Vi kom på vad en potens av ett tal faktiskt är. Nu måste vi förstå hur man beräknar det korrekt, d.v.s. höja siffrorna till makter. I detta material kommer vi att analysera de grundläggande reglerna för beräkning av grader i fallet med heltal, naturliga, bråkdelar, rationella och irrationella exponenter. Alla definitioner kommer att illustreras med exempel.

Begreppet exponentiering

Låt oss börja med att formulera grundläggande definitioner.

Definition 1

Exponentiering- detta är beräkningen av värdet av styrkan för ett visst tal.

Det vill säga orden "beräkna värdet av en makt" och "höja till en makt" betyder samma sak. Så om problemet säger "Höj talet 0, 5 till femte potensen", bör detta förstås som "beräkna värdet på potensen (0, 5) 5.

Nu presenterar vi de grundläggande reglerna som måste följas när man gör sådana beräkningar.

Låt oss komma ihåg vad en potens av ett tal med en naturlig exponent är. För en potens med basen a och exponenten n blir detta produkten av det n:te antalet faktorer, som var och en är lika med a. Detta kan skrivas så här:

För att beräkna värdet på en grad måste du utföra en multiplikationsåtgärd, det vill säga multiplicera baserna för graden det angivna antalet gånger. Själva konceptet med en grad med en naturlig exponent bygger på förmågan att snabbt multiplicera. Låt oss ge exempel.

Exempel 1

Skick: höj - 2 till makten 4.

Lösning

Med hjälp av definitionen ovan skriver vi: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Därefter behöver vi bara följa dessa steg och få 16.

Låt oss ta ett mer komplicerat exempel.

Exempel 2

Beräkna värdet 3 2 7 2

Lösning

Det här inlägget kan skrivas om till 3 2 7 · 3 2 7 . Tidigare har vi tittat på hur man korrekt multiplicerar de blandade talen som nämns i villkoret.

Låt oss utföra dessa steg och få svaret: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Om problemet indikerar behovet av att höja irrationella tal till en naturlig potens, måste vi först avrunda deras baser till den siffra som gör att vi kan få ett svar med den nödvändiga noggrannheten. Låt oss titta på ett exempel.

Exempel 3

Utför kvadraten på π.

Lösning

Låt oss först avrunda det till hundradelar. Sedan π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Om π ≈ 3. 14159, då får vi ett mer exakt resultat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Observera att behovet av att beräkna potenser av irrationella tal uppstår relativt sällan i praktiken. Vi kan sedan skriva svaret som potensen (ln 6) 3 själv, eller konvertera om möjligt: ​​5 7 = 125 5 .

Separat bör det anges vad den första potensen av ett tal är. Här kan du helt enkelt komma ihåg att alla tal som höjs till den första potensen kommer att förbli sig själv:

Detta framgår av inspelningen .

Det beror inte på examen.

Exempel 4

Så, (− 9) 1 = − 9, och 7 3 upphöjda till första potens kommer att förbli lika med 7 3.

För enkelhetens skull kommer vi att undersöka tre fall separat: om exponenten är ett positivt heltal, om det är noll och om det är ett negativt heltal.

I det första fallet är detta detsamma som att höja till en naturlig kraft: trots allt hör positiva heltal till mängden naturliga tal. Vi har redan pratat ovan om hur man arbetar med sådana examina.

Låt oss nu se hur man korrekt höjer till nolleffekten. För en annan bas än noll ger denna beräkning alltid 1. Vi har tidigare förklarat att 0:e potensen av a kan definieras för vilket reellt tal som helst som inte är lika med 0, och a 0 = 1.

Exempel 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ej definierad.

Vi har bara fallet med en grad med en heltals negativ exponent. Vi har redan diskuterat att sådana grader kan skrivas som en bråkdel 1 a z, där a är vilket tal som helst och z är ett negativt heltal. Vi ser att nämnaren för detta bråk inte är något annat än en vanlig potens med en positiv heltalsexponent, och vi har redan lärt oss hur man beräknar den. Låt oss ge exempel på uppgifter.

Exempel 6

Höj 2 till makten - 3.

Lösning

Med hjälp av definitionen ovan skriver vi: 2 - 3 = 1 2 3

Låt oss räkna ut nämnaren för denna bråkdel och få 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Då är svaret: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exempel 7

Höj 1,43 till -2-effekten.

Lösning

Låt oss omformulera: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Vi beräknar kvadraten i nämnaren: 1,43·1,43. Decimaler kan multipliceras på detta sätt:

Som ett resultat fick vi (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Allt vi behöver göra är att skriva detta resultat i form av ett vanligt bråk, för vilket vi måste multiplicera det med 10 tusen (se materialet om att konvertera bråk).

Svar: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ett specialfall är att höja en siffra till minus första potens. Värdet på denna grad är lika med det reciproka av det ursprungliga värdet av basen: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Exempel 8

Exempel: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Hur man höjer ett tal till en bråkpotens

För att utföra en sådan operation måste vi komma ihåg den grundläggande definitionen av en grad med en bråkdelsexponent: a m n = a m n för varje positivt a, heltal m och naturligt n.

Definition 2

Således måste beräkningen av en bråkpotens utföras i två steg: höjning till en heltalspotens och hitta roten till den n:te potensen.

Vi har likheten a m n = a m n , som med hänsyn till rötternas egenskaper vanligtvis används för att lösa problem i formen a m n = a n m . Det betyder att om vi höjer ett tal a till en bråkpotens m / n, så tar vi först den n:te roten av a, sedan höjer vi resultatet till en potens med en heltalsexponent m.

Låt oss illustrera med ett exempel.

Exempel 9

Beräkna 8 - 2 3 .

Lösning

Metod 1: Enligt den grundläggande definitionen kan vi representera detta som: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Låt oss nu beräkna graden under roten och extrahera den tredje roten från resultatet: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metod 2. Förvandla den grundläggande jämlikheten: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Efter detta extraherar vi roten 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 och kvadrerar resultatet: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vi ser att lösningarna är identiska. Du kan använda den hur du vill.

Det finns fall då graden har en indikator uttryckt som ett blandat tal eller ett decimaltal. För att förenkla beräkningar är det bättre att ersätta det med en vanlig bråkdel och beräkna enligt ovan.

Exempel 10

Höj 44, 89 till styrkan 2, 5.

Lösning

Låt oss omvandla värdet på indikatorn till en vanlig bråkdel: 44, 89 2, 5 = 44, 89 5 2.

Nu utför vi i ordning alla åtgärder som anges ovan: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 51007 1 = 51007 1 501, 25107

Svar: 13 501, 25107.

Om täljaren och nämnaren för en bråkdelsexponent innehåller stora tal, är det ett ganska svårt jobb att beräkna sådana exponenter med rationella exponenter. Det kräver vanligtvis datorteknik.

Låt oss separat uppehålla oss vid potenser med en nollbas och en bråkdelsexponent. Ett uttryck av formen 0 m n kan ges följande betydelse: om m n > 0, då 0 m n = 0 m n = 0; om m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Hur man höjer ett nummer till en irrationell makt

Behovet av att beräkna värdet av en potens vars exponent är ett irrationellt tal uppstår inte så ofta. I praktiken är uppgiften vanligtvis begränsad till att beräkna ett ungefärligt värde (upp till ett visst antal decimaler). Detta beräknas vanligtvis på en dator på grund av komplexiteten i sådana beräkningar, så vi kommer inte att uppehålla oss i detalj, vi kommer bara att ange huvudbestämmelserna.

Om vi ​​behöver beräkna värdet av en potens a med en irrationell exponent a, så tar vi exponentens decimalapproximation och räknar från den. Resultatet blir ett ungefärligt svar. Ju mer exakt decimal approximationen är, desto mer exakt är svaret. Låt oss visa med ett exempel:

Exempel 11

Beräkna approximationen av 2 i potensen 1,174367....

Lösning

Låt oss begränsa oss till decimalapproximationen a n = 1, 17. Låt oss utföra beräkningar med detta nummer: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Om vi ​​till exempel tar approximationen a n = 1, 1743, så blir svaret lite mer exakt: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Grader formler används i processen att reducera och förenkla komplexa uttryck, för att lösa ekvationer och ojämlikheter.

siffra cär n-te potensen av ett tal a När:

Verksamhet med examina.

1. Genom att multiplicera grader med samma bas läggs deras indikatorer till:

en m·a n = a m + n .

2. När man dividerar grader med samma bas, subtraheras deras exponenter:

3. Graden av produkten av 2 eller flera faktorer är lika med produkten av graderna av dessa faktorer:

(abc...) n = a n · b n · c n …

4. Graden av ett bråk är lika med förhållandet mellan graderna av utdelningen och divisorn:

(a/b) n = a n/b n .

5. Genom att höja en potens till en potens multipliceras exponenterna:

(a m) n = a m n .

Varje formel ovan är sann i riktningarna från vänster till höger och vice versa.

Till exempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Verksamhet med rötter.

1. Roten av produkten av flera faktorer är lika med produkten av rötterna av dessa faktorer:

2. Roten av ett förhållande är lika med förhållandet mellan utdelningen och rötternas divisor:

3. När man höjer en rot till en makt räcker det att höja det radikala talet till denna makt:

4. Om du ökar graden av roten in n en gång och samtidigt bygga in n potensen är ett radikalt tal, då ändras inte rotens värde:

5. Om du minskar graden av roten in n extrahera roten samtidigt n-te potensen av ett radikalt tal, då ändras inte rotens värde:

En grad med negativ exponent. Potensen för ett visst tal med en icke-positiv (heltals) exponent definieras som en dividerad med potensen av samma tal med en exponent lika med det absoluta värdet av den icke-positiva exponenten:

Formel en m:a n =a m - n kan användas inte bara för m> n, men också med m< n.

Till exempel. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Till formel en m:a n =a m - n blev rättvist när m=n, krävs närvaro av noll grader.

En grad med nollindex. Potensen för ett tal som inte är lika med noll med en nollexponent är lika med ett.

Till exempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad med bråkexponent. Att höja ett reellt tal A till den grad m/n, måste du extrahera roten n e graden av m-e potensen av detta tal A.

När talet multiplicerar sig själv till mig själv, arbete kallad grad.

Så 2,2 = 4, kvadrat eller andra potens av 2
2.2.2 = 8, kub eller tredje potens.
2.2.2.2 = 16, fjärde graden.

Dessutom, 10,10 = 100, andra potensen av 10.
10.10.10 = 1000, tredje graden.
10.10.10.10 = 10 000 fjärde potens.

Och a.a = aa, andra potens av a
a.a.a = aaa, tredje potens av a
a.a.a.a = aaaa, fjärde potens av a

Det ursprungliga numret kallas rot potenser av detta nummer eftersom det är numret från vilket krafterna skapades.

Det är dock inte helt bekvämt, särskilt när det gäller höga befogenheter, att skriva ner alla faktorer som utgör befogenheterna. Därför används en stenografisk notationsmetod. Roten till graden skrivs bara en gång, och till höger och lite högre nära den, men i ett lite mindre teckensnitt skrivs det hur många gånger roten fungerar som en faktor. Denna siffra eller bokstav kallas exponent eller grad tal. Så, a 2 är lika med a.a eller aa, eftersom roten a måste multipliceras med sig själv två gånger för att få potensen aa. Dessutom betyder en 3 aaa, det vill säga här upprepas a tre gånger som en multiplikator.

Exponenten för första graden är 1, men den skrivs vanligtvis inte ner. Så en 1 skrivs som en.

Du ska inte blanda ihop examina med koefficienter. Koefficienten visar hur ofta värdet tas som Del hela. Effekten visar hur ofta en kvantitet tas som faktor i arbetet.
Så, 4a = a + a + a + a. Men en 4 = a.a.a.a

Powernotationsschemat har den speciella fördelen att det tillåter oss att uttrycka okänd grad. För detta ändamål skrivs exponenten istället för ett tal brev. I processen att lösa ett problem kan vi få fram en kvantitet som vi vet är några grad av en annan storleksordning. Men än så länge vet vi inte om det är en kvadrat, en kub eller annan högre grad. Så i uttrycket a x betyder exponenten att detta uttryck har några grad, även om den är odefinierad vilken grad. Så b m och d n höjs till potenserna m och n. När exponenten hittas, siffra ersätts istället för en bokstav. Så, om m=3, då är b m = b3; men om m = 5, då är b m = b 5.

Metoden att skriva värden med hjälp av krafter är också en stor fördel vid användning uttryck. Således är (a + b + d) 3 (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), det vill säga trinomialets kub (a + b + d) . Men om vi skriver detta uttryck efter att ha höjt det till en kub kommer det att se ut
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Om vi ​​tar en serie potenser vars exponenter ökar eller minskar med 1, finner vi att produkten ökar med gemensam multiplikator eller minskar med gemensam divisor, och denna faktor eller divisor är det ursprungliga talet som höjs till en potens.

Så, i serien aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
eller a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
indikatorerna, om de räknas från höger till vänster, är 1, 2, 3, 4, 5; och skillnaden mellan deras värden är 1. Om vi ​​börjar till höger multiplicera av a kommer vi att få flera värden.

Så a.a = en 2 , andra term. Och en 3 .a = en 4:a
a 2 .a = a 3 , tredje term. a 4 .a = a 5 .

Om vi ​​börjar vänster dela upp till en,
vi får en 5:a = a 4 och en 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Men denna delningsprocess kan fortsättas och vi får en ny värdegrund.

Så, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Hela raden skulle vara: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Eller en 5, en 4, en 3, en 2, en, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Här är värdena till höger från en som finns omvänd värden till vänster om en. Därför kan dessa grader kallas omvända potenser a. Vi kan också säga att makterna till vänster är inverserna av makterna till höger.

Så, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Och 1:(1/a 3) = en 3.

Samma inspelningsplan kan tillämpas på polynom. Så för a + b får vi uppsättningen,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

För enkelhetens skull används en annan form av ömsesidiga skrivkrafter.

Enligt denna form är 1/a eller 1/a 1 = a -1. Och 1/aaa eller 1/a 3 = a -3 .
1/aa eller 1/a2 = a -2. 1/aaaa eller 1/a 4 = a -4 .

Och för att göra en komplett serie med 1 som total skillnad med exponenter, betraktas a/a eller 1 som något som inte har examen och skrivs som 0 .

Sedan, med hänsyn till de direkta och omvända krafterna
istället för aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
du kan skriva en 4, en 3, en 2, en 1, en 0, en -1, en -2, en -3, en -4.
Eller a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

Och en serie med endast individuella grader kommer att se ut så här:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Roten till en grad kan uttryckas med mer än en bokstav.

Således är aa.aa eller (aa) 2 andra potensen av aa.
Och aa.aa.aa eller (aa) 3 är den tredje potensen av aa.

Alla potenser av siffran 1 är desamma: 1.1 eller 1.1.1. blir lika med 1.

Exponentiering är att hitta värdet av ett tal genom att multiplicera det talet med sig självt. Regel för exponentiering:

Multiplicera kvantiteten med sig själv så många gånger som anges i talets potens.

Denna regel är gemensam för alla exempel som kan uppstå under exponentieringsprocessen. Men det är rätt att ge en förklaring till hur det gäller i vissa fall.

Om bara en term höjs till en potens, så multipliceras den med sig själv så många gånger som exponenten visar.

Den fjärde potensen av a är en 4:a eller aaaa. (Art. 195.)
Den sjätte potensen av y är y 6 eller yyyyyy.
N:te potensen av x är x n eller xxx..... n gånger upprepas.

Om det är nödvändigt att höja ett uttryck av flera termer till en makt, principen att effekten av produkten av flera faktorer är lika med produkten av dessa faktorer upphöjda till en potens.

Så (ay) 2 = a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Men ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Så, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Därför, när vi hittar kraften i en produkt, kan vi antingen arbeta med hela produkten på en gång, eller så kan vi arbeta med varje faktor separat och sedan multiplicera deras värden med potenserna.

Exempel 1. Den fjärde potensen av dhy är (dhy) 4, eller d 4 h 4 y 4.

Exempel 2. Den tredje potensen är 4b, det finns (4b) 3, eller 4 3 b 3, eller 64b 3.

Exempel 3. N:te potensen av 6ad är (6ad) n eller 6 n a n d n.

Exempel 4. Den tredje potensen av 3m.2y är (3m.2y) 3, eller 27m 3 .8y 3.

Graden av ett binomial, som består av termer förbundna med + och -, beräknas genom att multiplicera dess termer. Ja,

(a + b) 1 = a + b, första graden.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, andra potens (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, tredje potens.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, fjärde potens.

Kvadraten av a - b är a 2 - 2ab + b 2.

Kvadraten av a + b + h är a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Övning 1. Hitta kuben a + 2d + 3

Övning 2. Hitta fjärde potensen av b + 2.

Övning 3. Hitta femte potensen av x + 1.

Övning 4. Hitta den sjätte potensen 1 - b.

Summa kvadrater belopp Och skillnader binomial förekommer så ofta i algebra att det är nödvändigt att känna till dem mycket väl.

Om vi ​​multiplicerar a + h med sig själv eller a - h med sig själv,
vi får: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 också, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Detta visar att de första och sista termerna i varje fall är kvadraterna av a och h, och mellantermen är två gånger produkten av a och h. Härifrån kan kvadraten på summan och skillnaden av binomial hittas med hjälp av följande regel.

Kvadraten på ett binomial, vars båda termer är positiva, är lika med kvadraten på den första termen + två gånger produkten av båda termerna + kvadraten på den sista termen.

Fyrkant skillnader binomial är lika med kvadraten på den första termen minus två gånger produkten av båda termerna plus kvadraten på den andra termen.

Exempel 1. Ruta 2a + b, det finns 4a 2 + 4ab + b 2.

Exempel 2. Kvadrat ab + cd, det finns en 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Exempel 3. Ruta 3d - h, det finns 9d 2 + 6dh + h 2.

Exempel 4. Kvadraten a - 1 är en 2 - 2a + 1.

För en metod för att hitta högre potenser av binomialer, se följande avsnitt.

I många fall är det effektivt att skriva ner grader utan multiplikation.

Så kvadraten av a + b är (a + b) 2.
N:te potensen av bc + 8 + x är (bc + 8 + x) n

I sådana fall täcker parentesen Allt medlemmar under examen.

Men om gradens rot består av flera multiplikatorer, kan parentesen täcka hela uttrycket, eller kan appliceras separat på faktorerna beroende på bekvämlighet.

Således är kvadraten (a + b)(c + d) antingen [(a + b).(c + d)] 2 eller (a + b) 2 .(c + d) 2.

För det första av dessa uttryck är resultatet kvadraten av produkten av två faktorer, och för det andra är resultatet produkten av deras kvadrater. Men de är lika med varandra.

Kub a.(b + d), är 3, eller a 3.(b + d) 3.

Skylten framför de inblandade medlemmarna ska också beaktas. Det är mycket viktigt att komma ihåg att när roten till en examen är positiv, är alla dess positiva krafter också positiva. Men när roten är negativ, värdena med udda potenser är negativa, medan värdena även grader är positiva.

Den andra graden (- a) är +a 2
Den tredje graden (-a) är -a 3
Den fjärde potensen (-a) är +a 4
Den femte potensen (-a) är -a 5

Därav någon udda graden har samma tecken som siffran. Men även graden är positiv oavsett om talet har ett negativt eller positivt tecken.
Så, +a.+a = +a 2
Och -a.-a = +a 2

En kvantitet som redan har höjts till en potens höjs till en potens igen genom att multiplicera exponenterna.

Den tredje potensen av en 2 är en 2,3 = en 6.

För a 2 = aa; kub aa är aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; som är sjätte potensen av a, men tredje potensen av 2.

Den fjärde potensen av a 3 b 2 är a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Den tredje potensen av 4a 2 x är 64a 6 x 3.

Femte potensen av (a + b) 2 är (a + b) 10.

N:te potensen av en 3:a är en 3n

N:te potensen av (x - y) m är (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Regeln gäller lika för negativ grader.

Exempel 1. Den tredje potensen av en -2 är en -3,3 =a -6.

För a -2 = 1/aa, och tredje potensen av detta
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Den fjärde potensen av a 2 b -3 är a 8 b -12 eller en 8 /b 12.

Fyrkanten är b 3 x -1, det finns b 6 x -2.

N:te potensen av ax -m är x -mn eller 1/x.

Vi måste dock komma ihåg här att om tecknet tidigare grad är "-", då måste den ändras till "+" närhelst graden är ett jämnt tal.

Exempel 1. Kvadraten -a 3 är +a 6. Kvadraten på -a 3 är -a 3 .-a 3, vilket enligt reglerna för tecken i multiplikation är +a 6.

2. Men kuben -a 3 är -a 9. För -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N:te potensen -a 3 är en 3n.

Här kan resultatet bli positivt eller negativt beroende på om n är jämnt eller udda.

Om fraktion höjs till en potens, sedan höjs täljaren och nämnaren till en potens.

Kvadraten på a/b är a 2 /b 2 . Enligt regeln för att multiplicera bråk,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Andra, tredje och n:te potenserna av 1/a är 1/a 2, 1/a 3 och 1/a n.

Exempel binomialer, där en av termerna är en bråkdel.

1. Hitta kvadraten på x + 1/2 och x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2,x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2,x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Kvadraten på a + 2/3 är a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kvadrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Kvadraten på x - b/m är x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Det visades tidigare fraktionskoefficient kan flyttas från täljaren till nämnaren eller från nämnaren till täljaren. Att använda schemat för att skriva ömsesidiga befogenheter är det tydligt någon multiplikator kan också flyttas, om gradens tecken ändras.

Så i bråket ax -2 /y kan vi flytta x från täljaren till nämnaren.
Då ax -2/y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.

I bråket a/by 3 kan vi flytta y från nämnaren till täljaren.
Sedan a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3/b.

På samma sätt kan vi flytta en faktor som har en positiv exponent till täljaren eller en faktor med negativ exponent till nämnaren.

Så, ax 3 /b = a/bx -3. För x 3 är inversen x -3 , vilket är x 3 = 1/x -3 .

Därför kan nämnaren för vilket bråk som helst tas bort helt, eller så kan täljaren reduceras till ett utan att betydelsen av uttrycket ändras.

Så, a/b = 1/ba -1 eller ab -1 .

Kalkylatorn hjälper dig att snabbt höja en siffra till en makt online. Gradens bas kan vara vilket tal som helst (både heltal och reella tal). Exponenten kan också vara ett heltal eller reellt, och kan också vara positivt eller negativt. Tänk på att för negativa tal är det odefinierat att höja till en icke-heltalspotens, så räknaren kommer att rapportera ett fel om du försöker det.

Gradkalkylator

Upp till makten

Exponentieringar: 94722

Vad är en naturlig kraft för ett tal?

Talet p kallas n:te potensen av ett tal om p är lika med talet a multiplicerat med sig själv n gånger: p = a n = a·...·a
n - kallas exponent, och siffran a är examensbasis.

Hur höjer man ett nummer till en naturlig kraft?

För att förstå hur man höjer olika siffror till naturliga krafter, överväg några exempel:

Exempel 1. Höj siffran tre till fjärde potensen. Det vill säga, det är nödvändigt att beräkna 3 4
Lösning: som nämnts ovan, 34 = 3·3·3·3 = 81.
Svar: 3 4 = 81 .

Exempel 2. Höj siffran fem till femte potensen. Det vill säga, det är nödvändigt att beräkna 5 5
Lösning: på liknande sätt, 55 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Svar: 5 5 = 3125 .

Alltså, för att höja ett tal till en naturlig kraft behöver du bara multiplicera det med sig själv n gånger.

Vad är en negativ potens av ett tal?

Den negativa potensen -n av a är en dividerad med a till potensen av n: a -n = .

I det här fallet finns en negativ potens endast för tal som inte är noll, eftersom division med noll annars skulle inträffa.

Hur höjer man ett tal till en negativ heltalspotens?

För att höja ett tal som inte är noll till en negativ potens, måste du beräkna värdet av detta tal till samma positiva potens och dividera ett med resultatet.

Exempel 1. Höj siffran två till negativ fjärde potens. Det vill säga, du måste beräkna 2 -4

Lösning: som nämnts ovan, 2 -4 = = = 0,0625.

Svar: 2 -4 = 0.0625 .

Liknande artiklar