mycket godtycklig uppsättningar kan avbildas på ett plan i form av godtyckliga figurer.

4 rutschkana

Bildbeskrivning:

Efter Euler utvecklades samma metod av den tjeckiske matematikern Bernard Bolzano (1781 – 1848). Bara, till skillnad från Euler, ritade han inte cirkulära, utan rektangulära diagram. Eulers cirkelmetod användes även av den tyske matematikern Ernst Schroeder (1841 – 1902). Denna metod används flitigt i hans bok Algebra Logic. Men grafiska metoder nådde sin största blomning i verk av den engelske logikern John Venn (1843 - 1923). Han beskrev denna metod mest fullständigt i sin bok "Symbolic Logic", publicerad i London 1881. För att hedra Venn, i stället för Euler-cirklar, kallas motsvarande ritningar ibland för Venn-diagram; i vissa böcker kallas de också Euler–Venn-diagram (eller cirklar).

5 rutschkana

Bildbeskrivning:

Mycket av alla riktiga nummer Euler avbildad med dessa cirklar: N-uppsättning naturliga tal, Z – mängd heltal, Q – mängd rationella nummer, R är mängden av alla reella tal. Tja, hur hjälper Euler-cirklar att lösa problem? R Q Z N

6 rutschkana

Bildbeskrivning:

Euler-cirklar Detta är en ny typ av problem där du måste hitta en korsning av mängder eller deras förening, iaktta villkoren för problemet.

7 rutschkana

Bildbeskrivning:

EULER-cirklar är ett geometriskt diagram med vilket du kan avbilda relationerna mellan delmängder för en visuell representation.

8 rutschkana

Bildbeskrivning:

Bild 9

Bildbeskrivning:

Lösa problemen "Inhabited Island" och "Hipsters" Några killar från vår klass gillar att gå på bio. Det är känt att 15 barn såg filmen "Inhabited Island", 11 personer såg filmen "Hipsters", varav 6 såg både "Inhabited Island" och "Hipsters". Hur många har bara sett filmen "Hipsters"?

10 rutschkana

Bildbeskrivning:

Lösning Vi ritar två uppsättningar på detta sätt: vi placerar 6 personer som såg filmerna "Inhabited Island" och "Hipsters" i skärningspunkten mellan uppsättningarna. 15 – 6 = 9 – personer som bara tittade på “Inhabited Island”. 11 – 6 = 5 – personer som bara tittade på “Hipsters”. Vi får: Svar. 5 personer tittade bara på "Hipsters". 6 ”bebodd ö” ”Hipsters” ”bebodd ö” ”Hipsters” 9 6 5

11 rutschkana

Bildbeskrivning:

"World of Music" 35 kunder kom till butiken "World of Music". Av dessa köpte 20 personer sångaren Maxims nya skiva, 11 köpte Zemfiras skiva, 10 personer köpte inte en enda skiva. Hur många köpte CD-skivor av både Maxim och Zemfira? Lösning Låt oss representera dessa mängder på Euler-cirklar.

12 rutschkana

Bildbeskrivning:

Låt oss nu räkna: Totalt finns det 35 köpare inuti den stora cirkeln, och 35–10 = 25 köpare inuti de två mindre. Enligt villkoren för problemet köpte 20 köpare sångarens Maxims nya CD, därför köpte 25 - 20 = 5 köpare bara Zemfiras CD. Och problemet säger att 11 köpare köpte Zemfiras skiva, vilket betyder 11 – 5 = 6 köpare köpte både Maxims och Zemfiras skivor: Svar: 6 köpare köpte både Maxims och Zemfiras skivor.

Bild 13

Bildbeskrivning:

Betraktelse av de enklaste fallen av Euler-Venn-cirklar a) Låt en viss mängd ges och egenskap A anges Uppenbarligen kan elementen i denna mängd ha denna egenskap. Därför delas denna uppsättning i två delar, som kan betecknas med A och A*. Detta kan avbildas på två sätt i figuren. Den stora cirkeln representerar den givna mängden, den lilla cirkeln A representerar den del av elementen i den givna mängden som har egenskap A, och den ringformade delen A* representerar den del av elementen som inte har egenskap A.

Bild 14

Bildbeskrivning:

b) Låt en viss mängd ges och två egenskaper indikeras: A, B. Eftersom elementen i en given mängd kan ha var och en av dessa egenskaper eller inte, är fyra fall möjliga: AB, AB*, A*B, A *B*. Följaktligen delas denna uppsättning upp i 4 delmängder. Detta kan också avbildas på två sätt: i form av cirklar eller diagram. I den första figuren är cirkel A en delmängd av de element i en given mängd som har egenskap A, och området utanför cirkeln, dvs. område A* är en delmängd av de element som inte har egenskap A. På liknande sätt ringa in B och området utanför det. I den andra figuren avbildas delmängder A, A*, B*, B annorlunda: delmängd A är området till vänster om den vertikala linjen och delmängd A* är området till höger om denna linje. B och B* avbildas på liknande sätt: område B är den övre halvcirkeln och område B* är den nedre halvcirkeln.

15 rutschkana

Bildbeskrivning:

c) Låt en viss mängd anges och tre egenskaper anges: A, B, C. I detta fall är denna mängd uppdelad i åtta delar. Detta kan skildras på två sätt.

16 rutschkana

Bildbeskrivning:

Problem lösta med Eulercirklar Uppgift nr 1. Hur många naturliga tal från de första tio är inte delbara med vare sig 2 eller 3? Lösning. För att lösa problemet är det bekvämt att använda Euler-cirklar. I vårt fall finns det tre cirklar: den stora cirkeln är en uppsättning siffror från 1 till 10, inuti den stora cirkeln finns två mindre cirklar som skär varandra. Låt mängden tal som är multipler av 2 sättas A, och mängden tal som är multiplar av 3 sättas B. Låt oss resonera. Vartannat tal är delbart med 2. Det betyder att det kommer att finnas 10:2=5 sådana siffror. 3 är delbart med 3 tal (10:3). De tal som är delbara med 6 är delbara med 2 och 3. Det finns bara ett sådant tal. Därför består set A av 5-1=4 nummer, set B – 3-1=2 nummer. Det följer att de första tio innehåller 10-(4+1+2)=3 tal.

Bild 17

Bildbeskrivning:

Problem nr 2. Problem löst med Euler–Venn-diagrammet. Killarna fick i uppdrag att göra kuber. Flera kuber gjordes av kartong och resten av trä. Kuberna finns i två storlekar: stora och små. Några av dem var målade grön färg, den andra – i rött. Detta gjorde 16 gröna kuber. Det fanns 6 stora gröna kuber. Det fanns 9 röda kuber av trä och 11 små kuber i trä. Lösning. Låt oss rita.

18 rutschkana

Bildbeskrivning:

Förberedelse av problem av praktisk betydelse. Uppgift 1. Det är 35 elever i klassen. 12 av dem är engagerade i matteklubben, 9 är i biologiklubben och 16 barn går inte i dessa klubbar. Hur många biologer är intresserade av matematik? Lösning: Vi ser att 19 barn går på klubbar, eftersom 35 - 16 = 19, varav 10 personer går endast i en matteklubb (19-9 = 10) och 2 biologer (12-10 = 2) är intresserade av matematik. Svar: 2 biologer. Med hjälp av Euler-cirklar är det lätt att se ett annat sätt att lösa problemet. Låt oss avbilda antalet elever med en stor cirkel och placera mindre cirklar inuti. Uppenbarligen kommer det i den allmänna delen av kretsarna att finnas just de biologer-matematiker som problemet frågar om. Nu ska vi räkna: Inuti den stora cirkeln finns det 35 elever, inuti cirklarna M och B: 35-16 = 19 elever, inuti cirkeln M - 12 killar, vilket betyder att i den delen av cirkel B, som inte har något med cirkel att göra M, det finns 19-12 =7 elever, därför finns det 2 elever i MB (9-7=2). Således är 2 biologer intresserade av matematik. 1)35-16=19(personer); 2) 12+9=21 (personer); 3)21-19=2(personer). Svar: 2 biologer.

Bild 19

Bildbeskrivning:

Fyll i diagrammet. 1) Vi måste börja med den delmängd för vilken tre egenskaper anges. Dessa är stora gröna kuber gjorda av kartong - det finns 4 sådana kuber 2) Därefter letar vi efter en delmängd för vilken två av de listade tre egenskaperna anges. Dessa är stora gröna kuber - 6. Men denna delmängd består av kartong och trä. Det var 4 kartonger Så 6-4 = 2 trä. 3) Det finns 7 stora träkuber av dessa är 2 gröna. Det betyder att det blir 7-2=5 röda. 4) 9 röda träkuber, varav 5 stora. Det betyder att det blir 9-5=4 små röda träkuber. 5) Det finns 11 små träkuber av dessa, 4 är röda Så det finns 11-4 = 7 små gröna träkuber. 6) Totalt är 16 gröna kuber. Gröna kuber placeras i en ringformad del som består av fyra delar. Det betyder att det finns 16 små gröna kartongkuber - (4+2+7) = 3. 7) Det sista villkoret kvarstår: det fanns 8 röda kartongkuber. Vi behöver inte veta hur många av dem som är små och hur många som är stora. 8) Vi räknar: 2+5+8+4+4+7+3=33. Svar: Totalt gjordes 33 kuber.

22 rutschkana

Bildbeskrivning:

"Matematisk uppslagsverk". För att förbereda detta arbete användes material från webbplatsen http://minisoft.net.ru/ http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html http://reshizadachu.ucoz.ru/ index/ krugi_ehjlera/0-18

Liknande artiklar

Provansökan om återbetalning av fastighetsskatteavdrag

Röda i inbördeskriget

Extra dagpenning: försäkringspremier och beskattning Resebeskattning

Kräftan-Ox-kvinnans egenskaper och kompatibilitet När Kräftan vet, förstår Oxens flod Oxen