Figur 7.
,
,
,
Var Jag x, jag y – Axiella tröghetsmoment i förhållande till referensaxlarna.
Jag xy– centrifugalt tröghetsmoment i förhållande till referensaxlarna.
Jag xc, jag yc– axiella tröghetsmoment i förhållande till de centrala axlarna;
Jag xcyc– centrifugalt tröghetsmoment i förhållande till de centrala axlarna.
a, b– avstånd mellan axlar.
Bestämning av tröghetsmomenten för en sektion vid rotation av axlarna
Alla geometriska egenskaper hos sektionen i förhållande till de centrala axlarna är kända x C,på C(Fig. 8). Låt oss bestämma tröghetsmomenten kring axlarna x 1,vid 1, roterad i förhållande till de centrala med en viss vinkel a.
Figur 8
,
Var I x 1, jag y 1 – axiella tröghetsmoment kring axlarna x 1,vid 1 ;
I x 1 y 1– centrifugalt tröghetsmoment i förhållande till axlarna x 1,vid 1 .
Bestämning av läget för huvudtröghetsaxlarna
Positionen för sektionens huvudtröghetsaxlar bestäms av formeln:
,
Var en 0 – vinkeln mellan mitt- och huvudtröghetsaxeln.
Bestämning av de huvudsakliga tröghetsmomenten
Sektionens huvudsakliga tröghetsmoment bestäms av formeln:
Sekvens för beräkning av en komplex sektion
1) Dela upp ett komplext avsnitt i enklare geometriska figurer [S 1, S 2,…;x 1, y 1; x 2, y 2, …]
2) Välj godtyckliga axlar XOY .
3) Bestäm positionen för sektionens tyngdpunkt [xc,yc].
4) Rita de centrala axlarna X c OY c.
5) Beräkna tröghetsmoment Ix c, Iy c , med hjälp av satsen parallell translation av axlar.
6) Beräkna det centrifugala tröghetsmomentet Ix c y c.
7) Bestäm läget för huvudtröghetsaxlarna tg2a 0.
8) Beräkna de viktigaste tröghetsmomenten Imax, Jag är i.
EXEMPEL 2
För figuren som visas i figur 13, bestäm huvudpunkterna
tröghet och läget för huvudtröghetsaxlarna.
1) Vi delar upp den komplexa sektionen i enkla geometriska former
S 1 = 2000 mm 2, S2 = 1200 mm 2, S= 3200 mm 2.
2) Välj godtyckliga XOY-axlar.
3) Bestäm positionen för sektionens tyngdpunkt
x c = 25 mm, y c=35 mm.
4) Rita de centrala axlarna X c OY c
5) Beräkna tröghetsmoment Ix c, Iy c
6) Beräkna det centrifugala tröghetsmomentet Ix c y c
7) Bestäm läget för huvudtröghetsaxlarna
Om I x > I y Och a 0 >0 , sedan vinkeln en 0 förskjuten från axeln X s moturs.
8) Beräkna de viktigaste tröghetsmomenten Imax, Jag är i
EXEMPEL 3
 |
För figuren som visas i fig. 8 bestämma läget för huvudaxlarna
Figur 8.
tröghet och huvudsakliga tröghetsmoment.
1) Vi skriver ner grunddata för varje figur
Kanal
S1 = 10,9 cm 2
Jag x = 20,4 cm 4
Jag y = 174 cm 4
y 0= 1,44 cm
h= 10 cm
Ojämnt hörn
S3 = 6,36 cm 2
Jag x = 41,6 cm 4
Jag y = 12,7 cm 4
Jag min = 7,58 cm 4
tga= 0,387
x 0= 1,13 cm
y 0= 2,6 cm
Rektangel
S2 = 40 cm 2
cm 4
cm 4
2) Rita sektionen i skalen
3) Rita godtyckliga koordinataxlar
4) Bestäm koordinaterna för sektionens tyngdpunkt
5) Rita de centrala axlarna
6) Bestäm de axiella tröghetsmomenten i förhållande till de centrala axlarna
7) Bestäm det centrifugala tröghetsmomentet i förhållande till de centrala axlarna
Centrifugaltröghetsmomentet för vinkelvalsat stål i förhållande till dess tyngdpunkt bestäms av en av följande formler:
-4
Tecknet för det centrifugala tröghetsmomentet för vinkelvalsat stål bestäms enligt fig. 9 alltså Jag xy 3= -13,17 cm 4.
8) Bestäm läget för huvudtröghetsaxlarna
 |
a 0 = 21,84°
9) Bestäm de huvudsakliga tröghetsmomenten
UPPGIFT 4
För de givna systemen (tabell 6) är det nödvändigt:
1) Rita ett tvärsnitt i en strikt skala.
2) Bestäm tyngdpunktens position.
3) Hitta värdena för de axiella tröghetsmomenten i förhållande till de centrala axlarna.
4) Hitta värdet på det centrifugala tröghetsmomentet i förhållande till de centrala axlarna.
5) Bestäm läget för huvudtröghetsaxlarna.
6) Hitta de viktigaste tröghetsmomenten.
Ta numeriska data från tabellen. 6.
Beräkningsscheman för uppgift nr 4
 |
|||
 | |||
 |
Tabell 6
Initial data för uppgift nr 4
| № | Lika vinkelhörn | Ojämnt hörn | Jag strålar | Kanal | Rektangel | Schema nr. |
| 30´5 | 50´32´4 | 100´30 | ||||
| 40´6 | 56´36´4 | 100´40 | ||||
| 50´4 | 63´40´8 | 100´20 | ||||
| 56´4 | 70´45´5 | 80´40 | ||||
| 63´6 | 80´50´6 | 14a | 80´60 | |||
| 70´8 | 90´56´6 | 80´100 | ||||
| 80´8 | 100´63´6 | 20a | 16a | 80´20 | ||
| 90´9 | 90´56´8 | 60´40 | ||||
| 75´9 | 140´90´10 | 22a | 18a | 60´60 | ||
| 100´10 | 160´100´12 | 60´40 | ||||
| d | A | b | V | G | d |
Anvisningar för uppgift 5
Böjning är en typ av deformation där V.S.F uppträder i stavens tvärsnitt. - böjningsmoment.
För att beräkna en balk för böjning är det nödvändigt att känna till värdet på det maximala böjmomentet M och positionen för den sektion där den inträffar. På samma sätt måste du veta den maximala sidokraften F. För detta ändamål konstrueras diagram över böjmoment och skjuvkrafter. Från diagrammen är det lätt att bedöma var maxvärdet för momentet eller skjuvkraft. För att bestämma kvantiteter M Och F använd sektionsmetoden. Tänk på kretsen som visas i fig. 9. Låt oss sammanställa summan av krafter på axeln Y, som verkar på den avskurna delen av strålen.
 |
Bild 9.
Tvärkraften är lika med den algebraiska summan av alla krafter som verkar på ena sidan av sektionen.
Låt oss sammanställa summan av momenten som verkar på den avskurna delen av balken i förhållande till sektionen.
Böjmomentet är lika med den algebraiska summan av alla moment som verkar på den avskurna delen av balken i förhållande till sektionens tyngdpunkt.
För att kunna utföra beräkningar från valfri ände av balken är det nödvändigt att anta teckenregeln för inre kraftfaktorer.
För skjuvkraft F.
Bild 10.
Om en extern kraft roterar den avskurna delen av balken medurs, då är kraften positiv om en extern kraft roterar den avskurna delen av balken moturs, då är kraften negativ.
För böjmoment M.
Bild 11.
Om du är påverkad yttre kraft balkens krökta axel har formen av en konkav skål, så att regnet som kommer från ovan kommer att fylla den med vatten, då är böjmomentet positivt (Fig. 11a). Om, under påverkan av en yttre kraft, balkens krökta axel har formen av en konvex skål, så att regnet som kommer från ovan inte kommer att fylla den med vatten, är böjmomentet negativt (fig. 11b).
Mellan fördelad belastningsintensitet q, skjuvkraft F och böjmoment M, som agerar i ett visst avsnitt, finns det följande differentiella beroenden:
De angivna differentialberoendena under böjning gör det möjligt att fastställa några egenskaper hos diagrammen över tvärkrafter och böjmoment.
1) I de områden där det inte finns någon fördelad belastning, diagram F begränsas av raka linjer parallella med diagrammets axel och diagrammet M , V allmänt fall, – lutande räta linjer (bild 19).
2) I de områden där en jämnt fördelad belastning appliceras på balken, diagram F begränsas av lutande räta linjer och diagrammet M – kvadratiska paraboler(Fig. 20). Vid plottning M på komprimerade fibrer är parabelns konvexitet vänd i motsatt riktning mot verkan av den fördelade belastningen (fig. 21a, b).
Bild 12.
Bild 13.
3) I de avsnitt där F= 0, tangent till diagrammet M parallellt med diagrammets axel (fig. 12, 13). Böjmomentet i sådana sektioner av balken är extremt i storlek ( M max,Mmin).
4) I områden där Q> 0, Mökar, det vill säga från vänster till höger diagrammets positiva ordinater Mökning, negativa minskar (fig. 12, 13); i de områden där F < 0, M minskar (fig. 12, 13).
5) I de sektioner där koncentrerade krafter appliceras på balken:
a) på diagrammet F det kommer att ske hopp i storleken och i riktningen för de applicerade krafterna (Fig. 12, 13).
b) på diagrammet M det blir sprickor (fig. 12, 13), spetsen på sprickan är riktad mot kraftens inverkan.
6) I de sektioner där koncentrerade moment appliceras på balken, på diagrammet M det kommer att ske hopp i storleken på dessa moment på diagrammet F det kommer inte att ske några förändringar (Fig. 14).
Bild 14.
Bild 15.
7) Om en koncentrerad
moment, då i detta avsnitt är böjmomentet lika med det yttre momentet (sektion C Och B i fig. 15).
8) Diagram F representerar ett diagram av derivatan av plotten M. Ordinaterna alltså F proportionell mot tangenten för lutningsvinkeln för tangenten till diagrammet M(Fig. 14).
Ordningen för plottning F Och M:
1) Ett designdiagram av balken (i form av en axel) upprättas som visar de laster som verkar på den.
2) Inverkan av stöd på balken ersätts av motsvarande reaktioner; beteckningar på reaktioner och deras accepterade riktningar anges.
3) Balansekvationer för strålen sammanställs, vars lösning bestämmer värdena för stödreaktionerna.
4) Balken är uppdelad i sektioner, vars gränser är appliceringspunkterna för externa koncentrerade krafter och moment, såväl som punkterna för början och slutet av handlingen eller förändringen av de fördelade lasternas karaktär.
5) Uttryck för böjmoment sammanställs M och skjuvkrafter F för varje sektion av balken. Beräkningsdiagrammet anger början och riktningen för avståndsmätningen för varje sektion.
6) Med hjälp av de erhållna uttrycken beräknas ordinaterna för diagram för ett antal sektioner av strålen i en mängd som är tillräcklig för att visa dessa diagram.
7) Sektioner bestäms där tvärkrafterna är lika med noll och i vilka moment därför verkar Mmax eller Mmin för en given sektion av balken; värdena för dessa moment beräknas.
8) Diagram konstrueras med hjälp av de erhållna ordinatavärdena.
9) De konstruerade diagrammen kontrolleras genom att jämföra dem med varandra.
Diagram över inre kraftfaktorer under böjning konstrueras för att bestämma den farliga sektionen. Efter att den farliga sektionen har hittats beräknas strålen för styrka. I det allmänna fallet med tvärböjning, när ett böjmoment och tvärkraft verkar i sektioner av en stång, uppstår normal- och skjuvspänningar i balkens sektion. Därför är det logiskt att överväga två styrka:
a) enligt normala spänningar
b) genom tangentiella spänningar
Eftersom den huvudsakliga destruktiva faktorn för balkar är normala spänningar, bestäms dimensionerna för tvärsnittet av en balk med den accepterade formen från hållfasthetsvillkoret för normala spänningar:
Därefter kontrolleras om den valda balksektionen uppfyller villkoret för skjuvspänningshållfasthet.
Detta tillvägagångssätt för att beräkna balkar karakteriserar dock ännu inte strålens styrka. I många fall finns det punkter i balksektioner där stora normal- och skjuvspänningar verkar samtidigt. I sådana fall blir det nödvändigt att kontrollera balkens hållfasthet med hjälp av huvudspänningar. De tredje och fjärde teorierna om styrka är mest tillämpliga för sådana tester:
, 
.
EXEMPEL 1
Konstruera skjuvkraftsdiagram F och böjmoment M för strålen som visas i fig. 16 om: F 1= 3 kN, F 2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, A = 2m, b = 1 m, Med = 3m.
Bild 16.
1) Bestäm stödreaktionerna.
;
;
Undersökning:
Reaktioner hittade korrekt
2) Vi delar upp strålen i sektioner C.A.,AD,DE,E.K.,K.B..
3) Bestäm värdena F Och M på varje plats.
SA
, ; 
, .
AD
, 
;
, 
.
DE
, 
;
, 
.
HF
, , 
.
Låt oss hitta det maximala böjmomentet i området K.B..
Låt oss likställa ekvationen F i detta avsnitt till noll och uttrycka koordinaten z max , med vilken F= 0, och momentet har ett maxvärde. Därefter byter vi ut z max in i momentekvationen i detta avsnitt och hitta Mmax.
EK
, 
.
4) Vi bygger diagram (bild 16)
EXEMPEL 2
För strålen som visas i fig. 16 bestäm måtten på en rund, rektangulär ( h/b = 2) och I-sektion. Kontrollera styrkan på I-balken med huvudspänningar, om [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.
1) Vi bestämmer det erforderliga motståndsmomentet från hållfasthetsvillkoret
2) Bestäm måtten på den cirkulära sektionen
3) Bestäm måtten på den rektangulära sektionen
4) Vi väljer I-balk nr 10 enligt sortimentet (GOST 8239-89)
W X= 39,7 cm 3, S X * =23 cm 3, Jag X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.
För att kontrollera styrkan hos en balk baserat på huvudspänningar är det nödvändigt att konstruera diagram över normala och tangentiella spänningar i en farlig sektion. Eftersom storleken på huvudspänningarna beror på både normala och tangentiella spänningar, bör hållfasthetsprovningen utföras i den sektion av balken där M Och F stor nog. På ett stöd I(Fig. 16) skjuvkraft F har dock ett maxvärde här M= 0. Därför anser vi avsnittet om stödet vara farligt A, där böjmomentet är maximalt och skjuvkraften är relativt stor.
Normala spänningar, som ändras längs sektionens höjd, följer en linjär lag:
Var y– koordinat för snittpunkten (bild 24).
på på= 0, s = 0;
på ymax
, 
Lagen för förändringar i skjuvspänningar bestäms av lagen om förändringar i områdets statiska moment, som i sin tur förändras längs sektionens höjd enligt den paraboliska lagen. Efter att ha beräknat värdet för sektionens karakteristiska punkter, kommer vi att konstruera ett diagram över de tangentiella spänningarna. När vi beräknar värdena för t kommer vi att använda beteckningarna för sektionsdimensioner som antas i fig. 17.
Hållfasthetsvillkoret för lager 3–3 är uppfyllt.
UPPGIFT 5
För givna balkscheman (tabell 12), konstruera tvärkraftsdiagram F och böjmoment M. Välj tvärsnittet för diagram a) runda [s]= 10 MPa; b) I-balk [s]= 150 MPa.
Ta numeriska data från tabellen. 7.
Tabell 7
Initial data för problem nr 6
| № | a, m | qi =q 3, kN/m | q2, kN/m | F 1, kN | F 2, kN | F 3, kN | M 1, kN∙m | M 2, kN∙m | M 3, kN∙m | Schema nr. | ||
| 0,8 | ||||||||||||
| 1,2 |  |
|||||||||||
| Fortsättning av tabell 12 | ||||||||||||
 |  |
|||||||||||
 |
De axlar som passerar genom en plan figurs tyngdpunkt kallas centralaxlar.
Tröghetsmomentet kring den centrala axeln kallas det centrala tröghetsmomentet.
Sats
Tröghetsmoment runt vilken axel som helst lika med summan tröghetsmomentet kring den centrala axeln parallell med den givna, och produkten av arean av figuren med kvadraten på avståndet mellan axlarna.
För att bevisa detta teorem, överväg en godtycklig plan figur vars area är lika med A
, ligger tyngdpunkten vid punkten MED
, och det centrala tröghetsmomentet kring axeln x
kommer Ix
.
Låt oss beräkna tröghetsmomentet för figuren i förhållande till en viss axel x 1
, parallellt med den centrala axeln och på avstånd från den A
(ris).
I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.
När vi analyserar den resulterande formeln noterar vi att den första termen är det axiella tröghetsmomentet i förhållande till centralaxeln, den andra termen är det statiska momentet för arean av denna figur i förhållande till den centrala axeln (därav det lika med noll), och den tredje termen efter integration kan representeras som en produkt a 2 A , d.v.s. som ett resultat får vi formeln:
I x1 = I x + a 2 A- satsen är bevisad.
Baserat på satsen kan vi dra slutsatsen att av en serie parallella axlar kommer det axiella tröghetsmomentet för en platt figur att vara det minsta i förhållande till den centrala axeln .
Huvudaxlar och huvudsakliga tröghetsmoment
Låt oss föreställa oss en platt figur vars tröghetsmoment i förhållande till koordinataxlarna Ix Och jag y , och det polära tröghetsmomentet i förhållande till origo är lika med jag ρ . Som konstaterats tidigare,
I x + I y = I ρ.
Om koordinataxlarna roteras i sitt plan runt koordinaternas ursprung, kommer det polära tröghetsmomentet att förbli oförändrat, och de axiella momenten kommer att förändras, medan deras summa förblir konstant. Eftersom beloppet variablerär konstant, då minskar en av dem och den andra ökar, och vice versa.
Följaktligen, vid en viss position av axlarna, kommer ett av de axiella momenten att nå maximalt värde och det andra - minimum.
De axlar kring vilka tröghetsmomenten har minimi- och maximivärden kallas tröghetsaxlarna.
Tröghetsmomentet kring huvudaxeln kallas för huvudtröghetsmomentet.
Om huvudaxel passerar genom figurens tyngdpunkt, kallas den för den centrala huvudaxeln, och tröghetsmomentet kring en sådan axel kallas det huvudsakliga centrala tröghetsmomentet.
Vi kan dra slutsatsen att om en figur är symmetrisk kring någon axel, så kommer denna axel alltid att vara en av de viktigaste centrala tröghetsaxlarna för denna figur.
Centrifugalt tröghetsmoment
Det centrifugala tröghetsmomentet för en platt figur är summan av produkterna av elementära områden som tagits över hela området och avståndet till två ömsesidigt vinkelräta axlar:
I xy = Σ xy dA,
Var x
, y
- avstånd från platsen dA
till axlarna x
Och y
.
Det centrifugala tröghetsmomentet kan vara positivt, negativt eller noll.
Det centrifugala tröghetsmomentet ingår i formlerna för att bestämma positionen för huvudaxlarna för asymmetriska sektioner.
Standardprofiltabeller innehåller en egenskap som kallas sektionens rotationsradie
, beräknat med formlerna:
i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (nedan tecknet"√"- rottecken)
Var Jag x, jag y
- axiella tröghetsmoment för sektionen i förhållande till de centrala axlarna; A
- tvärsnittsarea.
Detta geometrisk egenskap används i studiet av excentrisk spänning eller kompression, såväl som längsgående böjning.
Torsionsdeformation
Grundläggande begrepp om torsion. Torsion av en rund balk.
Torsion är en typ av deformation där endast ett vridmoment uppstår i något tvärsnitt av balken, det vill säga en kraftfaktor som orsakar en cirkulär rörelse av sektionen i förhållande till en axel vinkelrät mot denna sektion, eller förhindrar sådan rörelse. Med andra ord uppstår torsionsdeformationer om ett eller flera kraftpar appliceras på en rak balk i plan vinkelräta mot dess axel.
Momenten för dessa kraftpar kallas vridning eller rotation. Vridmoment betecknas med T
.
Denna definition delar villkorligt effektfaktorer vridningsdeformationer till externa (vridmoment, vridmoment T
) och interna (vridmoment M cr
).
I maskiner och mekanismer utsätts runda eller rörformiga axlar oftast för vridning, så hållfasthets- och styvhetsberäkningar görs oftast för sådana enheter och delar.
Tänk på vridningen av en rund cylindrisk axel.
Föreställ dig en cylindrisk axel av gummi där en av ändarna är styvt fixerad, och på ytan finns ett rutnät av längsgående linjer och tvärgående cirklar. Vi kommer att applicera ett par krafter på den fria änden av axeln, vinkelrätt mot denna axels axel, det vill säga vi kommer att vrida den längs axeln. Om du noggrant undersöker rutnätslinjerna på axelns yta kommer du att märka att:
- axeln, som kallas torsionsaxeln, kommer att förbli rak;
- cirklarnas diametrar kommer att förbli desamma, och avståndet mellan intilliggande cirklar kommer inte att förändras;
- längsgående linjer på axeln kommer att förvandlas till spiralformade linjer.
Av detta kan vi dra slutsatsen att när en rund cylindrisk balk (axel) vrids, är hypotesen om plana sektioner giltig, och vi kan också anta att cirklarnas radier förblir raka under deformation (eftersom deras diametrar inte har förändrats). Och eftersom det inte finns några schaktsektioner längsgående krafter, då bibehålls avståndet mellan dem.
Följaktligen består torsionsdeformationen av en rund axel i rotationen av tvärsnitten i förhållande till varandra runt torsionsaxeln, och deras rotationsvinklar är direkt proportionella mot avstånden från den fasta sektionen - ju längre en sektion är från den fasta änden för axeln, desto större vinkel i förhållande till axeln vrider den sig .
För varje axelsektion, rotationsvinkeln lika med vinkel vrida den del av axeln som är innesluten mellan denna sektion och tätningen (fast ände).
Hörn ( ris. 1) rotation av den fria änden av axeln (ändsektionen) kallas hela vridningsvinkeln för den cylindriska balken (axeln).
Relativ vridningsvinkel φ 0
kallas torsionsvinkelförhållande φ 1
till avståndet l 1
från en given sektion till inbäddningen (fast sektion).
Om den cylindriska balken (skaftet) är lång l
har ett konstant tvärsnitt och är belastat med ett vridmoment i den fria änden (dvs består av en homogen geometrisk sektion), då är följande påstående sant:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = konst
- värdet är konstant.
Om vi betraktar ett tunt lager på ytan av ovanstående gummicylindriska stång ( ris. 1), begränsad av en rutnätscell cdef , då noterar vi att denna cell deformeras under deformation och dess sida, på avstånd från den fasta sektionen, skiftar mot strålens vridning och upptar positionen cde 1 f 1 .
Det bör noteras att en liknande bild observeras under skjuvdeformation, endast i detta fall deformeras ytan på grund av translationsrörelse av sektioner i förhållande till varandra, och inte på grund av rotationsrörelse, som vid torsionsdeformation. Baserat på detta kan vi dra slutsatsen att under vridning in tvärsnitt endast tangenter uppstår inre krafter(spänningar) som genererar vridmoment.
Så, vridmomentet är det resulterande momentet i förhållande till axeln för strålen av inre tangentiella krafter som verkar i tvärsnittet.
Låt oss bestämma förhållandet mellan sektionens olika tröghetsmoment i förhållande till två parallella axlar (fig. 6.7), förbundna med beroenden
1. För statiska tröghetsmoment
Till sist,
2. För axiella tröghetsmoment
därav,
Om axeln z passerar genom sektionens tyngdpunkt, då
Av alla tröghetsmoment kring parallella axlar har det axiella tröghetsmomentet det minsta värdet kring den axel som går genom sektionens tyngdpunkt.
Samma för axel
När axeln y passerar genom sektionens tyngdpunkt
3. För de centrifugala tröghetsmoment vi erhåller
Äntligen kan vi skriva
I fallet när ursprunget till koordinatsystemet yzär i sektionens tyngdpunkt, får vi
I det fall där en eller båda axlarna är symmetriaxlar,
6.7. Ändring av tröghetsmoment vid vändning av axlar
Låt sektionens tröghetsmoment i förhållande till koordinataxlarna anges zy.
Vinkeln anses vara positiv om det gamla koordinatsystemet behöver roteras moturs för att flytta till det nya (för ett högerhänt kartesiskt rektangulärt koordinatsystem). Nytt och gammalt zy koordinatsystem är förbundna med beroenden som följer av fig. 6,8:
1. Låt oss definiera uttryck för axiella tröghetsmoment i förhållande till det nya koordinatsystemets axlar:
Likadant med avseende på axeln
Om vi summerar värdena för tröghetsmomenten kring axlarna och får vi
det vill säga när axlarna roterar är summan av de axiella tröghetsmomenten ett konstant värde.
2. Låt oss härleda formler för centrifugala tröghetsmoment.
.
6.8. Huvudmoment av tröghet. Tröghetsaxlar
De extrema värdena för sektionens axiella tröghetsmoment kallas de huvudsakliga tröghetsmomenten.
Två ömsesidigt vinkelräta axlar, kring vilka de axiella tröghetsmomenten har extrema värden, kallas tröghetsaxlarna.
För att hitta de huvudsakliga tröghetsmomenten och positionen för huvudtröghetsaxlarna, bestämmer vi den första derivatan med avseende på vinkeln för tröghetsmomentet, bestämd med formeln (6.27)
Låt oss likställa detta resultat till noll:
var är vinkeln med vilken koordinataxlarna måste roteras y Och z så att de sammanfaller med huvudaxlarna.
Genom att jämföra uttryck (6.30) och (6.31) kan vi konstatera det
,
Följaktligen, i förhållande till huvudtröghetsaxlarna, är det centrifugala tröghetsmomentet noll.
Inbördes vinkelräta axlar, varav en eller båda sammanfaller med sektionens symmetriaxlar, är alltid tröghetsaxlarna.
Låt oss lösa ekvation (6.31) för vinkel:
.
Om >0, då för att bestämma positionen för en av huvudtröghetsaxlarna för det högra (vänster) kartesiska rektangulära koordinatsystemet, behövs en axel z vrid i vinkel mot rotationsriktningen (i rotationsriktningen) medurs. Om<0, то для определения положения одной из главных осей инерции для правой (левой) декартовой прямоугольной системы координат необходимо осьz vrid i vinkel i rotationsriktningen (moturs) medurs.
Den maximala axeln gör alltid en mindre vinkel med axlarnas ( y eller z), i förhållande till vilket det axiella tröghetsmomentet har ett större värde (Fig. 6.9).
Den maximala axeln är riktad i en vinkel mot axeln(), if() och är placerad i de jämna (udda) fjärdedelarna av axlarna, if().
Låt oss bestämma de viktigaste tröghetsmomenten och. Genom att använda formler från trigonometri som förbinder funktionerna,,,med funktionerna,,från formeln (6.27) får vi
,
Låt Ix, Iy, Ixy också vara kända. Låt oss rita en ny axel x 1, y 1 parallell med xy-axlarna.
Och låt oss bestämma tröghetsmomentet för samma sektion i förhållande till de nya axlarna.
X1 = x-a; y1 =y-b
I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=
Ix – 2b Sx + b 2 A.
Om x-axeln passerar genom sektionens tyngdpunkt, då är det statiska momentet Sx =0.
I x 1 = Ix + b 2 A
I likhet med den nya y 1-axeln kommer vi att ha formeln I y 1 = Iy + a 2 A
Centrifugalt tröghetsmoment kring nya axlar
Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.
Om xy-axlarna passerar genom sektionens tyngdpunkt, då Ix 1 y 1 = Ixy + abA
Om sektionen är symmetrisk, sammanfaller åtminstone en av de centrala axlarna med symmetriaxeln, då Ixy =0, vilket betyder Ix 1 y 1 = abA
Ändring av tröghetsmoment vid vändning av axlar.
Låt de axiella tröghetsmomenten kring xy-axlarna vara kända.
Vi får ett nytt xy-koordinatsystem genom att rotera det gamla systemet med en vinkel (a > 0), om rotationen är moturs.
Låt oss fastställa förhållandet mellan de gamla och nya koordinaterna för webbplatsen
y 1 =ab = ac – bc = ab- de
från triangel acd:
ac/ad =cos α ac= ad*cos α
från triangel oed:
de/od =sin α dc = od*sin α
Låt oss ersätta dessa värden i uttrycket för y
y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.
likaså
x 1 = x cos α + y sin α.
Låt oss beräkna det axiella tröghetsmomentet i förhållande till den nya axeln x 1
Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .
På liknande sätt är Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.
Låt oss lägga till vänster och höger sida av de resulterande uttrycken:
Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).
Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy
Summan av de axiella tröghetsmomenten under rotation förändras inte.
Låt oss bestämma det centrifugala tröghetsmomentet i förhållande till de nya axlarna. Låt oss föreställa oss värdena x 1 , y 1 .
Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .
Huvudmoment och huvudtröghetsaxlar.
Huvudsakliga tröghetsmoment de kallas extrema värden.
De axlar kring vilka extremvärdena erhölls kallas tröghetsaxlarna. De är alltid inbördes vinkelräta.
Centrifugaltröghetsmomentet i förhållande till huvudaxlarna är alltid lika med 0. Eftersom det är känt att det finns en symmetriaxel i snittet är centrifugalmomentet lika med 0, vilket betyder att symmetriaxeln är huvudaxel. Om vi tar den första derivatan av uttrycket I x 1 och sedan likställer det med "0", får vi värdet på vinkeln = motsvarande positionen för huvudtröghetsaxlarna.
tg2 α 0 = - 
Om α 0 >0 måste den gamla axeln roteras moturs för en viss position av huvudaxlarna. En av huvudaxlarna är max, och den andra är min. I detta fall motsvarar maxaxeln alltid en mindre vinkel med den slumpmässiga axeln i förhållande till vilken den har ett större axiellt tröghetsmoment. Extrema värden för det axiella tröghetsmomentet bestäms av formeln:
Kapitel 2. Grundläggande begrepp om materialstyrka. Mål och metoder.
När man designar olika strukturer är det nödvändigt att lösa olika frågor om styrka, styvhet och stabilitet.
Styrka– en given kropps förmåga att motstå olika belastningar utan att förstöras.
Stelhet– en konstruktions förmåga att ta upp laster utan stora deformationer (förskjutningar). Preliminära tillåtna deformationsvärden regleras av byggregler och föreskrifter (SNIP).
Hållbarhet
Tänk på kompressionen av en flexibel stång
Om belastningen gradvis ökas kommer stången först att kortas. När kraften F når ett visst kritiskt värde kommer stången att bucklas. - absolut förkortning.
I det här fallet kollapsar inte stången, utan ändrar kraftigt sin form. Detta fenomen kallas förlust av stabilitet och leder till förstörelse.
Sopromat– dessa är grunderna för vetenskaperna om styrka, styvhet och stabilitet hos tekniska strukturer. Metoder som används i sopromat teoretisk mekanik, fysik, matematik. Till skillnad från teoretisk mekanik tar materialstyrka hänsyn till förändringar i kropparnas storlek och form under påverkan av belastning och temperatur.
Låt z Med, y s– sektionernas mittaxlar, – sektionens tröghetsmoment i förhållande till dessa axlar. Låt oss bestämma sektionens tröghetsmoment i förhållande till de nya axlarna z 1, vid 1, parallella med de centrala axlarna och förskjutna i förhållande till dem med avstånd a Och d. Låta dA– ett elementärt område i närheten av en punkt M med koordinater y Och z i det centrala koordinatsystemet. Från fig. 4.3 är det klart att koordinaterna för punkt C i det nya koordinatsystemet kommer att vara lika med, .
Låt oss bestämma tröghetsmomentet för sektionen relativt y-axeln 1 :
|
| z c |
| y c |
| z 1 |
| y 1 |
| d |
| a |
| C |
Således,
likaså
Ändra sektionens tröghetsmoment när axlarna roteras
Låt oss hitta sambandet mellan tröghetsmomenten kring axlarna y, z och tröghetsmoment kring axlarna y 1, z 1, roterad i vinkel a. Låta Jy> Jz och positiv vinkel a mätt från axeln y moturs. Låt koordinaterna för punkten M innan svängen - y, z, efter att ha vänt – y 1, z 1(Fig. 4.4).
Av figuren följer:
Låt oss nu bestämma tröghetsmomenten kring axlarna y 1 Och z 1:
|
| M |
| z |
| z 1 |
| y 1 |
| y |
| a |
| y |
| y 1 |
| z 1 |
| z |
Likaså:
Lägger vi till ekvationerna (4.13) och (4.14) term för term, får vi:
de där. summan av tröghetsmoment kring alla inbördes vinkelräta axlar förblir konstant och ändras inte när koordinatsystemet roteras.
Huvudtröghetsaxlar och huvudsakliga tröghetsmoment
Med en förändring av axlarnas rotationsvinkel a Var och en av kvantiteterna ändras, men deras summa förblir oförändrad. Därför finns det en sådan mening
a = a 0, vid vilken tröghetsmomenten når extrema värden, dvs. en av dem når sitt maximala värde och den andra når sitt minimum. För att hitta värdet a 0 ta den första derivatan av (eller) och likställ den med noll:
Låt oss visa att i förhållande till de resulterande axlarna är centrifugaltröghetsmomentet lika med noll. För att göra detta likställer vi höger sida av ekvation (4.15) till noll: , varifrån, dvs. fick samma formel för a 0 .
De axlar kring vilka det centrifugala tröghetsmomentet är noll och de axiella tröghetsmomenten har extrema värden kallas huvudaxlar. Om dessa axlar också är centrala, så kallas de för centrala huvudaxlar. Axiella moment tröghet kring huvudaxlarna kallas huvudsakliga tröghetsmoment.
Låt oss beteckna huvudaxlarna med y 0 Och z 0. Sedan
Om en sektion har en symmetriaxel, är denna axel alltid en av sektionens centrala tröghetsaxlar.
Liknande artiklar
