19.4.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.

19.4.1.1. Основные определения . Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z 1 , z 2 , z 3 , …, z n , … .Действительную часть числа z n будем обозначать a n , мнимую - b n

(т.е. z n = a n + i b n , n = 1, 2, 3, …).

Числовой ряд - запись вида .

Частичные суммы ряда : S 1 = z 1 , S 2 = z 1 + z 2 , S 3 = z 1 + z 2 + z 3 , S 4 = z 1 + z 2 + z 3 + z 4 , …,

S n = z 1 + z 2 + z 3 + … + z n , …

Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при
, являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут S = z 1 + z 2 + z 3 + … + z n + … или
.

Найдём действительные и мнимые части частичных сумм:

S n = z 1 + z 2 + z 3 + … + z n = (a 1 + i b 1) + (a 2 + i b 2) + (a 3 + i b 3) + … + (a n + i b n ) = (a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n ) +

Где символами и обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями. На этом утверждении основан один из способов исследования сходимости рядов с комплексными членами.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Выпишем несколько значений выражения : дальше значения периодически повторяются. Ряд из действительных частей: ; ряд из мнимых частей ; оба ряда сходятся (условно), поэтому исходный ряд сходится.

19.4.1.2. Абсолютная сходимость.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд
, составленный из абсолютных величин его членов.

Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, легко доказать, что если сходится ряд
, то обязательно сходится ряд (
, поэтому ряды, образованные действительной и мнимой частями ряда, сходятся абсолютно). Если ряд сходится, а ряд
расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Ряд
- ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки (от теорем сравнения до интегрального признака Коши).

Пример. Исследовать на сходимость ряд
.

Составим ряд из модулей ():
. Этот ряд сходится (признак Коши
), поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

19.4. 1 . 3 . Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами:

Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при
.

Если сходится ряд , то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Если ряд сходится, то сумма его остатка после n -го члена стремится к нулю при
.

Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с , то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с .

Сходящиеся ряды (А ) и (В ) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться, и его сумма равна
.

Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.

Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.

Если ряды (А ) и (В ) сходятся абсолютно к своим суммам
и
, то их произведение при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна
.

РЯДЫ

Числовые ряды

Пусть задана последовательность комплексных чисел z n = х п + + it/ n , п= 1,2,... Числовым рядом называется выражение вида

Числа 21,2-2,... называются членами ряда. Отметим, что выражение (19.1), вообще говоря, нельзя рассматривать как сумму, поскольку невозможно выполнить сложение бесконечного числа слагаемых. Но если ограничиться конечным числом членов ряда (например, взять первые п членов), то получится обычная сумма, которую можно реально вычислить (каково бы ни было п). Сумма 5„ первых и членов ряда называется п-й частичной (частной) суммой ряда:

Ряд (19.1) называется сходящимся, если существует конечный предел п-х частичных сумм при п -? оо, т.е. существует

Число 5 называется суммой ряда. Если lirn S n не существует или

равен ос, то ряд (19.1) называется расходящимся.

Тот факт, что ряд (19.1) сходится и его сумма равна 5, записывается в виде

Эта запись не означает, что были сложены все члены ряда (это сделать невозможно). В то же время, сложив достаточно много членов ряда, можно получить частичные суммы, сколь угодно мало отклоняющиеся от S.

Следующая теорема устанавливает связь между сходимостью ряда с комплексными членами z n = х п + iy n и рядов с действительными членами х п и у и.

Теорема 19.1. Для сходимости ряда (19.1) необходимо и до-

статочно , чтобы сходились два ряда ? х п и ? с действительных П=1

ними йенами. При этом для равенства ? z n = (Т + ir необходимо

и достаточно, чтобы ? х п =

Доказательство. Введем обозначения для частичных сумм рядов:

Тогда S n = о п + ir n . Воспользуемся теперь теоремой 4.1 из §4: для того чтобы последовательность S n = + ir n имела предел S = = сг + ir, необходимо и достаточно, чтобы последовательности {и {т п } имели предел, причем liiri = о, lim т п = т. Отсюда и сле-

п-юс л->оо

дует нужное утверждение, поскольку существование пределов последовательностей {S„}, {(7 п } и {т п } равносильно сходимости рядов

ОС" ОС" ОС"

? Z n , ? Х п и? у п соответственно.

Л = 1 Л=1 П=1

С помощью теоремы 19.1 многие важные свойства и утверждения, справедливые для рядов с действительными членами, сразу переносятся на ряды с комплексными членами. Перечислим некоторые из этих свойств.

1°. Необходимый признак сходимости. Если ряд? z n сходится,

то lim z n = 0. (Обратное утверждение неверно: из того что lim z n =

л-юо я->оо

0, не следует, что ряд? z n сходится.)

2°. Пусть ряды? z n и? w n с комплексными членами сходятся

и их суммы равны S и о соответственно. Тогда ряд? (z n + w n) тоже

сходится и его сумма равна S + о.

3°. Пусть ряд ]? z n сходится и его сумма равна S. Тогда для

любого комплексного числа Л ряд? (Az n) тоже сходится и его сумма

4°. Если отбросить или добавить к сходящемуся ряду конечное число членов, то получится также сходящийся ряд.

5°. Критерий сходимости Коши. Для сходимости ряда? z n

необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е > 0 существовало такое число N (зависящее от е), что при всех п > N и при всех

р ^ 0 выполнено неравенство ^2 z k

Так же как и для рядов с действительными членами, вводится понятие абсолютной сходимости.

Ряд z n называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

71 - 1

составленный из модулей членов данного ряда %2 z n

Теорема 19.2. Если сходится ряд ^2 |*п|» то ряд ^2 z n также

сходится.

(Другими словами, если ряд сходится абсолютно, то он сходится.)

Доказательство. Поскольку критерий сходимости Коши применим к рядам с произвольными комплексными членами, то он

применим, в частности, и к рядам с действительными членами. Возь-

мем произвольное е > 0. Так как ряд JZ Iz„ | сходится, то в силу кри-

терпя Коши, примененного к этому ряду, найдется такое число N, что при всех п > N и при всех р ^ 0

В § 1 было показано, что z + w ^ |з| + |ш| для любых комплексных чисел z и w; это неравенство легко распространяется на любое конечное число слагаемых. Поэтому

Итак, для любого е > 0 найдется число N, такое что при всех п >

Итак, для любого е > 0 найдется число N, такое что при всех п >

> N и при всех р ^ 0 выполнено неравенство J2 z k

но критерию Коши, ряд Y2 z n сходится, что и требовалось доказать.

Из курса математического анализа известно (см., например, или )), что утверждение, обратное теореме 19.2, неверно даже для рядов с действительными членами. А именно: из сходимости ряда не следует его абсолютная сходимость.

Ряд J2 г п называется условно сходящимся , если этот ряд сходит-

ся, а ряд ^2 z n i составленный из модулей его членов, расходится.

Ряд z n является рядом с действительными неотрицательными

ми членами. Поэтому к этому ряду применимы признаки сходимости, известные из курса математического анализа. Напомним без доказательства некоторые из них.

Признаки сравнения. Пусть числа z u и w n начиная с некоторого номера N удовлетворяют неравенствам z n ^ |w n |, п = = N, N + 1,... Тогда:

1) если ряд ^2 |w n | сходится , то и ряд z n сходится:

2) если ряд ^2 Ы расходится , то и ряд ^2 1 ш «1 расходится.

Признак Даламбера. Пусть существует предел

Тогда:

если I 1, то ряд Y2 z n сходится абсолютно:

если I > 1, то ряд ^2 z n расходится.

При / = 1 “Р адикальн ы й” признак Коши. Пусть существует

предел lim /z n = /. Тогда:

если I 1, то ряд z n сходится абсолютно ;

если I > 1, то ряд 5Z z n расходится.

При I = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Пример 19.3. Исследовать сходимость рядов

Решен и е. а) По определению косинуса (см. (12.2))

Поэтому

00 1 (е п

Применим признак Даламбера к ряду Y1 о (о) :

Значит, ряд ^ - (-) расходится. (Расходимость этого ряда следует

п= 1 2 " 2 "

также из того, что его члены не ст!>емятся к нулю и, следовательно, необходимое условие сходимости не выполнено. Можно воспользоваться и тем, что члены ряда образуют геометрическую прогрессию

со знаменателем q = е/2 > 1.) По признаку сравнения ряд 51 0п

так же расход и тся.

б) Покажем, что величины cos(? -f п) ограничены одним и тем же числом. Действительно,

| cos (г 4- п) = | cos i cos n - sin i sin 7i| ^

^ | cosi || cos 7?| 4-1 sinг|| sin 7?.| ^ | cosi| 4-1 sin i| = А/, где M - положительная постоянная. Отсюда

Ряд 5Z сх °дится. Значит, по признаку сравнения, ряд

cos (i 4" ii)

также сходится. Следовательно, исходный ряд 51 -~^т 1 -~ сходится

ft -1 2 ”

абсолютно.

Ряд 5Z z ki полученный из ряда 51 z k отбрасыванием первых п

к=п+1 к =1

членов, называется остатком (п-м остатком) ряда 51 z k- В случае

сходимости так же называется и сумма

Легко видеть, что 5 = 5„ + г„, где 5 - сумма, a S n - частичная сумма

ряда ^ Zf{- Отсюда сразу следует, что если ряд сходится , то его

п-й остаток стремится к пулю при п -> оо. Действительно, пусть

ряд У2 z k сходится, т.е. lirn 5„ = 5. Тогда lim г п = lim (5 - 5„) =

ft-I П ->00 П->00 «->00

Стандартными методами, но зашли в тупик с очередным примером.

В чём состоит трудность и где может быть загвоздка? Отложим в сторону намыленную верёвку, спокойно проанализируем причины и ознакомимся с практическими приёмами решения.

Первое, и самое главное : в подавляющем большинстве случаев для исследования сходимости ряда необходимо применить какой-нибудь знакомый способ, но общий член ряда набит настолько хитрой начинкой, что совершенно не очевидно, что с ней делать. И вы ходите по кругу: не срабатывает первый признак, не годится второй, не получается третьим, четвёртым, пятым методом, потом черновики отбрасываются в сторону и всё начинается заново. Обычно это связано с недостатком опыта или пробелами в других разделах математического анализа. В частности, если запущены пределы последовательностей и поверхностно разобраны пределы функций , то придётся туго.

Иными словами, человек просто не видит нужный приём решения в силу недостатка знаний или опыта.

Бывает виновато и «затмение», когда, например, элементарно не выполнен необходимый признак сходимости ряда, но по незнанию, невнимательности либо небрежности это выпадает из поля зрения. И получается как в той байке, где профессор математики решил детскую задачку с помощью диких рекуррентных последовательностей и числовых рядов =)

В лучших традициях сразу живые примеры: ряды и их родственники – расходятся, так как в теории доказаны пределы последовательностей . Скорее всего, в первом семестре из вас вытрясут душу за доказательство на 1-2-3 страницы, но сейчас вполне достаточно показать невыполнение необходимого условия сходимости ряда, сославшись на известные факты. Известные? Если студент не знает, что корень энной степени – штука чрезвычайно мощная, то, скажем, ряды поставят его в тупик. Хотя решение, как дважды два: , т.е. по понятной причине оба ряда расходятся. Скромного комментария «данные пределы доказаны в теории» (или даже вовсе его отсутствия) вполне хватит для зачёта, всё-таки выкладки достаточно тяжёлые и относятся они точно не к разделу числовых рядов.

А изучив ближайшие примеры, вы будете только удивляться краткости и прозрачности многих решений:

Пример 1

Исследовать сходимость ряда

Решение : прежде всего, проверяем выполнение необходимого признака сходимости . Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».

«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?

Примерные образцы оформления задач в конце урока.

Не редкость, когда приходится проводить двухходовое (а то и трёхходовое) рассуждение:

Пример 6

Исследовать сходимость ряда

Решение : сначала аккуратно разбираемся с тарабарщиной числителя. Последовательность – ограничена: . Тогда:

Сравним наш ряд с рядом . В силу только что полученного двойного неравенства, для всех «эн» будет выполнено:

Теперь сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом .

Знаменатель дроби меньше знаменателя дроби , поэтому сама дробь – больше дроби (распишите несколько первых членов, если не понятно). Таким образом, для любого «эн»:

А значит, по признаку сравнения ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Если немного видоизменить знаменатель: , то первая часть рассуждений будет аналогична: . Но вот для доказательства расходимости ряда уже применим только предельный признак сравнения, так как неравенство неверно.

Ситуация со сходящимися рядами «зеркальна», то есть, например, для ряда можно использовать оба признака сравнения (неравенство справедливо), а для ряда – только предельный признак (неравенство неверно).

Продолжаем наше сафари по дикой природе, где на горизонте замаячило стадо грациозных и сочных антилоп:

Пример 7

Исследовать сходимость ряда

Решение : необходимый признак сходимости выполняется, и мы снова задаёмся классическим вопросом: что делать? Перед нами нечто напоминающее сходящийся ряд , однако, чёткого правила тут нет – такие ассоциации зачастую обманчивы.

Зачастую, да не в этот раз. С помощью предельного признака сравнения сравним наш ряд со сходящимся рядом . В ходе вычисления предела используем замечательный предел , где в качестве бесконечно малой величины выступает :

сходится вместе с рядом .

Вместо применения стандартного искусственного приёма домножения и деления на «тройку», можно было изначально провести сравнение со сходящимся рядом .
Но здесь желательна оговорка, что константа-множитель общего члена не влияет на сходимость ряда. И как раз в таком стиле оформлено решение следующего примера:

Пример 8

Исследовать сходимость ряда

Образец в конце урока.

Пример 9

Исследовать сходимость ряда

Решение : в предыдущих примерах мы пользовались ограниченностью синуса, но сейчас это свойство оказывается вне игры. Знаменатель дроби более высокого порядка роста , чем числитель, поэтому при аргумент синуса и весь общий член бесконечно малЫ . Необходимое условие сходимости, как понимаете, выполнено, что не позволяет нам отлынивать от работы.

Проведём разведку: в соответствии с замечательной эквивалентностью , мысленно отбросим синус и получим ряд . Ну а уж такое-то….

Оформляем решение:

Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Заменим бесконечно малую эквивалентной: при .

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Пример 10

Исследовать сходимость ряда

Это пример для самостоятельного решения.

Для планирования дальнейших действий в подобных примерах здОрово помогает мысленное отбрасывание синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса. Но помните, такая возможность существует лишь при бесконечно малом аргументе, не так давно мне попался провокационный ряд:

Пример 11

Исследовать сходимость ряда
.

Решение : здесь бесполезно использовать ограниченность арктангенса, и эквивалентность тоже не работает. Выход неожиданно прост:


Исследуемый ряд расходится , так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Вторая причина «затыка на задании» состоит в приличной навороченности общего члена , что вызывает затруднения уже технического характера. Грубо говоря, если рассмотренные выше ряды относятся к разряду «фиг догадаешься», то эти – к категории «хрен решишь». Собственно, это и называют сложностью в «обычном» понимании. Далеко не каждый правильно разрулит несколько факториалов, степеней, корней и прочих обитателей саванны. Больше всего проблем доставляют, конечно же, факториалы:

Пример 12

Исследовать сходимость ряда

Как возвести факториал в степень? Легко. По правилу действий со степенями, необходимо возвести в степень каждый множитель произведения:

И, конечно же, внимание и ещё раз внимание, сам-то по себе признак Даламбера работает традиционно:

Таким образом, исследуемый ряд сходится .

Напоминаю рациональную методику устранения неопределённости : когда понятен порядок роста числителя и знаменателя – совсем не обязательно мучаться и раскрывать скобки.

Пример 13

Исследовать сходимость ряда

Зверь очень редкий, но встречается, и было бы несправедливым обойти его объективом камеры.

Что такое факториал с двойным восклицательным знаком? Факториал «накручивает» произведение положительных чётных чисел:

Аналогично, факториал «накручивает» произведение положительных нечётных чисел:

Проанализируйте, в чём состоит отличие от и

Пример 14

Исследовать сходимость ряда

А в этом задании постарайтесь не запутаться со степенями, замечательными эквивалентностями и замечательными пределами .

Образцы решений и ответы в конце урока.

Но студент достаётся на корм не только тиграм – свою добычу выслеживают и хитрые леопарды:

Пример 15

Исследовать сходимость ряда

Решение : практически мгновенно отпадают необходимый признак сходимости, предельный признак, признаки Даламбера и Коши. Но хуже всего, что бессилен неоднократно выручавший нас признак с неравенствами. Действительно, сравнение с расходящимся рядом невозможно, так как неравенство неверно – множитель-логарифм только увеличивает знаменатель, уменьшая саму дробь по отношению к дроби . И другой глобальный вопрос: а почему мы вообще изначально уверены, что наш ряд непременно обязан расходиться и его нужно сравнивать с каким-либо расходящимся рядом? Вдруг он вообще сходится?

Интегральный признак? Несобственный интеграл навевает траурное настроение. Вот если бы у нас был ряд … тогда да. Стоп! Так и рождаются идеи. Оформляем решение в два шага:

1) Сначала исследуем сходимость ряда . Используем интегральный признак :

Подынтегральная функция непрерывна на

Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

2) Сравним наш ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .

И в таком решении нет ничего необычного или творческого – так и надо решать!

Предлагаю самостоятельно оформить следующую двухходовку:

Пример 16

Исследовать сходимость ряда

Студент с некоторым опытом в большинстве случаев сразу видит, сходится ряд или расходится, но, бывает, что хищник ловко маскируется в кустах:

Пример 17

Исследовать сходимость ряда

Решение : на первый взгляд вообще не понятно, как ведёт себя этот ряд. А если перед нами туман, то логично начать с черновой проверки необходимого условия сходимости ряда. В целях устранения неопределённости используем непотопляемый метод умножения и деления на сопряженное выражение :

Необходимый признак сходимости не сработал, но вывел на чистую воду нашего тамбовского товарища. В результате выполненных преобразований получен эквивалентный ряд , который в свою очередь сильно напоминает сходящийся ряд .

Записываем чистовое решение:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Возможно, у некоторых возник вопрос, откуда на нашем африканском сафари появились волки? Не знаю. Завезли, наверное. Следующую трофейную шкуру добывать вам:

Пример 18

Исследовать сходимость ряда

Примерный образец решения в конце урока

И, наконец, ещё одна мысль, которая в отчаянии посещает многих студентов: а не использовать ли более редкий признак сходимости ряда ? Признак Раабе, признак Абеля, признак Гаусса, признак Дирихле и прочие неведомые зверушки. Идея рабочая, но в реальных примерах осуществляется очень редко. Лично я за все годы практики лишь 2-3 раза прибегнул к признаку Раабе , когда действительно ничего не помогло из стандартного арсенала. Полностью воспроизвожу ход своего экстремального квеста:

Пример 19

Исследовать сходимость ряда

Решение : Безо всяких сомнений признак Даламбера. В ходе вычислений активно использую свойства степеней, а также второй замечательный предел :

Вот тебе и раз. Признак Даламбера не дал ответа, хотя ничего не предвещало такого исхода.

Пошерстив справочник, я нашёл доказанный в теории малоизвестный предел и применил более сильный радикальный признак Коши:

Вот тебе и два. И, главное, совершенно не понятно, сходится ряд или расходится (крайне редкая для меня ситуация). Необходимый признак сравнения? Без особых надежд – даже если немыслимым образом разберусь с порядком роста числителя и знаменателя, то это ещё не гарантирует вознаграждения.

Полный даламбер, но самое скверное, что ряд нужно решить. Нужно. Ведь это будет первый случай, когда я сдамся. И тут мне вспомнилось, что вроде существуют ещё какие-то более сильные признаки. Передо мной был уже не волк, не леопард и не тигр. Это был огромный слон, размахивающий большим хоботом. Пришлось взять в руки гранатомёт:

Признак Раабе

Рассмотрим положительный числовой ряд .
Если существует предел , то:
а) При ряд расходится . Причём полученное значение может быть нулевым или отрицательным
б) При ряд сходится . В частности, ряд сходится при .
в) При признак Раабе не даёт ответа .

Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:


Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя , и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.

Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-й том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу.

Определение: Числовым рядом комплексных чисел z 1, z 2, …, z n , … называется выражение вида

z 1 + z 2 + …, z n + … = , (3.1)

где z n называют общим членом ряда.

Определение: Число S n = z 1 + z 2 + …, z n называется частичной суммой ряда.

Определение: Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность {S n } его частичных сумм. Если же последовательность частичных сумм расходится, то и ряд называют расходящимся.

Если ряд сходится, то число S = называется суммой ряда (3.1).

z n = x n + iy n ,

то ряд (1) записывается в виде

= + .

Теорема: Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды и , составленные из действительных и мнимых частей членов ряда (3.1).

Эта теорема позволяет перенести признаки сходимости рядом с действительными членами на ряды с комплексными членами (необходимый признак, признак сравнения, признак Д’Аламбера, Коши и др.).

Определение. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов.

Теорема. Для абсолютной сходимости ряда (3.1) необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились ряды и .

Пример 3.1. Выяснить характер сходимости ряда

Решение.

Рассмотрим ряды

Покажем, что эти ряды сходятся абсолютно. Для этого докажем, что ряды

Сходятся.

Так как , то вместо ряда возьмём ряд . Если последний ряд сходится, то по признаку сравнения сходится и ряд .

Сходимость рядов и доказывается с помощью интегрального признака.

Это значит, что ряды и сходится абсолютно и, согласно последней теореме, исходный ряд сходится абсолютно.

4. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля о степенных рядах. Круг и радиус сходимости.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

где …, – комплексные числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости ряда (4.I) является круг .

Для отыскания радиуса сходимости R данного ряда, содержащего все степени , используют одну из формул:

Если ряд (4.1) содержит не все степени , то для отыскания нужно непосредственно использовать признак Д’Аламбера или Коши.

Пример 4.1. Найти круг сходимости рядов:

Решение:

а) Для отыскания радиуса сходимости этого ряда воспользуемся формулой

В нашем случае

Отсюда круг сходимости ряда задается неравенством

б) Для отыскания радиуса сходимости ряда используем признак Д’Аламбера.

Для вычисления предела дважды использовали правило Лопиталя.

По признаку Д’Аламбера ряд будет сходиться, если . Отсюда имеем круг сходимости ряда .

5. Показательная и тригонометрические функции комплексной переменной.

6. Теорема Эйлера. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

7. Теорема сложения. Периодичность показательной функции.

Показательная функция и тригонометрические функции и определяются как суммы соответствующих степенных степенных рядов, а именно:

Эти функции связаны формулами Эйлера:

называемые, соответственно, гиперболическим косинусом и синусом, связаны с тригонометрическим косинусом и синусом формулами

Функции , , , определяются как и в действительном анализе.

Для любых комплексных чисел и имеет место теорема сложения:

Всякое комплексное число может быть записано в показательной форме:

– его аргумент.

Пример 5.1. Найти

Решение.

Пример 5.2. Представьте число в показательной форме.

Решение.

Найдем модуль и аргумент этого числа:

Тогда получим

8. Предел, непрерывность и равномерная непрерывность функций комплексной переменной.

Пусть Е – некоторое множество точек комплексной плоскости.

Определение. Говорят, что на множестве Е задана функция f комплексной переменной z, если каждой точке z E по правилу f поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел w (в первом случае функция называется однозначной, во втором – многозначной). Обозначим w = f(z) . E – область определения функции.

Всякую функцию w = f(z) (z = x + iy) можно записать в виде

f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).

U(x, y) = R f(z) называют действительной частью функции, а V(x, y) = Im f(z) – мнимой частью функции f(z).

Определение. Пусть функция w = f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z 0 , исключая, может быть, саму точку z 0 . Число А называется пределом функции f(z) в точке z 0 , если для любого ε > 0 можно указать такое число δ > 0, что для всех z = z 0 и удовлетворяющих неравенству |z – z 0 | < δ , будет выполнятся неравенство | f(z) – A| < ε.

Записывают

Из определения следует, что z → z 0 произвольным образом.

Теорема. Для существования предела функции w = f(z) в точке z 0 = x 0 + iy 0 необходимо и достаточно существование пределов функции U(x, y) и V(x, y) в точке (x 0 , y 0).

Определение. Пусть функция w = f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z 0 , включая саму эту точку. Функция f(z) называется непрерывной в точке z 0 , если

Теорема. Для непрерывности функции в точке z 0 = x 0 + iy 0 необходимо и достаточно, чтобы были непрерывны функции U(x, y) и V(x, y) в точке (x 0 , y 0).

Из теорем следует, что простейшие свойства, относящиеся к пределу и непрерывности функций действительных переменных, переносятся на функции комплексной переменной.

Пример 7.1. Выделить действительную и мнимую части функции .

Решение.

В формулу, задающую функцию, подставим

К нулю по двум различным направлениям, функция U(x, y) имеет разные пределы. Это значит, что в точке z = 0 функция f(z) предела не имеет. Далее, функция f(z) определена в точках, где .

Пусть z 0 = x 0 +iy 0 , одна из таких точек.

Это значит, что в точках z = x +iy при y 0 функция непрерывна.

9. Последовательности и ряды функций комплексной переменной. Равномерная сходимость. Непрерывность степенного ряда.

Определение сходящейся последовательности и сходящегося ряда функций комплексной переменной равномерной сходимости, соответствующие теории о равной сходимости, непрерывности предела последовательности, суммы ряда формируются и доказываются точно так же, как и для последовательностей и рядов функций действительной переменной.

Приведём необходимые для дальнейшего факты, касающиеся функциональных рядов.

Пусть в области D определена последовательность однозначных функций комплексной переменной {fn (z)}. Тогда символ:

Называется функциональным рядом .

Если z0 принадлежит D фиксировано, то ряд (1) будет числовым.

Определение. Функциональный ряд(1) называется сходящимся в области D , если для любогоz принадлежащего D , соответствующий ему числовой ряд сходится.

Если ряд (1) сходится в областиD , то в этой области можно определить однозначную функцию f(z) , значение которой в каждой точке z принадлежащей D равно сумме соответствующего числового ряда. Эту функцию называют суммой ряда (1) в области D .

Определение. Если

для любогоz принадлежащего D, выполняется неравенство:

то ряд (1) называется равномерно сходящимся в области D .

21.2 Числовые ряды (ЧР):

Пусть z 1 , z 2 ,…, z n - последовательность комплексных чисел, где

Опр 1. Выражение видаz 1 +z 2 +…+z n +…=(1)называется ЧР в комплексной области, причем z 1 , z 2 ,…, z n – члены числового ряда, z n – общий член ряда.

Опр 2. Сумма n первых членов комплексного ЧР:

S n =z 1 +z 2 +…+z n называется n-ной частичной суммой этого ряда.

Опр 3. Если существует конечный предел при nпоследовательности частичных сумм S n числового ряда, то ряд называется сходящимся , приэтом само число S называется суммой ЧР. В противном случае ЧР называется расходящимся .

Исследование сходимости ЧР с комплексными членами сводится к исследованию рядов с действительными членами.

Необходимый признак сходимости:

сходится

Опр4. ЧР называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд из модулей членов исходного ЧР: |z 1 |+|z 2 |+…+| z n |+…=

Этот ряд называется модульным, где |z n |=

Теорема (об абсолютной сходимости ЧР): если модульный ряд , то сходится и ряд .

При исследовании сходимости рядов с комплексными членами применяют все известные достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов с действительными членами, а именно, признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

21.2 Степенные ряды (СР):

Опр5. СР в комплексной плоскости называется выражение вида:

c 0 +c 1 z+c 2 z 2 +…+c n z n =, (4) где

c n – коэффициенты СР (комплексные или действительные числа)

z=x+iy – комплексная переменная

x, y – действительные переменные

Также рассматривают СР вида:

c 0 +c 1 (z-z 0)+c 2 (z-z 0) 2 +…+c n (z-z 0) n +…=,

Который называется СР по степеням разности z-z 0 , где z 0 фиксированное комплексное число.

Опр 6. Множество значений z, при которых СР сходится называется областью сходимости СР.

Опр 7. Сходящийся в некоторой области СР называется абсолютно (условно) сходящимся , если сходится (расходится) соответствующий модульный ряд.

Теорема (Абеля): Если СР сходится при z=z 0 ¹0 (в точке z 0), то он сходится, и притом абсолютно для всех z, удовлетворяющих условию: |z|<|z 0 | . Если же СР расходится при z=z 0 ,то он расходится при всех z, удовлетворяющих условию |z|>|z 0 |.

Из теоремы следует, что существует такое число R, называемое радиусом сходимости СР , такое, что для всех z, для которых |z|R – СР расходится.

Областью сходимости СР является внутренность круга |z|

Если R=0, то СР сходится только в точке z=0.

Если R=¥, то областью сходимости СР является вся комплексная плоскость.

Областью сходимости СР является внутренность круга |z-z 0 |

Радиус сходимости СР определяется формулами:

21.3 Ряд Тейлора:

Пусть функция w=f(z) аналитична в круге z-z 0

f(z)= =C 0 +c 1 (z-z 0)+c 2 (z-z 0) 2 +…+c n (z-z 0) n +…(*)

коэффициенты которой вычисляются по формуле:

c n =, n=0,1,2,…

Такой СР (*) называется рядом Тейлора для функции w=f(z) по степеням z-z 0 или в окрестности точки z 0 . С учетом обобщенной интегральной формулы Коши коэффициенты ряда (*) Тейлора можно записать в виде:

C – окружность с центром в точке z 0 , полностью лежащая внутри круга |z-z 0 |

При z 0 =0 ряд (*) называется рядом Маклорена . По аналогии с разложениями в ряд Маклорена основных элементарных функций действительного переменного можно получить разложения некоторых элементарных ФКП:

Разложения 1-3 справедливы на всей комплексной плоскости.

4). (1+z) a = 1+

5). ln(1+z) = z-

Разложения 4-5 справедливы в области |z|<1.

Подставим в разложение для e z вместо z выражение iz:

(формула Эйлера )

21.4 Ряд Лорана:

Ряд с отрицательными степенями разности z-z 0:

c -1 (z-z 0) -1 +c -2 (z-z 0) -2 +…+c -n (z-z 0) -n +…=(**)

Подстановкой ряд (**) превращается в ряд по степеням переменной t: c -1 t+c -2 t 2 +…+c - n t n +… (***)

Если ряд (***) сходится в круге |t|r.

Образуем новый ряд как сумму рядов (*) и (**) изменяя n от -¥ до +¥.

…+c - n (z-z 0) - n +c -(n -1) (z-z 0) -(n -1) +…+c -2 (z-z 0) -2 +c -1 (z-z 0) -1 +c 0 +c 1 (z-z 0) 1 +c 2 (z-z 0) 2 +…

…+c n (z-z 0) n = (!)

Если ряд (*) сходится в области |z-z 0 |r, то областью сходимости ряда (!) будет общая часть этих двух областей сходимости, т.е. кольцо (r<|z-z 0 |кольцом сходимости ряда .

Пусть функция w=f(z) – аналитическая и однозначная в кольце (r<|z-z 0 |

коэффициенты которой определяются по формуле:

C n = (#), где

С – окружность с центром в точке z 0 , которая полностью лежит внутри кольца сходимости.

Ряд (!) называется рядом Лорана для функции w=f(z).

Ряд Лорана для функции w=f(z) состоит из 2-х частей:

Первая часть f 1 (z)= (!!) называется правильной частью ряда Лорана. Ряд (!!) сходится к функции f 1 (z) внутри круга |z-z 0 |

Вторая часть ряда Лорана f 2 (z)= (!!!) - главная часть ряда Лорана. Ряд (!!!) сходится к функции f 2 (z) вне круга |z-z 0 |>r.

Внутри кольца ряд Лорана сходится к функции f(z)=f 1 (z)+f 2 (z). В некоторых случаях или главная, или правильная часть ряда Лорана может или отсутствовать, или содержать конечное число членов.

На практике для разложения функции в ряд Лорана обычно не вычисляют коэффициенты С n (#), т.к. она приводит к громоздким вычислениям.

На практике поступают следующим образом:

1). Если f(z) – дробно-рациональная функция, то ее представляют в виде суммы простых дробей, при этом дробь вида , где a-const раскладывают в ряд геометрической прогрессии с помощью формулы:

1+q+q 2 +q 3 +…+=, |q|<1

Дробь вида раскладывают в ряд, который получается дифференцированием ряда геометрической прогрессии (n-1) раз.

2). Если f(z) – иррациональная или трансцендентная, то используют известные разложения в ряд Маклорена основных элементарных ФКП: e z , sinz, cosz, ln(1+z), (1+z) a .

3). Если f(z) – аналитическая в бесконечно удаленной точке z=¥, то подстановкой z=1/t задача сводится к разложению функции f(1/t) в ряд Тейлора в окрестности точки 0, при этом z-окрестностью точки z=¥ считается внешность круга с центром в точке z=0 и радиусом равным r (возможно r=0).

Л.1 ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ДЕКАТОВЫХ КООРД.

1.1 Основные понятия и определения

1.2 Геометрический и физический смысл ДВИ.

1.3 основные свойства ДВИ

1.4 Вычисление ДВИ в декартовых координатах

Л.2 ДВИ в ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ в ДВИ.

2.1 Замена переменных в ДВИ.

2.2 ДВИ в полярных координатах.

Л.3Геометрические и физические приложения ДВИ.

3.1 Геометрические приложения ДВИ.

3.2 Физические приложения двойных интегралов.

1.Масса. Вычисление массы плоской фигуры.

2.Вычисление статических моментов и координат центра тяжести(центра масс) пластины.

3. Вычисление моментов инерции пластины.

Л.4ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

4.1 ТРИ:основные понятия. Теорема существования.

4.2 Основные св-ва ТРИ

4.3 Вычисление ТРИ в декартовых координатах

Л.5 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КООРДИНАТАМ II РОДА – КРИ-II

5.1 Основные понятия и определения КРИ-II, теорема существования

5.2 Основные свойства КРИ-II

5.3 Вычисление КРИ – II для различных форм задания дуги АВ.

5.3.1 Параметрическое задание пути интегрирования

5.3.2. Явное задание кривой интегрирования

Л. 6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДВИ и КРИ. СВ-ВА КРИ II-го РОДА СВЯЗАННЫЕ с ФОРМОЙ ПУТИ ИНТЕГР.

6.2. Формула Грина.

6.2. Условия (критерии) равенства нулю контурного интеграла.

6.3. Условия независимости КРИ от формы пути интегрирования.

Л. 7Условия независимости КРИ 2-го рода от формы пути интегрирования (продолжение)

Л.8 Геометрическая и физические приложения КРИ 2-го рода

8.1 Вычесление S плоской фигуры

8.2 Вычисление работы переменой силы

Л.9 Поверхностные интегралы по площади поверхности (ПВИ-1)

9.1. Основные понятия, теорема существования.

9.2. Основные свойства ПВИ-1

9.3.Гладкие поверхности

9.4.Вычисление ПВИ-1 свидением к ДВИ.

Л.10. ПОВЕРХН. ИНТЕГРАЛЫ по КООРД.(ПВИ2)

10.1. Классификация гладких поверхностей.

10.2. ПВИ-2: определение, теорема существования.

10.3. Основные свойства ПВИ-2.

10.4. Вычисление ПВИ-2

Лекция № 11.СВЯЗЬ МЕЖДУ ПВИ, ТРИ и КРИ.

11.1.Формула Остроградского-Гаусса.

11.2 Формула Стокса.

11.3. Применение ПВИ к вычислению объёмов тел.

ЛК.12 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

12.1 Теор. Поля, осн. Понятия и определения.

12.2 Скалярное поле.

Л. 13 ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ (ВП) И ЕГО ХАР-КИ.

13.1 Векторные линии и векторные поверхности.

13.2 Поток вектора

13.3 Дивергенция поля. Формула Остр.-Гаусса.

13.4 Циркуляция поля

13.5 Ротор (вихрь) поля.

Л.14 СПЕЦ. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ИХ ХАР-КИ

14.1 Векторные дифференциальные операции 1 порядка

14.2 Векторные дифференциальные операции II – порядка

14.3 Соленоидальное векторное поле и его свойства

14.4 Потенциальное (безвихревое) ВП и его свойства

14.5 Гармоническое поле

Л.15 ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА(К/Ч).

15.1. К/ч определение, геометрическое изображение.

15.2 Геометрическое представление к/ч.

15.3 Операция над к/ч.

15.4 Понятие расширенной комплексной z-пл.

Л.16 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. Функция комплексного переменного (ФКП) и её приделы.

16.1. Последовательность комплексных чисел определение, критерий существования.

16.2 Арифметические свойства приделов комплексных чисел.

16.3 Функция комплексного переменного: определение, непрерывность.

Л.17 Основные элементарные ф-ции комплексного переменного (ФКП)

17.1. Однозначные элементарные ФКП.

17.1.1. Степенная ф.-ция: ω=Z n .

17.1.2. Показательная ф.-ция: ω=e z

17.1.3. Тригонометрические ф.-ции.

17.1.4. Гиперболические ф.-ции (shZ, chZ, thZ, cthZ)

17.2. Многозначные ФКП.

17.2.1. Логарифмическая ф.-ция

17.2.2. arcsin числа Z наз. число ω,

17.2.3.Обобщенная степенная показательная ф.-ция

Л.18Дифференцирование ФКП. Аналитич. ф-ия

18.1. Производная и дифференциал ФКП: основные понятия.

18.2. Критерий дифференцируемости ФКП.

18.3. Аналитическая функция

Л. 19 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФКП.

19.1 Интеграл от ФКП(ИФКП):опр., сведение КРИ, теор. существ.

19.2 О существов. ИФКП

19.3 Теор. Коши

Л.20. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном тображении.

20.1 Геометрический смысл модуля производной

20.2 Геометрический смысл аргумента производной

Л.21. Ряды в комплексной области.

21.2 Числовые ряды (ЧР)

21.2 Степенные ряды (СР):

21.3 Ряд Тейлора

Похожие статьи