От практическа гледна точка най-голям интерес представлява използването на производната за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция. С какво е свързано това? Максимизиране на печалбите, минимизиране на разходите, определяне на оптималното натоварване на оборудването... С други думи, в много области на живота ни се налага да решаваме проблеми с оптимизирането на някои параметри. И това са задачите за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция.

Трябва да се отбележи, че най-големите и най-малките стойности на функция обикновено се търсят на определен интервал X, който е или цялата област на функцията, или част от областта на дефиниция. Самият интервал X може да бъде сегмент, отворен интервал , безкраен интервал.

В тази статия ще говорим за намирането на най-големите и най-малките стойности изрично дадена функцияедна променлива y=f(x) .

Навигация в страницата.

Най-голяма и най-малка стойност на функция - определения, илюстрации.

Нека разгледаме накратко основните определения.

Най-голямата стойност на функцията че за всеки неравенството е вярно.

Най-малката стойност на функцията y=f(x) на интервала X се нарича такава стойност че за всеки неравенството е вярно.

Тези дефиниции са интуитивни: най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) приета стойност на разглеждания интервал на абсцисата.

Стационарни точки– това са стойностите на аргумента, при които производната на функцията става нула.

Защо се нуждаем от стационарни точки, когато намираме най-големите и най-малките стойности? Отговор на този въпрос дава теоремата на Ферма. От тази теорема следва, че ако диференцируема функция има екстремум (локален минимум или локален максимум) в някакъв момент, тогава тази точка е неподвижна. По този начин функцията често приема своята най-голяма (най-малка) стойност на интервала X в една от стационарните точки от този интервал.

Също така, функция често може да вземе своите най-големи и минимални стойности в точки, в които първата производна на тази функция не съществува и самата функция е дефинирана.

Нека веднага да отговорим на един от най-често срещаните въпроси по тази тема: „Винаги ли е възможно да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция“? Не винаги. Понякога границите на интервала X съвпадат с границите на областта на дефиниране на функцията или интервалът X е безкраен. И някои функции в безкрайност и на границите на областта на дефиницията могат да приемат както безкрайно големи, така и безкрайно малки стойности. В тези случаи не може да се каже нищо за най-голямата и най-малката стойност на функцията.

За яснота ще дадем графична илюстрация. Вижте снимките и много неща ще ви станат по-ясни.

На сегмента

На първата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в сегмента [-6;6].

Разгледайте случая, изобразен на втората фигура. Нека променим сегмента на . В този пример най-малката стойност на функцията се постига в стационарна точка, а най-голямата в точката с абсцисата, съответстваща на дясната граница на интервала.

На фигура 3 граничните точки на сегмента [-3;2] са абсцисите на точките, съответстващи на най-голямата и най-малката стойност на функцията.

На отворен интервал

На четвъртата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в отворения интервал (-6;6).

На интервала не могат да се направят изводи за най-голямата стойност.

В безкрайност

В примера, представен на седмата фигура, функцията приема най-голямата стойност (max y) в стационарна точка с абциса x=1, а най-малката стойност (min y) се постига на дясната граница на интервала. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3.

През интервала функцията не достига нито най-малката, нито най-голямата стойност. Тъй като x=2 се приближава отдясно, стойностите на функцията клонят към минус безкрайност (правата x=2 е вертикална асимптота), и тъй като абсцисата клони към плюс безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3. Графична илюстрация на този пример е показана на фигура 8.

Алгоритъм за намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент.

Нека напишем алгоритъм, който ни позволява да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент.

1. Намираме домейна на дефиниция на функцията и проверяваме дали съдържа целия сегмент.
2. Намираме всички точки, в които първата производна не съществува и които се съдържат в сегмента (обикновено такива точки се намират във функции с аргумент под знака на модула и в мощностни функциис дробно-рационален показател). Ако няма такива точки, преминете към следващата точка.
3. Определяме всички неподвижни точки, попадащи в сегмента. За да направите това, ние го приравняваме към нула, решаваме полученото уравнение и избираме подходящи корени. Ако няма стационарни точки или нито една от тях не попада в сегмента, преминете към следващата точка.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в избрани стационарни точки (ако има такива), в точки, в които първата производна не съществува (ако има такава), както и при x=a и x=b.
5. От получените стойности на функцията избираме най-голямата и най-малката - те ще бъдат съответно необходимите най-големи и най-малки стойности на функцията.

Нека анализираме алгоритъма за решаване на пример за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в сегмент.

Пример.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

• на сегмента;
• на отсечката [-4;-1] .

Решение.

Областта на дефиниране на функция е цялото множество от реални числа, с изключение на нулата, т.е. И двата сегмента попадат в областта на дефиницията.

Намерете производната на функцията по отношение на:

Очевидно производната на функцията съществува във всички точки на отсечките и [-4;-1].

Определяме стационарни точки от уравнението. Единствения истински корене x=2. Тази неподвижна точка попада в първия сегмент.

За първия случай изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарната точка, т.е. за x=1, x=2 и x=4:

Следователно най-голямата стойност на функцията се постига при x=1 и най-малката стойност – при х=2.

За втория случай изчисляваме стойностите на функцията само в краищата на сегмента [-4;-1] (тъй като не съдържа нито една неподвижна точка):

Решение.

Нека започнем с домейна на функцията. Квадратен тричлензнаменателят на дробта не трябва да е нулев:

Лесно се проверява дали всички интервали от формулировката на задачата принадлежат към областта на дефиниране на функцията.

Нека разграничим функцията:

Очевидно производната съществува в цялата област на дефиниране на функцията.

Да намерим неподвижни точки. Производната отива на нула при . Тази неподвижна точка попада в интервалите (-3;1] и (-3;2).

Сега можете да сравните резултатите, получени във всяка точка, с графиката на функцията. Сините пунктирани линии показват асимптоти.

На този етап можем да завършим с намирането на най-голямата и най-малката стойност на функцията. Алгоритмите, разгледани в тази статия, ви позволяват да получите резултати с минимални действия. Въпреки това може да бъде полезно първо да се определят интервалите на нарастване и намаляване на функцията и едва след това да се правят заключения за най-големите и най-малките стойности на функцията на всеки интервал. Това дава по-ясна картина и строга обосновка на резултатите.

§ Екстремуми, Максимални и минимални стойности на функции на няколко променливи - стр. № 1/1

§ 8. Най-големи и най-малки стойности на функциите на няколко променливи.

1. Екстремуми на функции на няколко променливи.

самолет
,
- точка в тази област.

Точка
Наречен максимална точка функции
, ако за някоя точка

неравенството е в сила

.

По същия начин точка
Наречен минимална точка функции
, ако за някоя точка
от някаква околност на точка
неравенството е в сила

.

Бележки. 1) Според дефинициите функцията
трябва да се определи в някаква околност на точката
. Тези. максимални и минимални точки на функцията
може да има само вътрешни точки на региона
.

2) Ако има околност на точка
, в който за всяка точка
различен от
неравенството е в сила

(

), тогава точката
Наречен строга максимална точка (съответно строга минимална точка ) функции
. В това отношение максималните и минималните точки, дефинирани по-горе, понякога се наричат ​​нестроги максимални и минимални точки.

Точките на максимум и минимум на функция се наричат ​​нейни екстремни точки . Стойностите на функцията в максималните и минималните точки се извикват съответно върхове И минимуми , или накратко, крайности тази функция.

Концепциите за екстремуми са локални по природа: стойността на функция в точка
се сравнява със стойностите на функцията в доста близки точки. В дадена област една функция може изобщо да няма екстремуми или може да има няколко минимума, няколко максимума и дори безкраен брой и от двете. Освен това някои минимуми може да са по-големи от някои от неговите максимуми. Не бъркайте максималните и минималните стойности на функция с нейните максимални и минимални стойности.

Нека намерим необходимото условие за екстремум. нека например
– максимална точка на функцията
. Тогава, по дефиниция, има gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-околност на точката
такова, че
за всяка точка
от тази област. В частност,

(1)

Където
,
, И

(2)

Където
,
. Но (1) означава, че функция на една променлива
има в точка максимум или е на интервала
постоянен. следователно

или
- не съществува,

⇒
или
- не съществува.

По същия начин от (2) получаваме това

или
- не съществува.

Следователно следната теорема е валидна.

ТЕОРЕМА 8.1. ( необходимите условияекстремум). Ако функцията
в точката
има екстремум, тогава в този момент или двете му частни производни от първи ред са равни на нула, или поне една от тези частни производни не съществува.

Геометрично, теорема 8.1 означава, че ако
– екстремна точка на функцията
, тогава допирателната равнина към графиката на тази функция в точката е или успоредна на равнината
, или изобщо не съществува. За да проверите това, достатъчно е да запомните как да намерите уравнението на допирателна равнина към повърхност (виж формула (4.6)).

Наричат ​​се точки, отговарящи на условията на теорема 8.1 критични точки функции
. Точно както за функция на една променлива, необходимите условия за екстремум не са достатъчни. Тези. не всяка критична точка на функция ще бъде нейната екстремна точка.

ПРИМЕР.Помислете за функцията
. Точка
е критичен за тази функция, тъй като в този момент и двете й частни производни от първи ред
И
са равни на нула. Това обаче няма да е крайна точка. Наистина ли,
, но във всеки квартал на точката
има точки, в които функцията приема положителни стойности и точки, в които функцията приема отрицателни стойности. Това е лесно да се провери, ако изградите графика на функцията - хиперболичен параболоид.

За функция на две променливи най-удобните достатъчни условия са дадени от следната теорема.

ТЕОРЕМА 8.2. (достатъчни условия за екстремум на функция на две променливи). Позволявам
– критична точка на функцията
и в някакъв квартал на точката
функцията има непрекъснати частни производни до и включително втори ред. Нека обозначим

,
,
.

Тогава 1) ако
, след това точка
не е екстремна точка;


Ако използваме теорема 8.2, за да изследваме критичната точка
неуспешно (т.е. ако
или функцията изобщо няма точка в околността
непрекъснати частични производни от необходимия ред), отговорът на въпроса за присъствието в точка
екстремумът ще даде знака на увеличението на функцията в тази точка.

Действително от определението следва, че ако функцията
има в точка
строг максимум тогава

за всички точки
от някаква околност на точка
, или иначе

за всички достатъчно малки
И
. По същия начин, ако
е точка на строг минимум, тогава за всички достатъчно малка
И
неравенството ще бъде удовлетворено
.

И така, за да разберете дали критичната точка е
екстремна точка, е необходимо да се изследва нарастването на функцията в тази точка. Ако за всички достатъчно малък
И
ще запази знака, след това в точката
функцията има строг екстремум (минимум ако
, а максимумът ако
).

Коментирайте. Правилото остава вярно за нестрог екстремум, но с изменението, че за някои стойности
И
нарастването на функцията ще бъде нула
ПРИМЕР. Намерете екстремуми на функции:

1)
; 2)
.

1) Функция

И
също съществуват навсякъде. Решаване на система от уравнения
,
намерете две критични точки
И
.

За изследване на критичните точки прилагаме теорема 8.2. Ние имаме:

,
,
.

Нека проучим въпроса
:

,
,
,

;
.

Следователно, в точката
тази функция има минимум, а именно
.

Изследване на критичната точка
:

,
,
,


.

Следователно втората критична точка не е екстремалната точка на функцията.

2) Функция
определени навсякъде. Неговите частични производни от първи ред
и те също съществуват навсякъде. Решаване на система от уравнения
,
намерете единствената критична точка
.

За изследване на критичната точка прилагаме теорема 8.2. Ние имаме:

,
,
,

,
,
,

.

Определете наличието или отсъствието на екстремум в дадена точка
използването на теорема 8.2 не успя.

Нека разгледаме знака на нарастването на функцията в точката
:

Ако
, Че
;

Ако
, Че
.

Тъй като
не запазва знак в околност на точка
, тогава в тази точка функцията няма екстремум.

Дефинициите за максимум и минимум и необходимите условия за екстремум лесно се прехвърлят към функции на три или повече променливи. Достатъчни условия за екстремум на функция (
) променливите не се разглеждат в този курс поради тяхната сложност. В този случай ще определим характера на критичните точки по знака на нарастването на функцията.

2. Най-големите и най-малките стойности на функцията.

Нека функцията на две променливи
определени в някаква област
самолет
,
,
– точки от тази област. Стойност на функцията в точка
Наречен най-голямата , ако за някоя точка
от региона
неравенството е в сила

.

По същия начин, стойността на функцията в точката
Наречен най-малкият , ако за някоя точка
от региона
неравенството е в сила

.

По-рано вече казахме, че ако една функция е непрекъсната и площта
– е затворена и ограничена, тогава функцията приема своите най-големи и най-малки стойности в тази област. В същото време точки
И
може да лежи както вътре в района
, и на границата му. Ако точката
(или
) се намира вътре в региона
, тогава това ще бъде максималната (минималната) точка на функцията
, т.е. критична точка на функция вътре в регион
. Следователно, за да намерите най-големите и най-малките стойности на функцията
в района
трябва да:
.

Екстремум на функция е свойство от локален, локален характер (виж дефиницията). Максимумът (минимумът) не трябва да се бърка с най-голямата (най-малката) стойност на функция в затворена зона д.

Определение.Да кажем функцията z = f(x, y) е определен и непрекъснат в някакъв регион д, има крайни частични производни в тази област. Тогава в тази област ще има точки, в които функцията достига най-големият и най-малкиятстойностите на останалите стойности. Тези точки могат да се намират вътре в региона или на неговата граница.

За да намерите най-големите и най-малките стойности на функция в затворена област, трябва:

1) Намерете стационарни точки, разположени вътре в региона, и изчислете стойностите на функцията в тези точки.

Коментирайте. Прикрепете към стационарни точки точки, в които производните са безкрайни или не съществуват (ако има такива).

2) Намерете стационарни точки на границата на региона и изчислете стойностите на функцията в тези точки.

3) Намерете стойностите на функцията в ъгловите точки - точките на пресичане на граничните линии.

4) От всички намерени стойности изберете най-голямата и най-малката.

Пример 1.22.Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

z = 2х 2 – xy ++ г 2 + 7хв затворена зона д: –3 х 3, –3 г 3 (фиг. 1.3).

Ориз. 1.3. Област на обучение д

Решение. 1) Намерете неподвижни точки

Оттук при = –1, х= –2, неподвижна точка М 0 (–2, –1) д, z(М 0) = –7.

2) Изследваме функцията на границата на областта, която се състои от сегменти AB, DC, CB, AD.

а) На права линия AB: при= 3, а функцията има формата

z = 2х 2 + 3х + 9 + 7х =

= 2х 2 + 10х + 9, х [–3, 3].

Това е функция на една независима променлива.

Нека определим стационарните точки на тази функция:

следователно, х = –2,5.

Ние определяме zпри х = –2,5, както и в краищата на сегмента [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

означава = 3,5, a = 57.

б) Разгледайте сегмента слънце:х = 3.

z = y 2 – 3y + 39; при [–3, 3],

= 2y – 3; 2y – 3 = 0 y = 3/2.

Намираме z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

в) На отсечка CD: y = 3, z = 2х 2 + 4x+ 9; при [–3, 3],

= –4х + 4 = 0 Þ х = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Най-високи и най-ниски стойности

Функция, ограничена в ограничена затворена област, достига своите максимални и минимални стойности или в стационарни точки, или в точки, лежащи на границата на региона.

За да намерите най-големите или най-малките стойности на функция, трябва да:

1. Намерете стационарни точки, разположени вътре в тази област, и изчислете стойността на функцията в тях.

2. Намерете най-голямата (най-малката) стойност на функцията на границата на областта.

3. Сравнете всички получени стойности на функцията: най-голямата (най-малката) ще бъде най-голямата (най-малката) стойност на функцията в тази област.

Пример 2. Намерете най-голямата (най-малката) стойност на функцията: в кръг.

Решение.

стационарна точка; .

2 .Граница на тази затворена област е кръг или , където .

Функцията на границата на областта става функция на една променлива: , където . Нека намерим най-голямата и най-малката стойност на тази функция.

Когато x=0 ; (0,-3) и (0,3) са критични точки.

Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на сегмента

3 . Сравнявайки получените стойности една с друга,

В точки А и Б.

В точки C и D.

Пример 3.Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията в затворена област, определена от неравенството:

Решение. Областта е триъгълник, ограничен от координатните оси и правата x+y=1.

1. Намираме стационарни точки в региона:

; ; y = - 1/8; х = 1/8.

Стационарната точка не принадлежи към разглеждания регион, така че стойността на z в нея не се изчислява.

2 .Изучаваме функцията на границата. Тъй като границата се състои от три секции, описани с три различни уравнения, ние изучаваме функцията на всяка секция поотделно:

А) в раздел 0A: y=0 - уравнение 0A, тогава ; от уравнението става ясно, че функцията нараства с 0A от 0 до 1. Това означава .

b) в раздел 0B: x=0 - уравнение 0B, тогава ; –6y+1=0; - критична точка.

V) на правата x+y = 1: y=1-x, тогава получаваме функцията

Нека изчислим стойността на функцията z в точка B(0,1).

3 .Сравнявайки числата, получаваме това

На права AB.

В точка Б.

Тестове за самоконтрол на знанията.

1. Екстремумът на функцията е

а) неговите производни от първи ред

б) неговото уравнение

в) нейния график

г) неговия максимум или минимум

2. Екстремумът на функция на няколко променливи може да бъде постигнат:

а) само в точки, лежащи вътре в неговата област на дефиниция, в които всички частни производни от първи ред са по-големи от нула

б) само в точки, лежащи вътре в неговата област на дефиниция, в които всички частични производни от първи ред са по-малки от нула

в) само в точки, лежащи вътре в неговата област на дефиниция, в които всички частни производни от първи ред не са равни на нула

г) само в точки, лежащи вътре в неговата област на дефиниция, в които всички частни производни от първи ред са равни на нула

3. Функция, която е непрекъсната в ограничена затворена област, достига своите максимални и минимални стойности:

а) в стационарни точки

б) или в стационарни точки, или в точки, разположени на границата на района

в) в точки, лежащи на границата на района

г) във всички точки

4. Стационарни точки за функция на няколко променливи са точките:

а) в който всички частни производни от първи ред не са равни на нула

б) в който всички частни производни от първи ред са по-големи от нула

в) в който всички частни производни от първи ред са равни на нула

г) в който всички частни производни от първи ред са по-малки от нула

Нека функцията y=f(x) е непрекъсната на отсечката. Както знаете, тази функция достига своя най-голям потенциал. и име стойности. Функцията може да приеме и тези стойности вътрешна точкасегмент, или на границата на сегмента, т.е. когато =a или =b. Ако , тогава точката трябва да се търси сред критичните точки на тази функция.

Получаваме следното правило за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция на:

1) намерете критичните точки на функцията на интервала (a,b);

2) изчисляване на стойностите на функцията в откритите критични точки;

3) изчислете стойностите на функцията в краищата на сегмента, т.е. в точки x=a и x=b;

4) сред всички изчислени стойности на функцията изберете най-голямата и най-малката.

Бележки:

1. Ако функция y=f(x) на сегмент има само една критична точка и тя е максимална (минимална) точка, тогава в тази точка функцията приема най-голямата (най-малката) стойност.

2. Ако функцията y=f(x) върху отсечка няма критични точки, то това означава, че функцията монотонно расте или намалява върху нея. Следователно функцията приема най-голямата си стойност (M) в единия край на сегмента и най-малката си стойност (m) в другия.

60. Комплексни числа. Формулите на Моавър.
Комплексно числоиме израз от вида z = x + iy, където x и y са реални числа, а i е т.нар. въображаема единица,. Ако x=0, тогава се извиква числото 0+iy=iy. имагинерно число; ако y=0, тогава числото x+i0=x се идентифицира с реалното число x, което означава, че множеството R на всички е реално. брой явления подмножество на множеството C от всички комплексни числа, т.е. . Номер x име реална част z, . Две комплексни числа се наричат ​​равни (z1=z2) тогава и само ако техните реални части са равни и имагинерните им части са равни: x1=x2, y1=y2. По-специално, комплексното число Z=x+iy е равно на нула тогава и само ако x=y=0. Понятията „повече“ и „по-малко“ не се въвеждат за комплексни числа. Две комплексни числа z=x+iy и , различаващи се само по знака на имагинерната част, се наричат ​​спрегнати.

Геометрично представяне на комплексни числа.

Всяко комплексно число z = x + iy може да бъде представено от точка M(x,y) от равнината Oxy, така че x=Re z, y=Im z. И обратно, всяка точка M(x;y) от координатната равнина може да се разглежда като образ на комплексно число z = x + iy. Равнината, на която са изобразени комплексните числа, се нарича сложна равнина, защото съдържа реални числа z = x + 0i = x. Ординатната ос се нарича въображаема ос, тъй като върху нея лежат чисто въображаемите комплексни числа z = 0 + iy. Комплексното число Z=x+iy може да бъде определено с помощта на радиус вектор r=OM=(x,y). Дължината на вектора r, представляващ комплексно число z, се нарича модул на това число и се означава с |z| или r. Размерът на ъгъла между Посоката на реалната ос и векторът r, представляващ комплексно число, се нарича аргумент на това комплексно число, означен с Arg z или . Аргументът за комплексно число Z=0 е недефиниран. Аргументът на комплексно число е многозначна величина и се определя до термина, където arg z е основната стойност на аргумента, съдържащ се в интервала (), т.е. - (понякога стойност, принадлежаща на интервала (0; ) се приема като основна стойност на аргумента).

Записването на числото z във формата z=x+iy се нарича алгебрична форма на комплексно число.

Операции с комплексни числа

Допълнение.Сумата от две комплексни числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 е комплексно число, определено от равенството: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Събирането на комплексни числа е комутативно и комбинативни свойства: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Изваждане.Изваждането се определя като обратното на събирането. Разликата на комплексните числа z1 и z2 е комплексно число z, което, когато се добави към z2, дава числото z1, т.е. z=z1-z2, ако z+z2=z1. Ако z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, тогава от тази дефиниция е лесно да се получи z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Умножение.Произведението на комплексните числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 е комплексното число, определено от равенството z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). От тук по-специално следва: . Ако са дадени числата тригонометрична форма: .

При умножаване на комплексни числа техните модули се умножават и техните аргументи се събират. Формулата на Моавър(ако има n фактора и всички те са еднакви): .

Подобни статии