Fungera y=f(x) kallad oändligt liten på x→a eller när x→∞, om eller , dvs. oändligt liten funktionär en funktion vars gräns vid en given punkt är noll.

Exempel.

1. Funktion f(x)=(x-1) 2 är oändligt liten vid x→1, sedan (se figur).

2. Funktion f(x)= tg x– oändligt liten kl x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – oändligt vid x→0.

4. f(x) = 1/x– oändligt liten kl x→∞.

Låt oss upprätta följande viktiga relation:

Sats. Om funktionen y=f(x) representerbar med x→a som summan av ett konstant tal b och oändligt liten storlek α(x): f (x)=b+ α(x) Den där .

Omvänt, om , då f (x)=b+α(x), Var yxa)– oändligt liten kl x→a.

Bevis.

1. Låt oss bevisa den första delen av påståendet. Från jämlikhet f(x)=b+α(x) skall |f(x) – b|=| α|. Men eftersom yxa)är oändligt liten, då för godtycklig ε finns det δ – en grannskap av punkten en, inför alla x från vilka, värden yxa) tillfredsställa relationen |α(x)|< ε. Sedan |f(x) – b|< ε. Och detta betyder det.

2. Om , då för alla ε >0 för alla X från någon δ – grannskap av en punkt a kommer |f(x) – b|< ε. Men om vi betecknar f(x) – b= α, Den där |α(x)|< ε, vilket betyder att a– oändligt liten.

Låt oss överväga de grundläggande egenskaperna hos infinitesimala funktioner.

Sats 1. Den algebraiska summan av två, tre och i allmänhet vilket ändligt antal infinitesimals som helst är en infinitesimal funktion.

Bevis. Låt oss ge ett bevis för två termer. Låta f(x)=α(x)+β(x), var och . Vi måste bevisa det för alla godtyckliga små ε > 0 hittade δ> 0, så att för x, som tillfredsställer ojämlikheten |x – a|<δ , genomförde |f(x)|< ε.

Så låt oss fixa ett godtyckligt nummer ε > 0. Eftersom enligt satsens villkor α(x)är en infinitesimal funktion, så finns det sådan δ 1 > 0, vilket är |x – a|< δ 1 vi har |α(x)|< ε / 2. Likaså sedan β(x)är oändligt liten, så finns det sådan δ 2 > 0, vilket är |x – a|< δ 2 har vi | β(x)|< ε / 2.

Låt oss ta δ=min(δ 1 , 52 } .Då i närheten av punkten a radie δ var och en av ojämlikheterna kommer att tillfredsställas |α(x)|< ε / 2 och | β(x)|< ε / 2. Därför kommer det att finnas i det här området

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

de där. |f(x)|< ε, vilket är det som behövde bevisas.

Sats 2. Produkt av en oändlig funktion yxa) för en begränsad funktion f(x) på x→a(eller när x→∞) är en infinitesimal funktion.

Bevis. Sedan funktionen f(x)är begränsad, så finns det ett antal M sådan för alla värden x från något område av en punkt a|f(x)|≤M. Dessutom sedan yxa)är en oändlig funktion vid x→a, sedan för en godtycklig ε > 0 finns det ett område till punkten a, där ojämlikheten kommer att hålla |α(x)|< ε /M. Sedan i det mindre av dessa kvarter vi har | αf|< ε /M= ε. Och detta betyder det af– oändligt liten. För tillfället x→∞ bevisningen utförs på liknande sätt.

Från den beprövade satsen följer:

Följd 1. Om och, då.

Följd 2. Om c= const, alltså.

Sats 3. Förhållandet mellan en infinitesimal funktion α(x) per funktion f(x), vars gräns skiljer sig från noll, är en infinitesimal funktion.

Bevis. Låt . Sedan 1 /f(x) Det finns begränsad funktion. Därför är en bråkdel produkten av en infinitesimal funktion och en begränsad funktion, d.v.s. funktionen är oändlig.

OÄNDLIGT SMÅ FUNKTIONER OCH DERES GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER

Fungera y=f(x) kallad oändligt liten på x→a eller när x→∞, om eller , dvs. en infinitesimal funktion är en funktion vars gräns vid en given punkt är noll.

Exempel.

Låt oss upprätta följande viktiga relation:

Sats. Om funktionen y=f(x) representeras med x→a som summan av ett konstant tal b och oändligt liten storlek α(x): f (x)=b+ α(x) Den där .

Omvänt, om , då f (x)=b+α(x), Var yxa)– oändligt liten kl x→a.

Bevis.

Låt oss överväga de grundläggande egenskaperna hos infinitesimala funktioner.

Sats 1. Den algebraiska summan av två, tre och i allmänhet vilket ändligt antal infinitesimals som helst är en infinitesimal funktion.

Bevis. Låt oss ge ett bevis för två termer. Låta f(x)=α(x)+β(x), var och . Vi måste bevisa det för alla godtyckliga små ε > 0 hittade δ> 0, sådan att för x, som tillfredsställer ojämlikheten |x – a|<δ , genomförde |f(x)|< ε.

Så låt oss fixa ett godtyckligt nummer ε > 0. Eftersom enligt satsens villkor α(x)är en infinitesimal funktion, så finns det en sådan δ 1 > 0, vilket är |x – a|< δ 1 vi har |α(x)|< ε / 2. Likaså sedan β(x)är oändligt liten, så finns det en sådan δ 2 > 0, vilket är |x – a|< δ 2 har vi | β(x)|< ε / 2.

Låt oss ta δ=min(δ 1 , 52 } .Då i närheten av punkten a radie δ var och en av ojämlikheterna kommer att tillfredsställas |α(x)|< ε / 2 och | β(x)|< ε / 2. Därför kommer det att finnas i det här området

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

de där. |f(x)|< ε, vilket är det som behövde bevisas.

Sats 2. Produkt av en oändlig funktion yxa) för en begränsad funktion f(x) på x→a(eller när x→∞) är en infinitesimal funktion.

Bevis. Sedan funktionen f(x)är begränsad, så finns det ett antal M sådan för alla värden x från något område av en punkt a|f(x)|≤M. Dessutom sedan yxa)är en oändlig funktion vid x→a, sedan för en godtycklig ε > 0 finns det ett område till punkten a, där ojämlikheten kommer att hålla |α(x)|< ε /M. Sedan i det mindre av dessa kvarter vi har | αf|< ε /M= ε. Och detta betyder det af– oändligt liten. För tillfället x→∞ bevisningen utförs på liknande sätt.

Från den beprövade satsen följer:

Följd 1. Om och, då.

Följd 2. Om c= const, alltså.

Sats 3. Förhållandet mellan en infinitesimal funktion α(x) per funktion f(x), vars gräns skiljer sig från noll, är en infinitesimal funktion.

Bevis. Låta . Sedan 1 /f(x) det finns en begränsad funktion. Därför bråkdelen är produkten av en infinitesimal funktion och en begränsad funktion, dvs. funktionen är oändlig.

RELATION MELLAN OÄNDLIGT SMÅ OCH OÄNDLIGT STORA FUNKTIONER

Sats 1. Om funktionen f(x)är oändligt stor kl x→a, sedan funktion 1 /f(x)är oändligt liten kl x→a.

Bevis. Låt oss ta ett godtyckligt tal ε >0 och visa det för vissa δ>0 (beroende på ε) för alla x, för vilka |x – a|<δ , ojämlikheten är tillfredsställd, och det kommer att innebära det 1/f(x)är en oändlig funktion. Faktiskt sedan f(x)är en oändligt stor funktion vid x→a, då blir det δ>0 så fort som |x – a|<δ , så | f(x)|> 1/ ε. Men då för detsamma x.

Exempel.

Den omvända satsen kan också bevisas.

Sats 2. Om funktionen f(x)- oändligt liten kl x→a(eller x→∞) och försvinner alltså inte y= 1/f(x)är en oändligt stor funktion.

Gör beviset för satsen själv.

Exempel.

Således kan de enklaste egenskaperna hos infinitesimala och oändligt stora funktioner skrivas med hjälp av följande villkorliga relationer: A≠ 0

GRÄNSTEOREM

Sats 1. Gränsen för den algebraiska summan av två, tre och i allmänhet ett visst antal funktioner är lika med den algebraiska summan av gränserna för dessa funktioner, dvs.

Bevis. Låt oss utföra beviset för två termer, eftersom det kan göras på samma sätt för hur många termer som helst. Låta .Sedan f(x)=b+α(x) Och g(x)=c+β(x), Var α Och β – infinitesimala funktioner. Därav,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Därför att b+c Det finns konstant, A α(x) + β(x)är alltså en infinitesimal funktion

Exempel. .

Sats 2. Gränsen för produkten av två, tre och i allmänhet ett ändligt antal funktioner är lika med produkten av gränserna för dessa funktioner:

Bevis. Låta . Därav, f(x)=b+α(x) Och g(x)=c+β(x) Och

fg = (b + a)(c + p) = bc + (bp + ca + ap).

Arbete före Kristus det finns ett konstant värde. Fungera bβ + c α + αβ baserat på egenskaperna hos infinitesimala funktioner finns det en infinitesimal kvantitet. Det är därför .

Följd 1. Den konstanta faktorn kan tas bortom gränstecknet:

.

Följd 2. Gradgränsen är lika med gränsgraden:

.

Exempel..

Sats 3. Gränsen för kvoten för två funktioner är lika med kvoten för gränserna för dessa funktioner om gränsen för nämnaren är skild från noll, dvs.

.

Bevis. Låt . Därav, f(x)=b+α(x) Och g(x)=c+β(x), Var α, β – oändligt liten. Låt oss överväga kvoten

Ett bråk är en infinitesimal funktion eftersom täljaren är en infinitesimal funktion och nämnaren har en gräns c 2 ≠ 0.

Exempel.

Sats 4. Låt tre funktioner ges f(x), u(x) Och v(x), som tillfredsställer ojämlikheterna u (x)≤f(x)≤ v(x). Om funktionerna u(x) Och v(x) har samma gräns vid x→a(eller x→∞), sedan funktionen f(x) tenderar till samma gräns, dvs. Om

, Den där .

Innebörden av denna sats framgår tydligt av figuren.

Beviset för sats 4 finns till exempel i läroboken: Piskunov N. S. Differential- och integralkalkyl, vol 1 - M.: Nauka, 1985.

Sats 5. Jag fet x→a(eller x→∞) funktion y=f(x) accepterar icke-negativa värden y≥0 och tenderar samtidigt till gränsen b, då kan denna gräns inte vara negativ: b≥0.

Bevis. Vi kommer att utföra beviset genom motsägelse. Låt oss låtsas som det b<0 , Då |y – b|≥|b| och därför tenderar skillnadsmodulen inte att bli noll när x→a. Men då y når inte gränsen b på x→a, vilket motsäger satsens villkor.

Sats 6. Om två funktioner f(x) Och g(x) för alla värden i argumentet x tillfredsställa ojämlikheten f(x)≥ g(x) och har gränser, då håller ojämlikheten b≥c.

Bevis. Enligt satsens villkor f(x)-g(x) ≥0, därför av sats 5 , eller .

ENSIDA GRÄNSER

Hittills har vi övervägt att bestämma gränsen för en funktion när x→a på ett godtyckligt sätt, dvs. gränsen för funktionen berodde inte på hur den var placerad x mot a, till vänster eller höger om a. Det är dock ganska vanligt att hitta funktioner som inte har någon gräns under detta villkor, men de har en gräns om x→a, kvar på ena sidan av A, vänster eller höger (se bild). Därför introduceras begreppen ensidiga gränser.

Om f(x) tenderar till gränsen b på x tenderar till ett visst antal a Så x accepterar endast värden mindre än a, så skriver de och ringer blimit för funktionen f(x) vid punkt a till vänster.

Definition av en numerisk funktion. Metoder för att specificera funktioner.

Låt D vara en mängd på tallinjen R. Om varje x som hör till D är associerat med ett enda tal y=f(x), så säger vi att en funktion f ges.

Metoder för att specificera funktioner:

1) tabell – för funktioner definierade på en finit uppsättning.

2) analytisk

3) grafik

2 och 3 – för funktioner definierade på en oändlig uppsättning.

Begreppet omvänd funktion.

Om funktionen y=f(x) är sådan att olika värden på x-argumentet motsvarar olika värden på funktionen, så kan variabeln x uttryckas som en funktion av variabeln y: x=g(y ). Funktionen g kallas inversen av f och betecknas med f^(-1).

Konceptet med en komplex funktion.

En komplex funktion är en funktion vars argument är vilken annan funktion som helst.

Låt funktionerna f(x) och g(x) ges. Låt oss göra två komplexa funktioner av dem. Med tanke på att funktionen f är extern (huvud) och funktionen g är intern, får vi en komplex funktion u(x)=f(g(x)).

Bestämning av sekvensgränsen.

Ett tal a kallas gränsen för en sekvens (xn) om det för något positivt finns ett tal n0, från vilket alla termer i sekvensen skiljer sig från a i modul med mindre än ε (dvs. de faller in i ε-grannskapet av punkten a):

Regler för beräkning av gränserna för konvergerande sekvenser.

1. Varje konvergent sekvens har bara en gräns. 2. Om alla element i sekvensen (x n) är lika med C (konstant), är gränsen för sekvensen (x n) också lika med C. 3. ; 4. ; 5. .

Definition av en begränsad sekvens.

Sekvensen (x n) kallas avgränsad om mängden tal X=(x n) är begränsad: .

Definition av en infinitesimal sekvens.

En sekvens (x n) sägs vara oändlig om det för någon (oavsett hur liten) >0 det finns ett tal n 0 så att för vilken som helst n>n 0 olikheten |x n |< .

Definitionen är oändlig stor sekvens.

En sekvens sägs vara oändligt stor om det för något (oavsett hur stort) tal A>0 finns ett tal n 0 så att för varje tal n>n 0 gäller olikheten |x n |>A.

Definition av monotona sekvenser.

Monotona sekvenser: 1) öka ifx n x n +1 för alla n, 4) icke-ökande om x n x n +1 för alla n.

Bestämning av gränsen för en funktion vid en punkt.

Gränsen för funktionen y=f(x) i punkten x 0 (eller vid x x 0) är talet a if för alla sekvensvärden (x n) av argumentet som konvergerar till x 0 (alla x n x 0), sekvens av (f(x n)) värden för funktionen konvergerar till gränsen a.

Definition av en infinitesimal funktion.

F-iya f(x) sägs vara infinitesimal som x→A om .

Definition av en oändligt stor funktion.

F-iya f(x) sägs vara oändligt stor för x→A om .

Kalkyl för infinitesimals och larges

Infinitesimal kalkyl- beräkningar utförda med infinitesimala storheter, där det härledda resultatet betraktas som en oändlig summa av infinitesimaler. Infinitesimal kalkyl är allmänt begrepp för differential- och integralkalkyl, som ligger till grund för modern högre matematik. Begreppet en oändlig storhet är nära besläktat med begreppet gräns.

Oändligt liten

Efterföljd a n kallad oändligt liten, Om . Till exempel är en talföljd oändlig.

Funktionen kallas oändligt liten i närheten av en punkt x 0 om .

Funktionen kallas oändligt till oändligt, Om eller .

Också infinitesimal är en funktion som är skillnaden mellan en funktion och dess gräns, det vill säga om , Den där f(x) − a = α( x) , .

Oändligt stor mängd

I alla formlerna nedan antyds oändligheten till höger om jämlikhet att ha ett visst tecken (antingen "plus" eller "minus"). Det är till exempel funktionen x synd x, obegränsad på båda sidor, är inte oändligt stor vid .

Efterföljd a n kallad oändligt stor, Om .

Funktionen kallas oändligt stor i närheten av en punkt x 0 om .

Funktionen kallas oändligt stor i oändlighet, Om eller .

Egenskaper av oändligt litet och oändligt stort

Jämförelse av oändliga mängder

Hur jämför man oändligt små mängder?
Förhållandet mellan oändliga storheter bildar den så kallade osäkerheten.

Definitioner

Anta att vi har infinitesimala värden α( x) och β( x) (eller, vilket inte är viktigt för definitionen, infinitesimala sekvenser).

För att beräkna sådana gränser är det bekvämt att använda L'Hopitals regel.

Jämförelseexempel

Använder sig av HANDLA OM-symbolik, de erhållna resultaten kan skrivas i följande form x 5 = o(x 3). I det här fallet är följande poster sanna: 2x 2 + 6x = O(x) Och x = O(2x 2 + 6x).

Motsvarande värden

Definition

Om , då de infinitesimala storheterna α och β kallas likvärdig ().
Det är uppenbart att ekvivalenta kvantiteter är ett specialfall av infinitesimala kvantiteter av samma storleksordning.

När följande ekvivalensrelationer är giltiga (som konsekvenser av de så kallade anmärkningsvärda gränserna):

Sats

Gränsen för kvoten (kvoten) av två infinitesimala storheter kommer inte att ändras om en av dem (eller båda) ersätts med en motsvarande kvantitet.

Denna sats har praktisk betydelse när man ska hitta gränser (se exempel).

Användningsexempel

Byter ut sin 2x motsvarande värde 2 x, vi får

Historisk skiss

Begreppet "oändligt" diskuterades redan i antiken i samband med begreppet odelbara atomer, men ingick inte i klassisk matematik. Den återupplivades igen med tillkomsten av "metoden för odelbara" på 1500-talet - uppdelning av figuren som studeras i oändliga sektioner.

På 1600-talet ägde algebraiseringen av infinitesimalkalkyl rum. De började definieras som numeriska storheter som är mindre än någon ändlig (icke-noll) kvantitet och ändå inte lika med noll. Analyskonsten bestod i att rita upp en relation innehållande infinitesimals (differentialer) och sedan integrera den.

Gamla skolans matematiker satte konceptet på prov oändligt liten hård kritik. Michel Rolle skrev att den nya kalkylen är " uppsättning geniala misstag"; Voltaire påpekade kaustiskt att kalkyl är konsten att beräkna och noggrant mäta saker vars existens inte kan bevisas. Även Huygens medgav att han inte förstod innebörden av differentialer av högre ordning.

Som en ödets ironi kan man betrakta framväxten i mitten av seklet av icke-standardiserad analys, som bevisade att den ursprungliga synvinkeln - faktiska infinitesimals - också var konsekvent och kunde användas som grund för analys.

se även

Wikimedia Foundation. 2010.

Se vad "oändlig kvantitet" är i andra ordböcker:

OÄNDLIGT LITEN KVANTITET - variabel mängd i någon process, om den i denna process oändligt närmar sig (tenderar) till noll... Big Polytechnic Encyclopedia

Oändligt liten- ■ Något okänt, men relaterat till homeopati... Lexikon för vanliga sanningar

Funktionen kallas oändligt liten kl
eller när
, Om
eller
.

Till exempel: funktion
oändligt liten kl
; fungera
oändligt liten kl
.

Anteckning 1. Utan att ange riktningen för förändringen av argumentet kan ingen funktion kallas infinitesimal. Ja, funktionen
på
är oändligt liten och när
den är inte längre oändlig (
).

Anteckning 2. Från definitionen av gränsen för en funktion vid en punkt, för infinitesimala funktioner gäller följande olikhet:
Vi kommer att använda detta faktum mer än en gång i framtiden.

Låt oss fastställa några viktiga egenskaper hos infinitesimala funktioner.

Sats (om sambandet mellan en funktion, dess gräns och infinitesimal): Om funktionen
kan representeras som summan av ett konstant tal A och infinitesimal funktion
på
, sedan numret

Bevis:

Av satsens villkor följer att funktionen
.

Låt oss uttrycka härifrån
:
. Sedan funktionen
oändligt liten, ojämlikheten gäller för det
, sedan för uttrycket (
) ojämlikheten håller också

Och detta betyder det
.

Sats (omvänd): om
, sedan funktionen
kan representeras som summan av ett tal A och oändligt kl
funktioner
, dvs.
.

Bevis:

Därför att
, sedan för
ojämlikheten håller
(*) Tänk på funktionen
som en enda och skriv om ojämlikhet (*) i formen

Av den senaste ojämlikheten följer att värdet (
) är oändligt liten vid
. Låt oss beteckna det
.

Var
. Teoremet har bevisats.

Sats 1 . Den algebraiska summan av ett ändligt antal infinitesimala funktioner är en infinitesimal funktion.

Bevis:

Låt oss utföra beviset för två termer, eftersom det för varje ändligt antal termer ges på ett liknande sätt.

Låta
Och
oändligt liten kl
funktioner och
– summan av dessa funktioner. Låt oss bevisa det för
, det finns en sådan sak
det är för alla X, som tillfredsställer ojämlikheten
, ojämlikheten håller
.

Sedan funktionen
oändlig funktion
det är för alla
ojämlikheten håller
.

Sedan funktionen
oändlig funktion
, och därför finns det en sådan det är för alla
ojämlikheten håller
.

Låt oss ta lika med det mindre antalet Och , Sedan i – punktens grannskap A ojämlikheterna kommer att tillfredsställas
,
.

Låt oss skapa en funktionsmodul
och utvärdera dess betydelse.

Det är
, då är funktionen infinitesimal, vilket är vad som behövde bevisas.

Sats 2. Produkt av en oändlig funktion
på
för en begränsad funktion
är en oändlig funktion.

Bevis:

Sedan funktionen
begränsat, så finns det ett positivt tal
det är för alla ojämlikheten håller
.

Sedan funktionen
oändligt liten kl
, då finns det sådant – en punkts grannskap det är för alla i detta grannskap ojämlikheten
.

Tänk på funktionen
och utvärdera dess modul

Så
, och då
– oändligt liten.

Teoremet har bevisats.

Satser om gränser.

Sats 1. Gränsen för en algebraisk summa av ett ändligt antal funktioner är lika med den algebraiska summan av gränserna för dessa funktioner

Bevis:

För att bevisa det räcker det med att överväga två funktioner.

Låta
,
.

Enligt satsen om sambandet mellan en funktion, dess gräns och en infinitesimal funktion
Och
kan representeras i formen
Var
Och
– oändligt liten kl
.

Låt oss hitta summan av funktioner
Och

Magnitud
det finns ett konstant värde
– kvantiteten är oändligt liten. Funktionen alltså
presenteras som summan av ett konstant värde och en infinitesimal funktion.

Sedan numret
är gränsen för funktionen
, dvs.

Teoremet har bevisats.

Sats 2 . Gränsen för produkten av ett ändligt antal funktioner är lika med produkten av gränserna för dessa funktioner

Bevis:

Utan att förlora resonemangets allmängiltighet kommer vi att utföra beviset för två funktioner
Och
.

Låt det vara då
,

Låt oss hitta produkten av funktioner
Och

Magnitud
är en konstant storhet, en infinitesimal funktion. Därför antalet
är gränsen för funktionen
, det vill säga jämställdheten är sann

Följd:
.

Sats 3. Gränsen för kvoten för två funktioner är lika med kvoten för gränserna för dessa funktioner om gränsen för nämnaren är icke noll

.

Bevis: Låt
,

Sedan
,
.

Låt oss hitta kvoten och utföra några identiska transformationer på den

Magnitud konstant, bråkdel
oändligt liten. Därför funktionen representeras som summan av ett konstant tal och en infinitesimal funktion.

Sedan
.

Kommentar. Satserna 1–3 har bevisats för fallet
. De kan dock vara tillämpliga när
, eftersom beviset för satserna i detta fall utförs på liknande sätt.

Till exempel. Hitta gränser:

Den första och andra är underbara gränser.

Fungera inte definierad kl
. Emellertid finns dess värden i närheten av nollpunkten. Därför kan vi överväga gränsen för denna funktion vid
. Denna gräns kallas först underbar begränsa .

Det ser ut som:
.

Till exempel . Hitta gränser: 1.
. Beteckna
, Om
, Den där
.
; 2.
. Låt oss omvandla detta uttryck så att gränsen reduceras till den första anmärkningsvärda gränsen.
; 3..

Låt oss betrakta en variabel av formen
, vart i tar värdena för naturliga tal i stigande ordning. Låt oss ge olika betydelser: om

Ger följande värden från setet
, är det lätt att se att uttrycket
på
kommer
. Dessutom är det bevisat att
har en gräns. Denna gräns anges med bokstaven :
.

siffra irrationell:
.

Tänk nu på gränsen för funktionen
på
. Denna gräns kallas andra anmärkningsvärda gränsen

Det ser ut som
.

Till exempel.

A)
. Uttryck
ersätt den med produkten identiska faktorer
, tillämpar vi produktgränssatsen och den andra underbar gräns; b)
. Låt oss sätta
, Då
,
.

Den andra anmärkningsvärda gränsen används i kontinuerliga blandningsproblem

Vid beräkning av kontantinkomst på inlåning används ofta formeln för sammansatt ränta, som ser ut så här:

,

Var - första bidrag,

- årlig bankränta,

- antal upplupna räntor per år,

- tid, i år.

Dock i teoretisk forskning när de motiverar investeringsbeslut använder de ofta formeln för den exponentiella (exponentiella) tillväxtlagen

.

Formeln för den exponentiella tillväxtlagen erhålls som ett resultat av att tillämpa den andra anmärkningsvärda gränsen på formeln för sammansatt ränta

Kontinuitet av funktioner.

Tänk på funktionen
definieras någon gång och en del av punkten . Låt funktionen ha värdet vid den angivna punkten
.

Definition 1. Funktion
kallad kontinuerlig vid en punkt , om den definieras i ett område av en punkt, inklusive själva punkten och
.

Definitionen av kontinuitet kan formuleras annorlunda.

Låt funktionen
definieras till något värde ,
. Om argumentet ge en ökning
, då kommer funktionen att få en ökning

Låt funktionen vid punkten kontinuerlig (enligt den första definitionen av kontinuitet för en funktion vid en punkt),

Det vill säga om funktionen är kontinuerlig vid punkten , sedan en oändlig ökning av argumentet
vid denna punkt motsvarar det en oändligt liten ökning av funktionen.

Det omvända är också sant: om ett infinitesimalt inkrement i argumentet motsvarar ett infinitesimalt inkrement i funktionen, så är funktionen kontinuerlig.

Definition 2. Funktion
kallas kontinuerlig kl
(vid punkt ), om den är definierad vid denna punkt och några av dess omgivningar och om
.

Med hänsyn till den första och andra definitionen av kontinuiteten för en funktion vid en punkt, kan vi få följande påstående:

eller
, Men
, Då
.

Därför, för att hitta gränsen för en kontinuerlig funktion vid
det räcker med att använda ett analytiskt funktionsuttryck istället för ett argument ersätta dess värde .

Definition 3. En funktion som är kontinuerlig vid varje punkt i en viss region kallas kontinuerlig i detta område.

Till exempel:

Exempel 1. Bevisa att funktionen
är kontinuerlig på alla punkter av definitionsdomänen.

Låt oss använda den andra definitionen av kontinuitet för en funktion vid en punkt. För att göra detta, ta valfritt värde av argumentet och ge det en ökning
. Låt oss hitta motsvarande ökning av funktionen

Exempel 2. Bevisa att funktionen
kontinuerlig på alla punkter från
.

Låt oss ge argumentet ökning
, då kommer funktionen att ökas

Låt oss hitta sedan funktionen
, det vill säga begränsad.

På liknande sätt kan det bevisas att alla grundläggande elementära funktioner är kontinuerliga på alla punkter i deras definitionsdomän, det vill säga definitionsdomänen för en elementär funktion sammanfaller med dess kontinuitetsdomän.

Definition 4. Om funktionen
kontinuerlig vid varje punkt av något intervall
, då säger vi att funktionen är kontinuerlig på detta intervall.

Liknande artiklar