Топлопроводимост- Това е един от видовете пренос на топлина. Преносът на топлина може да се извърши с помощта на различни механизми.

Всички тела излъчват електромагнитни вълни. При стайна температура това е предимно инфрачервено лъчение. Това се случва лъчист пренос на топлина.

При наличието на гравитационно поле може да бъде друг механизъм за пренос на топлина в течности конвекция. Ако към съд, съдържащ течност или газ, се подава топлина през дъното, долните части на веществото се нагряват първо, тяхната плътност намалява, те изплуват и предават част от получената топлина към горните слоеве.

При топлопроводимостта преносът на енергия възниква в резултат на директното прехвърляне на енергия от частици (молекули, атоми, електрони) с по-висока енергия към частици с по-ниска енергия.

Нашият курс ще изследва преноса на топлина чрез проводимост.

Нека първо разгледаме едномерния случай, когато температурата зависи само от една координата х. Нека две среди са разделени от плоска преграда с дебелина л(фиг. 23.1). Температури на медиите T 1 и T 2 се поддържат постоянни. Опитно може да се установи, че количеството топлина Q, предавана през участък от преградата с площ Спо време на Tравно на

, (23.1)

където коефициентът на пропорционалност k зависи от материала на стената.

При T 1 > T 2 топлината се пренася в посоката на положителната ос х, при T 1 < T 2 – отрицателен. Посоката на разпространение на топлината може да се вземе предвид, ако в уравнение (23.1) заменим ( T 1 - T 2)/лНа (- dT/dx). В едномерния случай производната dT/dxпредставлява температурен градиент. Спомнете си, че градиентът е вектор, чиято посока съвпада с посоката на най-бързото нарастване на скаларната координатна функция (в нашия случай T), а модулът е равен на съотношението на увеличението на функцията при малко преместване в тази посока към разстоянието, на което е настъпило това увеличение.

За да дадем на уравненията, описващи преноса на топлина, по-обща и универсална форма, ние считаме плътност на топлинния поток j - количество топлина, пренесено през единица площ за единица време

Тогава връзката (23.1) може да се запише във вида

Тук знакът минус отразява факта, че посоката на топлинния поток е противоположна на посоката на температурния градиент (посоката на неговото нарастване). Следователно плътността на топлинния поток е векторна величина. Векторът на плътността на топлинния поток е насочен към понижаване на температурата.

Ако температурата на средата зависи и от трите координати, тогава връзката (23.3) приема формата

Където , - температурен градиент ( д 1 ,д 2 ,д 3 - единични вектори на координатни оси).

Съотношения (23.3) и (23.4) представляват основния закон на топлопроводимостта (закон на Фурие): Плътността на топлинния поток е пропорционална на температурния градиент.Коефициентът на пропорционалност k се нарича коефициент на топлопроводимост(или просто топлопроводимост). защото измерение на плътността на топлинния поток [ й] = J/(m 2 s), а температурният градиент [ dT/dx] = K/m, тогава размерът на коефициента на топлопроводимост [k] = J/(m×s×K).

Като цяло температурата в различни точки на неравномерно нагрято вещество се променя с времето. Нека разгледаме едномерния случай, когато температурата зависи само от една пространствена координата хи време T, и получаваме топлинно уравнение- диференциално уравнение, удовлетворявано от функцията T = T(х,T).

Нека изберем мислено в средата малък обемен елемент под формата на цилиндър или призма, чиито образуващи са успоредни на оста х, а основите са перпендикулярни (Фигура 23.2). Основна площ С, и височината dx. Масата на този обем dm= r Sdx, и неговата топлинна мощност c×dmкъдето r е плътността на веществото, с- специфичен топлинен капацитет. Нека за кратък период от време дттемпературата в този обем се промени с dT. За да направите това, веществото в обема трябва да получи количество топлина, равно на произведението на неговия топлинен капацитет и промяната на температурата: . От друга страна, d Qможе да влезе в обема само през основата на цилиндъра: (плътност на топлинния поток йможе да бъде както положителен, така и отрицателен). Приравняване на изрази за d Q, получаваме

.

Заменяйки съотношенията на малките нараствания със съответните производни, стигаме до връзката

. (23.5)

Нека заместим израза (23.3) за плътността на топлинния поток във формула (23.5)

. (23.6)

Полученото уравнение се нарича топлинно уравнение. Ако средата е хомогенна и топлопроводимостта k не зависи от температурата, уравнението приема формата

, (23.7)

където се извиква константата коефициент на топлопроводимостзаобикаляща среда.

Уравнения (23.6) – (23.8) се удовлетворяват от безкраен брой функции T = T(х,T).

За да се изолира уникално решение на уравнението на топлопроводимостта, е необходимо да се добавят начални и гранични условия към уравнението.

Първоначалното условие е да се определи разпределението на температурата в средата T(х,0) в началния момент от време T = 0.

Граничните условия могат да бъдат различни в зависимост от температурния режим на границите. Най-често възникват ситуации, когато температурата или плътността на топлинния поток са определени на границите като функция на времето.

В някои случаи може да има източници на топлина в околната среда. Топлината може да се отдели в резултат на преминаване на електрически ток, химически или ядрени реакции. Наличието на източници на топлина може да се вземе предвид чрез въвеждане на обемната енергийна плътност р(х,г,z), равно на количеството топлина, отделена от източниците на единица обем среда за единица време. В този случай членът ще се появи от дясната страна на уравнение (23.5) р:

.

По-долу ще разгледаме няколко проблема за определяне на температурни полета за сравнително прости геометрични и физически условия, които позволяват аналитични решения, които са прости по форма и в същото време предоставят полезна илюстрация на характерните физически процеси, свързани с преноса на топлина в твърдо тяло.

Нека разгледаме прът с термично изолирана странична повърхност (фиг. 38). В този случай преносът на топлина може да възникне по дължината на пръта. Ако прътът е подравнен с оста на декартовата координатна система, тогава стационарното топлинно уравнение ще има формата

При постоянни стойности на коефициента на топлопроводимост на обемната мощност на топлоотделяне последното уравнение може да се интегрира два пъти

(75)

Интеграционните константи могат да бъдат намерени от граничните условия. Например, ако температурата в краищата на пръта е настроена на , . Тогава от (75) имаме

От тук намираме константите на интегриране и . Решението при посочените гранични условия ще приеме формата

От последната формула става ясно, че при липса на източници на топлина. Температурата в пръта варира линейно от една гранична стойност до друга

Нека сега разгледаме друга комбинация от гранични условия. Нека външен източник създаде топлинен поток в левия край на пръта. В десния край на пръта запазваме предишното състояние, така че имаме

Изразявайки тези условия с помощта на общия интеграл (75), получаваме система по отношение на интеграционните константи

След като намерим неизвестните константи от получената система, получаваме решение във формата

Както в предишния пример, при липса на вътрешни източници на топлина разпределението на температурата по пръта ще бъде линейно

В този случай температурата в левия край на пръта, където се намира външният източник на топлина, ще бъде равна на .

Като следващ пример, нека намерим стационарно разпределение на температурата по радиуса в плътен дълъг кръгъл цилиндър (фиг. 39). В този случай използването на цилиндрична координатна система значително ще опрости задачата. В случай на цилиндър с голямо съотношение на дължина към радиус и постоянно разпределение

Като се има предвид вътрешният източник на топлина, температурата далеч от краищата на цилиндъра може да се счита за независима от аксиалната координата на цилиндричната система. Тогава стационарното топлинно уравнение (71) ще приеме формата

Интегрирането на последното уравнение два пъти (при константа) дава

Условието за симетрия за разпределението на температурата по оста на цилиндъра () дава

Откъде го вземаме?

Последното условие ще бъде изпълнено, когато . Нека е определена температурата на повърхността на цилиндъра (). Тогава можем да намерим втората константа на интегриране от уравнението

От тук намираме и записваме решението в окончателния му вид

Като числен пример за приложението на получения резултат, нека разгледаме разпределението на температурата в плазмата на цилиндричен дъгов разряд с радиус mm. Границата на разрядния канал се оформя като област, където йонизационните процеси спират. Видяхме по-горе, че забележимата йонизация на газ по време на нагряване спира при K. Следователно дадената стойност може да се приеме като граница K. Намираме обемната плътност на мощността на отделяне на топлина в разрядната плазма от закона на Джаул-Ленц, където σ - електропроводимост на плазмата, д- напрегнатост на електрическото поле в разрядния канал. Характерните стойности за дъгов разряд са 1/Ohm m, V/m. Топлопроводимостта на дъговата плазма е по-висока, отколкото в неутрален газ, при температури от порядъка на 10 000 K нейната стойност може да се приеме равна. Така че параметърът . Разпределението на температурата по радиуса е показано на фиг. 39. В този случай температурата на оста на изпускане () ще бъде 8000 K.

В следващия пример ще разгледаме топлинно поле, което има сферична симетрия. Такива условия възникват, по-специално, ако малък източник на топлина е разположен в голям масив, например повреда на дъгата между витките в намотката на голяма електрическа машина. В този случай, комбинирайки центъра на сферичната координатна система с източника на топлина, можем да доведем стационарното топлинно уравнение (64) до формата:

Интегрирайки това уравнение два пъти, намираме

Връщайки се към нашия пример, да предположим, че дъговата повреда възниква вътре в сферична кухина с радиус (фиг. 40). Нека вземем съпротивлението на дъговия разряд за Ом, разрядния ток A. Тогава мощността, освободена в кухината, ще бъде . Нека разгледаме решение извън зоната на действие на източника на топлина.

Тогава интегралът на топлинното уравнение ще бъде опростен

За да изчислим интеграционните константи, първо използваме условието в точки, безкрайно отдалечени от мястото на изхвърляне, където C е температурата на околната среда. От последния израз намираме . За да определим константата, приемаме, че топлинната енергия, освободена при разряда, е равномерно разпределена по повърхността на сферична кухина с радиус . Следователно топлинният поток на границата на кухината ще бъде

Тъй като , тогава от последните две уравнения имаме

и окончателното решение

В този случай температурата на границата на кухината (mm) при W/mK ще бъде K (фиг. 40).

Като първи пример от тази група, нека разгледаме топлинното поле в напречното сечение на кръгъл проводник с охлаждащ канал (фиг. 41, А). Проводниците с охлаждащи канали се използват в намотките на мощни електрически машини и намотки за създаване на силни магнитни полета. Тези устройства се характеризират с дългосрочно протичане на токове с амплитуда от стотици и дори хиляди ампера. Например, изпомпва се течност, като вода или газ (водород, въздух), което осигурява извличане на топлинна енергия от вътрешната повърхност на канала и охлаждане на проводника като цяло. В този случай имаме работа с принудително конвективно охлаждане на повърхността на канала, за което можем да използваме граничното условие от трети род (67), обосновано по-горе. Ако оста на цилиндричната координатна система е подравнена с оста на жицата, тогава температурата ще зависи само от радиалната координата. Получихме общия интеграл на стационарното топлинно уравнение за този случай по-рано

Обемната плътност на мощността на отделяне на топлина се намира от закона на Джаул-Ленц: , й- плътност на тока, σ - електропроводимост,

Където Р- радиус на сечението на проводника, а- радиус на охлаждащия канал. Проводникът е заобиколен отвън със слоеве изолация, която в сравнение с проводника има относително ниска топлопроводимост. Следователно, като първо приближение, приемаме, че външната повърхност на проводника е термично изолирана, т.е. топлинният поток върху него

На повърхността на охлаждащия канал топлинният поток се определя от условието на третия вид

където е коефициентът на топлопреминаване, е температурата на охлаждащия поток. Знакът минус от дясната страна се взема поради факта, че нормалата към вътрешната повърхност на канала е насочена в посока, противоположна на оста.

Замествайки израза за температура (76) в първото от написаните гранични условия, получаваме

където . Второто гранично условие дава

от къде го намираме?

В същото време от (76)

Сравнявайки последните два израза, намираме

След заместване на намерените константи в общото решение (76) и трансформации получаваме

Температурата на границите на напречното сечение на проводника от получения разтвор ще бъде изчислена по формулите

Разпределение на температурата по радиуса на напречното сечение за проводник с охлаждащ канал с параметри: A, W/mK, 1/Ohm m, o C, mm, cm е показано на фиг. 41, b.

От фиг. 41, bот това следва, че в рамките на напречното сечение на проводника промяната на температурата е относително малка в сравнение със средната й стойност, което се обяснява с високата топлопроводимост λ и сравнително малки размери на напречното сечение на проводника.

Друга ситуация възниква при разпределението на температурата по протежение на проводник, състоящ се от отделни секции в контакт един с друг. Влошаването на качеството на контактите между свързаните проводници води до увеличаване на генерирането на топлина в кръстовището на два проводника в сравнение със самия проводник. Дистанционното измерване на температурата на проводника с помощта на термокамери или пирометри ви позволява да диагностицирате качеството на контактните връзки.

Нека изчислим разпределението на температурата по проводника при наличие на дефектен контакт. Предишният пример показа, че дори при най-тежки условия температурната промяна в напречното сечение на жицата е много малка. Следователно, за нашите изчисления можем, като първо приближение, да приемем, че разпределението на температурата в напречното сечение на проводника е равномерно. Разпределението на генерираната топлина по дължината на проводника зависи от разпределението на електрическото съпротивление по дължината на проводника, което е равномерно далеч от контакта и се увеличава при приближаване към него. Нека изравним оста на декартовата координатна система с оста на проводника, а началото на координатите с центъра на контактната зона (фиг. 42). Като модел за разпределение на съпротивлението по дължината на проводника приемаме следното разпределение на линейното съпротивление

където , е параметър, характеризиращ линейния размер на контактната площ. Топлинната мощност на единица дължина на проводника е . Изчислено за единица обем, мощността на топлоотдаване е равна на

Където С- напречно сечение на проводника. Жицата се охлажда чрез естествена конвекция от нейната повърхност. Конвективният топлинен поток на единица дължина на проводника е

Където α - коефициент на топлопреминаване, - температура на околната среда, стр- периметър на напречното сечение на проводника. Преносът на топлина към околната среда на единица обем на проводника ще бъде

Стационарното разпределение на температурата по жицата ще се подчинява на уравнението за топлопроводимост

За по-нататъшни трансформации на полученото уравнение, нека вземем константата на коефициента на топлопроводимост по жицата, заместваме получените по-горе изрази за и , а също и като желаната функция вместо Tда вземем:

стигаме до линейно нехомогенно диференциално уравнение

Решението на полученото уравнение ще търсим под формата на сумата от общото решение на хомогенното уравнение

и специално решение под формата на дясната страна

.

Решаване на алгебрични уравнения по метода на Нютон

Доста популярен метод за решаване на уравнения е метод на допирателната, или Метод на Нютон. В този случай уравнение от формата f(х) = 0 се решава по следния начин. Първо, нулевото приближение (точка х 0). В тази точка се построява допирателна към графиката г = f(х). Точката на пресичане на тази допирателна с оста x е следващото приближение за корена (точка х 1). В тази точка отново се конструира допирателна и т.н. Последователност на точките х 0 , х 1 , х 2 ... трябва да води до истинската стойност на корена. Условието за конвергенция е.

Тъй като уравнението на права, минаваща през точка, е х 0 , f(х 0) (и това е тангенса), се записва във формата

и като следващо приближение х 1 за корен на първоначалното уравнение се взема точката на пресичане на тази права с абсцисната ос, тогава трябва да поставим в тази точка г = 0:

от което непосредствено следва уравнението за намиране на следващото приближение чрез предишното:

На фиг. Фигура 3 показва прилагането на метода на Нютон с помощта на Excel. Първоначалното приближение ( х 0 = -3), а след това всички междинни стойности се изчисляват в останалите клетки на колоната до изчислението х 1 . За да изпълните втората стъпка, стойността от клетка B10 се въвежда в клетка C3 и процесът на изчисление се повтаря в колона C. След това, с избрани клетки C2:C10, можете да плъзнете манипулатора в долния десен ъгъл на селекцията, за да разширите към колони D:F. В резултат на това в клетка F6 се получава стойността 0, т.е. стойността в клетка F3 е коренът на уравнението.

Същият резултат може да се получи с помощта на циклични изчисления. След това след попълване на първата колона и получаване на първата стойност х 1, въведете формулата =H10 в клетка H3. В този случай изчислителният процес ще бъде зациклен и за да бъде изпълнен, в менюто Обслужване | Настроикина раздела Изчислениятрябва да има отметка Итерациии посочват ограничаващия брой стъпки на итеративния процес и относителната грешка (числото по подразбиране от 0,001 очевидно е недостатъчно в много случаи), при достигането на което изчислителният процес ще спре.

Както е известно, физичните процеси като пренос на топлина и пренос на маса по време на дифузия се подчиняват на закона на Фик

Където л- коефициент на топлопроводимост (дифузия) и T– температура (концентрация) и – поток на съответната стойност. От математиката е известно, че дивергенцията на потока е равна на обемната плътност на източника Qтази стойност, т.е.

или, за двуизмерния случай, когато се изследва разпределението на температурата в една равнина, това уравнение може да бъде записано като:

Аналитичното решаване на това уравнение е възможно само за области с проста форма: правоъгълник, кръг, пръстен. В други ситуации точното решение на това уравнение е невъзможно, т.е. Също така е невъзможно да се определи разпределението на температурата (или концентрацията на вещество) в сложни случаи. След това трябва да използвате приблизителни методи за решаване на такива уравнения.

Приблизителното решение на уравнение (4) в област със сложна форма се състои от няколко етапа: 1) изграждане на мрежа; 2) изграждане на разностна схема; 3) решаване на система от алгебрични уравнения. Нека разгледаме последователно всеки от етапите и тяхното изпълнение с помощта на пакета Excel.

Решетъчна конструкция.Нека зоната има формата, показана на фиг. 4. С тази форма е невъзможно точно аналитично решение на уравнение (4), например чрез метода на разделяне на променливи. Затова ще търсим приблизително решение на това уравнение в отделни точки. Нека приложим еднаква решетка върху областта, състояща се от квадрати със страни ч. Сега, вместо да търсим непрекъснато решение на уравнение (4), дефинирано във всяка точка от региона, ние ще търсим приблизително решение, дефинирано само в възловите точки на мрежата, приложена към региона, т.е. в ъглите на квадратите.

Построяване на разностна схема.За да конструирате схема на разликата, разгледайте произволен вътрешен възел на мрежата C (централен) (фиг. 5). Четири възела са съседни на него: B (горен), N (долен), L (ляв) и P (десен). Спомнете си, че разстоянието между възлите в мрежата е ч. След това, използвайки израз (2) за приблизително записване на вторите производни в уравнение (4), можем приблизително да запишем:

от което е лесно да се получи израз, свързващ стойността на температурата в централната точка с нейните стойности в съседните точки:

Израз (5) ни позволява, знаейки температурните стойности в съседни точки, да изчислим стойността му в централната точка. Такава схема, в която производните се заменят с крайни разлики и за търсене на стойности в точка на мрежата се използват само стойностите в най-близките съседни точки, се нарича схема с централна разлика, а самият метод се нарича метод на крайните разлики.

Необходимо е да се разбере, че получаваме уравнение, подобно на (5) ЗА ВСЯКА точка от мрежата, които по този начин се оказват свързани помежду си. Тоест имаме система от алгебрични уравнения, в която броят на уравненията е равен на броя на възлите на мрежата. Такава система от уравнения може да бъде решена с помощта на различни методи.

Решаване на система от алгебрични уравнения. Итерационен метод.Нека температурата в граничните възли е зададена и равна на 20, а мощността на източника на топлина е равна на 100. Размерите на нашия регион са зададени и равни вертикално на 6 и хоризонтално на 8, така че страната на квадрата на мрежата ( стъпка) ч= 1. Тогава израз (5) за изчисляване на температурата във вътрешните точки приема формата

Нека присвоим на всеки NODE клетка в листа на Excel. В клетките, съответстващи на граничните точки, въвеждаме числото 20 (те са маркирани в сиво на фиг. 6). В останалите клетки записваме формула (6). Например в клетка F2 ще изглежда така: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. След като напишете тази формула в клетка F2, можете да я копирате и поставите в останалите клетки на областта, съответстваща на вътрешните възли. В този случай Excel ще отчете невъзможността за извършване на изчисления поради зацикляне на резултатите:

Кликнете върху „Отказ“ и отидете до прозореца Инструменти|Опции|Изчисления, където поставете отметка в квадратчето в секцията „Итерации“, като посочите 0,00001 като относителна грешка и 10000 като максимален брой итерации:

Такива стойности ще ни осигурят малка COUNTABLE грешка и ще гарантират, че процесът на итерация ще достигне посочената грешка.

Тези стойности обаче НЕ осигуряват малка грешка на самия метод, тъй като последният зависи от грешката при заместване на втори производни с крайни разлики. Очевидно тази грешка е по-малка, колкото по-малка е стъпката на мрежата, т.е. размера на квадрата, на който се основава нашата схема на разликата. Това означава, че точно ИЗЧИСЛЕНАТА стойност на температурата във възлите на решетката, представена на фиг. 6 всъщност може да се окаже напълно невярно. Има само един метод за проверка на намереното решение: намерете го на по-ситна мрежа и го сравнете с предишното. Ако тези решения се различават малко, тогава можем да приемем, че намереното разпределение на температурата отговаря на реалността.

Нека намалим стъпката наполовина. Вместо 1 ще стане равно на ½. Нашият брой възли ще се промени съответно. Вертикално вместо 7 възела (имаше 6 стъпки, т.е. 7 възела) ще има 13 (12 квадрата, т.е. 13 възела), а хоризонтално вместо 9 ще има 17. Не трябва да се забравя, че размерът на стъпката е наполовина и сега във формула (6) вместо 1 2 трябва да замените (1/2) 2 от дясната страна. Като контролна точка, в която ще сравняваме намерените решения, ще вземем точката с максимална температура, отбелязана на фиг. 6 в жълто. Резултатът от изчисленията е показан на фиг. 9:

Вижда се, че намаляването на стъпката води до значителна промяна в стойността на температурата в контролната точка: с 4%. За да се увеличи точността на намереното решение, стъпката на мрежата трябва да бъде допълнително намалена. За ч= ¼ получаваме 199,9 в контролната точка, а за h = 1/8 съответната стойност е 200,6. Можете да начертаете зависимостта на намерената стойност от размера на стъпката:

От фигурата можем да заключим, че по-нататъшното намаляване на стъпката няма да доведе до значителна промяна в температурата в контролната точка и точността на намереното решение може да се счита за задоволителна.

Използвайки възможностите на пакета Excel, можете да изградите температурна повърхност, която визуално представя нейното разпределение в изследваната област.

АНАЛИТИЧНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЕТО ЗА ТОПЛОПРОВОДНОСТ

Понастоящем много голям брой едномерни проблеми с топлопроводимостта са решени аналитично.

А. В. Ликов, например, разглежда четири метода за решаване на уравнението на топлината в условията на едномерна задача: методът на разделяне на променливите, методът на източниците, оперативният метод, методът на крайните интегрални трансформации.

По-нататък ще се спрем само на първия метод, който получи най-голямо разпространение.

Метод за разделяне на променливи при решаване на топлинното уравнение

Диференциалното уравнение на топлопроводимостта при условията на едномерна задача и без източници на топлина има формата

T/?f = a ? 2 t/?x 2 .(3.1)

Това уравнение е специален случай на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти за някаква функция t на две променливи x и φ:

Лесно е да се провери, че определено решение на това уравнение е изразът

t = C exp (bx + vf).(3.3)

Наистина ли:

• ?t/?x = bС exp (bx + vf);?t/?ф = вС exp (bx + vf);
• ? 2 t/?x 2 = b 2 C exp (bx + vf);
• ? 2 t/?f 2 = в 2 C exp (bx + vf);? 2 t/(?x ?f) = bvS exp (bx + vf).(3.4)

Решаването на последните седем уравнения заедно дава

a 1 b 2 + b 1 bv + c 1 c 2 + d 1 b + l 1 c + f 1 = 0.(3.5)

Последното уравнение се нарича уравнение на коефициента.

Преминавайки към уравнение (3.1) и го сравнявайки с уравнение (3.2), заключаваме, че

b 1 = c 1 = d 1 = f 1 = 0;a 1 = - a;l 1 = 1.(3.6)

Уравнението на коефициентите (3.5) за специален случай на уравнение (3.1) приема формата

B 2 a + c = 0(3,7)

c = b 2 a.(3.8)

По този начин конкретното решение (3.3) е интеграл от диференциалното уравнение (3.1) и, като се вземе предвид (3.8), приема формата

t = C exp (b 2 af + bx).(3.9)

В това уравнение можете да посочите всякакви числови стойности за C, b, a.

Израз (3.9) може да се представи като произведение

t = C exp (b 2 aph) exp (bx), (3.10)

където факторът exp (b 2 af) е функция само на времето f, а факторът exp (bx) е само функция на разстоянието x:

exp (b 2 af) = f (f); exp (bx) = c (x). (3.11)

С увеличаването на времето φ температурата във всички точки непрекъснато се увеличава и може да стане по-висока от предварително определената стойност, което не се случва при практически проблеми. Следователно те обикновено приемат само тези стойности на b, за които b 2 е отрицателно, което е възможно, когато b е чисто въображаема стойност. Да приемем

b = ± iq, (3.12)

където q е произволно реално число (преди това символът q означаваше специфичния топлинен поток),

В този случай уравнението (3.10) ще приеме следната форма:

t = C exp (- q 2 aph) exp (± iqx).(3.13)

Позовавайки се на известната формула на Ойлер

exp (± ix) = cos x ± i sin x(3.14)

и използвайки го, трансформираме уравнението (3.13). Получаваме две решения в комплексна форма:

Сумираме лявата и дясната страна на уравненията (3.15), след това отделяме реалните от въображаемите части в лявата и дясната страна на сумата и ги приравняваме съответно. Тогава получаваме две решения:

Нека въведем следната нотация:

(C 1 + C 2)/2 = D; (C 1 - C 2)/2 = C(3.17)

тогава получаваме две решения, удовлетворяващи диференциалното топлинно уравнение (3.1):

t 1 = D exp (- q 2 aph) cos (qx); t 2 = C exp (- q 2 aph) sin (qx).(3.18)

Известно е, че ако желаната функция има две частични решения, тогава сумата от тези частични решения ще удовлетворява първоначалното диференциално уравнение (3.1), т.е. решението на това уравнение ще бъде

t = C exp (- q 2 aph) sin (qx) + D exp (- q 2 aph) cos (qx), (3.19)

и общото решение, удовлетворяващо това уравнение, може да бъде написано по следния начин:

Всички стойности на q m, q n, C i, D i в уравнение (3.20) ще удовлетворят уравнение (3.1). Спецификацията при избора на тези стойности ще се определя от началните и граничните условия на всеки конкретен практически проблем, а стойностите на q m и q n се определят от граничните условия, а C i и Di от начални.

В допълнение към общото решение на топлинното уравнение (3.20), в което има място произведението на две функции, едната от които зависи от x, а другата от φ, има и решения, при които такова разделяне е невъзможно, например:

И двете решения отговарят на уравнението на топлопроводимостта, което може лесно да се провери чрез диференцирането им първо по отношение на φ и след това 2 пъти по отношение на x и заместването на резултата в диференциалното уравнение (3.1).

Конкретен пример за нестационарно температурно поле в стена

Нека разгледаме пример за прилагане на полученото по-горе решение.

Изходни данни.

• 1. Дадена е бетонна стена с дебелина 2X = 0,80 m.
• 2. Температура на околната среда около стената и = 0°C.
• 3. В началния момент температурата на стената във всички точки е F(x)=1°C.
• 4. Коефициент на топлопреминаване на стената b = 12,6 W/(m 2 °C); коефициент на топлопроводимост на стената l = 0,7 W/(m ° C); плътност на материала на стената c = 2000 kg/m 3 ; специфичен топлинен капацитет c=1,13·10 3 J/(kg·°С); коефициент на топлопроводимост a=1,1·10 -3 m 2 /h; относителен коефициент на топлопреминаване b/l = h=18,0 1/m. Необходимо е да се определи разпределението на температурата в стената 5 часа след първоначалното време.

Решение. Обръщайки се към общото решение (3.20) и имайки предвид, че първоначалното и следващите разпределения на температурата са симетрични спрямо оста на стената, заключаваме, че серията от синуси в това общо решение изчезва и за x = X ще има формата

Стойностите се определят от граничните условия (без допълнителни обяснения тук) и са дадени в таблица 3.1.

Имайки стойностите от таблица 3.1, намираме необходимата серия от стойности, използвайки формулата

Таблица 3.1 Стойности на функциите, включени във формула (3.24)

	0,982 0,189	--0,862 --0,507	0,713 0,701	10,03 --0,572 --0,820	13,08 0,488 0,874

т.е. D1 = 1,250; D2 = -- 0,373; D3 = 0,188; D4 = -- 0,109; D5 = 0,072.

Първоначалното разпределение на температурата в разглежданата стена ще приеме следната форма:

За да се получи изчисленото разпределение на температурата 5 часа след началния момент, е необходимо да се определи поредица от стойности за време след 5 часа.Тези изчисления се извършват в таблица 3.2.

Таблица 3.2 Стойности на функциите, включени във формула (3.23)

A=(q ni X) 2 (af/X 2)

Крайният израз за разпределението на температурата в дебелината на стената 5 часа след началния момент

Фигура 3.1 показва разпределението на температурата в дебелината на стената в началния момент от време и след 5 ч. Наред с общото решение тук са показани и частичните, а с римски цифри са обозначени частичните криви, съответстващи на последователните членове от серията (3.25) и (3.26).

Фиг.3.1.

При решаване на практически задачи обикновено не е необходимо да се определя температурата във всички точки на стената. Можете да се ограничите до изчисляване на температурата само за една точка, например за точка в средата на стената. В този случай обемът на изчислителната работа с формула (3.23) ще бъде значително намален.

Ако първоначалната температура в случая, разгледан по-горе, не е 1 °C, а T c, тогава уравнението (3.20) ще приеме формата

Решаване на топлинното уравнение при различни гранични условия

Няма да даваме последователна прогресия на решаване на топлинното уравнение при други гранични условия, които са от практическо значение при решаването на някои задачи. По-долу ще се ограничим само до формулирането на техните условия с показване на наличните готови решения.

Изходни данни. Стената е с дебелина 2Х. В началния момент във всички негови точки, с изключение на повърхността, температурата T c Температурата на повърхността 0°C се поддържа през целия изчислителен период.

Трябва да намерим t = f(x, φ).

Стационарният резервоар се покрива с лед при температурата на най-високата плътност на водата (Tc = 4 ° C). Дълбочината на резервоара е 5 m (X = 5 m). Изчислете температурата на водата в резервоара 3 месеца след замръзване. Коефициент на топлопроводимост на неподвижна вода a = 4,8·10 -4 m 2 /h. Няма топлинен поток на дъното, т.е. при x = 0.

По време на изчислителния период (f = 3·30·24 = 2160 h) температурата на повърхността се поддържа постоянна и равна на нула, т.е. при x = X T p = 0°C. Обобщаваме цялото изчисление в таблицата. 3 и 4. Тези таблици ви позволяват да изчислите температурните стойности 3 месеца след началния момент за дълбочини близо до дъното и след това по-високи след 1 m, т.е. t 0 (дъно) = 4 ° C; t1 = 4°С; t2 = 3.85°С; t3 = 3.30°С; t4 = 2.96°С; t 5(sur) = 0°C.

Таблица 3.3

Таблица 3.4

Както виждаме, в абсолютно неподвижна вода температурните смущения проникват дълбоко във водата много бавно. При естествени условия винаги се наблюдават течения в резервоари под ледена покривка, или гравитационни (течащи), или конвективни (различни плътности), или накрая, причинени от притока на подземни води. Цялото разнообразие от тези природни характеристики трябва да се вземе предвид при практическите изчисления, а препоръките за тези изчисления могат да бъдат намерени в ръководствата и в трудовете на К. И. Росински.

Тялото е ограничено от едната страна (полуравнина). В момента φ = 0 във всички точки температурата на тялото е равна на T c. За всички моменти от време f > 0 на повърхността на тялото се поддържа температура T p = 0°C.

Необходимо е да се намери разпределението на температурата в тялото и загубата на топлина през свободната повърхност като функция на времето: t = f (x, f),

Решение. Температура навсякъде по тялото и по всяко време

където е интегралът на Гаус. Стойностите му в зависимост от функцията са дадени в таблица 3.5.

Таблица 3.5

На практика решението започва с определяне на връзката, в която x и φ са посочени в постановката на проблема.

Количеството топлина, загубено от единица повърхност на тялото в околната среда, се определя от закона на Фурие. За целия период на фактуриране от началния момент до фактурирането

В началния момент температурата на почвата от повърхността до значителна дълбочина е постоянна и равна на 6°C. В този момент температурата на повърхността на почвата падна до 0°C.

Необходимо е да се определи температурата на почвата на дълбочина 0,5 m след 48 часа при коефициент на топлопроводимост на почвата a = 0,001 m 2 / h, както и да се оцени количеството топлина, загубено от повърхността през това време.

По формула (3.29) температурата на почвата на дълбочина 0,5 m след 48 часа е t=6·0,87=5,2°С.

Общото количество топлина, загубена на единица повърхност на почвата, с коефициент на топлопроводимост l = 0,35 W/(m °C), специфична топлина c = 0,83·10 3 J/(kg °C) и плътност c = 1500 kg/m 3 се определя по формулата (3.30) Q = l.86·10 6 J/m 2 .

интегрална топлопроводимост топлинно тяло

Фиг.3.2

Поради някакво външно въздействие температурата на повърхността на тяло, ограничено от едната страна (полуравнина), претърпява периодични колебания около нулата. Ще приемем, че тези колебания са хармонични, т.е. повърхностната температура варира по косинусова крива:

където е продължителността на трептенето (период), T 0 е повърхностната температура,

T 0 max -- максималното му отклонение.

Необходимо е да се определи температурното поле като функция на времето.

Амплитудата на температурните колебания се променя с x по следния закон (фиг. 3.2):

Пример за задача № 3. Изменението на температурата на повърхността на суха песъчлива почва през годината се характеризира с косинусова крива. Средната годишна температура е 6°C с максимални отклонения от средната през лятото и зимата до 24°C.

Необходимо е да се определи температурата на почвата на дълбочина 1 m в момента, когато повърхностната температура е 30°C (условно 1/VII).

Косинусният израз (3.31) във връзка с този случай (температура на повърхността) при T 0 max = 24 0 C ще приеме формата

T 0 = 24 cos (2рф/8760) + 6.

Поради факта, че повърхността на почвата има средна годишна температура от 6°C, а не нула, както в уравнение (3.32), проектното уравнение ще приеме следната форма:

Като вземем коефициента на топлопроводимост a = 0,001 m 2 /h за почвата и имайки предвид, че според условията на проблема е необходимо да се определи температурата в края на изчислителния период (8760 часа от началния момент), намираме

Изчисленият израз (3.34) ще приеме следната форма: t = 24e -0,6 ·0,825 + 6 = 16,9 °C.

При същата дълбочина от 1 m максималната амплитуда на годишното температурно колебание, съгласно израз (3.33), ще бъде

T 1 max = 24e -0,6 = 13,2 °C,

и максимална температура на дълбочина 1м

t 1 max = T x max + 6 = 13,2 + 6 =19,2 °C.

В заключение отбелязваме, че разгледаните проблеми и подходи могат да се използват за решаване на въпроси, свързани с изпускането на топла вода в резервоар, както и с химическия метод за определяне на водния поток и в други случаи.

Извеждане на топлинното уравнение

Нека си представим хомогенно тяло и изолираме от него елементарен обем със страни (Фигура 1).

Фигура 1. Контролен обем в правоъгълна координатна система

Означаваме входящите топлинни потоци, разположени перпендикулярно на повърхностите като, . Изразяваме потоците върху противоположни повърхности от серията на Тейлър:

Може да има и вътрешни източници на топлина вътре в тялото, ако има дренажи, ако:

Промяна във вътрешната енергия:

Нека заместим уравнения (1.1.1) в полученото уравнение (1.1.5):

Замествайки ги в уравнение (1.1.6), получаваме уравнението на топлопроводимостта в общ вид за триизмерното пространство:

Нека въведем коефициента на топлопроводимост:

и намалете вътрешните източници на топлина. Получаваме уравнението на топлопроводимостта в триизмерното пространство без вътрешни източници на топлина:

Условия за уникалност

Уравнение (1.1) описва процеса в общ вид. За да се приложи към конкретен проблем, са необходими допълнителни условия, наречени условия за недвусмисленост. Тези условия включват геометрични (форма и размер на тялото), физически (физични свойства на тялото), време (първоначално разпределение на температурата) и гранични условия (описват процеса на топлообмен с околната среда).

Граничните условия могат да бъдат разделени на три основни типа:

1. Гранични условия на Дирихле: дадена е стойността на функцията на границата.

В случай на проблема с топлопроводимостта се посочват температурните стойности на повърхността на тялото.

2. Гранични условия на Нойман: посочена е нормалната производна на функцията на границата.

Задайте плътността на топлинния поток върху повърхността на тялото.

3. Гранични условия на Робин: зададена е линейна комбинация от стойността на функцията и нейната производна на границата.

Опишете топлообмена между повърхността на тялото и околната среда според закона на Нютон-Рихман.

В тази работа ще се използват само гранични условия на Дирихле, поради сложността на прилагането на останалите гранични условия.

Подобни статии