Jag ska fatta mig kort. Vinkeln mellan två räta linjer är lika med vinkeln mellan deras riktningsvektorer. Således, om du lyckas hitta koordinaterna för riktningsvektorerna a = (x 1 ; y 1 ; z 1) och b = (x 2 ; y 2​; z 2), så kan du hitta vinkeln. Mer exakt, cosinus för vinkeln enligt formeln:

Låt oss se hur den här formeln fungerar med hjälp av specifika exempel:

Uppgift. I kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 är punkterna E och F markerade - mittpunkterna på kanterna A 1 B 1 respektive B 1 C 1. Hitta vinkeln mellan linjerna AE och BF.

Eftersom kanten på kuben inte är specificerad, låt oss sätta AB = 1. Vi introducerar ett standardkoordinatsystem: origo är vid punkten A, x-, y- och z-axlarna är riktade längs AB, AD respektive AA 1. Enhetssegmentet är lika med AB = 1. Låt oss nu hitta koordinaterna för riktningsvektorerna för våra linjer.

Låt oss hitta koordinaterna för vektorn AE. För detta behöver vi punkterna A = (0; 0; 0) och E = (0,5; 0; 1). Eftersom punkt E är mitten av segmentet A 1 B 1 är dess koordinater lika med det aritmetiska medelvärdet av koordinaterna för ändarna. Observera att ursprunget för vektorn AE sammanfaller med ursprunget för koordinaterna, så AE = (0,5; 0; 1).

Låt oss nu titta på BF-vektorn. På liknande sätt analyserar vi punkterna B = (1; 0; 0) och F = (1; 0,5; 1), eftersom F är mitten av segmentet B 1 C 1. Vi har:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Så, riktningsvektorerna är klara. Cosinus för vinkeln mellan räta linjer är cosinus för vinkeln mellan riktningsvektorerna, så vi har:

Uppgift. I ett regelbundet triangulärt prisma ABCA 1 B 1 C 1, vars alla kanter är lika med 1, är punkterna D och E markerade - mittpunkterna på kanterna A 1 B 1 respektive B 1 C 1. Hitta vinkeln mellan linjerna AD och BE.

Låt oss introducera ett standardkoordinatsystem: origo är vid punkt A, x-axeln är riktad längs AB, z - längs AA 1. Låt oss rikta y-axeln så att OXY-planet sammanfaller med ABC-planet. Enhetssegmentet är lika med AB = 1. Låt oss hitta koordinaterna för riktningsvektorerna för de erforderliga linjerna.

Låt oss först hitta koordinaterna för vektorn AD. Tänk på punkterna: A = (0; 0; 0) och D = (0,5; 0; 1), eftersom D - mitten av segmentet A 1 B 1. Eftersom början av vektorn AD sammanfaller med ursprunget för koordinater får vi AD = (0,5; 0; 1).

Låt oss nu hitta koordinaterna för vektor BE. Punkt B = (1; 0; 0) är lätt att beräkna. Med punkt E - mitten av segmentet C 1 B 1 - är det lite mer komplicerat. Vi har:

Det återstår att hitta cosinus för vinkeln:

Uppgift. I ett regelbundet hexagonalt prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, vars alla kanter är lika med 1, är punkterna K och L markerade - mittpunkterna på kanterna A 1 B 1 respektive B 1 C 1 . Hitta vinkeln mellan linjerna AK och BL.

Låt oss introducera ett standardkoordinatsystem för ett prisma: vi placerar origo för koordinater i mitten av den nedre basen, x-axeln är riktad längs FC, y-axeln är riktad genom mittpunkterna av segmenten AB och DE, och z axeln är riktad vertikalt uppåt. Enhetssegmentet är återigen lika med AB = 1. Låt oss skriva ner koordinaterna för de intressanta platserna för oss:

Punkterna K och L är mittpunkterna för segmenten A 1 B 1 respektive B 1 C 1, så deras koordinater hittas genom det aritmetiska medelvärdet. Genom att känna till punkterna hittar vi koordinaterna för riktningsvektorerna AK och BL:

Låt oss nu hitta cosinus för vinkeln:

Uppgift. I en vanlig fyrkantig pyramid SABCD, vars alla kanter är lika med 1, är punkterna E och F markerade - mittpunkterna på sidorna SB respektive SC. Hitta vinkeln mellan linjerna AE och BF.

Låt oss introducera ett standardkoordinatsystem: origo är i punkt A, x- och y-axlarna är riktade längs AB respektive AD, och z-axeln är riktad vertikalt uppåt. Enhetssegmentet är lika med AB = 1.

Punkterna E och F är mittpunkterna för segmenten SB respektive SC, så deras koordinater återfinns som det aritmetiska medelvärdet av ändarna. Låt oss skriva ner koordinaterna för de intressanta platserna för oss:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Genom att känna till punkterna hittar vi koordinaterna för riktningsvektorerna AE och BF:

Koordinaterna för vektor AE sammanfaller med koordinaterna för punkt E, eftersom punkt A är origo. Det återstår att hitta cosinus för vinkeln:

VINKEL MELLAN PLAN

Betrakta två plan α 1 och α 2, definierade av respektive ekvationer:

Under vinkel mellan två plan kommer vi att förstå en av de dihedriska vinklarna som bildas av dessa plan. Det är uppenbart att vinkeln mellan normalvektorerna och planen α 1 och α 2 är lika med en av de angivna intilliggande dihedriska vinklarna eller . Det är därför . Därför att Och , Den där

.

Exempel. Bestäm vinkeln mellan planen x+2y-3z+4=0 och 2 x+3y+z+8=0.

Villkor för parallellitet mellan två plan.

Två plan α 1 och α 2 är parallella om och endast om deras normalvektorer är parallella, och därför .

Så två plan är parallella med varandra om och endast om koefficienterna för motsvarande koordinater är proportionella:

eller

Villkor för vinkelräta plan.

Det är tydligt att två plan är vinkelräta om och endast om deras normala vektorer är vinkelräta, och därför eller .

Således, .

Exempel.

RAKT I RYMMEN.

VEKTOREKVATION FÖR EN LINJE.

PARAMETRISKA DIREKT EKVATIONER

Positionen för en linje i rymden bestäms helt genom att specificera någon av dess fixpunkter M 1 och en vektor parallell med denna linje.

En vektor parallell med en linje kallas guider vektor av denna linje.

Så låt den raka linjen l passerar genom en punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1), liggande på en linje parallell med vektorn.

Tänk på en godtycklig punkt M(x,y,z) på en rak linje. Av figuren är det tydligt att .

Vektorer och är kolinjära, så det finns ett sådant nummer t, vad , var är multiplikatorn t kan ta vilket numeriskt värde som helst beroende på punktens position M på en rak linje. Faktor t kallas en parameter. Efter att ha utsett radievektorerna för punkter M 1 och M respektive genom och får vi . Denna ekvation kallas vektor ekvation för en rät linje. Det visar det för varje parametervärde t motsvarar radievektorn för någon punkt M, liggande på en rak linje.

Låt oss skriva denna ekvation i koordinatform. Lägg märke till att , och härifrån

De resulterande ekvationerna kallas parametrisk ekvationer för en rät linje.

När du ändrar en parameter t koordinater ändras x, y Och z och period M rör sig i en rak linje.

DIREKTENS KANONISKA EKVATIONER

Låta M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – en punkt som ligger på en rak linje l, Och är dess riktningsvektor. Låt oss återigen ta en godtycklig punkt på linjen M(x,y,z) och överväga vektorn.

Det är tydligt att vektorerna också är kolinjära, så deras motsvarande koordinater måste vara proportionella, därför,

– kanonisk ekvationer för en rät linje.

Anteckning 1. Observera att linjens kanoniska ekvationer kan erhållas från de parametriska genom att eliminera parametern t. Ja, från de parametriska ekvationerna vi får eller .

Exempel. Skriv ner linjens ekvation i parametrisk form.

Låt oss beteckna , härifrån x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Anteckning 2. Låt den räta linjen vara vinkelrät mot en av koordinataxlarna, till exempel axeln Oxe. Då är linjens riktningsvektor vinkelrät Oxe, därav, m=0. Följaktligen kommer linjens parametriska ekvationer att ta formen

Exklusive parametern från ekvationerna t, får vi linjens ekvationer i formen

Men även i detta fall är vi överens om att formellt skriva linjens kanoniska ekvationer i formuläret . Alltså, om nämnaren för ett av bråken är noll, betyder det att den räta linjen är vinkelrät mot motsvarande koordinataxel.

Liknar de kanoniska ekvationerna motsvarar en rät linje vinkelrät mot axlarna Oxe Och Oj eller parallellt med axeln Uns.

Exempel.

ALLMÄNNA EKVATIONER FÖR EN RAK LINJE SOM Skärningslinjer mellan två plan

Genom varje rak linje i rymden finns otaliga plan. Vilken som helst två av dem, som skär varandra, definierar den i rymden. Följaktligen representerar ekvationerna för två sådana plan, betraktade tillsammans, ekvationerna för denna linje.

I allmänhet, vilka två icke-parallella plan som helst som ges av de allmänna ekvationerna

bestämma den räta linjen för deras skärningspunkt. Dessa ekvationer kallas allmänna ekvationer hetero.

Exempel.

Konstruera en linje som ges av ekvationerna

För att konstruera en rät linje räcker det att hitta två av dess punkter. Det enklaste sättet är att välja skärningspunkterna för en rät linje med koordinatplan. Till exempel skärningspunkten med planet xOy vi erhåller från ekvationerna för den räta linjen, om vi antar z= 0:

Efter att ha löst detta system hittar vi poängen M 1 (1;2;0).

På samma sätt, förutsatt y= 0, får vi skärningspunkten för linjen med planet xOz:

Från de allmänna ekvationerna för en rät linje kan man gå vidare till dess kanoniska eller parametriska ekvationer. För att göra detta måste du hitta någon punkt M 1 på en rät linje och riktningsvektorn för en rät linje.

Punktkoordinater M 1 får vi från detta ekvationssystem, vilket ger en av koordinaterna ett godtyckligt värde. För att hitta riktningsvektorn, notera att denna vektor måste vara vinkelrät mot båda normalvektorerna Och . Därför bortom riktningsvektorn för den räta linjen l du kan ta vektorprodukten av normala vektorer:

.

Exempel. Ge linjens allmänna ekvationer till den kanoniska formen.

Låt oss hitta en punkt som ligger på en linje. För att göra detta väljer vi godtyckligt en av koordinaterna, t.ex. y= 0 och lös ekvationssystemet:

Normalvektorerna för de plan som definierar linjen har koordinater Därför kommer riktningsvektorn att vara rak

. Därav, l: .

VINKEL MELLAN RAKA

Vinkel mellan räta linjer i rymden kommer vi att kalla någon av de intilliggande vinklarna som bildas av två räta linjer som dras genom en godtycklig punkt parallell med data.

Låt två linjer ges i rymden:

Uppenbarligen kan vinkeln φ mellan räta linjer tas som vinkeln mellan deras riktningsvektorer och . Eftersom , sedan med hjälp av formeln för cosinus för vinkeln mellan vektorer får vi

Vinkel mellan räta linjer i rymden kommer vi att kalla någon av de intilliggande vinklarna som bildas av två räta linjer som dras genom en godtycklig punkt parallell med data.

Låt två linjer ges i rymden:

Uppenbarligen kan vinkeln φ mellan räta linjer tas som vinkeln mellan deras riktningsvektorer och . Eftersom , sedan med hjälp av formeln för cosinus för vinkeln mellan vektorer får vi

Villkoren för parallellitet och vinkelräthet för två räta linjer är ekvivalenta med villkoren för parallellitet och vinkelräthet för deras riktningsvektorer och:

Två raka parallell om och endast om deras motsvarande koefficienter är proportionella, dvs. l 1 parallell l 2 om och endast om är parallell med .

Två raka vinkelrät om och endast om summan av produkterna av motsvarande koefficienter är lika med noll: .

U mål mellan linje och plan

Låt det vara rakt d- inte vinkelrät mot θ-planet;
d′− projektion av en linje d till θ-planet;
Den minsta vinkeln mellan raka linjer d Och d"vi ringer vinkeln mellan en rät linje och ett plan.
Låt oss beteckna det som φ=( d,θ)
Om d⊥θ, sedan ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− rektangulärt koordinatsystem.
Planekvation:

θ: Yxa+Förbi+Cz+D=0

Vi antar att den räta linjen definieras av en punkt och en riktningsvektor: d[M 0,sid→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Sedan återstår att ta reda på vinkeln mellan vektorerna n→ och sid→, låt oss beteckna det som γ=( n→,sid→).

Om vinkeln γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Om vinkeln är γ>π/2 så är den önskade vinkeln φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Sedan, vinkel mellan rät linje och plan kan beräknas med formeln:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√sid 21+sid 22+sid 23

Fråga 29. Begreppet kvadratisk form. Teckendefinition av kvadratiska former.

Kvadratisk form j (x 1, x 2, …, x n) n reella variabler x 1, x 2, …, x n kallas summan av formen, (1)

Var en ij – några tal som kallas koefficienter. Utan förlust av allmänhet kan vi anta det en ij = en ji.

Den kvadratiska formen kallas giltig, Om en ij Î GR. Matris av kvadratisk form kallas en matris som består av dess koefficienter. Den kvadratiska formen (1) motsvarar en enda symmetrisk matris, dvs. A T = A. Följaktligen kan kvadratisk form (1) skrivas i matrisform j ( X) = x T Ah, Var x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Och omvänt, varje symmetrisk matris (2) motsvarar en unik kvadratisk form upp till notationen av variabler.

Rang av kvadratisk form kallas rangen för dess matris. Den kvadratiska formen kallas icke degenererad, om dess matris är icke-singular A. (kom ihåg att matrisen A kallas icke-degenererad om dess determinant inte är lika med noll). Annars är den kvadratiska formen degenererad.

positivt definitivt(eller strikt positiv) om

j ( X) > 0 , för vem som helst X = (X 1 , X 2 , …, x n), bortsett från X = (0, 0, …, 0).

Matris A positiv bestämd kvadratisk form j ( X) kallas också positiv definit. Därför motsvarar en positiv bestämd kvadratisk form en unik positiv bestämd matris och vice versa.

Den kvadratiska formen (1) kallas negativt definierad(eller strikt negativ) om

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), bortsett från X = (0, 0, …, 0).

På samma sätt som ovan kallas en matris med negativ definit kvadratisk form också negativ definit.

Följaktligen, den positiva (negativa) bestämda kvadratiska formen j ( X) når det lägsta (högsta) värdet j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Observera att de flesta andragradsformer inte är teckenbestämda, det vill säga de är varken positiva eller negativa. Sådana kvadratiska former försvinner inte bara vid koordinatsystemets ursprung, utan också vid andra punkter.

När n> 2 krävs särskilda kriterier för att kontrollera tecknet på en kvadratisk form. Låt oss titta på dem.

Större minderåriga kvadratisk form kallas mindreåriga:

det vill säga dessa är minderåriga i storleksordningen 1, 2, ..., n matriser A, belägen i det övre vänstra hörnet, den sista av dem sammanfaller med matrisens determinant A.

Positivt bestämbarhetskriterium (Sylvesters kriterium)

X) = x T Ah var positiv definitivt, är det nödvändigt och tillräckligt att alla större minderåriga i matrisen A var positiva, det vill säga: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Negativt säkerhetskriterium För att den andragradsformen j ( X) = x T Ah var negativt definitivt, är det nödvändigt och tillräckligt att dess huvudsakliga minderåriga av jämn ordning är positiva och av udda ordning - negativa, dvs. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Med hjälp av denna online-kalkylator kan du hitta vinkeln mellan raka linjer. En detaljerad lösning med förklaringar ges. För att beräkna vinkeln mellan räta linjer, ställ in dimensionen (2 om en rät linje på ett plan beaktas, 3 om en rät linje i rymden beaktas), skriv in elementen i ekvationen i cellerna och klicka på "Lös" knapp. Se den teoretiska delen nedan.

×

Varning

Rensa alla celler?

Stäng Rensa

Instruktioner för datainmatning. Tal skrivs in som heltal (exempel: 487, 5, -7623, etc.), decimaler (ex. 67., 102.54, etc.) eller bråk. Bråket måste anges i formen a/b, där a och b (b>0) är heltal eller decimaltal. Exempel 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 osv.

1. Vinkel mellan raka linjer på ett plan

Linjer definieras av kanoniska ekvationer

1.1. Bestämma vinkeln mellan räta linjer

Låt linjerna i tvådimensionellt utrymme L 1 och L

Från formel (1.4) kan vi alltså hitta vinkeln mellan de räta linjerna L 1 och L 2. Som framgår av fig. 1 bildar skärande linjer intilliggande vinklar φ Och φ 1 . Om vinkeln som hittas är större än 90°, kan du hitta den minsta vinkeln mellan raka linjer L 1 och L 2: φ 1 =180-φ .

Från formel (1.4) kan vi härleda villkoren för parallellitet och vinkelräthet för två räta linjer.

Exempel 1. Bestäm vinkeln mellan linjer

Låt oss förenkla och lösa:

1.2. Villkor för parallella linjer

Låta φ =0. Sedan cosφ=1. I det här fallet kommer uttrycket (1.4) att ha följande form:

,

,

Exempel 2: Bestäm om linjerna är parallella

Likhet (1.9) är uppfyllt, därför är linjer (1.10) och (1.11) parallella.

Svar. Linjerna (1.10) och (1.11) är parallella.

1.3. Villkor för vinkelräta linjer

Låta φ =90°. Sedan cosφ=0. I det här fallet kommer uttrycket (1.4) att ha följande form:

Exempel 3. Bestäm om linjerna är vinkelräta

Villkoret (1.13) är uppfyllt, därför är linjerna (1.14) och (1.15) vinkelräta.

Svar. Linjerna (1.14) och (1.15) är vinkelräta.

Linjer definieras av allmänna ekvationer

1.4. Bestämma vinkeln mellan räta linjer

Låt två raka linjer L 1 och L 2 ges av allmänna ekvationer

Från definitionen av den skalära produkten av två vektorer har vi:

Exempel 4. Hitta vinkeln mellan linjer

Ersätter värden A 1 , B 1 , A 2 , B 2 tum (1,23), får vi:

Denna vinkel är större än 90°. Låt oss hitta den minsta vinkeln mellan raka linjer. För att göra detta, subtrahera denna vinkel från 180:

Å andra sidan, tillståndet för parallella linjer L 1 och L 2 är ekvivalent med tillståndet för vektorers kollinearitet n 1 och n 2 och kan representeras så här:

Likhet (1,24) är uppfyllt, därför är linjer (1,26) och (1,27) parallella.

Svar. Linjerna (1.26) och (1.27) är parallella.

1.6. Villkor för vinkelräta linjer

Villkor för vinkelräta linjer L 1 och L 2 kan extraheras från formel (1.20) genom att ersätta cos(φ )=0. Sedan den skalära produkten ( n 1 ,n 2)=0. Var

Jämlikhet (1,28) är uppfylld, därför är linjer (1,29) och (1,30) vinkelräta.

Svar. Linjerna (1.29) och (1.30) är vinkelräta.

2. Vinkel mellan raka linjer i rymden

2.1. Bestämma vinkeln mellan räta linjer

Låt det finnas raka linjer i rymden L 1 och L 2 ges av kanoniska ekvationer

där | q 1 | och | q 2 | riktningsvektormoduler q 1 och q 2 respektive, φ -vinkel mellan vektorer q 1 och q 2 .

Från uttryck (2.3) får vi:

.

Låt oss förenkla och lösa:

.

Låt oss hitta vinkeln φ

Definition. Om två linjer ges y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, kommer den spetsiga vinkeln mellan dessa linjer att definieras som

Två linjer är parallella om k 1 = k 2. Två linjer är vinkelräta om k 1 = -1/ k 2.

Sats. Linjerna Ax + Bу + C = 0 och A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 är parallella när koefficienterna A 1 = λA, B 1 = λB är proportionella. Om också C 1 = λC, så sammanfaller linjerna. Koordinaterna för skärningspunkten för två linjer finns som en lösning på ekvationssystemet för dessa linjer.

Ekvation för en linje som går genom en given punkt

Vinkelrät mot en given linje

Definition. En rät linje som går genom punkten M 1 (x 1, y 1) och vinkelrät mot den räta linjen y = kx + b representeras av ekvationen:

Avstånd från punkt till linje

Sats. Om en punkt M(x 0, y 0) ges, så bestäms avståndet till linjen Ax + Bу + C = 0 som

.

Bevis. Låt punkten M 1 (x 1, y 1) vara basen för den vinkelräta som faller från punkt M till en given rät linje. Då är avståndet mellan punkterna M och M 1:

(1)

Koordinaterna x 1 och y 1 kan hittas genom att lösa ekvationssystemet:

Systemets andra ekvation är ekvationen för en linje som går genom en given punkt M 0 vinkelrätt mot en given linje. Om vi ​​transformerar den första ekvationen i systemet till formen:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sedan, när vi löser, får vi:

Genom att ersätta dessa uttryck i ekvation (1) finner vi:

Teoremet har bevisats.

Exempel. Bestäm vinkeln mellan linjerna: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k^ = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Exempel. Visa att linjerna 3x – 5y + 7 = 0 och 10x + 6y – 3 = 0 är vinkelräta.

Lösning. Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, därför är linjerna vinkelräta.

Exempel. Angivna är hörnen på triangeln A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Hitta ekvationen för höjden från vertex C.

Lösning. Vi hittar ekvationen för sidan AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Den nödvändiga höjdekvationen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Då är y = . Därför att höjden passerar genom punkt C, då uppfyller dess koordinater denna ekvation: där b = 17. Totalt: .

Svar: 3 x + 2 år – 34 = 0.

Ekvationen för en linje som går genom en given punkt i en given riktning. Ekvation för en linje som går genom två givna punkter. Vinkeln mellan två raka linjer. Villkoret för parallellitet och vinkelräthet för två raka linjer. Bestämma skärningspunkten för två linjer

1. Ekvation för en linje som går genom en given punkt A(x 1 , y 1) i en given riktning, bestäms av lutningen k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Denna ekvation definierar en penna av linjer som passerar genom en punkt A(x 1 , y 1), som kallas strålens centrum.

2. Ekvation för en linje som går genom två punkter: A(x 1 , y 1) och B(x 2 , y 2), skrivet så här:

Vinkelkoefficienten för en rät linje som går genom två givna punkter bestäms av formeln

3. Vinkel mellan raka linjer A Och Bär vinkeln med vilken den första räta linjen måste roteras A runt skärningspunkten för dessa linjer moturs tills den sammanfaller med den andra linjen B. Om två räta linjer ges av ekvationer med en lutning

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

då bestäms vinkeln mellan dem av formeln

Det bör noteras att i täljaren av bråket subtraheras lutningen på den första linjen från lutningen på den andra linjen.

Om en linjes ekvationer ges i allmän form

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

vinkeln mellan dem bestäms av formeln

4. Villkor för parallellitet mellan två linjer:

a) Om linjerna ges av ekvationer (4) med en vinkelkoefficient, är det nödvändiga och tillräckliga villkoret för deras parallellitet likheten mellan deras vinkelkoefficienter:

k 1 = k 2 . (8)

b) För det fall då linjerna ges av ekvationer i allmän form (6) är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för deras parallellitet att koefficienterna för motsvarande aktuella koordinater i deras ekvationer är proportionella, d.v.s.

5. Villkor för vinkelräthet av två räta linjer:

a) I fallet när linjerna ges av ekvation (4) med en vinkelkoefficient, är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för deras vinkelräthet att deras vinkelkoefficienter är omvända i storlek och motsatta i tecken, d.v.s.

Detta villkor kan också skrivas i formuläret

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Om linjeekvationerna ges i allmän form (6), så är villkoret för deras vinkelräthet (nödvändigt och tillräckligt) att uppfylla likheten

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinaterna för skärningspunkten för två linjer hittas genom att lösa ekvationssystemet (6). Linjer (6) korsar om och endast om

1. Skriv ekvationerna för linjer som går genom punkten M, varav en är parallell och den andra vinkelrät mot den givna linjen l.

Liknande artiklar