Диаграма на надлъжните сили. Напрежения

Решение.

1. Построяване на диаграма N.

Три сили действат върху гредата, следователно надлъжната сила по нейната дължина ще се промени. Разделяме гредата на секции, в които надлъжната сила ще бъде постоянна. В този случай границите на участъците са участъците, в които се прилагат силите. Нека обозначим секциите с букви A, B, C, D,започвайки от свободния край, в случая десния.

За да определим надлъжната сила във всяко сечение, разглеждаме произволно напречно сечение, силата в което се определя съгласно правилото, дадено по-рано. За да не се предопределя реакцията във вграждането д, започваме изчисленията от свободния край на гредата А.

Парцел AB, раздел 1-1 . Отдясно на сечението има сила на опън P 1 (фиг. 15, А). В съответствие с по-горе споменатото правило получаваме

N AB =+P 1 =40 kN.

Парцел слънце, раздел 2-2 . Вдясно от него има две сили, насочени в различни посоки. Като вземем предвид правилото за знака, получаваме

N B C =+P 1 -P 2 =40-90=-50 kN.

Парцел CD, раздел 3-3: по подобен начин получаваме

N C D =+P 1 -P 2 -P 3 =40-90-110=-160 kN.

Въз основа на намерените стойности нИзграждаме диаграма в избрания мащаб, като вземем предвид, че във всеки раздел надлъжната сила е постоянна (фиг. 15, b)

Положителни стойности нпоставяме диаграмите нагоре от оста, отрицателните - надолу.

2. Построяване на диаграма на напрежениетоσ .

Изчисляваме напреженията в напречното сечение за всяка секция на гредата:

При изчисляване на нормалните напрежения стойностите надлъжни сили нса взети от диаграмата, като се вземат предвид техните знаци. Знакът плюс съответства на разтягане, знакът минус на компресия. Диаграмата на напрежението е показана на фиг. 15, V.

3. Построяване на диаграма на надлъжните премествания.

За да изградим диаграма на изместване, изчисляваме абсолютните удължения на отделните секции на гредата, като използваме закона на Хук:

Определяме движенията на секциите, започвайки от фиксирания фиксиран край. Раздел дразположен в уплътнението, той не може да се движи и движението му е нула:

Раздел СЪСще се премести в резултат на промяна на дължината на участъка CD.Преместване на раздел СЪСопределена по формулата

∆ C = ∆ л CD = -6,7∙10 -4 m.

С отрицателна (компресивна) сила точката СЪСще се премести наляво.

Преместване на раздел INе резултат от промяна на дължините DCИ C.B.. Добавяйки техните разширения, получаваме

∆B =∆ л CD +∆ л BC = -6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 = -8,8∙10 -4 m.

Разсъждавайки по подобен начин, изчисляваме преместването на сечението А:

∆ A = ∆ л CD +∆ л BC +∆ л AB = -6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 +0,57∙10 -4 = -8,23∙10 -4 m.

В избрания мащаб начертаваме стойностите на изчислените премествания от оригиналната ос. Свързвайки получените точки с прави линии, изграждаме диаграма на изместване (фиг. 15, Ж).

4. Проверка на здравината на дървения материал.

Условието за якост се записва в следната форма:

Намираме максималното напрежение σ max от диаграмата на напрежението, като избираме максимума според абсолютна стойност:

σ max =267 MPa.

Това напрежение действа върху зоната DC, всички участъци от които са опасни.

Допустимото напрежение се изчислява по формулата:

Сравнявайки σ max и [σ], виждаме, че условието за якост не е изпълнено, тъй като максималното напрежение надвишава допустимото.

Пример 4

Изберете размерите на правоъгълното напречно сечение на чугунения прът от условията на якост и твърдост (вижте фиг. 16, А).

Зададено: F=40 kN; л=0,4 m; [σ p ]=350 MPa; [σ s ]=800 MPa; E=1.2∙10 5 MPa; [∆l]=l/200; h/b=2, където h е височината, b е ширината на напречното сечение.

Фиг.16

Решение.

1. Построяване на диаграма на вътрешните силин

Прътът е разделен на 3 секции в зависимост от промените във външното натоварване и площта на напречното сечение. Използвайки метода на сечението, ние определяме надлъжната сила във всяко сечение.

В участък 1: N 1 = -F = -40 kN.

На участък 2: N 2 = -F+3F=2F=80 kN.

На участък 3: N 3 = -F+3F-2F=F=40 kN.

Диаграма нпоказано на фиг. 16, b.

2. Построяване на диаграма на нормалните напрежения

Нека намерим напреженията върху сеченията на пръта.

На сайт 1:

На сайт 2:

На сайт 3:

Диаграмата σ е показана на фиг. 16, V.

3. Намиране на площта на напречното сечение от условието за якост

Най-високите напрежения на опън възникват в зона 2, най-големите напрежения на натиск възникват в зона 1. За да изчислим площта на напречното сечение, използваме условията на якост σ max. p ≤[σ p ] и σ max .с ≤[σ с ].

Напреженията в секция 1 са равни

следователно

Напреженията в секция 2 са равни

Според състоянието на якост

Напреженията в секция 3 са равни

следователно

Необходимата площ на напречното сечение трябва да се вземе от условието за якост на опън:

За дадено съотношение h/b=2 площта на напречното сечение може да бъде записана като A=h∙b=2b 2 . Размерите на напречното сечение ще бъдат равни на:

4. Намиране на площта на напречното сечение от условието за твърдост

При изчисляване на твърдостта трябва да се вземе предвид, че изместването в точка d ще бъде равно на сумата от деформациите на всички секции на пръта. Ние намираме абсолютната стойност на деформация за всеки участък, използвайки формулата

или

На сайт 1:

На сайт 2:

На сайт 3:

Абсолютна деформация на целия прът:

От условието за твърдост ∆ л≤[∆л], ще намерим

, където

Размерите на напречното сечение ще бъдат равни на:

Сравнявайки резултатите от изчисленията за якост и твърдост, приемаме по-голяма стойност на площта на напречното сечение A = 2,65 cm 2.

5. Построяване на диаграма на преместване𝜆

За да определите изместването на всяка секция на пръта, конструирайте диаграма на преместване 𝜆 . Ние приемаме сечението във вграждането като референтна точка, тъй като преместването на това сечение е нула. При конструирането на диаграма последователно определяме преместванията на характерните сечения на пръта, които са равни на алгебричната сума от промените в дължините на всички секции от началото до разглежданата секция.

Раздел а:

Раздел b:

Раздел с:

Раздел d:

Диаграмата на изместване λ е показана на фиг. 16, Ж.

Пример 5

За стъпаловиден дървен материал (фиг. 17, А) при E=2∙10 5 MPa, σ T = 240 MPa, се изисква да се определи:

1. Вътрешни надлъжни сили по дължината му и построяване на диаграма на надлъжните сили.

2. Нормални напрежения в напречните сечения и построяване на диаграма на нормалните напрежения.

3. Марж на безопасност за опасен участък.

4. Преместване на сечения и построяване на диаграма на преместване.

Дадено е: F 1 = 30kN; F 2 = 20 kN; F 3 = 60 kN; л 1 = 0,5m; л 2 = 1,5m; л 3 = 1m; л 4 = 1m; л 5 = л 6 = 1m; d 1 = 4 cm; d 2 = 2 cm.

Фиг.17

Решение.

1. Определяне на надлъжни сили в характерни сечения на гредата и построяване на диаграма на надлъжни сили.

Ние изобразяваме дизайнерската диаграма (фиг. 17, А) и определяме реакцията на опората в вграждането, която насочваме от външната страна на вграждането вляво. Ако в резултат на определяне на реакцията Р INсе окаже отрицателна, това показва, че нейната посока е противоположна. Стъпаловидна греда под въздействието на сили Е 1 , Е 2 , Е 3 и реакции Р INса в равновесие, така че да се определи Р INдостатъчно е да се създаде едно уравнение за проекциите на всички сили върху оста х, съвпадащ с оста на лъча.

ΣF ix =-F 1 -F 2 +F 3 -R B =0

Къде R B = -F 1 -F 2 +F 3 = -30-20+60=10 kN

Нека разделим дървения материал на части. Границите на сеченията са сеченията, в които се прилагат външни сили, а за напреженията също и местата, където се променят размерите на напречното сечение (фиг. 17, а)

Използвайки метода на сечението, ние определяме за всяко сечение големината и знака на надлъжната сила. Нека начертаем сечение 1–1 и разгледаме равновесието на дясната отсечена част на лъча (фиг. 17,b). Вътрешни силивъв всеки раздел условно го насочваме към изхвърлената част. Ако вътрешната надлъжна сила е положителна на мястото, възниква деформация на опън; отрицателна – компресия.

Отчитайки дясната отрязана част, намираме

ΣF ix =-N1-R B =0; N 1 =-R B =-10 kN (компресия)

Стойността на надлъжната сила в рамките на първия участък не зависи от това коя от отрязаните части разгледахме. Винаги е по-препоръчително да се вземе предвид тази част от гредата, към която се прилага по-малко сила. След като начертахме секции във втория, третия и четвъртия раздел, намираме по подобен начин:

за секция 2–2 (фиг. 17, c)

ΣF ix = -N2 +F3 -R B =0; N 2 =F 3 -R B =60-10=50 kN (опън).

за секция 3–3, помислете за лявата страна на гредата (фиг. 17,d)

ΣF ix = -F1 -N3 =0; N 3 =F 1 =30 kN (опън).

за секция 4–4 (фиг. 17,e)

ΣF ix =N 4 =0; N 4 =0 тази част от гредата не се деформира.

След определяне на вътрешните надлъжни сили в характерни сечения се построява графика на разпределението им по дължината на гредата. Графика, показваща как се променят надлъжните сили ( н) при преминаване от един раздел към друг, т.е. графика, изобразяваща закона за промяната нпо оста на гредата, се нарича диаграма на надлъжните сили.

Диаграмата на надлъжната сила се изгражда в следната последователност. В греда, разделена на секции, начертайте линии, перпендикулярни на нейната ос през точките на прилагане на външни сили. На определено разстояние от оста на гредата, начертайте линия, успоредна на нейната ос: върху перпендикуляр на тази линия, начертайте в избран мащаб сегмент, съответстващ на надлъжната сила за всяко сечение: положително нагоре от оста на диаграмата , отрицателна надолу. Начертайте линии, успоредни на оста през краищата на сегментите. Оста на диаграмата е начертана с тънка линия, а самата диаграма е очертана с дебели линии, диаграмата е щрихована с тънки линии, перпендикулярни на нейната ос. В скала всяка линия е равна на надлъжната сила в съответното сечение на гредата. Знаците плюс и минус са посочени на диаграмата и нейната стойност е посочена в характерните й точки, където силата се променя. В участъци, в които се прилагат концентрирани сили, има скокове на диаграмата - рязка промяна на надлъжната сила.“Скокът” на надлъжната сила е равен на външната сила, приложена в този участък, което е проверка на правилността на изградената диаграма. На (фиг. 18, б) е построена диаграма на надлъжните сили за дадена стъпаловидна греда.

2. Определяне на нормалните напрежения в напречните сечения на гредата и построяване на диаграма на нормалните напрежения.

Нормалните напрежения във всяко сечение се определят с помощта на формулата σ=N/A, замествайки силите в нейната стойност (в н) и области (в мм 2 ). Квадрати напречни сечениядървен материал се определя по формулата A=πd 2 /4

Нормалните напрежения в участъци I–VI са съответно равни:

И. защото N 4 = 0

Във всяка секция напрежението е еднакво, тъй като стойностите на надлъжната сила и площта на напречното сечение са еднакви във всички секции. Диаграмата σ е очертана с прави линии, успоредни на нейната ос. Графикът, базиран на изчислените стойности, е показан на (фиг. 18, c).

3. Определяне на коефициента на безопасност за опасен участък.

От диаграмата на нормалните напрежения, изградена по дължината на гредата, става ясно, че най-голямото напрежение възниква в рамките на четвъртата секция σ max = 159,2 N/mm 2, следователно коефициентът на безопасност

4. Определяне на премествания на сечения и построяване на диаграма на преместване.

За да се изгради диаграма на изместване, достатъчно е да се определят преместванията на крайните секции на всяка секция. Дефинираме преместването на сечението като алгебрична сума от деформациите на сеченията на пръта, разположени между това сечение и вграждането, т.е. фиксирана секция.

Изчисляваме абсолютните премествания на секциите по формулите:

Диаграмата на надлъжните премествания е представена на (фиг. 18, d). В случай на проверка на твърдостта трябва да се сравни получената максимална стойност ∆ л = 1,55 ммс допустим [∆ л] за дадена греда.

Фиг.18

Пример 6

За стъпаловидна греда (фиг. 19) се нуждаете от:

1. Постройте диаграма на надлъжните сили

2. Определете нормалните напрежения в напречните сечения и изградете диаграма

3. Постройте диаграма на преместванията на напречните сечения.

дадени:

Фиг.19

Решение.

1. Дефинирайте нормалните сили

Парцел AB:

Парцел пр.н.е.:

Парцел CD:

Диаграмата на надлъжните сили е показана на фиг. 20.

2. Дефинирайте нормалните напрежения

Парцел AB:

Парцел пр.н.е.:

Парцел CD:

Диаграмата на нормалните напрежения σ е показана на фиг. 20.

3. Определете преместванията на напречните сечения

Диаграмата на изместване δ е показана на фиг. 20.

Фиг.20

Пример 7

За стъпаловиден стоманен прът (фиг. 21) се нуждаете от:

1. Постройте диаграми на надлъжни сили N и нормални напрежения σ.

2. Определете надлъжната деформация на пръта ∆ л.

E = 2∙10 5 MPa; A 1 = 120 mm 2; A 2 = 80 mm 2; A 3 = 80 mm 2; a 1 = 0,1 m; a 2 = 0,2 m; a 3 = 0,2 m; F 1 = 12 kN; F 2 = 18 kN; F 3 = -12 kN.

Решение.

1. Построяване на диаграминИσ

Използваме метода на раздела.

Секция 1.

ΣХ = 0 → -N 1 + F 1 = 0; N 1 = F 1 = 12 kN;

Раздел 2.

ΣХ = 0 → -N 2 + F 2 + F 1 = 0;

N 2 = F 2 + F 1 = 18 + 12 = 30 kN;

Раздел 3

ΣХ = 0 → - N 3 - F 3 + F 2 + F 1 = 0;

N 3 = - F 3 + F 2 + F 1 = -12 + 18 + 12 = 18 kN;

2. Проектна схема с истинската посока на външното натоварване и проектни диаграми.

Фиг.21

3. Определяне на надлъжната деформация на пръта

Пример 8

За греда, здраво закрепена в двата края и натоварена по оста със сили Е 1 И Е 2 приложен в междинните му секции (фиг. 22, А), задължително

1) Конструирайте диаграми на надлъжни сили,

2) Изграждане на диаграми на нормални напрежения

3) Изграждане на диаграми на преместванията на напречните сечения

4) Проверете здравината на гредата.

Дадено: ако материалът е стомана ст. 3, F = 80 kN, σ t = 240 MPa, A = 4 cm 2, a = 1 m, необходимият коефициент на безопасност [ н] = 1,4, д= 2∙10 5 MPa.

Фиг.22

Решение.

1. Статична страна на проблема.

Тъй като силите Е 1 И Е 2 действат по протежение на оста на пръта в неговите краища, под въздействието на сили Е 1 И Е 2 само хоризонтални опорни реакции могат да се появят в вграждания Р АИ Р IN. В този случай имаме система от сили, насочени по една права линия (фиг. 22, А), за които статиката дава само едно уравнение на равновесие.

ΣF ix = -R A + F 1 + F 2 – R B = 0; R A + R B = F 1 + F 2 = 3F (1)

Има две неизвестни противодействащи сили Р АИ Р IN, следователно системата веднъж е статично неопределена, т.е. необходимо е да се създаде едно допълнително уравнение за изместване.

2. Геометрична страна на проблема.

За разкриване на статична неопределеност, т.е. съставяйки уравнението на изместването, изхвърляме един от краищата, например десния (фиг. 22, b). Получаваме статично дефинируема греда, затворена в единия край. Такъв лъч се нарича основна система. Заменяме действието на изхвърлената опора с реакция Р IN = х. В резултат на това имаме статично определена греда, натоварена допълнително към зададените сили Е 1 И Е 2 неизвестна реактивна сила Р IN = X. Тази статично определима греда се натоварва по същия начин, както дадената статически неопределена, т.е. е еквивалентен на него. Еквивалентността на тези два лъча ни позволява да заявим, че вторият лъч е деформиран по същия начин като първия, т.е. денивелация ∆ IN– раздели INе равно на нула, тъй като всъщност (в дадена греда) е твърдо вградено: ∆ IN = 0.

Въз основа на принципа на независимост на действието на силите (резултатът от действието на система от сили върху тялото не зависи от последователността на тяхното прилагане и равно на суматарезултати от действието на всяка сила поотделно) преместване на сечението INНека го представим като алгебрична сума на преместванията, дължащи се на сили Е 1 , Ф 2 И х, т.е. уравнението за съвместимост на деформацията ще приеме формата:

∆ B =∆ BF1 +∆ BF2 +∆ BX =0 (2)

При обозначението на движенията първата буква от индекса показва движението на коя секция ние говорим за; втората е причината, предизвикваща това движение (сили Е 1 , Ф 2 И х).

3. Физическата страна на проблема.

Въз основа на закона на Хук изразяваме преместването на сечението IN,чрез действащи сили Е 1 , Ф 2 и неизвестна реакция х.

Включено (фиг. 22, c, d, d), показани са диаграми на натоварване на гредата с всяка от силите поотделно и преместване на сечението INот тези сили.

Използвайки тези диаграми, ние определяме движенията:

равна на дължината на сечението AC;

равно на удължението на секциите ПО дяволитеИ DE;

равна на сумата от съкращаващите участъци АД, ДК, КВ.

4. Синтез.

Замествайки стойностите на , , в уравнение (2), имаме

Следователно:

Заместване Р INв уравнение (1), получаваме:

R A + 66,7 =3∙80 = 240

следователно R A = 240–66,7 = 173,3 kN, R A = 173,3 kN, по този начин се разкрива статична неопределеност - имаме статично определима греда, вградена в единия край, натоварена с известни сили F 1, F 2 и X = 66,7 kN.

Построяваме диаграма на надлъжните сили като за статично определена греда. Въз основа на метода на сечението вътрешните надлъжни сили в характерните области са равни на:

N AC = R A = 173,3 kN;

N CE = R A - 2F = 173,3 - 80∙2 = 13,3 kN;

N EB = -R A = - 66,7 kN.

Диаграмата на надлъжните сили е представена на (фиг. 22, д). Стойностите на нормалните напрежения в характерните секции се определят по формулата

За сайта AC

за сайта SD

за сайта DE

за сайта ЕК

за сайта HF

Вътре във всеки от участниците напреженията са постоянни, т.е. диаграмата "σ" е права, успоредна на остадървен материал (фиг. 22, и).

При изчисляване на якостта се интересуват онези участъци, в които възникват най-големи напрежения. В разглеждания пример те не съвпадат с онези участъци, в които надлъжните сили са максимални; най-голямото напрежение възниква в участъка ЕК, където σ max = - 166,8 MPa.

От условията на проблема следва, че крайно напрежениеза дървен материал

σ pre = σ t = 240 MPa, следователно допустимото напрежение

От това следва, че проектното напрежение σ = 166,8 MPa< 171,4 МПа, т.е. условие прочности выполняется. Разница между расчетным напряжением и допускаемым составляет:

Допуска се претоварване или недостатъчно натоварване в рамките на ±5%.

При конструирането на диаграма на преместване е достатъчно да се определят преместванията на секциите, съвпадащи с границите на секциите, тъй като между посочените секции диаграмата ∆ лима линеен характер. Започваме да изграждаме диаграма на изместване от левия прищипан край на гредата, в която ∆ A = 0; защото е неподвижно.

Така че, в десния край на гредата в разрез IN, диаграма ордината ∆ ле равна на нула, тъй като в дадена греда тази секция е твърдо закрепена, диаграмата ∆ е конструирана с помощта на изчислените стойности л(Фиг. 22, з).

Пример 9

За композитна стъпаловидна греда, състояща се от мед и стомана и натоварена с концентрирана сила F (фиг. 23, А), определят вътрешните надлъжни сили и построяват техните диаграми, ако са известни модулите на еластичност на материала: за стомана E c , за мед E M .

Фиг.23

Решение.

1. Съставете уравнението на статичното равновесие:

ΣZ=0;R B -F+R D =0. (1)

Проблемът веднъж е статично неопределен, тъй като и двете реакции могат да бъдат определени само от едно уравнение.

2. Условието за съвместимост на движенията трябва да изразява факта, че общата дължина на лъча не се променя, т.е. движения, например секции

Използвайки закона на Хук σ=Eε, като вземем предвид факта, че движенията на всяко напречно сечение на греда са числено равни на удължаването или скъсяването на неговите секции, разположени между вграждането B и „движещото се“ сечение D, преобразувайте уравнението (2 ) към формата:

Следователно R D =0,33F. (4)

Замествайки (4) в (1), определяме

R B =F-R D =F-0,33F=0,67F. (5)

След това, използвайки метода на сечението, съгласно израза N i =ΣF i , получаваме:

N DC =-R D ;N BC =R B .

След вземане на решения за яснота

лМ = л; л c =2 л; A M =4A C; E C =2E M .

като вземем предвид (4), получаваме N DC = -R D = -0.33F,

a като се вземе предвид (5), получаваме N BC =R B =0,67F.

Диаграмата на надлъжните сили N е показана на фиг. 16, б.

След това изчисляването на якостта се извършва според състоянието на якост

Пример 10

Греда със стъпково променливо напречно сечение, чиято проектна диаграма е показана на фигура 24, е в условия на централно (аксиално) напрежение и компресия под действието на дадено натоварване.

Задължително:

1) Разкриване на статична неопределеност;

2) Построява диаграми на нормални сили и нормални напрежения (в буквално изразяване на количества);

3) Изберете напречното сечение на гредата според условията на якост;

4) Изградете диаграма на надлъжните премествания на напречните сечения.

Пренебрегнете влиянието на собственото тегло на дървения материал и считайте поддържащите устройства за абсолютно твърди.

материал – чугун, допустими напрежения (изчислителни съпротивления):

Приеми:за чугун

Параметър F трябва да бъде определен от условията на якост, а параметър P трябва да бъде приет при изпълнение на стъпка 3 от задачата.

Възникващите в различни напречни сечения на пръта не са еднакви, законът на тяхното изменение по дължината на пръта се представя под формата на графика N(z), наречена диаграма на надлъжните сили. Диаграмата на надлъжните сили е необходима за оценка на пръта и се конструира, за да се намери опасното сечение (напречното сечение, в което надлъжната сила поема най-висока стойност ).

Как да изградим диаграма на надлъжните сили?

За построяване на диаграмата се използва N. Нека демонстрираме приложението му с пример (фиг. 2.1).

Нека определим надлъжната сила N, възникваща в напречното сечение, което сме планирали.

Нека отрежем пръта на това място и мислено изхвърлете долната му част (фиг. 2.1, а). След това трябва да заменим действието на хвърлената част върху горната част на пръта с вътрешна надлъжна сила N.

За да улесним изчисляването на стойността му, нека покрием горната част на пръчката, която разглеждаме, с лист хартия. Нека си припомним, че N, възникващ в напречното сечение, може да се определи като алгебрична сума от всички надлъжни сили, действащи върху отхвърлената част на пръта, тоест върху частта от пръта, която виждаме.

В този случай прилагаме следното: силите, предизвикващи напрежение в останалата част на пръта (покрита от нас с лист хартия), се включват в споменатата алгебрична сума със знак „плюс“, а силите, причиняващи натиск – със знак "минус".

И така, за да определим надлъжната сила N в напречното сечение, което сме планирали, просто трябва да съберем всички външни сили, които виждаме. Тъй като силата kN разтяга горната част, а силата kN я компресира, тогава kN.

Знакът минус означава, че в този участък прътът изпитва компресия.

Може да се намери земна реакция R (фиг. 2.1, b) и създайте уравнение за равновесие за целия прът, за да проверите резултата.

Дефиниция на движенията

Упражнение

За дадена статично определена стоманена греда се изисква следното:

1) конструирайте диаграми на надлъжни сили ни нормални напрежения σ, записвайки в общ изгледза всеки раздел на израза ни σ и посочване на диаграмите на техните стойности в характерни секции;

2) определете общото изместване на гредата и изградете диаграма на преместванията δ на напречните сечения, като вземете модула на еластичност E = 2·10 MPa.

Цел на работата – научете се да конструирате диаграми на надлъжни сили и нормални напрежения и да определяте премествания.

Теоретична подготовка

Видове натоварване на греда, при които в напречното й сечение се появява само една вътрешна фактор на мощността- Наречен разтягане или компресия . Резултат външни силисе прилага в центъра на тежестта на напречното сечение и действа по надлъжната ос. Вътрешните сили се определят по метода на сечението. Нормалната сила в напречното сечение на греда е резултат от нормалните напрежения, действащи в равнината на напречното сечение

N = ∑F (5.1).

Големината на надлъжните сили в различните сечения на гредата не е еднаква. Графика, показваща промяната в величината на надлъжните сили в сечението на греда по нейната дължина, се нарича диаграма на надлъжните сили.

Законът за разпределение на напрежението може да се определи чрез експеримент. Установено е, че ако върху пръта се приложи правоъгълна мрежа, тогава след прилагане на надлъжно натоварване външният вид на мрежата няма да се промени, тя все още ще остане правоъгълна и всички линии ще бъдат прави. Следователно можем да заключим, че разпределението на надлъжните деформации е равномерно по напречното сечение и въз основа на закона на Хук ( σ = Eε) и нормални напрежения S = const. Тогава N = S·F, от което получаваме формула за определяне на нормалните напрежения в напречното сечение при опън

σ = MPa (5.2)

A – площ около разглеждания участък от дървен материал;

N е резултантната на вътрешните сили в тази област (според метода на сечението).

За да се гарантира здравината на пръта, трябва да бъде изпълнено условието за якост - конструкцията ще бъде здрава, ако максималното напрежение във всяка точка на натоварената конструкция не надвишава допустимата стойност, определена от свойствата на материала и условията на работа на структура, т.е

σ ≤ [σ ], τ ≤ [τ] (5.3)

Когато една греда се деформира, нейната дължина се променя с, а напречният й размер се променя с . Тези стойности също зависят от първоначалните размери на дървения материал.

Затова те обмислят

– надлъжна деформация; (5.4)

– напречна деформация. (5,5)

Експериментално е доказано, че , където μ = 0, …, 0,5 – коефициентът на Поасон. Примери: μ=0 – корк, μ=0,5 – каучук, – стомана.

В границите на еластичната деформация се изпълнява законът на Хук: , където E е еластичният модул или модулът на Юнг.

Работен ред

1. Разделяме гредата на секции, ограничени от точките на прилагане на силите (номерираме секциите от свободния край);

2. Използвайки метода на сеченията, ние определяме величината на надлъжните сили в напречното сечение на всяко сечение: N = ∑F;

3. Изберете мащаб и изградете диаграма на надлъжните сили, т.е. под изображението на гредата (или в близост) начертаваме права линия, успоредна на нейната ос, и от тази права линия изчертаваме перпендикулярни сегменти, съответстващи на надлъжните сили в избраната скала (поставяме положителна стойност нагоре (или надясно) ), отрицателна стойност - надолу (или наляво).

4. Определяме общото изместване на гредата и изграждаме диаграма на преместванията δ на напречните сечения.

5. Отговорете на въпроси за сигурност.

Контролни въпроси

1. Какво се нарича прът?

2. Какъв тип натоварване на прът се нарича аксиално напрежение (компресия)?

3. Как се изчислява стойността на надлъжната сила в произволно напречно сечение на пръта?

4. Какво представлява диаграмата на надлъжните сили и как се построява?

5. Как се разпределят нормалните напрежения в напречните сечения на централно опънат или централно компресиран прът и по каква формула се определят?

6. Какво се нарича удължение на пръта (абсолютна надлъжна деформация)? Какво е относителна надлъжна деформация? Какви са размерите на абсолютните и относителните надлъжни деформации?

7. Какъв е модулът на еластичност E? Как стойността на E влияе върху деформацията на пръта?

8. Формулирайте закона на Хук. Напишете формули за абсолютните и относителните надлъжни деформации на пръта.

9. Какво се случва с напречните размери на пръта, когато се разтегне (свие)?

10. Какво е коефициентът на Поасон? В какви граници варира?

11. С каква цел се извършват? механични тестовематериали? Какви напрежения са опасни за пластичните и крехките материали?

Пример за изпълнение

Изграждане на диаграми на надлъжни сили и нормални напрежения за натоварена стоманена греда (фиг. 5.1). Определете удължението (скъсяването) на гредата, ако E

Фиг.5.1

Дадено е: F = 2 kH, F = 5 kH, F = 2 kH, A = 2 cm, A, л= 100 mm, l = 50 mm, л= 200 mm,

Пример 1.Изградете диаграма за колона с променливо напречно сечение (фиг. А). Дължини на секциите 2 м. Натоварвания: концентрирани =40 kN, =60 kN, =50 kN; разпределени =20 kN/m.

Ориз. 1.Диаграма на надлъжните сили N

Решение: Използваме метода на раздела. Разглеждаме (един по един) равновесието на отсечената (горна) част на колоната (фиг. 1 V).

От уравнението за отсечената част на пръта в произволен участък от сечението, надлъжната сила

(),

при =0 kN;

при =2 m kN,

в раздели на раздели имаме съответно:

KN,

И така, в четири секции надлъжните сили са отрицателни, което показва компресионна деформация (скъсяване) на всички секции на колоната. Въз основа на резултатите от изчислението изграждаме диаграма на надлъжните сили (фиг. 1 b), спазвайки мащаба. От анализа на диаграмата следва, че в зоните без натоварвания надлъжната сила е постоянна, в натоварените зони е променлива, а в точките на приложение на концентрирани сили се променя рязко.

Пример 2.Изградете диаграма N zза пръта, показан на фигура 2.

Ориз. 2.Схема на натоварване на пръта

Решение: Прътът се натоварва само от концентрирани аксиални сили, така че надлъжнитесила във всяка област е постоянен. На границата на парцелитеN zпретърпява разкъсвания. Нека вземем посоката на кръга от свободния край (секция.д) до прищипване (сек.А). Местоположение на DEнадлъжната сила е положителна, тъй като силата предизвиква разтягане, т.е.NED = + Е. В напречно сечение днадлъжната сила се променя рязко от NDE= NED= Епреди N D C= N D E – 3 Е= – 2 Е(намираме от условието за равновесие на безкрайно малкия елементдз, разположен на границата на две съседни площиCDИ DE).

Обърнете внимание, че скокът е равен на големината на приложената сила3 Еи изпратен до отрицателна странаNz, тъй като силата 3Fпричинява компресия. Местоположение на CDние имаме N CD= N DC= – 2 Е. В напречно сечение ° Снадлъжна сила се променя рязкоот N CD= – 2 Епреди N CB =N CD+ 5 Е= 3 Е. Големината на скока е равна на приложената сила 5Е. В рамките на сайтаCBнадлъжната сила отново е постояннаN CB =N пр.н.е=3 Е. И накрая, в разделINна диаграмата Nzотново скок: надлъжната сила се променяот N пр.н.е= 3 Епреди N VA= N пр. н. е. – 2 Е= Е. Посоката на скока е надолу (към отрицателни стойности), тъй като силата е 2Епричинява компресия на пръта. ДиаграмаNzе показано на фигура 2.

Решение.

1. Построяване на диаграма N.

N AB =+P 1 =40 kN.

N B C =+P 1 -P 2 =40-90=-50 kN.

Парцел CD, раздел 3-3: по подобен начин получаваме

N C D =+P 1 -P 2 -P 3 =40-90-110=-160 kN.

Положителни стойности нпоставяме диаграмите нагоре от оста, отрицателните - надолу.

2. Построяване на диаграма на напрежениетоσ .

Изчисляваме напреженията в напречното сечение за всяка секция на гредата:

При изчисляване на нормалните напрежения, стойностите на надлъжните сили нса взети от диаграмата, като се вземат предвид техните знаци. Знакът плюс съответства на разтягане, знакът минус на компресия. Диаграмата на напрежението е показана на фиг. 15, V.

3. Построяване на диаграма на надлъжните премествания.

∆ C = ∆ л CD = -6,7∙10 -4 m.

С отрицателна (компресивна) сила точката СЪСще се премести наляво.

Преместване на раздел INе резултат от промяна на дължините DCИ C.B.. Добавяйки техните разширения, получаваме

∆B =∆ л CD +∆ л BC = -6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 = -8,8∙10 -4 m.

Разсъждавайки по подобен начин, изчисляваме преместването на сечението А:

∆ A = ∆ л CD +∆ л BC +∆ л AB = -6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 +0,57∙10 -4 = -8,23∙10 -4 m.

4. Проверка на здравината на дървения материал.

Условието за якост се записва в следната форма:

Намираме максималното напрежение σ max от диаграмата на напрежението, като избираме максимума по абсолютна стойност:

σ max =267 MPa.

Това напрежение действа върху зоната DC, всички участъци от които са опасни.

Допустимото напрежение се изчислява по формулата:

Пример 4

Фиг.16

Решение.

1. Построяване на диаграма на вътрешните силин

В участък 1: N 1 = -F = -40 kN.

На участък 2: N 2 = -F+3F=2F=80 kN.

На участък 3: N 3 = -F+3F-2F=F=40 kN.

Диаграма нпоказано на фиг. 16, b.

2. Построяване на диаграма на нормалните напрежения

Нека намерим напреженията върху сеченията на пръта.

На сайт 1:

На сайт 2:

На сайт 3:

Диаграмата σ е показана на фиг. 16, V.

3. Намиране на площта на напречното сечение от условието за якост

Напреженията в секция 1 са равни

следователно

Напреженията в секция 2 са равни

Според състоянието на якост

Напреженията в секция 3 са равни

следователно

Необходимата площ на напречното сечение трябва да се вземе от условието за якост на опън:

4. Намиране на площта на напречното сечение от условието за твърдост

или

На сайт 1:

На сайт 2:

На сайт 3:

Абсолютна деформация на целия прът:

От условието за твърдост ∆ л≤[∆л], ще намерим

, където

Размерите на напречното сечение ще бъдат равни на:

5. Построяване на диаграма на преместване𝜆

Раздел а:

Раздел b:

Раздел с:

Раздел d:

Диаграмата на изместване λ е показана на фиг. 16, Ж.

Пример 5

За стъпаловиден дървен материал (фиг. 17, А) при E=2∙10 5 MPa, σ T = 240 MPa, се изисква да се определи:

1. Вътрешни надлъжни сили по дължината му и построяване на диаграма на надлъжните сили.

2. Нормални напрежения в напречните сечения и построяване на диаграма на нормалните напрежения.

3. Марж на безопасност за опасен участък.

4. Преместване на сечения и построяване на диаграма на преместване.

Дадено е: F 1 = 30kN; F 2 = 20 kN; F 3 = 60 kN; л 1 = 0,5m; л 2 = 1,5m; л 3 = 1m; л 4 = 1m; л 5 = л 6 = 1m; d 1 = 4 cm; d 2 = 2 cm.

Фиг.17

Решение.

1. Определяне на надлъжни сили в характерни сечения на гредата и построяване на диаграма на надлъжни сили.

ΣF ix =-F 1 -F 2 +F 3 -R B =0

Къде R B = -F 1 -F 2 +F 3 = -30-20+60=10 kN

Използвайки метода на сечението, ние определяме за всяко сечение големината и знака на надлъжната сила. Нека начертаем сечение 1–1 и разгледаме равновесието на дясната отсечена част на лъча (фиг. 17,b). Вътрешните сили във всяка секция са условно насочени към отхвърлената част. Ако вътрешната надлъжна сила е положителна на мястото, възниква деформация на опън; отрицателна – компресия.

Отчитайки дясната отрязана част, намираме

ΣF ix =-N1-R B =0; N 1 =-R B =-10 kN (компресия)

за секция 2–2 (фиг. 17, c)

ΣF ix = -N2 +F3 -R B =0; N 2 =F 3 -R B =60-10=50 kN (опън).

за секция 3–3, помислете за лявата страна на гредата (фиг. 17,d)

ΣF ix = -F1 -N3 =0; N 3 =F 1 =30 kN (опън).

за секция 4–4 (фиг. 17,e)

ΣF ix =N 4 =0; N 4 =0 тази част от гредата не се деформира.

Нормалните напрежения във всяко сечение се определят с помощта на формулата σ=N/A, замествайки силите в нейната стойност (в н) и области (в мм 2 ). Площта на напречното сечение на гредата се определя по формулата A=πd 2 /4

Нормалните напрежения в участъци I–VI са съответно равни:

И. защото N 4 = 0

3. Определяне на коефициента на безопасност за опасен участък.

4. Определяне на премествания на сечения и построяване на диаграма на преместване.

Изчисляваме абсолютните премествания на секциите по формулите:

Фиг.18

Пример 6

За стъпаловидна греда (фиг. 19) се нуждаете от:

1. Постройте диаграма на надлъжните сили

2. Определете нормалните напрежения в напречните сечения и изградете диаграма

3. Постройте диаграма на преместванията на напречните сечения.

дадени:

Фиг.19

Решение.

1. Дефинирайте нормалните сили

Парцел AB:

Парцел пр.н.е.:

Парцел CD:

Диаграмата на надлъжните сили е показана на фиг. 20.

2. Дефинирайте нормалните напрежения

Парцел AB:

Парцел пр.н.е.:

Парцел CD:

Диаграмата на нормалните напрежения σ е показана на фиг. 20.

3. Определете преместванията на напречните сечения

Диаграмата на изместване δ е показана на фиг. 20.

Фиг.20

Пример 7

За стъпаловиден стоманен прът (фиг. 21) се нуждаете от:

1. Постройте диаграми на надлъжни сили N и нормални напрежения σ.

2. Определете надлъжната деформация на пръта ∆ л.

E = 2∙10 5 MPa; A 1 = 120 mm 2; A 2 = 80 mm 2; A 3 = 80 mm 2; a 1 = 0,1 m; a 2 = 0,2 m; a 3 = 0,2 m; F 1 = 12 kN; F 2 = 18 kN; F 3 = -12 kN.

Решение.

1. Построяване на диаграминИσ

Използваме метода на раздела.

Секция 1.

ΣХ = 0 → -N 1 + F 1 = 0; N 1 = F 1 = 12 kN;

Раздел 2.

ΣХ = 0 → -N 2 + F 2 + F 1 = 0;

N 2 = F 2 + F 1 = 18 + 12 = 30 kN;

Раздел 3

ΣХ = 0 → - N 3 - F 3 + F 2 + F 1 = 0;

N 3 = - F 3 + F 2 + F 1 = -12 + 18 + 12 = 18 kN;

2. Проектна схема с истинската посока на външното натоварване и проектни диаграми.

Фиг.21

3. Определяне на надлъжната деформация на пръта

Пример 8

1) Конструирайте диаграми на надлъжни сили,

2) Изграждане на диаграми на нормални напрежения

3) Изграждане на диаграми на преместванията на напречните сечения

4) Проверете здравината на гредата.

Фиг.22

Решение.

1. Статична страна на проблема.

ΣF ix = -R A + F 1 + F 2 – R B = 0; R A + R B = F 1 + F 2 = 3F (1)

2. Геометрична страна на проблема.

Въз основа на принципа на независимост на действието на силите (резултатът от действието на система от сили върху тялото не зависи от последователността на тяхното прилагане и е равен на сумата от резултатите от действието на всяка сила поотделно ), преместването на сечението INНека го представим като алгебрична сума на преместванията, дължащи се на сили Е 1 , Ф 2 И х, т.е. уравнението за съвместимост на деформацията ще приеме формата:

∆ B =∆ BF1 +∆ BF2 +∆ BX =0 (2)

При обозначението на движенията първата буква от индекса показва движението на кой участък се обсъжда; втората е причината, предизвикваща това движение (сили Е 1 , Ф 2 И х).

3. Физическата страна на проблема.

Използвайки тези диаграми, ние определяме движенията:

равна на дължината на сечението AC;

равно на удължението на секциите ПО дяволитеИ DE;

равна на сумата от съкращаващите участъци АД, ДК, КВ.

4. Синтез.

Замествайки стойностите на , , в уравнение (2), имаме

Следователно:

Заместване Р INв уравнение (1), получаваме:

R A + 66,7 =3∙80 = 240

N AC = R A = 173,3 kN;

N CE = R A - 2F = 173,3 - 80∙2 = 13,3 kN;

N EB = -R A = - 66,7 kN.

За сайта AC

за сайта SD

за сайта DE

за сайта ЕК

за сайта HF

Вътре във всеки от участниците напреженията са постоянни, т.е. диаграмата "σ" е права линия, успоредна на оста на лъча (фиг. 22, и).

От условията на проблема следва, че максималното напрежение за гредата

σ pre = σ t = 240 MPa, следователно допустимото напрежение

Допуска се претоварване или недостатъчно натоварване в рамките на ±5%.

Пример 9

Фиг.23

Решение.

1. Съставете уравнението на статичното равновесие:

ΣZ=0;R B -F+R D =0. (1)

Следователно R D =0,33F. (4)

Замествайки (4) в (1), определяме

R B =F-R D =F-0,33F=0,67F. (5)

След това, използвайки метода на сечението, съгласно израза N i =ΣF i , получаваме:

N DC =-R D ;N BC =R B .

След вземане на решения за яснота

лМ = л; л c =2 л; A M =4A C; E C =2E M .

като вземем предвид (4), получаваме N DC = -R D = -0.33F,

a като се вземе предвид (5), получаваме N BC =R B =0,67F.

Диаграмата на надлъжните сили N е показана на фиг. 16, б.

След това изчисляването на якостта се извършва според състоянието на якост

Пример 10

Задължително:

1) Разкриване на статична неопределеност;

2) Построява диаграми на нормални сили и нормални напрежения (в буквално изразяване на количества);

3) Изберете напречното сечение на гредата според условията на якост;

4) Изградете диаграма на надлъжните премествания на напречните сечения.

материал – чугун, допустими напрежения (изчислителни съпротивления):

Приеми:за чугун

Параметър F трябва да се определи от якостните условия, а параметър P, когато изпълнявате стъпка 3 от задачата, приемете:

Забележка:

1) В проектната диаграма има празнина между долния край на гредата и опората преди натоварването на гредата. Коефициентът трябва да се приеме равен на 1.

2) Ако една от силите P 1 или P 2 липсва в проектната диаграма, съответният коефициент (α 1 или α 2) се счита за равен на нула

3) Когато изпълнявате стъпка 3 от задачата, трябва да използвате метода на допустимото напрежение

Фиг.24

Решение:

1) В резултат на натоварването на гредата в нейните вграждания възникват реакции, насочени по оста (фиг. 25). Определяме реакцията в уплътнението. Първо го насочваме нагоре.

Фиг.25

Нека създадем уравнение на равновесие:

Това уравнение е уникално и съдържа две неизвестни сили. Следователно системата веднъж е статично неопределена.

Разширяване на статичната неопределеност:

Нека изразим удълженията чрез сили:

Нека заместим в уравнението на равновесието:

Така се разкрива статичната неопределеност.

2) Разделете гредата на 3 части (фиг. 26), като започнете от свободния й край; границите на участъците са участъци, където се прилагат външни сили, както и места, където се променят размерите на напречното сечение.

Фиг.26

Нека направим произволна секция 1 – 1 в секция I и, като изхвърлим горната част на гредата, разгледаме условията на равновесие на останалата долна част, показана отделно (фиг. 27, b).

Върху останалата част действа сила R B необходимата сила. Проектирайки върху оста Z силите, действащи върху останалите, получаваме.

Нека начертаем произволна секция 2 - 2 в секция II и, като изхвърлим горната част на гредата, разгледаме условията на равновесие на останалата долна част, показана отделно (фиг. 27, V).

Нека начертаем произволна секция 3 - 3 в секция III и, като изхвърлим горната част на гредата, разгледаме условията на равновесие на останалата долна част, показана отделно (фиг. 27, Ж).

Нека изградим графика (диаграма), показваща как N се променя по дължината на лъча (фиг. 27, д).

Получаваме диаграма на нормалните напрежения, като разделяме стойностите на N на съответните площи на напречното сечение на гредата, т.е.

За раздел I:

За раздел II:

За раздел III:

Нека изградим диаграма на нормалните напрежения (фиг. 27, д).

3) Изчисленията на якост се извършват с помощта на условия на якост. Състоянието на якост на конструкцията се записва като:

къде са най-високите изчислени напрежения на опън и натиск в конструкцията;

– допустими напрежения съответно на опън и натиск.

Изборът на сечението на гредата в този случай се извършва според състоянието на якост на третата секция, т.к Най-големите напрежения на опън възникват в тази област:

Приемаме

Използвайки намерената стойност на параметъра F, определяме площите на напречното сечение на секциите на гредата:

Няма да избираме секции от чугунени греди въз основа на якостта на натиск, защото най-високите стойности на напреженията на натиск са по-малки от напреженията на опън и

4) Да построим диаграма на надлъжните премествания на напречните сечения. Конструира се чрез сумиране на еластичните удължения на сеченията, като се започне от фиксирания край.

Нека определим промяната в дължините на секциите на гредата, като използваме формулата:

ЗаIIIпарцел–

ЗаIIпарцел–

Заазпарцел–

Съгласно условието в проектната диаграма има празнина между долния край на гредата и опората преди натоварването на гредата (секция I). Коефициентът на условието е равен на 1, тогава разликата ще бъде равна.

Намираме аксиалните премествания на секциите на лъча по границите на зоната:

Нека изградим диаграма на надлъжни премествания на напречните сечения (фиг. 27, и).

Фиг.27

Пример 11

За статично неопределен прът (фиг. 28) е необходимо да се конструират диаграми на надлъжни сили и нормални напрежения.

дадени: л 1 = 1 m; л 2 = 0,8 m; F 2 = 15 cm 2 = 15 10 -4 m 2; F 2 / F 1 = 2,1; P = 190 kN = 190 10 3 N; ∆t= 30K; δ = 0,006 cm = 6·10 -5 m;E= 1·10 5 MPa = 1·10 11 Pa; α= 17·10 -6 К.