Zhidkevich V.I. Elektriskt fält för ett plan // Fysik: beräkningsproblem. - 2009. - Nr 6. - P. 19-23.
Problem inom elektrostatik kan delas in i två grupper: problem om punktladdningar och problem om laddade kroppar, vars storlekar inte kan ignoreras.
Att lösa problem med att beräkna elektriska fält och interaktioner av punktladdningar bygger på tillämpningen av Coulombs lag och orsakar inte några särskilda svårigheter. Svårare är att bestämma fältstyrkan och interaktionen mellan laddade kroppar av ändliga storlekar: sfär, cylinder, plan. Vid beräkning av styrkan hos elektrostatiska fält av olika konfigurationer bör vikten av superpositionsprincipen betonas och användas när man överväger fält som skapas inte bara av punktladdningar utan också av laddningar fördelade över ytan och volymen. När man överväger effekten av ett fält på en laddning, formeln F=qE V allmänt fall giltigt för punktladdade kroppar och endast i ett enhetligt fält som gäller kroppar av alla storlekar och former som bär en laddning q.
Det elektriska fältet i en kondensator är resultatet av överlagringen av två fält som skapas av varje platta.
I en platt kondensator kan en platta betraktas som en kropp med laddningq 1placeras i ett elektriskt intensitetsfält E 2, skapad av en annan platta.
Låt oss överväga flera problem.
1. Ett oändligt plan laddas med ytdensitet σ >0. Hitta fältstyrkan E och potential ϕ på båda sidor av planet, med tanke på planets potential lika med noll. Skapa beroendediagram Ex), ϕ (X). x-axeln vinkelrätt mot planet ligger punkten x=0 på planet.
Lösning. Det elektriska fältet i ett oändligt plan är enhetligt och symmetriskt med avseende på planet. Hans spänning mellan intensiteten och potentialskillnaden mellan två punkter i ett enhetligt elektrostatiskt fält uttrycks med formeln där x - avståndet mellan punkter, mätt längs fältlinjen. Sedan ϕ 2 = ϕ 1 -Ex. Vid x<0 при х>0 Beroenden E(x) och ϕ (x) presenteras i figur 1.
2. Två planparallella tunna plattor placerade på kort avstånd d från varandra, likformigt laddade med ytdensitetsladdningσ 1 och σ 2. Hitta fältstyrkorna vid punkter som ligger mellan plattorna och på utsidan. Rita en graf över spänningsberoendet E(x) och potential ϕ (x), räknande ϕ (0)=0. Tänk på fall där: a)σi = -σ2; b) σi = σ2; c) σ 1 =3 σ 2 -
Lösning. Eftersom avståndet mellan plattorna är litet kan de betraktas som oändliga plan.
Fältstyrkan för ett positivt laddat plan är lika med och regisserad från henne; fältstyrkan för det negativt laddade planet riktas mot det.
Enligt superpositionsprincipen kommer fältet vid varje punkt som är i fråga att skapas av var och en av avgifterna separat.
a) Fälten i två plan laddade med laddningar av lika och motsatt tecken (platt kondensator) summeras i området mellan planen och upphäver varandra i de yttre områdena (fig. 2, A).
På X<0
E=
0,
ϕ
=0; vid 0
Om planen är av ändliga dimensioner, kommer fältet mellan planen inte att vara strikt enhetligt, och fältet utanför planen kommer inte att vara exakt noll.
b) Fält av plan laddade med laddningar lika i storlek och tecken (σ 1 = σ 2 ), kompenserar varandra i utrymmet mellan planen och summerar i de yttre regionerna (fig. 3, A). Vid x<0
при 0
Med hjälp av grafen Ex) (Fig. 3, b), låt oss konstruera en kvalitativ graf över beroendet ϕ (x) (Fig. 3, c).
c) Om σ 1 = σ 2, då vi tar hänsyn till fältens riktningar och väljer riktningen till höger som positiv, finner vi:
Spänningens E beroende av avståndet visas i figur 4.
3. På en av plattorna på en platt kondensator med en kapacitet MED det finns en avgiftq 1=+3q, och på den andra q 2 =+ q. Bestäm potentialskillnaden mellan kondensatorplattorna.
Lösning. 1:a metoden. Låt området för kondensatorplattan S, och avståndet mellan dem d. Fältet inuti kondensatorn är enhetligt, så potentialskillnaden (spänningen) över kondensatorn kan bestämmas med formeln U=E*d, där E - fältstyrka inuti kondensatorn.
där E 1, E 2 - fältstyrka skapad av kondensatorplattorna.
Sedan 
2:a metoden. Lägg till en laddning på varje tallrik Sedan kondenseras plattorna satora kommer att ha avgifter + q och -q. Fälten med identiska laddningar av plattorna inuti kondensatorn tar ut varandra. De tillförda laddningarna förändrade inte fältet mellan plattorna, och därmed potentialskillnaden med kondensator. U= q/C .
4.
En tunn metallplatta med en laddning + sätts in i utrymmet mellan plattorna på en oladdad platt kondensator. q. Bestäm potentialskillnaden mellan kondensatorplattorna.
Lösning. Eftersom kondensatorn inte är laddad skapas det elektriska fältet endast av att plattan har en laddning q (Fig. 5). Detta fält är enhetligt, symmetriskt i förhållande till plattan och dess intensitetLåt metallplattans potential vara ϕ
. Sedan potentialerna för plattorna A Och I kondensatorerna kommer att vara lika ϕ-
ϕ A
=
ϕ
El 1; ϕ A
=
ϕ-El 1
;
ϕ-
ϕ B
=
ϕ-El 2
;
ϕ B
=
ϕ-El 2
.
Potentiell skillnad mellan kondensatorplattor
Om plattan är på samma avstånd från plattorna på kondensatorn är potentialskillnaden mellan plattorna noll.
5. I ett enhetligt elektriskt fält av intensitet E 0 en laddad metallplatta placeras vinkelrätt mot kraftlinjerna med en laddningstäthet på ytan av varje sida av plattan σ (Fig. 6). Bestäm fältstyrkan E" inuti och utanför plattan och ytladdningstäthetenσ 1 och σ 2 , som kommer att visas på vänster och höger sida av plattan.
Lösning. Fältet inuti plattan är noll och är en överlagring av tre fält: det yttre fältet E 0, fältet som skapas av laddningarna på plattans vänstra sida och fältet som skapas av laddningarna på höger sida av plattan. Därav,
där σ 1 och σ 2 - ytladdningstäthet på vänster och höger sida av plattan, som visas efter att plattan har införts i fältet E 0. Den totala laddningen på plattan kommer inte att ändras, såσ 1 + σ 2 =2 σ, varifrån σ 1 = σ- ε 0 E 0
, σ2 = σ+ ε 0 E 0
. Fältet utanför plattan är en överlagring av fältet E 0 och laddade plåtfält E. Till vänster om tallrikar Höger om plattan
6. I en platt luftkondensator är fältstyrkan E = 10 4 V/m. Avstånd mellan plattorna d= 2 cm Vad blir potentialskillnaden lika med om en metallplåt med tjocklek placeras mellan plattorna parallellt med dem?d 0=0,5 cm (fig. 7)?
Lösning. Eftersom det elektriska fältet mellan plattorna är enhetligt, alltså U=Ed, U=200 V.
Markerar man en plåt mellan plattorna får man ett system av två seriekopplade kondensatorer med avstånd mellan plattornad 1 och d2. Kapaciteten hos dessa kondensatorerDeras totala kapacitet
Eftersom kondensatorn är bortkopplad från strömkällan ändras inte kondensatorns laddning när en metallplåt läggs till: q"=CU="Ui; var är kondensorns kapacitet sator innan du lägger till en metallplåt i den. Vi får:
U 1= 150 V.
7. På tallrikar A och C, placerad parallellt på avstånd d= 8 cm från varandra, potentialerna bibehålls ϕ 1= 60 V och ϕ 2 =- 60 V motsvarande. En jordad platta placerades mellan dem D på ett avstånd d 1 = 2 cm från plattan A. Hur mycket har fältstyrkan förändrats i avsnitt AD och CD? Skapa beroendediagram ϕ (x och E(x).
För att beräkna fälten som skapas av laddningar som är likformigt fördelade över sfäriska, cylindriska eller plana ytor, används Ostrogradsky–Gauss-satsen (avsnitt 2.2).
Metod för att beräkna fält med hjälp av satsen
Ostrogradsky - Gauss.
1) Välj en godtyckligt sluten yta som omsluter en laddad kropp.
2) Vi beräknar flödet av spänningsvektorn genom denna yta.
3) Vi beräknar den totala laddningen som täcks av denna yta.
4) Vi ersätter de beräknade värdena i Gauss teorem och uttrycker styrkan på det elektrostatiska fältet.
Exempel på beräkning av vissa fält
Fält för en likformigt laddad oändlig cylinder (gänga).
Låt en oändlig cylinder med radie R likformigt laddad med linjär laddningstäthet + τ (Fig. 16).
Av symmetriöverväganden följer att fältstyrkelinjerna vid vilken punkt som helst kommer att vara riktade längs radiella räta linjer vinkelräta mot cylinderns axel.
Som sluten yta väljer vi en cylinder koaxial med en given (med en gemensam symmetriaxel) radie r och höjd ℓ .
Låt oss beräkna vektorflödet
genom denna yta:
,
Var S grundläggande , S sida– area av basen och sidoytan.
Spänningsvektorns flöde genom områdena av baserna är därför noll
Total laddning som täcks av den valda ytan:
.
Ersätter allt i Gauss sats, med hänsyn till det faktum att ε = 1, vi får:
.
Intensiteten hos det elektrostatiska fältet som skapas av en oändligt lång likformigt laddad cylinder eller en oändligt lång likformigt laddad tråd vid punkter belägna utanför den:
, (2.5)
Var r - distans från axeln cylinder till en given punkt ( r ≥ R );
τ - linjär laddningstäthet .
Om r < R , så innehåller den slutna ytan i fråga inte laddningar inuti, därför i denna region E = 0, dvs. inuti cylindern, inget fält .
Fält av ett enhetligt laddat oändligt plan
P 
Låt ett oändligt plan laddas med en konstant ytdensitet +
σ
.
Som en sluten yta väljer vi en cylinder, vars baser är parallella med det laddade planet, och axeln är vinkelrät mot den (fig. 17). Eftersom linjerna som bildar cylinderns sidoyta är parallella med spänningslinjerna är spänningsvektorns flöde genom sidoytan noll. Flöde av spänningsvektorn genom två basområden
.
Total laddning som täcks av den valda ytan:
.
Genom att ersätta allt i Gauss sats får vi:
Elektrostatisk fältstyrka för ett oändligt likformigt laddat plan
. (2.6)
Av denna formel följer det E beror inte på cylinderns längd, det vill säga fältstyrkan är densamma på alla punkter. Med andra ord, fältet för ett likformigt laddat plan homogen.
Fält av två oändligt parallella
motsatt laddade plan
P 
planen är likformigt laddade med ytdensiteter av samma storlek + σ
Och - σ
(Fig. 18).
Enligt principen om överlagring,
.
Det kan ses från figuren att i området mellan planen är kraftlinjerna samriktade, därför den resulterande spänningen
. (2.7)
Utanför volymen som begränsas av planen har de tillagda fälten motsatta riktningar, så att den resulterande intensiteten är noll.
Därmed visar sig fältet vara koncentrerat mellan planen. Det erhållna resultatet är ungefär giltigt för plan med ändliga dimensioner, om avståndet mellan planen är mycket mindre än deras yta (platt kondensator).
Om laddningar av samma tecken med samma ytdensitet är fördelade på planen, så saknas fältet mellan plattorna, och utanför plattorna beräknas det med formeln (2.7).
Fältstyrka
enhetligt laddad sfär
Fält skapat av en sfärisk yta med radie R , laddad med ytladdningstäthet σ , kommer att vara centralt symmetriska, därför är spänningslinjerna riktade längs sfärens radier (fig. 19, a).
Som en sluten yta väljer vi en sfär med radie r , som har ett gemensamt centrum med en laddad sfär.
Om r > R , då kommer all laddning in i ytan F .
Flöde av spänningsvektorn genom sfärens yta
Genom att ersätta detta uttryck med Gauss sats får vi:
.
Elektrostatisk fältstyrka utanför en likformigt laddad sfär:
, (2.8)
Var r - distans från centrum sfärer.
Av detta är det tydligt att fältet är identiskt med fältet för en punktladdning av samma storlek placerad i mitten av sfären.
Om r < R , så innehåller den slutna ytan inte laddningar inuti, därför Det finns inget fält inuti en laddad sfär (Fig. 19, b).
Volymfältstyrka
laddad boll
P 
är en boll med radie R
laddad med konstant volymetrisk laddningstäthet ρ
.
Fältet har i detta fall central symmetri. För fältstyrkan utanför bollen erhålls samma resultat som i fallet med en ytladdad sfär (2.8).
För punkter inuti bollen kommer spänningen att vara annorlunda (fig. 20). Sfärisk yta täcker laddningen
Därför enligt Gauss sats
Med tanke på att 
, vi får:
Elektrostatisk fältstyrka inuti en volymetriskt laddad boll
(r
≤
R
). (2.9)
.
Problem 2.3 . I fältet av ett oändligt långt plan med en ytladdningstäthet σ en liten boll av massa hänger på en tråd m , med en laddning av samma tecken som planet. Hitta kulans laddning om tråden bildar en vinkel med vertikalen α
Lösning.
Låt oss återgå till analysen av lösningen på Problem 1.4. Skillnaden är att i uppgift 1.4 kraften 
beräknas enligt Coulombs lag (1.2), och i uppgift 2.3 – från definitionen av den elektrostatiska fältstyrkan (2.1) 
. Den elektrostatiska fältstyrkan för ett oändligt likformigt laddat plan härleds med hjälp av Ostrogradsky-Gauss sats (2.4).
P 
Planets fält är enhetligt och beror inte på avståndet till planet. Från fig. 21:
.
notera att för att hitta kraften som verkar på en laddning placerad i fältet för en distribuerad laddning, är det nödvändigt att använda formeln
,
och fältstyrkan som skapas av flera distribuerade laddningar kan hittas med hjälp av superpositionsprincipen. Därför ägnas efterföljande problem åt att hitta styrkan hos det elektrostatiska fältet av distribuerade laddningar med hjälp av Ostrogradsky-Gauss-teoremet.
Problem 2.4. Förutse fältstyrkan inuti och utanför en jämnt laddad platta med tjocklek d , volymetrisk laddningstäthet inuti plattan ρ . Bygg en beroendegraf E (X ).
Lösning. Vi placerar ursprunget för koordinaterna i plattans mittplan och axeln ÅH Låt oss rikta den vinkelrätt mot den (fig. 22, a). Låt oss tillämpa Ostrogradsky-Gauss-satsen för att beräkna den elektrostatiska fältstyrkan för ett laddat oändligt plan.
.
Från definitionen av volymetrisk laddningstäthet
,
då för spänningen vi får
.
Detta visar att fältet inuti plattan beror på X . Fältet utanför plattan beräknas på liknande sätt:
Detta visar att fältet utanför plattan är enhetligt. Spänningsgraf E från X i fig. 22, b.
Problem 2.5. Fältet skapas av två oändligt långa filament laddade med linjära laddningstätheter – τ 1 och + τ 2 . Trådarna är placerade vinkelrätt mot varandra (Fig. 23). Hitta fältstyrkan vid en punkt på avstånd r 1 Och r 2 från trådar.
R 
beslut.
Låt oss visa i figuren fältstyrkan som skapas av varje tråd separat. Vektor 
riktad Till
den första tråden, eftersom den är negativt laddad. Vektor 
riktad från
den andra tråden, eftersom den är positivt laddad. Vektorer 
Och 
ömsesidigt vinkelrät, så den resulterande vektorn 
kommer att vara hypotenusan av en rätvinklig triangel. Vektormoduler 
Och 
bestäms med formeln (2.5).
Baserat på principen om superposition
.
Enligt Pythagoras sats
Problem 2.6 . Fältet skapas av två laddade oändligt långa ihåliga koaxialcylindrar med radier R 1 Och R 2 > R 1 . Ytladdningstätheterna är lika – σ 1 Och + σ 2 . Hitta den elektrostatiska fältstyrkan på följande punkter:
en poäng A ligger på avstånd d 1 < R 1 ;
b) punkt I ligger på avstånd R 1 < d 2 < R 2 ;
c) punkt MED ligger på avstånd d 3 > R 1 > R 2 .
Avstånden mäts från cylinderaxeln.
Lösning. Koaxialcylindrar är cylindrar som har en gemensam symmetriaxel. Låt oss göra en ritning och visa punkterna på den (bild 24).
E A = 0.
punkt I ligger inuti den större cylindern, så vid denna tidpunkt skapas fältet endast av den mindre cylindern:
.
Låt oss uttrycka den linjära laddningstätheten i termer av ytladdningstätheten. För att göra detta använder vi formlerna (1.4) och (1.5), från vilka vi uttrycker laddningen:
Låt oss likställa de högra sidorna och få:
,
Var S 1 – ytarean på den första cylindern.
Med hänsyn till det faktum att 
, vi får äntligen:
punkt MED placerad utanför båda cylindrarna, så fältet skapas av båda cylindrarna. Enligt superpositionsprincipen:
.
Med hänsyn till anvisningarna och beräkningarna ovan får vi:
.
Problem 2.7 . Fältet skapas av två laddade oändligt långa parallella plan. Ytladdningstätheterna är lika σ 1 Och σ 2 > σ 1 . Ta reda på den elektrostatiska fältstyrkan vid punkter som ligger mellan plattorna och utanför plattorna. Lös problemet för två fall:
a) plattorna laddas på samma sätt;
b) plattorna är motsatt laddade.
Lösning. I vektorform skrivs den resulterande fältstyrkan på samma sätt i alla fall. Enligt superpositionsprincipen:
.
Vektormoduler 
Och 
beräknas med formeln (2.6).
a) Om planen är laddade med samma namn, riktas mellan spänningsplanen i olika riktningar (Fig. 26, a). Modulen för den resulterande spänningen
Bortom spänningsplanen 
Och 
riktad åt ett håll. Eftersom fältet för oändligt laddade plan är enhetligt, det vill säga inte beror på avståndet till planen, kommer fältet att vara detsamma när som helst både till vänster och till höger om planen:
.
b) Om planen laddas motsatt, så är tvärtom mellan spänningsplanen riktade i en riktning (fig. 26, b), och utanför planen - i olika riktningar.
Exempel 1. En tunn, oändligt lång tråd laddas likformigt med en linjär laddningstäthet λ . Hitta den elektrostatiska fältstyrkan E(r) på ett godtyckligt avstånd r från tråden.
Låt oss göra en ritning:
Analys:
Därför att Tråden har ingen punktladdning. DI-metoden är tillämplig. Låt oss välja ett oändligt litet element av ledarens längd dl, som kommer att innehålla avgiften dq=dlλ. Låt oss beräkna fältstyrkan som skapas av varje element i ledaren vid en godtycklig punkt A belägen på avstånd från tråden A. Vektorn kommer att riktas längs den räta linjen som förbinder punktladdningen med observationspunkten. Vi får det resulterande fältet längs normalen till tråden längs x-axeln. Det är nödvändigt att hitta kvantiteten dE x:
dE x =dE cosα. 
.
A-priory:
.
Magnitud dl, r, ändras konsekvent när elementets position ändras dl. Låt oss uttrycka dem genom kvantiteten α:
Var dα– oändligt liten ökning av vinkeln α som ett resultat av rotation av radievektorn i förhållande till punkt A när man rör sig längs tråden med dl. Sedan dl=r 2 dα/a. När du flyttar dl från till punkt O ändras vinkeln från 0 0 till π/2.
Därav 
.
Dimensionskontroll: [E]=V/m=kgm/mfm=KlV/Klm=V/m;
Svar:.
Metod 2.
På grund av laddningsfördelningens axiella symmetri är alla punkter som ligger på lika avstånd från tråden ekvivalenta och fältstyrkan i dem är densamma, d.v.s. E(r)=const, där r- avstånd från observationspunkten till tråden. Riktning E vid dessa punkter sammanfaller alltid med riktningen för normalen till tråden. Genom Gauss sats; Var F-laddning täckt av ytan – S’ genom vilken flödet beräknas väljer vi i form av en cylinder med radie a och en generatris med en gänga. Med hänsyn till att det är normalt mot cylinderns laterala yta får vi för flödet:
Därför att E=konst.
S sida = På 2π .
På andra sidan E 2πаН=Q/ε 0 ,
Var λН=q.
Svar:E=λ /4πε 0 A.
Exempel 2. Beräkna spänningen för ett likformigt laddat oändligt plan med ytladdningstäthet σ .
Spänningslinjerna är vinkelräta och riktade i båda riktningarna från planet. Som en sluten yta väljer vi ytan på en cylinder, vars baser är parallella med planet, och cylinderns axel är vinkelrät mot planet. Därför att cylinderns generatriser är parallella med spänningslinjerna (α=0, cos α=1 ), då är spänningsvektorns flöde genom sidoytan noll, och det totala flödet genom en sluten cylindrisk yta är lika med summan av flödena genom dess bas. Laddningen inuti en sluten yta är lika med σ S grundläggande , Sedan:
Fe = 2 ES main eller Ф E = = , sedan E = =
Svar: E =, beror inte på cylinderns längd och är densamma i absolut värde på vilket avstånd som helst från planet. Fältet för ett likformigt laddat plan är enhetligt.
Exempel 3. Beräkna fältet för två oändligt laddade plan, med ytdensiteter +σ respektive –σ.
E = E = O; E = E + + E - = .
Svar: Den resulterande fältstyrkan i området mellan planen är lika med E =, och utanför volymen som begränsas av planen är den lika med noll.
Exempel 4. Beräkna fältstyrkan för en likformigt laddad sfärisk yta med radie med ytladdningstäthet +σ R.
Det, och,
om r< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).
Svar:.
Exempel 5. Beräkna volymetrisk laddningsintensitet med volymdensitet ρ , kulradier R.
Låt oss ta en sfär som en sluten yta.
Om r ≥R, då = 4πr2E; E=
om r< R , то сфера радиусом r, täcker en laddning q" lika med q"= (eftersom laddningar är relaterade som volymer och volymer som kuber med radier)
Sedan, enligt Gauss poäng
Svar:; inuti en likformigt laddad boll ökar spänningen linjärt med avståndet r från dess centrum och utanför - minskar i omvänd proportion r 2 .
Exempel nr 6. Beräkna fältstyrkan för en oändlig, cirkulär cylinder laddad med linjär laddningstäthet λ , radie R.
Spänningsvektorns flöde genom cylinderns ändar är 0 och genom sidoytan:
Därför att , eller ,
Sedan 
(om r > R)
om λ > 0, E > 0, är vektorn Ē riktad bort från cylindern,
om λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.
Om r< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0
Svar:(r > R); E = O (R>r). Det finns inget fält inuti en oändlig, rund cylinder som är likformigt laddad över ytan.
Exempel 7. Det elektriska fältet skapas av två oändligt långa parallella plan med ytladdningsplan på 2 nC/m 2 och 4 nC/m 2 . Bestäm fältstyrkan i regionerna I, II, III. Bygg en beroendegraf Ē (r) .
Plan delar upp utrymmet i 3 områden
Riktningen Ē för det resulterande fältet är mot ett större.
I projektion på r:
; «–»; 
;
; «–»; 
;
; «+»; 
.
Schema Ē (r)
Val av skala: E 2 =2 E 1
E1 = 1; E2=2
Svar:E I = –345 V/m; EІ I = –172 V/m; E I II = 345 V/m.
Exempel nr 8. Ebenholts solid boll med radie R= 5 cm bär en laddning jämnt fördelad med volymdensitet ρ =10 nC/m3. Bestäm den elektriska fältstyrkan vid punkter: 1) på avstånd r 1 = 3 cm från mitten av sfären; 2) på sfärens yta; 3) på avstånd r 2 = 10 cm från mitten av sfären.
I ett enhetligt elektriskt fält är kraften som verkar på en laddad partikel konstant i både storlek och riktning. Därför är rörelsen av en sådan partikel helt lik rörelsen av en kropp i jordens gravitationsfält utan att ta hänsyn till luftmotståndet. Partikelns bana i detta fall är platt och ligger i det plan som innehåller vektorerna för partikelns initialhastighet och den elektriska fältstyrkan
Elektrostatisk fältpotential. Ett allmänt uttryck som relaterar potential till spänning.
Potential φ vid vilken punkt som helst i det elektrostatiska fältet är en fysikalisk storhet som bestäms av den potentiella energin för en enhets positiv laddning placerad vid denna punkt. Fältpotentialen som skapas av en punktladdning Q är lika med
Potential är en fysisk storhet som bestäms av det arbete som görs för att flytta en enhets positiv elektrisk laddning när den avlägsnas från en given punkt i fältet till oändligheten. Detta arbete är numeriskt lika med det arbete som utförs av yttre krafter (mot krafterna i det elektrostatiska fältet) för att flytta en positiv enhetsladdning från oändligheten till en given punkt i fältet.
Enheten för potential är volt (V): 1 V är lika med potentialen för en punkt i fältet där en laddning på 1 C har en potentiell energi på 1 J (1 V = 1 J/C). Med hänsyn till voltens dimension kan det visas att den tidigare införda enheten för elektrostatisk fältstyrka verkligen är lika med 1 V/m: 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C m)=1 V/m.
Av formlerna (3) och (4) följer att om ett fält skapas av flera laddningar, så är potentialen för ett givet fält i ett laddningssystem lika med den algebraiska summan av potentialerna för fälten för alla dessa laddningar:
Intensiteten vid vilken punkt som helst av det elektriska fältet är lika med potentialgradienten vid denna punkt, taget med motsatt tecken. Minustecknet indikerar att spänningen E är riktad i riktning mot minskande potential.
E = - grad phi = - N phi.
För att upprätta ett samband mellan kraftkarakteristiken för det elektriska fältet - intensitet och dess energikarakteristik - potential, låt oss betrakta det elementära arbetet med elektriska fältkrafter på en oändligt liten förskjutning av en punktladdning q: dA = q E dl, samma arbete är lika med minskningen av laddningens potentiella energi q: dA = - dWп = - q dphi, där dphi är förändringen i det elektriska fältets potential över förskjutningslängden dl. Genom att likställa de högra sidorna av uttrycken får vi: E dl = -d phi eller i det kartesiska koordinatsystemet
Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi
där Ex, Ey, Ez är projektioner av spänningsvektorn på koordinatsystemets axlar. Eftersom uttrycket är en total differential, så har vi för projektionerna av intensitetsvektorn
Uttrycket inom parentes är gradienten för potentialen phi.
Principen om överlagring som en grundläggande egenskap hos fält. Allmänna uttryck för styrkan och potentialen hos fältet som skapas vid en punkt med en radievektor av ett system av punktladdningar belägna vid punkter med koordinater (se punkt 4)
Om vi betraktar principen om superposition i den mest allmänna meningen, kommer enligt den summan av påverkan av yttre krafter som verkar på en partikel att vara summan av de individuella värdena för var och en av dem. Denna princip gäller för olika linjära system, d.v.s. system vars beteende kan beskrivas genom linjära samband. Ett exempel skulle vara en enkel situation där en linjär våg utbreder sig i ett specifikt medium, i vilket fall dess egenskaper kommer att bevaras även under påverkan av störningar som uppstår från själva vågen. Dessa egenskaper definieras som en specifik summa av effekterna av var och en av de harmoniska komponenterna.
Superpositionsprincipen kan ta andra formuleringar som är helt likvärdiga med ovanstående:
· Interaktionen mellan två partiklar förändras inte när en tredje partikel introduceras, som också interagerar med de två första.
· Interaktionsenergin för alla partiklar i ett system med många partiklar är helt enkelt summan av energierna av parinteraktioner mellan alla möjliga partikelpar. Det finns inga många partikelinteraktioner i systemet.
· Ekvationerna som beskriver beteendet hos ett system med många partiklar är linjära i antalet partiklar.
6 Cirkulation av spänningsvektorn är det arbete som utförs av elektriska krafter när en enda positiv laddning flyttas längs en sluten bana L
Eftersom arbetet med de elektrostatiska fältkrafterna längs en sluten slinga är noll (arbetet av de potentiella fältkrafterna), är därför cirkulationen av den elektrostatiska fältstyrkan längs en sluten slinga noll.
Fältpotential. Arbetet med ett elektrostatiskt fält när man flyttar en laddad kropp i den från en punkt till en annan beror inte heller på banans form, precis som arbetet med ett enhetligt fält. På en stängd bana är det elektrostatiska fältets arbete alltid noll. Fält med denna egenskap kallas potential. I synnerhet har det elektrostatiska fältet för en punktladdning en potentialkaraktär.
Ett potentiellt fälts arbete kan uttryckas i termer av en förändring av potentiell energi. Formeln är giltig för alla elektrostatiska fält.
7-11 Om fältlinjerna för ett enhetligt elektriskt fält med intensitet penetrerar ett visst område S, kommer flödet av intensitetsvektorn (tidigare kallade vi antalet fältlinjer genom området) att bestämmas av formeln:
där En är produkten av vektorn och normalen till ett givet område (Fig. 2.5).
Ris. 2.5
Det totala antalet kraftlinjer som passerar genom ytan S kallas flödet av FE-intensitetsvektorn genom denna yta.
I vektorform kan vi skriva skalärprodukten av två vektorer, där vektor .
Således är vektorflödet en skalär, som, beroende på värdet på vinkeln α, kan vara antingen positiv eller negativ.
Låt oss titta på exemplen som visas i figurerna 2.6 och 2.7.
 | |||
| Ris. 2.6 | Ris. 2.7 | ||
För figur 2.6 är ytan A1 omgiven av en positiv laddning och flödet är här riktat utåt, d.v.s. Ytan A2– är omgiven av en negativ laddning, här är den riktad inåt. Det totala flödet genom ytan A är noll.
För figur 2.7 kommer flödet inte att vara noll om den totala laddningen inuti ytan inte är noll. För denna konfiguration är flödet genom yta A negativt (räkna antalet fältlinjer).
Således beror spänningsvektorns flöde på laddningen. Detta är meningen med Ostrogradsky-Gauss sats.
Gauss sats
Den experimentellt etablerade Coulomb-lagen och superpositionsprincipen gör det möjligt att fullständigt beskriva det elektrostatiska fältet för ett givet system av laddningar i ett vakuum. Egenskaperna hos det elektrostatiska fältet kan dock uttryckas i en annan, mer allmän form, utan att tillgripa idén om ett Coulomb-fält med en punktladdning.
Låt oss introducera en ny fysisk storhet som kännetecknar det elektriska fältet – flödet Φ för vektorn för elektrisk fältstyrka. Låt det finnas något ganska litet område ΔS i utrymmet där det elektriska fältet skapas. Produkten av vektormodulen med arean ΔS och cosinus för vinkeln α mellan vektorn och normalen till platsen kallas det elementära flödet av intensitetsvektorn genom platsen ΔS (Fig. 1.3.1):
Låt oss nu betrakta en godtycklig sluten yta S. Om vi delar upp denna yta i små ytor ΔSi, bestämmer fältets elementära flöden ΔΦi genom dessa små ytor och summerar dem, så får vi som ett resultat flödet Φ för vektor genom den slutna ytan S (Fig. 1.3.2):
Gauss sats säger:
Flödet av den elektrostatiska fältstyrkevektorn genom en godtyckligt sluten yta är lika med den algebraiska summan av laddningarna som finns inuti denna yta, dividerat med den elektriska konstanten ε0.
där R är sfärens radie. Fluxet Φ genom en sfärisk yta kommer att vara lika med produkten av E och arean av sfären 4πR2. Därav,
Låt oss nu omge punktladdningen med en godtyckligt sluten yta S och betrakta en hjälpsfär med radien R0 (Fig. 1.3.3).
Betrakta en kon med en liten rymdvinkel ΔΩ vid spetsen. Denna kon kommer att markera ett litet område ΔS0 på sfären och ett område ΔS på ytan S. De elementära flödena ΔΦ0 och ΔΦ genom dessa områden är desamma. Verkligen,
På liknande sätt kan det visas att om en sluten yta S inte täcker en punktladdning q så är flödet Φ = 0. Ett sådant fall är avbildat i fig. 1.3.2. Alla elektriska fältlinjer i en punktladdning penetrerar den slutna ytan S genom och igenom. Det finns inga laddningar inuti ytan S, därför bryts inte fältlinjer av eller uppstår i denna region.
En generalisering av Gauss teorem till fallet med en godtycklig laddningsfördelning följer av superpositionsprincipen. Fältet för vilken laddningsfördelning som helst kan representeras som en vektorsumma av de elektriska fälten av punktladdningar. Flödet Φ för ett laddningssystem genom en godtyckligt sluten yta S kommer att vara summan av flödena Φi av de elektriska fälten för individuella laddningar. Om laddningen qi råkar vara inuti ytan S, så ger den ett bidrag till flödet lika med om denna laddning är utanför ytan, då kommer bidraget från dess elektriska fält till flödet att vara lika med noll.
Därmed är Gauss sats bevisad.
Gauss teorem är en konsekvens av Coulombs lag och superpositionsprincipen. Men om vi tar påståendet i denna sats som det initiala axiomet, blir dess konsekvens Coulombs lag. Därför kallas Gauss sats ibland för en alternativ formulering av Coulombs lag.
Med hjälp av Gauss sats är det i vissa fall möjligt att enkelt beräkna den elektriska fältstyrkan runt en laddad kropp om den givna laddningsfördelningen har viss symmetri och fältets allmänna struktur kan gissas i förväg.
Ett exempel är problemet med att beräkna fältet för en tunnväggig, ihålig, likformigt laddad lång cylinder med radie R. Detta problem har axiell symmetri. Av symmetriskäl måste det elektriska fältet riktas längs radien. För att tillämpa Gauss sats är det därför lämpligt att välja en sluten yta S i form av en koaxial cylinder med någon radie r och längd l, stängd i båda ändar (fig. 1.3.4).
För r ≥ R kommer hela flödet av intensitetsvektorn att passera genom cylinderns sidoyta, vars area är lika med 2πrl, eftersom flödet genom båda baserna är noll. Tillämpning av Gauss teorem ger:
Detta resultat beror inte på radien R för den laddade cylindern, så det gäller även fältet för en lång likformigt laddad glödtråd.
För att bestämma fältstyrkan inuti en laddad cylinder är det nödvändigt att konstruera en sluten yta för höljet r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.
På liknande sätt kan man tillämpa Gauss sats för att bestämma det elektriska fältet i en rad andra fall då fördelningen av laddningar har någon form av symmetri, till exempel symmetri kring centrum, planet eller axeln. I vart och ett av dessa fall är det nödvändigt att välja en sluten Gaussisk yta med lämplig form. Till exempel, när det gäller central symmetri, är det bekvämt att välja en Gaussisk yta i form av en sfär med centrum i symmetripunkten. Med axiell symmetri måste den slutna ytan väljas i form av en koaxial cylinder, stängd i båda ändar (som i exemplet som diskuterats ovan). Om fördelningen av laddningar inte har någon symmetri och det elektriska fältets allmänna struktur inte går att gissa, kan tillämpningen av Gauss teorem inte förenkla problemet med att bestämma fältstyrkan.
Låt oss överväga ett annat exempel på en symmetrisk laddningsfördelning - att bestämma fältet för ett likformigt laddat plan (Fig. 1.3.5).
I det här fallet är det lämpligt att välja den Gaussiska ytan S i form av en cylinder av viss längd, stängd i båda ändar. Cylinderaxeln är riktad vinkelrätt mot det laddade planet, och dess ändar är belägna på samma avstånd från det. På grund av symmetri måste fältet för ett likformigt laddat plan riktas längs normalen överallt. Tillämpning av Gauss teorem ger:
|
där σ är ytladdningstätheten, dvs laddning per ytenhet.
Det resulterande uttrycket för det elektriska fältet i ett likformigt laddat plan är också tillämpligt i fallet med platta laddade områden med ändlig storlek. I detta fall bör avståndet från den punkt där fältstyrkan bestäms till det laddade området vara betydligt mindre än storleken på området.
Och scheman för 7 – 11
1. Intensiteten hos det elektrostatiska fältet som skapas av en likformigt laddad sfärisk yta.
Låt en sfärisk yta med radien R (fig. 13.7) bära en jämnt fördelad laddning q, d.v.s. ytladdningstätheten vid någon punkt på sfären kommer att vara densamma.
a. Låt oss omsluta vår sfäriska yta i en symmetrisk yta S med radien r>R. Spänningsvektorns flöde genom ytan S kommer att vara lika med
Enligt Gauss sats
Därav
c. Låt oss rita genom punkt B, belägen inuti en laddad sfärisk yta, en sfär S med radien r 2. Bollens elektrostatiska fält. Låt oss ha en boll med radien R, likformigt laddad med volymdensitet. Vid vilken punkt A som helst som ligger utanför bollen på ett avstånd r från dess centrum (r>R), liknar dess fält fältet för en punktladdning som ligger i mitten av bollen. Sedan ut ur bollen och på dess yta (r=R) Vid punkt B, som ligger inuti bollen på ett avstånd r från dess centrum (r>R), bestäms fältet endast av laddningen som är innesluten i sfären med radien r. Spänningsvektorns flöde genom denna sfär är lika med å andra sidan i enlighet med Gauss sats Enligt Gauss sats Från de två sista uttrycken bestämmer vi fältstyrkan som skapas av en enhetligt laddad tråd: Låt planet ha oändlig utsträckning och laddningen per ytenhet lika med σ. Av symmetrilagarna följer att fältet är riktat överallt vinkelrätt mot planet, och om det inte finns några andra yttre laddningar, så måste fälten på båda sidor av planet vara desamma. Låt oss begränsa en del av det laddade planet till en tänkt cylindrisk låda, så att lådan skärs på mitten och dess beståndsdelar är vinkelräta, och de två baserna, som var och en har en area S, är parallella med det laddade planet (Figur 1.10). 12. Fält av en enhetligt laddad sfär. Låt det elektriska fältet skapas av en laddning F likformigt fördelat över ytan av en sfär med radie R(Fig. 190). För att beräkna fältpotentialen vid en godtycklig punkt belägen på avstånd r från mitten av sfären är det nödvändigt att beräkna det arbete som fältet gör när en enhets positiv laddning flyttas från en given punkt till oändligheten. Tidigare har vi bevisat att fältstyrkan för en likformigt laddad sfär utanför den är ekvivalent med fältet för en punktladdning som ligger i sfärens mitt. Utanför sfären kommer följaktligen fältpotentialen för sfären att sammanfalla med fältpotentialen för en punktladdning φ
(r)=F 4πε
0r . (1) I synnerhet på sfärens yta är potentialen lika med φ
0=F 4πε
0R. Det finns inget elektrostatiskt fält inuti sfären, så arbetet som görs för att flytta en laddning från en godtycklig punkt inuti sfären till dess yta är noll A= 0, därför är potentialskillnaden mellan dessa punkter också noll Δ φ
= -A= 0. Följaktligen har alla punkter inuti sfären samma potential, vilket sammanfaller med potentialen för dess yta φ
0=F 4πε
0R . Så fördelningen av fältpotentialen för en likformigt laddad sfär har formen (Fig. 191) φ
(r)=⎧⎩⎨F 4πε
0R, npu r<RQ 4πε
0r, npu r>R . (2) Observera att det inte finns något fält inuti sfären, och potentialen är inte noll! Detta exempel är en tydlig illustration av det faktum att potentialen bestäms av fältvärdet från en given punkt till oändligheten. Ett oändligt plan laddat med en ytladdningstäthet: för att beräkna den elektriska fältstyrkan som skapas av ett oändligt plan väljer vi en cylinder i rymden, vars axel är vinkelrät mot det laddade planet och baserna är parallella med det, och en av baserna passerar genom fältet som är intressant för oss. Enligt Gauss teorem är flödet av vektorn för elektrisk fältstyrka genom en sluten yta lika med: Ф=, å andra sidan är det också: Ф=E Låt oss likställa de högra sidorna av ekvationerna: Låt oss uttrycka = - genom ytladdningstätheten och hitta den elektriska fältstyrkan: Låt oss hitta den elektriska fältstyrkan mellan motsatt laddade plattor med samma ytdensitet: Låt oss hitta fältet utanför plattorna: ; ; Fältstyrka hos en laddad sfär Ф= (2) Gaussisk punkt för r< R
; , därför att (det finns inga laddningar inuti sfären) För r = R
( ; ; För r > R
Fältstyrka skapad av en boll som laddas jämnt över hela sin volym Volymladdningstäthet, För r< R
( ; Ф= ) För r = R
För r > R
ARBETE PÅ DET ELEKTROSTATISKA FÄLTET FÖR ATT FLYTTA EN LADNING Elektrostatiskt fält- e-post fält av en stationär laddning. Arbetsfält (el. kraft) beror inte på på banans form och på en sluten bana = noll. Cirkulationssats för det elektrostatiska fältet. Eftersom det elektrostatiska fältet är centralt är krafterna som verkar på laddningen i ett sådant fält konservativa. Eftersom det representerar det elementära arbetet som fältkrafter producerar på en enhetsladdning, är arbetet med konservativa krafter på en sluten slinga lika med Potential Systemet "laddning - elektrostatiskt fält" eller "laddning - laddning" har potentiell energi, precis som systemet "gravitationsfält - kropp" har potentiell energi. En fysisk skalär kvantitet som kännetecknar fältets energitillstånd kallas potential en given punkt i fältet. En laddning q placeras i ett fält, den har potentiell energi W. Potential är en egenskap hos ett elektrostatiskt fält. Låt oss komma ihåg potentiell energi i mekanik. Potentiell energi är noll när kroppen är på marken. Och när en kropp höjs till en viss höjd sägs det att kroppen har potentiell energi. När det gäller potentiell energi i el finns det ingen nollnivå av potentiell energi. Det väljs slumpmässigt. Därför är potential en relativ fysisk storhet. Potentiell fältenergi är det arbete som utförs av den elektrostatiska kraften när en laddning flyttas från en given punkt i fältet till en punkt med noll potential. Låt oss betrakta det speciella fallet när ett elektrostatiskt fält skapas av en elektrisk laddning Q. För att studera potentialen för ett sådant fält, finns det inget behov av att införa en laddning q i det. Du kan beräkna potentialen för vilken punkt som helst i ett sådant fält på ett avstånd r från laddningen Q. Mediets dielektriska konstant har ett känt värde (tabellform) och kännetecknar det medium i vilket fältet finns. För luft är det lika med enhet. Möjlig skillnad Arbetet som utförs av ett fält för att flytta en laddning från en punkt till en annan kallas potentialskillnad Denna formel kan presenteras i en annan form Superpositionsprincipen Potentialen för ett fält som skapas av flera laddningar är lika med den algebraiska (med hänsyn tagen till potentialens tecken) summan av potentialerna för fälten i varje fält separat Detta är energin hos ett system av stationära punktladdningar, energin hos en ensam laddad ledare och energin hos en laddad kondensator. Om det finns ett system med två laddade ledare (kondensator), är systemets totala energi lika med summan av ledarnas egna potentiella energier och energin för deras interaktion: Elektrostatisk fältenergi system av punktavgifter är lika med: Jämnt laddat plan. Av symmetriförhållandena följer att vektorn Eöverallt vinkelrätt mot planet. Dessutom, vid punkter symmetriska relativt planet, vektorn E kommer att ha samma storlek och motsatt riktning. var är arean av cylinderns bas. Cylindern skär ut en laddning ur planet. Om planet är i ett homogent isotropiskt medium med relativ dielektricitetskonstant, då När fältstyrkan inte beror på avståndet mellan planen kallas ett sådant fält enhetligt. Beroendegraf E (x) för ett plan. Potentiell skillnad mellan två punkter belägna på avstånd R 1 och R 2 från det laddade planet är lika med Exempel 2. Två likformigt laddade plan. Potentiell skillnad mellan plan Exempel 3. Tunn laddad stav. För att beräkna fältstyrkan vid en godtycklig punkt på avstånd r från stavens axel, rita en cylindrisk yta genom denna punkt Enligt Gauss teorem, vektorns flöde E lika med den algebraiska summan av de elektriska laddningarna inuti ytan (i detta fall en cylinder) dividerat med produkten av den elektriska konstanten och den relativa dielektricitetskonstanten för mediet var är laddningen av den del av stången som är inuti cylindern. Därför den elektriska fältstyrkan Elektriskt fältpotentialskillnad mellan två punkter belägna på avstånd R 1 och R 2 från stavens axel, finner vi att använda sambandet mellan det elektriska fältets intensitet och potential. Eftersom fältstyrkan endast ändras i radiell riktning, alltså Exempel 4. Laddad sfärisk yta. Spänningslinjerna är riktade längs radier från sfärens centrum och vektorns storlek E beror bara på avståndet r från mitten av sfären. För att beräkna fältet väljer vi en sluten sfärisk yta med radie r. där är den relativa dielektricitetskonstanten för mediet som omger sfären. Intensiteten minskar enligt samma lag som fältstyrkan för en punktladdning, alltså enligt lagen. Exempel 5. En volymladdad dielektrisk kula. Så På r < R(inuti bollen) Utanför bollen ( r > R) det elektriska fältets potential ändras enligt lagen Inuti bollen ( r < R) potentialen beskrivs av uttrycket Sammanfattningsvis presenterar vi uttryck för att beräkna fältstyrkorna hos laddade kroppar av olika former Dirigent- detta är en fast kropp där det finns "fria elektroner" som rör sig i kroppen. Metallledare är i allmänhet neutrala: de innehåller lika stora mängder negativa och positiva laddningar. Positivt laddade är joner i noderna i kristallgittret, negativa är elektroner som rör sig fritt längs ledaren. När en ledare ges ett överskott av elektroner laddas den negativt, men om ett visst antal elektroner "tas" från ledaren, laddas den positivt. Överskottsladdningen fördelas endast över ledarens yttre yta. 1
. Fältstyrkan vid någon punkt inuti ledaren är noll. 2
. Vektorn på ledarens yta är riktad vinkelrätt mot varje punkt på ledarens yta. Av det faktum att ledarens yta är ekvipotential följer att direkt på denna yta är fältet riktat vinkelrätt mot den vid varje punkt (tillstånd 2
). Om detta inte var fallet, skulle laddningarna under inverkan av den tangentiella komponenten börja röra sig längs ledarens yta. de där. laddningsjämvikt på en ledare skulle vara omöjligt. Från 1
det följer att sedan Det finns inga överskottsladdningar inuti ledaren. Laddningar fördelas endast på ytan av ledaren med en viss densitet s och är belägna i ett mycket tunt ytskikt (dess tjocklek är ungefär ett eller två interatomära avstånd). Laddningsdensitet- detta är mängden laddning per längdenhet, area eller volym, vilket bestämmer de linjära, yt- och volymetriska laddningstätheterna, som mäts i SI-systemet: i Coulombs per meter [C/m], i Coulombs per kvadratmeter [ C/m² ] respektive i Coulombs per kubikmeter [C/m³]. Till skillnad från materiens densitet kan laddningstätheten ha både positiva och negativa värden, detta beror på att det finns positiva och negativa laddningar. Allmänt problem med elektrostatik Spänningsvektor, av Gauss sats I det fall det inte finns några laddningar mellan konduktörerna får vi - Laplaces ekvation. Låt randvillkoren på ledarnas ytor vara kända: värden Vid lösning av problemet bestäms värdet och sedan bestäms fältet mellan ledarna av fördelningen av laddningar på ledarna (enligt spänningsvektorn vid ytan). Låt oss titta på ett exempel. Låt oss hitta spänningen i den tomma kaviteten i ledaren. Potentialen i kaviteten uppfyller Laplaces ekvation; potential på ledarens väggar. Lösningen på Laplaces ekvation i detta fall är trivial, och genom unikhetssatsen finns det inga andra lösningar Poissons ekvationär en elliptisk partiell differentialekvation som bland annat beskriver · elektrostatiskt fält, · stationärt temperaturfält, · tryckfält, · Hastighetspotentialfält inom hydrodynamik. Den är uppkallad efter den berömde franske fysikern och matematikern Simeon Denis Poisson. Denna ekvation ser ut så här: var är Laplace-operatorn eller Laplacian, och är en verklig eller komplex funktion på någon mångfald. I ett tredimensionellt kartesiskt koordinatsystem tar ekvationen formen: I det kartesiska koordinatsystemet skrivs Laplace-operatorn i formen och Poisson-ekvationen har formen: Om f tenderar att bli noll, då förvandlas Poisson-ekvationen till Laplace-ekvationen (Laplace-ekvationen är ett specialfall av Poisson-ekvationen): Poissons ekvation kan lösas med hjälp av Greens funktion; se till exempel artikeln Screened Poissons ekvation. Det finns olika metoder för att få numeriska lösningar. Till exempel används en iterativ algoritm - "avslappningsmetoden". Kondensator(från lat. kondensare- "kompakt", "tjockna") - ett nätverk med två terminaler med ett visst kapacitansvärde och låg ohmsk konduktivitet; en anordning för att ackumulera laddning och energi från ett elektriskt fält. En kondensator är en passiv elektronisk komponent. Består vanligtvis av två plattformade elektroder (kallas foder), åtskilda av ett dielektrikum vars tjocklek är liten jämfört med plattornas storlek. Kapacitet Den huvudsakliga egenskapen hos en kondensator är dess kapacitet, som kännetecknar kondensatorns förmåga att ackumulera elektrisk laddning. Beteckningen på en kondensator indikerar värdet på den nominella kapacitansen, medan den faktiska kapacitansen kan variera avsevärt beroende på många faktorer. Den faktiska kapacitansen hos en kondensator bestämmer dess elektriska egenskaper. Således, enligt definitionen av kapacitans, är laddningen på plattan proportionell mot spänningen mellan plattorna ( q = CU). Typiska kapacitansvärden sträcker sig från enheter av picofarads till tusentals mikrofarads. Det finns dock kondensatorer (jonistorer) med en kapacitet på upp till tiotals farad. Kapacitansen för en parallellplattkondensator som består av två parallella metallplattor med en area S var och en på avstånd d från varandra, i SI-systemet uttrycks med formeln: , där är den relativa dielektricitetskonstanten för mediet som fyller utrymmet mellan plattorna (i ett vakuum lika med enhet), är den elektriska konstanten, numeriskt lika med 8,854187817·10 −12 F/m. Denna formel är endast giltig när d mycket mindre än plattornas linjära dimensioner. För att få stora kapaciteter är kondensatorer parallellkopplade. I det här fallet är spänningen mellan plattorna på alla kondensatorer densamma. Total batterikapacitet parallell anslutna kondensatorer är lika med summan av kapacitanserna för alla kondensatorer som ingår i batteriet. Om alla parallellkopplade kondensatorer har samma avstånd mellan plattorna och de dielektriska egenskaperna, kan dessa kondensatorer representeras som en stor kondensator, uppdelad i fragment av en mindre yta. När kondensatorer är seriekopplade är laddningarna för alla kondensatorer desamma, eftersom de endast tillförs från strömkällan till de externa elektroderna, och på de interna elektroderna erhålls de endast på grund av separationen av laddningar som tidigare neutraliserade varandra . Total batterikapacitet sekventiellt anslutna kondensatorer är lika med Eller Denna kapacitet är alltid mindre än minimikapaciteten för kondensatorn som ingår i batteriet. Men med en seriekoppling reduceras möjligheten för nedbrytning av kondensatorer, eftersom varje kondensator endast står för en del av spänningskällans potentialskillnad. Om arean av plattorna för alla seriekopplade kondensatorer är densamma, kan dessa kondensatorer representeras som en stor kondensator, mellan plattorna som det finns en stapel av dielektriska plattor av alla dess ingående kondensatorer. [redigera] Specifik kapacitet Kondensatorer kännetecknas också av specifik kapacitans - förhållandet mellan kapacitans och volymen (eller massan) av dielektrikumet. Det maximala värdet för specifik kapacitans uppnås med en minimal tjocklek av dielektrikumet, men samtidigt minskar dess genombrottsspänning. Olika typer av elektriska kretsar används metoder för att ansluta kondensatorer. Anslutning av kondensatorer kan tillverkas: sekventiellt, parallell Och serieparallell(det senare kallas ibland en blandad anslutning av kondensatorer). Befintliga typer av kondensatoranslutningar visas i figur 1. Figur 1. Metoder för anslutning av kondensatorer.
(13.10)
(13.11)
(13.13)
(3)
(4)
(1)
) 
fördelat över bollen:
Fel, som agerar på laddningen, flyttar den och utför arbete.
I ett enhetligt elektriskt fält är Fel = qE ett konstant värde
Om i det elektrostatiska fältet för en punktladdning Q en annan punktladdning Q 0 rör sig från punkt 1 till punkt 2 längs någon bana (fig. 1), så fungerar kraften som appliceras på laddningen. Arbetet som utförs av kraften F på en elementär förskjutning dl är lika med Sedan d l/cosα=dr, alltså
Arbetet vid förflyttning av en laddning Q 0 från punkt 1 till punkt 2 (1) beror inte på rörelsebanan, utan bestäms endast av positionerna för de första 1 och sista 2 punkterna. Detta betyder att det elektrostatiska fältet för en punktladdning är potential, och de elektrostatiska krafterna är konservativa Av formel (1) framgår att det arbete som utförs när en elektrisk laddning rör sig i ett externt elektrostatiskt fält längs en godtyckligt sluten bana L. är lika med noll, dvs. (2) Om vi tar en enpunkts positiv laddning som en laddning som förflyttas i ett elektrostatiskt fält, då är det elementära arbetet med fältkrafter längs vägen dl lika med Edl = E l d l, där E l= Ecosα - projektion av vektor E på riktningen för elementär förskjutning. Då kan formel (2) representeras som 
(3) Integral 
kallas spänningsvektorns cirkulation. Detta betyder att cirkulationen av den elektrostatiska fältstyrkevektorn längs en sluten kontur är noll. Ett kraftfält som har egenskap (3) kallas potential. Av det faktum att cirkulationen av vektor E är lika med noll, följer det att linjerna med elektrostatisk fältstyrka inte kan stängas de nödvändigtvis börjar och slutar på laddningar (positiva eller negativa) eller går till oändlighet. Formel (3) gäller endast för det elektrostatiska fältet. Därefter kommer det att visas att i fallet med ett fält med rörliga laddningar är villkoret (3) inte sant (för det är cirkulationen av intensitetsvektorn icke noll).
Den elektriska fältstyrkan som skapas av ett oändligt plan laddat med en ytladdningstäthet kan beräknas med hjälp av Gauss teorem.
Som en sluten yta väljer vi en cylinder vars axel är vinkelrät mot planet, och vars baser är placerade symmetriskt i förhållande till planet, som visas i figuren.
Eftersom spänningslinjerna är parallella med generatriserna på cylinderns sidoyta är flödet genom sidoytan noll. Därför vektorflödet E genom cylinderns yta
,
Låt oss beräkna den elektriska fältstyrkan som skapas av två oändliga plan. Den elektriska laddningen fördelas jämnt med ytdensiteter och . Vi finner fältstyrkan som en överlagring av fältstyrkorna för vart och ett av planen. Det elektriska fältet är endast noll i utrymmet mellan planen och är lika med .
, Var d- avstånd mellan plan.
De erhållna resultaten kan användas för en ungefärlig beräkning av fälten som skapas av plana plattor med ändliga dimensioner om avstånden mellan dem är mycket mindre än deras linjära dimensioner. Märkbara fel i sådana beräkningar uppstår när man beaktar fält nära plåtarnas kanter. Beroendegraf E (x) för två plan.
För att beräkna den elektriska fältstyrkan som skapas av en mycket lång stav laddad med en linjär laddningstäthet använder vi Gauss sats.
På tillräckligt stora avstånd från stavens ändar är de elektriska fältintensitetslinjerna riktade radiellt från stavens axel och ligger i plan som är vinkelräta mot denna axel. På alla punkter på samma avstånd från stavens axel är de numeriska värdena för spänningen desamma om staven är i ett homogent isotropiskt medium med en relativ dielektrikum
permeabilitet
(se bild). Radien för denna cylinder är r, och dess höjd h.
Spänningsvektorns flöden genom cylinderns övre och nedre baser kommer att vara lika med noll, eftersom kraftlinjerna inte har komponenter vinkelräta mot ytorna på dessa baser. På alla punkter på cylinderns sidoyta
E= konst.
Därför det totala flödet av vektorn E genom cylinderns yta kommer att vara lika med
,
Det elektriska fältet som skapas av en sfärisk yta över vilken en elektrisk laddning med ytdensitet är jämnt fördelad har en centralt symmetrisk karaktär.
När r o
Fältstyrkan är noll, eftersom det inte finns någon laddning inuti sfären.
För r > R (utanför sfären), enligt Gauss teorem
,
.
När r o
För r > R (utanför sfären) 
.
Beroendegraf E (r) för en sfär.
Om bollen har radie R gjord av ett homogent isotropiskt dielektrikum med relativ permeabilitet laddas likformigt över hela volymen med densitet, då är det elektriska fältet det skapar också centralt symmetriskt.
Som i föregående fall väljer vi en stängd yta för att beräkna vektorflödet E i form av en koncentrisk sfär, vars radie r kan variera från 0 till .
På r < R vektor flöde E genom denna yta kommer att bestämmas av laddningen
.
Inuti bollen ökar spänningen i direkt proportion till avståndet från bollens mitt. Utanför bollen (kl r > R) i ett medium med dielektricitetskonstant, flödesvektor E genom ytan kommer att bestämmas av laddningen.
När r o > R o (utanför bollen) 
.
Vid gränsen "boll - miljö" ändras den elektriska fältstyrkan abrupt, vars storlek beror på förhållandet mellan bollens dielektriska konstanter och miljön. Beroendegraf E (r) för boll ().
.Möjlig skillnad
Spänning- skillnaden i potentiella värden vid de första och sista punkterna av banan. Spänningär numeriskt lika med det elektrostatiska fältets arbete när en positiv enhetsladdning rör sig längs kraftlinjerna för detta fält. Potentialskillnaden (spänningen) är oberoende av valet
koordinatsystem!
Enhet för potentialskillnad 
Spänningen är 1 V om fältet utför 1 J arbete när man flyttar en positiv laddning på 1 C längs kraftlinjerna.
- Poissons ekvation.
; då har detta problem en unik lösning enligt unikhetsteorem.
, dvs. det finns inget fält i ledaren kaviteten.
Vi kommer att överväga en ensam ledare, det vill säga en ledare som är väsentligt borttagen från andra ledare, kroppar och laddningar. Dess potential är som bekant direkt proportionell mot ledarens laddning. Det är känt av erfarenhet att olika ledare, även om de är lika laddade, har olika potential. Därför kan vi för en ensam ledare skriva Kvantitet (1) kallas den elektriska kapaciteten (eller helt enkelt kapacitansen) hos en ensam ledare. Kapacitansen för en isolerad ledare bestäms av laddningen, vars kommunikation till ledaren ändrar sin potential med en. Kapacitansen hos en ensam ledare beror på dess storlek och form, men beror inte på materialet, formen och storleken på kaviteterna inuti ledaren, såväl som dess aggregationstillstånd. Anledningen till detta är att överskottsladdningar fördelas på ledarens yttre yta. Kapacitansen beror inte heller på ledarens laddning eller dess potential. Enheten för elektrisk kapacitet är farad (F): 1 F är kapaciteten hos en sådan isolerad ledare, vars potential ändras med 1 V när en laddning på 1 C tilldelas den. Enligt formeln för potentialen för en punktladdning är potentialen för en ensam kula med radien R, som är belägen i ett homogent medium med dielektricitetskonstant ε, lika med. Genom att tillämpa formel (1) får vi att kapaciteten hos boll (2) Av detta följer att en ensam boll skulle ha en kapacitet på 1 F, placerad i ett vakuum och med en radie R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, vilket är ungefär 1400 gånger större än jordens radie (jordens elektriska kapacitet C≈0,7 mF). Följaktligen är en farad ett ganska stort värde, så i praktiken används submultipla enheter - millifarad (mF), mikrofarad (μF), nanofarad (nF), picofarad (pF). Av formel (2) följer också att enheten för den elektriska konstanten ε 0 är farad per meter (F/m) (se (78.3)).
Liknande artiklar
