Studerar algebra i 10:e klass med hjälp av läroboken av A.G. Mordkovich och P.V. Semenov, studenter stötte först på funktionen av heltalsdelen av talet y = [x]. Vissa var intresserade av det, men det fanns väldigt lite teoretisk information och till och med uppgifter som innehöll en heltalsdel av ett tal. För att stödja barns intresse för ämnet uppstod idén om att skapa denna manual.
Genomförandet av kursprogrammet är utformat för 1:a halvan av 10:e klass för studenter i fysik och matematik.
Syftet med kursen: att utöka elevernas kunskaper om matematiska funktioner och att utveckla förmågan att använda kunskaper om funktioner vid lösning av ekvationer och ojämlikheter av varierande grad av komplexitet. Den presenterade läroboken innehåller teoretisk information av referenskaraktär. Detta är information om funktionen av heltalsdelen av talet y = [x] och funktionen för bråkdelen av talet y = (x), deras grafer. Transformationerna av grafer som innehåller en heltalsdel av ett tal förklaras. Lösningar på de enklaste ekvationerna och olikheterna som innehåller ett heltal eller bråkdel av ett tal övervägs. Samt metoder för att lösa kvadratiska, bråk- och rationella ekvationer och olikheter, ekvationssystem som innehåller ett heltal eller bråkdel av ett tal.
Manualen innehåller uppgifter för oberoende lösning.
Manualen innehåller följande punkter:
Introduktion.
§1. Introduktion till funktionerna y = [x] och y = (x).
§2. Ekvationer som innehåller en bråk- eller heltalsdel av ett tal.
2.1 De enklaste ekvationerna.
2.2 Lösa ekvationer av formen = g (x).
2.3 Grafisk metod för att lösa ekvationer.
2.4 Lösa ekvationer genom att introducera en ny variabel.
2.5 Ekvationssystem.
§3. Konvertera grafer för funktioner som innehåller en heltalsdel av ett tal.
3.1 Rita grafer för funktioner av formen y =
3.2 Rita grafer för funktioner av formen y = f ([x]).
§4. Ojämlikheter som innehåller ett heltal eller bråkdel av ett tal.
§5. Heltals- och bråkdelar av tal i olympiaduppgifter.
Svar på uppgifter för självständig lösning.
Manualen säkerställer utveckling av idéer om funktionen och bildandet av tillämpad kompetens.
Riktat till lärare som löser problem inom specialiserad utbildning.
Ladda ner:
Förhandsvisning:
Rozina T.A
Problem som innehåller en helhet
eller bråkdel av ett tal
Mezhdurechensk 2011
Kära gymnasieelever!
Du är på väg att påbörja en djupgående studie av ämnet "Heltal och bråkdelar av ett tal." Denna handbok låter dig utöka dina kunskaper om matematiska funktioner när du löser ekvationer och ojämlikheter av varierande grad av komplexitet. Den presenterade manualen innehåller teoretisk information av referenskaraktär, förklarar transformationer av grafer som innehåller ett heltal eller bråkdel av ett tal, och överväger lösningar till de enklaste ekvationerna. Samt metoder för att lösa kvadratiska, bråkrationella ekvationer och ojämlikheter, ekvationssystem. Manualen innehåller uppgifter för oberoende lösning. Läroboken hjälper dig att systematisera och generalisera den kunskap du har förvärvat om ämnet "Heltal och bråkdelar av ett tal."
Lycka till!
§1. Introduktion till funktionerna y = [x] och y = (x)………………………4
§2. Ekvationer som innehåller ett heltal eller bråkdel av ett tal......7
- De enklaste ekvationerna…………………………………………7
- Lösa ekvationer på formen = g(x)…………………………..8.
2.3 Grafisk metod för att lösa ekvationer………………10
- Lösa ekvationer genom att introducera en ny variabel……11
- Ekvationssystem……………………………………………….12
§3. Transformationer av grafer för funktioner som innehåller ett heltal
En del av numret…………………………………………………………………....13
- 3.1 Rita grafer för funktioner av formen y = …………………13
- 3.2 Rita grafer för funktioner av formen y = f([x])……………15
§4. Ojämlikheter som innehåller ett heltal eller bråkdel av ett tal...17
……
§5. Heltal eller bråkdel av ett tal i olympiaduppgifter......20
Svar på uppgifter för oberoende lösning…………………23
Referenser……………………………………………………………………………… 25
§1. Introduktion till funktioner y = [x]
och y = (x)
Historik och definition av heltals- och bråkdelar av ett tal
Begreppet en heltalsdel av ett tal introducerades av den tyske matematikern Johann Carl Friedrich Gauss (1771-1855), författare till Transactions on Number Theory. Gauss avancerade också teorin om speciella funktioner, serier, numeriska metoder, lösa problem inom matematisk fysik och skapade den matematiska teorin om potential.
Heltalsdelen av ett reellt tal x betecknas med symbolen [x] eller E(x).
Symbol [x] introducerades av K. Gauss 1808.
Funktionen av heltalsdelen av ett tal introducerades av Adrien Marie Legendre ( 1752-1833). - Fransk matematiker. Hans verk "An Experience in the Theory of Numbers", som publicerades 1798, är ett grundläggande verk, resultatet av aritmetiska prestationer på 1700-talet. Det är till hans ära som funktionen y = [x] kallas det franska ordet "Antier" (franska "entier" - hela) betecknat Ex).
Definition: heltalsdelen av ett tal x är det största heltal c som inte överstiger x, dvs. om [x] = c, c ≤ x
Till exempel: = 2;
[-1,5] = -2.
Med hjälp av några värden för funktionen kan du bygga dess graf. Det ser ut så här:
Egenskaper för funktionen y = [x]:
1. Definitionsdomänen för funktionen y = [x] är mängden av alla reella tal R.
2. Området för funktionen y = [x] är mängden av alla heltal Z.
3. Funktionen y = [x] är styckvis konstant, ej avtagande.
4. Allmän funktion.
5. Funktionen är inte periodisk.
6. Funktionen är inte begränsad.
7. Funktionen har en brytpunkt.
8. y=0, vid x.
Till exempel: (3,7) = 0,7
{-2,4} = 0,6.
Låt oss plotta funktionen y = (x). Det ser ut så här:
De enklaste egenskaperna för funktionen y = (x):
1. Definitionsdomänen för funktionen y = (x) är mängden av alla reella tal R.
2. Värdeintervallet för funktionen y = (x) är ett halvt intervall och y = (x) hjälper dig att slutföra vissa uppgifter.
UPPGIFTER FÖR OBEROENDE LÖSNING
1) Bygg funktionsdiagram:
A) y = [x] + 5;
B) y = (x) - 2;
B) y = |[x]|.
2) Vad kan talen x och y vara om:
A) [x + y] = y;
B) [x - y] = x;
B) (x - y) = x;
D) (x + y) = y.
3) Vad kan sägas om storleken på skillnaden x - y om:
A) [x] = [y];
B) (x) = (y).
4) Vilket är störst: [a] eller (a)?
§2. Ekvationer som innehåller ett heltal eller bråkdel av ett tal
2.1. De enklaste ekvationerna
De enklaste ekvationerna inkluderar ekvationer av formen [x] = a.
Ekvationer av denna typ löses per definition:
a ≤ x
Om a är ett bråktal, har en sådan ekvation inga rötter.
Låt oss titta på ett exempel på en lösningen av dessa ekvationer:
[x + 1,3] = - 5. Per definition förvandlas en sådan ekvation till en olikhet:
5 ≤ x + 1,3
Detta blir lösningen på ekvationen.
Svar: x[-6,3;-5,3).
Låt oss överväga en annan ekvation som tillhör den enklaste kategorin:
[x+1] + [x-2]-[x+3] = 2
För att lösa ekvationer av denna typ är det nödvändigt att använda egenskapen för heltalsfunktionen: Om p är ett heltal, så är likheten sann
[x ± p] = [x] ± p
Bevis: x = [x] + (x)
[ [x] + (x) ± p] = [ [x] + (x)] ± p
x = k + a, där k = [x], a = (x)
[k + a ± p] = [k + a] ± p = [x] ±p.
Låt oss lösa den föreslagna ekvationen med hjälp av den bevisade egenskapen: Vi får [x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 2. Låt oss ta med liknande termer och få den enklaste ekvationen [x] = 6. Dess lösning är halvintervallet x = 1
Låt oss omvandla ekvationen till olikhet: 1 ≤ x 2 -5x+6
x 2 - 5x + 6
x 2 - 5x + 6 ≥ 1 och lös det;
x 2 - 5x + 4
x 2 - 5x + 5>0
Vi får x(1;4)
Х(-∞;(5 -)/2][(5 +)/2; +∞),
X(1; (5-)/2][(5+)/2;4).
Svar: x(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).
Lös ekvationerna:
1) = 1
2) = 0,487
3) – = 2
4) [x 2] = 4
5) [x] 2 = 4
6) = - 5
7) [x 2 – x + 4] = 2
8) = - 1
9) = 4,2
10) (x) – [x] + x = 0
11) x + (x) + [x] = 0
12) [4x – 5] = 7
2.2 Lösa ekvationer på formen =g(x)
En ekvation av formen =g(x) kan lösas genom att reducera dem till ekvationen
[x] = a.
Låt oss titta på exempel 1.
Lös ekvationen
Låt oss ersätta den högra sidan av ekvationen med en ny variabel a och härifrån uttrycka x
11a = 16x + 16, 16x = 11a – 16,
Då = =
Låt oss nu lösa ekvationen för variabeln A .
Låt oss utöka tecknet för heltalsdelen per definition och skriva det med hjälp av ojämlikhetssystemet:
Från intervallet väljer vi alla heltalsvärden a: 3;4;5;6;7 och utför den omvända ersättningen:
Svar:
Exempel 2.
Lös ekvationen:
Dela varje täljarterm inom parentes med nämnaren:
Av definitionen av heltalsdelen av ett tal följer att (a+1) måste vara ett heltal, vilket betyder att a är ett heltal.Siffrorna a, (a+1), (a+2) är tre på varandra följande tal, vilket betyder att ett av dem nödvändigtvis är delbart med 2 och ett med 3. Därför är produkten av siffror delbart med 6.
Det är ett heltal. Betyder
Låt oss lösa denna ekvation.
a(a+1)(a+2) - 6(a+1) = 0
(a+1)(a(a+2) - 6) = 0
a + 1 = 0 eller a 2 + 2a – 6 = 0
a = -1 D = 28
A = -1 ± (är inte heltal).
Svar: -1.
Lös ekvationen:
2.3. Grafiskt sätt att lösa ekvationer
Exempel 1. [x] = 2(x)
Lösning. Låt oss lösa denna ekvation grafiskt. Låt oss plotta funktionerna y = [x] och y = 2(x). Låt oss hitta abskissorna för deras skärningspunkter.
Svar: x = 0; x = 1,5.
I vissa fall är det bekvämare att använda en graf för att hitta ordinaterna för grafernas skärningspunkter. Ersätt sedan det resulterande värdet i en av ekvationerna och hitta de önskade x-värdena.
UPPGIFTER FÖR OBEROENDE LÖSNING
Lös ekvationerna grafiskt:
- (x) = 1 - x;
- (x) + 1 = [x];
- = 3x;
- 3(x) = x;
- (x) = 5x + 2;
- [|x|] = x;
- [|x|] = x + 4;
- [|x|] = 3|x| - 1;
- 2(x) – 1 = [x] + 2;
10) Hur många lösningar har ekvationen 2(x) = 1?.
2.4. Lösa ekvationer genom att införa en ny variabel.
Låt oss titta på det första exemplet:
(x) 2-8(x)+7 = 0
Byt ut (x) med a, 0 a
en 2 - 8a + 7 = 0, som vi löser med hjälp av satsen invers till Vietas sats: De resulterande rötterna är a = 7 och a = 1. Låt oss utföra den omvända substitutionen och få två nya ekvationer: (x) = 7 och (x) = 1. Båda dessa ekvationer har inga rötter. Därför har ekvationen inga lösningar.
Svar: det finns inga lösningar.
Låt oss överväga ett annat falllösa ekvationen genom att införa en ny
variabel:
3[x]3 + 2[x]2 + 5[x]-10 = 0
Låt oss göra ändringen [x] = a, az. och vi får en ny kubikekvation för 3 +2a 2 +5a-10=0. Vi hittar den första roten av denna ekvation genom att välja: a=1 är roten till ekvationen. Vi dividerar vår ekvation med (a-1). Vi får andragradsekvation 3a 2
+ 5a +10=0. Denna ekvation har en negativ diskriminant, vilket betyder att den inte har några lösningar. Det vill säga, a=1 är den enda roten till ekvationen. Vi utför den omvända substitutionen: [x]=a=1. Vi löser den resulterande ekvationen genom att definiera heltalsdelen av ett tal: x 2 + 8[x]-9 = 0 10) 10[x]3 -11[x]2 -31[x]-10 = 0 2.5. Ekvationssystem. Tänk på ekvationssystemet: 2[x] + 3[y] = 8, 3[x] – [y] = 1. Det kan lösas antingen genom addition eller genom substitution. Låt oss fokusera på den första metoden. 2[x] + 3[y] = 8, 9[x] – 3[y] = 3. Efter att ha adderat de två ekvationerna får vi 11[x] = 11. Därav [x] = 1. Ersätt detta värde i systemets första ekvation och få [y] = 2. [x] = 1 och [y] = 2 är lösningar av systemet. Det är x
18-x-y
3) 3[x] – 2(y) = 6
[x] 2 – 4(y) = 4
4) 3(x) – 4(y) = -6
6(x) – (y) 2 = 3.
§3. Transformationer av grafer för funktioner som innehåller en heltalsdel av ett tal
3.1. Rita grafer för funktioner av formen y =
Låt det finnas en graf av funktionen y = f(x). Gör så här för att plotta funktionen y =:
- Vi markerar skärningspunkterna för de räta linjerna y = n, y = n + 1 med grafen för funktionen y = f(x). Dessa punkter tillhör grafen för funktionen y =, eftersom deras ordinater är heltal (i figuren är dessa punkterna A, B, C, D).
Låt oss plotta funktionen y = [x]. För detta
- Rita raka linjer y = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ... och betrakta en av ränderna som bildas av de raka linjerna y = n, y = n + 1.
- Vi markerar skärningspunkterna för linjerna y = n, y = n + 1 med grafen
Funktioner y = [x]. Dessa punkter tillhör grafen för funktionen y = [x],
Eftersom deras koordinater är heltal.
- För att erhålla de återstående punkterna i grafen för funktionen y = [x] i den angivna remsan, projicera den del av grafen y = x som faller in i remsan parallellt med O-axeln på till den räta linjen y = n, y = n + 1. Eftersom någon punkt M i denna del av grafen för funktionen y = x har en sådan ordinata y 0 att n 0 0] = n
- I varannan remsa där det finns punkter på grafen för funktionen y = x, utförs konstruktionen på liknande sätt.
UPPGIFTER FÖR OBEROENDE LÖSNING
Rita upp funktionerna:
3.2. Rita en funktion av formen y = f([x])
Låt en graf för någon funktion y = f(x) ges. Grafen för funktionen y = f([x]) är konstruerad enligt följande:
- Rita raka linjer x = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ...
- Låt oss betrakta en av ränderna som bildas av linjerna y = n och y = n + 1. Punkterna A och B för skärningspunkten mellan grafen för funktionen y = f(x) med dessa linjer tillhör grafen för funktionen y = f([x]), eftersom deras abskiss är heltal.
- För att erhålla de återstående punkterna i grafen för funktionen y = f([x]) i den angivna remsan projicerar vi den del av grafen för funktionen y = f(x) som faller i denna remsa parallellt med O-axeln y till den räta linjen y = f(n).
- I varannan remsa där det finns punkter på grafen för funktionen y = f(x) utförs konstruktionen på liknande sätt.
Överväg att plotta funktionen y =. För att göra detta kommer vi att rita en graf över funktionen y = med en prickad linje. Ytterligare
tal.
3. I varannan remsa där det finns punkter på grafen för funktionen y =, konstruktionen utförs på liknande sätt.
UPPGIFTER FÖR OBEROENDE LÖSNING
Rita upp funktionerna:
§4. Ojämlikheter som innehåller hela eller bråkdelar av ett tal
Låt oss kalla följande relationer för de huvudsakliga ojämlikheterna med [x] och (x): [x] > b och (x) > b. En bekväm metod för att lösa dem är den grafiska metoden. Låt oss förklara det med två exempel.
Exempel 1. [x] ≥ b
Lösning. Låt oss introducera två funktioner y = [x] och y = b och rita deras grafer på samma ritning. Det är tydligt att då bör två fall särskiljas: b – heltal och b – icke-heltal.
Fall 1. b – heltal
Det framgår av figuren att graferna sammanfaller vid .
Därför kommer lösningen på olikheten [x] ≥ b att vara strålen x ≥ b.
Fall 2. b är icke-heltal.
I det här fallet skärs inte graferna för funktionerna y = [x] och y = b. Men den del av grafen y = [x] som ligger ovanför linjen börjar vid punkten med koordinater ([b] + 1; [b] + 1). Sålunda är lösningen på olikheten [x] ≥ b strålen x ≥ [b] + 1.
Andra typer av grundläggande ojämlikheter studeras på exakt samma sätt. Resultaten av dessa studier sammanfattas i tabellen nedan.
[X] |
(x) ≥ b, (x) > b, b ≥1 | Inga lösningar |
(x) ≥ b, (x) > b, b | (-∞; +∞) |
(x) ≥ b, (x) > b, 0 ≤ b | n + b ≤ x n+b |
(x) ≤ b, (x) | (-∞; +∞) |
(x) ≤ b, (x) | Inga lösningar |
(x) ≤ b, (x) | n≤x≤b+n |
Låt oss titta på ett exempel lösningar på ojämlikhet:
Låt oss ersätta [x] med variabeln a, där a är ett heltal.
>1; >0; >0; >0.
Med intervallmetoden hittar vi en > -4 [x] > -4
För att lösa de erhållna ojämlikheterna använder vi den sammanställda tabellen:
x ≥ -3,
Svar: [-3;1).
UPPGIFTER FÖR OBEROENDE LÖSNING.
1) [x]
2) [x] ≤ 2
3) [x] > 2.3
4) [x] 2
5) [x] 2 -5 [x] -6
6) [x] 2 - 7 [x] + 6 0
7) 30[x]2 -121[x] + 80
8) [x]2 + 3[x]-4 0
9) 3(x)2-8(x)-4
10) 110[x]2 -167[x] + 163 0
11) > 2
12) > 1
13) 0
14) 0
§5. Heltal eller bråkdel av ett tal i olympiaduppgifter
Exempel 1.
Bevisa att ett tal är delbart med 5 för ett naturligt tal n.
Bevis: Låt n vara ett jämnt tal, dvs. n=2m, där m N,
Det är därför.
Då ser detta uttryck ut så här: ,
de där. den är delbar med 5 för valfritt jämnt n.
Om, n = 2m -1, då
då ser detta uttryck ut så här:
Detta tal är delbart med 5 för alla udda n.
Så detta uttryck är delbart med 5 för vilket naturligt n som helst.
Exempel 2.
Hitta alla primtal i formen, där n N.
Lösning. Låt vara. Om n=3k så är p=3k 2 . Detta tal kommer att vara primtal och lika med 3, med k=1.
Om n=3k+1, k0, då
Den där
Detta tal kommer att vara primtal och lika med 5 när k=1.
Om n = 3k + 2, k 0, då
Sammansatt nummer för valfri kN.
Svar: 3;5
Exempel 3.
Tal skrivs i en rad som är multiplar av två, tre och sex. Hitta siffran som kommer på tusende plats i denna serie.
Lösning:
Låt x vara det önskade talet, då är en serie tal som är multiplar av två i denna serie - , är multiplar av tre - , är multiplar av sex - . Men tal är multiplar av sex, multiplar av två och tre, d.v.s. kommer att räknas tre gånger. Därför, från summan av siffror. För multiplar av två, tre, sex måste du subtrahera två gånger antalet multiplar av sex. Då är ekvationen för att lösa det problemet:
Låt oss presentera följande notation:
Sedan a+b-c=1000 (*) och enligt definitionen av heltalsdelen av ett tal har vi:
Genom att multiplicera varje olikhetsterm med 6 får vi:
6a3x
6b2x
Lägger vi till de två första olikheterna och subtraherar den tredje olikheten från dem får vi:
6(a+b+c) 4x
Låt oss använda likhet (*), sedan: 60004x
1500x
Lösningarna på ekvationen kommer att vara siffrorna: 1500 och 1501, men enligt villkoren för problemet är bara talet 1500 lämpligt.
Svar: 1500
Exempel 4.
Det är känt att den yngre brodern inte är mer än 8, men inte mindre än 7 år gammal. Om antalet hela år för den yngre brodern fördubblas, och antalet delår (dvs. månader) av hans ålder tredubblas, kommer summan att vara äldre broderns ålder. Ange åldern på var och en av bröderna, exakt i månader, om det är känt att deras totala ålder är 21 år och 8 månader.
Lösning:
Låt då x (år) vara den yngre broderns ålder(månader) av hans ålder. Enligt förutsättningarna för problemet(år) – äldre broderns ålder. Båda brödernas totala ålder är:
(årets).
3( , 3x + ,
Eftersom (x)=x - [x], alltså. (Formens ekvation = bx + c, där a,b,c R)
N=6, n=7.
När n=6, x = - inte uppfyller villkoren för problemet.
När n=7, x = .
Den yngre broderns ålder är 7 år och 2 månader.
Den äldre broderns ålder är 14 år och 6 månader.
Svar: den yngre broderns ålder är 7 år och 2 månader,
Den äldre broderns ålder är 14 år och 6 månader.
Uppgifter för självständig lösning.
1. Lös ekvationerna: a) x+2[x] = 3,2; b) x 3 –[x] =3
2. Naturliga tal m och n är coprime och n
Eller
3. Givet ett tal x större än 1. Är det nödvändigt med jämlikhet?
Lös ekvationssystemet: x+[y]+(z) = 1,1
Y+[z]+(x)=2,2
Z+[x]+(y)=3,3.
4. Det är känt att antalet hela meter i ett band är 4 gånger större än antalet delmeter (dvs. centimeter). Bestäm den maximala längden på tejpen.
Svar på uppgifter för självständig lösning.
§1 2. a) xЄ d) x Є Z; y Є >(a), om a ≥ 1, (a) ≥ [a], om en
§2. 2.1 1), nЄ Z
3), n Z
6) (- ∞; 2);, n≥3, n Z
§5. 1. a) x = 1,2
Om (x) är bråkdelen av talet x, då är [x] + (x) = x.
Då är [x] + (x) + 2[x] = 3,2. 3[x] + (x) = 3,2. Eftersom 3[x] är ett heltal och 0 ≤ (x)
B) x =.
Notera. [x] = x- (x), där 0 ≤ (x)
X 3 - x + (x) = 3, varav 2 2 - 1) ≤ 3.
- Den första summan är större än den andra med m – n.
- Nödvändigtvis.
Notera. Om [√] = n, då n 4 ≤ x 4 . Nu är det lätt
Bevisa att [√ ] = n.
- (1; 0,2; 2,1)
- 3m 75 cm.
Bibliografi
- Alekseeva V., Uskova N. Problem som innehåller heltals- och bråkdelar av ett tal // Matematik. 1997. Nr 17. S. 59-63.
- Voronova A.N. Ekvation med en variabel under heltals- eller bråkdelens tecken // Matematik i skolan. 2002.Nr.4. s. 58-60.
- Voronova A.N. Ojämlikheter med en variabel under heltalsdelens tecken // Matematik i skolan. 2002. Nr 2. S. 56-59.
- Galkin E.V. Icke-standardiserade problem i matematik. Algebra: Lärobok. manual för elever i årskurs 7-11. Chelyabinsk: "Vzglyad", 2004.
- Ytterligare kapitel om 10:e klass matematikkurs för valbara klasser: En manual för studenter / Komp. BAKOM. Eunuck. M.: Utbildning, 1979.
- Erovenko V.A., O.V. Mikhaskova O.V. Occams metodologiska princip med hjälp av exemplet på funktioner för heltals- och bråkdelar av ett tal // Matematik i skolan. 2003. Nr 3. S. 58-66.
7. Kirzimov V. Lösning av ekvationer och olikheter som innehåller ett heltal och
Bråkdel av ett tal // Matematik. 2002.№30. s. 26-28.
8. Schreiner A.A. "Regionala matematiska olympiaders uppgifter
Novosibirsk-regionen". Novosibirsk 2000.
9. Katalog "Mathematics", Moskva "AST-PRESS" 1997.
10. Raichmist R.B. "Grafker över funktioner. Uppgifter och övningar." Moskva.
"Skola - press" 1997.
11. Mordkovich A.G., Semenov P.V. och andra.” Algebra och början av analys. 10
Klass. Del 2. Problembok. Profilnivå" Smolensk
"Mnemosyne" 2007.
y=b(bZ)
y=b(bZ)
Johann Gauss
Adrien Legendre
Matematiska spel och underhållning
Favoriter
Redaktör Kopylova A.N.
Tech. Redaktör Murashova N.Ya.
Korrekturläsare Secheiko L.O.
Levererades för rekrytering den 26 september 2003. Undertecknad för publicering den 14 december 2003. Format 34×103¼. Phys. ugn l. 8,375. Villkorlig ugn l. 13,74. Usch. ed. l. 12,88. Upplaga 200 000 exemplar. Beställningsnr 279. Bokpris 50 rub.
Domoryad A.P.
Matematiska spel och underhållning. Favoriter. – Volgograd: VSPU, 2003, - 20 sid.
Boken presenterar utvalda problem från monografin av Domoryad A.P. "Matematiska spel och underhållning", som publicerades 1961 av statens förlag för fysisk och matematisk litteratur i Moskva.
ISBN 5-09-001292-X BBK 22.1я2я72
©VGPU Publishing House, 2003
Bestämma det avsedda antalet med hjälp av tre tabeller
Sprid siffror från 1 till 60 i rad i var och en av de tre tabellerna så att de i den första tabellen står i tre kolumner med tjugo nummer vardera, i den andra - i fyra kolumner med 15 nummer vardera och i den tredje - i fem kolumner med 12 siffror vardera (se fig. 1), är det lätt att snabbt bestämma talet N (N≤) som någon har tänkt ut om talen α, β, γ i kolumnerna som innehåller det tänkta talet i 1:a, 2:a och 3:e anges i tabellerna: N kommer att vara lika med resten av att dividera talet 40α+45β+36γ med 60 eller summan (40α+45β+36γ) modulo 60. Till exempel, med α=3, β=2, γ=1:
40α+45β+36γ=0+30+36=6(mod60), dvs N=6
| Ι | II | III |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| jag | II | III | IV |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| jag | II | III | IV | V |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
Figur 1
En liknande fråga kan uppstå för nummer upp till 420, placerade i fyra tabeller med tre, fyra, fem och sju kolumner: om α, β, γ är numren på de kolumner där det avsedda numret förekommer, så är det lika med återstoden av divisionen av talet 280α+ 105β+336+120δ med 420.
Binnikemask
Ett spel som heter binnikemask spelas på en bräda med trettiotre rutor.
Ett sådant bräde kan enkelt erhållas genom att täcka schackbrädet med ett kartongark med ett korsformat utskärning.
I figuren indikeras varje cell med ett par siffror som indikerar numren på de horisontella och vertikala raderna i skärningspunkten där cellen är belägen. I början av spelet är alla celler, med undantag av en, upptagna av pjäser.
Det krävs att du tar bort 31 pjäser, och en tom "startcell" anges ( a,b) och "final" ( CD), på vilken brickan som överlevde i slutet av spelet ska placeras. Spelets regler är
är: vilken bricka som helst kan tas bort från brädet om det bredvid den (i horisontell eller vertikal riktning) finns en bricka på ena sidan ("borttagning") och på den motsatta sidan finns en tom ruta där "borttagning" ” Checkaren måste överföras samtidigt.
Av spelteorin följer att det kommer att finnas en lösning om och bara om a c(mod3) och b d(mod3).
Låt oss ge ett exempel på ett problem där cell (44) är både den initiala och sista cellen.
- 64-44
- 56-54
- 44-64
- 52-54
- 73-53
- 75-73
- 43-63
- 73-53
- 54-52
- 35-55
- 65-45
- 15-35
- 45-25
- 37-35
- 57-37
- 34-36
- 37-35
- 25-45
- 46-44
- 23-43
- 31-33
- 43-23
- 51-31
- 52-32
- 31-33
- 14-34
- 34-32
- 13-33
- 32-34
- 34-54
- 64-44
Här, i protokollet för varje drag, anges numren på den ursprungliga pjäsen för den "borttagande" pjäsen
Celler och numret på cellen som den är placerad på (i detta fall tas en bricka bort från brädet,
stående på en mellanliggande ruta)
Försök att ta bort 31 brickor:
a) Initial cell (5,7) och slutcell (2,4);
b) Startcell (5,5) och slutcell (5,2).
Addition och subtraktion istället för multiplikation
Före uppfinningen av logaritmtabeller, för att underlätta multiplikationen av flersiffriga tal, s.k. prostasfärisk tabeller (från de grekiska orden "aphairesis" - att ta bort), som är tabeller med funktionsvärden
För naturvärden av Z. Eftersom för a och b heltal (talen a+b och a-b är antingen båda rättvisa eller båda udda; i det senare fallet är bråkdelarna av y och identiska), då multiplicering av a med b reducerar definitionen av a+b och a-b och slutligen skillnaderna mellan siffror 
,tagna tabeller.
För att multiplicera tre tal kan du använda identiteten
av vilket det följer att om du har en tabell med funktionsvärden, kan beräkningen av produkten abc reduceras till att bestämma talen a+b+c, a+b-c, a+c-b, b+c-a och kom ihåg - med hjälp av tabellen - höger sida av jämställdheten (*).
Låt oss som exempel ge en sådan tabell för .
Tabellen visar: stora tal – värden och små tal – betydelse k, var då
| ENHETER | |||||||||||
| TIDER | 1 3 | 2 16 | 5 5 | 9 0 | 14 7 | 21 8 | 30 9 | ||||
| 55 11 | 72 0 | 91 13 | 114 8 | 140 15 | 170 16 | 204 17 | 243 0 | 285 19 | |||
| 333 8 | 385 21 | 443 16 | 506 23 | 576 0 | 651 1 | 732 8 | 820 3 | 914 16 | 1016 5 |
Det är inte svårt att använda formeln (*) och tabellen för att få:
9·9·9=820 3 – 30 9 – 30 9 – 30 9 =297,
17 8 4 = 1016 5 –385 21 – 91 13 + 5 5 = 544 (Kolla upp!!)
Funktion [x] (heltalsdel av x)
Funktionen [x] är lika med det största heltal som inte överstiger x (x är valfritt reellt tal). Till exempel:
| |
Figur 2 visar en graf över denna funktion, och den vänstra änden av vart och ett av de horisontella segmenten tillhör grafen (fetiga prickar), och den högra änden gör det inte.
av diagonalerna i en kvadrat är lika med samma antal 
Om bara summan av siffror i någon horisontell och vertikal är densamma, så kallas kvadraten halvmagisk.
Den magiska 4-torget är uppkallad efter Dürer, en matematiker och konstnär från 1500-talet, som avbildade torget i den berömda målningen "Melankoli".
Förresten, de två nedre mellersta siffrorna i denna kvadrat bildar numret 1514 - datumet för målningens skapande.
Det finns åtta magiska rutor med nio celler, två av dem, som är varandras spegelbilder, visas i figuren; de återstående sex kan erhållas från dessa rutor genom att rotera dem runt mitten med 90,180,270.
Lektionens mål: introducera eleverna till begreppet heltals- och bråkdelar av ett tal; formulera och bevisa några egenskaper hos heltalsdelen av ett tal; introducera eleverna till ett brett spektrum av användningar av heltals- och bråkdelar av ett tal; förbättra förmågan att lösa ekvationer och ekvationssystem som innehåller heltals- och bråkdelar av ett tal.
Utrustning: poster "Den som gör och tänker själv från en ung ålder blir senare mer pålitlig, starkare, smartare" (V. Shukshin).
Projektor, magnetkort, uppslagsbok för algebra.
Lektionsplanering.
- Att organisera tid.
- Kollar läxor.
- Att lära sig nytt material.
- Lösa problem i ämnet.
- Lektionssammanfattning.
- Läxa.
Under lektionerna
I. Organisatoriskt ögonblick: meddelande om lektionens ämne; sätta lektionsmålet; budskap om lektionens skeden.
II. Kollar läxor.
Svara på elevernas frågor om läxor. Lös problem som orsakade svårigheter när du gjorde läxor.
III. Att lära sig nytt material.
I många algebraproblem måste du ta hänsyn till det största heltal som inte överstiger ett givet tal. Ett sådant heltal har fått ett speciellt namn "heltalsdel av ett tal".
1. Definition.
Heltalsdelen av ett reellt tal x är det största heltal som inte överstiger x. Heltalsdelen av talet x betecknas med symbolen [x] eller E(x) (från den franska Entier "antier" ─ "hel"). Till exempel, = 5, [π ] = 3,
Av definitionen följer att [x] ≤ x, eftersom heltalsdelen inte överstiger x.
Å andra sidan, därför att [x] är det största heltal som uppfyller olikheten, sedan [x] +1>x. Således är [x] ett heltal definierat av olikheterna [x] ≤ x< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.
Talet α = υ ─ [x] kallas bråkdelen av talet x och betecknas (x). Då har vi: 0 ≤ (x)<1 и следовательно, х = [x] + {х}.
2. Vissa egenskaper hos antie.
1. Om Z är ett heltal, då = [x] + Z.
2. För alla reella tal x och y: ≥ [x] + [y].
Bevis: eftersom x = [x] + (x), 0 ≤ (x)<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.
Om 0 ≤ α<1. ς о = [x] + [у].
Om 1≤ α<2, т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и
= [x] + [y]+1>[x] + [y].
Den här egenskapen sträcker sig till vilket ändligt antal termer som helst:
≥ + + + … + .
Förmågan att hitta heltalsdelen av en storhet är mycket viktig vid ungefärliga beräkningar. Faktum är att om vi vet hur man hittar heltalsdelen av värdet x, då, med [x] eller [x]+1 som ett ungefärligt värde av värdet x, kommer vi att göra ett fel vars värde inte är större än ett , eftersom
≤ x – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.
Dessutom låter värdet på heltalets del av kvantiteten dig hitta dess värde med en noggrannhet på 0,5. För detta värde kan du ta [x] + 0,5.
Möjligheten att hitta hela delen av ett nummer gör att du kan bestämma detta nummer med vilken grad av noggrannhet som helst. Faktiskt, sedan
≤ Nx ≤ +1, alltså
För större N blir felet litet.
IV. Problemlösning.
(De erhålls genom att extrahera rötter med en noggrannhet på 0,1 med brist och överskott). Lägger vi till dessa ojämlikheter får vi
1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.
De där. 3.1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.
Observera att talet 3,25 inte skiljer sig från x med mer än 0,15.
Uppgift 2. Hitta det minsta naturliga talet m för vilket
Kontroll visar att för k = 1 och k = 2 gäller inte den resulterande olikheten för någon naturlig m, och för k = 3 har den en lösning m = 1.
Det betyder att det obligatoriska antalet är 11.
Svar: 11.
Antje i Eqs.
Att lösa ekvationer med en variabel under tecknet "heltalsdel" handlar vanligtvis om att lösa ojämlikheter eller system av ojämlikheter.
Uppgift 3. Lös ekvationen:
Uppgift 4. Lös ekvationen
Enligt definitionen av heltalsdelen är den resulterande ekvationen ekvivalent med den dubbla olikheten
Uppgift 5. Lös ekvationen 
Lösning: om två tal har samma heltalsdel, är deras skillnad i absolut värde mindre än 1, och därför följer olikheten från denna ekvation
Och därför, för det första, x≥ 0, och för det andra, i summan i mitten av den resulterande dubbla olikheten, är alla termer, med början från den tredje, lika med 0, så x < 7 .
Eftersom x är ett heltal återstår bara att kontrollera värdena från 0 till 6. Lösningarna till ekvationen är talen 0,4 och 5.
c) märkning.
VI. Läxa.
Ytterligare uppgift (valfritt).
Någon mätte längden och bredden på en rektangel. Han multiplicerade hela delen av längden med hela delen av bredden och fick 48; multiplicerade hela delen av längden med bråkdelen av bredden och fick 3,2; multiplicerade bråkdelen av längden med hela delen av bredden och fick 1,5. Bestäm arean av rektangeln.
Shkolnik förlag
Volgograd, 2003
A.P. Domoryad
BBK 22.1я2я72
Domoryad Alexander Petrovich
Matematiska spel och underhållning
Favoriter
Redaktör Kopylova A.N.
Tech. redaktör Murashova N.Ya.
Korrekturläsare Secheiko L.O.
Levererades för rekrytering den 26 september 2003. Undertecknad för publicering den 14 december 2003. Format 84x 108 ¼.Phys.print.l. 8,375. Villkorlig ugn 13,74. Akademiker-ed.l. 12,82. Upplaga 200 000 exemplar. Beställningsnr 979. Priset på boken är 50 rubel.
Domoryad A.P.
Matematiska spel och underhållning: Favoriter - Volgograd: VSPU, 2003. - 20 sid.
Boken presenterar utvalda problem från monografin av Domoryad A.P. "Matematiska spel och underhållning", som publicerades 1961 av det statliga förlaget för fysisk och matematisk litteratur i Moskva.
ISBN5-09-001292-Х ББК22.1я2я72
© Förlaget "VGPU", 2003
Förord 6
Bestämma det avsedda antalet med hjälp av tre tabeller 7
Solitaire 8
Addera och subtrahera istället för att multiplicera 11
Funktion [x] (heltalsdel av x) 12
Figurer från fyrkantiga bitar 14
Magiska rutor 16
Bilaga 17
Förord
Från det mångsidiga materialet som förenats av olika författare under det allmänna namnet matematiska spel och underhållning kan flera grupper av "klassisk underhållning" urskiljas, som länge har uppmärksammats av matematiker:
Underhållning relaterad till sökandet efter originella lösningar på problem som möjliggör en nästan outtömlig mängd lösningar; Vanligtvis är de intresserade av att fastställa antalet lösningar, utveckla metoder som ger stora grupper av lösningar eller lösningar som uppfyller vissa speciella krav.
Matematiska spel, d.v.s. spel där två "drag" som spelas sida vid sida, gjorda växelvis i enlighet med de angivna reglerna, strävar mot ett visst mål, och det visar sig vara möjligt för vilken utgångsposition som helst att förutbestämma vinnaren och indikera hur - med eventuella drag av motståndaren - han kan uppnå seger.
"En persons spel", dvs. underhållning där det, genom en serie operationer utförda av en spelare i enlighet med dessa regler, är nödvändigt att uppnå ett visst, förutbestämt mål; här är de intresserade av de förutsättningar under vilka målet kan uppnås och letar efter det minsta antalet drag som krävs för att uppnå det.
Alla kan försöka, genom att visa envishet och uppfinningsrikedom, få intressanta (sina egna!) resultat.
Om sådan klassisk underhållning som till exempel att komponera "magiska rutor" kan tilltala en relativt snäv krets av människor, så komponerar man till exempel symmetriska figurer från detaljerna i en utskuren ruta, söker efter numeriska kuriosa, etc., utan att kräva någon matematisk träning, kan ge nöje för både amatörer och icke-älskare av matematik. Detsamma kan sägas om underhållning som kräver förberedelser i 9-11 årskurserna på gymnasiet.
Många underhållningar och till och med individuella problem kan föreslå ämnen för oberoende forskning för matematikälskare.
I allmänhet är boken avsedd för läsare med matematisk bakgrund i årskurs 10-11, även om det mesta av materialet är tillgängligt för niondeklassare, och vissa frågor är till och med tillgängliga för elever i årskurs 5-8.
Många stycken kan användas av matematiklärare för att organisera fritidsaktiviteter.
Olika kategorier av läsare kan använda den här boken på olika sätt: människor som inte är sugna på matematik kan bekanta sig med de märkliga egenskaperna hos siffror, siffror etc., utan att fördjupa sig i logiken för spel och underhållning, ta individuella uttalanden om tro; Vi rekommenderar matematikälskare att studera enskilda delar av boken med penna och papper, lösa de föreslagna problemen och svara på enskilda frågor som föreslås för reflektion.
Bestämma det avsedda antalet med hjälp av tre tabeller
Genom att placera siffror från 1 till 60 i rad i var och en av tre tabeller så att de i den första tabellen finns i tre kolumner med tjugo nummer vardera, i den andra - i fyra kolumner med 15 nummer vardera och i den tredje - fem kolumner med 12 siffror vardera (se Fig. 1), är det lätt att snabbt bestämma talet N (N≤60) som någon har tänkt ut om talen α, β, γ i kolumnerna som innehåller det tänkta talet i 1:a, 2:a och 3:e är indikerade tabeller: N kommer att vara exakt resten av att dividera talet 40α+45β+36γ med 60 eller, med andra ord, N kommer att vara exakt det mindre positiva talet jämförbart med summan (40α+45β+36γ) modulo 60. Till exempel, med α=3, β =2, γ=1:40a+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60), dvs. N=6.
| jag | II | III | IV | V |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . |
| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 |
| 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| jag | II | III |
|||
| 1 | 2 | 3 |
|||
| 4 | 5 | 6 |
|||
| 7 | 8 | 9 |
|||
| . | . | . |
|||
| . | . | . |
|||
| . | . | . |
|||
| 55 | 56 | 57 |
|||
| 58 | 59 | 60 |
|||
| jag | II | III | IV |
||
| 1 | 2 | 3 | 4 |
||
| 5 | 6 | 7 | 8 |
||
| . | . | . | . |
||
| . | . | . | . |
||
| . | . | . | . |
||
| 53 | 54 | 55 | 56 |
||
| 57 | 58 | 59 | 60 |
||
En liknande fråga kan lösas för siffror upp till 420, placerade i fyra tabeller med tre, fyra, fem och sju kolumner: om - numren på kolumnerna där det avsedda talet finns, är det lika med resten efter att ha dividerat nummer 280α+105β+336γ+120δ vid 420.
Binnikemask
| 737773 | 747774 | 757775 | ||||
| 636663 | 642264 | 656665 | ||||
| 515551 | 555252 | 535553 | 544554 | 554455 | 555556 | 555557 |
| 414441 | 424442 | 434443 | 444444 | 454445 | 464446 | 474447 |
| 313331 | 323332 | 333333 | 343334 | 353335 | 363336 | 373337 |
| 232223 | 242224 | 252225 | ||||
| 131113 | 141114 | 111115 |
Ett spel som heter binnikemask spelas på en bräda med trettiotre rutor. Detta bräde kan enkelt erhållas genom att täcka schackbrädet med ett kartongark med ett korsformat utskärning.
Användbar och spännande underhållning inkluderar att komponera figurer från sju bitar av en kvadrat, skurna i enlighet med figur 3, (a), och när du komponerar de givna figurerna måste alla sju bitar användas, och de måste överlappa, även delvis, med varje Övrig.
I fig. Figur 4 visar symmetriska figurer 1. Försök att sätta ihop dessa figurer från delar av kvadraten som visas i fig. 3, (a).
(a) (b)
Fig.3
Ris. 4
Från samma ritningar kan du skapa många andra figurer (till exempel bilder av olika föremål, djur, etc.).
En mindre vanlig version av spelet är att göra figurer från bitar av kvadraten som visas i fig. 3, (b).
Magiska rutor
Magiskt torg"n 2 -fyrkant" låt oss kalla en kvadrat dividerad med n 2 celler fylls först n 2 naturliga tal så att summan av talen i en horisontell eller vertikal rad, såväl som på någon av kvadratens diagonaler, är lika med samma talOm bara summan av siffror i en horisontell och vertikal rad är lika, då kallas kvadraten halvmagisk.
Funktion [ x] är lika med det största heltal större än x (x– valfritt reellt tal). Till exempel:
Funktion [ x] har "brytpunkter": för heltalsvärden x det "förändras plötsligt".
Figur 2 visar en graf över denna funktion, och den vänstra änden av vart och ett av de horisontella segmenten tillhör grafen (fetiga prickar), och den högra änden gör det inte.
Försök att bevisa att om den kanoniska nedbrytningen av ett nummer n! det finns då 
Liknande formler gäller för
Genom att veta detta är det lätt att avgöra till exempel hur många nollor talet 100 slutar med! Verkligen, låt det vara. Sedan
Och 
.
Därför 100! Delat med, dvs. slutar med tjugofyra nollor.
Figurer från fyrkantiga bitar
Användbar och spännande underhållning inkluderar att komponera figurer från sju bitar av en kvadrat, skurna i enlighet med figur 3, (a), och när du komponerar de givna figurerna måste alla sju bitar användas, och de måste överlappa, även delvis, med varje Övrig.
I fig. Figur 4 visar symmetriska figurer 1. Försök att sätta ihop dessa figurer från delar av kvadraten som visas i fig. 3, (a).
Från samma ritningar kan du skapa många andra figurer (till exempel bilder av olika föremål, djur, etc.).
En mindre vanlig version av spelet är att göra figurer från bitar av kvadraten som visas i fig. 3, (b).
Magiska rutor
Magiskt torg"n 2 -fyrkant" låt oss kalla en kvadrat dividerad med n 2 celler fylls först n 2 naturliga tal så att summan av talen i en horisontell eller vertikal rad, såväl som på någon av kvadratens diagonaler, är lika med samma tal
Om bara summan av siffror i en horisontell och vertikal rad är lika, då kallas kvadraten halvmagisk.
Det magiska 4 2-torget är uppkallat efter Dürer, en matematiker och konstnär från 1500-talet som avbildade ett torg i den berömda målningen "Melankoli".
Förresten bildar de två nedre mittentalen i denna kvadrat numret 1514, datumet då målningen skapades.
Det finns bara åtta magiska rutor med nio celler. Två av dem, som är spegelbilder av varandra, visas i figuren; de återstående sex kan erhållas från dessa rutor genom att rotera dem runt mitten med 90°, 180°, 270°
2. Det är inte svårt att helt undersöka frågan om magiska kvadrater för n=3
Faktum är att S 3 = 15, och det finns bara åtta sätt att representera talet 15 som en summa av olika tal (från ett till nio):
15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6
Observera att vart och ett av siffrorna 1, 3, 7, 9 ingår i två, och vart och ett av talen 2, 4, 6, 8 ingår i tre angivna summor, och endast siffran 5 ingår i fyra summor. Å andra sidan, av åtta trecellsrader: tre horisontella, tre vertikala och två diagonala, går tre rader genom var och en av kvadratens hörnceller, fyra genom den centrala cellen och två rader genom var och en av de återstående cellerna . Därför måste siffran 5 nödvändigtvis vara i den centrala cellen, siffrorna 2, 4, 6, 8 - i hörncellerna och siffrorna 1, 3, 7, 9 - i de återstående cellerna i kvadraten.
Liknande artiklar
