I = ∑r i 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)

В принципе и определение и формула, его описывающая, не сложные и запомнить их намного легче, чем вникнуть в суть. Но все-таки попробуем разобраться, что же такое момент инерции и откуда он взялся.

Понятие момент инерции пришло в сопромат и строительную механику из другого раздела физики, изучающего кинематику движения, в частности вращательное движение. Но все равно начнем издалека.

Я точно не знаю, упало ли Исааку Ньютону на голову яблоко, упало оно рядом, или вообще не падало, теория вероятности допускает все эти варианты (к тому же в этом яблоке слишком много от библейской легенды о древе познания), однако я уверен, что Ньютон был наблюдательным человеком, способным делать выводы из своих наблюдений. Так наблюдательность и воображение позволили Ньютону сформулировать основной закон динамики (второй закон Ньютона), согласно которому масса тела m , умноженная на ускорение a , равна действующей силе Q (вообще-то более привычным для силы является обозначение F, но так как дальше мы будем иметь дело с площадью, которая также часто обозначается как F, то я использую для внешней силы, рассматриваемой в теоретической механике как сосредоточенная нагрузка, обозначение Q, сути дела это не меняет):

Q = ma (1.2)

По мне величие Ньютона именно в простоте и понятности данного определения. А еще, если учесть, что при равноускоренном движении ускорение а равно отношению приращения скорости ΔV к периоду времени Δt , за который скорость изменилась:

a = Δv/Δt = (v - v о)/t (1.3.1)

при V о = 0 a = v/t (1.3.2)

то можно определить основные параметры движения, такие как расстояние, скорость, время и даже импульс р , характеризующий количество движения:

p = mv (1.4)

Например, яблоко, падающее с разной высоты под действием только силы тяжести, будет падать до земли разное время, иметь разную скорость в момент приземления и соответственно разный импульс. Другими словами, яблоко, падающее с бóльшей высоты, будет дольше лететь и сильнее треснет по лбу незадачливого наблюдателя. И все это Ньютон свел к простой и понятной формуле.

А еще Ньютон сформулировал закон инерции (первый закон Ньютона): если ускорение а = 0 , то в инерциальной системе отсчета невозможно определить, находится ли наблюдаемое тело, на которое не действуют внешние силы, в состоянии покоя или движется прямолинейно с постоянной скоростью. Это свойство материальных тел сохранять свою скорость, пусть даже и нулевую, называется инертностью. Мерой инертности является инерционная масса тела. Иногда инерционная масса называется инертной, но сути дела это не меняет. Считается, что инерционная масса равна гравитационной массе и потому часто не уточняется, какая именно масса имеется в виду, а упоминается просто масса тела.

Не менее важным и значимым является и третий закон Ньютона, согласно которому сила действия равна силе противодействия, если силы направлены по одной прямой, но при этом в противоположные стороны . Не смотря, на кажущуюся простоту, и этот вывод Ньютона гениален и значение этого закона трудно переоценить. Об одном из применений этого закона чуть ниже.

Однако данные положения справедливы только для тел, движущихся поступательно, т.е. по прямолинейной траектории и при этом все материальные точки таких тел двигаются с одинаковой скоростью или одинаковым ускорением. При криволинейном движении и в частности при вращательном движении, например, когда тело вращается вокруг своей оси симметрии, материальные точки такого тела перемещаются в пространстве с одинаковой угловой скоростью w , но при этом линейная скорость v у различных точек будет разная и эта линейная скорость прямо пропорциональна расстоянию r от оси вращения до этой точки:

v = wr (1.5)

при этом угловая скорость равна отношению приращения угла поворота Δφ к периоду времени Δt , за который угол поворота изменился:

w = Δφ/Δt = (φ - φ о)/t (1.6.1)

при φ о = 0 w = φ/t (1.7.2)

соответственно нормальное ускорение а n при вращательном движении равно:

a n = v 2 /r = w 2 r (1.8)

И получается, что для вращательного движения мы не можем прямо использовать формулу (1.2), так как при вращательном движении одного только значения массы тела недостаточно, требуется еще знать распределение этой массы в теле. Получается, что чем ближе материальные точки тела к оси вращения, тем меньшую силу требуется приложить, чтобы заставить тело вращаться и наоборот, чем дальше материальные точки тела от оси вращения, тем большую силу нужно приложить, чтобы заставить тело вращаться (в данном случае речь идет о приложении силы в одной и той же точке). К тому же при вращении тела более удобно рассматривать не действующую силу, а вращающий момент, так как при вращательном движении точка приложения силы также имеет большое значение.

Поразительные свойства момента нам известны со времен Архимеда и если применить понятие момента к вращательному движению, то значение момента М будет тем больше, чем больше расстояние r от оси вращения до точки приложения силы F (в строительной механике внешняя сила часто обозначается как Р или Q ):

М = Qr (1.9)

Из этой также не очень сложной формулы выходит, что если сила будет приложена по оси вращения, то никакого вращения не будет, так как r = 0, а если сила будет приложена на максимальном удалении от оси вращения, то и значение момента будет максимальным. А если мы подставим в формулу (1.9) значение силы из формулы (1.2) и значение нормального ускорения и формулы (1.8), то получим следующее уравнение:

М = mw 2 r·r = mw 2 r 2 (1.10)

В частном случае когда тело является материальной точкой, имеющей размеры намного меньше, чем расстояние от этой точки до оси вращения, уравнение (1.10) применимо в чистом виде. Однако для тела, вращающегося вокруг одной из своих осей симметрии, расстояние от каждой материальной точки составляющей данное тело, всегда меньше одного из геометрических размеров тела и потому распределение массы тела имеет большое значение, в этом случае требуется учесть эти расстояния отдельно для каждой точки:

M = ∑r i 2 w 2 m i (1.11.1)

М с = w 2 ∫r 2 dm

И тогда получается, что согласно третьему закону Ньютона в ответ на действие вращающего момента будет возникать так называемый момент инерции I . При этом значения вращающего момента и момента инерции будут равны, а сами моменты направлены в противоположные стороны. При постоянной угловой скорости вращения, например w = 1, основными величинами, характеризующими вращающий момент или момент инерции будут масса материальных точек, составляющих тело, и расстояния от этих точек до оси вращения. В итоге формула момента инерции примет следующий вид:

[- М] = I = ∑r i 2 m i (1.12.1)

I c = ∫r 2 dm (1.11.2) - при вращении тела вокруг оси симметрии

где I - общепринятое обозначение момента инерции, I c - обозначение осевого момента инерции тела, кг/м 2 . Для однородного тела, имеющего одинаковую плотность ρ по всему объему тела V формулу осевого момента инерции тела можно записать так:

I c = ∫ρr 2 dV (1.13)

Таким образом момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса является мерой инертности тела при поступательном прямолинейном движении .

Все круг замкнулся. И тут может возникнуть вопрос, какое отношение все эти законы динамики и кинематики имеют к расчету статических строительных конструкций? Оказывается, что ни на есть самое прямое и непосредственное. Во-первых потому, что все эти формулы выводились физиками и математиками в те далекие времена, когда таких дисциплин, как "Теоретическая механика" или "Теория сопротивления материалов" попросту не существовало. А во-вторых потому, что весь расчет строительных конструкций и построен на основе указанных законов и формулировок и пока ни кем не опровергнутом утвержении о равенстве гравитационной и инертой масс. Вот только в теории сопротивления материалов все еще проще, как ни парадоксально это звучит.

А проще потому, что при решении определенных задач может рассматриваться не все тело, а только его поперечное сечение, а при необходимости несколько поперечных сечений. Но в этих сечениях действуют такие же физические силы, правда имеющие несколько иную природу. Таким образом, если рассматривать некое тело, длина которого постоянна, а само тело является однородным, то если не учитывать постоянные параметры - длину и плотность (l = const, ρ = const ) - мы получим модель поперечного сечения. Для такого поперечного сечения с математической точки зрения будет справедливым уравнение:

I р = ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)

где I p - полярный момент инерции поперечного сечения, м 4 . В итоге мы получили формулу, с которой начинали (а вот стало ли понятнее, что такое момент инерции сечения, не знаю).

Так как в теории сопротивления материалов часто рассматриваются прямоугольные сечения, да и прямоугольная система координат более удобна, то при решении задач обычно рассматриваются два осевых момента инерции поперечного сечения:

I z = ∫y 2 dF (2.2.1)

I y = ∫z 2 dF (2.2.2)

Рисунок 1 . Значения координат при определении осевых моментов инерции.

Тут может возникнуть вопрос, почему использованы оси z и у , а не более привычные х и у ? Так уж сложилось, что определение усилий в поперечном сечении и подбор сечения, выдерживающего действующие напряжения, равные приложенным усилиям - две разные задачи. Первую задачу - определение усилий - решает строительная механика, вторую задачу - подбор сечения - теория сопротивления материалов. При этом в строительной механике рассматривается при решении простых задач достаточно часто стержень (для прямолинейных конструкций), имеющий определенную длину l , а высота и ширина сечения не учитываются, при этом считается, что ось х как раз и проходит через центры тяжести всех поперечных сечений и таким образом при построении эпюр (порой достаточно сложных) длина l как раз и откладывается по оси х , а по оси у откладываются значения эпюр. В то же время теория сопротивления материалов рассматривает именно поперечное сечение, для которого важны ширина и высота, а длина не учитывается. Само собой при решении задач теории сопротивления материалов, также порой достаточно сложных используются все те же привычные оси х и у . Мне такое положение дел кажется не совсем правильным, так как не смотря на разницу, это все же смежные задачи и потому будет более целесообразным использование единых осей для рассчитываемой конструкции.

Значение полярного момента инерции в прямоугольной системе координат будет:

I р = ∫r 2 dF = ∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

Так как в прямоугольной системе координат радиус - это гипотенуза прямоугольного треугольника, а как известно квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А еще существует понятие центробежного момента инерции поперечного сечения:

I xz = ∫xzdF (2.4)

Среди осей прямоугольной системы координат, проходящих через центр тяжести поперечного сечения, есть две взаимно-перпендикулярные оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают максимальное и минимальное значение, при этом центробежный момент инерции сечения I zy = 0 . Такие оси называют главными центральными осями поперечного сечения, а моменты инерции относительно таких осей - главными центральными моментами инерции

Когда в теории сопротивления материалов речь заходит о моментах инерции, то как правило в виду имеются именно главные центральные моменты инерции поперечного сечения. Для квадратных, прямоугольных, круглых сечений главные оси будут совпадать с осями симметрии. Моменты инерции поперечного сечения также называют геометрическими моментами инерции или моментами инерции площади, но суть от этого не изменяется.

В принципе самому определять значения главных центральных моментов инерции для поперечных сечений наиболее распространенных геометрических форм - квадрата, прямоугольника, круга, трубы, треугольника и некоторых других - большой необходимости нет. Такие моменты инерции давно определены и широко известны. А при расчете осевых моментов инерции для сечений сложной геометрической формы справедлива теорема Гюйгенса-Штейнера:

I = I c + r 2 F (2.5)

таким образом, если известны площади и центры тяжести простых геометрических фигур, составляющих сложное сечение, то определить значение осевого момента инерции всего сечения не составит труда. А для того, чтобы определить центр тяжести сложного сечения, используются статические моменты поперечного сечения. Более подробно статические моменты рассматриваются в другой статье, здесь лишь добавлю. Физический смысл статического момента следующий: статический момент тела - это сумма моментов для материальных точек, составляющих тело, относительно некоторой точки (полярный статический момент) или относительно оси (осевой статический момент), а так как момент - это произведение силы на плечо (1.9), то и определяется статический момент тела соответственно:

S = ∑M = ∑r i m i = ∫rdm (2.6)

и тогда полярный статический момент поперечного сечения будет:

S р = ∫rdF (2.7)

Как видим, определение статического момента сходно с определением момента инерции. Но есть и принципиальная разница. Статический момент потому и называется статическим, что для тела, на которое действует сила тяжести, статический момент равен нулю относительно центра тяжести. Другими словами такое тело находится в состоянии равновесия, если опора приложена к центру тяжести тела. А согласно первому закону Ньютона такое тело или находится в состоянии покоя или движется с постоянной скоростью, т.е. ускорение = 0. А еще с чисто математической точки зрения статический момент может быть равен нулю по той простой причине, что при определении статического момента необходимо учитывать направление действия момента. Например относительно осей координат, проходящих через центр тяжести прямоугольника, площади верхней части и нижней части прямоугольника будут положительными так как символизируют силу тяжести, действующую в одном направлении. При этом расстояние от оси до центра тяжести можно рассматривать как положительное (условно: момент от силы тяжести верхней части прямоугольника пытается вращать сечение по часовой стрелке), а до центра тяжести нижней части - как отрицательное (условно: момент от силы тяжести нижней части прямоугольника пытается вращать сечение против часовой стрелки). А так как такие площади численно равны и равны расстояния от центров тяжести верхней части прямоугольника и нижней части прямоугольника, то сумма действующих моментов и составит искомый 0.

S z = ∫ydF = 0 (2.8)

А еще этот великий ноль позволяет определять опорные реакции строительных конструкций. Если рассматривать строительную конструкцию, к которой приложена например сосредоточенная нагрузка Q в некоторой точке, то такую строительную конструкцию можно рассматривать, как тело с центром тяжести в точке приложения силы, а опорные реакции в этом случае рассматриваются, как силы приложенные в точках опор. Таким образом зная значение сосредоточенной нагрузки Q и расстояния от точки приложения нагрузки до опор строительной конструкции, можно определить опорные реакции. Например для шарнирно опертой балки на двух опорах значение опорных реакций будет пропорционально расстоянию до точки приложения силы, а сумма реакций опор будет равна приложенной нагрузке. Но как правило при определении опорных реакций поступают еще проще: за центр тяжести принимается одна из опор и тогда сумма моментов от приложенной нагрузки и от остальных опорных реакций все равно равна нулю. В этом случае момент от опорной реакции относительно которой составляется уравнение моментов, равен нулю, так как плечо действия силы = 0, а значит в сумме моментов остаются только две силы: приложенная нагрузка и неизвестная опорная реакция (для статически определимых конструкций).

Таким образом принципиальная разница между статическим моментом и моментом инерции в том, что статический момент характеризует сечение, которое сила тяжести как бы пытается сломать пополам относительно центра тяжести или оси симметрии, а момент инерции характеризует тело, все материальные точки которого перемещаются (или пытаются переместиться в одном направлении). Возможно, более наглядно представить себе эту разницу помогут следующие достаточно условные расчетные схемы для прямоугольного сечения:

Рисунок 2 . Наглядная разница между статическим моментом и моментом инерции.

А теперь вернемся еще раз к кинематике движения. Если проводить аналогии между напряжениями, возникающими в поперечных сечениях строительных конструкций, и различными видами движения, то в центрально растягиваемых и центрально сжатых элементах возникают напряжения равномерные по всей площади сечения. Эти напряжения можно сравнить с действием некоторой силы на тело, при котором тело будет двигаться прямолинейно и поступательно. А самое интересное, это то, что поперечные сечения центрально-растянутых или центрально сжатых элементов действительно движутся, так как действующие напряжения вызывают деформации. И величину таких деформаций можно определить для любого поперечного сечения конструкции. Для этого достаточно знать значение действующих напряжений, длину элемента, площадь сечения и модуль упругости материала, из которого изготовлена конструкция.

У изгибаемых элементов поперечные сечения также не остаются на месте, а перемещаются, при этом перемещение поперечных сечений изгибаемых элементов подобно вращению некоего тела относительно некоторой оси. Как вы уже наверное догадались, момент инерции позволяет определить и угол наклона поперечного сечения и перемещение Δl для крайних точек сечения. Эти крайние точки для прямоугольного сечения находятся на расстоянии, равном половине высоты сечения (почему - достаточно подробно описано в статье "Основы сопромата. Определенение прогиба "). А это в свою очередь позволяет определить прогиб конструкции.

А еще момент инерции позволяет определить момент сопротивления сечения . Для этого момент инерции нужно просто разделить на расстояние от центра тяжести сечения до наиболее удаленной точки сечения, для прямоугольного сечения на h/2. А так как исследуемые сечения не всегда симметричны, то значение момента сопротивления может быть разным для разных частей сечения.

А началось все с банального яблока... хотя нет, начиналось все со слова.

Нижеприведенные формулы для определения моментов инерции простых сечений относительно их центральных осей получены из интегральных выражений для моментов инерции (5.4), (5.5), (5.6):

1. Прямоугольник

(5.10)

(5.11)

так как оси Z иY– оси симметрии.

2. Круг

(5.12)

(5.13)

Здесь – полярный момент инерции сечения.

3. Полукруг

(5.14)

(5.15)

4. Равнобедренный треугольник

(5.16)

(5.17)

5. Прямоугольный треугольник

(5.18)

(5.19)

(5.20)

Полезно запомнить, что в формулах (5.10), (5.11) и (5.16)–(5.19) возводится в куб размер стороны фигуры, перпендикулярной рассматриваемой оси.

В формуле (5.20) при определении центробежного момента инерции знак "минус" ставится тогда, когда острые углы треугольника находятся в отрицательных четвертях (т.е. 2-й и 4-й). В тех случаях, когда эти углы находятся в положительных четвертях (т.е. 1-й и 3-й), в формуле (5.20) ставится знак "плюс".

5.3. Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции для симметричных сечений определяются в следующем порядке:

1. Сложное сечение разбивается на простые фигуры (круг, прямоугольник, двутавр, уголок и т.п.) и проводятся их центральные оси Z i и Y i (как правило – горизонтально и вертикально).

2. Определяется по формулам (5.3) положение центра тяжести всего сечения и через эту точку проводятся его центральные оси Z и Y. При наличии двух осей симметрии центр тяжести всего сечения находится в точке их пересечения.

Если сечение обладает только одной осью симметрии, то по формулам (5.3) определяется только одна координата центра тяжести. Поясним это для фигуры, показанной на рис. 5.8:

а) оси Z" и Y" выбираем так, чтобы ось Y" совпала с осью симметрии фигуры, а ось Z" – чтобы было удобно определить расстояние до этой оси от центральных осей простых фигур;

б) определяем статический момент площади сечения относительно произвольной оси Z" по формуле:

= А 1 у 1 + А 2 у 2 ,

где А i – площади сечений простых фигур; у i – расстояния от произвольной осиZ" до центральных осей простых фигурZ i . Расстояния у i необходимо брать с учетом знаков;

в) определяем координату у C центра тяжести по формуле (5.3):

=

г) на расстоянии у C от осиZпроводим вторую центральную осьZ. Первой центральной осью является ось симметрии Y.

3. Моменты инерции относительно главных центральных осейZиY(рис. 5.8) определяем по формулам (5.9), которые в развернутом виде запишутся так:

так как одна из рассматриваемых осей

(ось Y) является осью симметрии.

В этих формулах:

– осевые моменты инерции простых фигур относительно своих центральных осей (собственные моменты инерции), которые определяются по формулам (5.10)–(5.19) или по таблицам сортаментов для прокатных элементов;

– расстояния от общих центральных осей сеченияZиYдо центральных осей простых фигур. В рассматриваемом примере
и
показаны на рис. 5.8;

A i – площади простых фигур. Если простой фигурой является фигура, вырезанная от общей, т.е. "пустая" фигура, то в соответствующие формулы площади таких фигурAи их собственные моменты инерции
подставляются со знаком "минус".

ПРИМЕР 5.1

Требуется определить главные центральные моменты инерции сечения, изображенного на рис. 5.9.

1. Разбиваем сечение на простые фигуры и проводим их горизонтальные и вертикальные центральные оси Z i иY i

2. Проводим центральные оси для всей фигуры, т.е. оси симметрии ZиY.

3. Определяем расстояния от общих центральных осей ZиYдо центральных осей простых фигур и площади этих фигур:

4. Вычисляем собственные центральные моменты фигур по формулам (5.10)–(5.17):

5. Определяем осевые моменты инерции всего сечения относительно центральных осей ZиY:

Центробежный момент инерции
так какZиY– оси симметрии. Поэтому вычисленные намиI Z иI Y поэтому являются главными центральными осями:

ПРИМЕР 5.2

Требуется определить главные центральные моменты инерции сечения показанного на (рис. 5.10).

1. Разбиваем сечение на простые фигуры и проводим их центральные оси иY i .

2. Проводим ось симметрии Y. Она является главной центральной осью заданного сечения.

3. Для определения положения 2-й главной центральной оси выбираем произвольную ось Z, перпендикулярную оси симметрии. Пусть эта ось совпадает с осьюZ 3 .

4. По формуле (5.3) определяем ординату у с центра тяжести поперечного сечения по оси Y:

Откладываем размер у C вверх от осиZ" и проводим 2-ю главную центральную осьZ.

5. Определяем осевые моменты инерции простых фигур относи­тельно собственных центральных осей (см. формулы (5.10)–(5.17)):

6. Вычисляем расстояния от центральных осей всего сечения ZиYдо центральных осей отдельных фигур (рис. 5.10):

так как оси Y 1 ,Y 2 ,Y 3 совпадают с осью симметрииY.

7. Вычисляем осевые моменты инерции всего сечения относи­тельно центральных осей ZиYпо формулам (5.9):

Центробежный момент инерции I ZY всего сечения равен нулю, так как ось Y является осью симметрии, т.е. осиZиYявляются главными центральными осями инерции сечения, а вычисленные осевые моменты инерции являются главными центральными моментами инерции:

ПРИМЕР 5.3

Требуется определить главные центральные моменты инерции составного сечения, показанного на (рис. 5.11).

Порядок решения подробно рассмотрен в примере 5.2.

1. Разбиваем сечение на отдельные фигуры, геометрические характеристики которых приводятся в таблице сортаментов (двутавр и швеллер) или легко вычисляются по формулам (5.10)–(5.20) (в данном примере прямоугольник) и проводим их центральные оси.

2. Проводим ось симметрии Y. Центр тяжести всего сечения лежит на этой оси.

3. Выбираем произвольную ось Z. Пусть в данном примере эта ось совпадает с осьюZ 3 .

4. Расстояние у C определяем от произвольной осиZдо центра тяжести всего сечения:

Расстояния от произвольно выбранной оси Z" до центральных осей каждой фигуры (у 1 , у 2 , у 3) показаны на рис. 5.11.

Площади сечений швеллера А 1 и двутавра А 2 выписываем из соответствующих таблиц сортамента, а площадь прямоугольника А 3 вычисляем:

А 1 = 23,4 см 2 , А 2 = 46,5 см 2 , А 3 = 242 = 48 см 2 .

Отложим величину у C вверх от осиZ" (так как у C > 0) и на этом расстоянии проведем главную центральную осьZ.

5. Геометрические характеристики прокатных профилей выписываем из таблицы сортаментов, учитывая различие в ориентации осей в таблице сортаментов и на рис. 5.12а, в.

1. Швеллер № 20

ГОСТ 8240-89

(рис. 5.12а)
;

Двутавр № 30

ГОСТ 8239-89

(рис. 5.12б)
h= 30 см.

Буква "с" в индексе осевых моментов инерции I означает ссылку на обозначение осей в сортаменте.

Моменты инерции прямоугольника (рис. 5.12в) вычисляем отдельно по формулам (5.10) и (5.11):

6. Определяем расстояния от общих центральных осей Y и Z до центральных осей отдельных фигур (они показаны на рис. 5.11):

так как оси Y 1 ,Y 2 ,Y 3 совпадают с осью симметрии всего сеченияY.

7. Определяем осевые моменты инерции сложной фигуры относительно центральных осей ZиYпо формулам (5.9):

Центробежный момент инерции
так как ось Y является осью симметрии. Поэтому оси Z и Y являются главными центральными осями.

§ 4.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЙ ПРОСТОЙ ФОРМЫ

Как указано в § 1.5, геометрические характеристики сложных сечений определяются путем расчленения их на ряд простых фигур, геометрические характеристики которых можно вычислить по соответствующим формулам или определить по специальным таблицам. Эти формулы получаются в результате непосредственного интегрирования выражений (8.5)-(10.5). Приемы их получения рассматриваются ниже на примерах прямоугольника, треугольника и круга.

Прямоугольное сечение

Определим осевой момент инерции прямоугольника высотой h и шириной b относительно оси проходящей через его основание (рис. 11.5, а). Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси элементарную полоску высотой и шириной b.

Площадь этой полоски расстояние от полоски до оси равно их. Подставим эти величины в выражение момента инерции (8.5):

Аналогичным путем для момента инерции относительно оси можно получить выражение

Для определения центробежного момента инерции выделим из прямоугольника линиями, параллельными осям (рис.

11.5, б), элементарную площадку величиной. Определим сначала центробежный момент инерции не всего прямоугольника, а лишь вертикальной полоски высотой h и шириной расположенной на расстоянии от оси

Произведение вынесено за знак интеграла, так как для всех площадок, принадлежащих рассматриваемой вертикальной полоске, оно постоянно.

Проинтегрируем затем выражение в пределах от до

Определим теперь осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей у и, проходящих через центр тяжести параллельно сторонам прямоугольника (рис. 12.5). Для этого случая пределы интегрирования будут от до

Центробежный момент инерции прямоугольника относительно осей (рис. 12.5) равен нулю, так как эти оси совпадают с его осями симметрии.

Треугольное сечение

Определим осевые моменты инерции треугольника относительно трех параллельных осей, проходящих через его основание (рис. 13.5, а), центр тяжести (рис. 13.5,б) и вершину (рис. 13.5, е).

Для случая, когда ось проходит через основание треугольника (рис. 13.5, а),

Для случая, когда ось проходит через центр тяжести треугольника параллельно его основанию (рис. 13.5, б),

В случае, когда ось проходит через вершину треугольника параллельно его основанию (рис. 13.5, в),

Момент инерции значительно больше (в три раза), чем момент инерции так как основная часть площади треугольника более удалена от оси чем от оси

Выражения (17.5) - (19.5) получены для равнобедренного треугольника. Однако они верны и для неравнобедренных треугольников. Сравнивая, например, треугольники, показанные на рис. 13.5, а и 13.5, г, из которых первый равнобедренный, а второй неравнобедренный, устанавливаем, что размеры площадки и пределы, в которых изменяется у (от 0 до) для обоих треугольников одинаковы. Следовательно, моменты инерции для них также одинаковы. Аналогично можно показать, что осевые моменты инерции всех сечений, изображенных на рис. 14.5, одинаковы. Вообще смещение частей сечения параллельно некоторой оси не влияет на величину осевого момента инерции относительно этой оси.

Очевидно, что сумма осевых моментов инерции треугольника относительно осей показанных на рис. 13.5, а и 13.5, в, должна быть равна осевому моменту инерции прямоугольника относительно оси показанной на рис. 11.5, а. Это следует из того, что прямоугольник можно рассматривать как два треугольника, для одного из которых ось проходит через основание, а для другого - через вершину параллельно его основанию (рис. 15.5).

Действительно, по формулам (17.5) и (19.5)

что совпадает с выражением прямоугольника по формуле (12.5).

Сечение в форме круга

Определим осевой момент инерции круга относительно любой оси, проходящей через его центр тяжести. Из рис. 16.5, а следует

Очевидно, что относительно любой оси, проходящей через центр круга, осевой момент инерции будет равен и, следовательно,

По формуле (11.5) находим полярный момент инерции круга относительно его центра:

Формулу осевого момента инерции круга можно получить более простым путем, если предварительно вывести формулу для его полярного момента инерции относительно центра (точки О). Для этого выделим из круга элементарное кольцо толщиной радиусом и площадью (рис. 16.5,б).

Полярный момент инерции элементарного кольца относительно центра круга так как все элементарные площадки из которых состоит это кольцо, расположены на одинаковом расстоянии от центра круга. Следовательно,

Этот результат совпадает с полученным выше.

Моменты инерции (полярный и осевые) сечения, имеющего форму кругового кольца с наружным диаметром d и внутренним (рис. 17.5), можно определить как разности между соответствующими моментами инерции наружного и внутреннего кругов.

Полярный момент инерции кольца на основании формулы (21.5)

или, если обозначить

Аналогично, для осевых моментов инерции кольца

Момент инерции и момент сопротивления

При определении сечения строительных конструкций очень часто необходимо знать момент инерции и момент сопротивления для рассматриваемого поперечного сечения конструкции. Что такое момент сопротивления и как он связан с моментом инерции изложено отдельно. Кроме того, для сжимаемых конструкций также нужно знать значение радиуса инерции. Определить момент сопротивления и момент инерции, а иногда и радиус инерции для большинства поперечных сечений простой геометрической формы можно по давно известным формулам:

Таблица 1. Формы сечения, площади сечений, моменты инерции и моменты сопротивления для конструкций достаточно простых геометрических форм.

Обычно, этих формул достаточно для большинства расчетов, но случаи бывают всякие и сечение конструкции может быть не такой простой геометрической формы или положение осей, относительно которых нужно определить момент инерции или момент сопротивления, может быть не таким, тогда можно воспользоваться следующими формулами:

Таблица 2. Формы сечения, площади сечений, моменты инерции и моменты сопротивления для конструкций более сложных геометрических форм

Как видно из таблицы 2, высчитывать момент инерции и момент сопротивления для неравнополочных уголков достаточно сложно, да нет в этом необходимости. Для неравнополочных и равнополочных прокатных уголков, а также для швеллеров, двутавров и профильных труб есть сортаменты. В сортаментах значения момента инерции и момента сопротивления приводятся для каждого профиля.

Таблица 3. Изменения моментов инерции и моментов сопротивления в зависимости от положения осей.

Формулы из таблицы 3 могут понадобиться для расчета наклонных элементов кровли.

Было бы неплохо объяснить на наглядном примере для особо одаренных, типа меня, что такое момент инерции и с чем его едят. На специализированных сайтах как-то всё очень запутанно, а у Дока есть явный талант довести информацию, быть может не самую сложную, но очень грамотно и понятно

В принципе, что такое момент инерции и откуда он взялся, достаточно подробно объяснено в статье “Основы сопромата, расчетные формулы”, здесь лишь повторюсь: “W – это момент сопротивления поперечного сечения балки, другими словами, площадь сжимаемой или растягиваемой части сечения балки, умноженная на плечо действия равнодействующей силы”. Момент сопротивления необходимо знать для расчетов конструкции на прочность, т.е. по предельным напряжениям. Момент инерции необходимо знать для определения углов поворота поперечного сечения и прогиба (смещения) центра тяжести поперечного сечения, так как максимальные деформации возникают в самом верхнем и в самом нижнем слое изгибаемой конструкции, то определить момент инерции можно, умножив момент сопротивления на расстояние от центра тяжести сечения до верхнего или нижнего слоя, поэтому для прямоугольных сечений I=Wh/2. При определении момента инерции сечений сложных геометрических форм сначала сложная фигура разбивается на простейшие, затем определяются площади сечения этих фигур и моменты инерции простейших фигур, затем площади простейших фигур умножаются на квадрат расстояния от общего центра тяжести сечения до центра тяжести простейшей фигуры. Момент инерции простейшей фигуры в составе сложного сечения равен моменту инерции фигуры + квадрат расстояния умноженный на площадь. Затем полученные моменты инерции суммируются и получается момент инерции сложного сечения. Но это максимально упрощенные формулировки (хотя, соглашусь, все равно выглядит достаточно мудрено).

Момент инерции и момент сопротивления - Доктор Лом

При определении сечения строительных конструкций очень часто необходимо знать момент инерции и момент сопротивления для поперечного сечения конструкции. Определить момент сопротивления и момент энерции для абсолютного большинства поперечных сечений простой геометрической формы можно по давно известным формулам

Глава 5. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Любое плоское сечение характеризуется рядом геометрических характеристик: площадью, координатами центра тяжести, статическим моментом, моментом инерции и др.

Статические моменты относительно осей х и y равны:

Статические моменты обычно выражаются в кубических сантиметрах или метрах и могут иметь как положительные, так и отрицательные значения. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения . Формулы для определения координат центра тяжести x c и y c сложного сечения, разбитого на простейшие составные части, для которых известны площади А i и положение центра тяжести x ci и y ci ,имеют вид

Величина момента инерции характеризует сопротивляемость стержня деформации (кручения, изгиба) в зависимости от размеров и формы поперечного сечения. Различают моменты инерции:

– осевые, определяемые интегралами вида

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны и не

обращаются в нуль. Полярный момент инерции I p равен сумме осевых моментов инерции I х и I у относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей х и у :

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Размерность моментов инерции - см 4 или м 4 . Формулы для определения моментов инерции простых сечений относительно центральных осей приведены в справочниках. При вычислении моментов инерции сложных сечений часто используют формулы перехода от центральных осей простых сечений к другим осям, параллельным центральным.

где – моменты инерции простых сечений относительно центральных осей;

m, n – расстояния между осями (рис. 18).

Рис. 18. К определению моментов инерции относительно осей,

Важное значение имеют главные центральные оси сечения. Главными центральными называются две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции имеют экстремальные значения. Главные моменты инерции обозначаются I u (max) и I v (min) и определяются по формуле

Положение главных осей определяется углом α , который находится из формулы

Угол α откладывается от оси с большим неглавным моментом инерции; положительное значение – против часовой стрелки.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось является главной. Другая главная ось перпендикулярна оси симметрии. На практике часто используются сечения, составленные из нескольких прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок). Геометрические характеристики этих профилей приведены в таблицах сортамента. Для неравнобокого и равнобокого уголков центробежный момент инерции относительно центральных осей, параллельных полкам, определяется по формуле

Обратите внимание на обозначение главных центральных осей в таблице сортамента для уголков. Знак I xy для уголка зависит от положения его в сечении. На рис.19 показаны возможные положения уголка в сечении и приведены знаки для I xy .

Рис. 19. Возможные положения уголка в сечении

Определить I u , I v и положение главных центральных осей сечения

Сложное сечение состоит из двух прокатных профилей. Выписка из таблиц сортамента (прил. 5) приведена на рис. 21.

В качестве вспомогательных примем оси, проходящие по внешним

сторонам швеллера (оси x B , y B , см. рис. 20).Координаты центра тяжести сечения:

(вычислите самостоятельно).

Рис. 20. Положение главных центральных осей инерции

U и V сложного сечения

В качестве вспомогательных можно было бы выбрать, например, центральные оси швеллера. Тогда несколько сократится объем вычислений.

Осевые моменты инерции:

Обратите внимание, что неравнобокий уголок в сечении расположен

иначе, чем показано в таблице сортаментов. Значение вычислите самостоятельно.

№ 24 180 x 110 x 12

Рис. 21. Значения геометрических характеристик прокатных профилей:

а – швеллера № 24; б – неравнобокого уголка 180 x 110 x 12

Центробежные моменты инерции:

– для швеллера (есть оси симметрии);

– для уголка,

знак минус – в связи с положением уголка в сечении;

– для всего сечения:

Проследите назначение знаков у n и m . От центральных осей швеллера переходим к общим центральным осям сечения, поэтому + m 2

Главные моменты инерции сечения:

Положение главных центральных осей сечения:

; α = 55 о 48 ′ ;

Проверка правильности вычисления величин I u , I v и α производится по формуле

Угол α для этой формулы отсчитывается от оси u .

Рассмотренное сечение имеет наибольшую сопротивляемость изгибу относительно оси u и наименьшую – относительно оси v .

Глава 5. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Любое плоское сечение характеризуется рядом геометрических характеристик: площадью, координатами центра тяжести, статическим моментом, моментом инерции и

Введем декартову прямоугольную систему координат O xy . Рассмотрим в плоскости координат произвольное сечение (замкнутую область) с площадью A (рис. 1).

Статическими моментами

Точка C с координатами (x C , y C)

называется центром тяжести сечения .

Если оси координат проходят через центр тяжести сечения, то статические моменты сечения равны нулю:

Осевыми моментами инерции сечения относительно осей x и y называются интегралы вида:

Полярным моментом инерции сечения относительно начала координат называется интеграл вида:

Центробежным моментом инерции сечения называется интеграл вида:

Главными осями инерции сечения называются две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых I xy =0. Если одна из взаимно перпендикулярных осей является осью симметрии сечения, то I xy =0 и, следовательно, эти оси - главные. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями инерции сечения

2.Теорема Штейнера-Гюйгенса о параллельном переносе осей

Теорема Штейнера-Гюйгенса (теорема Штейнера).
Осевой момент инерции сечения I относительно произвольной неподвижной оси x равен сумме осевого момента инерции этого сечения I с относительной параллельной ей оси x * , проходящей через центр масс сечения, и произведения площади сечения A на квадрат расстояния d между двумя осями.

Если известны моменты инерции I x и I y относительно осей x и y, то относительно осей ν и u, повернутых на угол α, моменты инерции осевые и центробежный вычисляют по формулам:

Из приведенных формул видно, что

Т.е. сумма осевых моментов инерции при повороте взаимно перпендикулярных осей не меняется, т.е.оси u и v, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, а осевые моменты инерции І u и I v имеют экстремальные значения max или min, называют главными осями сечения. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями сечения . Для симметричных сечений оси их симметрии всегда являются главными центральными осями. Положение главных осей сечения относительно других осей определяют, используя соотношение:

где α 0 – угол, на который надо развернуть оси x и y, чтобы они стали главными (положительный угол принято откладывать против хода часовой стрелки, отрицательный – по ходу часовой стрелки). Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции :

знак плюс перед вторым слагаемым относится к максимальному моменту инерции, знак минус – к минимальному.

Обратите внимание, на этом сайте есть онлайн-сервис для вычисления центра тяжести и моментов инерции составных сечений, которые состоят из прокатных профилей (двутавр, уголок и т.д.) и из простых фигур.

Часто при расчете элементов строительных конструкций приходится определять геометрические характеристики профилей, составленных из элементарных геометрических фигур (прямоугольник, круг и т.п.) и прокатных профилей. Рассмотрим подробно пример расчета.

Необходимо определить геометрические характеристики составного сечения (рис.), который состоит из уголка 20/12,5/1,2, уголка 14/1 и прямоугольника 20х2см.

Определение собственных характеристик отдельных профилей - составляющих сечения

Собственные характеристики прокатных профилей определяются из сортамента.

Для неравнополочного уголка 20/12,5/1,2:

- высота и ширина уголка h = 20 см, b = 12,5 см;

- площадь $A$= 37,9 см 2 ;

- собственные осевые моменты инерции ${I_x}$=1570 см 4 , ${I_y}$= 482 см 4 ;

- собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=505 см 4 ;

- координаты центра тяжести ${x_c}$= 2,83 см, ${y_c}$= 6,51 см.

Для равнополочного уголка 14/1:

- высота и ширина уголка h = b = 14 см;

- площадь $A$= 27,3 см 2 ;

- собственные осевые моменты инерции ${I_x}$= ${I_y}$= 512 см 4 ;

- собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=301 см 4 ;

- координаты центра тяжести ${x_c}$= ${y_c}$= 3,82 см.

Для прямоугольника 20х2см:

- высота и ширина прямоугольника h = 20 см, b = 2 см;

Площадь $A$= 20 ∙ 2 = 40 см 2 ;

- собственные осевые моменты инерции ${I_x} = \frac{{2 \cdot {{20}^3}}}{{12}} = 1330$ см 4 , ${I_y} = \frac{{20 \cdot {2^3}}}{{12}} = 13,3$см 4 ;

- собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$= 0, так как профиль имеет ось симметрии.

Определение центра тяжести сечения

Общая площадь всего сечения A = 37,9+27,3+40 = 105см 2 .

Проводим вспомогательные оси $X$ и $Y$ и определяем относительно них центр тяжести сечения:

${X_c} = \frac{{\sum {{X_i} \cdot {A_i}} }}{A} = \frac{{{\text{37}}{\text{,9}} \cdot {\text{(- 13}}{\text{,5) + 27}}{\text{,3}} \cdot {\text{(- 3}}{\text{,82) + 40}} \cdot {\text{1}}}}{{{\text{105}}}}{\text{ = - 5}}{\text{,49}}$см;

${Y_c} = \frac{{\sum {{Y_i} \cdot {A_i}} }}{A} = \frac{{{\text{37}}{\text{,9}} \cdot {\text{(- 2}}{\text{,83) + 27}}{\text{,3}} \cdot {\text{10}}{\text{,2 + 40}} \cdot {\text{10}}}}{{105}} = 5,44$.

При этом в координатах центров тяжести составных обязанности ’ обязательно учитываем знак. Откладываем оси, которые проходят через центр тяжести - центральные оси $Xc$ и ${Y_c}$.

Определение центральных моментов инерции

Осевые и центробежный моменты инерции сечения определяем по формулам перехода между параллельными осями. Для этого находим и показываем на чертеже расстояния между центральными осями всего сечения и собственными осями каждой из фигур.

$Ix = \sum {\left({I{x_i} + A \cdot {b^2}} \right) = {\text{482 + 8}}{\text{,2}}{{\text{7}}^{\text{2}}} \cdot {\text{37}}{\text{,9 + 512 + 4}}{\text{,7}}{{\text{6}}^{\text{2}}} \cdot {\text{27}}{\text{,3 + 1330 + 4}}{\text{,5}}{{\text{6}}^{\text{2}}} \cdot {\text{40 = 6360}}} $см 4 ;

$Iy = \sum {\left({I{y_i} + A \cdot {a^2}} \right)} = {\text{1570 + 8}}{\text{,0}}{{\text{1}}^{\text{2}}} \cdot {\text{37}}{\text{,9 + 512 + 1}}{\text{,6}}{{\text{7}}^{\text{2}}} \cdot {\text{27}}{\text{,3 + 13}}{\text{,3 + 6}}{\text{,4}}{{\text{9}}^{\text{2}}} \cdot {\text{40 = 6280}}$см 4 ;

${I_{xy}} = \sum {\left({{I_{xy}}_i + A \cdot a \cdot b} \right)} = $

$ = 505 + (- 8,01) \cdot (- 8,27) \cdot 37,9 - 301 + 1,67 \cdot 4,76 \cdot 27,3 + 0 + 6,49 \cdot 4,56 \cdot 40 = 4120$см 4 .

При этом обязанности ’ обязательно учитываем размещения фигур относительно рассматриваемых осей. Так, при определении момента инерции ${I_x}$ в формулу подставляем собственный момент инерции неравнополочного уголка относительно оси, которая параллельна оси ${X_c}$, в сортаменте это ось $Y$, и наоборот.

Определение положения главных осей и главных моментов инерции

Угол поворота главных осей относительно осей, для которых известны моменты инерции, определяется по формуле

\ $\alpha = \frac{{arctg(- 97)}}{2} = - 44,7^\circ $.

Если $\alpha > 0$, главные оси откладываются против часовой стрелки, и наоборот.

Главные моменты инерции определяются так

${I_{x0}} = {I_x} \cdot {\cos ^2}\alpha + {I_y} \cdot {\sin ^2}\alpha - {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha = $

$ = 6360 \cdot {\cos ^2}(- 44,7^\circ) + 6280 \cdot {\sin ^2}(- 44,7^\circ) - 4120 \cdot \sin (- 2 \cdot 44,7^\circ) = 10430$см 4 .

${I_{y0}} = {I_y} \cdot {\cos ^2}\alpha + {I_x} \cdot {\sin ^2}\alpha + {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha = $

$ = 6280 \cdot {\cos ^2}(- 44,7^\circ) + 6360 \cdot {\sin ^2}(- 44,7^\circ) + 4120 \cdot \sin (- 2 \cdot 44,7^\circ) = 2210$см 4 .

Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.

Радиусы инерции. Моменты сопротивления

Радиусы инерции сечения

${i_x} = \sqrt[{}]{{\frac{{{I_x}}}{A}}} = \sqrt[{}]{{\frac{{10430}}{{105}}}} = 9,96$см, ${i_y} = \sqrt[{}]{{\frac{{{I_y}}}{A}}} = \sqrt[{}]{{\frac{{2210}}{{105}}}} = 4,58$см.

Моменты сопротивления сечения определяем относительно центральных осей. Для этого необходимо определить расстояния ${x_{\max }}$ и ${y_{\max }}$ до максимально удаленных точек от главных осей. Сначала необходимо по чертежам определить, какие точки являются наиболее удаленными. В нашем случае это точки $A$ и $B$ (рис.). Искомые расстояния можно определить, имея координаты этих точек в центральных (не возвращенных осям).

${x_{\max }} = {x_A} \cdot \cos \left(\alpha \right) + {y_A} \cdot \sin \left(\alpha \right)$

${y_{\max }} = {y_B} \cdot \cos \left(\alpha \right) - {x_B} \cdot \sin \left(\alpha \right)$

X А = - 8,53см Y A =8,57см

X B = - 14,5см Y B = - 18см

x max = - 12,1см y max = - 23см

Моменты сопротивления

${W_x} = \frac{{{I_x}}}{{{y_{\max }}}} = \frac{{10430}}{{23}} = 454$см 3 ; ${W_y} = \frac{{{I_y}}}{{{x_{\max }}}} = \frac{{2210}}{{12.1}} = 183$см 3 .

Похожие статьи