Predikat (lat. praedicatum- angett, nämnt, sagt) - varje matematiskt påstående där det finns minst en variabel. Predikatet är det huvudsakliga studieobjektet i första ordningens logik.
Ett predikat är ett uttryck med logiska variabler som är meningsfulla för alla tillåtna värden för dessa variabler.
Uttryck: x > 5, x > y – predikat.
Predikat ( n-lokal, eller n-ary) är en funktion med en uppsättning värden (0,1) (eller "falskt" och "sant"), definierade på uppsättningen. Således varje uppsättning av element i uppsättningen M karakteriseras som antingen "sant" eller "falskt".
Ett predikat kan associeras med en matematisk relation: om n-ka tillhör relationen, då kommer predikatet att returnera 1 på det. I synnerhet definierar ett unärt predikat förhållandet mellan medlemskap och en viss mängd.
Ett predikat är ett av logikens element av den första och högre ordningen. Med utgångspunkt från andra ordningens logik kan kvantifierare placeras på predikat i formler.
Predikatet kallas identiskt sant och skriv:
om den på någon uppsättning argument tar värdet 1.
Predikatet kallas identiskt falskt och skriv:
om på någon uppsättning argument tar den värdet 0.
Predikatet kallas möjlig, om det tar värdet 1 på minst en uppsättning argument.
Eftersom predikat bara har två betydelser, är alla operationer av boolesk algebra tillämpliga på dem, till exempel: negation, implikation, konjunktion, disjunktion, etc.
Kvantifierare är ett vanligt namn för logiska operationer, vilket begränsar sanningsområdet för något predikat. Oftast nämns:
Universell kvantifierare(beteckning: lyder: "för alla...", "för alla..." eller "varje...", "alla...", "för alla...").
Existens kvantifierare(beteckning: , lyder: ”finns...” eller ”kommer att hittas...”).
Exempel
Låt oss beteckna P(x) predikat " x delbart med 5." Med den allmänna kvantifieraren kan vi formellt skriva följande påståenden (falskt, naturligtvis):
några naturligt nummer multipel av 5;
varje naturligt tal är en multipel av 5;
alla naturliga tal är multiplar av 5;
på följande sätt:
.
Följande (redan sanna) påståenden använder den existentiella kvantifieraren:
det finns naturliga tal som är multiplar av 5;
det finns ett naturligt tal som är en multipel av 5;
minst ett naturligt tal är delbart med 5.
Deras formella notation:
.Introduktion till konceptet
Låt på uppsättningen X primtal predikatet P(x) ges: "Primtalet x är udda." Låt oss ersätta ordet "vilken som helst" framför detta predikat. Vi får det falska påståendet "vilket som helst primtal x är udda" (detta påstående är falskt, eftersom 2 är ett jämnt primtal).
Genom att ersätta ordet "finns" framför det givna predikatet P(x), får vi det sanna påståendet "Det finns ett primtal x som är udda" (exempelvis x = 3).
Således kan du förvandla ett predikat till ett påstående genom att framför predikatet placera orden "allt", "finns" etc., kallade kvantifierare i logiken.
Kvantifierare i matematisk logik
Uttalandet innebär att intervallet för variabeln x ingår i predikatets sanningsdomän P(x).
("För alla värden av (x) är påståendet sant.")
Uttalandet innebär att predikatets sanningsdomän P(x) är inte tom.
("Det finns ett (x) för vilket påståendet är sant").
Fråga 31 Diagram och dess element. Grundläggande koncept. Förekomst, mångfald, loop, angränsning. Typer av grafer. Rutten i grafen och dess längd. Klassificering av rutter. Närliggande matriser av riktade och oriktade grafer.
Inom matematisk grafteori och datavetenskap är en graf en samling av en icke-tom uppsättning av hörn och en uppsättning av par av hörn.
Objekt representeras som hörn, eller noder, i en graf, och anslutningar representeras som bågar eller kanter. För olika användningsområden kan typer av grafer skilja sig åt i riktning, begränsningar av antalet anslutningar och ytterligare data om hörn eller kanter.
En bana (eller kedja) i en graf är en ändlig sekvens av hörn där varje hörn (förutom den sista) är ansluten till nästa i sekvensen av hörn med en kant.
En riktad bana i en digraf är en ändlig sekvens av hörn v i 
, för vilken alla par ( v i,v i+ 1) är (orienterade) kanter.
En cykel är en väg där de första och sista hörnen sammanfaller. I det här fallet är längden på en väg (eller cykel) antalet komponenter revben. Observera att om hörnen u Och vär ändarna på någon kant, då enl denna definition, efterföljd ( u,v,u) är en cykel. För att undvika sådana "degenererade" fall introduceras följande begrepp.
En stig (eller cykel) kallas enkel om dess kanter inte upprepas; elementärt om det är enkelt och dess hörn inte upprepas. Det är lätt att se att:
Varje bana som förbinder två hörn innehåller en elementär bana som förbinder samma två hörn.
Hur enkelt som helst icke-elementärt sökväg innehåller elementär cykel.
Några enkel en cykel som går genom någon vertex (eller kant) innehåller elementärt(del-)cykel som passerar genom samma vertex (eller kant).
En slinga är en elementär cykel.
Graf eller oriktad graf Gär ett beställt par G: = (V,E
V
E detta är en uppsättning par (i fallet med en oriktad graf, oordnad) av hörn, kallade kanter.
V(och därför E, annars skulle det vara en multiset) övervägs vanligtvis ändliga mängder. Många bra resultat som erhållits för finita grafer är inte sanna (eller skiljer sig på något sätt) för oändliga grafer. Detta beror på att ett antal överväganden blir falska i fallet med oändliga mängder.
Topparna och kanterna på en graf kallas även grafelement, antalet hörn i grafen | V| - ordning, antal kanter | E| - storleken på grafen.
Toppar u Och v kallas de terminala hörnen (eller helt enkelt ändar) av en kant e = {u,v). En kant förbinder i sin tur dessa hörn. Två ändhörningar av samma kant kallas angränsande.
Två kanter sägs ligga angränsande om de har en gemensam ändpunkt.
Två kanter kallas multipla om uppsättningarna av deras ändhörn sammanfaller.
En kant kallas en slinga om dess ändar sammanfaller, det vill säga e = {v,v}.
grad deg V toppar V ring antalet kanter som faller på det (i detta fall räknas slingorna två gånger).
En vertex sägs vara isolerad om den inte är slutet av någon kant; hängande (eller löv) om det är slutet på exakt en kant.
Riktad graf (förkortad som digraph) Gär ett beställt par G: = (V,A), för vilka följande villkor är uppfyllda:
Vär en icke-tom uppsättning av hörn eller noder,
A det är en uppsättning (ordnade) par av distinkta hörn, kallade bågar eller riktade kanter.
Bågeär ett ordnat par hörn (v, w), var är spetsen v kallas början, och w- slutet av bågen. Vi kan säga att bågen leder från toppen v till toppen w.
Blandad graf
Blandad graf Gär en graf där vissa kanter kan riktas och vissa kan vara oriktade. Skrivet som en beställd trippel G: = (V,E,A), Var V, E Och A definieras på samma sätt som ovan.
Riktade och oriktade grafer är specialfall av blandade grafer.
Isomorfa grafer(?)
Graf G kallas isomorf till grafen H, om det finns en bijektion f från uppsättningen av grafens hörn G till uppsättningen av hörn i grafen H, som har följande egenskap: if i grafen G det finns en kant från spetsen A till toppen B, sedan i grafen H f(A) till toppen f(B) och vice versa - om i grafen H det finns en kant från spetsen A till toppen B, sedan i grafen G det måste finnas en kant från spetsen f − 1 (A) till toppen f − 1 (B). I fallet med en riktad graf måste denna bijektion också bevara kantens orientering. I fallet med en viktad graf måste bijektionen också bevara kantens vikt.
Graph Adjacency Matrix G med ett ändligt antal hörn n(numrerad från 1 till n) - Det här kvadratisk matris A storlek n, där elementvärdet en ij lika med antalet kanter från i grafens toppunkt in j-th topp.
Ibland, särskilt i fallet med en oriktad graf, en slinga (en kant från i th vertex in sig) räknas som två kanter, det vill säga värdet på det diagonala elementet a ii i detta fall lika med två gånger antalet slingor runt i toppen.
Adjacency matris enkel graf(som inte innehåller några slingor eller flera kanter) är en binär matris och innehåller nollor på huvuddiagonalen.
Fråga 32 Funktion. Metoder för uppdrag. Klassificering av funktioner. Grundläggande elementära funktioner och deras scheman. Sammansättning av funktioner. Elementära funktioner.
Funktion är ett matematiskt begrepp som återspeglar förhållandet mellan element i mängder. Vi kan säga att en funktion är en "lag" enligt vilken varje element i en uppsättning (kallas definitionsdomän ) sätts i överensstämmelse med något element i en annan uppsättning (kallas värdeintervall ).
Det matematiska konceptet för en funktion uttrycker den intuitiva idén om hur en kvantitet helt bestämmer värdet av en annan kvantitet. Alltså värdet på variabeln x definierar unikt innebörden av ett uttryck x 2, och månadens värde bestämmer unikt värdet av månaden efter den, kan också vilken person som helst jämföras med en annan person - hans far. På liknande sätt producerar någon förutfattad algoritm viss utdata baserat på varierande indata.
Metoder för att specificera en funktion
Analytisk metod
Funktion matematiskt objekt representerar binär relation, som uppfyller vissa villkor. En funktion kan specificeras direkt som en uppsättning ordnade par, till exempel: det finns en funktion . Denna metod är dock helt olämplig för funktioner på oändliga mängder (som är de vanliga reella funktionerna: potens, linjär, exponentiell, logaritmisk, etc.).
För att ange en funktion, använd uttrycket: . Vart i, xär en variabel som löper genom definitionsdomänen för funktionen, och y- värdeintervall. Denna post indikerar närvaron av ett funktionellt förhållande mellan elementen i uppsättningar. X Och y kan springa igenom alla uppsättningar av föremål av vilken karaktär som helst. Dessa kan vara siffror, vektorer, matriser, äpplen, regnbågens färger. Låt oss förklara med ett exempel:
Låt det bli ett set äpple, plan, päron, stol och många man, lokomotiv, fyrkant. Låt oss definiera funktionen f enligt följande: (äpple, person), (flygplan, lokomotiv), (päron, fyrkant), (stol, person). Om vi introducerar en variabel x som löper genom mängden och en variabel y som löper genom mängden, kan den angivna funktionen definieras analytiskt som: .
Numeriska funktioner kan specificeras på liknande sätt. Till exempel: där x går genom mängden riktiga nummer definierar någon funktion f. Det är viktigt att förstå att uttrycket i sig inte är en funktion. En funktion som ett objekt är en uppsättning av (ordnade par). Och detta uttryck som ett objekt är likheten mellan två variabler. Den definierar en funktion, men är inte en.
Men inom många grenar av matematiken är det möjligt att beteckna med f(x) både funktionen i sig och det analytiska uttrycket som definierar den. Denna syntaktiska konvention är extremt bekväm och motiverad.
Grafisk metod
Numeriska funktioner kan också ställas in med hjälp av en graf. Låta vara en reell funktion av n variabler.
Låt oss betrakta något (n+1)-dimensionellt linjärt utrymme över fältet av reella tal (eftersom funktionen är reell). Låt oss välja vilken grund som helst () i detta utrymme. Varje punkt i funktionen är associerad med en vektor: . Så vi kommer att ha många vektorer linjärt utrymme, motsvarande punkterna för denna funktion enligt den angivna regeln. Punkterna i det motsvarande affina utrymmet kommer att bilda en viss yta.
Om vi tar det euklidiska utrymmet gratis geometriska vektorer(riktade segment), och antalet argument för funktionen f inte överstiger 2, kan den angivna uppsättningen punkter visuellt avbildas i form av en ritning (graf). Om dessutom den ursprungliga grunden anses vara ortonormal får vi "skolans" definition av grafen för en funktion.
För funktioner med 3 argument eller fler är denna representation inte tillämplig på grund av en persons brist på geometrisk intuition av flerdimensionella utrymmen.
Men för sådana funktioner kan man komma med en visuell semi-geometrisk representation (till exempel kan varje värde på den fjärde koordinaten för en punkt associeras med en viss färg på grafen)
Proportionella mängder. Om variablerna y Och x är direkt proportionella
y = k x ,
Var k- konstant värde ( proportionalitetsfaktor).
Schema direkt proportionalitet– en rät linje som går genom koordinaternas ursprung och bildar en linje med axeln X vinkel vars tangent är lika med k: tan = k(Fig. 8). Därför kallas även proportionalitetskoefficienten backe. Figur 8 visar tre grafer för k = 1/3, k= 1 och k = 3 .
Linjär funktion. Om variablerna y Och xär relaterade av 1:a gradens ekvation:
A x + B y = C ,
där minst ett av siffrorna A eller B inte är lika med noll, så är grafen för detta funktionella beroende rak linje. Om C= 0, då passerar den genom origo, annars gör den det inte. Diagram linjära funktioner för olika kombinationer A,B,C visas i fig. 9.
Omvänd proportionalitet. Om variablerna y Och x är omvänt proportionella, Den där funktionellt beroende mellan dem uttrycks med ekvationen:
y = k / x,
Var k- konstant värde.
Inverterad proportionell graf – hyperbel(Fig. 10). Denna kurva har två grenar. Hyperboler erhålls när en cirkulär kon skär ett plan (för koniska sektioner, se avsnittet "Kon" i kapitlet "Stereometri"). Som visas i fig. 10 är produkten av hyperbelpunkternas koordinater ett konstant värde, i vårt exempel lika med 1. I allmänt fall detta värde är lika k, som följer av hyperbelekvationen: xy = k.
Huvudegenskaper och egenskaper hos en hyperbel:
x 0, intervall: y 0 ;
Funktionen är monoton (avtagande) kl x< 0 och kl x> 0, men inte
monotont överlag på grund av brytpunkten x = 0);
Obegränsad funktion, diskontinuerlig i en punkt x= 0, udda, icke-periodisk;
- Funktionen har inga nollor.
Kvadratisk funktion. Detta är funktionen: y = yxa 2 + bx + c, Var a, b, c- permanent, a b=c= 0 och y = yxa 2. Graf över denna funktion fyrkantig parabel - OY, som kallas parabelns axel.Punkt O spetsen på parabeln.
Kvadratisk funktion. Detta är funktionen: y = yxa 2 + bx + c, Var a, b, c- permanent, a 0. I det enklaste fallet har vi: b=c= 0 och y = yxa 2. Graf över denna funktion fyrkantig parabel - en kurva som går genom origo för koordinater (fig. 11). Varje parabel har en symmetriaxel OY, som kallas parabelns axel.Punkt O skärningspunkten för en parabel med dess axel kallas spetsen på parabeln.
Graf över en funktion y = yxa 2 + bx + c- även en kvadratisk parabel av samma typ som y = yxa 2, men dess vertex ligger inte vid utgångspunkten, utan i en punkt med koordinater:
Formen och placeringen av en kvadratisk parabel i koordinatsystemet beror helt på två parametrar: koefficienten a på x 2 och diskriminant D:D=b 2 – 4ac. Dessa egenskaper följer av analysen av rötterna andragradsekvation(se motsvarande avsnitt i kapitlet "Algebra"). Alla möjliga olika fall för en kvadratisk parabel visas i fig. 12.
Huvudegenskaper och egenskaper hos en kvadratisk parabel:
Funktionsomfång: < x+ (dvs. x R), och området
värden: … (Besvara denna fråga själv!);
Funktionen som helhet är inte monoton, utan till höger eller vänster om vertexet
beter sig som monotont;
Funktionen är obegränsad, kontinuerlig överallt, även när b = c = 0,
och icke-periodisk;
- på D< 0 не имеет нулей.
Exponentiell funktion. Fungera y = yxa, Var a- ett positivt konstant tal kallas exponentiell funktion.Argument x accepterar några giltiga värden; funktioner betraktas som värden bara positiva siffror, eftersom vi annars har en funktion med flera värden. Ja, funktionen y = 81x har kl x= 1/4 fyra olika betydelser: y = 3, y = 3, y = 3 i Och y = 3 i(Notan tack!). Men vi betraktar endast som värdet av funktionen y= 3. Diagram exponentiell funktion För a= 2 och a= 1/2 visas i fig. 17. De passerar genom punkten (0, 1). På a= 1 vi har en rät linje graf, parallell axel X, dvs. funktionen blir konstant värde, lika med 1. När a> 1 ökar exponentialfunktionen, och vid 0< a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:
Funktionsomfång: < x+ (dvs. x R);
räckvidd: y> 0 ;
Funktionen är monoton: den ökar med a> 1 och minskar vid 0< a < 1;
- Funktionen har inga nollor.
Logaritmisk funktion. Fungera y= logg yxa, Var a– ett konstant positivt tal som inte är lika med 1 kallas logaritmisk. Denna funktion är inversen av exponentialfunktionen; dess graf (fig. 18) kan erhållas genom att rotera grafen för exponentialfunktionen runt bisektrisen för den första koordinatvinkeln.
Huvudegenskaper och egenskaper hos den logaritmiska funktionen:
Funktionsomfång: x> 0 och värdeintervall: < y+
(dvs. y R);
Detta är en monoton funktion: den ökar som a> 1 och minskar vid 0< a < 1;
Funktionen är obegränsad, kontinuerlig överallt, icke-periodisk;
Funktionen har en nolla: x = 1.
Trigonometriska funktioner. När man bygger trigonometriska funktioner vi använder radian mått på vinklar Sedan funktionen y= synd x representeras av en graf (fig. 19). Denna kurva kallas sinusformad.
Graf över en funktion y=cos x presenteras i fig. 20; detta är också en sinusvåg som är resultatet av att grafen flyttas y= synd x längs axeln X till vänster med 2
Från dessa grafer är egenskaperna och egenskaperna för dessa funktioner uppenbara:
Domän: < x+ värdeområde: 1 y +1;
Dessa funktioner är periodiska: deras period är 2;
Begränsade funktioner (| y| , kontinuerlig överallt, inte monotont, men
ha sk intervaller av monotoni, där de är
bete sig som monotona funktioner (se diagram i fig. 19 och fig. 20);
Funktioner har ett oändligt antal nollor (för mer information, se avsnittet
"Trigonometriska ekvationer").
Funktionsdiagram y= solbränna x Och y=spjälsäng x visas i Fig. 21 respektive Fig. 22.
Från graferna är det tydligt att dessa funktioner är: periodiska (deras period ,
obegränsad, i allmänhet inte monoton, men har intervaller av monotoni
(vilka?), diskontinuerliga (vilka diskontinuitetspunkter har dessa funktioner?). Område
definitioner och värdeintervall för dessa funktioner:
Funktioner y= Arcsin x(Fig. 23) och y= Arccos x(Fig. 24) flervärdig, obegränsad; deras definitionsområde respektive värdeområde: 1 x+1 och < y+ . Eftersom dessa funktioner har flera värden, gör det inte
betraktas i elementär matematik, deras huvudvärden betraktas som inversa trigonometriska funktioner: y= arcsin x Och y= arccos x; deras grafer är markerade i fig. 23 och fig. 24 med tjocka linjer.
Funktioner y= arcsin x Och y= arccos x har följande egenskaper och egenskaper:
Båda funktionerna har samma definitionsdomän: 1 x +1 ;
deras värdeintervall: /2 y/2 för y= arcsin x och 0 y För y= arccos x;
(y= arcsin x– ökad funktion; y= arccos x – minskar);
Varje funktion har en nolla ( x= 0 för funktion y= arcsin x Och
x= 1 för funktion y= arccos x).
Funktioner y= Arktan x(Fig. 25) och y= Arccot x(Fig. 26) - flervärdiga, obegränsade funktioner; deras definitionsområde: x+ . Deras huvudsakliga betydelser y= arktan x Och y= arccot x betraktas som inversa trigonometriska funktioner; deras grafer är markerade i fig. 25 och fig. 26 med feta grenar.
Funktioner y= arktan x Och y= arccot x har följande egenskaper och egenskaper:
Båda funktionerna har samma definitionsdomän: x + ;
deras värdeintervall: /2<y < /2 для y= arktan x och 0< y < для y= arccos x;
Funktionerna är begränsade, icke-periodiska, kontinuerliga och monotona
(y= arktan x– ökad funktion; y= arccot x – minskar);
Endast funktion y= arktan x har en enda nolla ( x= 0);
fungera y= arccot x har inga nollor.
Sammansättning av funktioner
Om två kartor ges och , där , då är "ände-till-ände-kartan" från till , som ges av formeln , vettig, vilket kallas sammansättningen av funktioner och och betecknas med .
Fig. 1.30 End-to-end-visning från till
Logik och argumentation: Lärobok. handbok för universitet. Ruzavin Georgy Ivanovich
4.2. Kvantifierare
4.2. Kvantifierare
En betydande skillnad mellan predikatlogik och propositionell logik är också att den förra introducerar en kvantitativ egenskap hos påståenden eller, som man säger i logiken, kvantifierar dem. Redan i traditionell logik klassificerades bedömningar inte bara efter kvalitet, utan också efter kvantitet, d.v.s. allmänna bedömningar skilde sig från enskilda och individuella. Men det fanns ingen teori om sambandet mellan dem. Modern logik beaktar de kvantitativa egenskaperna hos uttalanden i en speciell kvantifieringsteori, som är en integrerad del av predikatkalkylen.
För kvantifiering (kvantitativa egenskaper) av uttalanden introducerar denna teori två huvudkvantifierare: den allmänna kvantifieraren, som vi kommer att beteckna med symbolen (x), och den existentiella kvantifieraren, betecknad med symbolen (Ex). De placeras omedelbart före de påståenden eller formlerna som de hänvisar till. I de fall där kvantifierare har ett bredare omfång, placeras parenteser före motsvarande formel.
Den allmänna kvantifieraren visar att predikatet som betecknas med en viss symbol tillhör alla objekt i en given klass eller universum av resonemang.
Således kan påståendet: "Alla materiella kroppar har massa" översättas till symbolspråk enligt följande:
där x - anger materialkroppen:
M - massa;
(x) är en allmän kvantifierare.
På liknande sätt kan ett uttalande om förekomsten av extrasensoriska fenomen uttryckas genom en existenskvantifierare:
där x betecknar fenomen:
E - egenskapen för extrasensorisk perception som är inneboende i sådana fenomen;
(Ex) är en existentiell kvantifierare.
Med hjälp av generalitetskvantifieraren kan du uttrycka empiriska och teoretiska lagar, generaliseringar om sambandet mellan fenomen, universella hypoteser och andra allmänna påståenden. Till exempel kan lagen om termisk expansion av kroppar symboliskt representeras som en formel:
(x) (T(x) ? P(x)),
där (x) är den allmänna kvantifieraren;
T(x) - kroppstemperatur;
P(x) är dess förlängning;
Tecken på implikation.
Den existentiella kvantifieraren hänvisar endast till en viss del av objekt från ett givet resonemangsuniversum. Därför används det till exempel för att symboliskt skriva statistiska lagar som säger att en egenskap eller relation endast gäller för att karakterisera en viss del av de föremål som studeras.
Införandet av kvantifierare gör det först och främst möjligt att omvandla predikat till bestämda påståenden. Predikaten i sig är varken sanna eller falska. De blir sådana om konkreta påståenden antingen ersätts med variabler, eller, om de är sammankopplade med kvantifierare, de kvantifieras. På grundval av detta introduceras en uppdelning av variabler i bunden och fri.
Variabler som faller under påverkan av tecknen på kvantifierare av generalitet eller existens kallas bundna. Till exempel innehåller formlerna (x) A (x) och (x) (P (x) ? Q (x)) variabeln x. I den första formeln står den allmänna kvantifieraren omedelbart före predikatet A(x), i den andra utvidgar kvantifieraren sin verkan till de variabler som ingår i föregående och efterföljande termer av implikationen. På liknande sätt kan den existentiella kvantifieraren hänvisa till både ett separat predikat och deras kombination, bildad med de logiska operationerna negation, konjunktion, disjunktion, etc.
En fri variabel är inte föremål för kvantifieringstecken, så den karakteriserar ett predikat eller en propositionsfunktion, inte ett påstående.
Genom att använda en kombination av kvantifierare kan man uttrycka ganska komplexa naturspråksmeningar i logikens symboliska språk. I det här fallet introduceras påståenden där vi talar om förekomsten av objekt som uppfyller ett visst villkor med hjälp av existenskvantifieraren. Till exempel skrivs ett uttalande om förekomsten av radioaktiva grundämnen med formeln:
där R betecknar egenskapen för radioaktivitet.
Påståendet att det finns en fara för en rökare att få cancer kan uttryckas på följande sätt: (Ex) (K(x) ? P(x)), där K betecknar egenskapen "att vara rökare", och P - " får cancer”. Med vissa reservationer skulle samma sak kunna uttryckas” med hjälp av en generell kvantifierare: (x) (K(x) ? P(x)). Men påståendet att alla som röker kan få cancer skulle vara felaktigt, och därför skrivs det bäst med en existenskvantifierare snarare än en generalitetskvantifierare.
Den allmänna kvantifieraren används för påståenden som anger att ett visst predikat A uppfylls av något objekt i dess värdeområde. Inom vetenskapen, som redan nämnts, används den allmänna kvantifieraren för att uttrycka påståenden av universell karaktär, som representeras verbalt med fraser som "för alla", "varje", "alla", "alla" etc. Genom att förneka kvantifieraren av generalitet kan man uttrycka allmänt negativa påståenden, som på naturligt språk introduceras med orden "ingen", "inte en", "ingen", etc.
Naturligtvis, när man översätter naturliga språkuttalanden till symboliskt språk, stöter man på vissa svårigheter, men den nödvändiga noggrannheten och entydiga uttrycket av tanke uppnås. Man kan dock inte tro att det formella språket är rikare än det naturliga språket, där inte bara meningen uttrycks utan också dess olika nyanser. Därför kan vi bara tala om en mer exakt representation av naturliga språkuttryck som ett universellt sätt att uttrycka tankar och utbyta dem i kommunikationsprocessen.
Oftast förekommer kvantifierare för generalitet och existens tillsammans. Till exempel, för att uttrycka symboliskt påståendet: "För varje reellt tal x finns det ett tal y så att x kommer att vara mindre än y", betecknar vi predikatet "att vara mindre" med symbolen<, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.
Av själva definitionen av kvantifierarna av generalitet och existens följer omedelbart att det finns ett visst samband mellan dem, vilket vanligtvis uttrycks med hjälp av följande lagar.
1. Lagar för permutation av kvantifierare:
(x) (y) A ~ (y) (x) A;
(Ex) (Ey) A ~ (Ey) (Ex) A;
(Ex) (y) A ~ (y) (Ex) A;
2. Lagar för negation av kvantifierare:
¬ (x) A ~ (Ex) ¬ A;
¬ (Ex) A ~ (x) ¬ A;
3. Lagar för ömsesidig uttryckbarhet av kvantifierare:
(x) A ~ ¬ (Ex) ¬ A;
(Ex) A ~ ¬ (x) ¬ A.
Här betecknar A vilken formel som helst för ett objekt (ämnes)språk. Innebörden av negationen av kvantifierare är uppenbar: om det inte är sant att för något x gäller A, så finns det x för vilka A inte gäller. Det följer också att om något x har A, så finns det inget x som har inte-A, vilket symboliskt representeras i den första lagen om interexpressibility.
I predikatlogik betraktas två operationer som omvandlar ett enställspredikat till ett påstående för detta ändamål, speciella ord som placeras framför predikaten. I logiken kallas de kvantifierare.
Det finns två typer av kvantifierare:
1. Allmän kvantifierare;
2. Existenskvantifierare.
1. Allmän kvantifierare.
Låt det finnas ett predikat P(x) definierat på mängden M
Symbolen kallas universell kvantifierare(gemenskap). Detta är den inverterade första bokstaven i det engelska ordet All - Everything. De läser "alla", "alla", "alla", "alla". Variabel x in predikat P(x) kallas fri ( det kan ges olika betydelser från M), till påstående de ringer x relaterad universell kvantifierare.
Exempel nr 1: P(x) – "Primtalet x är udda"
Låt oss lägga till en allmän kvantifierare - "Varje primtal x är udda" - ett falskt påstående.
Ett uttryck är ett påstående som är sant när P(x) är sant för varje element x från mängden M och annars falskt. Detta påstående beror inte längre på x.
2. Existenskvantifierare.
Låt P(x) - predikat definieras på mängden M. Med uttryck menar vi påstående, vilket är sant om det finns ett element för vilket P(x) är sant, och falskt annars. Detta påstående beror inte längre på x. Det motsvarande verbala uttrycket är: "Det finns ett x så att P(x) är sant." Symbolen kallas kvantifierare av tillvaron. I ett uttalande är variabeln x bunden av denna kvantifierare (en kvantifierare är kopplad till den).
(Läs: "Det finns ett x i M så att P i x är sant")
Ett uttryck är ett påstående som är sant om det finns ett element x€M (minst ett) för vilket P(x) är sant, och annars falskt.
Exempel nr 2: P(x) "Siffran x är en multipel av 5"
Alla naturliga tal är en multipel av 5"
Varje naturligt tal är en multipel av 5" falska påståenden
Alla naturliga tal är multiplar av 5"
Det finns ett naturligt tal som är delbart med 5
Hitta ett naturligt tal som är delbart med 5 sanna påståenden
Minst ett naturligt tal är delbart med 5
Kvantifieringsoperationer gäller även för flerplatspredikat. Låt till exempel ett tvåställigt predikat P(x,y) ges på mängden M. Tillämpningen av en kvantifieringsoperation på predikatet P(x,y) med avseende på variabeln x sätter i överensstämmelse med tvåställspredikatet P(x,y) ett enställspredikat (eller enställspredikat) beroende på variabeln y och inte beroende av variabeln x. Du kan tillämpa kvantifieringsoperationer på dem på variabeln y, vilket leder till uttalanden av följande typer:
För att konstruera negationer med kvantifierare behöver du:
1) ersätt kvantifieraren av generalitet med en kvantifierare av existens, och ersätt kvantifieraren av existens med en kvantifierare av generalitet;
2) ersätt predikatet med dess negation.
Följande formler är alltså giltiga:
Negationen av en mening ska skrivas som , och negationen av en mening som . Det är uppenbart att meningen har samma betydelse, och därför samma sanningsvärde, som meningen , och meningen har samma betydelse som . Det motsvarar med andra ord ; likvärdig
EXEMPEL nr 3. Konstruera en negation av påståendet "Vissa tvåsiffriga tal är delbara med 12."
Lösning Låt oss ersätta tillvarons kvantifierare (det uttrycks med ordet "några") med kvantifieraren av generalitet "alla" och konstruera negationen av meningen efter ordet "några" genom att placera partikeln "inte" framför. av verbet. Vi får påståendet "Alla tvåsiffriga tal är inte delbara med 12."
EXEMPEL nr 4. Formulera negationen av påståendet "I varje klass misslyckades minst en elev på provet."
Lösning: Detta uttalande innehåller en allmän kvantifierare uttryckt med ordet "varje" och en existenskvantifierare uttryckt med orden "minst en". Enligt regeln för att konstruera negationerna av uttalanden med kvantifierare är det nödvändigt att ersätta kvantifieraren av generalitet med en kvantifierare av existens, och kvantifieraren av existens med en kvantifierare av generalitet, och ta bort partikeln "inte" från verbet. Vi får: "Det finns en klass där alla elever klarade provet."
På vilket nationellt språk som helst används bindeorden "och", "eller", "om ..., då ...", "om och endast om ...", etc. i vanligt tal. låter dig konstruera nya komplexa påståenden från redan givna påståenden. Sanningen eller falskheten i de påståenden som sålunda erhållits beror på sanningen och falskheten i de ursprungliga påståendena och motsvarande tolkning av connectives som operationer på uttalanden. En logisk operation kan beskrivas fullständigt sanningstabell, som anger vilka betydelser ett komplext påstående har för alla möjliga betydelser av enkla påståenden.
Logisk operationär en metod för att konstruera ett komplext påstående från elementära påståenden, där sanningsvärdet för det komplexa påståendet helt bestäms av sanningsvärdena för de ursprungliga påståendena (se artikeln " ”).
I logikens algebra har logiska operationer och motsvarande logiska kopplingar speciella namn och betecknas enligt följande:
Konjunktion är en logisk operation som associerar varje två elementära påståenden med ett nytt påstående, vilket är sant om och endast om båda de ursprungliga påståendena är sanna 7 . Logisk operation samband
Tänk på två påståenden: sid = “Imorgon blir det frost"Och q = “Det kommer snöa imorgon" Uppenbarligen ett nytt talesätt sid & q = “Imorgon blir det frost och imorgon kommer det snö” är sant endast om påståendena är sanna samtidigt sid Och q, nämligen att det imorgon kommer frost och snö. Påstående sid & q kommer att vara falskt i alla andra fall: det kommer att snöa, men det kommer att bli tö (dvs det kommer inte att finnas någon frost); det kommer att bli frost, men det kommer ingen snö; det kommer ingen frost och det kommer ingen snö.
Åtskiljande- en logisk operation som associerar varje två elementära påståenden med ett nytt påstående, vilket är falskt om och endast om båda initiala påståendena är falska, och sant när minst ett av de två påståendena som bildar det är sant 8. Logisk operation åtskiljande bestäms av följande sanningstabell:
Tänk på två påståenden: sid = “Columbus var i Indien"Och q = “Columbus var i Egypten sid q = “Columbus var i Indien eller var i Egypten” är sant både om Columbus var i Indien, men inte var i Egypten, och om han inte var i Indien, utan var i Egypten, och även om han var i både Indien och Egypten. Men detta uttalande kommer att vara falskt om Columbus varken var i Indien eller i Egypten.
Konjunktionen "eller" kan användas i tal i en annan, "exklusiv" mening. Då motsvarar det ett annat påstående - en disjunktiv, eller strikt, disjunktion.
Sträng, eller delning,åtskiljande- en logisk operation som associerar två elementära påståenden med ett nytt påstående som endast är sant när endast ett av påståendena är sant. Logisk operation disjunktiv klausul bestäms av följande sanningstabell:
Tänk på två påståenden: sid = “Katten jagar möss"Och q = “Katt sover i soffan" Det är uppenbart att det nya uttalandet sidq stämmer endast i två fall - när katten är på jakt efter möss eller när katten sover lugnt. Detta påstående kommer att vara falskt om katten varken gör det ena eller det andra, d.v.s. när båda händelserna inte inträffar. Men detta påstående kommer att vara falskt även när det antas att båda påståendena kommer att inträffa samtidigt. Eftersom detta inte kan ske är påståendet falskt.
Inom logiken ges bindeorden "antingen" och "eller" olika betydelser, men på ryska används ibland bindemedlet "eller" istället för det bindande "eller". I dessa fall är otvetydigheten i definitionen av den logiska operationen som används förknippad med analysen av innehållet i uttalandet. Till exempel, analys av påståendet " Petya sitter på pall A eller pall B" ersatt av " Petya sitter på pall A eller B”, då kommer analysen av det sista uttalandet tydligt att indikera en logisk operation delning åtskiljande, därför att en person kan inte vara på två olika platser samtidigt.
Inblandning- en logisk operation som associerar varje två elementära påståenden med ett nytt påstående som är falskt om och endast om skick(premiss) - sant, och Följd(slutsats) är falsk. Det överväldigande antalet beroenden mellan händelser kan beskrivas med implikation. Till exempel med påståendet " Om vi åker till St. Petersburg under semestern kommer vi att besöka St. Isaacs Cathedral” Vi bekräftar att om vi kommer till St. Petersburg under semestern, kommer vi definitivt att besöka St. Isaac's Cathedral.
Logisk operation inblandning
En implikation kommer att vara falsk endast om premissen är sann och slutsatsen är falsk, och den kommer säkerligen att vara sann om dess tillstånd sid falsk. Dessutom är detta ganska naturligt för en matematiker. I själva verket, utgående från en falsk premiss, kan man få både en sann och en falsk påstående genom korrekt resonemang.
Låt oss säga 1 = 2, sedan 2 = 1. Lägger vi till dessa likheter får vi 3 = 3, d.v.s. från en falsk premiss, genom identiska transformationer, fick vi ett sant uttalande.
Implikation bildad från uttalanden A Och I, kan skrivas med följande meningar: "Om A, Den där I", "Från A skall I”, “A innebär I", "För att A, Det är nödvändigt att I", "För att I, tillräckligt för A”.
Likvärdighet- en logisk operation som associerar två elementära påståenden med ett nytt, vilket är sant om och endast om båda initiala påståenden är samtidigt sanna eller samtidigt falska. Logisk operation likvärdighet ges av följande sanningstabell:
Låt oss överväga de möjliga betydelserna av ett komplext uttalande som är en ekvivalens: " Läraren kommer att ge eleven en 5:a i kvartalet om och endast om eleven får en 5:a på provet.".
1) Eleven fick 5 i provet och 5 i kvartalet, d.v.s. läraren uppfyllde sitt löfte, därför är påståendet sant.
2) Eleven fick ingen 5:a på provet, och läraren gav honom inte 5:a i kvarten, d.v.s. läraren höll sitt löfte, påståendet är sant.
3) Eleven fick ingen 5:a på provet, men läraren gav honom 5:a i kvarten, d.v.s. läraren höll inte sitt löfte, påståendet är falskt.
4) Eleven fick en 5:a på provet, men läraren gav honom ingen 5:a i kvarten, d.v.s. läraren höll inte sitt löfte, påståendet är falskt.
Observera att i matematiska satser uttrycks ekvivalens med bindemedlet "nödvändigt och tillräckligt."
Operationerna som diskuterades ovan var dubbla (binära), dvs. framfördes på två operander (påståenden). I logikens algebra är operationen på en plats (unär) definierad och allmänt använd negation.
Negation- en logisk operation som associerar varje elementärt påstående med ett nytt påstående, vars innebörd är motsatt den ursprungliga. Logisk operation negation ges av följande sanningstabell:
På ryska används bindemedlet "det är inte sant att..." för att konstruera en negation. Även om det sammanbindande "det är inte sant att ..." inte kopplar några två påståenden till ett, tolkas det av logiker som en logisk operation, eftersom det, när det placeras framför ett godtyckligt påstående, bildar ett nytt från det.
Genom att förneka uttalandet "Jag har en dator hemma" det kommer ett uttalande "Det är inte sant att jag har en dator hemma" eller, som är samma på ryska, "Jag har ingen dator hemma". Genom att förneka uttalandet "Jag kan inte kinesiska" det kommer ett uttalande "Det är inte sant att jag inte kan kinesiska" eller, vilket är samma sak på ryska, "Jag kan kinesiska".
Kvantifierare
I matematisk logik, tillsammans med logiska operationer, används även kvantifierare. Kvantifierare(från lat. kvant- hur många) är en logisk operation som ger en kvantitativ egenskap av det område av objekt som uttrycket som erhålls som ett resultat av dess tillämpning avser.
I vanligt språk, ord som Allt, varje, några, några, några, oändligt massor, existerar, tillgängliga, den enda, några, slutlig siffra, samt alla kardinalnummer. I formaliserade språk, där en integrerad del är predikatkalkylen, är två typer av kvantifierare tillräckliga för att uttrycka alla sådana egenskaper: allmän kvantifierare Och existenskvantifierare.
Kvantifierare tillåter från en specifik uttrycksform (se " Uttalanden. booleska värden") för att erhålla en uttrycksform med ett mindre antal parametrar, i synnerhet för att få ett uttalande 9 från en uttrycksform på en plats.
Allmän kvantifierare tillåter från en given påståendeform med en enda fri variabel x få ett uttalande via länken "För alla x…”. Resultatet av att tillämpa den allmänna kvantifieraren på propositionsformen A( x) beteckna x A( x). Påstående x A( x) kommer att vara sant om och endast om, vid substitution till A( x) istället för en fri variabel x av alla objekt från intervallet av möjliga värden erhålls alltid ett sant uttalande. Påstående x A( x) kan läsas som följer: ”För någon x A( x)", "A( x) för godtyckliga x", "För alla x sant A( x)", "Varje x har egenskap A( x)" och så vidare.
Den existentiella kvantifieraren tillåter från en given uttrycksform med en enda fri variabel x få ett uttalande med hjälp av kopplingen "Det finns en sådan x, Vad …". Resultatet av att tillämpa den allmänna kvantifieraren på propositionsformen A( x) beteckna x A( x). Påstående
x A( x) är sant om och endast om, inom intervallet för möjliga värden för variabeln x det finns ett objekt så att när man ersätter dess namn istället för förekomsten av en fri variabel x i en( x) visar sig vara ett sant påstående. Påstående x A( x) kan läsas så här: ”För vissa x A( x)", "För lämplig x sant A( x)", "Existerar x, för vilken A( x)", "Åtminstone för en x sant A( x)" och så vidare.
Kvantifierare spelar för formaliserade språk av matematisk logik samma roll som så kallade "kvantitativa" ("kvantifierare") ord spelar för naturligt språk - de bestämmer tillämpningsområdet för ett givet uttalande (eller uttrycksform).
När man konstruerar en negation till ett påstående som innehåller en kvantifierare, gäller följande regel: partikeln "inte" läggs till predikatet, den allmänna kvantifieraren ersätts med en unikhetskvantifierare och vice versa. Låt oss titta på ett exempel. Negationen av påståendet "Alla pojkar i 11:e klass är utmärkta elever" är påståendet "Det är inte sant att alla 11:e klass pojkar är utmärkta elever" eller "Vissa 11:e klass pojkar är inte utmärkta elever."
Inom datavetenskap används kvantifierare i logiska programmeringsspråk (se " Programmeringsspråk”) och databasfrågespråk.
Förmågan att konstruera komplexa satser krävs när man arbetar med databaser, när man konstruerar en sökfråga på Internet, när man konstruerar algoritmer och skriver program i valfritt algoritmiskt språk. Dessutom kan denna färdighet klassificeras som en allmän skolfärdighet, eftersom det är förknippat med konstruktionen av komplexa slutsatser (resonemang, dra slutsatser). Denna färdighet är baserad på kunskap om grundläggande logiska operationer och förmågan att fastställa sanningen i komplexa påståenden.
Skolbarn introduceras till de logiska operationerna disjunktion, konjunktion och negation i grundskolan. Där introduceras också begreppet sanningstabell. Troligtvis uppstår förtrogenhet med dessa begrepp i programmeringsspråk, men de kan också användas i kalkylblad - där implementeras logiska operationer genom motsvarande funktioner OR, AND, NOT.
Mer komplexa logiska operationer kan täckas in i gymnasiet. Problem med att använda implikation finns i var och en av de publicerade versionerna av Unified State Exam i datavetenskap. Till exempel: för vilket nummer X sant påstående (( X > 3) (X < 3)) –> (X < 1)? (Demoversion av Unified State Exam, 2007)
När man studerar implikationens funktion bör eleverna vara uppmärksamma på att de flesta matematiska teorem är implikationer. De implikationer där premisserna (villkoren) och slutsatserna (konsekvenserna) är meningar utan ömsesidig (väsentligen) koppling kan dock inte spela en mer eller mindre viktig roll i vetenskapen. De är helt fruktlösa förslag, eftersom... leder inte till djupare slutsatser. Faktum är att i matematik är inte ett enda teorem en implikation där villkoret och slutsatsen inte är relaterade till innehåll. Förutom det sammanbindande "om,... då...", i matematiska satser är implikationerna formuleringar av endast nödvändiga eller endast tillräckliga villkor.
Uppgifterna att skapa tillräckliga och nödvändiga förutsättningar för skolbarn visar sig vara svåra. När du utvecklar denna färdighet bör tre punkter särskilt noteras:
a) formen "nödvändig och tillräcklig" som används i matematiska påståenden motsvarar bindemedlet "om och bara då" (ekvivalens);
b) bindemedlet "för att...( A), Det är nödvändigt att...( B)” realiseras direkt underförstått A B. (För att en andragradsekvation ska ha en lösning måste diskriminanten vara icke-negativ);
c) ett tillräckligt villkor förverkligas av den omvända implikationen B ® A och kan uttryckas på ryska, till exempel, så här: "för att... (A) räcker det att... (B)."
På gymnasiet (årskurs 10–11) är det användbart för elever att utveckla förmågan att konstruera en negation av ett påstående på ryska. Denna färdighet är nödvändig, till exempel för att bevisa satser med metoden "genom motsägelse". Att konstruera en negation även för enkla påståenden är inte alltid lätt. Till exempel till uttalandet Det finns röda på parkeringen“Zhiguli” Följande meningar kommer inte att vara negativa:
1) De på parkeringen är inte röda “Zhiguli”;
2) Det finns en vit på parkeringen “Mercedes”;
3) Röda“Zhiguli” är inte parkerade.
Negationen av detta uttalande skulle vara "Det finns inga röda Zhigulis på parkeringsplatsen." Detta kan förklaras för skolbarn på detta sätt: negationen av en mening måste helt utesluta sanningen i det ursprungliga uttalandet. Om det finns en vit Mercedes på parkeringen, så hindrar ingenting den röda Zhiguli från att också parkera.
Du kan läsa om algoritmen för att konstruera en negation av ett komplext påstående i boken "Mathematical Foundations of Computer Science" av E. Andreeva, L. Bosova, I. Falina.
Hittills har studiet av kvantifierare inte varit traditionellt för skolans datavetenskapskurser. Men nu ingår de i standarden för specialskolan. Det enklaste sättet är att visa kvantifierarnas roll för att konstruera samma negationer av påståenden på ryska, både matematiska och godtyckliga. Regeln för att ersätta en allmän kvantifierare med en existentiell kvantifierare och vice versa kan enkelt motiveras med hjälp av De Morgans lagar (se. "Booleska uttryck").
6 Från latinska ord idem- samma och potens- stark; bokstavligen likvärdig.
7 Denna definition sträcker sig lätt till fallet n uttalanden ( n > 2, n- naturligt nummer).
8 Denna definition, liksom den föregående, gäller i målet n uttalanden ( n > 2, n- naturligt nummer).
9 Uspensky V.A., Vereshchagin N.K., Plisko V.E. Introduktionskurs i matematisk logik. M.: Fizmatlit, 2002.
Utöver operationerna som diskuterats ovan kommer vi att använda ytterligare två nya operationer relaterade till funktionerna i predikatlogik. Dessa operationer uttrycker uttalanden om gemenskap och existens.
Kvantifierare- något sätt att tillskriva närvaron av egenskaper till en hel uppsättning objekt: (allmän kvantifierare) eller helt enkelt (), (existenskvantifierare).
1. Allmän kvantifierare. Låt R (x) vara ett väldefinierat predikat som tar värdet I eller A för varje element x i något fält M. Då menar vi med uttrycket (x)R(x) ett påstående som är sant när R(x) är sant för varje element x i fältet M, och falskt annars. Detta påstående beror inte längre på x. Motsvarande verbala uttryck kommer att vara: "för varje x är R (x) sant."
Låt nu U(x) vara en formel för predikatlogik som tar ett visst värde om variabelobjekten och variabelpredikaten som ingår i den ersätts på ett helt bestämt sätt. Formeln I(x) kan innehålla andra variabler förutom x. Då representerar uttrycket I(x), när det ersätter alla variabler för både objekt och predikat, utom x, ett specifikt predikat som endast beror på x. Och formeln (x)I(x) blir ett helt bestämt påstående. Följaktligen bestäms denna formel helt genom att ange värdena för alla variabler utom x, och är därför inte beroende av x. Symbolen (x) kallas allmän kvantifierare .
2. Existenskvantifierare. Låt R(x) vara något predikat. Vi associerar formeln (x)R(x) med den, och definierar dess värde som sant om det finns ett element i fältet M för vilket R(x) är sant, och som falskt annars. Sedan om jag(x) - specifik formel predikatlogik, då är formeln (x)И(x) också definierad och beror inte på värdet på x. Tecknet (x) kallas existenskvantifierare .
Kvantifierarna (x) och (x) kallas dubbel varandra.
Vi kommer att säga att i formlerna (x)I(x) och (x)I(x) hänvisar kvantifierarna (x) och (x) till variabeln x eller att variabeln x är relaterad till motsvarande kvantifierare.
Vi kommer att anropa en objektvariabel som inte är associerad med någon kvantifierare fria variabler. Således har vi beskrivit alla formler för predikatlogik.
Om två formler I och B, relaterade till ett visst fält M, med alla ersättningar av variabelpredikat, variabelsatser och fria objektvariabler, med individuella predikat definierade på M, individuella satser och enskilda objekt från M, ta samma värden Och eller A, då kommer vi att säga att dessa formler är ekvivalenta i fältet M. (När vi ersätter variabelpredikat, uttalanden och objekt, ersätter vi naturligtvis de som är betecknade på samma sätt i formlerna I och B i samma sätt).
Om två formler är ekvivalenta i något fält M, så kallar vi dem helt enkelt ekvivalenta. Likvärdiga formler kan ersättas med varandra.
Ekvivalensen av formler gör att de kan reduceras i olika fall till en mer bekväm form.
I synnerhet gäller följande: I → B är ekvivalent med AND B.
Genom att använda detta kan vi hitta en ekvivalent formel för vilken formel som helst där det, bland operationerna i propositionalgebra, bara finns &, och -.
Exempel: (x)(A(x)→(y)B(y)) är ekvivalent med (x)(A(x)(y)B(y)).
Dessutom, för predikatlogik finns det ekvivalenser associerade med kvantifierare.
Det finns en lag som förknippar kvantifierare med negativt tecken. Betrakta uttrycket (x)I(x).
Påståendet "(x)I(x) är falskt" motsvarar påståendet: "det finns ett element y för vilket U(y) är falskt" eller, vad är detsamma, "det finns ett element y för vilket U (y) är sant." Därför är uttrycket (x)I(x) ekvivalent med uttrycket (y)I(y).
Låt oss betrakta uttrycket (x)I(x) på samma sätt.
Detta är påståendet "(x) OCH (x) är falskt." Men ett sådant påstående är likvärdigt med påståendet: "för alla är jag(y) falskt" eller "för alla är jag(y) sant." Så, (x)I(x) är ekvivalent med uttrycket (y)I(y).
Vi får alltså följande regel:
Negationstecknet kan införas under kvantifieringstecknet, och ersätter kvantifieraren med en dubbel.
Vi har redan sett att det för varje formel finns en ekvivalent formel, vilken av operationerna i propositionalgebra som bara innehåller &, och -.
Genom att använda ekvivalenser för varje formel kan du hitta en ekvivalent där negationstecken hänvisar till elementära uttalanden och elementära predikat.
Predikatkalkyl är avsedd för en axiomatisk beskrivning av predikatslogik.
Predikatkalkyl - något axiomatiskt system utformat för att modellera en viss miljö och testa eventuella hypoteser om egenskaperna hos denna miljö med hjälp av den utvecklade modellen. Hypoteser hävdar närvaron eller frånvaron av vissa egenskaper i vissa objekt och uttrycks i form av en logisk formel. Hypotesens motivering reduceras således till att bedöma den logiska formelns deducerbarhet och tillfredsställbarhet.
Liknande artiklar
