Hitta symmetriaxeln. Symmetriaxeln för en parabel är den vertikala linjen som går genom parabelns spets. Symmetriaxeln specificeras av funktionen x = n, där n är "x"-koordinaten för parabelns vertex. För att beräkna symmetriaxeln, använd formeln x = -b/2a.

• I vårt exempel a = 2, b = 0. Koppla in dessa värden i formeln: x = -0/(2 x 2) = 0.
• Symmetriaxel x = 0.

Hitta toppen. Efter att ha beräknat symmetriaxeln har du hittat "x"-koordinaten för parabelns vertex. Ersätt värdet du hittade i den ursprungliga ekvationen för att hitta "y." Dessa två koordinater är koordinaterna för parabelns vertex. I vårt exempel, ersätt x = 0 med y = 2x 2 -1 och få y = -1. Parabelns vertex har koordinater (0, -1). Dessutom är detta skärningspunkten för parabeln med Y-axeln (eftersom x = 0).

• Ibland betecknas koordinaterna för en vertex som (h,k). I vårt exempel är h = 0, k = -1. Om andragradsekvation ges i formuläret y = a(x – h)2 + k, då kan du enkelt hitta koordinaterna för vertex direkt från ekvationen (utan beräkningar).

Inom matematiken finns det en hel cykel av identiteter, bland vilka andragradsekvationer upptar en betydande plats. Sådana likheter kan lösas både separat och för att konstruera grafer på koordinataxeln. ekvationer är skärningspunkterna för parabeln och den räta linjen oh.

Allmän form

I allmän syn har följande struktur:

Både enskilda variabler och hela uttryck kan betraktas som "X". Till exempel:

(x+7) 2+3(x+7)+2=0.

I det fall då rollen för x är ett uttryck, är det nödvändigt att representera det som en variabel och hitta efter det, likställa polynomet med dem och hitta x.

Så, om (x+7)=a, så tar ekvationen formen a 2 +3a+2=0.

D=32-4*1*2=1;

och 1 =(-3-1)/2*1=-2;

och 2 =(-3+1)/2*1=-1.

Med rötter lika med -2 ​​och -1 får vi följande:

x+7=-2 och x+7=-1;

Rötterna är x-koordinatvärdet för den punkt där parabeln skär x-axeln. I princip är deras värde inte så viktigt om uppgiften bara är att hitta parabelns vertex. Men för att rita en graf spelar rötter en viktig roll.

Låt oss återgå till den initiala ekvationen. För att svara på frågan om hur man hittar spetsen på en parabel måste du känna till följande formel:

där x VP är x-koordinatvärdet för den önskade punkten.

Men hur hittar man spetsen på en parabel utan y-koordinatvärdet? Vi ersätter det resulterande x-värdet i ekvationen och hittar den önskade variabeln. Låt oss till exempel lösa följande ekvation:

Hitta x-koordinatvärdet för parabelns vertex:

x VP =-b/2a=-3/2*1;

Hitta y-koordinatvärdet för parabelns vertex:

y=2x2 +4x-3=(-1,5) 2+3*(-1,5)-5;

Som ett resultat finner vi att parabelns vertex är belägen vid punkten med koordinater (-1,5;-7,25).

En parabel är en koppling av punkter som har en vertikal Av denna anledning är dess konstruktion i sig inte särskilt svår. Det svåraste är att göra korrekta beräkningar av punkternas koordinater.

Det är värt att ägna särskild uppmärksamhet åt kvadratiska ekvationens koefficienter.

Koefficient a påverkar parabelns riktning. I fallet när det har ett negativt värde kommer grenarna att riktas nedåt, och när tecknet är positivt kommer grenarna att riktas uppåt.

Koefficienten b anger hur bred parabelarmen kommer att vara. Ju högre dess värde, desto bredare blir det.

Koefficient c indikerar förskjutningen av parabeln längs OS-axeln i förhållande till origo.

Vi har redan lärt oss hur man hittar spetsen på en parabel, och för att hitta rötterna bör vi vägledas av följande formler:

där D är den diskriminant som är nödvändig för att hitta rötterna till ekvationen.

xl =(-b+V - D)/2a

x2 =(-b-V - D)/2a

De resulterande x-värdena kommer att motsvara noll y-värden, eftersom de är skärningspunkterna med OX-axeln.

Efter detta markerar vi de resulterande värdena överst på parabeln. För en mer detaljerad graf måste du hitta några fler punkter. För att göra detta, välj valfritt värde på x som tillåts av definitionsdomänen och ersätt det i funktionens ekvation. Resultatet av beräkningarna kommer att vara koordinaten för punkten längs op-amp-axeln.

För att förenkla grafprocessen kan du rita en vertikal linje genom toppen av parabeln och vinkelrätt mot OX-axeln. Detta kommer att vara med hjälp av vilken du, med en punkt, kan utse en andra, på samma avstånd från den ritade linjen.

Jag föreslår att resten av läsarna avsevärt utökar sina skolkunskaper om paraboler och hyperbler. Hyperbel och parabel - är de enkla? ...Kan inte vänta =)

Hyperbel och dess kanoniska ekvation

Den allmänna strukturen för presentationen av materialet kommer att likna föregående stycke. Låt oss börja med allmänt begrepp hyperboler och problem för dess konstruktion.

Den kanoniska ekvationen för en hyperbel har formen , där är positiva reella tal. Observera att till skillnad från ellips, villkoret ställs inte här, det vill säga värdet "a" kan vara mindre än värdet"bae".

Jag måste säga, helt oväntat... ekvationen för "skolans" hyperbel inte ens liknar den kanoniska notationen. Men detta mysterium måste fortfarande vänta på oss, men låt oss nu klia oss i huvudet och komma ihåg vilka karakteristiska egenskaper kurvan i fråga har? Låt oss sprida det på skärmen av vår fantasi graf för en funktion ….

En hyperbel har två symmetriska grenar.

Inte dåliga framsteg! Varje överdrift har dessa egenskaper, och nu kommer vi att titta med äkta beundran på halsen på denna linje:

Exempel 4

Konstruera en hyperbel ges av ekvationen

Lösning: vid första steget ger vi given ekvation Till kanonisk form. Kom ihåg standardproceduren. Till höger måste du få "en", så vi dividerar båda sidorna av den ursprungliga ekvationen med 20:

Här kan du minska båda fraktionerna, men det är mer optimalt att göra var och en av dem tre våningar:

Och först efter det genomför minskningen:

Välj kvadraterna i nämnarna:

Varför är det bättre att genomföra omvandlingar på detta sätt? När allt kommer omkring kan fraktionerna på vänster sida omedelbart reduceras och erhållas. Faktum är att i exemplet under övervägande hade vi lite tur: talet 20 är delbart med både 4 och 5. I allmänt fall Det här numret fungerar inte. Tänk till exempel på ekvationen. Här är allt tristare med delbarhet och utan tre våningar bråk inte längre möjligt:

Så låt oss använda frukten av vårt arbete - den kanoniska ekvationen:

Hur konstruerar man en hyperbel?

Det finns två sätt att konstruera en hyperbel - geometrisk och algebraisk.
Ur praktisk synvinkel, att rita med en kompass... Jag skulle till och med säga utopiskt, så det är mycket mer lönsamt att återigen använda enkla beräkningar som hjälp.

Det är tillrådligt att följa följande algoritm, först den färdiga ritningen, sedan kommentarerna:

I praktiken påträffas ofta en kombination av rotation med en godtycklig vinkel och parallell translation av hyperbeln. Denna situation diskuteras i klassen Reducering av 2:a ordningens linjeekvation till kanonisk form.

Parabel och dess kanoniska ekvation

Det är avslutat! Hon är den. Redo att avslöja många hemligheter. Den kanoniska ekvationen för en parabel har formen , där – riktigt nummer. Det är lätt att märka att i sin standardposition "ligger parabeln på sidan" och att dess spets är i origo. I det här fallet specificerar funktionen den övre grenen av denna linje, och funktionen - den nedre grenen. Det är uppenbart att parabeln är symmetrisk kring axeln. Varför bry sig egentligen:

Exempel 6

Konstruera en parabel

Lösning: toppunkten är känd, låt oss hitta ytterligare punkter. Ekvationen bestämmer den övre bågen av parabeln, bestämmer ekvationen den nedre bågen.

För att förkorta inspelningen av beräkningarna kommer vi att utföra beräkningarna "med en borste":

För kompakt inspelning kan resultaten sammanfattas i en tabell.

Innan vi utför en elementär punkt-för-punkt-ritning, låt oss formulera en strikt

definition av parabel:

En parabel är mängden av alla punkter i planet som är lika långt från en given punkt och en given linje som inte går genom punkten.

Punkten kallas fokus paraboler, rak linje - rektor (stavas med ett "es") paraboler. Konstant "pe" kanonisk ekvation kallad fokal parameter, vilket är lika med avståndet från fokus till riktlinjen. I detta fall . I det här fallet har fokus koordinater, och riktningen ges av ekvationen.
I vårt exempel:

Definitionen av en parabel är ännu enklare att förstå än definitionerna av en ellips och en hyperbel. För varje punkt på en parabel är segmentets längd (avståndet från fokus till punkten) lika med längden på vinkelrät (avståndet från punkten till riktlinjen):

Grattis! Många av er har gjort en verklig upptäckt idag. Det visar sig att en hyperbel och en parabel inte alls är grafer över "vanliga" funktioner, utan har ett uttalat geometriskt ursprung.

Uppenbarligen, med en ökning av fokalparametern, kommer grafens grenar att "höjas" upp och ner och närma sig oändligt nära axeln. När "pe"-värdet minskar kommer de att börja komprimeras och sträcka sig längs axeln

Excentriciteten hos varje parabel är lika med enhet:

Rotation och parallell translation av en parabel

Parabeln är en av de vanligaste linjerna i matematik, och du kommer att behöva bygga den riktigt ofta. Var därför särskilt uppmärksam på det sista stycket i lektionen, där jag kommer att diskutera typiska alternativ för placeringen av denna kurva.

! Notera : som i fallen med tidigare kurvor är det mer korrekt att tala om rotation och parallell överföring koordinataxlar, men författaren kommer att begränsa sig till en förenklad version av presentationen så att läsaren har en grundläggande förståelse för dessa transformationer.

Lektion: Hur konstruerar man en parabel eller kvadratisk funktion?

TEORETISK DEL

En parabel är en graf över en funktion som beskrivs av formeln ax 2 +bx+c=0.
För att bygga en parabel måste du följa en enkel algoritm:

1) Parabolformel y=ax 2 +bx+c,
Om a>0 då riktas parabelns grenar upp,
annars är parabelns grenar riktade ner.
Gratis medlem c denna punkt skär parabeln med OY-axeln;

2), hittas den av formeln x=(-b)/2a, ersätter vi det hittade x i parabelekvationen och finner y;

3)Funktion nollor eller, med andra ord, skärningspunkterna för parabeln med OX-axeln, de kallas också för ekvationens rötter. För att hitta rötterna likställer vi ekvationen med 0 ax 2 +bx+c=0;

Typer av ekvationer:

a) Den fullständiga andragradsekvationen har formen ax 2 +bx+c=0 och löses av diskriminanten;
b) Ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 +bx=0. För att lösa det måste du ta x inom parentes och sedan likställa varje faktor med 0:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 och ax+b=0;
c) Ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 +c=0. För att lösa det måste du flytta de okända till ena sidan och de kända till den andra. x =±√(c/a);

4) Hitta flera ytterligare punkter för att konstruera funktionen.

PRAKTISK DEL

Och så nu, med hjälp av ett exempel, kommer vi att analysera allt steg för steg:
Exempel #1:
y=x2 +4x+3
c=3 betyder att parabeln skär OY i punkten x=0 y=3. Parabolens grenar pekar uppåt eftersom a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 vertex är vid punkten (-2;-1)
Låt oss hitta rötterna till ekvationen x 2 +4x+3=0
Med hjälp av diskriminanten hittar vi rötterna
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Låt oss ta flera godtyckliga punkter som är belägna nära spetsen x = -2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Ersätt istället för x i ekvationen y=x 2 +4x+3 värden
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Av funktionsvärdena kan man se att parabeln är symmetrisk med avseende på den räta linjen x = -2

Exempel #2:
y=-x 2 +4x
c=0 betyder att parabeln skär OY i punkten x=0 y=0. Parabolens grenar tittar ner eftersom a=-1 -1 Låt oss hitta rötterna till ekvationen -x 2 +4x=0
Ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 +bx=0. För att lösa det måste du ta x inom parentes och sedan likställa varje faktor med 0.
x(-x+4)=0, x=0 och x=4.

Låt oss ta flera godtyckliga punkter som ligger nära spetsen x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Ersätt istället för x i ekvationen y=-x 2 +4x värden
y=02 +4*0=0
y=-(1)2 +4*1=-1+4=3
y=-(3)2 +4*3=-9+13=3
y=-(4)2 +4*4=-16+16=0
Av funktionsvärdena kan man se att parabeln är symmetrisk med avseende på den räta linjen x = 2

Exempel nr 3
y=x 2-4
c=4 betyder att parabeln skär OY i punkten x=0 y=4. Parabolens grenar pekar uppåt eftersom a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 toppunkten är vid punkten (0;- 4 )
Låt oss hitta rötterna till ekvationen x 2 -4=0
Ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 +c=0. För att lösa det måste du flytta de okända till ena sidan och de kända till den andra. x =±√(c/a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 = -2

Låt oss ta flera godtyckliga punkter som ligger nära spetsen x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Ersätt istället för x i ekvationen y= x 2 -4 värden
y=(-2) 2-4=4-4=0
y=(-1) 2-4=1-4=-3
y=12-4=1-4=-3
y=22-4=4-4=0
Av funktionsvärdena kan man se att parabeln är symmetrisk kring den räta linjen x = 0

Prenumerera till kanalen på YOUTUBE att hålla sig à jour med alla nya produkter och förbereda med oss ​​inför prov.

Liknande artiklar

Provansökan om återbetalning av fastighetsskatteavdrag

Röda i inbördeskriget

Överskjutande dagpenning: försäkringspremier och beskattning Resebeskattning

Kräftan-Ox-kvinnans egenskaper och kompatibilitet När Kräftan vet, förstår Oxens flod Oxen