Фигура 7.

,

,

,

Където I x, I y – аксиални инерционни моменти спрямо базовите оси;

аз xy– центробежен инерционен момент спрямо базовите оси;

I xc, I yc– аксиални инерционни моменти спрямо централните оси;

аз xcyc– центробежен инерционен момент спрямо централните оси;

а, б– разстояние между осите.

Определяне на инерционните моменти на сечение при въртене на осите

Всички геометрични характеристики на сечението спрямо централните оси са известни x C,при C(фиг. 8). Нека определим инерционните моменти спрямо осите х 1,на 1, завъртяни спрямо централните на определен ъгъл а.

Фигура 8

,

Където I x 1, I y 1 – аксиални инерционни моменти спрямо осите х 1,на 1 ;

I x 1 y 1– центробежен инерционен момент спрямо осите х 1,на 1 .

Определяне на положението на главните централни инерционни оси

Положението на главните централни инерционни оси на сечението се определя по формулата:

,

Където а 0 – ъгълът между централната и главната инерционна ос.

Определяне на основните инерционни моменти

Основните инерционни моменти на сечението се определят по формулата:

Последователност на изчисляване на сложен участък

1) Разделете сложна секция на по-прости геометрични фигури [S 1, S 2,…;х 1, y 1; х 2, y 2, …]

2) Изберете произволни оси XOY .

3) Определете позицията на центъра на тежестта на секцията [x c, y c].

4) Начертайте централните оси X c OY c.

5) Изчислете инерционните моменти Ix c, Iy c , използвайки теоремата за паралелно преместване на оси.

6) Изчислете центробежния инерционен момент Ix c y c.

7) Определете положението на главните инерционни оси tg2a 0.

8) Изчислете основните инерционни моменти Imax, Аз съм в.

ПРИМЕР 2

За фигурата, показана на фигура 13, определете основните точки

инерция и положението на главните инерционни оси.

1) Разделяме сложната секция на прости геометрични фигури

S 1 = 2000 mm 2, S 2 = 1200 mm 2, S= 3200 mm 2.

2) Изберете произволни XOY оси.

3) Определете позицията на центъра на тежестта на секцията

x c = 25 mm, y c=35 мм.

4) Изчертаване на централните оси X c OY c

5) Изчислете инерционните моменти Ix c , Iy c

6) Изчислете центробежния инерционен момент Ix c y c

7) Определете положението на главните инерционни оси

Ако I x >I y И a 0 >0 , след това ъгълът а 0 отместване спрямо оста X s обратно на часовниковата стрелка.

8) Изчислете основните инерционни моменти Imax, Аз съм в

ПРИМЕР 3

За фигурата, показана на фиг. 8 определят позицията на главните оси

Фигура 8.

инерция и основни инерционни моменти.

1) Записваме основните начални данни за всяка фигура

Канал

S 1 = 10,9 см 2

I x = 20,4 см 4

I y = 174 см 4

y 0= 1,44 см

ч= 10 см

Неравен ъгъл

S 3 = 6,36 см 2

I x = 41,6 см 4

I y = 12,7 см 4

I min = 7,58 см 4

tga= 0,387

х 0= 1,13 см

y 0= 2,6 см

Правоъгълник

S 2 = 40 см 2

см 4

см 4

2) Начертайте секцията в мащаб

3) Начертайте произволни координатни оси

4) Определете координатите на центъра на тежестта на сечението

5) Начертайте централните оси

6) Определете аксиалните моменти на инерция спрямо централните оси

7) Определете центробежния момент на инерция спрямо централните оси

Центробежният инерционен момент за ъгловалцована стомана спрямо нейния център на тежестта се определя по една от следните формули:

-4

Знакът на центробежния инерционен момент за ъглова валцована стомана се определя съгласно фиг. 9, следователно I xy 3= -13,17 cm 4.

8) Определете положението на главните инерционни оси

a 0 = 21,84°

9) Определете основните моменти на инерция

ЗАДАЧА 4

За дадените схеми (Таблица 6) е необходимо:

1) Начертайте напречно сечение в строг мащаб.

2) Определете позицията на центъра на тежестта.

3) Намерете стойностите на аксиалните моменти на инерция спрямо централните оси.

4) Намерете стойността на центробежния инерционен момент спрямо централните оси.

5) Определете положението на главните инерционни оси.

6) Намерете основните инерционни моменти.

Вземете числови данни от таблицата. 6.

Изчислителни схеми за задача No4

Таблица 6

Изходни данни за задача No4

№	Ъгъл с равен ъгъл	Неравен ъгъл	I-лъч	Канал	Правоъгълник	Схема №
	30´5	50´32´4			100´30
	40´6	56´36´4			100´40
	50´4	63´40´8			100´20
	56´4	70´45´5			80´40
	63´6	80´50´6		14а	80´60
	70´8	90´56´6			80´100
	80´8	100´63´6	20а	16а	80´20
	90'9	90´56´8			60´40
	75´9	140´90´10	22а	18а	60´60
	100´10	160´100´12			60´40
	д	А	b	V	Ж	д

Указания за проблем 5

Огъването е вид деформация, при която в напречното сечение на пръта се появява V.S.F. – момент на огъване.

За да се изчисли греда за огъване, е необходимо да се знае стойността на максималния момент на огъване Ми позицията на секцията, в която се появява. По същия начин трябва да знаете максималната сила на срязване Q. За целта се построяват диаграми на огъващите моменти и на срязващите сили. От диаграмите е лесно да се прецени къде е максималната стойност на момента или сила на срязване. За определяне на количества МИ Qизползвайте метода на раздела. Разгледайте схемата, показана на фиг. 9. Нека съставим сумата от силите върху оста Y, действайки върху отсечената част на гредата.

Фигура 9.

Напречната сила е равна на алгебричната сума на всички сили, действащи от едната страна на сечението.

Нека съставим сумата от моментите, действащи върху отрязаната част на гредата спрямо сечението.

Моментът на огъване е равен на алгебричната сума на всички моменти, действащи върху отсечената част на гредата спрямо центъра на тежестта на сечението.

За да могат да се извършват изчисления от който и да е край на гредата, е необходимо да се приеме знаковото правило за факторите на вътрешната сила.

За сила на срязване Q.

Фигура 10.

Ако външна сила завърти отрязаната част на гредата по посока на часовниковата стрелка, тогава силата е положителна; ако външна сила завърти отрязаната част на гредата обратно на часовниковата стрелка, тогава силата е отрицателна.

За огъващ момент М.

Фигура 11.

Ако е под влияние външна силаизвитата ос на гредата има формата на вдлъбната купа, така че дъждът, идващ отгоре, ще я напълни с вода, тогава огъващият момент е положителен (фиг. 11а). Ако под въздействието на външна сила извитата ос на гредата приеме формата на изпъкнала купа, така че дъждът, идващ отгоре, да не я напълни с вода, тогава огъващият момент е отрицателен (фиг. 11b).

Между разпределена интензивност на натоварването р, сила на срязване Qи момент на огъване М, действащи в определен участък, съществуват следните диференциални зависимости:

Посочените диференциални зависимости по време на огъване позволяват да се установят някои характеристики на диаграмите на напречните сили и моментите на огъване.

1) В тези зони, където няма разпределено натоварване, диаграма Q е ограничена от прави линии, успоредни на оста на диаграмата, и диаграмата М , В общ случай, – наклонени прави (фиг. 19).

2) В тези области, където върху гредата се прилага равномерно разпределено натоварване, диаграма Q е ограничена от наклонени прави линии, а диаграмата М – квадратни параболи(фиг. 20). При построяването на диаграма М върху компресирани влакна, изпъкналостта на параболата е обърната в посока, обратна на действието на разпределеното натоварване (фиг. 21а, б).

Фигура 12.

Фигура 13.

3) В тези секции, където Q= 0, допирателна към диаграмата Муспоредно на оста на диаграмата (фиг. 12, 13). Моментът на огъване в такива секции на гредата е екстремен по величина ( M макс,Ммин).

4) В райони, където Q> 0, Мувеличава, т.е. отляво надясно положителните ординати на диаграмата Мнарастват, отрицателните намаляват (фиг. 12, 13); в тези области, където Q < 0, Мнамалява (фиг. 12, 13).

5) В тези секции, където концентрираните сили се прилагат към гредата:

а) на диаграмата Qще има скокове по величината и по посока на приложените сили (фиг. 12, 13).

б) на диаграмата Мще има счупвания (фиг. 12, 13), върхът на счупването е насочен срещу действието на силата.

6) В тези секции, където концентрираните моменти се прилагат към гредата, на диаграмата Мще има скокове в големината на тези моменти на диаграмата Qняма да има промени (фиг. 14).

Фигура 14.

Фигура 15.

7) Ако е концентриран

момент, тогава в този участък моментът на огъване е равен на външния момент (участък ° СИ бна фиг. 15).

8) Диаграма Qпредставлява диаграма на производната на парцела М. Така че ординатите Qпропорционална на тангенса на ъгъла на наклон на допирателната към диаграмата М(фиг. 14).

Редът на начертаване QИ М:

1) Изготвя се проектна диаграма на гредата (под формата на ос), показваща натоварванията, действащи върху нея.

2) Влиянието на опорите върху гредата се заменя със съответните реакции; обозначенията на реакциите и техните приети посоки са посочени.

3) Съставят се балансови уравнения за гредата, чието решение определя стойностите на опорните реакции.

4) Гредата е разделена на секции, границите на които са точките на прилагане на външни концентрирани сили и моменти, както и точките на начало и край на действието или промяната в естеството на разпределените натоварвания.

5) Съставят се изрази за огъващи моменти Ми срязващи сили Qза всяка секция на гредата. Изчислителната схема показва началото и посоката на измерване на разстоянието за всеки участък.

6) Използвайки получените изрази, ординатите на диаграмите се изчисляват за редица секции на гредата в количество, достатъчно за показване на тези диаграми.

7) Определят се участъци, в които напречните сили са равни на нула и в които следователно действат моменти Mмаксили Мминза даден участък от гредата; стойностите на тези моменти се изчисляват.

8) С помощта на получените ординатни стойности се изграждат диаграми.

9) Построените диаграми се проверяват чрез сравняване помежду им.

Построени са диаграми на вътрешните силови фактори при огъване, за да се определи опасното сечение. След намиране на опасния участък гредата се изчислява за якост. В общия случай на напречно огъване, когато в сеченията на пръта действат огъващ момент и напречна сила, в сечението на гредата възникват нормални и срязващи напрежения. Следователно е логично да се вземат предвид две условия на якост:

а) според нормалните напрежения

б) чрез тангенциални напрежения

Тъй като основният разрушителен фактор за гредите са нормалните напрежения, размерите на напречното сечение на греда с приетата форма се определят от условието за якост за нормални напрежения:

След това се проверява дали избраното сечение на гредата удовлетворява условието за якост на напрежението на срязване.

Въпреки това, този подход за изчисляване на гредите все още не характеризира силата на лъча. В много случаи в сеченията на гредата има точки, в които едновременно действат големи нормални и срязващи напрежения. В такива случаи става необходимо да се провери здравината на гредата, като се използват основните напрежения. Третата и четвъртата теория за якост са най-приложими за такова изпитване:

, .

ПРИМЕР 1

Изграждане на диаграми на силата на срязване Qи момент на огъване Мза гредата, показана на фиг. 16 ако: F 1= 3 kN, Е 2= 1,5 kN, М = 5,1 kN∙m, р = =2kN/m, А = 2m, b = 1 м, с = 3м.

Фигура 16.

1) Определете реакциите на подкрепа.

;

;

Преглед:

Реакциите са намерени правилно

2) Разделяме гредата на секции C.A.,AD,DE,Е.К.,К.Б..

3) Определете стойностите QИ Мна всеки сайт.

SA

, ; , .

AD

, ;

, .

DE

, ;

, .

HF

, , .

Нека намерим максималния момент на огъване в областта К.Б..

Нека приравним уравнението Qв тази секция до нула и изразете координатата z макс , с който Q= 0, а моментът има максимална стойност. След това заместваме z макс в моментното уравнение в този раздел и намерете Mмакс.

ЕК

, .

4) Изграждаме диаграми (фиг. 16)

ПРИМЕР 2

За гредата, показана на фиг. 16 определя размерите на кръгла, правоъгълна ( ч/б = 2) и I-сечение. Проверете здравината на I-лъча чрез главни напрежения, ако [с]= 150 MPa, [T]= 150 MPa.

1) Определяме необходимия момент на съпротивление от условието за якост

2) Определете размерите на кръговото сечение

3) Определете размерите на правоъгълното сечение

4) Избираме I-лъч № 10 според асортимента (GOST 8239-89)

W X= 39,7 cm3, S X * =23 cm3, I X = 198 см 4, ч = 100 mm, b = 55 mm, д = 4,5 mm, T = 7,2 мм.

За да се провери здравината на гредата въз основа на основните напрежения, е необходимо да се изградят диаграми на нормални и тангенциални напрежения в опасен участък. Тъй като величината на основните напрежения зависи както от нормалните, така и от тангенциалните напрежения, изпитването за якост трябва да се извърши в участъка на гредата, където МИ Qдостатъчно голям. На опора IN(фиг. 16) сила на срязване Qима максимална стойност, но тук М= 0. Следователно, ние считаме, че разделът на опората е опасен А, където огъващият момент е максимален и силата на срязване е относително голяма.

Нормалните напрежения, променящи се по височината на сечението, се подчиняват на линеен закон:

Където г– координата на точката на сечението (фиг. 24).

при при= 0, s = 0;

при ymax ,

Законът за промените в напреженията на срязване се определя от закона за промените в статичния момент на зоната, който от своя страна се променя по височината на сечението според параболичния закон. След като изчислим стойността на характерните точки на сечението, ще изградим диаграма на тангенциалните напрежения. При изчисляване на стойностите на t ще използваме обозначенията за размерите на сечението, приети на фиг. 17.

Условието за якост за слой 3–3 е изпълнено.

ЗАДАЧА 5

За дадени схеми на греди (Таблица 12) изградете диаграми на напречна сила Qи момент на огъване М. Изберете напречното сечение за диаграма a) кръг [с]= 10 MPa; б) I-лъч [с]= 150 MPa.

Вземете числови данни от таблицата. 7.

Таблица 7

Изходни данни за задача No6

№

а, м

q 1 =q 3, kN/m

q 2 , kN/m

F 1, kN

F 2, kN

F 3, kN

M 1, kN∙m

M 2, kN∙m

M 3, kN∙m

Схема №

0,8

1,2

Продължение на таблица 12

Осите, минаващи през центъра на тежестта на плоска фигура, се наричат ​​централни оси.
Инерционният момент спрямо централната ос се нарича централен инерционен момент.

Теорема

Инерционен момент спрямо всяка ос равно на суматаинерционният момент около централната ос, успоредна на дадената, и произведението на площта на фигурата с квадрата на разстоянието между осите.

За да докажете тази теорема, разгледайте произволна равнинна фигура, чиято площ е равна на А , центърът на тежестта се намира в точката СЪС , и централния инерционен момент спрямо оста х ще Ix .
Нека изчислим инерционния момент на фигурата спрямо определена ос х 1 , успоредна на централната ос и отдалечена от нея на разстояние А (ориз).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Анализирайки получената формула, отбелязваме, че първият член е аксиалният момент на инерция спрямо централната ос, вторият член е статичният момент на площта на тази фигура спрямо централната ос (следователно тя равно на нула), а третият член след интегрирането може да бъде представен като продукт a 2 A , т.е. в резултат получаваме формулата:

I x1 = I x + a 2 A- теоремата е доказана.

Въз основа на теоремата можем да заключим, че на серия от успоредни оси, аксиалният инерционен момент на плоска фигура ще бъде най-малък спрямо централната ос .

Главни оси и главни инерционни моменти

Нека си представим плоска фигура, чиито инерционни моменти спрямо координатните оси Ix И аз y , а полярният инерционен момент спрямо началото е равен на I ρ . Както беше установено по-рано,

I x + I y = I ρ.

Ако координатните оси се завъртят в тяхната равнина около началото на координатите, тогава полярният инерционен момент ще остане непроменен, а аксиалните моменти ще се променят, докато тяхната сума ще остане постоянна. Тъй като сумата променливие постоянен, тогава единият от тях намалява, а другият нараства и обратно.
Следователно при определено положение на осите един от аксиалните моменти ще достигне максималната стойност, а другият - минималната.

Осите, около които инерционните моменти имат минимални и максимални стойности, се наричат ​​главни оси на инерция.
Инерционният момент спрямо главната ос се нарича главен инерционен момент.

Ако главна осминава през центъра на тежестта на фигурата, тя се нарича главна централна ос, а инерционният момент около такава ос се нарича главен централен инерционен момент.
Можем да заключим, че ако една фигура е симетрична спрямо която и да е ос, тогава тази ос винаги ще бъде една от главните централни оси на инерция на тази фигура.

Центробежен момент на инерция

Центробежният инерционен момент на плоска фигура е сумата от продуктите на елементарните площи, взети върху цялата площ, и разстоянието до две взаимно перпендикулярни оси:

I xy = Σ xy dA,

Където х , г - отстояния от обекта dA към оси х И г .
Центробежният инерционен момент може да бъде положителен, отрицателен или нулев.

Центробежният инерционен момент е включен във формулите за определяне на положението на главните оси на асиметрични сечения.
Стандартните профилни таблици съдържат характеристика, наречена радиус на въртене на сечението , изчислено по формулите:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (по-нататък знакът"√"- коренен знак)

Където I x, I y - аксиални инерционни моменти на сечението спрямо централните оси; А - площ на напречното сечение.
Това геометрична характеристикаизползва се при изследване на ексцентричен опън или компресия, както и надлъжно огъване.

Деформация на усукване

Основни понятия за усукване. Усукване на кръгла греда.

Усукването е вид деформация, при която във всяко напречно сечение на гредата възниква само въртящ момент, т.е. фактор на сила, който причинява кръгово движение на сечението спрямо ос, перпендикулярна на това сечение, или предотвратява такова движение. С други думи, деформации на усукване възникват, ако двойка или двойки сили се прилагат към права греда в равнини, перпендикулярни на нейната ос.
Моментите на тези двойки сили се наричат ​​усукващи или въртящи се. Въртящият момент се означава с T .
Това определение условно разделя фактори на мощносттадеформации на усукване към външни (усукване, въртящи моменти T ) и вътрешни (въртящи моменти М кр ).

В машините и механизмите кръглите или тръбните валове най-често се подлагат на усукване, така че изчисленията за якост и твърдост най-често се правят за такива възли и части.

Помислете за усукване на кръгъл цилиндричен вал.
Представете си гумен цилиндричен вал, в който един от краищата е здраво закрепен, а на повърхността има решетка от надлъжни линии и напречни кръгове. Ще приложим няколко сили към свободния край на вала, перпендикулярен на оста на този вал, т.е. ще го завъртим по оста. Ако внимателно разгледате линиите на мрежата на повърхността на вала, ще забележите, че:
- оста на вала, която се нарича торсионна ос, ще остане права;
- диаметрите на кръговете ще останат същите, а разстоянието между съседните кръгове няма да се промени;
- надлъжните линии на вала ще се превърнат в спираловидни линии.

От това можем да заключим, че при усукване на кръгла цилиндрична греда (вал) е валидна хипотезата за плоските сечения, а също така можем да приемем, че радиусите на окръжностите остават прави по време на деформация (тъй като диаметрите им не са се променили). И тъй като няма шахтови секции надлъжни сили, тогава разстоянието между тях се запазва.

Следователно деформацията на усукване на кръгъл вал се състои във въртенето на напречните сечения едно спрямо друго около оста на усукване, а ъглите им на въртене са право пропорционални на разстоянията от неподвижния участък - колкото по-далеч е който и да е участък от неподвижния край, на вала, толкова по-голям е ъгълът спрямо оста на вала, който той завърта.
За всяка секция на вала, ъгълът на въртене равен на ъгълзавъртане на частта от вала, затворена между тази секция и уплътнението (фиксиран край).


ъгъл ( ориз. 1) въртене на свободния край на вала (крайна секция) се нарича пълен ъгъл на усукване на цилиндричната греда (вал).
Относителен ъгъл на усукване φ 0 наречен съотношение на ъгъла на усукване φ 1 към разстоянието l 1 от даден участък до вграждане (фиксиран участък).
Ако цилиндричната греда (вал) е дълга л има постоянно напречно сечение и е натоварен с усукващ момент в свободния край (т.е. състои се от хомогенно геометрично сечение), тогава е вярно следното твърдение:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = const - стойността е постоянна.

Ако разгледаме тънък слой върху повърхността на горната гумена цилиндрична лента ( ориз. 1), ограничен от клетка от мрежата cdef , тогава отбелязваме, че тази клетка се изкривява по време на деформация и нейната страна, отдалечена от фиксираната секция, се измества към усукването на гредата, заемайки позицията cde 1 f 1 .

Трябва да се отбележи, че подобна картина се наблюдава при деформация на срязване, само в този случай повърхността се деформира поради транслационно движение на секции един спрямо друг, а не поради ротационно движение, както при деформация на усукване. Въз основа на това можем да заключим, че по време на усукване в напречни сечениявъзникват само допирателни вътрешни сили(напрежения), които генерират въртящ момент.

И така, въртящият момент е резултантният момент спрямо оста на гредата на вътрешни тангенциални сили, действащи в напречното сечение.

Нека определим връзката между различните моменти на инерция на сечението спрямо две успоредни оси (фиг. 6.7), свързани чрез зависимостите

1. За статични моменти на инерция

накрая

2. За аксиални инерционни моменти

следователно,

Ако оста zпреминава през центъра на тежестта на сечението, след което

От всички моменти на инерция около успоредни оси, аксиалният момент на инерция има най-малка стойност относно оста, минаваща през центъра на тежестта на сечението.

Същото за оста

Когато оста гпреминава през центъра на тежестта на сечението

3. За центробежните инерционни моменти получаваме

Най-накрая можем да пишем

В случай, когато началото на координатната система yzе в центъра на тежестта на секцията, получаваме

В случай, че едната или и двете оси са оси на симетрия,

6.7. Промяна на инерционните моменти при завъртане на оси

Нека са дадени инерционните моменти на сечението спрямо координатните оси зи.

Необходимо е да се определят инерционните моменти на едно и също сечение спрямо оси, завъртяни под определен ъгъл спрямо координатната система зи(фиг. 6.8).

Ъгълът се счита за положителен, ако старата координатна система трябва да се завърти обратно на часовниковата стрелка, за да се премине към новата (за декартова правоъгълна координатна система). Нови и стари зикоординатните системи са свързани чрез зависимости, които следват от фиг. 6.8:

1. Нека дефинираме изрази за аксиалните моменти на инерция спрямо осите на новата координатна система:

По същия начин по отношение на оста

Ако съберем стойностите на инерционните моменти относно и осите, получаваме

тоест, когато осите се въртят, сумата от аксиалните моменти на инерция е постоянна стойност.

2. Нека изведем формули за центробежни инерционни моменти.

.

6.8. Основни моменти на инерция. Главни инерционни оси

Екстремните стойности на аксиалните инерционни моменти на сечението се наричат ​​главни инерционни моменти.

Две взаимно перпендикулярни оси, около които аксиалните инерционни моменти имат екстремни стойности, се наричат ​​главни инерционни оси.

За да намерим главните инерционни моменти и положението на главните инерционни оси, определяме първата производна по отношение на ъгъла на инерционния момент, определен по формула (6.27)

Нека приравним този резултат към нула:

където е ъгълът, на който трябва да се завъртят координатните оси гИ zтака че да съвпадат с главните оси.

Сравнявайки изразите (6.30) и (6.31), можем да установим това

,

Следователно, по отношение на главните оси на инерция, центробежният момент на инерция е нула.

Взаимно перпендикулярни оси, едната или двете от които съвпадат с осите на симетрия на сечението, винаги са главни оси на инерция.

Нека решим уравнение (6.31) за ъгъл:

.

Ако >0, тогава за определяне на позицията на една от главните инерционни оси за дясната (лявата) декартова правоъгълна координатна система е необходима ос zзавъртете под ъгъл срещу посоката на въртене (по посока на въртене) по часовниковата стрелка. Ако<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьzзавъртете под ъгъл в посоката на въртене (обратно на часовниковата стрелка) по посока на часовниковата стрелка.

Максималната ос винаги сключва по-малък ъгъл с този на осите ( гили z), спрямо които аксиалният инерционен момент има по-голяма стойност (фиг. 6.9).

Максималната ос е насочена под ъгъл спрямо axis(), if() и се намира в четните (нечетни) четвърти на осите, if().

Нека определим основните моменти на инерция и. Използвайки формули от тригонометрията, свързващи функциите,,,с функциите,,от формула (6.27) получаваме

,

Нека Ix, Iy, Ixy също са известни. Нека начертаем нова ос x 1, y 1, успоредна на осите xy.

И нека определим инерционния момент на същото сечение спрямо новите оси.

X 1 = x-a; y 1 =y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix – 2b Sx + b 2 A.

Ако оста x минава през центъра на тежестта на сечението, тогава статичният момент Sx =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Подобно на новата ос y 1, ще имаме формулата I y 1 = Iy + a 2 A

Центробежен инерционен момент около нови оси

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.

Ако осите xy минават през центъра на тежестта на сечението, тогава Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Ако сечението е симетрично, поне една от централните оси съвпада с оста на симетрия, тогава Ixy =0, което означава Ix 1 y 1 = abA

Промяна на инерционните моменти при завъртане на оси.

Нека аксиалните инерционни моменти относно осите xy са известни.

Получаваме нова xy координатна система чрез завъртане на старата система на ъгъл (a > 0), ако въртенето е обратно на часовниковата стрелка.

Да установим връзката между старите и новите координати на сайта

y 1 =ab = ac – bc = ab- de

от триъгълник acd:

ac/ad =cos α ac= ad*cos α

от триъгълник oed:

de/od =sin α dc = od*sin α

Нека заместим тези стойности в израза за y

y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.

По същия начин

x 1 = x cos α + y sin α.

Нека изчислим аксиалния инерционен момент спрямо новата ос x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

По същия начин, Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Нека съберем лявата и дясната страна на получените изрази:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

Сумата от аксиалните инерционни моменти по време на въртене не се променя.

Нека определим центробежния инерционен момент спрямо новите оси. Нека си представим стойностите x 1 ,y 1 .

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

Основни моменти и главни инерционни оси.

Основни моменти на инерцияте се наричат ​​екстремни стойности.

Осите, за които са получени екстремните стойности, се наричат ​​главни оси на инерция. Те винаги са взаимно перпендикулярни.

Центробежният инерционен момент спрямо главните оси винаги е равен на 0. Тъй като е известно, че в сечението има ос на симетрия, центробежният момент е равен на 0, което означава, че оста на симетрия е главна ос. Ако вземем първата производна на израза I x 1, след това го приравним към „0“, получаваме стойността на ъгъла =, съответстваща на позицията на главните оси на инерция.

tan2 α 0 = -

Ако α 0 >0, тогава за определено положение на главните оси старата ос трябва да се завърти обратно на часовниковата стрелка. Едната от главните оси е max, а другата min. В този случай максималната ос винаги съответства на по-малък ъгъл с произволната ос, спрямо която има по-голям аксиален момент на инерция. Екстремните стойности на аксиалния инерционен момент се определят по формулата:

Глава 2. Основни понятия за якост на материалите. Цели и методи.

При проектирането на различни конструкции е необходимо да се решат различни проблеми на здравина, твърдост и стабилност.

Сила– способността на дадено тяло да издържа на различни натоварвания без разрушаване.

Твърдост– способността на конструкцията да поема натоварвания без големи деформации (премествания). Предварителните допустими стойности на деформация се регулират от строителните норми и правила (SNIP).

устойчивост

Помислете за компресията на гъвкав прът

Ако натоварването се увеличава постепенно, прътът първо ще се скъси. Когато силата F достигне определена критична стойност, прътът ще се огъне. - абсолютно скъсяване.

В този случай пръчката не се срутва, а рязко променя формата си. Това явление се нарича загуба на стабилност и води до разрушаване.

Сопромат– това са основите на науките за здравина, твърдост и стабилност на инженерните конструкции. Методи, използвани в sopromat теоретична механика, физика, математика. За разлика от теоретичната механика, устойчивостта на якост отчита промените в размера и формата на телата под въздействието на натоварване и температура.

Нека z с, y s– централните оси на сеченията, – инерционните моменти на сеченията спрямо тези оси. Нека да определим инерционните моменти на сечението спрямо новите оси z 1, на 1, успоредни на централните оси и изместени спрямо тях на разстояния аИ д. Позволявам dA– елементарна област в близост до точка Мс координати гИ zв централната координатна система. От фиг. 4.3 е ​​ясно, че координатите на точка C в новата координатна система ще бъдат равни на, .

Нека определим инерционния момент на сечението спрямо оста y 1 :

Фиг.4.3

z c

y c

z 1

y 1

д

а

° С

Очевидно първият интеграл дава, вторият - тъй като първоначалната координатна система е централна, а третият - площта на напречното сечение А.

По този начин,

По същия начин

Промяна на инерционните моменти на сечението при въртене на осите

Нека намерим връзката между инерционните моменти спрямо осите г, zи инерционни моменти спрямо осите y 1, z 1, завъртяна под ъгъл а. Позволявам Джи> Джей Зии положителен ъгъл аизмерено от оста гобратно на часовниковата стрелка. Нека координатите на точката Мпреди завоя - г, z, след завъртане – y 1, z 1(фиг. 4.4).

От фигурата следва:

Сега нека определим инерционните моменти спрямо осите y 1И z 1:

Ориз. 4.4

М

z

z 1

y 1

г

а

г

y 1

z 1

z

. (4.13)

По същия начин:

Добавяйки уравнения (4.13) и (4.14) член по член, получаваме:

тези. сумата от инерционните моменти относно всякакви взаимно перпендикулярни оси остава постоянна и не се променя при завъртане на координатната система.

Главни инерционни оси и главни инерционни моменти

С промяна на ъгъла на въртене на осите аВсяка от величините се променя, но сборът им остава непроменен. Следователно има такъв смисъл

а = а 0, при което инерционните моменти достигат екстремни стойности, т.е. единият от тях достига максималната си стойност, а другият достига минималната си стойност. За да намерите стойността а 0 вземете първата производна на (или) и я приравнете на нула:

Нека покажем, че спрямо получените оси центробежният инерционен момент е равен на нула. За да направим това, приравняваме дясната страна на уравнение (4.15) на нула: , от където, т.е. получи същата формула за а 0 .

Осите, около които центробежният момент на инерция е нула, а аксиалните моменти на инерция приемат екстремни стойности, се наричат ​​главни оси. Ако тези оси са и централни, тогава те се наричат ​​главни централни оси. Аксиални моментиинерцията спрямо главните оси се наричат ​​главни инерционни моменти.

Нека означим главните оси с y 0И z 0. Тогава

Ако сечението има ос на симетрия, тогава тази ос винаги е една от главните централни оси на инерция на сечението.

Подобни статии