На случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:
где f (x , y ) - функция двух переменных, а L - кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB .
Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?
Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L , а функция двух переменных f (x , y ) определена в точках кривой L . Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.
- Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
- В каждой части свободно выбрать точку M .
- Найти значение функции в выбранных точках.
- Значения функции умножить на
- длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода ;
- проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода .
- Найти сумму всех произведений.
- Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.
Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f (x , y ) по кривой AB .
первого рода
Случай криволинейного интеграла
второго рода
Введём следующие ообозначения.
M i (ζ i ; η i ) - выбранная на каждом участке точка с координатами.
f i (ζ i ; η i ) - значение функции f (x , y ) в выбранной точке.
Δs i - длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).
Δx i - проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).
d = maxΔs i - длина самой длинной части отрезка кривой.
Криволинейные интегралы первого рода
Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:
.
Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл . Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:
В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B ) считать началом отрезка, а какую концом, то есть
.
Криволинейные интегралы второго рода
Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:
.
В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:
.
При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции f i (ζ i ; η i ) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy . Тогда получим интеграл
.
На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P (x , y ) и f = Q (x , y ) и интегралы
,
а сумма этих интегралов
называется общим криволинейным интегралом второго рода .
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.
Пусть на плоскости задана кривая y = y (x ) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b . Тогда в точках кривой подынтегральная функция f (x , y ) = f (x , y (x )) ("игрек" должен быть выражен через "икс"), а дифференциал дуги и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле
.
Если интеграл проще интегрировать по y , то из уравнения кривой нужно выразить x = x (y ) ("икс" через "игрек"), где и интеграл вычисляем по формуле
.
Пример 1.
где AB - отрезок прямой между точками A (1; −1) и B (2; 1) .
Решение. Составим уравнение прямой AB , используя формулу (уравнение прямой, проходящей через две данные точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ) ):
Из уравнения прямой выразим y через x :
Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни "иксы":
Пусть в пространстве задана кривая
Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t () а дифференциал дуги , поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле
Аналогично, если на плоскости задана кривая
,
то криволинейный интеграл вычисляется по формуле
.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
где L - часть линии окружности
находящаяся в первом октанте.
Решение. Данная кривая - четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3 . Она соответствует значениям параметра . Так как
то дифференциал дуги
Подынтегральную функцию выразим через параметр t :
Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t , можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.
Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах
Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции "игрек", выраженной через "икс": y = y (x ) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b . Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение "игрека" через "икс" и определим дифференциал этого выражения "игрека" по "иксу": . Теперь, когда всё выражено через "икс", криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:
Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции "икс", выраженной через "игрек": x = x (y ) , . В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл
, если
а) L - отрезок прямой OA , где О (0; 0) , A (1; −1) ;
б) L - дуга параболы y = x ² от О (0; 0) до A (1; −1) .
а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке - синяя). Напишем уравнение прямой и выразим "игрек" через "икс":
.
Получаем dy = dx . Решаем данный криволинейный интеграл:
б) если L - дуга параболы y = x ² , получим dy = 2xdx . Вычисляем интеграл:
В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.
Теорема . Если функции P (x ,y ) , Q (x ,y ) и их частные производные , - непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования по линии L , находящейся в области D .
Кривая дана в параметрической форме
Пусть в пространстве дана кривая
.
а в подынтегральные функции подставим
выражения этих функций через параметр t . Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:
Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл
,
если L - часть эллипса
отвечающая условию y ≥ 0 .
Решение. Данная кривая - часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2 . Она соответствует значению параметра .
можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:
Если дан криволинейный интеграл и L - замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина .
Больше примеров вычисления криволинейных интегралов
Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл
где L - отрезок прямой между точками её пересечения с осями координат.
Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0 , получим , . Подставив x = 0 , получим , . Таким образом, точка пересечения с осью Ox - A (2; 0) , с осью Oy - B (0; −3) .
Из уравнения прямой выразим y :
.
, .
Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:
В подынтегральном выражении выделяем множитель , выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем.
Определение: Пусть в каждой точки гладкой кривой L = AB в плоскости Oxy задана непрерывная функция двух переменных f(x,y) . Произвольно разобьем кривую L на n частей точками A = М 0 , М 1 , М 2 , ... М n = B. Затем на каждой из полученых частей \(\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}\) выберем любую точку \(\bar{{M}_{i}}\left(\bar{{x}_{i}},\bar{{y}_{i}}\right)\)и составим сумму $${S}_{n}=\sum_{i=1}^{n}f\left(\bar{{x}_{i}},\bar{{y}_{i}}\right)\Delta {l}_{i}$$ где \(\Delta{l}_{i}={M}_{i-1}{M}_{i}\) - дуга дуги \(\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}\). Полученная сумма называется интегральной суммой первого рода для функции f(x,y) , заданой на кривой L.
Обозначим через d наибольшую из длин дуг \(\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}\) (таким образом, d = \(max_{i}\Delta{l}_{i}\)). Если при d ? 0 существует предел интегральных сумм S n (не зависящих от способа разбиения кривой L на части и выбора точек \(\bar{{M}_{i}}\)), то этот предел называется криволинейным интегралом первого порядка от функции f(x,y) по кривой L и обозначается $$\int_{L}f(x,y)dl$$
Можно доказать, что если функция f(x,y) непрерывна, то криволинейный интеграл \(\int_{L}f(x,y)dl\) существует.
Свойства криволинейного интеграла 1 рода
Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами, аналогичными соответствующим свойства определеннного интеграла:
- аддитивность,
- линейность,
- оценка модуля,
- теорема о среднем.
Однако есть отличие: $$\int_{AB}f(x,y)dl=\int_{BA}f(x,y)dl$$ т.е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:
- Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией y=y(x), x \(\in \) , то $${\int\limits_L {f\left({x,y} \right)dl} } = {\int\limits_a^b {f\left({x,y\left(x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left({y"\left(x \right)} \right)}^2}} dx} ;}$$ при этом выражение \(dl=\sqrt{{1 + {{\left({y"\left(x \right)} \right)}^2}}} dx \) называется дифференциалом длины дуги.
- Если крива L задана параметрически, т.е. в виде x=x(t), y=y(t), где x(t), y(t) - непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке \(\left [ \alpha ,\beta \right ]\), то $$ {\int\limits_L {f\left({x,y} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left ({x\left(t \right),y\left(t \right)} \right)\sqrt {{{\left({x"\left(t \right)} \right)}^2} + {{\left({y"\left(t \right)} \right)}^2}} dt}} $$ Это равенство распространяется на случай пространственной кривой L, заданной параметрически: x=x(t), y=y(t), z=z(t), \(t\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\). В этом случае, если f(x,y,z) - непрерывная функция вдоль кривой L, то $$ {\int\limits_L {f\left({x,y,z} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left [ {x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right)} \right ]\sqrt {{{\left({x"\left(t \right)} \right)}^2} + {{\left({y"\left(t \right)} \right)}^2} + {{\left({z"\left(t \right)} \right)}^2}} dt}} $$
- Если плоская кривая L задана полярным уравнением r=r(\(\varphi \)), \(\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] \), то $$ {\int\limits_L {f\left({x,y} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left({r\cos \varphi ,r\sin \varphi } \right)\sqrt {{r^2} + {{{r}"}^2}} d\varphi}} $$
Криволинейные интегралы 1 рода - примеры
Пример 1
Вычислить криволинейный интеграл первого рода
$$ \int_{L}\frac{x}{y}dl $$ где L дуга параболы y 2 =2x, заключенная между точками (2,2) и (8,4).
Решение: Найдем дифференциал дуги dl для кривой \(y=\sqrt{2x}\). Имеем:
\({y}"=\frac{1}{\sqrt{2x}} \) $$ dl=\sqrt{1+\left ({y}" \right)^{2}} dx= \sqrt{1+\left (\frac{1}{\sqrt{2x}} \right)^{2}} dx = \sqrt{1+ \frac{1}{2x}} dx $$ Следовательно данный интеграл равен: $$\int_{L}\frac{x}{y}dl=\int_{2}^{8}\frac{x}{\sqrt{2x}}\sqrt{1+\frac{1}{2x}}dx= \int_{2}^{8}\frac{x\sqrt{1+2x}}{2x}dx= $$ $$ \frac{1}{2}\int_{2}^{8}\sqrt{1+2x}dx = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}\left (1+2x \right)^{\frac{3}{2}}|_{2}^{8}= \frac{1}{6}(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}) $$
Пример 2
Вычислить криволинейный интеграл первого рода \(\int_{L}\sqrt{x^2+y^2}dl \), где L - окружность x 2 +y 2 =ax (a>0).
Решение: Введем полярные координаты: \(x = r\cos \varphi \), \(y=r\sin \varphi \). Тогда поскольку x 2 +y 2 =r 2 , уравнение окружности имеет вид: \(r^{2}=arcos\varphi \), то есть \(r=acos\varphi \), а дифференциал дуги $$ dl = \sqrt{r^2+{2}"^2}d\varphi = $$ $$ =\sqrt{a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi }d\varphi=ad\varphi $$.
При этом \(\varphi\in \left [- \frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2} \right ] \). Следовательно, $$ \int_{L}\sqrt{x^2+y^2}dl=a\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}acos\varphi d\varphi =2a^2 $$
1 рода.
1.1.1. Определение криволинейного интеграла 1 рода
Пусть на плоскости Оxy задана кривая (L). Пусть для любой точки кривой (L) определена непрерывная функция f(x;y). Разобьем дугу АВ линии (L) точками А=P 0 , P 1 , P n = В на n произвольных дуг P i -1 P i с длинами (i = 1, 2, n ) (рис.27)
Выберем на каждой дуге P i -1 P i произвольную точку M i (x i ; y i) , вычислим значение функции f(x;y) в точке M i . Составим интегральную сумму
Пусть , где .
λ→0 (n→∞ ), не зависящий ни от способа разбиения кривой (L )на элементарные части, ни от выбора точек M i криволинейным интегралом 1 рода от функции f(x;y) (криволинейным интегралом по длине дуги) и обозначают:
Замечание . Аналогично вводиться определение криволинейного интеграла от функции f(x;y;z) по пространственной кривой (L).
Физический смысл криволинейного интеграла 1 рода:
Если (L)- плоская кривая с линейной плоскостью , то массу кривой находят по формуле:
1.1.2. Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода:
3. Если путь интегрирования разбит на части такие что , и имеют единственную общую точку, то .
4. Криволинейный интеграл 1 рода не зависит от направления интегрирования:
5. , где - длина кривой.
1.1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода.
Вычисление криволинейного интеграла сводят к вычислению определенного интеграла.
1. Пусть кривая (L) задана уравнением . Тогда
То есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .
Пример
Вычислить массу отрезка прямой от точки А(1;1) до точки В(2;4), если .
Решение
Уравнение прямой проходящей через две точки: .
Тогда уравнение прямой (АВ ): , .
Найдём производную .
Тогда . = .
2. Пусть кривая (L) задана параметрически : .
Тогда , то есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .
Для пространственного случая задания кривой: .Тогда
То есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .
Пример
Найти длину дуги кривой , .
Решение
Длину дуги найдём по формуле : .
Для этого найдём дифференциал дуги .
Найдём производные , , .Тогда и длина дуги: .
3. Пусть кривая (L) задана в полярной системе координат: . Тогда
То есть дифференциал дуги вычислют по формуле .
Пример
Вычислить массу дуги линии , 0≤ ≤ , если .
Решение
Массу дуги найдём по формуле:
Для этого найдёмдифференциал дуги .
Найдём производную .
1.2. Криволинейный интеграл 2 рода
1.2.1. Определение криволинейного интеграла 2 рода
Пусть на плоскости Оxy задана кривая (L) . Пусть на (L) задана непрерывная функция f (x;y). Разобьем дугу АВ линии (L) точками А = P 0 ,P 1 , P n = В в направлении от точки А к точке В на n произвольных дуг P i -1 P i с длинами (i = 1, 2, n ) (рис.28).
Выберем на каждой дуге P i -1 P i произвольную точку M i (x i ; y i) , вычислим значение функции f(x;y) в точке M i . Составим интегральную сумму , где - длина проекции дуги P i -1 P i на ось Оx . Если направление движения вдоль проекции совпадает с положительным направлением оси Оx , то проекцию дуг считают положительной , иначе - отрицательной .
Пусть , где .
Если существует предел интегральной суммы при λ→0 (n→∞ ), не зависящий ни от способа разбиения кривой (L) на элементарные части, ни от выбора точек M i в каждой элементарной части, то этот предел называют криволинейным интегралом 2 рода от функции f(x;y) (криволинейным интегралом по координате х ) и обозначают:
Замечание. Аналогично вводится криволинейный интеграл по координате у:
Замечание. Если (L) - замкнутая кривая, то интеграл по ней обозначают
Замечание. Если на (L ) задано сразу три функции и от этих функций существуют интегралы , , ,
то выражение: + + называют общим криволинейным интегралом 2 рода и записывают:
1.2.2. Основные свойства криволинейного интеграла 2 рода:
3. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2 рода изменяет свой знак .
4. Если путь интегрирования разбит на части такие что , и имеют единственную общую точку, то
5. Если кривая (L ) лежит в плоскости:
Перпендикулярной оси Ох , то =0 ;
Перпендикулярной оси Oy , то ;
Перпендикулярной оси Oz , то =0.
6. Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).
1.2.3. Физический смысл криволинейного интеграла 2 рода.
Работа А силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки М в точку N вдоль (MN ) равна:
1.2.4. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.
Вычисление криволинейного интеграла 2 рода сводят к вычислению определенного интеграла.
1. Пусть кривая (L ) задана уравнением .
Пример
Вычислить, где (L )- ломаная OAB : O(0;0), A(0;2), B(2;4).
Решение
Так как (рис.29), то
1)Уравнение (OA) : , ,
2) Уравнение прямой (AB ): .
2. Пусть кривая (L) задана параметрически: .
Замечание. В пространственном случае:
Пример
Вычислить
Где (АВ)- отрезок от А(0;0;1) до B(2;-2;3).
Решение
Найдём уравнение прямой (АВ ):
Перейдём к параметрической записи уравнения прямой (АВ) . Тогда .
Точке A(0;0;1) соответствует параметр t равный: следовательно, t=0.
Точке B(2;-2;3) соответствует параметр t , равный: следовательно, t=1.
При перемещении от А к В ,параметр t меняется от 0 до 1 .
1.3. Формула Грина . L ) в т. М(х;у;z) с осями Оx, Оy, Oz
Похожие статьи