Скатывание тел с наклонной плоскости. Скатывание тел с наклонной плоскости Описание установки и метода измерений

Стерлитамак

Исследование скатывания тел по наклонной плоскости

Цель работы: приобрести некоторые навыки самостоятельного исследования физических явлений и обработки полученных результатов.

Оборудование и принадлежности: наклонная плоскость (трибометр), линейка масштабная, набор тел, весы, секундомер.

Задание. Исследовать скатывание цилиндров и шара по наклонной плоскости.

Примечание: если цилиндр или шар скатывается по наклонной плоскости, расположенной под небольшим углом к горизонту, то скатывание происходит без проскальзывания. Если угол наклона плоскости превысит некоторое предельное значение, то скатывание будет происходить с проскальзыванием.

При выполнении задания необходимо определить тот предельный угол, при котором скатывание тел начнет происходить с проскальзыванием. По результатам исследования составить отчет, в котором отразить методику исследования, предоставить таблицу результатов наблюдений и дать объяснение, почему при угле, превышающем некоторое значение, скатывание тел происходит с проскальзыванием.

Кроме того, в задачу входит определение момента инерции цилиндров и шара no результатам наблюдений скатывания их с наклонной плоскости.

Краткая теория

Положим, цилиндр катится по наклонной плоскости без скольжения. На цилиндр действуют внешние силы: сила тяжести , сила трения , и сила реакции со стороны плоскости . Движение рассматриваем как поступательное со скоростью, равной скорости центра масс, и вращательное относительно оси, проходящей через центр масс.

Уравнение для движения центра масс шара (цилиндра)

или в скалярном виде в проекциях:

на ось OX: .

на ось ОУ:

Уравнение моментов относительно оси

При отсутствии проскальзывания

Найдем ускорение, которое приобретает цилиндр под действием указанных сил. Оно может быть найдено путем использования выражения для кинетической энергии катящегося тела

(1)

где - масса шара (цилиндра), - скорость поступательного движения центра масс, - момент инерции шара, относительно оси вращения, - угловая скорость вращения, относительно оси вращения.

Изменение кинетической энергии тела равно работе внешних сил, действующих на тело. Элементарная работа силы трения и реакции, плоскости равна нулю, т.к. линии действия их проходят через мгновенную ось вращения (). Следовательно, изменение кинетической энергии тела происходит только за счёт работы силы тяжести

где - конечная скорость центра масс в конце наклонной плоскости, - начальная скорость, она равна нулю, поэтому

(6)

где - время скатывания тела по наклонной плоскости, - радиус шара (цилиндра), - масса шара (цилиндра), - угол наклона плоскости к горизонту, - длина наклонной плоскости.

Измерив указанные выше величины, можно вычислить момент инерции скатывающегося цилиндра. Он может быть сплошным, пустотелым, с канавками на его образующей поверхности и т.д. Формула (9): справедлива и для цилиндров и для шара.

Эксперимент с каждым из тел проводить не менее трех раз. Результаты наблюдений и вычислений занести в таблицу 1.

Таблица 1

№ п/п	Форма скатывающегося тела	Масса , кг	Радиус , м	Длина наклонной плоскости (м)	Время скатывания, с	Момент инерции , кг·м 2

Определить для каждого случая погрешность при определении .

Определите значение момента инерции для каждого тела теоретически. Сравните значение момента инерции тел определенных теоретически и из эксперимента и в случае их несовпадения объясните причину.

Контрольные вопросы

1. Дать определение момента сил. Записать в векторной форме. Как направлен момент сил относительно силы? Что такое радиус-вектор действия силы? Нарисовать и показать на рисунке.

2.Какое направление имеют угловое ускорение, угловая скорость?

3. Дать определение момента инерции материальной точки и абсолютно твердого тела. Физический смысл инерции.

4. Вывести момент инерции шара и цилиндра.

5. Доказать теорему Штейнера.

6. Сформулировать закон сохранения энергии при вращательном движении.

7. Вывести формулу дня расчета кинетической энергии с учетом вращения тела.

8. Вывести закон сохранения момента импульса системы тел.

9. Дать определение центра масс системы теп.

10.Сформулировать условие, при которых тело скатывается без проскальзывания и вывести формулы, используемые в расчете.

11.Сформулировать законы динамики для вращательного движения и вывести их для.материальной точки и для абсолютно твердого тела.

12.Объясните, как рассчитывали погрешность измерений в работе.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФИЛИАЛ ФГБОУ ВПО «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В ГОРОДЕ СТЕРЛИТАМАКЕ

Методические указания

к лабораторной работе по курсу общей физики

раздел: раздел: «Механика. Механические колебания. Статистическая физика и термодинамика»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

Определение коэффициента
внутреннего трения жидкостей

Стерлитамак

Цель работы: определить коэффициент внутреннего трения неизвестной жидкости по методу Стокса.

Приборы и оборудование: стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью, секундомер, шарики разного диаметра, микрометр.

Краткая теория

На всякое тело, двигающееся в вязкой жидкости, действует сила сопротивления. В общем случае величина этой силы зависит от многих факторов: от внутреннего трения жидкости, от формы тела, от характера обтекания и т.д.

Сила внутреннего трения, возникающая при макроскопических движениях в жидкости, прямо пропорциональна градиенту скорости. Коэффициент пропорциональности носит название коэффициента внутреннего трения, или просто вязкости жидкости. Вязкость (или динамическая вязкость) численно равна силе внутреннего трения, действующей на единицу площади границы раздела параллельно движущихся слоев жидкости, когда скорость их движения уменьшается на единицу при перемещении в направлении, перпендикулярном к границе, на единицу длины, т.е.~ при .

(1)

Закон (1) был получен Ньютоном из анализа экспериментальных данных и явился основой при изучении движения вязкой жидкости и газа.

Рассмотрим для примера равномерное движение маленького шарика радиуса вжидкости.

Обозначим скорость шарика относительно жидкости через .

Распределение скоростей в соседних слоях жидкости, увлекаемых шариком, должно иметь вид, изображенный на рисунке 1. В непосредственной близости к поверхности шара эта скорость равна , а по мере удаления уменьшается и практически становится равной нулю на некотором расстоянии от поверхности. Очевидно, что чем больше радиус шара, тем больше масса жидкости вовлекается им в движение, и должно быть пропорционально

Поверхность шара и полная сила трения, испытываемая движущимся шаром, равна

Формула (5) носит название закона Стокса.

Формула Стокса применима лишь в случае тел достаточно малых размеров и малых скоростей их движения. При больших скоростях вокруг движущихся тел возникают сложные вихревые движения жидкости, и сила сопротивления возрастает пропорционально квадрату скорости, а не первой его степени.

Роль трения характеризуется безразмерной величиной, называемой числом Рейнольдса :

где - линейные размеры, характерные для рассматриваемого течения жидкости. В случае течения жидкости по трубе - радиус трубы, - средняя скорость. Отношение называется кинематическим коэффициентом вязкости.

Для того, чтобы пояснить роль числа Рейнольдса, рассмотрим элемент объема жидкости с длиной ребра . Кинетическая энергия этого объема равна:

Сила трения, действующая на элемент объема жидкости, пропорциональна его поверхности , коэффициенту вязкости и градиенту скорости. Полагая, что скорость падает до нуля на расстоянии равном по порядку величины (в случае течения по трубе – в радиальном направлении), получим, что градиент скорости равен . Таким образом, сила трения

Роль трения при течении жидкости мала, если работа мала по сравнению с кинетической энергией объема жидкости , то есть если выполняется неравенство

Но - Re есть число Рейнольдса.

Таким образом, роль сил трения при течении жидкости мала при больших числах Рейнольдса.

Рассмотрим свободное падение шарика в вязкой жидкости.На шарик действует 3 силы: сила тяжести, архимедова сила, сила сопротивления, зависящая от скорости. Найдем уравнение движения шарика в жидкости.По второму закону Ньютона

где - объем шарика; - его плотность; - плотность жидкости; - ускорение силы тяжести.

Решая это уравнение, найдем

(9)

Как видно из (7), скорость шарика экспоненциально приближается к установившейся скорости . Установление скорости определяется величиной , имеющей размерность времени и называющейся временем релаксации. Если время падения в несколько раз больше времени релаксации, процесс установления скорости можно считать закончившимся.

Измеряя на опыте установившуюся скорость падения шарика и величины , можно определить коэффициент внутреннего трения жидкости по формуле

(10)

следующей из (8).

Указание: шарики с разными радиусами движутся в жидкости с равными скоростями и с разными временами релаксации. Если во всем диапазоне встречающихся скоростей и времен релаксации вычисленные по формуле (10) значения оказываются одинаковыми то формула (5) правильно передает зависимость сил от радиуса шарика. Зависимость или независимость от служит чувствительным индикатором правильности теории и надежности эксперимента. Результаты опыта имеет смысл обрабатывать лишь в том случае, если значение не обнаруживает систематической зависимости от . Если такая зависимость наблюдается, то чаще всего это связано с влиянием стенок сосуда.

3. Что характеризует собой число Рейнольдса?

4. Ламинарное и турбулентное течение и их связь с числом Рейнольдса.

5. Каковы границы применимости закона Стокса?

6. Какие методы определения силы трения существуют?

7. Как объяснить механизм явления вязкого трения?

8. От каких физических величин зависит трение?

9. Какие преобразования энергии происходят при движении тел с учетом силы трения?

10. Чему равна величина силы трения покоя, скольжения?

11. Расскажите о трении скольжения, покоя, вязкого трения и трения качения.

12. Почему трение скольжения больше трения качения?

13. Почему вязкое трение меньше трения скольжения?

14. Как трение проявляется в природе? Когда оно играет положительную, отрицательную роль? Как избавиться от трения?

1) Трофимова Т.И. Курс физики: учебное пособие для инженерно-технических специальностей вузов - М.: Academia, 2006.

2) Александров И.В. и др. Современная физика [Электронный ресурс]: учебное пособие для студентов всех форм обучения, обучающихся по техническим и технологическим направлениям и специальностям - Уфа: УГАТУ, 2008.

3) Гринкруг М.С., Вакулюк А.А. Лабораторный практикум по физике [Электронный ресурс] - СПб: Лань, 2012.

4) Калашников Н. П. Основы физики: учебник для вузов: в 2-х т / Н. П. Калашников, М. А. Смондырев - М.: Дрофа, 2007.

С тем, чтобы проиллюстрировать применение законов динамики твёрдого тела, решим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости (рис. 10.5).

Сплошной цилиндр массы m и радиуса R скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости - a, а высота Н (Н » R ). Начальная скорость цилиндра равна нулю. Определим время скатывания - Т и скорость центра масс цилиндра у основания наклонной плоскости.

При качении цилиндра на него действуют три силы: сила тяжести , упругая сила реакции опоры и сила трения покоя (ведь качение без проскальзывания!).

Представим это движение суммой двух движений: поступательного со скоростью V C , с которой движется ось цилиндра, и вращательного вокруг оси цилиндра с угловой скоростью w.

Рис. 10.5

Эта связь скоростей поступательного и вращательного движений следует из условия «движение без проскальзывания».

Продифференцировав уравнение (10.9) по времени, получим соотношение углового и линейного ускорений цилиндра:

То есть .

Воспользовавшись теоремой о движении точки центра масс, опишем поступательное движение цилиндра:

Для описания вращения воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения:

M C = I C × e. (10.11)

Спроецировав уравнение (10.10) на направления осей x и y , получим два скалярных уравнения:

x : mg Sina – F тр = ma C ; (10.12)

y : N – mg сosa = 0. (10.13)

Обратимся теперь к уравнению (10.11). Из трёх названных сил момент относительно оси цилиндра создаёт только сила трения:

Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси равен (см. лекцию №9):

Учитывая всё это, уравнение (10.11) перепишем так:

Решая совместно уравнения (10.12) и (10.14), получим следующие значения неизвестных величин:

Из уравнения (10.15) следует, что с увеличением угла наклона a должна возрастать и сила трения покоя F тр. Но, как известно, её рост ограничен предельным значением:

Так как сила трения покоя (10.15) не может превышать предельного значения (10.17), то должно выполняться неравенство:

⅓mg Sina ≤ mmg Cosa.

Отсюда следует, что скатывание будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угол a не превзойдёт значения a пред:

a пред = arctg3m.

Здесь m - коэффициент трения цилиндра по плоскости.

Линейное ускорение цилиндра (10.16) величина неизменная, следовательно, поступательное движение цилиндра равноускоренное. При таком движении без начальной скорости цилиндр достигнет основания наклонной плоскости за время:

Здесь: l = - длина плоскости;

a =, (см.10.16).

Значит, время скатывания:

Вычислим конечную скорость поступательного движения оси цилиндра:

Заметим, что эту задачу можно решить проще, воспользовавшись законом сохранения механической энергии.

В системе, правда, присутствует сила трения, но её работа равна нулю, поскольку точка приложения этой силы в процессе спуска остаётся неподвижной: ведь движение происходит без проскальзывания. Раз нет работы силы трения, механическая энергия системы не меняется.

Рассмотрим энергию цилиндра в начальный момент - на высоте h и в конце спуска. Полная энергия цилиндра в этих положениях одинакова:

Вспомним, что и . Тогда уравнение закона сохранения энергии можно переписать так:

Отсюда легко найдём конечную скорость цилиндра:

которая блестяще подтверждает полученный нами ранее результат (10.19).

Лекция 11 «Элементы механики жидкости»

План лекции

1. Давление жидкости. Законы гидростатики.

2. Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности потока.

3. Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

4. Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики.

4.1. Истечение жидкости из сосуда.

4.2. Манометрический расходомер.

В. М. Зражевский

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №

СКАТЫВАНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ

Цель работы: Проверка закона сохранения механической энергии при скатывании твердого тела с наклонной плоскости.

Оборудование: наклонная плоскость, электронный секундомер, цилиндры разной массы.

Теоретические сведения

Пусть цилиндр радиуса R и массой m скатывается с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом (рис. 1). На цилиндр действуют три силы: сила тяжести P = mg , сила нормального давления плоскости на цилиндр N и сила трения цилиндра о плоскость F тр. , лежащая в этой плоскости.

Цилиндр участвует одновременно в двух видах движения: поступательном движении центра масс O и вращательном движении относительно оси, проходящей через центр масс.

Так как цилиндр во время движения остается на плоскости, то ускорение центра масс в направлении нормали к наклонной плоскости равно нулю, следовательно

P ∙cosα − N = 0. (1)

Уравнение динамики поступательного движения вдоль наклонной плоскости определяется силой трения F тр. и составляющей силы тяжести вдоль наклонной плоскости mg ∙sinα:

ma = mg ∙sinα − F тр. , (2)

где a – ускорение центра тяжести цилиндра вдоль наклонной плоскости.

Уравнение динамики вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс имеет вид

I ε = F тр. R , (3)

где I – момент инерции, ε – угловое ускорение. Момент силы тяжести и относительно этой оси равен нулю.

Уравнения (2) и (3) справедливы всегда, вне зависимости от того, движется цилиндр по плоскости со скольжением или без скольжения. Но из этих уравнений нельзя определить три неизвестные величины: F тр. , a и ε, необходимо еще одно дополнительное условие.

Если сила трения имеет достаточную величину, то качение цилиндра по наклонной происходит без скольжения. Тогда точки на окружности цилиндра должны проходить ту же длину пути, что и центр масс цилиндра. В этом случае линейное ускорение a и угловое ускорение ε связаны соотношением

a = R ε. (4)

Из уравнения (4) ε = a /R . После подстановки в (3) получаем

. (5)

Заменив в (2) F тр. на (5), получаем

. (6)

Из последнего соотношения определяем линейное ускорение

. (7)

Из уравнений (5) и (7) можно вычислить силу трения:

. (8)

Сила трения зависит от угла наклона α, силы тяжести P = mg и от отношения I /mR 2 . Без силы трения качения не будет.

При качении без скольжения играет роль сила трения покоя. Сила трения при качении, как и сила трения покоя, имеет максимальное значение, равное μN . Тогда условия для качения без скольжения будут выполняться в том случае, если

F тр. ≤ μN . (9)

Учитывая (1) и (8), получим

, (10)

или, окончательно

. (11)

В общем случае момент инерции однородных симметричных тел вращения относительно оси, проходящей через центр масс, можно записать как

I = kmR 2 , (12)

где k = 0,5 для сплошного цилиндра (диска); k = 1 для полого тонкостенного цилиндра (обруча); k = 0,4 для сплошного шара.

После подстановки (12) в (11) получаем окончательный критерий скатывания твердого тела с наклонной плоскости без проскальзывания:

. (13)

Поскольку при качении твердого тела по твердой поверхности сила трения качения мала, то полная механическая энергия скатывающегося тела постоянна. В начальный момент времени, когда тело находится в верхней точке наклонной плоскости на высоте h , его полная механическая энергия равна потенциальной:

W п = mgh = mgs ∙sinα, (14)

где s – путь, пройденный центром масс.

Кинетическая энергия катящегося тела складывается из кинетической энергии поступательного движения центра масс со скоростью υ и вращательного движения со скоростью ω относительно оси, проходящей через центр масс:

. (15)

При качении без скольжения линейная и угловая скорости связаны соотношением

υ = R ω. (16)

Преобразуем выражение для кинетической энергии (15), подставив в него (16) и (12):

Движение по наклонной плоскости является равноускоренным:

. (18)

Преобразуем (18) с учетом (4):

. (19)

Решая совместно (17) и (19), получим окончательное выражение для кинетической энергии тела, катящегося по наклонной плоскости:

. (20)

Описание установки и метода измерений

Исследовать качение тела по наклонной плоскости можно с помощью узла «плоскость» и электронного секундомера СЭ1, входящих в состав модульного учебного комплекса МУК-М2.

У
становка представляет собой наклонную плоскость 1, которую с помощью винта 2 можно устанавливать под разными углами α к горизонту (рис. 2). Угол α измеряется с помощью шкалы 3. На плоскость может быть помещен цилиндр 4 массой m . Предусмотрено использование двух роликов разной массы. Ролики закрепляются в верхней точке наклонной плоскости с помощью электромагнита 5, управление которым осуществляется с помощью

электронного секундомера СЭ1. Пройденное цилиндром расстояние измеряется линейкой 6, закрепленной вдоль плоскости. Время скатывания цилиндра измеряется автоматически с помощью датчика 7, выключающего секундомер в момент касания роликом финишной точки.

Порядок выполнения работы

1. Ослабив винт 2 (рис. 2), установите плоскость под некоторым углом α к горизонту. Поместите ролик 4 на наклонную плоскость.

2. Переключите тумблер управления электромагнитами механического блока в положение «плоскость».

3. Переведите секундомер СЭ1 в положение режим 1.

4. Нажмите кнопку «Пуск» секундомера. Измерьте время скатывания.

5. Повторите опыт пять раз. Результаты измерений запишите в табл. 1.

6. Вычислите значение механической энергии до, и после скатывания. Сделайте вывод.

7. Повторите п. 1-6 для других углов наклона плоскости.

Таблица 1

	t i , c	(t i − <t >) 2	пути s , м	Угол наклона	ролика, кг	W п, Дж	W к, Дж





t (a,n )	<t >	å(t i – <t >) 2	Δs , м		Δm , кг

8. Повторите опыт п. 1-7 для второго ролика. Результаты запишите в табл. 2, аналогичную табл. 1.

9. Сделайте выводы по всем результатам работы.

Контрольные вопросы

1. Назовите виды сил в механике.

2. Объяснить физическую природу сил трения.

3. Что называется коэффициентом трения? Его размерность?

4. Какие факторы влияют на величину коэффициента трения покоя, скольжения, качения?

5. Описать общий характер движения твердого тела при качении.

6. Как направлен момент силы трения при качении по наклонной плоскости?

7. Записать систему уравнений динамики при качении цилиндра (шара) по наклонной плоскости.

8. Вывести формулу (13).

9. Вывести формулу (20).

10. Шар и цилиндр с одинаковыми массами m и равными радиусами R одновременно начинают скатываться по наклонной плоскости с высоты h . Одновременно ли они достигнут нижней точки (h = 0)?

11. Объяснить причину торможения катящегося тела.

Библиографический список

1. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – § 41–43.

2. Хайкин, С. Э. Физические основы механики / С. Э. Хайкин. – М: Наука, 1971. – § 97.

3. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М: Высш. шк., 1990. – § 16–19.

Скорость скольжения точки соприкосновения тела с поверхностью равна, очевидно, разности линейной скорости точек поверхности круглого тела и скорости поступательного движения тела:

К моменту времени

скорость скольжения становится равной нулю и наступает режим чистого качения.

В режиме чистого качения выполняется равенство

Длина участка стабилизации качения равна

Количество выделяющейся теплоты можно определить, используя закон сохранения энергии или вычислив работу момента силы трения:

Отметим, что скорость установившегося поступательного движения u с и выделившееся количество теплоты Q не зависят от величины коэффициента трения скольжения m .

Задача 44. По наклонной плоскости катится круглое тело без скольжения. Плоскость наклонена к горизонту под углом a . Пренебрегая трением качения и сопротивлением воздуха, определите ускорение скатывающегося тела. При каких значениях коэффициента трения m возможно качение без скольжения?

Решение. Рассмотрим энергетическое решение. Так как тело катится без скольжения, а сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь, то при движении тела сохраняется его механическая энергия. Вначале тело покоится, и его механическая энергия равна потенциальной энергии mgh , а после скатывания механическая энергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения:

где J c =CmR 2 – момент инерции круглого тела относительно оси, проходящей через центр инерции, m – масса тела (С – формпараметр), u с –скорость центра инерции тела, w – угловая скорость вращения тела (R –радиус круглого тела).

Так как тело катится без скольжения, скорость центра инерции u с и угловая скорость вращения тела w связаны соотношением u с =wR (см. задачу 43).

Из уравнения (1) для скорости центра инерции тела u с после скатывания находим

где h – высота, с которой скатывается тело.

Центр инерции тела движется с ускорением

так как S=h/sina , u с (0)=0 .

Вопрос о значении величины коэффициента трения m энергетически не решается.

Рассмотрим динамическое решение задачи. На тело действует сила тяжести , сила реакции и сила трения покоя (см. рисунок). Под действием этих сил тело вращается и двигается поступательно согласно уравнениям динамики:

Исключая из системы уравнений (4) и (5) силу трения с учетом, что u с =wR и J c =CmR 2 , получаем формулу для расчета ускорения центра инерции тела (3) .

Рассмотрим вопрос об оценке значения коэффициента трения m .

Выразим из системы уравнений (4) и (5) силу трения

Сила трения покоя ограничена максимальным значением

F тр max =mN=mmgsina.

Из условия F тр £F тр max получаем соотношение, ограничивающее значение коэффициента трения

Качение без скольжения для заданного значения коэффициента трения m возможно для углов наклона a , удовлетворяющих условию

Задача 45. Круглое тело радиусом r катится без скольжения по наклонной плоскости, которая плавно переходит в цилиндрическую поверхность радиусом R . С какой минимальной высоты необходимо скатить тело, чтобы оно могло преодолеть препятствие в форме “мертвой петли“ ? Сопротивлением воздуха и трением качения пренебречь.

Решение. Скорость центра инерции круглого тела в точке А

(см. задачу 44).

Движение по внутренней поверхности цилиндра описывается системой уравнений динамики:

где J c =Cmr 2 – момент инерции круглого тела относительно собственной оси вращения (m – масса тела, С – формпараметр).

К уравнениям (1)-(3) следует добавить соотношение, связывающее скорость поступательного движения тела и угловую скорость вращения при отсутствии скольжения:

Из уравнений (1) и (3) с учетом (4) находим уравнение для скорости поступательного движения тела

Проинтегрируем последнее уравнение (см. задачу 32), учитывая, что u=u A при j=0.

Проанализируем физическую ситуацию в критической точке В. Тело должно дойти до точки В и не оторваться от нее.

Из основного уравнения динамики (2) для точки В

видно, что сила реакции N B определяется скоростью поступательного движения в этой точке. Тело не отрывается в точке В , если N B >0 . Минимальную скорость тела в точке В , при которой оно не отрывается от данной точке, оценим, положив N B =0:

Из формулы (5) для минимальной высоты спуска получаем

Этот же результат можно получить из энергетических соображений (убедитесь в этом).

Задача 46. Профиль края горизонтального стола скруглен в полуокружность радиусом R . Круглое тело радиусом r катится по столу без скольжения со скоростью u 0 . Пренебрегая трением качения и сопротивлением воздуха, определите место отрыва тела от поверхности стола и скорость тела в момент отрыва.

Решение. При движении тела по горизонтальной поверхности стола скорость поступательного движения и угловая скорость вращения w=u 0 /r не изменяются.

Движение тела по скруглению описывается уравнениями динамики:

где J c =Cmr 2 , u c =wr (см. задачи 44, 45).

Решая систему уравнений (1) – (3) с учетом начального условия u=u 0 при j=0, находим

Скорость поступательного движения тела u c увеличивается с ростом полярного угла j , а сила реакции N уменьшается. В точке отрыва N=0 . Отсюда получаем соотношение для определения полярного угла, соответствующего точке отрыва:

Скорость поступательного движения тела в момент отрыва равна

Полученные выражения для j oтр и u oтр содержат множество частных случаев (убедитесь в этом).

Интерес представляет проверка предположения о качении без скольжения. Такое качение возможно, если сила трения покоя не превосходит в любой точке максимальной силы трения покоя:

Проведите самостоятельно этот анализ.

Задача 47. Человек, масса которого m 1 =65кг , переходит с края вращающейся платформы в ее середину. Считая платформу однородным кругом, а человека материальной точкой, оцените изменения кинетической энергии системы. Масса и радиус платформы соответственно равны m 2 =210 кг , R=2,1м . Начальная угловая скорость вращения системы равна w 0 =2,3рад/с

Решение. Вопрос: “Будет ли изменяться кинетическая энергия системы?”

Для указанных в условии задачи приближениях систему платформа – человек можно считать изолированной. Поэтому при переходе человека в центр платформы будет сохраняться момент импульса системы относительно оси вращения платформы:

где J 0 =J(1+2m 1 /m 2 ), J=0,5m 2 R 2 – момент инерции платформы относительно собственной оси вращения, w -угловая скорость вращения системы после перехода человека в центр платформы.

Кинетическая же энергия системы при этом не сохраняется. Чтобы сохранялась механическая энергия, одного требования изолированности системы недостаточно. Система взаимодействующих тел должна быть еще и консервативной.

Консервативна ли наша система? Человек имеет возможность передвигаться относительно платформы только благодаря наличию силы трения. Сила трения покоя позволяет мышечной энергии человека превращаться в кинетическую энергию вращения. Наша система неконсервативная. Кинетическая энергия системы возрастает за счет биоэнергии человека. При переходе в центр платформы человек за счет силы энергии покоя “раскручивает” платформу.

Приращение кинетической энергии можно найти, вычислив работу, связанную с переходом человека в центр платформы, или как разницу кинетических энергий системы:

Здесь учтено, что L=L 0 =J 0 w 0 .

Отметим, что человек может передвигаться по платформе, если коэффициент трения удовлетворяет условию m³w 0 2 R/g .

Задача 48. На краю вращающейся платформы находится шайба массой m 1 =0,21кг . К шайбе одним концом привязана нерастяжимая нить, другой конец которой пропущен через небольшое отверстие в центре платформы. С помощью нити шайбу перемещают в центр платформы. Коэффициент трения между шайбой и платформой равен m=0,4 . Оцените работу, затраченную на перемещение шайбы, пренебрегая ее размерами, трением в оси платформы и сопротивлением воздуха. Радиус и масса платформы соответственно равны R=0,57м , m 2 =5,6кг .

Решение. Хотя рассматриваемая система не является изолированной, тем не менее к ней можно применить закон сохранения момента импульса, так как момент силы натяжения нити относительно оси вращения равен нулю. Поэтому можно записать

где J 0 =J(1+2 m 1 /m 2), J=0,5m 2 R 2 .

Кинетическая энергия системы при этом возрастает на величину (см. задачу 47)

Работа по перемещению шайбы равна сумме приращения кинетической энергии системы и работы силы трения:

A=DK+mmgR=23,5Дж.

Эту же работу можно вычислить непосредственно по формуле работы:

где F=mm 1 g+ m 1 w 2 x – сила, приложенная к нити ( – угловая скорость вращения системы).

Задача 49. Человек идет по краю круглой платформы и возвращается в исходную точку. Считая человека точкой, а платформу однородным диском, оцените, на какой угол повернется платформа. Масса человека и платформы соответственно равны m 1 =75кг , m 2 =150кг . Трением в оси платформы и сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. При передвижении человека по краю платформы сама платформа с человеком будет вращаться относительно Земли в противоположную сторону движения человека относительно платформы. Для простоты предположим, что человек движется по краю платформы равномерно с угловой скоростью w / относительно платформы. При этом платформа будет вращаться относительно Земли с угловой скоростью w пл, а человек – с угловой скоростью, равной сумме

Для определения угла поворота платформы воспользуемся законом сохранения момента импульса:

Jw+J пл w пл =0,

где J=m 1 R 2 , J пл =0,5m 2 R 2 – моменты инерции человека и платформы.

Откуда для угловой скорости вращения платформы получаем

Умножив последнее соотношение на время движения, для угла поворота платформы находим

Знак “ – “ указывает на то, что платформа поворачивается в обратную сторону движения человека по краю платформы.

Угол поворота не зависит от характера движения человека по краю платформы.

Задача 50. Однородный стержень массой m=250г и длиной l=1,2м подвешен за один из концов. Небольшое тело массой m 0 =120г движется горизонтально со скоростью u 0 =4,2м/с , сталкивается так, что стержень после столкновения отклоняется на максимально возможный угол. Определите место столкновения тела со стержнем (расстояние от точки подвеса до точки столкновения) и угол отклонения стержня, считая столкновение абсолютно упругим, пренебрегая сопротивлением воздуха и трением в оси.

Решение. Воспользуемся законом сохранения момента импульса и механической энергии

где J=(1/3)ml 2 – момент инерции стержня относительно точки подвеса, P 0 =m 0 u 0 , P=m 0 u – импульсы тела до и после столкновения, L – момент импульса стержня после столкновения.

Из уравнений (1) и (2) для неизвестных P и L находим

Как видно, значения P и L зависят от координаты места столкновения. Функция L(x) имеет максимум. Из условия экстремума получаем

Максимальный момент импульса, который получает стержень при столкновении, равен

При этом импульс тела после столкновения равен нулю (убедитесь в этом).

Отклонение стержня в однородном поле тяжести Земли после столкновения можно оценить, решая динамическую задачу или используя закон сохранения механической энергии.

Для расчета угла отклонения стержня получается следующее соотношение:

После вычислений получаем x m =1,0 м , j=73 0 .

Задачи для самостоятельного решения
(Поступательное и вращательное движения твердого тела)

1 . Маховик, масса которого m=5,2кг распределена по ободу, свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 720об/мин . При торможении маховик останавливается через 20с . Определите тормозящий момент, если радиус маховика равен 36см (2,5Нм) .

2 . На однородный цилиндр массой 5,1кг намотана нерастяжимая нить, к концу которой прикреплен груз массы 0,25кг . В момент времени t=0 система пришла в движение. Определите кинетическую энергию всей системы к моменту времени 3,3с (2Дж).

3 . На неподвижный блок намотана нерастяжимая нить, к концу которой прикреплен груз массой 1,7кг . Определите, с каким ускорением будет падать груз, если масса блока равна 2,2кг . Блок считать однородным диском. Сопротивлением воздуха и трением в оси блока пренебречь (6,1м/с 2) .

4 . На неподвижный блок намотана нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы массами 1,6кг и 1,2кг . Определите кинетическую энергию системы через 1,8с после начала движения. Масса блока 3,2кг . Блок считать однородным диском. Нить не проскальзывает по блоку. Сопротивлением воздуха и трением в оси пренебречь (15Дж) .

5 . На неподвижный блок, масса которого равна 25кг, намотана веревка. На веревке висит обезьяна, которая пытается взобраться по ней вверх. С каким ускорением движется веревка, если обезьяна все время остается на одной и той же высоте от пола? Масса обезьяны 5,0кг . Трением в оси блока и массой веревки можно пренебречь (4,0м/с 2) .

6 . Система тел (см. рисунок) движется с ускорением 1,4м/с 2 ,массы грузов m 2 =2,3кг , m б =1,6кг , коэффициент трения m=0,2 . Нить нерастяжима и не проскальзывает по блоку. Пренебрегая сопротивлением воздуха и трением в оси блока, определите массу m 1 . Блок считать однородным диском (1,0кг) .

7 . Связанная система состоит из трех тел (см. рисунок): неподвижного блока массой m 2 =1,8кг , подвижного блока массой m 3 =2,0кг и груза массой m 1 =1,5кг . Определите, с каким ускорением падает груз, если нить нерастяжима и не проскальзывает по блокам (1,6м/с 2) .

8 . Хоккейную шайбу раскрутили до угловой скорости 31рад/с и положили плашмя на лед. Определите время торможения шайбы, если масса и радиус шайбы соответственно равны 0,21кг и 3,2см. Коэффициент трения между шайбой и льдом равен 0,13 (0,57с).

9 . Шар, вращающийся вокруг собственной оси с частотой 10об/с, поставили на горизонтальную поверхность. Определите угловую скорость качения шара и долю ее начальной кинетической энергии, которая превращается в теплоту (18 рад/с, 71%).

10 . Полый тонкостенный цилиндр, вращающийся с угловой скоростью 15рад/с , поставили на горизонтальную поверхность. За какое время цилиндр пройдет расстояние 5,7м , если его радиус равен 12см , а коэффициент трения между цилиндром и горизонтальной поверхностью равен 0,25 ( 6,6с).

11 . Горизонтальная поверхность плавно переходит в плоскую горку с углом наклона a=25 0 к горизонту. Однородный цилиндр, вращающийся с угловой скоростью 45рад/с , поставили на горизонтальную поверхность вдали от подножия горки. Определите, на какую высоту вкатится цилиндр, если коэффициент трения между цилиндром и поверхностью всюду равен 0,2 . Радиус цилиндра равен 13см (29см).

12 . Однородный шар спускается по наклонной плоскости с высоты 1,5м . Угол наклона плоскости к горизонту равен 33 0 . Коэффициент трения между шаром и плоскостью всюду, включая горизонтальную поверхность, равен 0,15 . Определите установившуюся скорость качения шара по горизонтальной поверхности, если трением качения и сопротивлением воздуха можно пренебречь(4,5м/с).

13 . Однородный цилиндр движется по наклонной плоскости с некоторой высоты без начальной скорости. Плоскость наклонена к горизонту под углом 26 0 . Коэффициент трения между телом и плоскостью равен 0,1 . Определите отношение кинетической энергии в конце спуска к начальному значению потенциальной энергии тела. Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь (0,9) .

14 . С какой минимальной высоты необходимо скатить шарик радиусом r=1,1см , чтобы он смог преодолеть барьер в форме “мертвой петли” радиусом R=13см ? Шарик катится без скольжения. Сопротивлением воздуха и трением качения пренебречь(33см).

15. Полый тонкостенный цилиндр катится по горизонтальной поверхности, которая плавно переходит в цилиндрическую, без скольжения. При какой минимальной скорости поступательного движения цилиндр прокатится по цилиндрической поверхности, не выпадая, если радиус цилиндрической поверхности равен 41см , а радиус полого цилиндра 2,0см . Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь (3,4м/с) .

16 . Наклонная плоскость плавно переходит в цилиндрическую поверхность радиусом R=1,2м . Шарик скатывается без скольжения по наклонной плоскости с высоты 2,5м без начальной скорости. Определите высоту точки отрыва шарика от поверхности цилиндра. Радиус шарика равен 0,15м . Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь (1,9м).

17 . Диск катится без скольжения по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 27 0 , плавно переходящей в цилиндрическую поверхность радиусом кривизны 25см . Определите минимальную высоту, с которой необходимо скатить диск, чтобы он оторвался от поверхности на линии перехода наклонной плоскости в цилиндрическую поверхность. Радиус диска равен 5см (0,2м).

18 . Шар скатывается без скольжения с вершины сферы радиусом 0,50м с начальной скоростью 1,0м/с . Определите полярный угол, соответствующий месту отрыва шарика от сферической поверхности, если сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь. Радиус шара 10см (49 0).

19 . Шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, которая плавно переходит в цилиндрическую поверхность радиусом R=1,5м . Радиус шара r=11см . Шар скатывается с высоты h=2,9м без начальной скорости. Определите координату точки отрыва шара от поверхности цилиндра (полярный угол)(130 0).

20 . На однородный стержень, подвешенный за один из концов, попадает горизонтально летящее тело и прилипает к нему. Определите, на какой угол отклоняется стержень от вертикального положения. Длина и масса стержня соответственно равны 0,51см , 980 г. Масса тела 12г . Расстояние от точки подвеса до линии движения тела равно 34см . Скорость тела до столкновения 30м/с (15 0).

21 . Шар массой 2,1кг подвешен на легком стержне. В шар попадает горизонтально летящая пуля массой 9,0г и застревает в середине шара. Определите скорость пули, если система отклонилась от положения равновесия на угол 40 0 .Длина стержня и радиус шара соответственно равны 6,5см , 35см . Сопротивлением воздуха и трением в оси подвеса пренебречь (520 м/с).

22 . Период вращения Солнца вокруг собственной оси равен 27 земным суткам. Солнце представляет собой водородную звезду. После того как полностью выгорит водород, Солнце испытает гравитационный коллапс. Оцените радиус Солнца, прежде чем оно разлетится на части. Масса Солнца 2,0×10 30 кг , радиус Солнца 7,0×10 8 (14км).

Примеры решения задач
(Колебательное движение)

Задача 51. Максимальная частота колебаний физического маятника массой m=2,3кг равна n max =1,3Гц . Определите момент инерции маятника относительно оси, проходящей через ее центр инерции.

Решение. Маятник совершает вращательное колебательное движение относительно оси качания под действием момента силы тяжести

где x=ОС, J 0 =J c +mx 2 , J c – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр инерции С , m – масса маятника.

В таком приближение мы пренебрегаем сопротивлением воздуха и трением в оси качания маятника.

При малых углах отклонения маятник совершает гармоническое колебательное движение с угловой частотой

Зависимость угловой частоты от положения оси качания w(x) имеет максимум при

Максимальная угловая частота равна

Откуда находим

Физический маятник применяется для измерения ускорения свободного падения.

Задача 52. По внутренней поверхности цилиндра радиусом R катается круглое тело без проскальзывания. Определите период малых колебаний тела около положения равновесия. Радиус круглого тела равен r . Сопротивлением воздуха и трением качения пренебречь.

Решение. Рассмотрим динамическое решение задачи.

Поступательное и вращательное движения тела под действием сил тяжести, реакции и трения (см. рисунок) описываются основными уравнениями динамики твердого тела

F тр -mgsin , (1)

F тр × r=J c , (2)

где J c =cmr 2 – момент инерции круглого тела относительно собственной оси вращения.

Из уравнений (1) и (2) , учитывая, что u с =wr (отсутствие проскальзывания), для ускорения поступательного движения тела получаем следующее уравнение:

Откуда при малых углах для смещения S=(R-r) находим

Таким образом, смещение S(t) описывается гармонической функцией с угловой частотой

и периодом колебаний

Динамика и кинематика - это два важных раздела физики, которые изучают законы перемещения объектов в пространстве. Первый рассматривает действующие на тело силы, второй же занимается непосредственно характеристиками динамического процесса, не вникая в причины того, что его вызвало. Знание этих разделов физики необходимо применять для успешного решения задач на движение по наклонной плоскости. Рассмотрим этот вопрос в статье.

Основная формула динамики

Конечно же, речь идет о втором законе, который постулировал Исаак Ньютон в XVII веке, изучая механическое движение твердых тел. Запишем его в математической форме:

Действие внешней силы F¯ вызывает появление линейного ускорения a¯ у тела с массой m. Обе векторные величины (F¯ и a¯) направлены в одну и ту же сторону. Сила в формуле является результатом действия на тело всех сил, которые присутствуют в системе.

В случае движения вращения второй закон Ньютона записывается в виде:

Здесь M и I - и инерции, соответственно, α - угловое ускорение.

Формулы кинематики

Решение задач на движение по наклонной плоскости требует знания не только главной формулы динамики, но и соответствующих выражений кинематики. Они связывают в равенства ускорение, скорость и пройденный путь. Для равноускоренного (равнозамедленного) прямолинейного движения применяются следующие формулы:

S = v 0 *t ± a*t 2 /2

Здесь v 0 - значение начальной скорости тела, S - пройденный за время t путь вдоль прямолинейной траектории. Знак "+" следует поставить, если скорость тела увеличивается с течением времени. В противном случае (равнозамедленное движение) следует использовать в формулах знак "-". Это важный момент.

Если движение осуществляется по круговой траектории (вращение вокруг оси), тогда следует использовать такие формулы:

ω = ω 0 ± α*t;
θ = ω 0 *t ± α*t 2 /2

Здесь α и ω - и скорость, соответственно, θ - угол поворота вращающегося тела за время t.

Линейные и угловые характеристики друг с другом связаны формулами:

Здесь r - радиус вращения.

Движение по наклонной плоскости: силы

Под этим движением понимают перемещение некоторого объекта вдоль плоской поверхности, которая наклонена под определенным углом к горизонту. Примерами может служить соскальзывание бруска по доске или качение цилиндра по металлическому наклоненному листу.

Для определения характеристик рассматриваемого типа движения необходимо в первую очередь найти все силы, которые действуют на тело (брусок, цилиндр). Они могут быть разными. В общем случае это могут быть следующие силы:

тяжести;
реакции опоры;
и/или скольжения;
натяжение нити;
сила внешней тяги.

Первые три из них присутствуют всегда. Существование последних двух зависит от конкретной системы физических тел.

Чтобы решать задачи на перемещение по плоскости наклонной необходимо знать не только модули сил, но и их направления действия. В случае, если тело по плоскости скатывается, сила трения неизвестна. Однако она определяется из соответствующей системы уравнений движения.

Методика решения

Решения задач данного типа начинается с определения сил и их направлений действия. Для этого в первую очередь рассматривают силу тяжести. Ее следует разложить на два составляющих вектора. Один из них должен быть направлен вдоль поверхности наклонной плоскости, а второй должен быть ей перпендикулярен. Первая составляющая силы тяжести, в случае движения тела вниз, обеспечивает его линейное ускорение. Это происходит в любом случае. Вторая равна Все эти показатели могут иметь различные параметры.

Сила трения при движении по наклонной плоскости всегда направлена против перемещения тела. Если речь идет о скольжении, то вычисления довольно просты. Для этого следует использовать формулу:

Где N - реакция опоры, µ - коэффициент трения, не имеющий размерности.

Если в системе присутствуют только указанные три силы, тогда их результирующая вдоль наклонной плоскости будет равна:

F = m*g*sin(φ) - µ*m*g*cos(φ) = m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a

Здесь φ - это угол наклона плоскости к горизонту.

Зная силу F, можно по закону Ньютона определить линейное ускорение a. Последнее, в свою очередь, используется для определения скорости движения по наклонной плоскости через известный промежуток времени и пройденного телом расстояния. Если вникнуть, то можно понять, что все не так уж и сложно.

В случае, когда тело скатывается по наклонной плоскости без проскальзывания, суммарная сила F будет равна:

F = m*g*sin(φ) - F r = m*a

Где F r - Она неизвестна. Когда тело катится, то сила тяжести не создает момента, поскольку приложена к оси вращения. В свою очередь, F r создает следующий момент:

Учитывая, что мы имеем два уравнения и две неизвестных (α и a связаны друг с другом), можно легко решить эту систему, а значит, и задачу.

Теперь рассмотрим, как использовать описанную методику при решении конкретных задач.

Задача на движение бруска по наклонной плоскости

Деревянный брусок находится в верхней части наклонной плоскости. Известно, что она имеет длину 1 метр и располагается под углом 45 o . Необходимо вычислить, за какое время брусок опустится по этой плоскости в результате скольжения. Коэффициент трения принять равным 0,4.

Записываем закон Ньютона для данной физической системы и вычисляем значение линейного ускорения:

m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a =>
a = g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) ≈ 4,162 м/с 2

Поскольку нам известно расстояние, которое должен пройти брусок, то можно записать следующую формулу для пути при равноускоренном движении без начальной скорости:

Откуда следует выразить время, и подставить известные значения:

t = √(2*S/a) = √(2*1/4,162) ≈ 0,7 с

Таким образом, время движения по наклонной плоскости бруска составит меньше секунды. Заметим, что полученный результат от массы тела не зависит.

Задача со скатывающимся по плоскости цилиндром

Цилиндр радиусом 20 см и массой 1 кг помещен на наклонную под углом 30 o плоскость. Следует вычислить его максимальную линейную скорость, которую он наберет при скатывании с плоскости, если ее длина составляет 1,5 метра.

Запишем соответствующие уравнения: