1. Какие из следующих измерений относятся к классу наименований измерительных шкал:
а) числа, кодирующие темперамент;
г) телефонные номера.
2. Какие из следующих измерений относятся к классу порядка измерительных шкал:
б) академический ранг как мера продвижения по службе;
в) метрическая система измерения расстояния;
г) телефонные номера.
3. Какие из следующих измерений относятся к классу отношений измерительных шкал:
а) числа, кодирующие темперамент;
б) академический ранг как мера продвижения по службе;
в) метрическая система измерения расстояния;
г) телефонные номера.
4. Какие из следующих признаков относятся количественным видам:
б) родственные связи членов семьи;
в) пол и возраст человека;
г) социальное положение вкладчика;
д) количество детей в семье;
е) розничный товарооборот торговых предприятий.
5. Какие из следующих признаков относятся качественным видам:
а) количество работников на фирме;
б) родственные связи членов семьи;
в) пол и возраст человека;
г) социальное положение вкладчика;
д) количество детей в семье;
е) розничный товарооборот торговых предприятий.
6. Какую шкалу используют при измерении уровня интеллекта человека:
а) наименований;
б) порядковую;
в) интервальную;
г) отношений.
7. Среднее квадратическое отклонение — это:
а) квадрат размаха вариационного ряда;
б) корень квадратный из дисперсии;
в) квадрат коэффициента вариации;
г) квадратный корень из величины размаха вариации.
8. Коэффициент вариации ряда определяется отношением:
а) среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому значению ряда;
б) дисперсии к медиане ряда;
в) дисперсии к максимальному значению ряда;
г) абсолютного показателя вариации к среднему арифметическому значению ряда.
9. Мода данного вариационного ряда
x 10 15 35
n 1 2 3
это:
а) 20;
б) 16;
в) 3;
г) 35.
10. Среднее арифметическое значение совокупности это:
а) значение признака в середине вариационного ряда;
б) полуразность максимального и минимального значений вариационного ряда;
в) полусумма максимального и минимального значений вариационного ряда;
г) отношение суммы всех величин совокупности к их общему числу.
11. Известны данные о стаже работы семи продавцов магазина: 2; 3; 2; 5; 10; 7; 1 лет. Найти среднее значение стажа их работы.
а) 4,3 года;
б) 5 лет;
в) 3года;
г) 3,8 года.
12. Ряд распределения это:
а) последовательность выборочных данных;
б) упорядоченное расположение данных по количественному признаку;
в) числовая последовательность данных;
г) последовательность значений, упорядоченная по качественным признакам.
13. Частотой варианты вариационного ряда называется:
а) численность выборки;
б) значение варианты вариационного ряда;
в) численность отдельных вариант или группы вариационного ряда;
г) число групп вариационного ряда.
14. Мода — это:
а) максимальное значение признака совокупности;
б) наиболее часто встречающееся значение признака;
в) среднее арифметическое значение совокупности.
15. Известны данные о стаже работы продавцов магазина: 2; 3; 2; 5; 10; 7; 1. Найти медиану стажа их работы:
а) 4,5 года;
б) 4,3 года;
в) 3 года;
г) 5 лет.
16. Вариационный размах данного вариационного ряда:
x 10 15 20 30
n 1 2 3 2
это:
а) 15;
б) 10;
в) 30;
г) 20.
17. Численность упорядоченного ряда делит пополам:
а) мода;
б) средняя арифметическая;
в) средняя гармоническая;
г) медиана.
18. Статистическая группировка — это:
а) объединение или разделение данных по существенным признакам;
б) научная организация статистического наблюдения;
в) виды отчетности;
г) непосредственный сбор массовых данных.
19. Коэффициент осцилляции это:
а) абсолютный показатель;
б) средний показатель;
в) относительный показатель вариации.
20. Дисперсия вариационного ряда характеризует:
а) среднее значение индивидуальных признаков;
б) рассеяние индивидуальных значений признаков от среднего значения;
в) среднеквадратическое отклонение.
21. Уравнение прямолинейной функции регрессии отображает динамику развития:
а) с переменным ускорением;
в) равномерное;
г) равноускоренное.
22. Если величина коэффициента корреляции равна 0,6, то по шкале Чедд.ка:
а) связь практически отсутствует;
б) связь слабая;
в) связь умеренная;
г) связь сильная.
23. Данные представляют оценки взрослых людей в тесте на определение коэффициента интеллектуальности Стенфорда-Бине 104, 87, 101, 130, 148, 92, 97, 105, 134, 121. Найти размах вариации:
а) 61;
б) 60;
в) 75.
24. Найти среднюю арифметическую взвешанную для следующего интервального ряда:
li ni
10-14 1
15-19 1
20-24 4
25-29 2
30-34 4
а) 24;
б) 24,92;
в) 25,38.
25. Вычислить медиану следующего ряда 2,1; 1,5; 1,6; 2,1; 2,4:
а) 2;
б) 1,5;
в) 2,1.
26. Вычислить моду следующего интервального ряда
частота 5-7 8-10 11-13 14-16
интервал 4 7 26 41
а) 14;
б) 14,54;
в) 15,23;
27. Какие из следующих измерений относятся к классу наименований измерительных шкал:
а) диагноз больного;
б) автомобильные номера;
в) твердость минерала;
г) календарное время;
д) вес человека.
28. Какие из следующих измерений относятся к классу порядковый измерительных шкал:
а) диагноз больного;
б) автомобильные номера;
в) твердость минерала;
г) календарное время;
д) вес человека.
29. Какие из следующих измерений относятся к классу интервальный измерительных шкал:
а) диагноз больного;
б) автомобильные номера;
в) твердость минерала;
г) календарное время;
д) вес человека.
30. Какие из следующих измерений относятся к классу отношений измерительных шкал:
а) диагноз больного;
б) автомобильные номера;
в) твердость минерала;
г) календарное время;
д) вес человека.
31. Какую шкалу используют при измерении времени:
а) интервальную;
б) отношений;
в) Чеддока.
32. К количественным видам относятся следующие признаки:
а) рост человека;
б) награды за заслуги;
в) цвет глаз;
г) автомобильные номера.
33. К качественным видам относятся следующие признаки:
а) рост человека;
б) награды за заслуги;
в) цвет глаз;
г) автомобильные номера
34. Вычислить моду
xi 5 8 10 13 14
ni 7 4 5 9 1
а) 10;
б) 11;
в) 13
35. В больших по счету числу учеников в классах наблюдается меньшие успехи в приобретении знаний за четверть, чем в небольших классах. Что является результативным признаком?
а) число учеников в классе;
б) успехи в приобретении знаний,
в) число учеников с успехами в приобретении знаний.
36. Длина интервала в интервальном ряду – это:
а) размах вариации поделенное на среднеарифметическое значение;
б) размах вариации поделенный на число групп;
в) дисперсия поделенная на объем выборки.
37. Пример парной корреляции: ученики, научившиеся читать раньше других имеют тенденцию к более высокой успеваемости. Какой из этих признаков: умение рано читать или высокая успеваемость ученика является факторным признаком?
а) умение рано читать;
б) высокая успеваемость;
в) ни один из них.
38. Какой из следующих методов можно применять при сравнении средних трех и более выборок:
а) тест Стьюдента;
б) тест Фишера;
в) дисперсионный анализ.
39. Объем выборки вариационного ряда
xi 10 15 20 30
ni 1 2 3 2
а) 5;
б) 8;
в) 12;
г) 30.
40. Мода вариационного ряда
xi 10 15 20 25
ni 1 5 4 3
а) 15;
б) 5;
в) 23;
г) 3.
41. Уравнение параболической функции регрессии отражает динамику развития:
а) с переменным ускорением;
б) с замедлением роста в конце периода;
в) равномерное;
г) равноускоренное.
42.Коэффициент регрессии В показывает:
а) ожидаемое значение зависимой переменной при нулевом значении предиктора
б) ожидаемое значение зависимой переменной при изменении предиктора на единицу
в) вероятность ошибки регрессии
г) этот вопрос еще окончательно не решен
43. Выборка — это:
а) все множество объектов, по поводу которых строятся рассуждения исследователя;
б) множество объектов, доступных для эмпирического исследования;
в) все возможные значения дисперсии;
г) то же, что и рандомизация.
44. Какой из следующих коэффициентов корреляции демонстрирует наибольшую связь переменных:
а) -0.90;
б) 0;
в) 0.07;
г) 0.01.
45. Генеральная совокупность — это:
а) все множество объектов, по поводу которых строятся рассуждения исследователя;
б) множество объектов, доступных для эмпирического исследования;
в) все возможные значения математического ожидания;
г) нормальное распределение.
46. Как соотносятся объемы выборки и генеральной совокупности:
а) выборка как правило значительно меньше генеральной совокупности;
б) генеральная совокупность всегда меньше выборки;
в) выборка и генеральная совокупность практически всегда совпадают;
г) нет правильного ответа.
47. Точечно-бисериальный коэффициент корреляции является частным случаем коэффициента корреляции:
а) Спирмена;
б) Пирсона;
в) Кендала;
г) все ответы верны.
48. При каком минимальном уровне значимости принято отвергать нулевую гипотезу?
а) 5% уровень
б) 7 % уровень
в) 9 % уровень
г) 10% уровень
49. Какой из следующих методов обычно применяют при сравнении средних в двух нормальных выборках:
а) тест Стьюдента;
б) тест Фишера;
в) однофакторный дисперсионный анализ;
г) корреляционный анализ.
50. С помощью чего проверяются статистические гипотезы:
а) статистик;
б) параметров;
в) экспериментов;
г) наблюдения.
51. Какое из следующих значений коэффициента корреляции невозможно:
а) -0.54;
б) 2.18;
в) 0; г) 1.
52. Какое преобразование необходимо произвести при сравнении двух коэффициентов корреляции:
а) Стьюдента;
б) Фишера;
в) Пирсона;
г) Спирмена.
53. Что такое медиана распределения:
а) то же, что и биссектриса;
б) то же, что и мода;
в) среднее арифметическое;
г) 50%-ый квантиль распределения;
д) нет правильного ответа.
54. Точечно-биссериальный коэффициент корреляции является частным случаем коэффициента корреляции:
а) Спирмена;
б) Пирсона;
в) Кендалла;
г) все ответы верны.
55.Какая из следующих переменных является дискретной:
а) тип темперамента;
б) уровень интеллекта;
в) время реакции;
г) все ответы верны.
56. В каком диапазоне может изменяться коэффициент корреляции:
а) от –1 до 1;
б) от 0 до 1;
в) от 0 до 100;
г) в любом.
57. По поводу чего выдвигаются статистические гипотезы:
а) понятий;
б) статистик;
в) выборок;
г) параметров.
58. Как называется непараметрический аналог дисперсионного анализа:
а) тест Стьюдента;
б) метод Краскела-Уоллиса;
в) тест Вилкоксона;
г) тест Манна-Уитни.
59. Понятие коэффициента корреляции было впервые разработано в работах:
а) Фишера;
б) Стьюдента;
в) Пирсона;
г) Спирмена.
60. Какая из следующих статистик является несмещенной оценкой математического ожидания:
а) среднее арифметическое;
б) мода;
в) медиана;
г) все ответы верны.
61. Как соотносятся коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена:
а) коэффициент Пирсона является частным случаем Спирмена;
б) коэффициент Спирмена является частным случаем Пирсона;
в) эти коэффициенты имеют различную логику построения;
г) это одно и то же.
62. Согласно теоретическим предположениям дисперсионного анализа, F-отношение не может быть:
а) равно 1;
б) больше 1;
в) меньше 1;
г) нет правильного ответа.
Зависимость между переменными величинами X и У может быть описана разными способами. В частности, любую форму связи можно выразить уравнением общего вида у= f(х), где у рассматривают в качестве зависимой переменной, или функции от другой - независимой переменной величины х, называемой аргументом . Соответствие между аргументом и функцией может быть задано таблицей, формулой, графиком и т. д. Изменение функции в зависимости от изменений одного или нескольких аргументов называется регрессией .
Термин «регрессия» (от лат. regressio - движение назад) ввел Ф. Гальтон, изучавший наследование количественных признаков. Он обнаружил. что потомство высокорослых и низкорослых родителей возвращается (регрессирует) на 1/3 в сторону среднего уровня этого признака в данной популяции. С дальнейшем развитием науки, этот термин утратил свое буквальное значение и стал применяться для обозначения и корреляционной зависимости между переменными величинами Y и X.
Различных форм и видов корреляционных связей много. Задача исследователя сводится к тому, чтобы в каждом конкретном случае выявить форму связи и выразить ее соответствующим корреляционным уравнением, что позволяет предвидеть возможные изменения одного признака Y на основании известных изменений другого X, связанного с первым корреляционно.
Уравнение параболы второго рода
Иногда связи, между переменными Y и X можно выразить через формулу параболы
Где a,b,c - неизвестные коэффициенты которые и надо найти, при известных измерениях Y и X
Можно решать матричным способом, но есть уже рассчитанные формулы, которыми мы и воспользуемся
N - число членов ряда регресии
Y - значения переменной Y
X - значения переменной X
Если вы будете пользоваться этим ботом через XMPP клиента, то синаксис такой
regress ряд X;ряд Y;2
Где 2 - показывает что регрессию рассчитываем как нелинейную в виде параболы второго порядка
Что ж, пора проверить наши расчеты.
Итак есть таблица
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 18.2 |
| 2 | 20.1 |
| 3 | 23.4 |
| 4 | 24.6 |
| 5 | 25.6 |
| 6 | 25.9 |
| 7 | 23.6 |
| 8 | 22.7 |
| 9 | 19.2 |
Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).
| Индекс розничных цен на продукты питания (х) | Индекс промышленного производства (у) | |
|---|---|---|
| 1 | 100 | 70 |
| 2 | 105 | 79 |
| 3 | 108 | 85 |
| 4 | 113 | 84 |
| 5 | 118 | 85 |
| 6 | 118 | 85 |
| 7 | 110 | 96 |
| 8 | 115 | 99 |
| 9 | 119 | 100 |
| 10 | 118 | 98 |
| 11 | 120 | 99 |
| 12 | 124 | 102 |
| 13 | 129 | 105 |
| 14 | 132 | 112 |
Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
А) линейной;
Б) степенной;
В) равносторонней гиперболы.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
4. Выполнить прогноз значения индекса промышленного производства у при прогнозном значении индекса розничных цен на продукты питания х=138.
Решение:
1. Для расчёта параметров линейной регрессии
Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:
Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 1.
Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии
| № п/п | х | у | ху | x 2 | y 2 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 100 | 70 | 7000 | 10000 | 4900 | 74,26340 | 0,060906 |
| 2 | 105 | 79 | 8295 | 11025 | 6241 | 79,92527 | 0,011712 |
| 3 | 108 | 85 | 9180 | 11664 | 7225 | 83,32238 | 0,019737 |
| 4 | 113 | 84 | 9492 | 12769 | 7056 | 88,98425 | 0,059336 |
| 5 | 118 | 85 | 10030 | 13924 | 7225 | 94,64611 | 0,113484 |
| 6 | 118 | 85 | 10030 | 13924 | 7225 | 94,64611 | 0,113484 |
| 7 | 110 | 96 | 10560 | 12100 | 9216 | 85,58713 | 0,108467 |
| 8 | 115 | 99 | 11385 | 13225 | 9801 | 91,24900 | 0,078293 |
| 9 | 119 | 100 | 11900 | 14161 | 10000 | 95,77849 | 0,042215 |
| 10 | 118 | 98 | 11564 | 13924 | 9604 | 94,64611 | 0,034223 |
| 11 | 120 | 99 | 11880 | 14400 | 9801 | 96,91086 | 0,021102 |
| 12 | 124 | 102 | 12648 | 15376 | 10404 | 101,4404 | 0,005487 |
| 13 | 129 | 105 | 13545 | 16641 | 11025 | 107,1022 | 0,020021 |
| 14 | 132 | 112 | 14784 | 17424 | 12544 | 110,4993 | 0,013399 |
| Итого: | 1629 | 1299 | 152293 | 190557 | 122267 | 1299,001 | 0,701866 |
| Среднее значение: | 116,3571 | 92,78571 | 10878,07 | 13611,21 | 8733,357 | х | х |
| 8,4988 | 11,1431 | х | х | х | х | х | |
| 72,23 | 124,17 | х | х | х | х | х |
Среднее значение определим по формуле:
Cреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:
и занесём полученный результат в таблицу 1.
Возведя в квадрат полученное значение получим дисперсию:
Параметры уравнения можно определить также и по формулам:
Таким образом, уравнение регрессии:
Следовательно, с увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1, индекс промышленного производства увеличивается в среднем на 1,13.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Связь прямая, достаточно тесная.
Определим коэффициент детерминации:
Вариация результата на 74,59% объясняется вариацией фактора х.
Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения .
следовательно, параметры уравнения определены правильно.
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации - среднее отклонение расчётных значений от фактических:
В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,01%.
Оценку качества уравнения регрессии проведём с помощью F-теста.
F-тест состоит в проверке гипотезы Н 0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F факт и критического (табличного) F табл значений F-критерия Фишера.
F факт определяется по формуле:
где n - число единиц совокупности;
m - число параметров при переменных х.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.
Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
2. Степенная регрессия имеет вид:
Для определения параметров производят логарифмиро-вание степенной функции:
Для определения параметров логарифмической функции строят систему нормальных уравнений по способу наи-меньших квадратов:
Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 2.
Таблица 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии
| №п/п | х | у | lg x | lg y | lg x*lg y | (lg x) 2 | (lg y) 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 100 | 70 | 2,000000 | 1,845098 | 3,690196 | 4,000000 | 3,404387 |
| 2 | 105 | 79 | 2,021189 | 1,897627 | 3,835464 | 4,085206 | 3,600989 |
| 3 | 108 | 85 | 2,033424 | 1,929419 | 3,923326 | 4,134812 | 3,722657 |
| 4 | 113 | 84 | 2,053078 | 1,924279 | 3,950696 | 4,215131 | 3,702851 |
| 5 | 118 | 85 | 2,071882 | 1,929419 | 3,997528 | 4,292695 | 3,722657 |
| 6 | 118 | 85 | 2,071882 | 1,929419 | 3,997528 | 4,292695 | 3,722657 |
| 7 | 110 | 96 | 2,041393 | 1,982271 | 4,046594 | 4,167284 | 3,929399 |
| 8 | 115 | 99 | 2,060698 | 1,995635 | 4,112401 | 4,246476 | 3,982560 |
| 9 | 119 | 100 | 2,075547 | 2,000000 | 4,151094 | 4,307895 | 4,000000 |
| 10 | 118 | 98 | 2,071882 | 1,991226 | 4,125585 | 4,292695 | 3,964981 |
| 11 | 120 | 99 | 2,079181 | 1,995635 | 4,149287 | 4,322995 | 3,982560 |
| 12 | 124 | 102 | 2,093422 | 2,008600 | 4,204847 | 4,382414 | 4,034475 |
| 13 | 129 | 105 | 2,110590 | 2,021189 | 4,265901 | 4,454589 | 4,085206 |
| 14 | 132 | 112 | 2,120574 | 2,049218 | 4,345518 | 4,496834 | 4,199295 |
| Итого | 1629 | 1299 | 28,90474 | 27,49904 | 56,79597 | 59,69172 | 54,05467 |
| Среднее значение | 116,3571 | 92,78571 | 2,064624 | 1,964217 | 4,056855 | 4,263694 | 3,861048 |
| 8,4988 | 11,1431 | 0,031945 | 0,053853 | х | х | х | |
| 72,23 | 124,17 | 0,001021 | 0,0029 | х | х | х |
Продолжение таблицы 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии
| №п/п | х | у | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 100 | 70 | 74,16448 | 17,34292 | 0,059493 | 519,1886 |
| 2 | 105 | 79 | 79,62057 | 0,385112 | 0,007855 | 190,0458 |
| 3 | 108 | 85 | 82,95180 | 4,195133 | 0,024096 | 60,61728 |
| 4 | 113 | 84 | 88,59768 | 21,13866 | 0,054734 | 77,1887 |
| 5 | 118 | 85 | 94,35840 | 87,57961 | 0,110099 | 60,61728 |
| 6 | 118 | 85 | 94,35840 | 87,57961 | 0,110099 | 60,61728 |
| 7 | 110 | 96 | 85,19619 | 116,7223 | 0,11254 | 10,33166 |
| 8 | 115 | 99 | 90,88834 | 65,79901 | 0,081936 | 38,6174 |
| 9 | 119 | 100 | 95,52408 | 20,03384 | 0,044759 | 52,04598 |
| 10 | 118 | 98 | 94,35840 | 13,26127 | 0,037159 | 27,18882 |
| 11 | 120 | 99 | 96,69423 | 5,316563 | 0,023291 | 38,6174 |
| 12 | 124 | 102 | 101,4191 | 0,337467 | 0,005695 | 84,90314 |
| 13 | 129 | 105 | 107,4232 | 5,872099 | 0,023078 | 149,1889 |
| 14 | 132 | 112 | 111,0772 | 0,85163 | 0,00824 | 369,1889 |
| Итого | 1629 | 1299 | 1296,632 | 446,4152 | 0,703074 | 1738,357 |
| Среднее значение | 116,3571 | 92,78571 | х | х | х | х |
| 8,4988 | 11,1431 | х | х | х | х | |
| 72,23 | 124,17 | х | х | х | х |
Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры логарифмической функции.
Получим линейное уравнение:
Выполнив его потенцирование, получим:
Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи - индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
Связь достаточно тесная.
В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,02%.
Таким образом, Н 0 - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:
Произведем замену переменных
и получим следующую систему нормальных уравнений:
Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры гиперболы.
Составим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 3.
Таблица 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости
| №п/п | х | у | z | yz | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 100 | 70 | 0,010000000 | 0,700000 | 0,0001000 | 4900 |
| 2 | 105 | 79 | 0,009523810 | 0,752381 | 0,0000907 | 6241 |
| 3 | 108 | 85 | 0,009259259 | 0,787037 | 0,0000857 | 7225 |
| 4 | 113 | 84 | 0,008849558 | 0,743363 | 0,0000783 | 7056 |
| 5 | 118 | 85 | 0,008474576 | 0,720339 | 0,0000718 | 7225 |
| 6 | 118 | 85 | 0,008474576 | 0,720339 | 0,0000718 | 7225 |
| 7 | 110 | 96 | 0,009090909 | 0,872727 | 0,0000826 | 9216 |
| 8 | 115 | 99 | 0,008695652 | 0,860870 | 0,0000756 | 9801 |
| 9 | 119 | 100 | 0,008403361 | 0,840336 | 0,0000706 | 10000 |
| 10 | 118 | 98 | 0,008474576 | 0,830508 | 0,0000718 | 9604 |
| 11 | 120 | 99 | 0,008333333 | 0,825000 | 0,0000694 | 9801 |
| 12 | 124 | 102 | 0,008064516 | 0,822581 | 0,0000650 | 10404 |
| 13 | 129 | 105 | 0,007751938 | 0,813953 | 0,0000601 | 11025 |
| 14 | 132 | 112 | 0,007575758 | 0,848485 | 0,0000574 | 12544 |
| Итого: | 1629 | 1299 | 0,120971823 | 11,13792 | 0,0010510 | 122267 |
| Среднее значение: | 116,3571 | 92,78571 | 0,008640844 | 0,795566 | 0,0000751 | 8733,357 |
| 8,4988 | 11,1431 | 0,000640820 | х | х | х | |
| 72,23 | 124,17 | 0,000000411 | х | х | х |
Продолжение таблицы 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости
Рассмотрим парную линейную регрессионную модель взаимосвязи двух переменных, для которой функция регрессии φ(х) линейна. Обозначим черезy x условную среднюю признакаY в генеральной совокупности при фиксированном значенииx переменнойХ . Тогда уравнение регрессии будет иметь вид:
y x = ax + b , гдеa –коэффициент регрессии (показатель наклона линии линейной регрессии). Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменнаяY при изменении переменнойХ на одну единицу. С помощью метода наименьших квадратов получают формулы, по которым можно вычислять параметры линейной регрессии:
Таблица 1. Формулы для расчета параметров линейной регрессии
|
Свободный член b |
Коэффициент регрессии a |
Коэффициент детерминации |
|
|
||
|
Проверка гипотезы о значимости уравнения регрессии |
||
|
Н 0 : |
Н 1 : |
|
|
, ,, Приложение 7 (для линейной регрессии р = 1) |
||
Направление связи между переменными определяется на основании знака коэффициента регрессии. Если знак при коэффициенте регрессии положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной. Если знак при коэффициенте регрессии отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).
Для анализа общего качества уравнения регрессии используют коэффициент детерминации R 2 , называемый также квадратом коэффициента множественной корреляции. Коэффициент детерминации (мера определенности) всегда находится в пределах интервала . Если значениеR 2 близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значениеR 2 близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.
Коэффициент детерминации R 2 показывает, на сколько процентовнайденная функция регрессии описывает связь между исходными значениямиY иХ . На рис. 3 показана– объясненная регрессионной моделью вариация и- общая вариация. Соответственно, величинапоказывает, сколько процентов вариации параметраY обусловлены факторами, не включенными в регрессионную модель.
При высоком значении коэффициента детерминации 75%) можно делать прогноздля конкретного значенияв пределах диапазона исходных данных. При прогнозах значений, не входящих в диапазон исходных данных, справедливость полученной модели гарантировать нельзя. Это объясняется тем, что может проявиться влияние новых факторов, которые модель не учитывает.
Оценка значимости уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера (см. табл. 1). При условии справедливости нулевой гипотезы критерий имеет распределение Фишера с числом степеней свободы , (для парной линейной регрессиир = 1 ). Если нулевая гипотеза отклоняется, то уравнение регрессии считается статистически значимым. Если нулевая гипотеза не отклоняется, то признается статистическая незначимость или ненадежность уравнения регрессии.
Пример 1. В механическом цехе анализируется структура себестоимости продукции и доля покупных комплектующих. Было отмечено, что стоимость комплектующих зависит от времени их поставки. В качестве наиболее важного фактора, влияющего на время поставки, выбрано пройденное расстояние. Провести регрессионный анализ данных о поставках:
|
Расстояние, миль | ||||||||||
|
Время, мин |
Для проведения регрессионного анализа:
построить график исходных данных, приближенно определить характер зависимости;
выбрать вид функции регрессии и определить численные коэффициенты модели методом наименьших квадратов и направление связи;
оценить силу регрессионной зависимости с помощью коэффициента детерминации;
оценить значимость уравнения регрессии;
сделать прогноз (или вывод о невозможности прогнозирования) по принятой модели для расстояния 2 мили.
2. Вычислим суммы, необходимые для расчета коэффициентов уравнения линейной регрессии и коэффициента детерминации R 2 :
;
;
;
.
Искомая
регрессионная зависимость имеет вид:
.
Определяем направление связи между
переменными: знак коэффициента регрессии
положительный, следовательно, связь
также является положительной, что
подтверждает графическое предположение.
3. Вычислим
коэффициент детерминации:
или 92%. Таким образом, линейная модель
объясняет 92% вариации времени поставки,
что означает правильность выбора фактора
(расстояния). Не объясняется 8% вариации
времени, которые обусловлены остальными
факторами, влияющими на время поставки,
но не включенными в линейную модель
регрессии.
4. Проверим
значимость уравнения регрессии:
Т.к. – уравнение регрессии (линейной модели) статистически значимо.
5. Решим задачу прогнозирования. Поскольку коэффициент детерминации R 2 имеет достаточно высокое значение и расстояние 2 мили, для которого надо сделать прогноз, находится в пределах диапазона исходных данных, то можно сделать прогноз:
Регрессионный анализ удобно проводить с помощью возможностей Exel . Режим работы "Регрессия" служит для расчета параметров уравнения линейной регрессии и проверки его адекватности исследуемому процессу. В диалоговом окне следует заполнить следующие параметры:
Пример 2. Выполнить задание примера 1 с помощью режима "Регрессия" Exel .
|
ВЫВОД ИТОГОВ | |||||
|
Регрессионная статистика |
|||||
|
Множественный R | |||||
|
R-квадрат | |||||
|
Нормированный R-квадрат | |||||
|
Стандартная ошибка | |||||
|
Наблюдения | |||||
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
||
|
Y-пересечение | |||||
|
Переменная X 1 | |||||
Рассмотрим представленные в таблице результаты регрессионного анализа.
Величина R-квадрат , называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). В нашем примере мера определенности равна 0,91829, что говорит об очень хорошей подгонке регрессионной прямой к исходным данным и совпадает с коэффициентом детерминации R 2 , вычисленным по формуле.
Множественный R - коэффициент множественной корреляции R - выражает степень зависимости независимых переменных (X) и зависимой переменной (Y) и равен квадратному корню из коэффициента детерминации. В простом линейном регрессионном анализе множественный коэффициент R равен линейному коэффициенту корреляции (r = 0,958).
Коэффициенты линейной модели: Y -пересечение выводит значение свободного члена b , а переменная Х1 – коэффициента регрессии а. Тогда уравнение линейной регрессии:
у = 2,6597 x + 5,9135 (что хорошо согласуется с результатами расчета в примере 1).
Далее проверим значимость коэффициентов регрессии: a и b . Сравнивая попарно значения столбцов Коэффициенты и Стандартная ошибка в таблице, видим, что абсолютные значения коэффициентов больше, чем их стандартные ошибки. К тому же эти коэффициенты являются значимыми, о чем можно судить по значениям показателя Р-значение, которые меньше заданного уровня значимости α=0,05.
|
Наблюдение |
Предсказанное Y |
Остатки |
Стандартные остатки |
|
В таблице представлены результаты вывода остатков . При помощи этой части отчета мы можем видеть отклонения каждой точки от построенной линии регрессии. Наибольшее абсолютное значение остатка в данном случае - 1,89256, наименьшее - 0,05399. Для лучшей интерпретации этих данных строят график исходных данных и построенной линией регрессии. Как видно из построения, линия регрессии хорошо "подогнана" под значения исходных данных, а отклонения носят случайный характер.
Ещё один вид однофакторной регрессии – аппроксимация степенными полиномами вида:
Естественно
желание получить как можно простую
зависимость, ограничиваясь степенным
полиномам второй степени, т.е. параболической
зависимостью:
(5.5.2)
Вычислим частные производные по коэффициентам b 0 , b 1 и b 2 :
(5.5.3)
Приравнивая производные нулю получим нормальных систему уравнений:
(5.5.4)
Решая систему
нормальных уравнений (5.5.2) для конкретного
случая значений x
i
*
,
y
i
*
;
получим
оптимальные
значения b
0
,
b
1
и b
2
.
Для
аппроксимации зависимостью (5.5.2) и тем
более (5.5.1) не получены простые формулы
для вычисления коэффициентов и как
правило их вычисление производят по
стандартным процедурам в матричном
виде:
(5.5.5)
На рис.5.5.1
приведён типовой пример аппроксимации
параболической
зависимостью:
9 (5;9)
(1;1)
1
1 2 3 4 5 х
Рис.5.5.1. Координаты экспериментальных точек и аппроксимиру-
щая их параболическая зависимость
Пример
5.1.
Провести
аппроксимацию результатов эксперимента,
приведённых в таблице 5.1.1, линейным
уравнением регрессии
.
Таблица 5.1.1
|
|
|
Построим экспериментальные точки по координатам, указанным в таблице 5.1.1 на графике, представленном на рис.5.1.1.
у
9
4
1 2 3 4 5 х
По рис.5.1.1, на котором для предварительной оценки проведём прямую линию, сделаем заключение, что в расположении экспериментальных точек имеется явно выраженная нелинейность, но она не очень значительная и поэтому имеет смысл провести их аппроксимацию линейной зависимостью. Отметим, что для получения корректно-математического заключения требуется построить прямую линию методом наименьших квадратов.
До проведения регрессионного анализа целесообразно вычислить
коэффициент линейной корреляции между переменными х и у :
Существенность корреляционной связи определяется по критическому значению коэффициента линейной корреляции, вычисляемого по формуле:
Критическое значение критерия Стьюдента t крит находится по статистическим таблицам для рекомендуемого уровня значимости α=0.05 и для n -2 степеней свободы. Если вычисленное значение r xy не меньше критического значения r крит , то корреляционная связь между переменными x и y считается сушественной. Произведём вычисления:
Ввиду того, что
делаем заключение, что корреляционная
связь между переменнымих
и у
является существенной и она может быть
линейной.
Вычислим коэффициенты уравнения регрессии:
Таким образом, получили линейное уравнение регрессии:
По уравнению регрессии проведём прямую линию на рис.5.1.2.
у
(5;9.8)
9
4
(0;-0.2) 1 2 3 4 5 х
Рис.5.1.2. Координаты экспериментальных точек и аппроксимиру-
щая
их линейная зависимость
По уравнению регрессии вычислим значения функции по экспериментальным точкам таблицы 5.1.1 и разницу между экспериментальными и вычисленными значениями функции, которые представим в таблице 5.1.2.
Таблица 5.1.2
|
|
|
|
|
|
Вычислим среднюю квадратическую ошибку и её отношение к среднему значению:
По отношению стандартной ошибки к среднему значению получен неудовлетворительный результат, так как превышено рекомендуемое значение в 0.05.
Проведём оценку уровня значимости коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента:
Из статистической
таблицы для
3
степеней свободы выпишем строки с
уровнем значимости -
и значением критерия Стьюдента–
t
в таблицу 5.1.3.
Таблица 5.1.3
|
| ||||||
|
|
Уровень значимости коэффициентов уравнения регрессии:
Отметим, что по
уровню значимости для коэффициента
получен удовлетворительный
результат, а для коэффициента
неудовлетворительный.
Проведём оценку качества полученного уравнения регрессии по показателям, вычисляемым на основе дисперсионного анализа:
Проверка:
Результат проверки – положительный, что свидетельствует о корректности проведённых вычислений.
Вычислим критерий Фишера:
при двух степенях
свободы:
По статистическим таблицам находим критические значения критерия Фишера для двух рекомендуемых градаций уровня значимости:
Так как вычисленное значение критерия Фишера превосходит критическое дл уровня значимости 0,01, то будем считать, что уровень значимости по критерию Фишера меньше 0,01, что будем считать удовлетворительным.
Вычислим коэффициент множественной детерминации:
для двух степеней свободы
По статистической
таблице для рекомендуемого уровня
значимости 0,05и двух найденных степеней
свободы находим критическое значение
коэффициента множественной детерминации:
Так
как вычисленное значение коэффициента
множественной детерминации превышает
критическое значение для уровня
значимости
,
то уровень значимости по коэффициенту
множественной детерминации
и полученный результат поданному
показателю будем считать удовлетворительным.
Таким образом, полученные расчётные параметры по отношению стандартной ошибки к среднему значению и уровню значимости по критерию Стьюдента являются неудовлетворительными, поэтому целесообразно для аппроксимации подобрать другую аппроксимирующую зависимость.
Пример 5.2.
Аппроксимация экспериментального
распределения случайных чисел
математической зависимостью
Экспериментальное распределение случайных чисел, приведённое в таблице 5.1.1, при аппроксимации линейной зависимостью, не привело к удовлетворительному результату, в т.ч. по незначимости коэффициента уравнения регрессии при свободном члене, поэтому для улучшения качества аппроксимации попробуем её провести линейной зависимостью без свободного члена:
Вычислим значение коэффициента уравнения регрессии:
Таким образом,
получили уравнение регрессии:
По полученному уравнению регрессии вычислим значения функции и разницу между экспериментальными и вычисленными значениями функции, которые представим в виде таблицы 5.2.1.
Таблица 5.2.1
|
x i |
|
|
|
|
По уравнению
регрессии
на рис.5.2.1 проведём прямую линию.
у
(5;9.
73
)
(0;0) 1 2 3 4 5 х
Рис.5.2.1. Координаты экспериментальных точек и аппроксимиру-
ющая
их линейная зависимость
Для оценки качества аппроксимации проведём вычисления показателей качества аналогично вычислениям, приведённым в примере 5.1.
(осталось старым);
с 4-мя степенями
свободы;
для
По результатам проведённой аппроксимации отметим, что по уровню значимости коэффициента уравнения регрессии получен удовлетворительный результат; отношение стандартной ошибки к среднему значению улучшилось, но всё ещё осталось выше рекомендуемого значения 0.05, поэтому рекомендуется повторить аппроксимацию более сложной математической зависимостью.
Пример
5.3.
Для
улучшения качества аппроксимации
примеров 5.1 и 5.2 проведём нелинейную
аппроксимацию зависимостью
.
Для этого первоначально произведём
промежуточные вычисления и их результаты
поместим в таблицу 5.3.1.
Значения
Таблица 5.3.1|
X 2 | ||||||
|
(lnX ) 2 | ||||||
|
lnX·lnY |
Дополнительно
вычислим:
Произведём
аппроксимацию зависимостью
.
По формулам (5.3.7), (5.3.8) вычислим коэффициентыb
0
и b
1
:
По формулам (5.3.11) вычислим коэффициенты A 0 и A 1 :
Для вычисления стандартной ошибки проведены промежуточные вычисления, представленные в таблице 5.3.2.
Таблица 5.3.2
|
Y i |
y i |
|
|
Сумма: 7,5968
Стандартная ошибка аппроксимации получилась намного больше, чем в двух предыдущих примерах, поэтому результаты аппроксимации признаем непригодными.
Пример
5.4.
Попробуем
провести аппроксимацию ещё одной
нелинейной зависимостью
.
По формулам (5.3.9), (5.3.10) по данным таблицы
5.3.1 вычислим коэффициентыb
0
и b
1
:
Получили промежуточную зависимость:
По формулам (5.3.13) вычислим коэффициенты C 0 и C 1 :
Получили окончательную зависимость:
Для вычисления стандартной ошибки проведём промежуточные вычисления и поместим их в таблицу 5.4.1.
Таблица 5.4.1
|
Y i |
y i |
|
|
Сумма: 21,83152
Вычислим стандартную ошибку:
Стандартная ошибка аппроксимации получилась намного больше, чем в предыдущем примере, поэтому результаты аппроксимации признаем непригодными.
Пример 5.5. Аппроксимация экспериментального распределения случайных чисел математической зависимостью y = b · lnx
Исходные данные как и в предыдущих примерах приведены в таблице 5.4.1 и на рис.5.4.1.
Таблица 5.4.1
|
|
|
На основании анализа рис.5.4.1 и таблицы 5.4.1 отметим, что при меньших значениях аргумента (в начале таблицы) функция изменяется сильнее, чем при больших (в конце таблицы) поэтому представляется целесообразным изменить масштаб аргумента и ввести в уравнение регрессии логарифмическую функцию от него и провести аппроксимацию следующей математической зависимостью:
.
По формуле (5.4.3) вычислим коэффициент
b
:
Для оценки качества аппроксимации проведём промежуточные вычисления, представленные в таблице 5.4.2, по которым вычислим величину ошибки и отношение стандартной ошибки к среднему значению.
Таблица 5.4.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как по отношению стандартной ошибки к среднему значению превышено рекомендуемое значение 0,05, то результат будем считать неудовлетворительным. В частности, отметим, что наибольшее отклонение даёт значение х=1, так как при этом значении lnx =0. Поэтому проведём аппроксимацию зависимстью y = b 0 +b 1 ·lnx
Вспомогательные вычисления представим в виде таблицы 5.4.3.
Таблица 5.4.3
|
|
|
|
|
|
|
По формулам (5.4.6) и (5.4.7) вычислим коэффициенты b 0 и b 1 :
9 (5;9.12)
4
1 (1;0.93)
1 2 3 4 5 х
Для оценки качества аппроксимации проведём вспомогательные вычисления и определим уровень значимости найденных коэффициентов и отношение стандартной ошибки к среднему значению.
Уровень
значимости
чуть выше рекомендованного значения
0,05 (
).
Ввиду того, что
по главному показателю – отношению
стандартной ошибки к среднему значению
получено почти двукратное превышение
рекомендуемого уровня 0,05 результаты
будем считать приемлемыми. Отметим, что
вычисленное значение критерия Стьюдента
t
b
0
=2,922
отличается от критического
сравнительно на небольшую величину.
Пример 5.6.
Проведём
аппроксимацию экспериментальных данных
примера 5.1 гиперболической зависимостью
. Для того, чтобы вычислить коэффициентовb
0
и
b
1
проведём
предварительные вычисления, приведённые
в таблице 5.6.1.
Таблица 5.6.1
|
X i |
x i =1/X i |
|
x i 2 |
x i y i |
|
По результатам таблицы 5.6.1 по формулам (5.4.8) и (5.4.9) вычислим коэффициенты b 0 и b 1 :
Таким образом, получено гиперболическое уравнение регрессии
.
Результаты вспомогательных вычислений для оценки качества аппроксимации приведены в таблице 5.6.2.
Таблица 5.6.2
|
X i |
|
|
|
|
По результатам таблицы 5.6.2 вычислим стандартную ошибку и отношение стандартной ошибки к среднему значению:
Ввиду того, что отношение стандартной ошибки к среднему значению превышает рекомендуемое значение 0,05 делаем заключение о непригодности результатов аппроксимации.
Пример 5.7.
Для вычисления конкретных значений доходов от работы стреловых кранов в зависимости от времени проведения профилактических работ требуется получить параболическую зависимость .
Вычислим коэффициенты этой зависимости b 0 , b 1 , b 11 в матричном виде по формуле:
Нелинейные уравнения регрессии, связывающие результативный показатель с оптимальными значениями проведения профилактических работ башенных кранов, получены с помощью процедуры множественной регрессии пакета прикладных программ Statistica 6.0. Далее приведем результаты регрессионного анализа для результативного показателя эффективности по таблице 5.7.1.
Таблица 5.7.1
|
|
|
|
|
В таблице 5.7.2 приведены результаты нелинейной регрессии для результативного показателя эффективности и в таблице 5.7.3 результаты анализа остатков.
Таблица 5.7.2
Таблица 5.7.3
Рис. 3.7.36. Анализ остатков.
Таким образом,
получили уравнение множественной
регрессии для переменной
:
Отношение стандартной ошибки к среднему значению:
14780/1017890=0,0145 < 0,05.
Так как отношение стандартной ошибки к среднему значению не превышает рекомендуемого значения 0,05 то результаты аппроксимации можно считать приемлемыми. В качестве недостатка по таблице 5.7.2 следует отметить превышение рекомендуемого уровня значимости 0.05 всеми вычисленными коэффициентами.
Похожие статьи
