Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной оси бруса, но не совпадающей с ней (рис. 9.4).

Проекция точки приложения силы на поперечное сечение называется полюсом или силовой точкой, а прямая, проходящая через полюс и центр сечения, - силовой линией.

Внецентренное растяжение (сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и косому изгибу, если перенести силу Р в центр тяжести сечения. Так, сила Р, отмеченная на рис. 9.4 одной черточкой Г вызовет осевое растяжение бруса, а пара сил, отмеченных двумя черточками, - косой изгиб.

На основании принципа независимости действия сил напряжения в точках поперечного сечения при внецентренном растяжении (сжатии) определяются по формуле

В эту формулу осевую силу изгибающие моменты а также координаты точки сечения, в которой определяется напряжение, надо подставлять с их знаками. Для изгибающих моментов примем такое же правило знаков, как и при косом изгибе, а осевую силу будем считать положительной, когда она вызывает растяжение.

Если координаты полюса обозначить через , то момент Формула (9.5) принимает вид

Из этого уравнения видно, что концы векторов напряжений в точках сечения расположены на плоскости. Линия пересечения плоскости напряжений с плоскостью поперечного сечения является нейтральной линией, уравнение которой находим, приравнивая правую часть равенства (9.6) нулю. После сокращения на Р получим

Таким образом, нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) не проходит через центр тяжести сечения и не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента. Нейтральная линия отсекает на осях координат отрезки

Представим моменты инерции как произведения площади сечения на квадрат соответствующего радиуса инерции

Тогда выражения (9.8) можно записать так:

Из формул (9.8) видно, что полюс и нейтральная линия всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения, причем положение нейтральной линии определяется координатами полюса.

При приближении полюса по силовой линии к центру тяжести сечения нейтральная линия будет удаляться от центра, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению. В пределе при нейтральная линия удалится в бесконечность. В этом случае будет иметь место центральное растяжение (сжатие) бруса.

На силовой линии всегда можно найти такое положение полюса, при котором нейтральная линия будет касаться контура сечения, нигде не пересекая его. Если провести все возможные нейтральные линии так, чтобы они касались контура сечения, нигде не пересекая его, и найти соответствующие им полюсы, то окажется, что полюсы будут расположены на вполне определенной для каждого сечения замкнутой линии. Область, ограниченная этой линией, называется ядром сечения. В круглом сечении, например, ядро представляет собой круг диаметром в 4 раза меньшим диаметра сечения, а в прямоугольных и двутавровых сечениях ядро имеет форму параллелограмма (рис. 9.5).

Из самого построения ядра сечения следует, что до тех пор, пока полюс находится внутри ядра, нейтральная линия не пересечет контур сечения и напряжения во всем сечении будут одного знака. Если, же полюс расположен вне ядра, то нейтральная линия пересечет контур сечения, и тогда в сечении будут действовать напряжения разного знака. Указанное обстоятельство необходимо учитывать при расчете на виецентренное сжатие стоек из хрупких материалов. Поскольку хрупкие материалы плохо воспринимают растягивающие нагрузки, то желательно внешние силы прикладывать к стойке так, чтобы во всем сечении действовали только напряжения сжатия. Для этого точка приложения равнодействующей внешних сил, сжимающих стойку, должна находиться внутри ядра сечения.

Расчет на прочность при внецентренном растяжении и сжатии производится так же, как и при косом изгибе, - по напряжению в опасной точке поперечного сечения. Опасной является точка сечения, наиболее удаленная от его нейтральной линии. Однако в тех случаях, когда в этой точке действует напряжение сжатия, а материал стойки хрупкий, опасной может быть точка, в которой действуй наибольшее растягивающее напряжение.

Эпюра напряжений строится на оси, перпендикулярной к нейтральной линии сечения, и ограничена прямой линией (см. рис. 9,4).

Условие прочности запишется так.

Внецентренное сжатие. Построение ядра сечения. Изгиб с кручением. Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии.

Внецентренное сжатие - это вид деформации, при котором продольная сила в поперечном сечении стержня приложена не в центре тяжести. При внецентренном сжатии, помимо продольной силы (N), возникают два изгибающих момента (M x и M y).

Считают, что стержень обладает большой жесткостью на изгиб, чтобы пренебречь прогибом стержня при внецентренном сжатии.

Преобразуем формулу моментов при внецентренном сжатии , подставляя значения изгибающих моментов:

Обозначим координаты некоторой точки нейтральной (нулевой) линии при внецентренном сжатии xN, yN и подставим их в формулу нормальных напряжений при внецентренном сжатии. Учитывая, что напряжения в точках нейтральной линии равны нулю, после сокращения на P/F, получим уравнение нейтральной линии при внецентренном сжатии:

(35)

Нулевая линия при внецентренном сжатии и точка приложения нагрузки всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения.

Рис. 43. Внецентренное сжатие

Отрезки, отсекаемые нулевой линией от осей координат, обозначенные ax и ay, легко найти из уравнения нулевой линии при внецентренном сжатии. Если сначала принять xN = 0, yN = ay, а затем принять yN = 0, xN = ax, то найдем точки пересечения нулевой линии при внецентренном сжатии с главными центральными осями:

Рис. 44. Нейтральная линия при внецентренном растяжении - сжатии

Нейтральная линия при внецентренном сжатии разделит поперечное сечение на две части. В одной части напряжения будут сжимающими, в другой - растягивающими. Расчет на прочность, как и в случае косого изгиба, проводят по нормальным напряжениям, возникающим в опасной точке поперечного сечения (наиболее удаленной от нулевой линии).

(36)

Ядро сечения - малая область вокруг центра тяжести поперечного сечения, характерная тем, что любая сжимающая продольная сила, приложенная внутри ядра, вызывает во всех точках поперечного сечения сжимающие напряжения.

Примеры ядра сечения для прямоугольного и круглого поперечных сечений стержня.

Рис. 45. Форма ядра сечения для прямоугольника и круга

Изгиб с кручением . Такому нагружению (одновременному действию крутящих и изгибающих моментов)часто подвержены валы машин и механизмов. Для расчета бруса необходимо прежде всего установить опасные сечения. Для этого строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения, возникающие в брусе отдельно для кручения, и для изгиба.

При кручении в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках контура сечения При изгибе в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, достигающие наибольшего значения в крайних волокнах бруса .

Расчет стержней при внецентренном сжатии-растяжении

Пример 1.

Чугунный короткий стержень сжимается продольной силой F = 600 кН, приложенной в точке В .

Требуется:

1. Определить положение нейтральной линии;

2. Вычислить наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения.

Решение.

1. Изобразим сечение в масштабе.

2. Определим положение главных центральных осей. Сечение обладает осью симметрии, поэтому ось Y можем показать сразу.

3. Определим положение центра тяжести фигуры (фи гура состоит из двух квадратов). Выберем произвольную вспомогательную систему координат.

х 1 С 1 Y – вспомогательная система координат;

определим координаты точек С 1 и С 2 в системе х 1 С 1 Y .

А 1 , А 2 – площадь первого и второго квадрата соответственно.

А = А 1 – А 2 – площадь всей фигуры.

А 1 = b 2 = 2500 см 2

С (х с = 0; у с = -5,89) – положение центра тяжести во вспомогательной системе координат х 1 С 1 Y .

Ось X проводим перпендикулярно оси Y через точку С .

Так как сечение симметричное, то XС Y – главная центральная система координат.

4. Определим главные центральные моменты инерции и квадраты главных радиусов сечения.

где а 1 = 5,89см – расстояние между осями Х и х 1 ;

а 2 = 5,89 + 17,68 = 23,57 – расстояние между осями Х и х 2 .

5. Определим координаты точки В (точки приложения силы) в главной центральной системе координат х с Су с.

6. Определим положение нейтральной линии.

,

где х N , у N – координаты точек нейтральной линии.

В данной задаче

Нейтральная линия проходит через точку (х N =0;у N =11,36) параллельно оси х с.

7. В данной задаче на стержень действует сжимающая сила, поэтому нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения будем определять по формуле

гдех, у – это координаты точки, в которой считают напряжения.

8. Наибольшие сжимающие напряжения достигаются в точке В . Эта точка,наиболее удаленная от нейтральной линии в области сжатия.

Наибольшее растягивающие напряжения достигаются в точках К и L y K = у L = 23,57 см.

Ответ: ,

Пример 2.

Построить ядро сечения.

Решение.

1. Определяем тип контура ядра сечения.

2. Определяемчисло вершин многоугольника, получившегося внутри контура (то есть число предельных касательных к сечению стержня). 6 предельных касательных - 6 вершин.

3. Определяем положение главных центральных осей. Сечение обладает горизонтальной осью симметрии, поэтому ось «Х » можем показать сразу. ХО Y 0 – вспомогательная система координат (ось «Y 0 »проводим произвольно).

Сечение состоит из двух простых фигур (прямоугольника и квадрата). Определим координаты центров тяжести С 1 и С 2 в произвольной системе координат ХО Y 0 .

Центр тяжести прямоугольника.

Центр тяжести квадрата.

Площадь прямоугольника.

Площадь квадрата.

(так как С 1 и С 2 лежат на оси).

Центр тяжести всего сечения в системе координат ХО Y 0 имеет координаты С (0,015; 0). (Покажем на чертеже).

Ось Y проводим перпендикулярно оси Y 0 через центр тяжести С .

Так как сечение симметричное, то ось симметрии и ось ей перпендикулярная, проходящая через центр тяжести образуют главную центральную систему координат.

X, Y – главные центральные оси сечения.

4. Определяем геометрические характеристики сечения относительно главных центральных осей.

Вычисляем главные центральные моменты инерции J x и J y .

Главные центральные моменты инерции прямоугольника.

Главные центральные моменты инерции квадрата.

(здесь использовали формулы для определения моментов инерции относительно параллельных осей. Осевые моменты инерции плоского сечения относительно произвольных осей х 1 и у 1 , параллельных центральным осям х и у , определяют по формулам

;

где а, b – расстояния между осями х и х 1 , у и у 1 , А – площадь поперечного сечения. принимается, что х, у – центральные оси, то есть оси, проходящие через центр тяжести С плоского сечения).

Вычислим квадраты главных радиусов инерции

5. Определяем вершины ядра сечения.

Пусть известно положение нейтральной линии. Требуется определить координаты точки приложения силы.

1. Рассмотрим положение нейтральной линии 1 – 1.

Используем свойство нейтральной линии. Так как нейтральная линия 1–1 проходит параллельно оси Y , то точка приложения силы Я 1 находится на оси X , то есть у F =0.

х N – абсцисса точки нейтральной линии 1 – 1 (расстояние отточки С до нейтральной линии 1 – 1).

2. Рассмотрим положение нейтральной линии 2 – 2.

Возьмем две точки нейтральной линии 2 – 2 (лучше выбирать точки, где легко можно подсчитать координаты)

В (-0,615; 0,3)и D (-0,015; 0,6)

Подставим координаты точек В и D в уравнение нейтральной линии.

(1)

(2)

Решим систему уравнений (1) – (2)

Из первого уравнения

(3)

Подставим (3) в (2)

3. Рассмотрим положение нейтральной линии 3 – 3.

Используем свойство нейтральной линии. Так как нейтральная линия 3 – 3 проходит параллельно оси X , то точка приложения силы Я 3 находится на оси Y , то есть х F =0.

у N – ордината точки нейтральной линии 3 – 3 (расстояние от точки С до нейтральной линии 3 – 3).

4. Рассмотрим положение нейтральной линии 4 – 4.

Используем свойство нейтральной линии. Так как нейтральная линия 4 – 4 проходит параллельно оси Y , то точка приложения силы Я 4 находится на оси X , то есть у F = 0.

Пример 3 .

Жесткий стержень загружен двумя силами – растягивающей и сжимающей (рис. 1). Стержень выполнен из хрупкого материала с характеристиками и . Сечение стержня симметрично и имеет форму и размеры, соответствующие рис. 2.

Требуется:

1) найти допускаемую нагрузку на стержень из условия прочности, если отношение сжимающей и растягивающей сил

2) построить ядро сечения.

Рис.1Рис.2

Решение.

Положение главных центральных осей инерции и моменты инерции относительно этих осей заданного сечения найдены ранее (см. раздел «Геометрические характеристики плоских сечений»). Найдем внутренние усилия в произвольном сечении стержня:

Для определения положения опасных точек построим нейтральную линию. Уравнение нейтральной линии в данной задаче имеет вид

Отсюда найдем отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях и . Если , то

и, если , то

Нейтральная линия показана на рис. 3.

Рис.3

Проведем касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Опасными являются точки 1 и 1¢ (см. рис. 3), наиболее отдаленные от нейтральной линии. Для хрупкого материала более опасной является точка с максимальными растягивающими напряжениями, т.е. точка 1. Найдем напряжение в этой точке, подставляя в формулу координаты точки 1:

Условие прочности в точке 1 И ли

Отсюда можно найти допускаемое значение нагрузки (не забывайте правильно подставлять единицы измерения. Множитель перед F p в данном примере имеет размерность см -2).

В заключение необходимо убедиться в том, что и в точке 1¢ , которая в данном примере дальше удалена от нейтральной оси, чем точка 1, и в которой действуют сжимающие напряжения, условие прочности тоже выполняется, т.е.

Теперь построим ядро сечения. Поместим полюсы во внешних угловых точках сечения. Учитывая симметрию сечения, достаточно расположить полюсы в трех точках: 1, 2 и 3 (см. рис. 3). Подставляя в формулы ; координаты полюсов, найдем отрезки, отсекаемые нейтральными линиями на осях и . Если полюс находится в точке 1, то его координаты и

Нейтральная линия 1–1, соответствующая полюсу в точке 1 показана на рис. 3. Аналогично строим нейтральные линии 2–2 и 3–3, соответствующие полюсам 2 и 3. При построении нейтральной линии следите за тем, чтобы она проходила в квадранте, противоположном тому, в котором находится полюс. Область, заштрихованная на рис. 3, является ядром сечения. Для контроля на рис. 3 показан эллипс инерции. Ядро сечения должно находиться внутри эллипса инерции, нигде не пересекая его.

Пример 4.

Стержень несимметричного сечения сжимается силой, приложенной в точке А (рис. 1). Поперечное сечение имеет форму и размеры, показанные на рис. 2. Материал стержня – хрупкий.

Требуется:

1) найти допускаемую нагрузку, удовлетворяющую условию прочности;

2) построить ядро сечения.

Решение.

Прежде всего, надо определить моменты и радиусы инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей. Эта часть решения задачи приведена в разделе «Геометрические характеристики плоских сечений». На рис. 1 показаны главные центральные оси инерции сечения , , положение которых найдено ранее. В системе центральных осей Y , Z (рис.2) координаты точки приложения силы А , . Вычислим координаты точки А в системе главных центральных осей по формулам

.

Рис.1Рис.2

Для определения положения опасных точек построим нейтральную линию, используя формулы ; . Радиусы инерции , найдены ранее.

Отложим эти отрезки вдоль главных осей и проведем через полученные точки нейтральную линию (см. рис. 3).

Рис.3

Опасными точками, т.е. точками, наиболее удаленными от нейтральной оси, будут точки 1 и 3 (см. рис.3). В точке 1 действует наибольшее растягивающее напряжение. Запишем условие прочности в этой точке, используя формулу :

Подставим в условие прочности координаты опасной точки 1 в главных осях, вычислив их по формулам

или измерив на рисунке, выполненном в масштабе, Тогда из условия прочности в точке 1 можно найти допускаемое значение нагрузки:

.

Для найденного значения допускаемой нагрузки необходимо убедиться, что условие прочности выполняется и в точке 3, которая дальше удалена от нейтральной линии и в которой д ействует сжимающее напряжение. Для определения напряжения в точке 3 подставим в формулу координаты этой точки

.

Это напряжение не должно превосходить . Если условие прочности в точке с максимальными сжимающими напряжениями выполняться не будет, надо найти значение допускаемой нагрузки заново из условия прочности в этой точке.

В заключение построим ядро сечения. Поместим полюсы во внешние угловые точки сечения, т.е. в точки 1, 2, 3, 4, 5 (см. рис. 3). Точка 4, находящаяся на контуре квадранта круга, получена следующим образом. Отсекая внутреннюю угловую точку , проводим линию, касательную к контуру сечения (пунктир на рис. 3). Точка 4 является точкой касания этой линией квадранта круга. Последовательно находим положение нейтральных линий, соответствующих полюсам в указанных точках, находя отрезки, отсекаемые нейтральными линиями на осях , , по формулам ; .Например, если полюс находится в точке 1, то, подставляя в ; координаты точки 1 (), найдем

Поскольку существенно больше , то это значит, что нейтральная линия 1–1 практически параллельна оси . Отрезок откладываем в масштабе вдоль оси и проводим прямую 1–1, параллельную оси (см. рис. 3). Аналогично строим нейтральные линии, соответствующие полюсам, расположенным в других точках. Ядро сечения (заштрихованная область) показано на рис. 3. Отметим, что контур ядра сечения между нейтральными линиями 4–4 и 5–5 очерчен по кривой, т.к. переход полюса из точки 4 в точку 5 происходит не по прямой линии. На рис. 3 показан также эллипс инерции сечения, построенный ранее.

Пример 5.

На брус заданного поперечного сечения в точке D верхнего торца действует продольная сжимающая сила Р =300 кН (см. рис.). Требуется найти положение нулевой линии, определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения и построить ядро сечения.

Решение:

1. Нахождение положения главных центральных осей инерции и определение площади поперечного сечения

Так как поперечное сечение бруса (рис.1) имеет две оси симметрии, а они всегда проходят через центр тяжести сечения и являются главными, то главные центральные оси сечения х с и у с будут совпадать с этими осями симметрии.

Центр тяжести сечения С в этом случае определять не надо, так как он совпадает с геометрическим центром сечения.

Площадь поперечного сечения бруса равна:

2. Определение главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции

Моменты инерции определяем по формулам:

Вычисляем квадраты главных радиусов инерции:

3. Определение положения нулевой линии

Отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции, определяем по формулам:

где х р =2,3 см и у р =2 см – координаты точки приложения силы Р (точка Р рис.11). Отложив отрезки и соответственно на осях х с и у с и проводя через их концы прямую, получим нулевую линию сечения, на которой нормальные напряжения равны нулю (). На рис.1 эта линия обозначена n -n .

4. Определение наибольших сжимающих и растягивающих напряжений и построение эпюры напряжений

Точка D , координаты которой х D =5,25 см и у D =5 см, наиболее удалена от нулевой линии в сжатой зоне сечения, поэтому наибольшие сжимающие напряжения возникают в ней и определяются по формуле

Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке К , имеющей координаты х к = ‑5,25 см, у к = ‑5 см.

По полученным значениям и строим эпюру нормальных напряжений (см. рис.11).

5. Построение ядра сечения

Для построения ядра сечения, учитывая, что сечение симметричное, рассмотрим два положения касательной к контуру сечения I -I и II -II (см. рис.1).

Отрезки, отсекаемые касательной I -I на осях координат, равны:

Координаты граничной точки 1 ядра сечения определяются по формулам:

Касательная II -II отсекает отрезки =5,25 см, =¥ .

Координаты граничной точки 2 :

Координаты граничных точек второй половины ядра сечения можно не определять, так как сечение бруса симметричное. Учитывая это для касательных III -III и IV -IV , координаты граничных точек 3 и 4 будут:

= 0; = 15,2× 10 -3 м;

=23,0× 10 -3 м = 0.

Соединив последовательно точки 1, 2, 3 и 4прямыми получим ядро сечения (рис.1).

Пример 6.

В сечении, указанном на рисунке и принадлежащем внецентренно сжатой колонне, определить наиболее опасные точки и напряжения в них. Сжимающая сила F = 200 кН = 20 т приложена в точке A .

Решение.

Так как оси X и Y являются осями симметрии, то они главные центральные оси.

Наиболее опасными точками будут точки, в которых возникают максимальные нормальные напряжения, а это точки, наиболееудаленные от нулевой линии. Следовательно,нам необходимо сначала определить положение нулевой линии. Записываем уравнение нулевой линии.

В нашем случае координаты точки приложения силы следующие (см. рис.):

= – 90 мм = – 0,09 м;

= – 60 мм = – 0,06 м.

Квадраты радиусов инерции и определяются так:

здесь и - осевые моменты инерции относительно главных центральных осей X и Y.

Определение осевых моментов инерции. Для нашего сечения будем иметь:

М 4 ;

М 4 .

Площадь всего сечения будет равна:

М 2 ,

и тогда квадраты радиусов инерции:

м 2 ;

м 2 .

По формулам определим отрезки, которые нулевая линия отсекает на осях X и Y :

м ;

м.

Отложим эти отрезки на координатных осях, получим точки, в которых нулевая линия пересекает координатные оси. Через эти точки проводим прямую (см. рис.). Видим, что наиболее удаленные точки - это точка B в зоне отрицательных напряжений и точка D в зоне положительных напряжений.

Определим напряжения в этих точках:

;

На основании чертежа (см. рис.) получим:

= – 0,12 м; = – 0,03 м.

= –5,39× 10 4 кН/м 2 = – 53,9 МПа.

;

0,12 м; = 0,03 м.

1,86× 10 4 кН/м 2 = 18,6 МПа.

Пример 7.

Чугунныйкороткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рисунке, сжимается продольной силой F , приложенной в точке А .

Требуется:

1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив величины этих напряжений через F и размеры сечения; а = 40 мм, b = 60 мм;

2) найти допускаемую нагруз­ку F при заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях для чугуна на сжатие = 100 МПа и на растяжение = 30 МПа.

Решение.

Выше указывалось, что геометрические характеристикиврасчетныхформулах берутсяотно­сительно главных центральных осей, поэтому определим центр тяжести сечения. Ось X является осью сим­метрии, и следовательно, она про­ходит через центр тяжести, поэто­му намдостаточно найти его место­положение на этой оси.Разобьемсечениена два составных(1 и 2)ивыберемвспомогательные оси .Запишемкоор­динатыцентровтяжести С 1 и С 2 в этих осях.

Будем иметь С 1 (0,0); С 2 (0,04; 0), тогда:

м ;

Итак, в осяхxy 1 центр тяжести всего сечения имеет координаты С (0,0133; 0). Проводим через центр тяжести сечения ось Y, перпендикулярную оси X. Оси X и Y и будут главными центральными осями сечения.

Определим положение нулевой линии.

Координаты точки приложения силы (точки А ) будут следующие: =(0,02–0,0133)+0,04 =0,0467 м; = 0,06 м;

м 4 ,

м 4 ,

где = 0,0133 м;

м 2 .

м 2 , м 2 ;

и получим отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных осях инерции X и Y соответственно:

Откладываем на оси X , а на оси Y и проводим через полученные точки нулевую линию (см. рис.). Видим, что наиболее удаленные точки сечения от нулевой линии - это точка А в сжатой зоне и точка В в растянутой зоне. Координаты этих точек следующие: А (0,0467; 0,06); В (– 0,0333; –0,12). Определим напряжения в этих точках, выразив их через F .

Напряжение в точке А не должно превышать допускаемое напряжение на сжатие , а напряжение в точке В не должно превышать допускаемое напряжение на растяжение , т.е. должны выполняться условия:

, ,

или

(а),

(б).

Из (а):

из (б):

Чтобы одновременно удовлетворить условие прочности и в растянутой, и в сжатой зонах колонны, мы должны взять в качестве допускаемой нагрузки меньшую из двух полученных, т.е. = 103 кН.

Пример 8.

Чугунный короткий стержень прямоугольного поперечного сечения, изображенный на рисунке, сжимается продольной силой F , приложенной в точке А .

Требуется:

1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив величины этих напряжений через F и размеры сечения;

2) найти допускаемую нагрузку F при заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях для чугуна на сжатие и на растяжение .

Решение.

Определим положение нулевой линии. Для этого воспользуемся формулами

Координаты точки приложения силы (точки А) будут следующими:

Квадраты радиусов инерции определим по формулам:

Определяем отрезки, которые нулевая линия отсекает на осях х и у .

Откладываем на оси х – х 0 , а на оси у – у 0 и проводим через полученные точки нулевую линию n – n (см. рис.). Видим, что наиболее удаленные точки сечения - это точка А в сжатой области и точка В в растянутой области. Координаты этих точек следующие: А (0,04; 0,06), В (–0,04; –0,06). Определим величину напряжения в этих точках, выразив их через силу F :

Напряжение в точке А не должно превышать допускаемое напряжение на сжатие , а напряжение в точке В не должно превышать допускаемое напряжение на растяжение , т.е. должно выполняться условие

Из первого выражения величина F

Принимается нагрузка наименьшая из двух найденных, т.е. = 567кн.

Пример 9.

Короткий чугунный стержень с поперечным сечением, изображенным на рис. а , сжимается продольной силой P , приложенной в точке A . Определить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении стержня, выразив их через силу P и размеры сечения см, см. Найти допускаемую нагрузку при заданных допускаемых напряжениях для материала на сжатие кН/см 2 и на растяжение кН/см 2 .

Решение.

Действующая на стержень сила P помимо сжатия осуществляет изгиб стержня относительно главных центральных осей x и y . Изгибающие моменты соответственно равны:

где см и см – координаты точки приложения силы P (координаты точки A ).

Нормальные напряжения в некоторой точке с координатами x и y любого поперечного сечения стержня определяются по формуле

,

где F – площадь, а и – радиусы инерции поперечного сечения.

1. Определяем геометрические характеристики поперечного сечения стержня.

Площадь поперечного сечения стержня равна:

Главные центральные моменты инерции определяем следующим образом.

Вычисляя момент инерции всего сечения относительно оси x , разобьем всю фигуру на один прямоугольник с шириной и высотой и два прямоугольника с шириной и высотой , чтобы ось x была для всех этих трех фигур центральной. Тогда

.

Для вычисления момента инерциивсего сечения относительно оси y разобьем всю фигуру несколько иначе: один прямоугольник с шириной и высотой и два прямоугольника с шириной и высотой , чтобы теперь уже ось y была для всех этих трех фигур центральной. Получим

.

Квадраты радиусов инерции равны:

; .

2. Определяем положение нулевой линии.

Отрезки и , отсекаемые нулевой линией от осей координат, равны:

см ; см.

Показываем нулевую линию N – N на рис. б . Нулевая линия делит поперечное сечение на две области, одна из которых испытывает растяжение, а другая – сжатие. На рисунке 1, б растянутая область поперечного сечения стержня нами заштрихована .

3. Вычисляем наибольшее растягивающее напряжение.

Оно возникает в точках 6 и 7 , то есть в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Значение этого напряжения, вычисленное, например, для точки 6 равно:

4. Вычисляем наибольшее сжимающее напряжение.

Оно возникает в точках 2 и 3 , также наиболее удаленных от нулевой линии. Значение этого напряжения, вычисленное, например, для точки 2 , равно:

5. Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности на растяжение:

кН/см 2 ; кН.

6. Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности на сжатие:

кН/см 2 ; кН.

из двух найденных в п. 6 и 7 значений:

Пример 10.

Короткая колонна, поперечное сечение которой изображено на рис.1, сжимается продольной силой F = 200 кН, приложенной в точке К . Размеры сечения а= 40 см, b = 16 см. Расчетное сопротивление материала на растяжение R t = 3 МПа, на сжатиеR с = 30 МПа.

Требуется :

1. Найти положение нулевой линии.

2. Вычислить наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения и построить эпюру напряжений. Дать заключение о прочности колонны.

3. Определить расчетную несущую способность (расчетную нагрузку) F max при заданных размерах сечения.

4. Построить ядро сечения.

Рис.1

Решение.

1. Определение координат центра тяжести сечения .

Поперечное сечение колонны имеет ось симметрии Х с , следовательно центр тяжести лежит на этой оси и для отыскания координаты х с относительно вспомогательной оси Y o (см. рис.1) сложное сечение разбиваем на три прямоугольника

2. Геометрические характеристики сечения.

Для вычисления главных центральных моментов инерции воспользуемся зависимостью между моментами инерции при параллельном переносе осей.

Определяем квадраты радиусов инерции

Координаты точки приложения силы F

3. Положение нулевой линии

По найденным отрезкам, отсекаемым на осях координат проводим нулевую линию (см. рис. 2).

4. Определение наибольших сжимающих и растягивающих напряжений . Эпюра .

Наиболее удаленные от нулевой линии точки: В (-60; 16) и D (60; -32). Напряжения в этих опасных точках с координатами х dan , у dan не должны превосходить соответствующего расчетного сопротивления

.

Растягивающее напряжение

Сжимающее напряжение

Прочность колонны обеспечена.

По результатам расчета напряжений и на рис. 2 построена эпюра .

5. Вычисление расчетной несущей способности колонны F max .

Поскольку при заданном значении сжимающей силы прочность материала колонны существенно недоиспользована, найдем максимальное значение внешней нагрузки, приравнивая наибольшие напряжения s t и s c расчётным сопротивлениям.

Окончательно выбираем меньше значение F max = 425,8 кН, обеспечивающее прочность как растянутой, так и сжатой зон сечения.

Рис.2

6. Построение ядра сечения .

Чтобы получить очертание ядра сечения, необходимо рассмотреть все возможные положения касательных к контуру сечения и, предполагая, что эти касательные являются нулевыми линиями, вычислить координаты граничных точек ядра относительно главных центральных осей сечения. Соединяя затем эти точки, получим очертание ядра сечения.

Касательная 1-1: y o = 32 см,

.

Касательная 2-2: , .

Касательная 3-3: , .

Касательная 4-4: ; ;

; ;

;

.

Касательная 5-5: ; .

Касательная 6-6: ; ;

Пример 11.

В точке P колонны прямоугольного сечения приложена сжимающая сила P (см. рис.). Определить максимальное и минимальное нормальные напряжения.

Решение.

Нормальное напряжение при внецентренном сжатии определяем по формуле:

В нашей задаче

Момент инерции , площадь ,

Следовательно

На нейтральной линии . Поэтому ее уравнение

Наиболее удаленными точками от нейтральной оси являются точки A и B :

в точке A и

в точке B и

Если материал сопротивляется растяжению и сжатию различно, то следует составить два уравнения прочности:

Пример 12 .

Найти допускаемую нагрузку для бруса, показанного на рисунке, если расчетные сопротивления материала бруса на растяжение и сжатие равны R adm , t = 20 МПа; R adm ,с = 100 МПа.

Решение. Запишем условие прочности для наиболее напряженных точек любого сечения бруса, так как все сечения равноопасны:

Перепишем эти условия, учитывая, что

и , тогда

и

Отсюда определяем значения допустимых нагрузок.

Рассмотрим прямой стержень, нагруженный на торце силами, направленными параллельно оси Ох. Равнодействующая этих сил F приложена в точке С. В локальной правосторонней системе координат yOz , совпадающей с главными центральными осями сечения, координаты точки С равны а и b (рис. 5.18).

Заменим приложенную нагрузку статически эквивалентной ей системой сил и моментов. Для этого перенесем равнодействующую силу F в центр тяжести сечения О и догрузим стержень двумя изгибающими моментами, равными произведению силы Т^на ее плечи относительно осей координат: M ff = Fa и M z = Fb.

Отметим, что по правилу правосторонней системы координат для точки С, лежащей в первой четверти, изгибающие моменты формально получат сле-

Рис. 5.18. Прямой стержень, нагруженный на торце силами, направленными параллельно оси Ох

дующие знаки: М у = Fa и М 7 = -Fb. При этом в элементарной площадке, лежащей в первой четверти, оба момента вызывают растягивающее напряжение.

Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения в текущей точке сечения с координатами у и z от каждого силового фактора отдельно. Общее напряжение получим суммированием всех трех составляющих напряжений:

Определим положение нейтральной оси. Для этого в соответствии с формулой (5.69) приравняем к нулю значение нормального напряжения в текущей точке:

В результате простых преобразований получим уравнение нейтральной линии

где i y и i z - главные радиусы инерции , определяемые по формулам (3.14).

Таким образом, в случае внецентренного растяжения-сжатия нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения (рис. 5.19), на что указывает наличие в уравнении (5.70) отличающегося от нуля свободного члена.

Максимальные напряжения возникают в точках сечения А и В, наиболее удаленных от нейтральной линии. Установим соотношение между координатами точки приложения силы и положением нейтральной линии. Для этого определим точки пересечения этой линией координатных осей:

Рис. 5.19.

Полученные формулы показывают, что координата точки приложения силы а и координата точки пересечения нейтральной линией оси координат Oz (точка г 0) имеют противоположные знаки. То же самое можно сказать о величинах b и у 0 . Таким образом, точка приложения равнодействующей силы и нейтральная линия находятся по разные стороны относительно начала координат.

Согласно полученным формулам при приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения нейтральная линия отдаляется от центральной зоны. В предельном случае (а = b = 0) приходим к случаю центрального растяжения-сжатия.

Представляет интерес определение зоны приложения силы, при котором напряжения в сечении будут иметь одинаковый знак. В частности, для материалов, плохо сопротивляющихся растяжению, сжимающую силу рационально прилагать именно в этой зоне, чтобы в сечении действовали только сжимающие напряжения. Такая зона вокруг центра тяжести сечения называется ядром сечения.

Если сила приложена в ядре сечения, то нейтральная линия не пересекает сечение. В случае приложения силы по границе ядра сечения нейтральная линия касается контура сечения. Для определения ядра сечения можно использовать формулу (5.71).

Если нейтральную линию представить как касательную к контуру сечения и рассмотреть все возможные положения касательной и соответствующие этим положениям точки приложения силы, то точки приложения силы очертят ядро сечения.

Рис. 5.20.

а - эллипс; 6 - прямоугольник

Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, когда в поперечном сечении бруса одновременно действуют продольная (растягивающая или сжимающая) сила и. изгибающий момент; в этом сечении может действовать и поперечная сила.

Внецентренно растянутый или сжатый брус, при расчете которого можно не учитывать дополнительные изгибающие моменты, равные произведениям продольных внешних сил Р на прогибы , называется жестким, а брус, при расчете которого их следует учитывать, - гибким.

Жесткими являются внецентренно сжатые и растянутые брусья, изображенные на рис. 10.9, а, г, д, если наибольшие их прогибы малы по сравнению с расстояниями сил Р от осей брусьев, и брусья, изображенные на рис. 10.9, б, в, в тех случаях, когда произведения малы по сравнению с внешними моментами

Рассмотрим расчет жестких брусьев; метод расчета гибких брусьев изложен ниже в § 5.13.

На рис. 11.9, а изображен жесткий брус; в его верхнем поперечном сечении одновременно действуют продольная сила N и изгибающий момент М, составляющие которого относительно главных осей и у инерции сечения равны Нормальное напряжение в произвольной точке С сечения с координатами у и равно сумме напряжений от продольной силы N и изгибающих моментов , т. е.

Продольная сила N и моменты могут рассматриваться как результат воздействия на брус внецентренно приложенной силы

Именно поэтому случай одновременного действия в поперечном сечении продольной силы и изгибающего момента называют внецентренным растяжением (при растягивающей продольной силе) или сжатием (при сжимающей).

Координаты точки А приложения силы Р называются эксцентриситетами этой силы относительно главных осей инерции и у, соответственно:

Точку А приложения силы Р называют центром давления или полюсом.

Подставим в формулу (10.9) выражения [на основании формул (11.9) и рис. 1.9, б]:

Знаки плюс перед всеми членами этой формулы поставлены потому, что положительная продольная сила а также изгибающие моменты (при положительных эксцентриситетах ) вызывают в точках поперечного сечения с положительными координатами у и z растягивающие (положительные) напряжения.

В формулу (12.9) величина растягивающей силы Р подставляется со знаком плюс, а сжимающей - со знаком минус; координаты у и z в эту формулу подставляются со своими знаками. Знак нормальных напряжений, возникающих в какой-либо точке сечения от изгибающего момента вызванного эксцентрично (внецентренно) приложенной силой Р, можно установить также, представив поперечное сечение в виде пластинки, закрепленной на валу, ось которого совпадает с осью ; пластинка опирается на жесткое основание через систему пружин (рис. 12.9).

Момент от силы Р, показанной, например, на рис. 12.9, вызывает поворот пластинки вокруг оси z, в результате чего пружины, расположенные под заштрихованной частью пластинки, оказываются сжатыми; следовательно, в этой части сечения бруса от момента возникают сжимающие напряжения. Аналогично, для того чтобы установить знак напряжений от момента надо пластинку представить закрепленной на валу, ось которого совпадает с осью у.

Формула (12.9) служит для определения нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения при внецентренном растяжении и сжатии.

Формулу (12.9) можно представить в следующем виде:

где - радиусы инерции поперечного сечения бруса относительно главных центральных осей инерции гну соответственно.

Следует иметь в виду, что в формулах (10.9)-(14.9) оси у и z являются главными центральными осями инерции поперечного сечения бруса.

Формулы (12.9)-(14.9) удобно использовать, когда известны равнодействующая внутренних усилий в поперечном сечении бруса (т. е. сила Р) и координаты точки ее приложения (полюса). Формулу же (10.9) удобно применять, когда известны внутренние усилия действующие в поперечном сечении.

Варианты эпюр нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении бруса при внецентренном сжатии (т. е. при отрицательной силе Р), изображены в аксонометрии на рис. 13.9.

Они ограничены с одной стороны плоскостью поперечного сечения 1-2-3-4, а с другой - плоскостью 1-2-3-4. Ординаты эпюр в центре тяжести сечения (при y = z = 0) равны

Все ординаты эпюры, показанной на рис. 13.9, а, отрицательны, так как плоскость ограничивающая их, не пересекает плоскость 1-2-3-4 в пределах поперечного сечения бруса. Ординаты же эпюры, изображенной на рис. 13.9, б, по одну сторону от прямой отрицательны, а по другую - положительны.

Прямая пп представляет собой линию пересечения плоскости 1-2-3-4 с плоскостью поперечного сечения бруса. Во всех точках, расположенных на прямой пп, напряжения а равны нулю, и, следовательно, эта прямая является нейтральной осью (нулевой линией).

Определим положение нейтральной оси (рис. 14.9). Для этого приравняем нулю правую часть выражения (14.9):

Так как , то

Выражение (15.9) является уравнением прямой (так как координаты у и входят в него в первой степени) и представляет собой уравнение нейтральной оси. Для определения положения нейтральной оси найдем ординату точки В ее пересечения с осью у (рис. 14.9); абсцисса этой точки а потому на основании выражения (15.9)

Абсцисса точки С пересечения нейтральной оси с осью равна (рис. 14.9), а ордината этой точки Подставляя значения в выражение (15.9), находим

Итак, величины отрезков, отсекаемых нейтральной осью (нулевой линией) на осях координат, определяются выражениями:

Из этих выражений следует:

1) положение нулевой линии не зависит от величины и знака силы Р;

2) нулевая линия и полюс лежат по разные стороны от начала координат;

4) если полюс расположен на одной из главных центральных осей инерции, то нулевая линия перпендикулярна этой оси; например, когда полюс расположен на оси , то т. е. нейтральная ось параллельна оси у.

При внецентренном растяжении и сжатии нормальные напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса, как и при изгибе, прямо пропорциональны расстоянию от этой точки до нейтральной оси. Наибольшие напряжения возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Эпюра нормальных напряжений, значения которых отложены от линии, перпендикулярной нейтральной оси, показана на рис. 14.9.

Каждая ордината этой эпюры определяет величину нормальных напряжений, возникающих в точках поперечного сечения, расположенных на прямой DD, проходящей через эту ординату параллельно нейтральной оси. Для построения этой эпюры достаточно определить положение нейтральной оси и вычислить нормальные напряжения в одной из точек поперечного сечения (не расположенной на этой оси), например в центре тяжести сечения. С помощью такой эпюры наиболее просто определяются значения нормальных напряжений в любых точках поперечного сечения.

Расчет на прочность стержня, сжатого или растянутого внецентренно приложенными продольными внешними силами (т. е. при отсутствии поперечных сил), производится наиболее просто, так как в таком случае внутренние усилия одинаковы во всех поперечных сечениях каждого участка стержня. Это исключает необходимость определения опасного поперечного сечения, так как при стержне с постоянными поперечными размерами в пределах каждого участка все сечения одного участка являются равноопасными. При стержне же с переменными поперечными размерами опасным в пределах каждого участка является сечение наименьшего размера.

При наличии в поперечных сечениях стержня поперечных сил изгибающие моменты непрерывно изменяются по длине стержня, а потому определение опасного сечения становится более сложным. Обычно в таких случаях проводят проверку прочности, определяя нормальные напряжения в ряде сечений (которые предположительно могут оказаться опасными) и сопоставляя их с допускаемыми напряжениями.

Для определения положения опасных точек в сечении следует параллельно нейтральной оси провести линии, касающиеся контура сечения. Таким путем находят точки сечения, расположенные по обе стороны от нейтральной оси и наиболее удаленные от нее, которые и могут быть опасными.

Похожие статьи